7.1.2 弧度制 学案（含答案） 2025-2026学年高一数学苏教版（2019）必修第一册

7．1.2　弧　度　制
1. 理解弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算，熟记特殊角的弧度数．
2. 了解角的集合与实数集R之间可以建立一一对应的关系，体会引进弧度制的必要性．
3. 掌握弧度制下的弧长公式，会利用弧度制解决某些简单的实际问题．
活动一 理解角度、弧度的概念
在半径为r的圆O中，如何比较∠AOB与∠COD的大小，并说明理由．
思考1
在初中，我们已经学过角的度量，1度的角是怎样定义的？角还有没有新的度量方法？
思考2
当弧长l一定时，随着半径r的增大，圆心角α发生什么变化？
思考3
弧长l、半径r和圆心角α三者之间存在怎样的数量关系式？
把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫作1弧度的角，记作1 rad.
用弧度作为角的单位来度量角的单位制称为弧度制．
规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为0.
思考4
(1) 圆的半径为r，弧长为2r、3r、的弧所对的圆心角(正角)分别为多少弧度？
(2) 角的弧度数与角的大小有关，与角所在圆的半径的大小是否有关？
在弧度制下，角的集合与实数集R之间建立了一一对应关系：每一个角都对应唯一的一个实数；反过来，每一个实数也都对应唯一的一个角．
探究1　作图，探求平角、周角的弧度数并与它们的角度数进行比较．
注意：(1) 以弧度为单位表示角时，常常把弧度数写成多少π的形式；
(2) 角度制与弧度制是两种不同的度量制度，在表示时不能混用．
探究2　在下图中写出各特殊角所对应的弧度数．
活动二　掌握角度与弧度互化　
例1　将下列各角从弧度化为度：
(1) ；
(2) 3.5；
(3) －.
例2　将下列各角从度化为弧度：
(1) 250°；
(2) －22°30′；
(3) －150°.
将下列各角度与弧度互化：
(1) ；
(2) －；
(3) －157°30′.
活动三　用弧度表示终边相同的角　
例3　已知角α＝2 020°.
(1) 将α改写成β＋2kπ(k∈Z，0≤β＜2π)的形式，并指出α是第几象限的角；
(2) 在区间[－5π，0)上找出与α终边相同的角．
如图，用弧度表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界).
(2)
　
活动四 掌握扇形的弧长与面积公式　　
探究3　推导弧度制下的弧长和扇形面积公式．
角度制 弧度制
角 n° α
半径 r r
弧长公式 l＝
扇形面积公式 S＝·πr2
例4　已知扇形的周长为8 cm，圆心角为2 rad，求该扇形的面积．
　　
求解下列各题：
(1) 已知扇形的周长为20 cm，面积为9 cm2，求扇形的圆心角(正角)的弧度数；
(2) 若某扇形的圆心角为75°，半径为15 cm，求扇形的面积；
(3) 若一扇形的周长为60 cm，当它的半径和圆心角各为多少时，扇形的面积最大？最大值是多少？
1. (2025嘉兴期末)－是(　　)
A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角
2. (2025盐城期末)若α＝－5，则角α的终边在(　　)
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3. (多选)(2024新乡月考)下列说法中，正确的是(　　)
A. 100°化成弧度是 rad B. rad化成角度是2°
C. －420°化成弧度是－ rad D. － rad化成角度是－75°
4. (2025湖北部分市州期末)已知扇形的半径为2，圆心角为30°，则该扇形的面积为________．
5. (2024揭东二中月考)已知角α＝1 200°.
(1) 将α改写成β＋2kπ(k∈Z，0≤β≤2π)的形式，并指出α是第几象限角；
(2) 在区间[－4π，0]上找出与α终边相同的角．
7．1.2　弧　度　制
【活动方案】
背景引入：①用量角器度量；②比较弦长；③比较弧长．
思考1：周角的为1度的角，还有弧度制．
思考2：变小．
思考3：|α|＝.
思考4：(1) 2，3，.
(2) 无关．
探究1　
　
探究2　
角度 0° 15° 30° 45° 60° 75° 90° 105° 120° 135° 150° 165° 180°
弧度 0 π
例1　(1) rad＝×＝108°.
(2) 3.5 rad＝3.5×＝≈200.54°.
(3) － rad＝－×＝－1 140°.
例2　(1) 250°＝250× rad＝ rad.
(2) －22°30′＝－22.5°＝－22.5× rad＝－ rad.
(3) －150°＝－150× rad＝－ rad.
跟踪训练　(1) 75°　(2) －210°　(3) － rad
例3　(1) 2 020°＝2 020× rad＝ rad＝5×2π＋ rad.　
又π＜＜，所以α与终边相同，是第三象限的角．
(2) 与α终边相同的角可以写为γ＝＋2kπ(k∈Z)，
又－5π≤γ＜0，
所以当k＝－3时，γ＝－；当k＝－2时，γ＝－；当k＝－1时，γ＝－.
跟踪训练　(1) 以OA为终边的角为＋2kπ(k∈Z)；以OB为终边的角为－＋2kπ(k∈Z)，所以阴影部分内的角的集合为{α|－＋2kπ＜α＜＋2kπ，k∈Z}．
(2) 以OA为终边的角为＋2kπ(k∈Z)；以OB为终边的角为＋2kπ(k∈Z).
不妨设右边阴影部分所表示的集合为M1，左边阴影部分所表示的集合为M2，
则M1＝，
M2＝，
所以阴影部分内的角的集合为
M1∪M2＝{α|2kπ＜α＜＋2kπ或＋2kπ＜α＜π＋2kπ，k∈Z}．
探究3　由|α|＝，可得弧长l＝|α|r.
在弧度制中，若|α|≤2π，则圆心角为α的扇形面积S＝·πr2＝|α|r2＝rl.
例4　设扇形的半径为r，弧长为l，
则解得
所以扇形的面积为S＝rl＝4(cm2).
跟踪训练　设扇形的半径为r，弧长为l，圆心角的弧度数为θ.
(1) 因为l＋2r＝20，所以l＝20－2r.
又lr＝9，所以(20－2r)r＝9，
解得r＝1或r＝9.
当r＝1时，l＝18，则θ＝＝18>2π(不符合题意，舍去)，所以r＝9，所以l＝2，θ＝，
即扇形的圆心角的弧度数为.
(2) 扇形的圆心角的弧度数为75×＝，扇形半径为15 cm，则扇形的面积S＝θ·r2＝××152＝(cm2).
(3) 设扇形的面积为S.
由题意，得l＋2r＝60，则l＝60－2r，且0又S＝lr＝(60－2r)r＝－r2＋30r＝－(r－15)2＋225.
当r＝15时，Smax＝225，
此时θ＝＝＝＝2.
故当半径为15 cm，圆心角为2 rad时，扇形面积最大，最大值为225 cm2.
【检测反馈】
1. C　因为－＋2π＝， 且π<<，所以是第三象限角，所以－是第三象限角．
2. A　因为0<2π－5<，所以2π－5为第一象限角. 又α＝－5的终边与角2π－5的终边重合，所以角α的终边在第一象限．
3. AB　对于A，100°＝100× rad＝ rad，故A正确；对于B， rad＝×＝2°，故B正确；对于C，－420°＝－420× rad＝－ rad，故C错误；对于D，－ rad＝－×＝－135°，故D错误．故选AB.
4. 　设该扇形的圆心角为α，半径为r，则α＝30°＝，r＝2，所以该扇形的面积为S＝αr2＝××4＝.
5. (1) 因为α＝1 200°＝1 200× rad＝ rad＝＋3×2π rad，
所以角α与的终边相同．
又<<π，所以角α是第二象限角．
(2) 因为与角α终边相同的角为＋2kπ，k∈Z,
所以由－4π≤＋2kπ≤0，得－≤k≤－.
因为k∈Z，
所以k＝－2或k＝－1.
当k＝－2时，＋2×(－2)π＝－；
当k＝－1时，＋2×(－1)π＝－，
所以在区间[－4π，0]上与角α终边相同的角是－，－.