7.2.3　三角函数的诱导公式 学案（含答案） 2025-2026学年高一数学苏教版（2019）必修第一册

7．2.3　三角函数的诱导公式(1)
1. 借助单位圆的对称性，利用三角函数的定义，推导三角函数的诱导公式一、二、三、四．
2. 理解并掌握诱导公式的内涵及结构特征，能正确运用诱导公式将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，并解决有关三角函数求值、化简等问题．
活动一 掌握三角函数的诱导公式一、二、三、四
已知任意角α，观察角α的终边绕着原点旋转的过程，在这一过程中，有哪些量会“周而复始”的重复出现？角的终边的位置会“周而复始”吗？三角函数值会“周而复始”吗？
探究1　终边相同的角的同一三角函数值有什么关系？为什么？
探究2　除了“终边相同”这样非常特殊的关系之外还有一些角，它们的终边具有另外的某种特殊关系．如果角α的终边与角β的终边关于x轴对称，那么α与β的三角函数值之间有什么关系呢？
思考1
由公式二，你可以得到三角函数的什么性质？
探究3　若角α的终边与角β的终边关于y轴对称(如图)，你有什么结论？
探究4　若角α的终边与角β的终边关于原点对称(如图)，你有什么结论？
思考2
由公式二、三，你能推导出公式四吗？根据公式二、三、四中的任意两组公式，你能推导出另外一组公式吗？
思考3
上面的公式一到四都称为三角函数的诱导公式．想一想，公式一到四的名称和符号有怎样的规律？
公式一的作用是将角转化为区间[0，2π]上的角，公式二的作用是将负角转化为正角，公式三的作用是将区间上的角转化为区间上的角，公式四的作用是将区间上的角转化为区间上的角．
活动二　利用诱导公式解决给角求值问题　
例1　求值：
(1) sin ；
(2) cos ；
(3) tan (－1 560°).
求值：
(1) cos 225°；　　　(2) sin ；
(3) sin ； (4) cos (－2 040°).
活动三　利用诱导公式解决给值求值问题　
例2　已知cos (π＋α)＝－，α是第四象限角，求tan α的值．
例3　已知cos (75°＋α)＝，求cos (105°－α)＋cos (α－105°)的值．
思考4
如何探究已知角与所求角的关系？
已知<α<，cos ＝m(m≠0)，求tan 的值．
活动四　利用诱导公式研究三角函数的奇偶性　
例4　判断下列函数的奇偶性：
(1) f(x)＝1－cos x；
(2) g(x)＝x－sin x.
已知f(x)＝x cos x－sin x＋5，f(a)＝4，则f(－a)＝________．
1. (2025商丘期末)sin 3 720°的值为(　　)
A. B. C. － D. －
2. (2025梅州期末)在平面直角坐标系xOy中，角α的顶点为坐标原点，始边在x轴的非负半轴上，终边经过点P(1，2)，则cos (－α)的值为(　　)
A. － B. C. － D.
3. (多选)(2025惠州期末)下列式子化简中，正确的是(　　)
A. sin ＝ B. cos ＝
C. sin (2 024π－α)＝－sin α D. tan (α－2 025π)＝－tan α
4. (2025广州期末)已知角α的终边与单位圆的交点为(，－)，则sin (π＋α)＝________．
5. 已知cos ＝，求cos －sin2(α－)的值．
7．2.3　三角函数的诱导公式(2)
1．推导出诱导公式五、六，能正确运用诱导公式将任意角的三角函数化为锐角的三角函数．
2. 能运用公式解决基本的三角函数求值、化简和恒等式证明问题．
活动一 掌握三角函数的诱导公式五、公式六
探究1　若角α的终边与角β的终边关于直线y＝x对称(如图)，设角α，β的终边分别与单位圆交于点P，P′.
(1) 角α与角β的三角函数值之间有什么关系？
(2) 角－α的终边与角α的终边是否关于直线y＝x对称？
(3) 由(1)，(2)你能发现什么结论？
探究2　利用公式二和公式五，探求sin (＋α)，cos 的值与α的三角函数值的关系．
探究3　你能推导出tan (＋α)，tan (－α)与tan α之间的关系吗？
公式五与公式六的作用是实现正弦与余弦的相互转化，同时可以把区间上的角的三角函数转化为锐角的三角函数．
例1　求证：sin (＋α)＝－cos α，cos (＋α)＝sin α.
求证：sin ＝－cos α，cos ＝－sin α.　
活动二　掌握诱导公式的运用
例2　已知tan α＝3，求的值．
已知tan θ＝2，则＝________．
例3　已知cos (75°＋α)＝，且－180°＜α＜－90°，求cos (15°－α)的值．
(1) 已知sin (π＋A)＝－，则cos (－A)的值是________；
(2) 已知sin ＝，则cos 的值是________．
1. 给值求值型问题，若已知条件或待求式较复杂，有必要根据诱导公式化到最简，再确定相关的值．
2. 巧用相关角的关系会简化解题过程．常见的互余关系有－α，＋α；＋α，－α；＋α，－α等．常见的互补关系有＋θ，－θ；＋θ，－θ等．
例4　已知sin (5π－θ)＋sin ＝，求sin3－cos3的值．
1．(2025湖北新高考联考协作体期末)已知cos ＝，则sin α的值为(　　)
A. － B. C. － D.
2. (2025济南期末)已知sin ＝，则cos 的值为(　　)
A. － B. C. － D.
3. (多选)(2024湖北荆州中学期末)已知cos α＝，α∈，则下列结论中正确的是(　　)
A. sin (π＋α)＝ B. cos ＝－
C. tan (π－α)＝ D. sin ＝－
4. (2024德州期末)若角α的终边上一点的坐标为(，)，将角α的终边按逆时针方向旋转得到角β，则sin β＝________．
5. 如图，角α的终边与单位圆交于点P(x，)，且x<0.
(1) 求tan α的值；
(2) 求的值．
7．2.3　三角函数的诱导公式(3)
1. 能正确运用诱导公式解决有关三角函数的求值、化简和恒等式证明问题．
2. 能通过对公式的运用，了解由未知到已知、复杂到简单的转化过程，提高分析和解决问题的能力．
活动一 诱导公式的运用(求值)
例1　(1) 已知sin ＝，求sin (－x)＋sin2(－x)的值；
(2)已知tan α＝－2，求的值．
已知cosα＝，且－＜α＜0，则＝________．
用诱导公式化简求值的方法：
(1) 对于三角函数式的化简求值问题，一般遵循诱导公式先行的原则，即先用诱导公式化简变形，达到角的统一，再进行切化弦，以保证三角函数名最少．
(2) 对于kπ±α和±α这两套诱导公式，切记运用前一套公式不变名，而后一套公式必须变名．
活动二　诱导公式的运用(化简、证明)　
例2　(1) 化简：·sin (α－)·cos ；
(2) 求证：＝tan α.　
求证：＝.
三角恒等式的证明方法：
(1) 在证明时一般从左边到右边，或从右边到左边，或左右归一，总之，应遵循化繁为简的原则．
(2) 常用定义法、化弦法、拆项拆角法、公式变形法、“1”的代换法．
活动三 诱导公式的综合应用　　
例3　在△ABC中，
(1) 求证：cos2＋cos2＝1；
(2)若cos sin tan (C－π)<0，求证：△ABC为钝角三角形．
例4　已知函数f(x)＝.　
(1) 判断函数f(x)的奇偶性；
(2) 若f(α)＝，且α∈，求α的大小．
是否存在角α，β，α∈，β∈(0，π)，使同时成立？若存在，求出角α，β；若不存在，请说明理由．
k·＋α(k∈Z)的三角函数值，当k为偶数时，得α的同名函数值；当k为奇数时，得α的异名函数值，然后在前面加上把α看成锐角时原函数值的符号．概括为“奇变偶不变，符号看象限”，这里的奇偶是指k的取值是奇数还是偶数．
1. (2025广元期末)已知角α的终边经过点P(－3，4)，则的值为(　　)
A. 8 B. －8 C. D. －
2. 在△ABC中，已知sin ＝sin ，则△ABC是(　　)
A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 锐角三角形 D. 钝角三角形
3. (多选)(2025合肥六中期末)已知角α的始边为x轴的非负半轴，终边与单位圆的交点为P(，－)，则下列说法中正确的是(　　)
A. tan α＝ B. sin (－α)＝
C. cos (π－α)＝－ D. cos ＝－
4. 的值为________．
5．(2025湖北期末)已知f(θ)＝.
(1) 求f的值；
(2) 若f(θ)＝2，求sin 2θ＋sin θcos θ－cos 2θ的值．
7．2.3　三角函数的诱导公式(1)
【活动方案】
探究1　由三角函数的定义知，终边相同的角的同一三角函数值相等，即sin (α＋2kπ)＝sin α(k∈Z)，cos (α＋2kπ)＝cos α(k∈Z)，tan (α＋2kπ)＝tan α(k∈Z).(公式一)
探究2　设角α，β的终边分别与单位圆交于点P，P′，则点P和点P′关于x轴对称(如图).
又根据三角函数的定义，点P的坐标为(cos α，sin α)，点P′的坐标为(cos β，sin β)，则有sin β＝－sin α，cos β＝cos α.由同角三角函数关系，得tan β＝＝＝－tan α.
特别地，角－α与角α的终边关于x轴对称，则有
sin (－α)＝－sin α，cos (－α)＝cos α，tan (－α)＝－tan α.(公式二)
思考1：正弦函数y＝sin x是奇函数，余弦函数y＝cos x是偶函数，正切函数y＝tan x是奇函数．
探究3　同理可得sin β＝sin α，cos β＝－cos α，tan β＝－tan α.
特别地，角π－α与角α的终边关于y轴对称，则有
sin (π－α)＝sin α，cos (π－α)＝－cos α，tan (π－α)＝－tan α.(公式三)
探究4　同理可得sin β＝－sin α，cos β＝－cos α，tan β＝tan α.　
特别地，角π＋α与角α的终边关于原点对称，则有
sin (π＋α)＝－sin α，cos (π＋α)＝－cos α，tan (π＋α)＝tan α.(公式四)
思考2：sin (π＋α)＝sin [π－(－α)]＝sin (－α)＝－sin α，　
cos (π＋α)＝cos [π－(－α)]＝－cos (－α)＝－cos α，
tan (π＋α)＝tan [π－(－α)]＝－tan (－α)＝tan α.
其他情形可以类似推导得到．
思考3：函数名不变，符号看象限．
例1　(1) sin ＝sin ＝－sin ＝－.
(2) cos ＝cos ＝cos ＝cos (π－)＝－cos ＝－.
(3) tan (－1 560°)＝－tan 1 560°＝－tan (4×360°＋120°)＝－tan 120°＝－tan (180°－60°)＝tan 60°＝.
跟踪训练　(1) 原式＝－cos 45°＝－.
(2) 原式＝sin ＝－sin ＝－.
(3) 原式＝sin ＝sin ＝.
(4) 原式＝cos 120°＝－cos 60°＝－.
例2　因为cos α＝－cos (π＋α)＝，α是第四象限角，所以sin α＝－＝－，tanα＝＝－.
例3　原式＝2cos (α－105°)＝－2cos (75°＋α)＝－.
思考4：将已知角与所求角求和、差，然后应用诱导公式将所求角变成已知角．
跟踪训练　因为－α＝π－，
所以cos ＝cos ＝－cos (α＋)＝－m.
因为<α<，所以0<－α<，
所以sin ＝＝，
所以tan＝＝－.
例4　(1) 因为函数f(x)的定义域是R，
且f(－x)＝1－cos (－x)＝1－cos x＝f(x)，
所以f(x)是偶函数．
(2) 因为函数g(x)的定义域是R，且g(－x)＝－x－sin (－x)＝－(x－sin x)＝－g(x)，
所以g(x)是奇函数．
跟踪训练　6　因为f(x)＋f(－x)＝x cos x－sin x＋5＋[－x cos (－x)－sin (－x)＋5]＝x cos x－sin x＋5－x cos x＋sin x＋5＝10，所以f(a)＋f(－a)＝10.又f(a)＝4，所以f(－a)＝6.
【检测反馈】
1. B　sin 3 720°＝sin (3 600°＋120°)＝sin 120°＝sin (180°－60°)＝sin 60°＝.
2. D　因为角α的终边经过点P(1，2)，所以cos α＝＝，所以cos (－α)＝cos α＝.
3. BC　对于A，sin ＝sin ＝－sin ＝－，故A错误；对于B，cos ＝cos ＝，故B正确；对于C，sin (2 024π－α)＝sin (－α)＝－sin α，故C正确；对于D，tan (α－2 025π)＝tan α，故D错误．故选BC.
4. 　因为角α的终边与单位圆的交点为，则sin α＝－，所以sin (π＋α)＝－sin α＝.
5. 因为cos ＝cos ＝－cos (－α)＝－，sin2＝sin2(－α)＝1－cos2(－α)＝，
所以cos－sin2＝－－＝－.
7．2.3　三角函数的诱导公式(2)
【活动方案】
探究1　(1) 由图可知，点P和点P′关于直线y＝x对称．又根据三角函数的定义，点P的坐标为(cos α，sin α)，点P′的坐标为(cos β，sin β)，则有sin β＝cos α，cos β＝sin α.
(2) 对称．
(3) sin ＝cos α，cos ＝sin α.(公式五)
探究2　sin ＝sin ＝cos (－α)＝cos α，
cos ＝cos ＝sin (－α)＝－sin α，
则sin ＝cos α，cos ＝－sin α.(公式六)
探究3　tan ＝＝＝－，tan ＝.
例1　sin ＝sin ＝－sin (＋α)＝－cos α.
cos ＝cos ＝－cos (＋α)＝sin α.
跟踪训练　sin ＝sin [π＋]＝－sin (－α)＝－cos α.
cos ＝cos ＝－cos (－α)＝－sin α.
例2　因为tan α＝3，
所以原式＝＝＝－.
跟踪训练　－2　原式＝＝＝＝＝－2.
例3　因为－180°<α<－90°，
所以－105°<75°＋α<－15°，
所以sin (75°＋α)<0.
又cos (75°＋α)＝，所以cos (15°－α)＝cos [90°－(75°＋α)]＝sin (75°＋α)＝－＝－＝－.
跟踪训练　(1)－　因为sin (π＋A)＝－sin A＝－，所以sin A＝，cos (－A)＝－sin A＝－.
(2) 　因为＋＝，所以＋α＝－，所以cos ＝cos [－]＝sin (－α)＝.
例4　因为sin (5π－θ)＋sin ＝sin θ＋cos θ＝，
所以sin θcos θ＝[(sin θ＋cos θ)2－1]＝，
所以sin3－cos3＝cos3θ＋sin3θ＝(sinθ＋cos θ)(sin2θ－sinθcos θ＋cos2θ)＝×＝.
【检测反馈】
1. A　因为cos ＝cos ＝cos (＋α)＝－sin α＝，所以sin α＝－.
2. C　因为sin ＝，所以sin ＝－，所以cos ＝cos ＝sin ＝－.
3. ACD　因为cos α＝，α∈，所以sin α＝－＝－，则sin(π＋α)＝－sin α＝，cos ＝－sin α＝，tan (π－α)＝－tan α＝－＝，sin ＝－cos α＝－，故A，C，D正确，B错误．故选ACD.
4. 　因为角α的终边上一点的坐标为(，)，则cos α＝，将角α的终边按逆时针方向旋转得到角β，则β＝＋α，故sin β＝sin (＋α)＝cos α＝.
5. (1) 由三角函数的定义知，sin α＝，
所以cos2α＝1－sin2α＝.
因为cosα＝x<0，
所以cos α＝－，所以tan α＝＝－3.
(2) 原式＝＝＝－.
7．2.3　三角函数的诱导公式(3)
【活动方案】
例1　(1) 原式＝sin ＋cos2＝＋1－＝.
(2)由题意可知sin α≠cos α，则
＝
＝＝＝tan α.
因为tan α＝－2，所以原式＝tan α＝－2.
跟踪训练　－2　原式＝＝tan α.因为cos α＝，－＜α＜0，所以sin α＝－＝－，所以原式＝tanα＝＝－2.
例2　(1) 原式＝－·(－cos α)·(－sin α)＝－cos2α.
(2)因为左边＝＝
＝tan α＝右边，
所以原等式成立．
跟踪训练　左边＝
＝＝
＝＝＝，
右边＝＝，
所以左边＝右边，原式成立．
例3　(1) cos2＋cos2＝cos2＋cos2＝sin2＋cos2＝1.
(2)由题意，得sin A cos B tan C<0.
因为A，B，C∈(0，π)，所以sin A>0，
所以cos B tan C<0，
即cos B<0，tan C>0或tan C<0，cos B>0，
所以B为钝角或C为钝角，
所以△ABC是钝角三角形．
例4　(1) f(x)＝＝
＝－2sin2x.
由cosx≠0，得x≠＋kπ，k∈Z，
所以函数f(x)的定义域是{x|x≠＋kπ，k∈Z}，关于原点对称．
因为f(－x)＝－2sin2(－x)＝－2sin2x＝f(x)，所以f(x)是偶函数．
(2)因为f(α)＝－2sin2α＝，
所以－2(1－cos2α)＝，即2cos2α＋＝，解得cos2α＝或cos2α＝2(舍去).
又α∈，所以cosα＝，所以α＝.
跟踪训练　将已知方程组化为
由①2＋②2，得sin2α＋3cos2α＝2，
所以cos2α＝.
因为α∈，所以cosα＝，
所以α＝或α＝－.
将α＝代入②，得cos β＝.
因为β∈(0，π)，所以β＝.
将α＝，β＝代入①，符合条件；
将α＝－代入②，得cos β＝.
因为β∈(0，π)，所以β＝.
将α＝－，β＝代入①，不符合条件，舍去．
综上可知存在满足条件的角α，β，α＝，β＝.
【检测反馈】
1. A　因为角α的终边经过点P(－3，4)，所以sin α＝＝，cos α＝＝－，所以＝＝＝＝8.
2. B　因为A＋B＋C＝π，所以A＋B－C＝π－2C，A－B＋C＝π－2B.又sin ＝sin ，所以sin ＝sin ，所以sin ＝sin ，所以cos C＝cos B.又B，C为△ABC的内角，所以C＝B，所以△ABC为等腰三角形．
3. BCD　由题意，得sin α＝－，cos α＝，所以tan α＝－，sin (－α)＝－sin α＝，cos (π－α)＝－cos α＝－，cos ＝sin α＝－，故A错误，B，C，D正确．故选BCD.
4. 1　原式＝＝＝＝1.
5. (1) 由题意，得f(θ)＝＝＝－tan θ，
所以f＝－tan ＝－1.
(2) 由(1)及f(θ)＝2，得－tan θ＝2，则tan θ＝－2，
所以sin2θ＋sinθcos θ－cos2θ＝＝＝＝.