7.3.1 三角函数的周期性 学案（含答案） 2025-2026学年高一数学苏教版（2019）必修第一册

7.3.1　三角函数的周期性
了解周期函数的概念，会判断一些简单的、常见的函数的周期性，并会求一些简单三角函数的周期．
活动一 了解周期函数的概念
三角函数是刻画圆周运动的数学模型，那么“周而复始”的基本特征必定蕴含在三角函数的性质之中．单摆运动、时钟的圆周运动、四季变化等，都具有“周而复始”的基本特征．如今天是星期二，那么7天后的那天还是星期二，7k(k∈N*)天后的那天都是星期二．
由单位圆中的三角函数线可知，正弦、余弦函数值的变化呈现出周期现象．每当角增加(或减少)2π，所得角的终边与原来角的终边相同，故两角的正弦、余弦函数值也分别相同．这个规律可以用我们前面学习的哪个公式来说明呢？
思考1
如何用数学语言刻画函数的周期性？
思考2
正弦函数和余弦函数的周期是多少？
思考3
(1) 对于函数y＝sin x，x∈R，有sin (＋)＝sin ，能否说是它的周期？
(2) 如果函数f(x)的周期为T，那么2T是不是它的周期？3T，4T呢？你能发现一般规律吗？
思考4
一个周期函数的周期有多少个？周期函数的图象具有什么特征？
1. 对于一个周期函数f(x)，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么，这个最小的正数叫作f(x)的最小正周期．
2. 正弦函数和余弦函数的最小正周期是2π，正切函数的最小正周期是π.　　思考5
是不是所有的函数都有最小正周期？如：函数f(x)＝C(C为常数)是周期函数吗？如果是，那么周期是多少？最小正周期又是多少？
注意：如果不加特别说明，所说的周期一般都是指函数的最小正周期．
活动二 掌握周期函数的简单应用
例1　已知作周期性运动的钟摆的高度h(单位：mm)与时间t(单位：s)之间的函数关系如图所示．
(1) 求该函数的周期；
(2) 求t＝10 s时钟摆的高度．
活动三 求三角函数的周期
例2　求函数f(x)＝cos 2x的周期．
一般地，函数y＝A sin (ωx＋φ)及y＝A cos (ωx＋φ)(其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω＞0)的周期为，函数y＝A tan (ωx＋φ) (其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω＞0)的周期为.例如，对于函数g(x)＝2sin ，可直接由T＝求得g(x) 的周期为4π.
求下列函数的周期：
(1) y＝3sin ；
(2) y＝2cos .
活动四　函数周期性的判断　
例3　已知函数y＝f(x)，x∈R，满足f(x＋2)＝－f(x)对于一切x∈R都成立，求证：4是f(x)的一个周期．
设函数y＝f(x)，x∈R，若函数y＝f(x)为偶函数并且图象关于直线x＝a(a≠0)对称，求证：函数y＝f(x)为周期函数．
1. 判定或证明一个函数是周期函数，就是找出一个具体的非零常数T满足f(x＋T)＝f(x)对定义域中一切x都成立．
2. 若函数f(x)对定义域内的一切实数x满足f(x＋a)＝－f(x)或f(x＋a)＝或f(x＋a)＝－，则f(x)都是周期函数，且2a为它的一个周期，这里a为非零常数．
1. (2024上海延安中学期中)下列函数中，最小正周期为的是(　　)
A. y＝sin B. y＝sin 2x C. y＝cos 4x D. y＝|cos x|
2. 已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，当x∈[－1，1]时，f(x)＝x2＋1，则f(2 020.5)等于(　　)
A. B. C. 2 D. 1
3. (多选)下列函数图象中，具有周期性的是(　　)
A B C D
4. (2024肇东四中期末)若函数f(x)＝3cos 的最小正周期为π，则常数a＝________．
5. (2024聊城月考)已知函数f(x)＝sin x＋|sin x|，求证：2π为函数f(x)的一个周期．
7.3.1　三角函数的周期性
【活动方案】
背景引入：sin(2π＋x)＝sin x，cos (2π＋x)＝cos x.
思考1：设函数y＝f(x)的定义域为A.如果存在一个非零的常数T，使得对于任意的x∈A，都有x＋T∈A，并且f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫作周期函数，非零常数T叫作这个函数的周期．
思考2：易知2π是正弦函数和余弦函数的周期，且4π，6π，…以及－2π，－4π，…都是正弦函数和余弦函数的周期，即每一个常数2kπ(k∈Z且k≠0)都是这两个函数的周期．
思考3：(1) 不能．
(2) 2T，3T，4T均是函数f(x)的周期，kT(k∈Z且k≠0)都是函数的周期．
思考4：有无数个，周期函数的图象周期性重复出现．
思考5：不是．f(x)＝C是周期函数，周期是任意非零实数，无最小正周期．
例1　(1) 由图象可知，该函数的周期为1.5 s.
(2) 设h＝f(t)，由函数f(t)的周期为1.5 s，
可知f(10)＝f(1＋6×1.5)＝f(1)＝20，
所以t＝10 s时钟摆的高度为20 mm.
例2　设f(x)的周期为T，则f(x＋T)＝f(x)，即cos 2(x＋T)＝cos 2x对任意实数x都成立，也就是cos (u＋2T)＝cos u对任意实数u都成立，其中u＝2x.
由y＝cos u的周期为2π，可知使得cos (u＋2T)＝cos u对任意实数u都成立的2T的最小正值为2π，所以2T＝2π，即T＝π，所以f(x)＝cos 2x的周期为π.
跟踪训练　(1) 设f(x)＝3sin 的周期为T，则f(x＋T)＝f(x)，即3sin [(x＋T)＋]＝3sin (x＋)对任意实数x都成立，也就是sin ＝sin u对任意实数u都成立，其中u＝x＋.
由y＝sin u的周期为2π，可知使得sin (u＋T)＝sin u对任意实数u都成立的T的最小正值为2π，可知T＝2π，即T＝4，
所以y＝3sin (x＋)的周期为4.
(2) 设f(x)＝2cos ＝2cos (－)的周期为T，则f(x＋T)＝f(x)，即2cos [(x＋T)－]＝2cos (－)对任意实数x都成立，也就是cos (u＋T)＝cos u对任意实数u都成立，其中u＝－.
由y＝cos u的周期为2π，可知使得cos (u＋T)＝cos u对任意实数u都成立的T的最小正值为2π，可知T＝2π，即T＝4π，
所以y＝2cos (－＋)的周期为4π.
例3　由f(x＋2)＝－f(x)，
得f(x－2＋2)＝－f(x－2)，
所以f(x＋2)＝f(x－2)，所以f(x)＝f(x－4)，
所以4是f(x)的一个周期．
跟踪训练　由y＝f(x)的图象关于直线x＝a(a≠0)对称，得f(2a－x)＝f(x)，所以f(2a＋x)＝f(－x).
因为f(x)为偶函数，所以f(－x)＝f(x)，
所以f(2a＋x)＝f(x)，
所以f(x)是以2a为周期的函数．
【检测反馈】
1. C　由题意，得y＝sin 的最小正周期为4π，y＝sin 2x的最小周期为π，y＝cos 4x的最小正周期为，y＝|cos x|的最小正周期为π.
2. B　由f(x＋2)＝f(x)可知，函数f(x)的周期为2，当x∈[－1，1]时，f(x)＝x2＋1，所以 f(2 020.5)＝f＝f＝＋1＝.
3. ACD　抓住周期变化的特点：重复性，可知A，C，D为周期函数；对于B，图象不重复出现，故不符合题意．故选ACD.
4. ±2　因为函数f(x)＝3cos 的最小正周期为π，所以＝π，解得a＝±2.
5. 因为f(x＋2π)＝sin (x＋2π)＋|sin (x＋2π)|＝sin x＋|sin x|＝f(x)，
所以2π为函数f(x)的一个周期．