21.2 解一元二次方程（同步练习·含解析）-2025-2026学年人教版数学九年级上册

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21.2 解一元二次方程
一．选择题（共7小题）
1．如图，M是△ABC三条角平分线的交点，过M作DE⊥AM，分别交AB、AC于D，E两点，设BD＝a，DE＝b，CE＝c，关于x的方程ax2+bx+c＝0（　　）
A．一定有两个相等实根
B．一定有两个不相等实根
C．有两个实根，但无法确定是否相等
D．无实根
2．定义[x]表示不超过实数x的最大整数，如[1.4]＝1，[﹣1.2]＝﹣2，[﹣3]＝﹣3，则方程2[x]＝x2的解为（　　）
A．0或 B．0或2 C．2或 D．0或或2
3．设关于x的方程ax2+（a+2）x+9a＝0，有两个不相等的实数根x1、x2，且x1＜1＜x2，那么实数a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
4．设x1，x2是方程x2﹣2003x+2005＝0的两个实根，实数a，b满足：ax12003+bx22003＝2003，ax12004+bx22004＝2004，则ax12005+bx22005的值为（　　）
A．2005 B．2003 C．﹣2005 D．﹣2003
5．如图，E为矩形ABCD对角线AC上的一点，AE＝AB＝3，AD＝4，则方程x2+6x﹣16＝0的正数解是（　　）
A．线段AE的长 B．线段BE的长
C．线段CE的长 D．线段AC的长
6．若点（m，n）在第四象限，则关于x的一元二次方程x2﹣mx+n＝0的根的情况是（　　）
A．有两个相等的实数根
B．有两个不相等的实数根
C．无实数根
D．无法判定
7．对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法：
①若a+b+c＝0，则b2﹣4ac≥0；
②若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根；
③若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立；
④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则b2﹣4ac＝（2ax0+b）2．
其中正确的（　　）
A．只有①② B．只有①②④ C．①②③④ D．只有①②③
二．填空题（共8小题）
8．设x1、x2是方程x2﹣4x+1＝0的两个根，则x13﹣2x22+x1﹣1的值为　 　
9．α，β为关于x的一元二次方程x2x+2＝0的两个根，则代数式2α2+β2β﹣3的值为 　 　 ．
10．设a，b，c，d是四个不同的实数，如果a，b是方程x2﹣10cx﹣11d＝0的两根，c，d是方程x2﹣10ax﹣11b＝0的两根，那么a+b+c+d的值为　 　 ．
11．已知关于x的二次方程x2﹣2（a﹣2）x+a2﹣5＝0的两根为α、β，且αβ＝2α+2β，则a＝　 　 ，|α﹣β|＝　 　 ．
12．方程x2+2ax+a﹣4＝0恒有相异两实根，若方程x2+2ax+k＝0也有相异两实根，且其两根介于上面方程的两根之间，则k的取值范围是　 　 ．
13．若方程x2﹣4|x|+5＝m有4个互不相等的实数根，则m应满足　 　 ．
14．若关于x的方程（1﹣m2）x2+2mx﹣1＝0的所有根都是比1小的正实数，则实数m的取值范围是　 　 ．
15．已知有且只有一个数大于﹣2小于0，且满足关于x的方程ax2+x+a﹣3＝0，则a的取值范围是　 　 ．
三．解答题（共7小题）
16．已知关于x的方程（x﹣1）（x2﹣3x+m）＝0，m为实数．
（1）当m＝4时，求方程的根；
（2）若方程的三个实根中恰好有两个实根相等，求m的值；
（3）若方程的三个实根恰好能成为一个三角形的三边长，求m的取值范围．
17．已知关于x的一元二次方程x2﹣2（m﹣1）x+（m2﹣1）＝0有两个不相等的实数根x1，x2，且x12+x22＝4，求m值．
18．已知：关于x的一元二次方程mx2﹣（3m+2）x+2m+2＝0（m＞0）．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）设方程的两个实数根分别为x1，x2，若y是关于m的函数，且y＝mx1+mx2，求这个函数的解析式．
19．已知关于x的方程（k﹣1）x2+2x﹣5＝0有两个实数根a、b．
（1）求k的取值范围；
（2）若k是满足条件的最小整数，求a2+5ab+2a的值．
20．已知关于x的一元二次方程（1﹣2k）x2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若该方程的两根为x1，x2是否存在实数k，使x12+x22＝1，若存在，请求出k值，若不存在，请说明理由．
21．已知三整数a，b，c之和为13，且，求a的最大值和最小值，并求出此时相应的b与c的值．
22．已知关于x的一元二次方程kx2﹣4x+2＝0有实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若△ABC中，AB＝AC＝2，AB，BC的长是方程kx2﹣4x+2＝0的两根，求BC的长．
21.2 解一元二次方程
参考答案与试题解析
一．选择题（共7小题）
1．如图，M是△ABC三条角平分线的交点，过M作DE⊥AM，分别交AB、AC于D，E两点，设BD＝a，DE＝b，CE＝c，关于x的方程ax2+bx+c＝0（　　）
A．一定有两个相等实根
B．一定有两个不相等实根
C．有两个实根，但无法确定是否相等
D．无实根
【答案】A
【分析】M是△ABC三条角平分线的交点，过M作DE⊥AM，则得出∠BDM＝∠MEC＝∠BMC，即可得出△DBM∽△MBC，再求出△BMC∽△MEC，△DBM∽△EMC，即可得出：acb2，即可求解．
【解答】解：∵AM平分∠BAC，DE⊥AM，
∴∠ADM＝∠AEM，MD＝MEDEb，
∴∠BDM＝∠MEC＝90°∠BAC，
∴∠BMC＝90°∠BAC，
∴∠BDM＝∠MEC＝∠BMC，
∵M是△ABC的内角平分线的交点，
∴△DBM∽△MBC，
同理可得出：△BMC∽△MEC，
∴△DBM∽△EMC，
∴，
∴BD EC＝MD ME，
即：acb2，
即Δ＝b2﹣4ac＝0，
故选：A．
【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质和全等三角形判定与性质，根据已知得出∠BDM＝∠MEC＝∠BMC是解题关键．
2．定义[x]表示不超过实数x的最大整数，如[1.4]＝1，[﹣1.2]＝﹣2，[﹣3]＝﹣3，则方程2[x]＝x2的解为（　　）
A．0或 B．0或2 C．2或 D．0或或2
【答案】D
【分析】根据x2≥0，2[x]＝x2可得x≥0，分4种情况讨论：①0≤x＜1时，解得x＝0；②1≤x＜2时，解得x或x（舍）；③2≤x＜3时，解得x＝2或x＝﹣2（舍）；④x≥3时，方程无解．
【解答】解：∵x2≥0，2[x]＝x2，
∴x≥0，
①0≤x＜1时，x2＝0，解得x＝0；
②1≤x＜2时，x2＝2，解得x或x（舍）；
③2≤x＜3时，x2＝4，解得x＝2或x＝﹣2（舍）；
④x≥3时，方程无解；
综上所述：方程的解为x＝0或x＝2或x，
故选：D．
【点评】本题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法，理解取整的定义是解题的关键．
3．设关于x的方程ax2+（a+2）x+9a＝0，有两个不相等的实数根x1、x2，且x1＜1＜x2，那么实数a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】方法1、根据一元二次方程的根的判别式，建立关于a的不等式，求出a的取值范围．又存在x1＜1＜x2，即（x1﹣1）（x2﹣1）＜0，x1x2﹣（x1+x2）+1＜0，利用根与系数的关系，从而最后确定a的取值范围．
方法2、由方程有两个实数根即可得出此方程是一元二次方程，而x1＜1＜x2，可以看成是二次函数y＝ax2+（a+2）x+9a的图象与x轴的两个交点在1左右两侧，由此得出自变量x＝1时，对应的函数值的符号，即可得出结论．
【解答】解：方法1、∵方程有两个不相等的实数根，
则a≠0且Δ＞0，
由（a+2）2﹣4a×9a＝﹣35a2+4a+4＞0，
解得a，
∵x1+x2，x1x2＝9，
又∵x1＜1＜x2，
∴x1﹣1＜0，x2﹣1＞0，
那么（x1﹣1）（x2﹣1）＜0，
∴x1x2﹣（x1+x2）+1＜0，
即91＜0，
解得a＜0，
最后a的取值范围为：a＜0．
故选D．
方法2、由题意知，a≠0，令y＝ax2+（a+2）x+9a，
由于方程的两根一个大于1，一个小于1，
∴抛物线与x轴的交点分别在1两侧，
当a＞0时，x＝1时，y＜0，
∴a+（a+2）+9a＜0，
∴a（不符合题意，舍去），
当a＜0时，x＝1时，y＞0，
∴a+（a+2）+9a＞0，
∴a，
∴a＜0，
故选：D．
【点评】总结：1、一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）Δ＞0 方程有两个不相等的实数根；
（2）Δ＝0 方程有两个相等的实数根；
（3）Δ＜0 方程没有实数根．
2、根与系数的关系为：x1+x2，x1x2．
4．设x1，x2是方程x2﹣2003x+2005＝0的两个实根，实数a，b满足：ax12003+bx22003＝2003，ax12004+bx22004＝2004，则ax12005+bx22005的值为（　　）
A．2005 B．2003 C．﹣2005 D．﹣2003
【答案】D
【分析】由根与系数关系，x1，x2是方程x2﹣2003x+2005＝0的两个实根可得：x1+x2＝2003，x1×x2＝2005；
化简式子ax12005+bx22005的值为：（x1+x2）（ax12004+bx22004）﹣x1x2（ax12003+bx22003）；
将x1+x2＝2003，x1×x2＝2005，ax12003+bx22003＝2003，ax12004+bx22004＝2004代入即可得出结果．
【解答】解：x1，x2是方程x2﹣2003x+2005＝0的两个实根可得：x1+x2＝2003，x1×x2＝2005，
故ax12005+bx22005＝（x1+x2）（ax12004+bx22004）﹣x1x2（ax12003+bx22003），
＝2003×2004﹣2005×2003，
＝﹣2003．
故选：D．
【点评】本题主要考查了根与系数的关系以及利用已知条件对所求式子的化简，有一定难度，关键要掌握x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q．
5．如图，E为矩形ABCD对角线AC上的一点，AE＝AB＝3，AD＝4，则方程x2+6x﹣16＝0的正数解是（　　）
A．线段AE的长 B．线段BE的长
C．线段CE的长 D．线段AC的长
【答案】C
【分析】首先求出一元二次方程的解为x＝2或8，然后由矩形的性质得到BC＝AD＝4，∠ABC＝90°，利用勾股定理求出，进而得到CE＝AC﹣AE＝5﹣3＝2，即可求解．
【解答】解：x2+6x﹣16＝0，
（x﹣2）（x+8）＝0，
x﹣2＝0或x+8＝0，
解得x＝2或﹣8；
∵四边形ABCD是矩形，AE＝AB＝3，
∴BC＝AD＝4，∠ABC＝90°，
∴，
∴CE＝AC﹣AE＝5﹣3＝2．
∴方程x2+6x﹣16＝0的正数解是线段CE的长．
故选：C．
【点评】此题考查了解一元二次方程，矩形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点．
6．若点（m，n）在第四象限，则关于x的一元二次方程x2﹣mx+n＝0的根的情况是（　　）
A．有两个相等的实数根
B．有两个不相等的实数根
C．无实数根
D．无法判定
【答案】B
【分析】先利用第四象限点的坐标特征得到m＞0，n＜0，则判断Δ＞0，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．
【解答】解：方程x2﹣mx+n＝0的判别式Δ＝（﹣m）2﹣4n，
∵点P（m，n）在第四象限，
∴m＞0，n＜0，
∴（﹣m）2＞0，
∴Δ＝（﹣m）2﹣4n＞0，
方程mx2+x+n＝0有两个不相等的实数根．
故选：B．
【点评】本题考查了根的判别式，解题的关键掌握一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
7．对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法：
①若a+b+c＝0，则b2﹣4ac≥0；
②若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根；
③若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立；
④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则b2﹣4ac＝（2ax0+b）2．
其中正确的（　　）
A．只有①② B．只有①②④ C．①②③④ D．只有①②③
【答案】B
【分析】按照方程的解的含义、一元二次方程的实数根与判别式的关系、等式的性质、一元二次方程的求根公式等对各选项分别讨论，可得答案．
【解答】解：①若a+b+c＝0，则x＝1是方程ax2+bx+c＝0的解，
由一元二次方程的实数根与判别式的关系可知Δ＝b2﹣4ac≥0，故①正确；
②∵方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，
∴Δ＝0﹣4ac＞0，
∴﹣4ac＞0，
则方程ax2+bx+c＝0的判别式Δ＝b2﹣4ac＞0，
∴方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根，故②正确；
③∵c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，
则ac2+bc+c＝0，
∴c（ac+b+1）＝0，
若c＝0，等式仍然成立，
但ac+b+1＝0不一定成立，故③不正确；
④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，
则由求根公式可得：
x0或x0，
∴2ax0+b或2ax0+b，
∴．
故④正确．
故选：B．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的实数根与判别式的关系，牢固掌握二者的关系并灵活运用，是解题的关键．
二．填空题（共8小题）
8．设x1、x2是方程x2﹣4x+1＝0的两个根，则x13﹣2x22+x1﹣1的值为　13±24　
【答案】见试题解答内容
【分析】由题意：x1+x2＝4，x1x2＝1，可得x1﹣x2＝±±2，设A＝x13﹣2x22+x1﹣1，B＝x23﹣2x12+x2﹣1，求出A+B、A﹣B的值即可解决问题；
【解答】解：由题意：x1+x2＝4，x1x2＝1，可得x1﹣x2＝±±2，
设A＝x13﹣2x22+x1﹣1，B＝x23﹣2x12+x2﹣1，
则A+B＝x13﹣2x22+x1﹣1+x23﹣2x12+x2﹣1
＝（x1+x2）[（x1+x2）2﹣3x1x2]﹣2[（x1+x2）2﹣2x1x2]+4﹣2
＝4（16﹣3）﹣2（16﹣2）+2
＝26，
A﹣B＝x13﹣2x22+x1﹣1﹣（x23﹣2x12+x2﹣1）
＝（x1﹣x2）[（x1﹣x2）2+3x1x2]﹣2（x1+x2）（x1﹣x2）+（x1﹣x2）
＝±48，
∴2A＝26±48，
∴A＝13±24．
故答案为13±24．
【点评】本题考查根与系数的关系，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
9．α，β为关于x的一元二次方程x2x+2＝0的两个根，则代数式2α2+β2β﹣3的值为 　11　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】由根与系数的关系可知：α+β，α β＝2，而2α2+β2β﹣3＝2α2+β2+（α+β）β﹣3＝2（α2+β2）+αβ﹣3＝2（α+β）2﹣3αβ﹣3，然后把前面的值代入即可求出其值．
【解答】解：由根与系数的关系可知：
α+β，α β＝2，
而2α2+β2β﹣3
＝2α2+β2+（α+β）β﹣3
＝2（α2+β2）+αβ﹣3
＝2（α+β）2﹣3αβ﹣3
＝2×10﹣3×2﹣3
＝11．
故填空答案：11．
【点评】灵活运用根与系数的关系是解决本题的关键，特别是α+β这个式子的转换．
10．设a，b，c，d是四个不同的实数，如果a，b是方程x2﹣10cx﹣11d＝0的两根，c，d是方程x2﹣10ax﹣11b＝0的两根，那么a+b+c+d的值为　1210　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据根与系数的关系：若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数即可求解．
【解答】解：∵a，b是方程x2﹣10cx﹣11d＝0的两根，c，d是方程x2﹣10ax﹣11b＝0的两根，
∴a+b＝10c，c+d＝10a，∴a+b+c+d＝10（a+c）．
又a2﹣10ac﹣11d＝0，d＝10a﹣c，得a2﹣110a+11c﹣10ac＝0①，
同理有c2﹣110c+11a﹣10ac＝0②，
①﹣②得：（a﹣c）（a+c﹣121）＝0，
因为a≠c，故a+c＝121，
所以原式＝10（a+c）＝1210．
故答案为1210．
【点评】本题考查了根与系数的关系，解决本题的关键是掌握根与系数的关系．
11．已知关于x的二次方程x2﹣2（a﹣2）x+a2﹣5＝0的两根为α、β，且αβ＝2α+2β，则a＝　1　 ，|α﹣β|＝　　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】欲求|α﹣β|的值，先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，再利用根与系数的关系可得：α+β＝2（a﹣2），
αβ＝a2﹣5，而αβ＝2α+2β＝2（α+β），a2﹣5＝2[2（a﹣2）]，即可求得α的值，即可求得方程，解方程求得方程的两根，从而求得|α﹣β|的值．
【解答】解：由题意知，
α+β＝2（a﹣2），
αβ＝a2﹣5，
而αβ＝2α+2β＝2（α+β），
∴a2﹣5＝2[2（a﹣2）]，
∴a2﹣4a+3＝0，
解得：a1＝1，a2＝3．
又∵方程有两根，
∴Δ＝4（a﹣2）2+4（a2﹣5）＝﹣16a+36≥0，
∴a，
∴a2＝3舍去．
当a＝1时，原方程化为：x2+2x﹣4＝0，
解得，α＝﹣1，β＝﹣1，
∴|α﹣β|．
故填空答案：1，．
【点评】1、根与系数的关系为：x1+x2，x1x2．
2、将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
3、一元二次方程有根，则△≥0．
12．方程x2+2ax+a﹣4＝0恒有相异两实根，若方程x2+2ax+k＝0也有相异两实根，且其两根介于上面方程的两根之间，则k的取值范围是　a﹣4＜k＜a2　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】由方程x2+2ax+a﹣4＝0恒有相异两实根，则Δ＞0，而Δ＝4a2﹣4（a﹣4）＝4（a2﹣a+4）＝4[（a）2]，得a为任意实数，由方程x2+2ax+k＝0也有相异两实根，△′＝4a2﹣4k＞0，即k＜a2；并且它的两根介于上面方程的两根之间，可利用二次函数的图象继续求k的范围．
【解答】解：∵方程x2+2ax+a﹣4＝0恒有相异两实根，
∴Δ＞0，而Δ＝4a2﹣4（a﹣4）＝4（a2﹣a+4）＝4[（a）2]，
又∵方程x2+2ax+k＝0有相异两实根，
∴△′＝4a2﹣4k＞0，即k＜a2；
对于二次函数y1＝x2+2ax+a﹣4，y2＝x2+2ax+k，它们的对称轴相同，且与x轴都有两个不同得交点，要让y2与x轴两个交点都在y1与x轴两个交点之间，则要满足y2与y轴的交点在y1与y轴的交点上方，如图，
则有k＞a﹣4，
所以k的取值范围是 a﹣4＜k＜a2．
故答案为a﹣4＜k＜a2．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac．当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．同时考查了运用二次函数图象解决不等式的问题．
13．若方程x2﹣4|x|+5＝m有4个互不相等的实数根，则m应满足　1＜m＜5　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】方程含有绝对值，先化简原方程为两个方程，再利用一元二次方程有两个不等实数根时，根的判别式Δ＞0，建立关于m的不等式，结合y轴上的点的坐标，即可求m的取值范围．
【解答】解：设y＝|x|，则原方程为：y2﹣4y+5＝m，
∵方程x2﹣4|x|+5＝m有4个互不相等的实数根，
∴方程y2﹣4y+5＝m有2个互不相等的正实数根，
设y1与y2是方程y2﹣4y+5＝m的两个根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝16﹣4（5﹣m）＝4m﹣4＞0，y1 y2＝5﹣m＞0，
∴m＞1且m＜5．
故答案为：1＜m＜5．
【点评】总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）Δ＞0 方程有两个不相等的实数根；
（2）Δ＝0 方程有两个相等的实数根；
（3）Δ＜0 方程没有实数根．
注意方程中含有绝对值时，要把方程化为两个方程后分析求解．
14．若关于x的方程（1﹣m2）x2+2mx﹣1＝0的所有根都是比1小的正实数，则实数m的取值范围是　m＝1或m＞2　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】分1﹣m2＝0，1﹣m2≠0两种情况先求出原方程的实数根，再根据两个实数根都是比1小的正实数，列出不等式，求出m的取值范围．
【解答】解：当1﹣m2＝0时，m＝±1．
当m＝1时，可得2x﹣1＝0，x，符合题意；
当m＝﹣1时，可得﹣2x﹣1＝0，x，不符合题意；
当1﹣m2≠0时，（1﹣m2）x2+2mx﹣1＝0，
[（1+m）x﹣1][（1﹣m）x+1]＝0，
∴x1，x2．
∵关于x的方程（1﹣m2）x2+2mx﹣1＝0的所有根都是比1小的正实数，
∴01，解得m＞0，
01，解得m＞2．
综上可得，实数m的取值范围是m＝1或m＞2．
故答案为：m＝1或m＞2．
【点评】考查了解一元二次方程及解一元一次不等式，解题的关键是将二次项系数分1﹣m2＝0，1﹣m2≠0两种情况讨论求解．
15．已知有且只有一个数大于﹣2小于0，且满足关于x的方程ax2+x+a﹣3＝0，则a的取值范围是　1＜a≤3且a　 ．
【答案】1＜a≤3且a．
【分析】根据字母系数与方程的关系分情况讨论方程的解是否符合题意即可求出答案．
【解答】解：当a＝0时，x﹣3＝0，
∴x＝3，∵方程的解大于﹣2小于0，
∴x＝3不符合题意；
当a≠0时，原方程为一元二次方程，
①当x＝﹣2时，4a﹣2+a﹣3＝0，解得a＝1，
∴x2+x﹣2＝0，
解得x1＝﹣2，x2＝1，
不符合题意；
②当x＝0时，a＝3，
∴3x2+x＝0，
解得x1＝0，x2，符合题意．
当a2 [（﹣2）2a﹣2+2﹣3]（a﹣3）＜0，
化简，得a2（a2﹣4a+3）＜0，
∵a2＞0，
∴a2﹣4a+3＜0，
∴（a﹣1）（a﹣3）＜0，
∴或，
∴1＜a＜3或无解，
当Δ＝0时，1﹣4a（a﹣3）＝0，
∴a，
综上所述：a的取值范围是1＜a≤3且a，
故答案为：1＜a≤3且a．
【点评】本题考查了字母系数与方程的关系，解决本题的关键是分情况讨论．
三．解答题（共7小题）
16．已知关于x的方程（x﹣1）（x2﹣3x+m）＝0，m为实数．
（1）当m＝4时，求方程的根；
（2）若方程的三个实根中恰好有两个实根相等，求m的值；
（3）若方程的三个实根恰好能成为一个三角形的三边长，求m的取值范围．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）把m＝4代入方程，得出（x﹣1）（x2﹣3x+4）＝0，那么x﹣1＝0或x2﹣3x+4＝0，分别求解即可；
（2）由于x﹣1＝0时x1＝1，设方程x2﹣3x+m＝0的两根为x2，x3，分x2＝1，与x2＝x3两种情况进行讨论；
（3）设方程x2﹣3x+m＝0的两根为x2，x3，由根与系数的关系得出x2+x3＝3，x2 x3＝m．根据方程的三个实根恰好能成为一个三角形的三边长，得出，求解即可．
【解答】解：（1）m＝4时方程为（x﹣1）（x2﹣3x+4）＝0，
得x﹣1＝0或x2﹣3x+4＝0，
由x﹣1＝0得x＝1，
由x2﹣3x+4＝0得Δ＝9﹣16＝﹣7＜0，该方程无实数解，
故方程的实根为x＝1；
（2）由x﹣1＝0得x1＝1．
由x2﹣3x+m＝0，得Δ＝9﹣4m≥0，设方程两根为x2，x3，
若x2＝1，则1﹣3+m＝0，得m＝2，方程为x2﹣3x+2＝0，解得x2＝1，x3＝2符合题意；
若x2＝x3时，Δ＝9﹣4m＝0，得，方程为，得，符合题意．
综上知m＝2或；
（3）方程的三个实根满足x1＝1，
由x2﹣3x+m＝0，得Δ＝9﹣4m≥0，设方程两根为x2，x3，
则x2+x3＝3，x2 x3＝m，
方程的三个实根恰好能成为一个三角形的三边长，
则，
由|x2﹣x3|1，
得m＞2，
解得．
【点评】本题考查了根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2．也考查了根的判别式．
17．已知关于x的一元二次方程x2﹣2（m﹣1）x+（m2﹣1）＝0有两个不相等的实数根x1，x2，且x12+x22＝4，求m值．
【答案】见试题解答内容
【分析】首先根据根的判别式求得m的取值范围，然后利用根与系数的关系求得符合条件的m值．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2（m﹣1）x+（m2﹣1）＝0有两个不相等的实数根x1，x2，
∴Δ＝4（m﹣1）2﹣4（m2﹣1）＞0，x1+x2＝2（m﹣1），x1 x2＝m2﹣1，
∴m＜1，
∵x12+x22＝4，
∴（x1+x2）2﹣2x1 x2＝4，即4（m﹣1）2﹣2（m2﹣1）＝4，
解得m12（舍去），m2＝2．
综上所述，m的值是2．
【点评】此题考查了根与系数的关系和根的判别式，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系为：x1+x2，x1 x2．
18．已知：关于x的一元二次方程mx2﹣（3m+2）x+2m+2＝0（m＞0）．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）设方程的两个实数根分别为x1，x2，若y是关于m的函数，且y＝mx1+mx2，求这个函数的解析式．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）直接求出Δ＝b2﹣4ac与0的关系即可；
（2）先利用求根公式求出方程的两根，然后把两根代入y＝mx1+mx2中，再化简即可．
【解答】（1）证明：∵mx2﹣（3m+2）x+2m+2＝0是关于x的一元二次方程，
∴Δ＝[﹣（3m+2）]2﹣4m（2m+2）＝m2+4m+4＝（m+2）2，
∵当m＞0时，（m+2）2＞0，
∴方程有两个不相等的实数根；
（2）解：由求根公式，得x，
∴x或x＝1，
∴x1＝1，x2，
∴y＝mx1+mx2＝m（x1+x2）＝m（）＝3m+2，
即y＝3m+2为所求．
【点评】本题主要考查了根的判别式、根与系数的关系以及一元二次方程的定义的知识，解答（1）需要掌握根与Δ＝b2﹣4ac的关系，解答（2）需要利用求根公式用m表示出方程的根，此题难度不大．
19．已知关于x的方程（k﹣1）x2+2x﹣5＝0有两个实数根a、b．
（1）求k的取值范围；
（2）若k是满足条件的最小整数，求a2+5ab+2a的值．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据题意方程有两个实数根，则△≥0且k﹣1≠0，据此求出k的取值范围；
（2）首先求出k的最小整数，然后利用根与系数的关系求出代数式的值．
【解答】解：（1）∵关于x的方程（k﹣1）x2+2x﹣5＝0有两个实数根，
∴△≥0且k﹣1≠0，即4+20（k﹣1）≥0且k﹣1≠0，
∴k且k≠1；
（2）∵k是满足条件的整数，
∴k＝2，
∵a、b是方程x2+2x﹣5＝0的两个实数根，
∴a2+2a﹣5＝0，ab＝﹣5，
∴a2+2a＝5，
∴a2+5ab+2a＝5+5×（﹣5）＝﹣20．
【点评】本题主要考查了根的判别式的知识，解答本题的关键是根据根的判别式的意义求出k的取值范围，此题难度不大．
20．已知关于x的一元二次方程（1﹣2k）x2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若该方程的两根为x1，x2是否存在实数k，使x12+x22＝1，若存在，请求出k值，若不存在，请说明理由．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据关于x的一元二次方程（1﹣2k）x2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，得出，解不等式组即可得出答案；
（2）先假设存在实数k使得x12+x22＝1成立，根据根与系数的关系求出x1+x2与x1x2的值，再把x12+x22进行整理，求出k的值，从而得出答案．
【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程（1﹣2k）x2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，
∴，
解得：﹣1≤k＜2，且k，
∴k的取值范围是：﹣1≤k＜2，且k；
（2）假设存在实数k使得x12+x22＝1成立．
∵x1+x2，x1x2，
∴x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝（）2﹣21，
解得：k，
经检验知，k符合题意．
∴存在实数k，使得x12+x22＝1成立．
【点评】本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；
（2）Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；
（3）Δ＜0时，方程没有实数根．
也考查了根与系数的关系，一元二次方程的定义以及二次根式有意义的条件．
21．已知三整数a，b，c之和为13，且，求a的最大值和最小值，并求出此时相应的b与c的值．
【答案】见试题解答内容
【分析】设x，用a分别表示b、c，然后代入a+b+c＝13，得到关于x的一元二次方程x2+x+10，并且此方程有有理根，即△≥0；所以有3≥0，则a为整数，△为完全平方数，所以1≤a≤17，一一试数得到a的最小值为1，最大值为16，分别解方程求x的值，得到对应的b、c．
【解答】解：设x，则b＝ax，c＝ax2，由a+b+c＝13化为a（x2+x+1）＝13．
∵a≠0，
∴x2+x+10 ①
又因为a，b，c为整数，则方程①的解必为有理数．
即Δ＝1﹣4（1）3≥0，
解得1≤a，且为有理数．
故1≤a≤17，
当a＝1时，方程①化为x2+x﹣12＝0．
解得x1＝﹣4，x2＝3，
故amin＝1，b＝﹣4，c＝16；amin＝1，b＝3，c＝9．
当a＝16时，方程①化为x2+x0．
解得x1，x2．
故amax＝16，b＝﹣12，c＝9；amax＝16，b＝﹣4，c＝1．
【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式．当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．这里要构建一元二次方程；同时也考查了整除的性质和一元二次方程的解的方法．
22．已知关于x的一元二次方程kx2﹣4x+2＝0有实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若△ABC中，AB＝AC＝2，AB，BC的长是方程kx2﹣4x+2＝0的两根，求BC的长．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）若一元二次方程有实数根，则根的判别式Δ＝b2﹣4ac≥0，建立关于k的不等式，即可求出k的取值范围．
（2）由于AB＝2是方程kx2﹣4x+2＝0，所以可以确定k的值，进而再解方程求出BC的值．
【解答】解：（1）∵方程有实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×k×2＝16﹣8k≥0，
解得：k≤2，
又因为k是二次项系数，所以k≠0，
所以k的取值范围是k≤2且k≠0．
（2）由于AB＝2是方程kx2﹣4x+2＝0，
所以把x＝2代入方程，可得k，
所以原方程是：3x2﹣8x+4＝0，
解得：x1＝2，x2，
所以BC的值是．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式的应用，容易出现的错误是忽视根的判别式应用的前提条件：二次项系数k≠0．
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