7.4　三角函数应用 学案（含答案） 2025-2026学年高一数学苏教版（2019）必修第一册

7．4　三角函数应用
7.4.1　三角函数应用(1)
1. 能应用三角函数解决一些简单的实际问题．
2. 体会三角函数是描述周期现象的重要数学模型．
活动一 了解简谐运动
现实生活中存在大量的周期现象，如简谐运动、气温变化规律、月圆与月缺、涨潮与退潮等，可以利用三角函数建立一些周期性运动的数学模型．
思考1
怎样用三角函数刻画一些周期性运动呢？我们知道，匀速圆周运动的圆周上点P的纵坐标 y＝A sin (ωt＋φ)(其中，A表示圆的半径，ω表示圆周转动的角速度，φ表示点P的初始位置所对应的角).当物体做简谐运动(单摆、弹簧振子等)时，也是一种周期运动．那么如何用三角函数刻画呢？
思考2
在y＝A sin (ωx＋φ)中，各参数的物理意义是什么？
例1　如图，点O为做简谐运动的物体的平衡位置，取向右的方向为物体位移的正方向，若振幅为3 cm，周期为3 s，且从物体向右运动到距平衡位置最远处时开始计时．
(1) 求物体对平衡位置的位移x(单位：cm)和时间t(单位：s)之间的函数关系；
(2) 求该物体在t＝5 s时的位置．
已知弹簧上挂的小球做上下振动时，小球离开平衡位置的位移s(单位：cm)随时间t(单位：s)的变化规律为s＝4sin ，t∈[0，＋∞)(取向上的方向为正方向).
(1) 作出这个函数在一个周期内的简图；
(2) 小球在开始振动(t＝0)时，离开平衡位置的位移是多少？
(3) 小球往返振动一次需经过多长时间？
活动二　了解三角函数在水轮、摩天轮模型中的应用　
例2　一个半径为4 m的水轮如图所示，水轮圆心O距离水面2 m，已知水轮每分钟逆时针转动4圈，且当水轮上的点P从水中浮现时(图中点P0)开始计算时间．
(1) 将点P距离水面的高度y(单位：m.在水面下，则y为负数)表示为时间x(单位：s)的函数；
(2) 点P第一次到达最高点大约需要多长时间？
如图，一个摩天轮的半径为10 m，轮子的底部在地面上2 m处，已知此摩天轮每20 s转一圈，且当摩天轮上某人经过点P处(点P与摩天轮中心高度相同)时开始计时．
(1) 求此人相对于地面的高度关于时间的关系式；
(2) 在摩天轮转动的一圈内，约有多长时间此人相对于地面的高度不超过7 m
1. (2024连云港期末)人的心脏跳动时，血压在增加或减少．若某人的血压满足函数式p(t)＝110＋20sin (140πt)，其中p(t)为血压(单位：mmHg)，t为时间(单位：min)，则此人每分钟心跳的次数为(　　)
A. 50 B. 70 C. 90 D. 130
2. (2024源清中学期末)如图，P为射线y＝x与以坐标原点O为圆心的单位圆的交点，一动点在圆O上以P为起始点，沿逆时针方向运动，每2秒转一圈，则该动点的横坐标f(t)关于运动时间t的函数解析式是(　　)
A. f(t)＝sin B. f(t)＝sin
C. f(t)＝cos D. f(t)＝cos
3. (多选)已知弹簧振子以O为平衡位置，在B，C两点间做简谐振动，B，C相距20cm，若某时刻振子处在点B，经过0.5s振子首次到达点C，则下列说法中正确的是(　　)
A. 振动的振幅为10cm
B. 周期T＝1s
C. 弹簧振子在5s内通过的位移为200cm
D. 弹簧振子在5s内通过的路程为200cm
4. (2025烟台期末)如图是某摩天轮示意图，其半径为100m，最低点A与地面的距离为8m，每24分钟转动一圈．若该摩天轮上一吊箱B(视为质点)从点A出发，按顺时针方向匀速旋转，则吊箱B第4次距离地面158m时，所经历的时长为________min.
5. 水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征．如图是一个半径为R m的水车，当水车上水斗A从水中浮现时开始计算时间，点A沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60 s，经过t s后，水斗旋转到点P，已知点A(2，－2)，设点P的坐标为(x，y)，其纵坐标满足y＝f(t)＝R sin (ωt＋φ)(t≥0，ω>0，|φ|<).
(1) 求函数f(t)的解析式；
(2) 当水车转动一圈时，求点P到水面的距离不低于4 m的持续时间．
　　
7．4.2　三角函数应用(2)
1. 能应用三角函数的图象与性质解决一些简单的实际问题．
2. 理解三角函数是描述周期现象的重要数学模型，并能熟练运用．
活动一 港口水深的变化与三角函数
例1　海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐．一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头，卸货后，在落潮时返回海洋．下面是某港口在某天几个时刻与水深y(单位：m)的关系表：
时刻 0：00 3：00 6：00 9：00 12：00 15：00 18：00 21：00 24：00
水深/m 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0
(1) 选用一个三角函数来近似地描述这个港口的水深与时间的函数关系；
(2) 一艘货轮的吃水深度(船体最低点与水面的距离)为4.75 m，安全条例规定船体最低点与海底间隙至少要有1.5 m，请问该船何时能进出港口？
已知某海滨浴场海浪的高度y(单位：m)是时间t(0≤t≤24，单位：h)的函数，记作y＝f(t)，下表是某日各时的浪高数据：
t/h 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y/m 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1.0 0.5 0.99 1.5
经长期观测，y＝f(t)的曲线可近似地看成是函数y＝A cos ωt＋b.
(1) 根据以上数据，求函数y＝A cos ωt＋b的最小正周期T，振幅A及函数表达式；
(2) 依据规定，当海浪高度高于1 m时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内的8：00至20：00之间，有多少时间可供冲浪者进行运动？
三角函数模型构建的步骤：
(1) 收集数据，观察数据，发现是否具有周期性的重复现象；
(2) 制作散点图，选择函数模型进行拟合；
(3) 利用三角函数模型解决实际问题；
(4) 根据问题的实际意义，对答案的合理性进行检验．
活动二 了解解决三角函数应用题的一般步骤
例2　生物节律是描述体温、血压和其他易变的生理变化的每日生物模型．下表中给出了一昼夜人的体温的变化(从夜间零时开始计时).
时间/时 0 2 4 6 8 10 12
温度/℃ 36.8 36.7 36.6 36.7 36.8 37.0 37.2
时间/时 14 16 18 20 22 24
温度/℃ 37.3 37.4 37.3 37.2 37.0 36.8
(1) 作出这些数据的散点图；
(2) 选用一个三角函数来近似描述这些数据；
(3) 和散点图一起，画出(2)中所选函数的图象．
已知某地一天从4点到16点的温度变化曲线近似满足函数y＝10sin ＋20，x∈[4，16].
(1) 求该地区这一段时间内温度的最大温差；
(2) 如果有一种细菌在15 ℃到25 ℃之间可以生存，那么在这段时间内，该细菌能生存多长时间？
1. 现实生活中许多具有周期性的现象都可建立三角函数模型．如本例中一昼夜人的体温的变化，具有周而复始的特征，所以可用三角函数模型描述．
2. 建立三角函数模型解决实际问题的思路是：
(1) 收集与角有关的信息，确定相应的三角模型；
(2) 建立三角函数关系式；
(3) 求解；
(4) 作答．
活动三 三角函数模型在物理中的应用
例3　已知电流强度I(单位：A)与时间t(单位：s)的关系式是I＝A sin (ωt＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<).
(1) 若I＝A sin (ωt＋φ)在一个周期内的图象如图所示，试根据图象写出I＝A sin (ωt＋φ)的解析式；
(2) 为了使I＝A sin (ωt＋φ)中的t在任意一段 s的时间内电流强度I能同时取得最大值A与最小值－A，那么正整数ω的最小值是多少？
1. 三角函数模型在物理中的应用主要体现在简谐运动、电流强度、单摆、弹簧振子等随时间变化的问题．解决这类问题必须清楚振幅、频率、周期、初相、相位的实际意义和表示方法．
2. 将图形语言转化成符号语言，根据图形信息利用待定系数法，求函数模型y＝A sin (ωx＋φ)中的未知参数后，再由解析式及性质解决具体问题．
1. 在一个港口，相邻两次高潮发生的时间相距12 h，低潮时水深为9 m，高潮时水深为15 m．每天潮涨潮落时，该港口水的深度y(单位：m)关于时间t(单位：h)的函数图象可以近似地看成函数y＝A sin (ωt＋φ)＋k(A＞0，ω＞0)的图象，其中0≤t≤24，且t＝3时涨潮到一次高潮，则该函数的解析式可以是(　　)
A. y＝3sin ＋12 B. y＝－3sin ＋12
C. y＝3sin ＋12 D. y＝3cos ＋12
2. 电流I(单位：A)随时间t(单位：s)变化的函数I＝A sin (ωt＋φ)的图象如图所示，则当 t＝ s时，电流I等于(　　)
A. －5A B. 5A C. 5A D. 10A
(第2题) 　(第4题)
3. (多选)(2025濮阳期末)在天文观测中，某恒星的亮度随时间t(t∈R，单位：百年)的变化曲线可以用函数L(t)＝sin (ωt＋φ)＋m(ω>0，φ∈R，m∈R)来描述．观测发现在t＝1和t＝3时，该恒星的亮度均为m，而在t＝0时，恒星处于最亮状态，则下列说法中正确的是(　　)
A. 在区间[0，1]内，恒星亮度变化曲线的对称轴一定是奇数条
B. 在区间[－1，1]内，恒星的亮度为m的次数一定是偶数次
C. 在区间[－1，3]内，恒星处于最暗状态的次数一定是奇数次
D. 在区间[－3，1]内，恒星处于最暗状态的次数一定是偶数次
4. 如图表示相对于平均海平面的某海湾的水面高度h(单位：m)在某天0 h～24h的变化情况，则水面高度h关于时间t的函数关系式为__________________，当t＝8h时，水面高度为________m.
5. 如图，弹簧挂着的小球做上下运动，时间t(单位：s)与小球相对平衡位置(即静止时的位置)的高度h(单位：cm)之间的函数关系式是h＝2sin ，t∈[0，＋∞).
(1) 以t为横坐标，h为纵坐标，画出函数在长度为一个周期的闭区间上的简图；
(2) 小球经过多长时间往复振动一次？小球1s内能振动多少次？小球在什么时间内是升高状态？
7. 4　三角函数应用
7．4.1　三角函数应用(1)
【活动方案】
思考1：如图是单摆的示意图．点O为摆球的平衡位置，如果规定摆球向右偏移的位移为正，那么当摆球到达点C时，摆球的位移y达到最大值A；当摆球到达点O时，摆球的位移y为0；当摆球到达点D时，摆球的位移y达到反向最大值－A；当摆球再次到达点O时，摆球的位移y又为0；当摆球再次到达点C时，摆球的位移y又一次达到最大值A.这样周而复始，形成周期变化，其运动规律可以用三角函数表达为y＝A sin (ωx＋φ).
思考2：x表示时间，y表示相对于平衡位置的偏离；A表示物体运动时离开平衡位置的最大距离，称为振幅；往复运动一次所需要的时间T＝称为这个运动的周期；单位时间内往复运动的次数f＝＝称为运动的频率；ωx＋φ称为相位，x＝0时的相位φ称为初相位．
例1　(1) 设x＝3sin (ωt＋φ)(ω>0，0≤φ<2π)，
则由T＝＝3，得ω＝.
当t＝0时，x＝3sin φ＝3，则φ＝，
所以x＝3sin ＝3cos .
(2) 当t＝5时，x＝3cos ＝－1.5，
所以物体在t＝5 s时的位置是在点O的左侧 1.5 cm 处．
跟踪训练　(1) 依“五点法”作简图，列表如下：
t
2t＋ π 2π
s 4 0 －4 0 4
描点作图，如图所示：
(2) 将t＝0代入函数式，得s＝4sin ＝4sin ＝2，所以小球开始振动时，离开平衡位置的位移为2 cm.
(3) 函数的周期为T＝＝π，即小球往返振动一次所需的时间约为π s.
例2　(1) 如图，建立平面直角坐标系．
设角φ∈是以Ox为始边，OP0为终边的角．
易知OP在x s内所转过的角为x＝x，
故点P的纵坐标为4sin ，
则y＝4sin (x＋φ)＋2.
又当x＝0时，y＝0，可得sin φ＝－，
所以φ＝－，所以y＝4sin ＋2.
(2) 当点P第一次到达最高点时，
4sin ＋2＝6，即sin ＝1.
令x－＝，解得x＝5，
故点P第一次到达最高点大约需要5 s.
跟踪训练　(1) 设时间为t，相对于地面的高度为y.
由题意，得每秒旋转的角度为＝，
所以y＝10sin ＋12.
(2) 由题意，得10sin ＋12≤7，即sin ≤－，
所以≤≤，解得≤t≤，
－＝(s)，
所以约有 s此人相对于地面的高度不超过7 m.
【检测反馈】
1. B　由题意，得此人每分钟心跳的次数为＝70.
2. C　由题意，得动点的运动速度为＝πrad/s，射线y＝x对应的角度为θ＝，则该动点的横坐标f(t)与运动时间t的函数解析式为f(t)＝cos .
3. ABD　由题意知，振幅为10 cm，故A正确；因为经过0.5 s振子首次到达点C，即＝0.5，所以T＝1，故B正确；5 s内振子通过的路程为×20＝200(cm)，故D正确；因为5 s对应5个周期，所以振子又回到点B，位移为0 cm，故C错误．故选ABD.
4. 40　如图，以O为坐标原点，平行于地面的直线为x轴，建立平面直角坐标系，设吊箱B距离地面的高度为h，由题意，得φ＝，ω＝＝－，则h＝100sin ＋108＝－100cos t＋108，令h＝158，得cos t＝－，则t＝＋2kπ或t＝＋2kπ，k∈Z，解得t＝8＋24k或t＝16＋24k，k∈Z.因为第4次达到158m，所以当k＝1，即t＝40时，吊箱B第4次距离地面158m.
5. (1) 由题意，得R＝OA＝＝4，T＝＝60，则ω＝.
因为当t＝0时，点P在点A(2，－2)处，
所以f(0)＝4sin φ＝－2，即sin φ＝－，
所以φ＝－＋2kπ或φ＝＋2kπ，k∈Z.
因为|φ|<，所以φ＝－，
所以f(t)＝4sin .
(2) 当点P到水面的距离等于4 m时，y＝2，
故y＝2＝f(t)＝4sin ，
即sin ＝，
则t－＝或t－＝，
所以t1＝10，t2＝30，t2－t1＝20，
所以当水车转动一圈时，点P到水面的距离不低于4 m的持续时间为20 s.
7．4.2　三角函数应用(2)
【活动方案】
例1　(1) 设时间为x，所求函数为y＝A sin ωx＋k，则由已知数据可以得出A＝2.5，k＝5，T＝12，ω＝＝，
所以这个港口的水深与时间的函数关系为
y＝2.5sin ＋5，x∈[0，24].
(2) 货轮需要的安全水深为4.75＋1.5＝6.25(m)，
所以当y≥6.25时就可以进出港口．
令2.5sin ＋5≥6.25，得sin ≥，
所以2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z，
即12k＋1≤x≤12k＋5，k∈Z.
因为x∈[0，24]，所以1≤x≤5或13≤x≤17，
故货轮在1：00至5：00和13：00至17：00可以进出港口．
跟踪训练　(1) 由表中数据知周期T＝12，
所以ω＝＝＝.
由t＝0，y＝1.5，得A＋b＝1.5，
由t＝3，y＝1.0，得b＝1，
所以A＝0.5，b＝1，所以y＝cos ＋1，t∈[0，24].
(2) 由题意知，当y>1时才可对冲浪者开放，
所以cos ＋1>1，所以cos >0，
所以2kπ－<<2kπ＋，k∈Z，
即12k－3因为0≤t≤24，所以0≤k≤2，k∈Z.
所以0≤t<3或9所以在规定时间8：00至20：00之间，有6个小时的时间可供冲浪者运动，即9：00至15：00.
例2　(1) 设时间为t，温度为y，图象如图所示．
(2) 设t时的体温为y＝A sin (ωt＋φ)＋C，
则C＝＝37，A＝＝0.4，
ω＝＝，由0.4sin ＋37＝37.4，得sin (＋φ)＝1，取φ＝－，
故可用函数y＝0.4sin ＋37来近似描述这些数据．
(3) 如图所示．
跟踪训练　(1) 因为x∈[4，16]，
所以x－∈.　
由函数图象易知，当x－＝，即x＝14时，函数取最大值，即最高温度为30℃；
当x－＝－，即x＝6时，函数取最小值，即最低温度为10℃，
所以最大温差为30－10＝20(℃).
(2) 令10sin ＋20＝15，
可得sin ＝－.
又x∈[4，16]，所以x＝.
令10sin ＋20＝25，
可得sin (x－)＝.
又x∈[4，16]，所以x＝，
故该细菌的存活时间为－＝(h).
例3　(1) 由图可知A＝300，T＝－＝，
所以ω＝＝100π.
因为－＝－，所以φ＝＝，
所以I＝300sin .
(2) 问题等价于T≤，即≤，
所以ω≥200π，所以最小正整数ω＝629.
【检测反馈】
1. A　由相邻两次高潮的时间间隔为12 h，知T＝12，且T＝12＝(ω＞0)，得ω＝.又由高潮时水深15 m和低潮时水深9 m，得A＝3，k＝12.由题意知，当t＝3时，y＝15.将t＝3，y＝15代入解析式y＝3sin ＋12中，得3sin (×3＋φ)＋12＝15，得×3＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，解得φ＝2kπ(k∈Z)，所以该函数的解析式可以是y＝3sin ＋12＝3sin ＋12.
2. A　由图象，得A＝10，＝－＝，所以ω＝＝100π，所以I＝10sin (100πt＋φ).又为五点中的第二个点，所以100π×＋φ＝，所以φ＝，所以I＝10sin .当t＝ s 时，I＝－5 A.
3. BC　当ω＝时，在区间[0，1]内恒星亮度变化曲线有2条对称轴，故A错误；因为当t＝0时，恒星处于最亮状态，即函数L(t)取最大值，所以φ＝＋2kπ，k∈Z，故L(t)＝sin ＋m，则直线t＝0是函数L(t)的对称轴．又区间[－1，1]关于t＝0对称，所以恒星的亮度为m的次数一定是偶数次，故B正确；因为当t＝1和t＝3时，该恒星的亮度均为m，且当t＝0时恒星处于最亮状态，L(1)＝cos ω＋m＝m，所以cos ω＝0，则L(2)＝cos 2ω＋m＝2cos2ω－1＋m＝m－1，即当t＝2时，L(t)取最小值．在区间[－1，1]内，恒星处于最暗状态的次数一定是偶数次．在区间[1，3]内，因为区间关于t＝2对称，且当t＝2时取最小值，所以恒星处于最暗状态的次数一定是奇数次，故在区间[－1，3]内，恒星达到最暗状态的次数一定是奇数次，故C正确；当ω＝时，T＝＝4，则在区间[－3，1]内恒星处于最暗状态的次数只有1次，故D错误．故选BC.
4．h＝－6sin (0≤t≤24)　3　设h＝A sin (ωt＋φ)(A＞0，ω＞0)，由图象知A＝6，T＝12＝，则ω＝＝.因为(6，0)为“五点法”作图中的第一点，故×6＋φ＝0，得φ＝－π，所以 h＝6sin ＝－6sin (0≤t≤24).当 t＝8 h时，h＝3 m.
5. (1) 画出函数h＝2sin 的简图(长度为一个周期).
列表：
t 0 π
2t＋ π 2π
2sin 2 0 －2 0
描点连线，如图所示．
(2) 小球往复振动一次所需时间即周期T＝＝π≈3.14(s).
小球1s内振动的次数为频率f＝＝≈0.318(次).
令－＋2kπ≤2t＋≤＋2kπ，k∈Z，
则－＋kπ≤t≤＋kπ，k∈Z，
又t∈[0，＋∞)，所以小球在区间或区间(k∈Z，k≥1)内是升高状态．