8.1.1 函数的零点 学案（含答案） 2025-2026学年高一数学苏教版（2019）必修第一册

8.1.1　函数的零点
1. 结合二次函数的零点，了解函数零点与方程解的关系．
2. 结合具体连续函数及其图象的特点，了解函数零点存在定理．
3. 能进行简单的函数与方程的转化，体会函数与方程在一定条件下的统一性．
活动一 函数零点的定义
下图是某地气象局测得当地一天的气温变化模拟函数图(即一个连续不间断的函数图象)，由于图象中有一段被墨水污染了，有人想了解一下当天7 h到11 h之间有没有可能出现温度是0 ℃，你能帮助他做出正确的判断吗？
思考1
前面我们学习过，使二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的值为0的实数x称为二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点，那么你能给函数y＝f(x)的零点下个定义吗？
思考2
二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点就是关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的实数解，也是二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点的横坐标．那么，函数y＝f(x)有零点可等价于哪些说法？
思考3
你能说出函数①y＝lg x；②y＝lg (x＋1)；③y＝2x；④y＝2x－2的零点吗？
函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，也就是函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标，所以函数的零点是一个数，而不是一个点．在写函数零点时，所写的一定是一个数字，而不是一个坐标.
活动二　函数零点存在定理　
例1　判断函数f(x)＝x2－2x－1在区间(2，3)上是否存在零点．
思考4
你能归纳出判断函数y＝f(x)在区间(a，b)上存在零点的一般方法吗？
思考5
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条不间断的曲线，函数y＝f(x)在区间(a，b)上存在零点，f(a)·f(b)<0是否一定成立？
思考6
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条不间断的曲线，并且有f(a)·f(b)<0，满足了上述两个条件后，函数的零点是唯一的吗？还要添加什么条件可以保证函数有唯一零点？
函数y＝f(x)在区间(a，b)上有零点，但不一定有f(a)·f(b)<0.也就是说上述定理不可逆.
活动三　判断零点是否存在　
例2　求证：函数f(x)＝x3＋x2＋1在区间(－2，－1)上存在零点．
例3　求证：函数f(x)＝2x＋2x－3有零点．
函数f(x)＝3x－x2在区间[－1，0]上是否存在零点？为什么？
活动四　判断函数零点的个数
例4　求函数f(x)＝ln x＋2x－6的零点的个数．
本题不用计算列表、画图象也可得到结论：(1) 寻找函数值符号的变化规律，如f(2)，f(3)的符号，由f(2)＝ln 2－2＝ln 2－ln e2<0，f(3)＝ln 3＋0>0，所以f(2)·f(3)<0.(2) 通过作出函数y＝ln x，y＝－2x＋6的图象，观察两图象的交点个数得出结论. 也就是将函数f(x)＝ln x＋2x－6的零点个数转化为函数y＝ln x与y＝－2x＋6的图象交点的个数．
根据表格中的数据，可以判断方程ex－(x＋2)＝0(e≈2.72)的一个根所在的区间是 (　　)
A. (－1，0) B. (0，1)
C. (1，2) D. (2，3)
x －1 0 1 2 3
ex 0.37 1 2.72 7.40 20.12
x＋2 1 2 3 4 5
例5　求函数f(x)＝2x＋lg (x＋1)－2的零点个数．
判断函数f(x)＝x－3＋ln x的零点个数．
判断函数零点个数的常用方法：
(1) 解方程f(x)＝0，方程f(x)＝0解的个数就是函数f(x)零点的个数．
(2) 直接作出函数f(x)的图象，图象与x轴交点的个数就是函数f(x)零点的个数．
(3) 化函数的零点个数问题为方程g(x)＝h(x)的解的个数问题，在同一坐标系下作出y＝g(x)和y＝h(x)的图象，利用图象判定方程根的个数．
(4) 若证明一个函数的零点唯一，也可先由零点存在定理判断出函数有零点，再证明该函数在定义域上单调．
1. (2025石家庄二中期末)函数f(x)＝ln x－的零点所在大致区间是(　　)
A. (1，2) B. (2，e) C. (e，3) D. (3，e2)
2. (2025广东18校期末)若函数f(x)＝ax＋b(a≠0)有一个零点是1，则函数g(x)＝ax3＋bx的零点是(　　)
A. 0，2 B. －1，3 C. －1，0，4 D. －1，0，1
3. (多选)(2025沧州期末)已知函数f(x)＝2cos ＋1，若对任意的t∈[0，2]，函数g(x)＝f(x)－t(0A. B. C. D.
4. (2025三明期末)已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－a有三个不同的零点，则实数a的取值范围是________．
5. (2025承德期末)已知函数f(x)＝4x－2x－3x，求证：f(x)在区间(1，2)上至少有一个零点．
8.1.1　函数的零点
【活动方案】
背景引入：出现了温度是0 ℃.
思考1：一般地，我们把使函数y＝f(x)的值为0的实数x称为函数y＝f(x)的零点．
思考2：函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数解．从图象看，函数y＝f(x)的零点，就是它的图象与x轴交点的横坐标．
函数y＝f(x)有零点 函数y＝f(x)的图象与 x轴有交点 方程f(x)＝0有实数解．
思考3：①1　②0　③没有零点　④1
例1　如图所示，因为f(2)＝－1<0，f(3)＝2>0，而二次函数f(x)＝x2－2x－1在区间[2，3]上的图象是不间断的，这表明此函数图象在区间(2，3)上一定穿过x轴，即函数在区间(2，3)上存在零点．
思考4：若函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条不间断的曲线，且f(a)·f(b)<0，则函数 y＝f(x)在区间(a，b)上有零点．
思考5：不一定成立，由下图可知，函数y＝f(x)在区间(a，b)上存在零点，但此时f(a)·f(b)>0，所以f(a)·f(b)<0不一定成立．
思考6：函数零点不一定唯一，由下图可知，还需添加函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调．
例2　因为f(－2)＝(－2)3＋(－2)2＋1＝－3<0，f(－1)＝(－1)3＋(－1)2＋1＝1>0，
且函数f(x) 在区间[－2，－1]上的图象是不间断的，所以函数f(x)在区间(－2，－1)上存在零点．
例3　因为f(0)＝20＋2×0－3＝－2＜0，f(1)＝21＋2×1－3＝1＞0，且函数f(x) 在区间[0，1]上的图象是不间断的，所以函数f(x)＝2x＋2x－3在区间(0，1)上有零点，从而函数f(x)＝2x＋2x－3有零点．
跟踪训练　函数f(x)＝3x－x2在区间[－1，0]上存在零点．理由如下：
因为f(－1)＝3-1－(－1)2＝－＜0，
f(0)＝30－02＝1＞0，
且函数f(x)在区间[－1，0]上的图象是不间断的，
所以函数f(x)＝3x－x2在区间[－1，0]上存在零点．
例4　用计算器或计算机作出x，f(x)的对应值表如下：
x f(x)
1 －4
2 －1.306 9
3 1.098 6
4 3.386 3
5 5.609 4
6 7.791 8
7 9.945 9
8 12.079 4
9 14.197 2
由上表可知f(2)<0，f(3)>0，即f(2)·f(3)<0，说明这个函数在区间(2，3)上有零点．
因为函数f(x)在定义域(0，＋∞)上是增函数，
所以函数f(x)仅有一个零点．
跟踪训练　C　令f(x)＝ex－(x＋2)，则f(－1)≈0.37－1<0，f(0)＝1－2<0，f(1)≈2.72－3<0，f(2)≈7.40－4>0.因为f(1)·f(2)<0，所以方程ex－(x＋2)＝0的一个根在区间(1，2)上．
例5　因为f(0)＝1＋0－2＝－1<0，f(1)＝2＋lg 2－2＝lg 2>0，所以f(x)在区间(0，1)上必定存在零点．
显然f(x)＝2x＋lg (x＋1)－2在区间(－1，＋∞)上单调递增，故函数f(x)有且只有一个零点．
跟踪训练　方法一：令f(x)＝x－3＋ln x＝0，
则ln x＝3－x.
在同一平面直角坐标系内画出函数y＝ln x与 y＝－x＋3的图象，如图所示．
由图可知函数y＝ln x与y＝－x＋3的图象只有一个交点，即函数f(x)＝x－3＋ln x只有一个零点．
方法二：因为f(3)＝ln 3>0，f(2)＝－1＋ln 2＝ln <0，所以f(3)·f(2)<0，说明函数f(x)＝x－3＋ln x在区间(2，3)内有零点．
又f(x)＝x－3＋ln x在区间(0，＋∞)上单调递增，
所以函数f(x)只有一个零点．
【检测反馈】
1. A　由题意，得f(x)＝ln x－的定义域为(0，＋∞).因为y＝ln x与y＝－在区间(0，＋∞)上单调递增，所以f(x)＝ln x－在区间(0，＋∞)上单调递增．又f(1)＝－1<0，f(2)＝ln 2－>0，所以f(1)·f(2)<0，由函数零点存在定理可得函数f(x)＝ln x－的零点所在大致区间为(1，2).
2. D　由题意，得f(1)＝a＋b＝0，则b＝－a，故g(x)＝ax3＋bx＝ax3－ax.令g(x)＝0，则ax3－ax＝ax(x－1)(x＋1)＝0，解得x＝0或x＝1或x＝－1，所以函数g(x)＝ax3＋bx的零点是－1，0，1.
3. AB　由04. (－2，0)　令g(x)＝f(x)－a＝0，则f(x)＝a有三个不同的解，所以方程－ax＋2＝a在x0，解得－21；方程x2－6x＋6＝a在x≥a上存在两个解，令h(x)＝x2－6x＋6－a，函数图象的对称轴是直线x＝3，则解得－35. 由题意，得f(1)＝－1，f(2)＝6.
因为f(x)的图象是一条连续不断的曲线，且f(1)f(2)＝－6<0，
所以f(x)在区间(1，2)上至少有一个零点．