8.1.2　用二分法求方程的近似解 学案（含答案） 2025-2026学年高一数学苏教版（2019）必修第一册

8．1.2　用二分法求方程的近似解
1. 探索二分法求方程近似解的思路并会画程序框图．
2. 能借助计算器用二分法求方程的近似解，了解用二分法求方程近似解具有一般性．
活动一 二分法的概念
对于方程lg x＝3－x，要求出这个方程的解是比较困难的，我们能否求出这个方程的近似解呢？让我们先从熟悉的一元二次方程开始研究．例如，求方程x2－2x－1＝0的实数解就是求函数f(x)＝x2－2x－1的零点．
思考1
我们已经知道函数f(x)＝x2－2x－1在区间(2，3)上存在零点，那么方程x2－2x－1＝0在区间(2，3)上的实数解唯一吗？
思考2
如何缩小零点所在区间(2，3)的范围？
思考3
区间分成两段后，又怎样确定零点在哪一个小的区间内呢？
思考4
假设f(2.5)＝0说明什么？
思考5
如何进一步地缩小零点所在的区间？
思考6
若给定精确度0.1，如何选取近似值？
对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近函数f(x)的零点，进而得到零点近似值的方法称为二分法．
运用二分法的前提是要先判断零点所在的区间．
活动二　用二分法求函数零点近似值的步骤　
思考7
下列图象中的函数，能否用二分法求函数零点的近似值？为什么？
　　
用二分法求方程近似解的步骤
给定精确度ε，用二分法求函数y＝f(x)零点x0的近似值的一般步骤：
(1) 确定零点x0所在的初始区间[a，b]，验证f(a)f(b)<0.
(2) 求区间(a，b)的中点c＝.
(3) 计算f(c)并进一步确定零点x0所在的区间：
①若f(c)＝0(此时x0＝c)，则c就是函数的零点；
②若f(a)f(c)<0(此时x0∈(a，c))，则令b＝c；
③若f(c)f(b)<0(此时x0∈(c，b))，则令a＝c.
(4) 判断是否达到精确度ε：若|b－a|<ε，则得到零点的近似值a(或b)；否则重复步骤(2)～(4).
由函数零点与相应方程解的关系，我们可用二分法来求方程的近似解．
活动三　用二分法求方程的近似解　
思考8
如何把求方程的近似解化归为求函数的零点？
例1　利用计算器，求方程lg x＝3－x的近似解(精确度为0.1).
用二分法求方程的近似解，即求函数零点的近似值关键有两点：一是初始区间的选取，符合条件(包括零点)，又要使其长度尽量小；二是进行精确度的判断，以决定是停止计算还是继续计算.
借助计算器用二分法求方程2x＋3x＝7的近似解(精确度为0.1).
例2　利用计算器，求方程sin x＝1－x的近似解(精确度为0.1).
思考9
用二分法求方程的一个近似解的操作流程是怎样的？
“二分法”与判定函数零点的定义密切相关，只有满足函数图象在零点附近连续且在该零点左右函数值异号时才能应用“二分法”求函数的零点．
用二分法求函数f(x)＝3x－x－4的一个零点近似值，其参考数据如下：
f(1.600 0)≈0.200 f(1.587 5)≈0.133
f(1.575 0)≈0.067 f(1.562 5)≈0.003
f(1.556 2)≈－0.029 f(1.550 0)≈－0.060
根据表中的数据，求方程3x－x－4＝0的一个近似解(精确度为0.01).
1. (2024利川一中期末)下列方程中，不能用二分法求近似解的为(　　)
A. log2x＋x＝0 B. ex＋x＝0 C. x2－2x＋1＝0 D. ＋ln x＝0
2. (2024上海大同中学月考)用二分法求方程x3－2x－5＝0在区间(2，3)上的实数解，取区间中点三次，可以确定根所在的最小区间是(　　)
A. (2，2.5) B. (2，2.25) C. (2，2.125) D. (2.062 5，2.125)
3. (多选)(2024武汉六中月考)某同学利用二分法求函数f(x)＝ln x＋2x－6的零点时，用计算器算得部分函数值如下表所示，则函数f(x)＝ln x＋2x－6的零点的近似值(精确度为0.1)可取为(　　)
f(2)≈－1.307 f(2.5)≈－0.084 f(2.562 5)≈0.066
f(2.625)≈0.215 f(2.75)≈0.512 f(3)≈1.099
A. 2.49 B. 2.52 C. 2.55 D. 2.58
4. (2025徐汇期末)用二分法求函数y＝f(x)在区间(2，3)上的零点的近似值，由计算，得f(2)＝－2，f(3)＝0.625，f(2.5)＝－0.984，f(2.75)＝－0.26.下一个求f(m)，则m＝________．
5. 利用计算器，求方程2x＋x＝4的近似解(精确度为0.1).
8．1.2　用二分法求方程的近似解
【活动方案】
思考1：因为f(2)<0，f(3)>0，所以函数f(x)在区间(2，3)上有零点．又因为在区间(2，3)上函数 f(x)是单调递增的，所以方程x2－2x－1＝0在区间(2，3)上有唯一实数解x1.
思考2：取区间(2，3)的中点2.5.
思考3：计算f(2.5)的值，f(2.5)＝0.25.
因为f(2)·f(2.5)＜0，所以零点x1∈(2，2.5).
思考4：若f(2.5)＝0，则2.5就是函数的零点．
思考5：再取区间(2，2.5)的中点2.25，计算得
f(2.25)＝－0.437 5＜0，
所以零点x1∈(2.25，2.5).如此继续下去，得
f(2)＜0，f(3)＞0 x1∈(2，3)，
f(2)＜0，f(2.5)＞0 x1∈(2，2.5)，
f(2.25)＜0，f(2.5)＞0 x1∈(2.25，2.5)，
f(2.375)＜0，f(2.5)＞0 x1∈(2.375，2.5)，
f(2.375)＜0，f(2.437 5)＞0 x1∈(2.375，2.437 5).
思考6：因为|2.437 5－2.375|＝0.062 5<0.1，所以区间(2.375，2.437 5)内的任何一个数x都满足|x－x1|<0.1，即区间(2.375，2.437 5)内的任何一个数都可以作为x1的近似值，也可以取2.375作为满足精确度要求的一个近似解．
思考7：不能．因为不存在一个区间[a，b]，使f(a)·f(b)<0.
思考8：对于求形如f(x)＝g(x)的方程的近似解，可以通过移项转化成求形如f(x)－g(x)＝0的方程的近似解，然后按照二分法求函数零点近似值的步骤求解．
例1　分别画出函数y＝lg x和y＝3－x的图象，如图所示．
在两个函数图象的交点处，函数值相等，因此，这个点的横坐标就是方程lg x＝3－x的解．
由图知，方程lg x＝3－x有唯一解，记为x1，且x1∈(2，3).
设f(x)＝lg x＋x－3，用计算器计算，得
f(2)＜0，f(3)＞0 x1∈(2，3)，
f(2.5)＜0，f(3)＞0 x1∈(2.5，3)，
f(2.5)＜0，f(2.75)＞0 x1∈(2.5，2.75)，
f(2.5)＜0，f(2.625)＞0 x1∈(2.5，2.625)，
f(2.562 5)＜0，f(2.625)＞0 x1∈(2.562 5，2.625).
因为|2.625－2.562 5|＝0.062 5<0.1，所以原方程的近似解可取为2.562 5.
跟踪训练　令f(x)＝2x＋3x－7，
则f(1)＝－2<0，f(2)＝3>0，
所以f(1)·f(2)<0，说明函数f(x)＝2x＋3x－7在区间(1，2)内有零点．
又f(x)在其定义域内是增函数，
所以函数f(x)只有一个零点，记为x0，则x0∈(1，2).
用计算器计算，得
f(1)<0，f(2)>0 x0∈(1，2)，
f(1)<0，f(1.5)>0 x0∈(1，1.5)，
f(1.25)<0，f(1.5)>0 x0∈(1.25，1.5)，
f(1.375)<0，f(1.5)>0 x0∈(1.375，1.5)，
f(1.375)<0，f(1.437 5)>0 x0∈(1.375，1.437 5).
因为|1.437 5－1.375|＝0.062 5<0.1，
所以原方程的近似解可取为1.375.
例2　因为方程sin x＝1－x可化为x＋sin x－1＝0，所以原方程的解即函数f(x)＝x＋sin x－1的零点．先画出函数y＝sin x和y＝1－x的图象，如图所示．
观察图象，因为f(0)＝－1＜0，f(1)＝sin 1＞0，
所以函数f(x)的零点在区间(0，1)内，记为x0.
用计算器计算，得
f(0)＜0，f(1)＞0 x0∈(0，1)，
f(0.5)＜0，f(1)＞0 x0∈(0.5，1)，
f(0.5)＜0，f(0.75)＞0 x0∈(0.5，0.75)，
f(0.5)＜0，f(0.625)＞0 x0∈(0.5，0.625)，
f(0.5)＜0，f(0.562 5)＞0 x0∈(0.5，0.562 5).
因为|0.562 5－0.5|＝0.062 5<0.1，所以原方程的近似解可取为0.5.
思考9：
在上述操作过程中，如果存在c，使得f(c)＝0，那么c就是方程f(x)＝0的一个精确解．
跟踪训练　因为f(1.562 5)·f(1.556 2)<0，所以函数的零点在区间(1.556 2，1.562 5)内．
因为|1.562 5－1.556 2|＝0.006 3<0.01，所以方程3x－x－4＝0的一个近似解可取为1.556 2.
【检测反馈】
1. C　对于A，f(x)＝log2x＋x在区间(0，＋∞)上连续且单调递增，且f＝－1＋<0，f(1)＝1>0，可以使用二分法，故A错误；对于B，f(x)＝ex＋x在R上连续且单调递增，且f(0)＝1>0，f(－1)＝e-1－1<0，可以使用二分法，故B错误；对于C，x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，故不可以使用二分法，故C正确；对于D，f(x)＝＋ln x在区间(0，＋∞)上连续且单调递增，且f＝－1<0，f(1)＝1>0，可以使用二分法，故D错误．
2. C　令f(x)＝x3－2x－5，则f(2)＝－1，f(3)＝16.因为f(2.5)＝5.625，f(2.25)＝1.890 625，f(2.125)＝0.345 703 125，所以方程x3－2x－5＝0在区间(2，2.125)上有实数解．
3. BC　因为函数f(x)＝ln x＋2x－6在其定义域上单调递增，结合表格可知，方程ln x＋2x－6＝0的唯一近似解在区间(2.5，2.562 5)内．又精确度为0.1，所以方程ln x＋2x－6＝0的近似解(精确度0.1)可取为2.52或2.55.故选BC.
4. 2.875 由二分法的求解过程，得下一个f(m)为f＝f(2.875)，所以m＝2.875.
5. 方程2x＋x＝4可以化为2x＝4－x.如图，分别作出函数 y＝2x与y＝4－x的图象，由图象知，方程 2x＋x＝4的解x1在区间(1，2)内．
设f(x)＝2x＋x－4，用计算器计算，得
f(1)<0，f(2)>0 x1∈(1，2)，
f(1)<0，f(1.5)>0 x1∈(1，1.5)，
f(1.25)<0，f(1.5)>0 x1∈(1.25，1.5)，
f(1.375)<0，f(1.5)>0 x1∈(1.375，1.5)，
f(1.375)<0，f(1.437 5)>0 x1∈(1.375，1.437 5).
因为|1.437 5－1.375|＝0.062 5<0.1，所以原方程的近似解可取为1.375.