22.1 二次函数的图象和性质（同步练习·含解析）-2025-2026学年人教版数学九年级上册
文档属性
| 名称 | 22.1 二次函数的图象和性质（同步练习·含解析）-2025-2026学年人教版数学九年级上册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.7MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-09-11 21:53:08 | ||
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文档简介
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22.1 二次函数的图象和性质
一．选择题（共7小题）
1．在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx（k为常数）与抛物线yx2﹣2交于A，B两点，且A点在y轴左侧，P点坐标为（0，﹣4），连接PA，PB．有以下说法：
①PO2＝PA PB； ②当k＞0时，（PA+AO）（PB﹣BO）的值随k的增大而增大；
③当k时，BP2＝BO BA；④△PAB面积的最小值为4，
其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．抛物线y＝x2+kx+4k在直线y＝16下方的图象上恰好有五个横坐标为整数的点，则k的值不可能是（ ）
A．2 B． C．13 D．4π+1
3．如图，函数y＝ax2+bx+c的图象过点（﹣1，0）和（m，0），请思考下列判断：
①abc＜0；②4a+c＜2b；③1；④am2+（2a+b）m+a+b+c＜0；⑤|am+a|正确的是（ ）
A．①③⑤ B．①②③④⑤ C．①③④ D．①②③⑤
4．在四边形ABCD中，AB∥DC，∠C＝∠D＝60o，AB＝6cm，CD＝12cm，点P从A点出发，沿A→D→C以1cm/s的速度运动；点Q从B点出发，沿B→C→D以2cm/s的速度运动，直到P与Q相遇就停止运动．在运动过程中，四边形ABQP的面积的最大值为（ ）
A．cm2 B．21cm2 C．cm2 D．cm2
5．已知抛物线y＝ax2+bx+c（0＜2a＜b）的顶点为P（x0，y0），点A（1，yA），B（0，yB），C（﹣1，yC）在该抛物线上，当y0≥0恒成立时，的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．3
6．定义符号min{a，b}含义为：当a＞b时min{a，b}＝b；当a＜b时min{a，b}＝a．如：min{1，﹣3}＝﹣3，min{﹣4，2）＝﹣4．则min{﹣x2+1，﹣x}的最大值是（ ）
A． B． C．1 D．0
7．如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝﹣1，且过点（，0），有下列结论：
①abc＞0； ②a﹣2b+4c＞0；③25a﹣10b+4c＝0；④3b+2c＞0；
其中所有正确的结论是（ ）
A．①③ B．①③④ C．①②③ D．①②③④
二．填空题（共8小题）
8．如图，在矩形ABCD中，AB＝12，BC＝16，点E、F分别是边AB、BC上的动点，且EF＝10，点G是EF的中点，AG、CG，则四边形AGCD面积的最小值为 ．
9．约定：在平面直角坐标系中，若某函数图象上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称之为“P函数”，其图象上关于原点对称的不同的两点叫做一对“P点”．已知关于x的二次函数y＝ax2+bx﹣4a（a＜0）是“P函数”，其中A（2，﹣2），B两点为一对“P点”，点C是该二次函数图象上A，B两点之间的一个动点（含端点A，B）．若点C的纵坐标的最大值为，则a＝ ．
10．已知二次函数y＝x2﹣2ax+3（其中x是自变量且a≠0），且﹣2≤x≤1时，y的最小值为1，则a的值是 ．
11．一条抛物线，顶点坐标为（4，﹣2），且形状与抛物线y＝x2+2相同，则它的函数表达式是 ．
12．在平面直角坐标系中，已知点A（1，2），B（2，3），C（2，1），直线y＝x+m经过点A，抛物线y＝ax2+bx+1恰好经过A，B，C三点中的两点．则a+b＝ ；若平移抛物线y＝ax2+bx+1，使其顶点仍在直线y＝x+m上，则平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的最大值是 ．
13．定义：在平面直角坐标系xOy中，函数图象上到两坐标轴的距离之和等于n（n＞0）的点，叫做该函数图象的“n阶和点”．例如，（2，1）为一次函数y＝x﹣1的“3阶和点”．
（1）若点（﹣1，﹣1）是y关于x的正比例函数y＝mx的“n阶和点”，则m+n＝ ；
（2）若y关于x的一次函数y＝nx﹣4的图象有且仅有2个“n阶和点”，则n的取值范围为 ．
14．已知二次函数y＝x2﹣4x+m（m为常数）的图象上的两点A（x1，y1）、B（x2，y2），若x1＜2＜x2，且x1+x2＞4，则y1与y2的大小关系为y1 y2．（填“＞”或“＜”或“＝”）
15．△ABC中，AB＝AC＝5，，边AB上有动点P，以PC为边作正方形PCDE，则：
（1）当BP＝ 时，△BPE的面积最大；
（2）△BPE的面积最大值为 ．
三．解答题（共7小题）
16．如图所示，已知抛物线y＝ax2+bx﹣8（a≠0）经过点A（﹣2，0）、B（4，0），与直线y＝x﹣4交于B，D两点．
（1）求抛物线的解析式并直接写出D点的坐标；
（2）点P为直线BD下方抛物线上的一个动点，试求出△BDP面积的最大值及此时点P的坐标；
（3）在抛物线上有一点M，过点M作x轴的垂线交x轴于点N，若△AMN是等腰直角三角形，求点M的坐标．
17．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣4与x轴交于点A（﹣2，0），B（4，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点P是直线BC下方抛物线上一点，过点P作PD⊥x轴于点D，交BC于点E，作PF⊥BC于点F．
（i）是否存点P，使得BE＝EF．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（ii）求△PEF周长的最大值及此时点P的坐标．
18．新定义：抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（x1，0）、B（x2，0），x1＜x2，与y轴交于点C．若△ABC为直角三角形，则称此抛物线为“直角型抛物线”．
（1）抛物线是“直角型抛物线”吗？请说明理由．
（2）若抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）是“直角型抛物线”，且tan∠BAC＝2，求b的值．
（3）若抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）是“直角型抛物线”，△ABC的面积为S，且函数，当时，t的最小值为1，求S的值及抛物线的解析式．
19．在平面直角坐标系中，若一次函数y＝ax+b的图象关于直线x＝1对称后与反比例函数的图象有公共点，则称公共点为y＝ax+b与的关联点，二次函数y＝ax2+bx+c为y＝ax+b与的关联函数．
（1）判断y＝﹣x+4与与是否存在关联函数，若存在，请求出关联点坐标，若不存在，请说明理由．
（2）已知点M（m，n）为y＝﹣2kx+7k+2与的关联点，其中﹣1≤m≤1，直接写出k的取值范围．
（3）已知y＝﹣kx﹣k+5与存在两不同的关联点P1，P2，对应的关联函数记为二次函数C，直线P1P2与直线y＝8，双曲线所围成的封闭区域（不含边界）Ω内恰有10个整点，若点S、T为关联函数C与直线y＝x的两个公共点，N为封闭区域Ω内的某一整点，直接写出△STN面积s的取值范围．
20．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3），连接AC，点P是抛物线上一动点．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）如图1，当点P在第二象限时，连接PC，交x轴于点E．当CP平分∠ACO时，求点E的坐标；
（3）如图2，当点P在第三象限时，过点P作PM⊥AC于点M，作PN∥AC交抛物线于点N，当PM＝PN时，求点P的坐标．
21．【数学建模】用脚去丈量世界，用眼睛去记录风景，“十一”黄金周期间秋高气爽，露营成为大多数人倾向的假期休闲活动，各式帐篷成为户外露营活动的必要装备．其中抛物线型帐篷（图1）支架简单，携带方便，适合一般的休闲旅行使用．
【建立模型】小邕发现A款帐篷搭建时张开的宽度AB＝4m，顶部高度h＝2m，于是他建立了平面直角坐标系（如图2所示），请你帮他求出帐篷支架对应的抛物线函数关系式．
【运用模型】每款帐篷张开时的宽度和顶部高度会影响容纳的椅子数量，图3为一张椅子摆入A款帐篷后的简易视图，椅子高度EC＝0.72m，宽度CD＝0.5m，若在帐篷内沿AB方向摆放一排此款椅子，求最多可摆放的椅子数量．
【分析计算】现要设计一款抛物线型帐篷，要求顶部高度为2.5米，且一排能容纳5张高为1m，宽为0.6m的椅子．设其抛物线型支架的形状值为a（a＜0），请求出a的最小值．
22．抛物线y＝ax2+bx﹣4过点A（﹣1，0），点B（3，0），C是抛物线的顶点，D是抛物线与y轴的交点．
（1）求抛物线的表达式及点C的坐标；
（2）点P在抛物线上，且位于直线BD下方，过点P作PQ平行于x轴交直线BD于点Q，求PQ的最大值；
（3）M为抛物线上一点，N为抛物线对称轴上一点，若MN∥BD，且MN＝BD，求点M和点N的坐标．
22.1 二次函数的图象和性质
参考答案与试题解析
一．选择题（共7小题）
1．在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx（k为常数）与抛物线yx2﹣2交于A，B两点，且A点在y轴左侧，P点坐标为（0，﹣4），连接PA，PB．有以下说法：
①PO2＝PA PB； ②当k＞0时，（PA+AO）（PB﹣BO）的值随k的增大而增大；
③当k时，BP2＝BO BA；④△PAB面积的最小值为4，
其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】（1）说法①错误．如答图1，设点A关于y轴的对称点为A′，若结论①成立，则可以证明△POA′∽△PBO，得到∠AOP＝∠PBO．而∠AOP是△PBO的外角，∠AOP＞∠PBO，由此产生矛盾，故说法①错误；
（2）说法②错误．如答图2，可求得（PA+AO）（PB﹣BO）＝16为定值，故错误；
（3）说法③正确．联立方程组，求得点A、B坐标，进而求得BP、BO、BA，验证等式BP2＝BO BA成立，故正确；
（4）说法④正确．由根与系数关系得到：S△PAB＝2，当k＝0时，取得最小值为4，故正确．
【解答】解：设A（m，km），B（n，kn），其中m＜0，n＞0．
联立yx2﹣2与y＝kx得：x2﹣2＝kx，即x2﹣3kx﹣6＝0，
∴m+n＝3k，mn＝﹣6．
设直线PA的解析式为y＝ax+b，将P（0，﹣4），A（m，km）代入得：
，
解得a，b＝﹣4，
∴y＝（）x﹣4．
令y＝0，得x，
∴直线PA与x轴的交点坐标为（，0）．
同理可得，直线PB的解析式为y＝（）x﹣4，直线PB与x轴交点坐标为（，0）．
∵0，
∴直线PA、PB与x轴的交点关于y轴对称，即直线PA、PB关于y轴对称．
（1）说法①错误．理由如下：
如答图1所示，∵PA、PB关于y轴对称，
∴点A关于y轴的对称点A′落在PB上．
连接OA′，则OA＝OA′，∠POA＝∠POA′．
假设结论：PO2＝PA PB成立，即PO2＝PA′ PB，
∴，
又∵∠BPO＝∠BPO，
∴△POA′∽△PBO，
∴∠POA′＝∠PBO，
∴∠AOP＝∠PBO．
而∠AOP是△PBO的外角，
∴∠AOP＞∠PBO，矛盾，
∴说法①错误．
（2）说法②错误．理由如下：
易知：，
∴OBOA．
由对称可知，PO为△APB的角平分线，
∴，
∴PBPA．
∴（PA+AO）（PB﹣BO）＝（PA+AO）[PA﹣（OA）]（PA+AO）（PA﹣OA）（PA2﹣AO2）．
如答图2所示，过点A作AD⊥y轴于点D，则OD＝﹣km，PD＝4+km．
∴PA2﹣AO2＝（PD2+AD2）﹣（OD2+AD2）＝PD2﹣OD2＝（4+km）2﹣（﹣km）2＝8km+16，
∵m+n＝3k，∴k（m+n），
∴PA2﹣AO2＝8 （m+n） m+16m2mn+16m2（﹣6）+16m2．
∴（PA+AO）（PB﹣BO）（PA2﹣AO2） m2mn（﹣6）＝16．
即：（PA+AO）（PB﹣BO）为定值，所以说法②错误．
（3）说法③正确．理由如下：
当k时，联立方程组：，得A（﹣2，2），B（，﹣1），
∴BP2＝12，BO BA＝2×6＝12，
∴BP2＝BO BA，故说法③正确．
（4）说法④正确．理由如下：
S△PAB＝S△PAO+S△PBOOP （﹣m）OP nOP （n﹣m）＝2（n﹣m）＝22，
∴当k＝0时，△PAB面积有最小值，最小值为24．
故说法④正确．
综上所述，正确的说法是：③④．
故选：B．
【点评】本题是代数几何综合题，难度很大．解答中首先得到两个基本结论，其中PA、PB的对称性是判定说法①的基本依据，根与系数关系的结论是判定说法②、④的关键依据．正确解决本题的关键是打好数学基础，将平时所学知识融会贯通、灵活运用．
2．抛物线y＝x2+kx+4k在直线y＝16下方的图象上恰好有五个横坐标为整数的点，则k的值不可能是（ ）
A．2 B． C．13 D．4π+1
【答案】C
【分析】首先将抛物线y＝x2+kx+4k在直线y＝16联立，解出两个解x1和x2，然后根据抛物线在直线下方图象上有五个横坐标为整数的点这一条件，列出不等式组，求出k的范围，再检验选项是否符合题意即可作出判断．
【解答】解：将抛物线y＝x2+kx+4k在直线y＝16联立，
得x2+kx+4k＝16，即x2+kx+4k﹣16＝0，
∴，
化简，得，
解得x1＝﹣4，x2＝﹣k+4，
当﹣k+4＞﹣4时，
∵抛物线y＝x2+kx+4k在直线y＝16下方的图象上恰好有五个横坐标为整数的点，
∴这五个点的横坐标为﹣3，﹣2，﹣1，0，1，
∴，
解得3＜k≤2，
∴k的值可以是2，，
故选项A，B不符合题意；
当﹣k+4＜﹣4时，
∵抛物线y＝x2+kx+4k在直线y＝16下方的图象上恰好有五个横坐标为整数的点，
∴这五个点的横坐标为﹣5，﹣6，﹣7，﹣8，﹣9，
∴，
解得13＜k≤14，
∴k的值不可以是13，可以是4π+1，
故选项C符合题意，选项D不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查二次函数的图象，一元二次方程解法的应用，一元一次不等式组的解法和应用，无理数大小估计，掌握相关知识的应用是解题的关键．
3．如图，函数y＝ax2+bx+c的图象过点（﹣1，0）和（m，0），请思考下列判断：
①abc＜0；②4a+c＜2b；③1；④am2+（2a+b）m+a+b+c＜0；⑤|am+a|正确的是（ ）
A．①③⑤ B．①②③④⑤ C．①③④ D．①②③⑤
【答案】B
【分析】①利用图象信息即可判断；②根据x＝﹣2时，y＜0即可判断；③根据m是方程ax2+bx+c＝0的根，结合两根之积﹣m，即可判断；④根据两根之和﹣1+m，可得ma＝a﹣b，可得am2+（2a+b）m+a+b+c＝am2+bm+c+2am+a+b＝2a﹣2b+a+b＝3a﹣b＜0，⑤根据抛物线与x轴的两个交点之间的距离，列出关系式即可判断；
【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线交y轴于正半轴，
∴c＞0，
∵0，
∴b＞0，
∴abc＜0，故①正确，
∵x＝﹣2时，y＜0，
∴4a﹣2b+c＜0，即4a+c＜2b，故②正确，
∵y＝ax2+bx+c的图象过点（﹣1，0）和（m，0），
∴﹣1×m，am2+bm+c＝0，
∴0，
∴1，故③正确，
∵﹣1+m，
∴﹣a+am＝﹣b，
∴am＝a﹣b，
∵am2+（2a+b）m+a+b+c
＝am2+bm+c+2am+a+b
＝2a﹣2b+a+b
＝3a﹣b＜0，故④正确，
∵m+1＝||，
∴m+1＝||，
∴|am+a|，故⑤正确，
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）；△决定抛物线与x轴交点个数：Δ＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；Δ＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；Δ＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
4．在四边形ABCD中，AB∥DC，∠C＝∠D＝60o，AB＝6cm，CD＝12cm，点P从A点出发，沿A→D→C以1cm/s的速度运动；点Q从B点出发，沿B→C→D以2cm/s的速度运动，直到P与Q相遇就停止运动．在运动过程中，四边形ABQP的面积的最大值为（ ）
A．cm2 B．21cm2 C．cm2 D．cm2
【答案】C
【分析】作AE⊥CD于E，作BF⊥CD于F，可求得AD，BC，AE的值，进而求得四边形ABCD的面积；当点Q在AC上时，当点Q和点C重合时，四边形ABQP的面积＝18，当点Q在CD上，点P在AP上时，设四边形ABQP的面积为S，求得S，求得当t时，S最大，进一步得出结果．
【解答】解：如图1，
作AE⊥CD于E，作BF⊥CD于F，
∴∠BFE＝∠AEF＝90°，
∴AE∥BF，
∵AB∥CD，
∴四边形AEFB是平行四边形，
∴ AEFB是矩形，
∴EF＝AB＝6，AE＝BF，
∵∠C＝∠D，
∴△AED≌△BFC（AAS），
∴DE＝CF＝3，
∴AD＝BC＝2CF＝6，AE＝BF＝3，
∴梯形ABCD的面积S27，
如图2，
当点Q在BC上时，
当点Q和点C重合时，四边形ABQP的面积最大．此时AP＝PQ＝3，
∴四边形ABQP的面积＝2718，
如图3，
当点Q在CD上，点P在AD上时，设四边形ABQP的面积为S，
∵，
S△PDQ，
∴S＝27，
∴当t时，S最大，
因为，
故选：C．
【点评】本题考查了解直角三角形，二次函数及其图象的性质等知识，解决问题的关键是分类讨论．
5．已知抛物线y＝ax2+bx+c（0＜2a＜b）的顶点为P（x0，y0），点A（1，yA），B（0，yB），C（﹣1，yC）在该抛物线上，当y0≥0恒成立时，的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．3
【答案】D
【分析】利用点A（1，yA）、B（0，yB）、C（﹣1，yC）在抛物线y＝ax2+bx+c上得yA＝a+b+c，yB＝c，yC＝a﹣b+c，，再利用4a﹣2b+c≥0得到a+b+c≥3（b﹣a），所以3，从而得到的最小值．
【解答】解：点A（1，yA）、B（0，yB）、C（﹣1，yC）在抛物线y＝ax2+bx+c上，
得yA＝a+b+c，yB＝c，yC＝a﹣b+c，
∵y0≥0恒成立，0＜2a＜b，
∴x01，
∴4a﹣2b+c≥0，
即a+b+c≥3（b﹣a），
而b﹣a＞a＞0，
∴3，
即的最小值为3．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数的性质：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（，），对称轴直线x，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x时，y随x的增大而减小；x时，y随x的增大而增大；x时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x时，y随x的增大而增大；x时，y随x的增大而减小；x时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．
6．定义符号min{a，b}含义为：当a＞b时min{a，b}＝b；当a＜b时min{a，b}＝a．如：min{1，﹣3}＝﹣3，min{﹣4，2）＝﹣4．则min{﹣x2+1，﹣x}的最大值是（ ）
A． B． C．1 D．0
【答案】A
【分析】min{a，b}的含义就是取二者中的较小值，画出函数图象草图，利用函数图象的性质可得结论．
【解答】解：在同一坐标系xOy中，画出二次函数y＝﹣x2+1与正比例函数y＝﹣x的图象，如图所示．设它们交于点A、B．
令﹣x2+1＝﹣x，即x2﹣x﹣1＝0，解得：x或，
∴A（，），B（，）．
观察图象可知：
①当x时，min{﹣x2+1，﹣x}＝﹣x2+1，函数值随x的增大而增大，其最大值为；
②当x时，min{﹣x2+1，﹣x}＝﹣x，函数值随x的增大而减小，其最大值为小于；
③当x时，min{﹣x2+1，﹣x}＝﹣x2+1，函数值随x的增大而减小，最大值为．
综上所述，min{﹣x2+1，﹣x}的最大值是．
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数与正比例函数的图象与性质，充分理解定义min{a，b}和掌握函数的性质是解题的关键．
7．如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝﹣1，且过点（，0），有下列结论：
①abc＞0； ②a﹣2b+4c＞0；③25a﹣10b+4c＝0；④3b+2c＞0；
其中所有正确的结论是（ ）
A．①③ B．①③④ C．①②③ D．①②③④
【答案】C
【分析】①根据抛物线的开口方向、对称轴、与y轴的交点即可得结论；
②根据抛物线与x轴的交点坐标即可得结论；
③根据对称轴和与x轴的交点得另一个交点坐标，把另一个交点坐标代入抛物线解析式即可得结论；
④根据点（，0）和对称轴方程即可得结论．
【解答】解：①观察图象可知：
a＜0，b＜0，c＞0，∴abc＞0，
所以①正确；
②当x时，y＝0，
即ab+c＝0，
∴a+2b+4c＝0，
∴a+4c＝﹣2b，
∴a﹣2b+4c＝﹣4b＞0，
所以②正确；
③因为对称轴x＝﹣1，抛物线与x轴的交点（，0），
所以与x轴的另一个交点为（，0），
当x时，ab+c＝0，
∴25a﹣10b+4c＝0．
所以③正确；
④当x时，a+2b+4c＝0，
又对称轴：1，
∴b＝2a，ab，
b+2b+4c＝0，
∴bc．
∴3b+2cc+2cc＜0，
∴3b+2c＜0．
所以④错误．
或者∵当x＝1时，a+b+c＜0，
∴c＜﹣a﹣b，
又∵b＝2a，
∴ab，
∴cb，
∴2c＜﹣3b，
∴2c+3b＜0，
∴结论④错误
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征，解决本题的关键是熟练运用二次函数的图象和性质．
二．填空题（共8小题）
8．如图，在矩形ABCD中，AB＝12，BC＝16，点E、F分别是边AB、BC上的动点，且EF＝10，点G是EF的中点，AG、CG，则四边形AGCD面积的最小值为 142 ．
【答案】142
【分析】连接AC，过B作BH⊥AC于H，以B为圆心，BG为半径作圆，交BH于G'，由四边形ABCD是矩形，得∠EBF＝90°，又EF＝10，点G是EF的中点，即得BGEF＝5，故G在以B为圆心，5为半径的弧上，当G运动到G'时，S△ACG最小，此时四边形AGCD面积的最小值，最小值即为四边形AG'CD的面积，根据AB＝12＝CD，BC＝16＝AD，可得AC＝20，S△ACD＝96，BH，可得G'H＝BH﹣5，从而S△ACG'AC G'H＝46，得四边形AGCD面积的最小值是142．
【解答】解：连接AC，过B作BH⊥AC于H，以B为圆心，BG为半径作圆，交BH于G'，如图：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠EBF＝90°，
∵EF＝10，点G是EF的中点，
∴BGEF10＝5，
∴G在以B为圆心，5为半径的弧上，当G运动到G'时，S△ACG最小，此时四边形AGCD面积的最小值，最小值即为四边形AG'CD的面积，
∵AB＝12＝CD，BC＝16＝AD，
∴AC＝20，S△ACD12×16＝96，
∴BH，
∴G'H＝BH﹣55，
∴S△ACG'AC G'H2046，
∴S四边形AG'CD＝S△ACD+S△ACG'＝46+96＝142，即四边形AGCD面积的最小值是142．
故答案为：142．
【点评】本题考查矩形中的动点问题，解题的关键是求出G的运动轨迹．
9．约定：在平面直角坐标系中，若某函数图象上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称之为“P函数”，其图象上关于原点对称的不同的两点叫做一对“P点”．已知关于x的二次函数y＝ax2+bx﹣4a（a＜0）是“P函数”，其中A（2，﹣2），B两点为一对“P点”，点C是该二次函数图象上A，B两点之间的一个动点（含端点A，B）．若点C的纵坐标的最大值为，则a＝ ．
【答案】．
【分析】根据约定得到点B的坐标，将点A的坐标代入二次函数y＝ax2+bx﹣4a（a＜0），求出b的值，从而得到二次函数图象的对称轴，再分当﹣20时和当2时两种情况讨论即可．
【解答】解：∵A（2，一2），B两点为一对“P点”，
∴B（﹣2，2），且点A，B都在二次函数图象上．
将点A的坐标代入二次函数y＝ax2+bx﹣4a（a＜0），
得4a+2b﹣4a＝﹣2，
解得b＝﹣1．
∴二次函数的表达式为y＝ax2﹣x﹣4a（a＜0）．
∴二次函数图象的对称轴为直线x，
当﹣20时，
∵a＜0，
∴顶点纵坐标为点C纵坐标的最大值，
即a，
解得a＝±，
∵a＜0，
∴a．
当2时，
∵a＜0，
∴点B的纵坐标为点C纵坐标的最大值，
即2a，
解得a，
此时2不成立，含去．
综上所述，a．
故答案为：．
【点评】本题考查二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，理解约定，掌握二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征是解题的关键．
10．已知二次函数y＝x2﹣2ax+3（其中x是自变量且a≠0），且﹣2≤x≤1时，y的最小值为1，则a的值是 或 ．
【答案】或．
【分析】先求出二次函数的对称轴x＝a，然后分a≤﹣2，﹣2＜a≤1，a＞1三种情况利用二次函数的性质求解即可．
【解答】解：∵y＝x2﹣2ax+3＝（x﹣a）2﹣a2+3，
∴二次函数对称轴为直线x＝a，抛物线开口向上，
当a≤﹣2时，在﹣2≤x≤1时，y随着x的增大而增大，
当x＝﹣2时，y取得最小值，y＝（﹣2）2﹣2a×（﹣2）+3＝7+4a，
∵y的最小值为1，
∴7+4a＝1，
解得，不合题意舍去，
当﹣2＜a≤1时，在﹣2≤x≤1时，
当x＝a时，y取得最小值，y＝a2﹣2a×a+3＝﹣a2+3，
∵y的最小值为1，
∴﹣a2+3＝1，
解得（不合题意，舍去）或，
此时符合题意；
当a＞1时，在﹣2≤x≤1时，y随着x的增大而减小，
当x＝1时，y取得最小值，y＝12﹣2a×1+3＝﹣2a+4，
∵y的最小值为1，
∴﹣2a+4＝1，
解得，
此时符合题意；
综上所述，或，
故答案为：或．
【点评】本题主要考查了二次函数图象的性质，求出二次函数的对称轴，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
11．一条抛物线，顶点坐标为（4，﹣2），且形状与抛物线y＝x2+2相同，则它的函数表达式是 y＝（x﹣4）2﹣2或y＝﹣（x﹣4）2﹣2 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】直接利用抛物线形状相同，则|a|的值相等，进而结合函数顶点坐标得出答案．
【解答】解：由题意可得：顶点坐标为（4，﹣2），且形状与抛物线y＝x2+2相同，
它的函数表达式是：y＝（x﹣4）2﹣2或y＝﹣（x﹣4）2﹣2．
故答案为：y＝（x﹣4）2﹣2或y＝﹣（x﹣4）2﹣2．
【点评】此题主要考查了二次函数的性质，正确得出a的值是解题关键．
12．在平面直角坐标系中，已知点A（1，2），B（2，3），C（2，1），直线y＝x+m经过点A，抛物线y＝ax2+bx+1恰好经过A，B，C三点中的两点．则a+b＝ 1 ；若平移抛物线y＝ax2+bx+1，使其顶点仍在直线y＝x+m上，则平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的最大值是 ．
【答案】1；．
【分析】根据待定系数法求得直线的解析式，然后即可判断点B（2，3）在直线y＝x+m上；因为直线经过A、B和点（0，1），所以经过点（0，1）的抛物线不同时经过A、B点，即可判断抛物线只能经过A、C两点，根据待定系数法即可求得a、b；设平移后的抛物线为y＝﹣x2+px+q，其顶点坐标为（，q），根据题意得出q1，由抛物线y＝﹣x2+px+q与y轴交点的纵坐标为q，即可得出q1（p﹣1）2，从而得出q的最大值．
【解答】解：∵直线y＝x+m经过点A（1，2），
∴2＝1+m，解得m＝1，
∴直线为y＝x+1，
把x＝2代入y＝x+1得y＝3，
∴点B（2，3）在直线y＝x+m上；
∵直线y＝x+1经过点B（2，3），直线y＝x+1与抛物线y＝ax2+bx+1都经过点（0，1），点（0，1），A（1，2），B（2，3）在直线上，点（0，1），A（1，2）在抛物线上，直线与抛物线不可能有三个交点，
∵B（2，3），C（2，1）两点的横坐标相同，
∴抛物线只能经过A、C两点，
把A（1，2），C（2，1）代入y＝ax2+bx+1，得
．
解得a＝﹣1，b＝2．
∴a+b＝﹣1+2＝1．
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+1，
设平移后的抛物线的解析式为y＝﹣x2+px+q，其顶点坐标为（，q），
∵顶点仍在直线y＝x+1上，
∴q1，
∴q1，
∵抛物线y＝﹣x2+px+q与y轴的交点的纵坐标为q，
∴q1（p﹣1）2，
∴当p＝1时，平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的最大值为．
故答案为：1；．
【点评】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数的解析式和二次函数的解析式，二次函数的图象与几何变换，二次函数的性质，题目有一定难度．
13．定义：在平面直角坐标系xOy中，函数图象上到两坐标轴的距离之和等于n（n＞0）的点，叫做该函数图象的“n阶和点”．例如，（2，1）为一次函数y＝x﹣1的“3阶和点”．
（1）若点（﹣1，﹣1）是y关于x的正比例函数y＝mx的“n阶和点”，则m+n＝ 3 ；
（2）若y关于x的一次函数y＝nx﹣4的图象有且仅有2个“n阶和点”，则n的取值范围为 n＞2 ．
【答案】（1）3；
（2）n＞2．
【分析】（1）由新定义即可求解；
（2）利用一次函数的性质确定y关于x的一次函数y＝nx﹣4的图象经过第一、三、四象限，再利用分类讨论的方法和“n阶和点”的定义，求得x的值，进而得到关于n的不等式，解不等式求得n的取值范围，再利用已知条件即可得出结论．
【解答】解：（1）∵点（﹣1，﹣1）是y关于x的正比例函数y＝mx的点，
∴﹣m＝﹣1，
∴m＝1．
∵点（﹣1，﹣1）到两坐标轴的距离之和等于2，
∴点（﹣1，﹣1）是y关于x的正比例函数y＝mx的“2阶和点”，
∴n＝2．
则m+n＝3
故答案为：3；
（2）∵y关于x的一次函数y＝nx﹣4的图象有且仅有2个“n阶和点”，
∴一次函数y＝nx﹣4的图象与以原点为中心，两对角线在坐标轴上，边长为n的正方形有两个交点．
由题意得：n＞0，
∵﹣4＜0，
∴y关于x的一次函数y＝nx﹣4的图象经过第一、三、四象限，
①如图，当0＜n≤4时，
一次函数y＝nx﹣4的图象经过（n，0），则n2﹣4＝0，
∴n＝±2．
∵n＞0，
∴n＝2．
∵y关于x的一次函数y＝nx﹣4的图象有且仅有2个“n阶和点”，
∴2＜n≤4．
②如图，当n＞4时，y关于x的一次函数y＝nx﹣4的图象有且仅有2个“n阶和点”，
综上，y关于x的一次函数y＝nx﹣4的图象有且仅有2个“n阶和点”，n的取值范围为n＞2．
故答案为：n＞2．
【点评】本题主要考查了一次函数的图形与性质，一次函数图象上点的坐标的特征，待定系数法，本题是新定义型，理解新定义并熟练运用是解题的关键．
14．已知二次函数y＝x2﹣4x+m（m为常数）的图象上的两点A（x1，y1）、B（x2，y2），若x1＜2＜x2，且x1+x2＞4，则y1与y2的大小关系为y1 ＜ y2．（填“＞”或“＜”或“＝”）
【答案】见试题解答内容
【分析】计算函数对称轴，比较A、B两点离对称轴的远近即可求解．
【解答】解：二次函数y＝x2﹣4x+m的对称轴为x2，
x1＜2＜x2，则A、B在对称轴两侧，
x1+x2＞4，则（x1+x2）＞2，即B离对称轴的距离比A离对称轴的距离远，
而a＝1＞0，抛物线开口向上，故y2大于y1，
故答案为：＜．
【点评】本题考查的是二次函数图象上点的坐标特征，关键在于确定函数的对称轴，进而求解．
15．△ABC中，AB＝AC＝5，，边AB上有动点P，以PC为边作正方形PCDE，则：
（1）当BP＝ 4 时，△BPE的面积最大；
（2）△BPE的面积最大值为 8 ．
【答案】（1）4；（2）8．
【分析】证明△EPN≌△PCM（AAS），得到∴EN＝PM＝8﹣BP，由 BP ，即可求解．
【解答】解：（1）过C、E分别作AB的垂线，垂足分别为M、N，作AH⊥BC于点H，
则BH＝CH＝2，
则AH
则S△ABCBC×AHCM×AB，即5CM4，
解得：CM＝4，
在Rt△ACM中，AC＝5，CM＝4，则AM＝3，
则BM＝AB+AM＝8，
∵∠MPC+∠EPN＝90°，∠EPN+∠NPE＝90°，
∴∠PCM＝∠NPE，
∵∠ENP＝∠PMC＝90°，PE＝PC，
∴△EPN≌△PCM（AAS），
∴EN＝PM＝8﹣BP，
∴ BP ，
即当BP＝4时，△BPE的面积最大；
（2）由（1）知，BPE的面积的最大值为8．
【点评】本题考查的是二次函数的最值，涉及到正方形的性质、三角形全等等，难度适中．
三．解答题（共7小题）
16．如图所示，已知抛物线y＝ax2+bx﹣8（a≠0）经过点A（﹣2，0）、B（4，0），与直线y＝x﹣4交于B，D两点．
（1）求抛物线的解析式并直接写出D点的坐标；
（2）点P为直线BD下方抛物线上的一个动点，试求出△BDP面积的最大值及此时点P的坐标；
（3）在抛物线上有一点M，过点M作x轴的垂线交x轴于点N，若△AMN是等腰直角三角形，求点M的坐标．
【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣8；点D的坐标是（﹣1，﹣5）；
（2）△BDP的面积的最大值为；P（，）；
（3）点M的坐标为（5，7）或（3，﹣5）．
【分析】（1）设抛物线的解析式为y＝a（x+2）（x﹣4），将点C的坐标代入可求得a的值，然后将y＝x﹣4与抛物线的解析式联立方程组并求解即可；
（2）过点P作PE∥y轴，交直线AB与点E，设P（x，x2﹣2x﹣8），则E（x，x﹣4），则PE＝﹣x2+3x+4，然后依据S△BDP＝S△DPE+S△BPE，列出△BDP的面积与x的函数关系式，然后依据二次函数的性质求解即可；
（3）设点N的坐标为（m，0）则点M（m，m2﹣2m﹣8），则AN＝|m+2|，MN＝|m2﹣2m﹣8|，进而得到|m+2|＝|m2﹣2m﹣8|，解答即可得到m的值，进而得到点M的坐标为（5，7）或（3，﹣5）．
【解答】解：（1）已知抛物线y＝ax2+bx﹣8（a≠0）经过点A（﹣2，0）、B（4，0），将点A，点B的坐标代入得：
，
解得：，
∴设该抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣8，
联立方程组：，
解得（舍去）或，
即点D的坐标是（﹣1，﹣5）；
（2）如图1：过点P作PE∥y轴，交BD于点E，
设P（x，x2﹣2x﹣8），则E（x，x﹣4）．
∴PE＝x﹣4﹣（x2﹣2x﹣8）＝﹣x2+3x+4．
∴S△BDP＝S△DPE+S△BPEPE （xp﹣xD）PE （xB﹣xE）PE （xB﹣xD）（﹣x2+3x+4）（x）2．
∴当x时，△BDP的面积的最大值为．
∴P（，）．
（3）如图2，
∵MN⊥x轴于N，
∴∠MNA＝90°，
∵△AMN是等腰直角三角形，
∴AN＝MN，
∵点P在抛物线y＝x2﹣2x﹣8上，
∴设点N的坐标为（m，0）则点M（m，m2﹣2m﹣8），
∴AN＝|m﹣（﹣2）|＝|m+2|，MN＝|m2﹣2m﹣8|，
∴|m+2|＝|m2﹣2m﹣8|，
∴m+2＝m2﹣2m﹣8或m+2＝﹣（m2﹣2m﹣8），
即m2﹣3m﹣10＝0或m2﹣m﹣6＝0，
当m2﹣3m﹣10＝0时，
解得m＝5或m＝﹣2（舍去），
此时M（5，7）；
当m2﹣m﹣6＝0时，
解得m＝3或m＝﹣2（舍去），
此时M（3，﹣5），
综上，点M的坐标为（5，7）或（3，﹣5）．
【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数的表达式，等腰直角三角形的判定等知识点，分类讨论是解答本题的关键．
17．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣4与x轴交于点A（﹣2，0），B（4，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点P是直线BC下方抛物线上一点，过点P作PD⊥x轴于点D，交BC于点E，作PF⊥BC于点F．
（i）是否存点P，使得BE＝EF．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（ii）求△PEF周长的最大值及此时点P的坐标．
【答案】（1）；
（2）（i）不存点P，使得BE＝EF；理由如下：
如图，
∵抛物线的解析式为，
∴当x＝0时，得：y＝﹣4，
∴C（0，﹣4），
∵B（4，0），
∴OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB＝45°，
∵PF⊥BC，PD⊥AB，
∴∠DEB＝45°＝∠PEF＝∠FPE，
∴，，
∵BE＝EF，
∴，
∴PE＝2DE，
∵B（4，0），C（0，﹣4），
设直线BC为y＝kx﹣4，
∴4k﹣4＝0，
解得：k＝1，
∴直线BC为y＝x﹣4，
设，则E（x，x﹣4），
∴DE＝4﹣x，，
∴，
解得：x1＝x2＝4，
∴P（4，0），
此时P，B重合，不符合题意；
∴不存点P，使得BE＝EF；
（ii）△PEF周长的最大值为，P（2，﹣4）．
【分析】（1）根据题意设抛物线为y＝a（x+2）（x﹣4）＝ax2﹣2ax﹣8a，可得﹣8a＝﹣4，再进一步求解即可；
（2）（i）如图，求解C（0，﹣4），证明，，结合BE＝EF，可得PE＝2DE，求解直线BC为y＝x﹣4，设，则E（x，x﹣4），可得DE＝4﹣x，，再建立方程求解即可；
（ii）由（i）得：，，可得△PEF周长，再利用二次函数的性质求解即可．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣4与x轴交于点A（﹣2，0），B（4，0），将点A，点B的坐标分别代入得：
，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）（i）不存点P，使得BE＝EF；理由如下：
如图，
∵抛物线的解析式为，
∴当x＝0时，得：y＝﹣4，
∴C（0，﹣4），
∵B（4，0），
∴OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB＝45°，
∵PF⊥BC，PD⊥AB，
∴∠DEB＝45°＝∠PEF＝∠FPE，
∴，，
∵BE＝EF，
∴，
∴PE＝2DE，
∵B（4，0），C（0，﹣4），
设直线BC为y＝kx﹣4，
∴4k﹣4＝0，
解得：k＝1，
∴直线BC为y＝x﹣4，
设，则E（x，x﹣4），
∴DE＝4﹣x，，
∴，
解得：x1＝x2＝4，
∴P（4，0），
此时P，B重合，不符合题意；
∴不存点P，使得BE＝EF；
（ii）由（i）得：，，
∴△PEF周长，
∵，
∴当时，△PEF周长最大，
最大值为，
此时，
∴P（2，﹣4）．
【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，等腰直角三角形的判定与性质，一元二次方程的解法，二次函数的性质，熟练的利用数形结合的方法解题是关键．
18．新定义：抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（x1，0）、B（x2，0），x1＜x2，与y轴交于点C．若△ABC为直角三角形，则称此抛物线为“直角型抛物线”．
（1）抛物线是“直角型抛物线”吗？请说明理由．
（2）若抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）是“直角型抛物线”，且tan∠BAC＝2，求b的值．
（3）若抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）是“直角型抛物线”，△ABC的面积为S，且函数，当时，t的最小值为1，求S的值及抛物线的解析式．
【答案】（1）抛物线是“直角型抛物线”；理由如下：
抛物线与x轴交于点A（x1，0）、B（x2，0），x1＜x2，与y轴交于点C，
当y＝0时，得：，
解得：x1＝﹣1，x2＝4，
当x＝0时，得：y＝2，
∴A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2），
∴AB＝4﹣（﹣1）＝5，
∴，，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC为直角三角形，
∴抛物线是“直角型抛物线”；
（2）或；
（3）S＝6，抛物线的解析式为．
【分析】（1）利用抛物线的解析式求出点A，B，C的坐标，得出AB，AC，BC的长，再利用勾股定理的逆定理即可得出答案；
（2）利用抛物线的解析式得出C（0，c），令y＝0得到ax2+bx+c＝0，利用一元二次方程根与系数的关系得出，根据“直角型抛物线”的定义得到∠ACB＝90°，利用勾股定理整理得到c2＝﹣x1x2，进而推出x1+x2＝bc，ac＝﹣1，在Rt△ABC中利用正切的定义得到BC＝2AC，代入数据整理得到x2＝﹣4x1，，则有c＝2x1或c＝﹣2x1，再分2种情况求出对应b的值即可；
（3）利用三角形的面积公式表示出，则有，整理得到，结合当时，t的最小值为1，利用二次函数的性质求出S和对应a的值，即可求出抛物线的解析式．
【解答】解：（1）抛物线是“直角型抛物线”；理由如下：
抛物线与x轴交于点A（x1，0）、B（x2，0），x1＜x2，与y轴交于点C，
当y＝0时，得：，
解得：x1＝﹣1，x2＝4，
当x＝0时，得：y＝2，
∴A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2），
∴AB＝4﹣（﹣1）＝5，
∴，，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC为直角三角形，
∴抛物线是“直角型抛物线”；
（2）令x＝0，则y＝c，
∴C（0，c），
令x＝0，则ax2+bx+c＝0，
∴，，
∴，
∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）是“直角型抛物线”，
∴△ABC为直角三角形，且∠ACB＝90°，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴，
整理得：c2＝﹣x1x2，
∴，
整理得：x1+x2＝bc，ac＝﹣1，
在Rt△ABC中，，
∴BC＝2AC，
∴BC2＝4AC2，
∴，即，
解得：x2＝﹣4x1或x2＝x1（不合题意，舍去），
∴B（﹣4x1，0），，
∴c＝2x1或c＝﹣2x1，
∵x1＜x2，即x1＜﹣4x1，
∴x1＜0，
当c＝2x1时，b 2x1＝bc＝x1+x2＝﹣3x1，
解得：；
当c＝﹣2x1时，b （﹣2x1）＝bc＝x1+x2＝﹣3x1，
解得：；
∴综上所述，b的值为或；
（3）∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）是“直角型抛物线”，
∴△ABC为直角三角形，且∠ACB＝90°，
由（2）得，，，ac＝﹣1，
∴，
∴，
∵C（0，c），
∴，
∴，
∴，
∴，
∴函数t的对称轴为，
由题意得，S＞0，
①当，即0＜S＜1，
当a＝2时，t取最小值1，
此时，
解得：（不合题意，舍去）；
②当时，即1≤S≤4，
当时，t取最小值1，
此时，
解得：S＝8（不合题意，舍去）；
③当，即S＞4，
当时，t取最小值1，
此时，
解得：S＝6，
∴，，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
综上所述，S＝6，抛物线的解析式为．
【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的图象与性质、抛物线与坐标轴的交点、勾股定理及其逆定理、一元二次方程根与系数的关系、解直角三角形，理解“直角型抛物线”的定义是解题的关键．
19．在平面直角坐标系中，若一次函数y＝ax+b的图象关于直线x＝1对称后与反比例函数的图象有公共点，则称公共点为y＝ax+b与的关联点，二次函数y＝ax2+bx+c为y＝ax+b与的关联函数．
（1）判断y＝﹣x+4与与是否存在关联函数，若存在，请求出关联点坐标，若不存在，请说明理由．
（2）已知点M（m，n）为y＝﹣2kx+7k+2与的关联点，其中﹣1≤m≤1，直接写出k的取值范围．
（3）已知y＝﹣kx﹣k+5与存在两不同的关联点P1，P2，对应的关联函数记为二次函数C，直线P1P2与直线y＝8，双曲线所围成的封闭区域（不含边界）Ω内恰有10个整点，若点S、T为关联函数C与直线y＝x的两个公共点，N为封闭区域Ω内的某一整点，直接写出△STN面积s的取值范围．
【答案】（1）y＝﹣x+4与存在关联函数，关联点的坐标为（﹣1，1）；
（2）k≤﹣1或k≥1；
（3）△STN面积s的取值范围是．
【分析】（1）求y＝﹣x+4关于x＝1对称的函数解析式，与联立，解方程组，求交点坐标即可；
（2）求y＝﹣2kx+7k+2关于直线x＝1对称的函数解析式，与联立，解方程组，结合m的取值范围，解不等式，即可得k的取值范围；
（3）分类讨论，确定满足题意的k的取值范围，综合应用不等式的性质和勾股定理，计算每种情况对应的△STN的面积的取值范围即可．
【解答】解：（1）把x＝0代入y＝﹣x+4，得y＝4；把y＝0代入y＝﹣x+4，得x＝4，
∴点（0，4）和（4，0）在直线y＝﹣x+4上，
由轴对称得，点（0，4）和（4，0）关于直线x＝1的对称点分别为（2，4）和（﹣2，0），
设一次函数y＝﹣x+4关于直线x＝1对称的函数为y＝mx+n，
把（2，4）和（﹣2，0）代入得，，
解得，，
∴一次函数y＝﹣x+4关于直线x＝1对称的函数为y＝x+2，
由，
解得，
∴y＝﹣x+4与存在关联函数，关联点坐标为 （﹣1，1）；
（2）y＝﹣2kx+7k+2＝（﹣2x+7）k+2，令﹣2x+7＝0，得，
∴直线y＝﹣2kx+7k+2过定点，
∵，
∴关于直线x＝1的对称点为，
在y＝﹣2kx+7k+2中，令x＝0，得y＝7k+2，
（0，7k+2）关于直线x＝1的对称点为（2，7k+2），
设一次函数y＝﹣2kx+7k+2关于直线x＝1对称的函数为y＝px+q，
把（2，7k+2）代入得，，
解得，，
∵一次函数y＝﹣2kx+7k+2关于直线x＝1对称的函数为y＝2kx+3k+2，
由得，
∴2kx2+（3k+2）x+3＝0，
∴（2x+3）（kx+1）＝0，
∴或，
∵点M（m，n）为y＝﹣2kx+7k+2与的关联点，﹣1≤m≤1，
∴，
∴，
∴k≤﹣1或k≥1；
（3）y＝﹣kx﹣k+5＝﹣k（x+1）+5，
令x+1＝0，得x＝﹣1，
∴直线y＝﹣kx﹣k+5过顶点（﹣1，5），
∵1×2﹣（﹣1）＝3，
∴（﹣1，5）关于直线x＝1的对称点为A（3，5），
在y＝﹣kx﹣k+5中，令x＝1，得y＝﹣2k+5，
设一次函数y＝﹣kx﹣k+5关于直线x＝1对称的函数为y＝ex+f，把（3，5），（1，﹣2k+5）代入得，，
解得，，
∴一次函数y＝﹣kx﹣k+5关于直线x＝1对称的函数为y＝kx﹣3k+5，
由得，
∴kx2+（5﹣3k）x﹣4＝0，Δ＝（5﹣3k）2+16k＞0，
对于直线y＝kx﹣3k+5，与y＝8，所围成的封闭区域：
当k＞0时，要使区域内有10个整点，
当x＝1时，可取的整点有（1，5），（1，6），（1，7），
当x＝2时，可取的整点有（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（2，7），
当x＝3时，可取的整点有（3，6），（3，7），
当k特别大时，可取的整点恰有10个：（1，5），（1，6），（1，7），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（2，7），（3，6），（3，7），
当直线y＝kx﹣3k+5过点（4，7）时，k＝2，即y＝2x﹣1，直线y＝2x﹣l过点（2，3），
∴k＞2符合题意，
当k＜2时，（2，3）不可取，但（4，7）可取，下一个可取到的整点为（4，6），（5，7），此时，k＝1，
∴1＜k＜2符合题意，
当0＜k＜1时，（4，6），（5，7）均可取，此时已经有11个整点，k越小整点越多，故不符合题意；
当k＜0时，随着|k|减小，整点会由第一象限向y轴和第二象限扩展，当k＜﹣2时，有11个整点：（1，5），（1，6），（1，7），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（2，7），（3，2），（3，3），（3，4），
当k＝﹣2时，舍弃（2，6），增加（4，1），仍然有11个整点，
当k＜0时，随着|k|减小，整点会由第一象限向y轴和第二象限扩展，当k＜﹣2时，有11个整点：（1，5），（1，6），（1，7），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（2，7），（3，2），（3，3），（3，4），
当k＝﹣2时，舍弃（2，6），增加（4，1），仍然有11个整点，
当k增大到直线y＝kx﹣3k+5过点时，即时，区域内直线上方减少的整点的个数小于直线下方增加的整点的个数，此时，不能找到符合题意的k，随着k进一步增大，封闭区域内的整点会出现在第二象限；
在y轴上和第二象限，首先收入的整点为（0，6），（0，7），（﹣1，6），（﹣1，7），（﹣2，7），（﹣3，7），（﹣4，7），（﹣5，7），（﹣6，7），由图可知，若（﹣7，7）在封闭区域内，则 （﹣2，6）会同时收入封闭区域内，此时，整点为11个，无法找到恰有10个整点的情况，故k＜0不符合题意；
根据题意可知，关联函数C为y＝﹣kx2+（5﹣k）x+4，
由可得，kx2+（k﹣4）x﹣4＝0，
∴（x+1）（kx﹣4）＝0，
∴x＝﹣1或，
∴关联函数C与直线y＝x的两个公共点的坐标为 （﹣1，﹣1），，
当1＜k＜2时，，
∵，，，
∴，若△STN以ST为底边，则10个整点到y＝x的距离的取值范围为，
∵，，
∴3＜s＜15，
当k＞2时，，
∵，，，
∴，若△STN以ST为底边，则10个整点到y＝x的距离的取值范围为，
∵，，
∴，
综上，．
答：△STN 面积s的取值范围是．
【点评】本题考查求一次函数的解析式，一次函数与反比例函数的交点问题，一次函数与几何的综合，不等式的性质，解题的关键是正确理解题意，熟练掌握分类讨论和数形结合的解题思想．
20．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3），连接AC，点P是抛物线上一动点．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）如图1，当点P在第二象限时，连接PC，交x轴于点E．当CP平分∠ACO时，求点E的坐标；
（3）如图2，当点P在第三象限时，过点P作PM⊥AC于点M，作PN∥AC交抛物线于点N，当PM＝PN时，求点P的坐标．
【答案】（1）y＝x2+2x﹣3；
（2）；
（3）（﹣1，﹣4）或（﹣2，﹣3）．
【分析】（1）把A（﹣3，0），B（1，0），C（0，﹣3）代入y＝ax2+bx+c，得，解方程组即可求出a、b、c的值，进而得出该抛物线的函数表达式；
（2）过点E作EF⊥AC于点F，则∠AFE＝90°，由角平分线的性质定理可得EF＝OE，由A（﹣3，0），C（0，﹣3）可得OA＝3，OC＝3，进而可得OA＝OC，由等边对等角及三角形的内角和定理可得，即∠FAE＝45°，由直角三角形的两个锐角互余可得∠FEA＝90°﹣∠FAE＝45°，进而可得∠FAE＝∠FEA，由等角对等边可得AF＝EF，则AF＝EF＝OE，设AF＝EF＝OE＝x，由勾股定理可得，由AE+OE＝OA可得，解方程即可求出x的值，进而可得点E的坐标；
（3）连接MN，过点P作PT∥y轴，交直线AC于点T，由PM⊥AC可得∠AMP＝90°，由两直线平行内错角相等可得∠MPN＝∠AMP＝90°，由等边对等角及三角形的内角和定理可得，设直线AC的函数表达式为y＝kx+b，将A（﹣3，0），C（0，﹣3）代入，得，解得，于是可得直线AC的函数表达式为y＝﹣x﹣3，设PT＝2m，由PN∥AC可得直线PN的函数表达式为y＝﹣x﹣3﹣2m，设P（t，t2+2t﹣3），N（n，n2+2n﹣3），则T（t，﹣t﹣3），由直线PN与抛物线交于点P，N可得x2+2x﹣3＝﹣x﹣3﹣2m，整理得x2+3x+2m＝0，由一元二次方程的根与系数的关系可得x1+x2＝n+t＝﹣3，x1x2＝nt＝2m，由（2）得∠ACO＝45°，由两直线平行内错角相等可得∠PTM＝∠ACO＝45°，由直角三角形的两个锐角互余可得∠MPT＝90°﹣∠PTM＝45°，过点P作PH⊥MN于点H，则∠PHM＝90°，由直角三角形的两个锐角互余可得∠HPM＝90°﹣∠PMN＝45°，进而可得∠HPM＝∠PMH＝∠MPT＝∠PTM＝45°，由等角对等边可得PH＝MH，PM＝TM，由内错角相等两直线平行可得MH∥PT，由勾股定理可得PT2＝PM2+TM2＝2PM2＝2（PH2+MH2）＝2×2PH2＝4PH2，则，即|n﹣t|＝m，进而可得（n﹣t）2＝（n+t）2﹣4nt＝m2，再结合n+t＝﹣3，nt＝2m，可得（﹣3）2﹣4×2m＝m2，整理得m2+8m﹣9＝0，解得m1＝1，m2＝﹣9（不符合题意，故舍去），则PT＝2m＝2，即（﹣t﹣3）﹣（t2+2t﹣3）＝﹣t2﹣3t＝2，解得t1＝﹣1，t2＝﹣2，则t2+2t﹣3＝﹣4或﹣3，由此即可得出点P的坐标．
【解答】解：（1）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3），将点A，点B，点C的坐标分别代入得：
，
解得：，
∴该抛物线的函数表达式为y＝x2+2x﹣3；
（2）当点P在第二象限时，如图1，过点E作EF⊥AC于点F，
则∠AFE＝90°，
∵CP平分∠ACO，
∴EF＝OE，
∵A（﹣3，0），C（0，﹣3），
∴OA＝0﹣（﹣3）＝3，OC＝0﹣（﹣3）＝3，
∴OA＝OC，
∵∠AOC＝90°，
∴，
即：∠FAE＝45°，
∴∠FEA＝90°﹣∠FAE＝90°﹣45°＝45°，
∴∠FAE＝∠FEA，
∴AF＝EF，
∴AF＝EF＝OE，
设AF＝EF＝OE＝x，
在直角三角形AEF中，由勾股定理得：，
∵AE+OE＝OA，
∴，
解得：，
∴点E的坐标为；
（3）当点P在第三象限时，连接MN，过点P作PT∥y轴，交直线AC于点T，如图2，
∵PM⊥AC于点M，PN∥AC交抛物线于点N，
∴∠AMP＝90°，∠MPN＝∠AMP＝90°，
∵PM＝PN，
∴△MPN是等腰直角三角形，
∴，
设直线AC的函数表达式为y＝kx+b，将点A，点C的坐标分别代入，得：
，
解得：，
∴直线AC的函数表达式为y＝﹣x﹣3，
设PT＝2m，
∵PN∥AC，
∴直线PN的函数表达式为y＝﹣x﹣3﹣2m，
设P（t，t2+2t﹣3），N（n，n2+2n﹣3），则T（t，﹣t﹣3），
∵直线PN与抛物线交于点P，N，
∴x2+2x﹣3＝﹣x﹣3﹣2m，
整理，得：x2+3x+2m＝0，
∴x1+x2＝n+t＝﹣3，x1x2＝nt＝2m，
由（2）得：∠ACO＝45°，
∵PT∥y轴，
∴∠PTM＝∠ACO＝45°，
∴∠MPT＝90°﹣∠PTM＝90°﹣45°＝45°，
如图，过点P作PH⊥MN于点H，则∠PHM＝90°，
∴∠HPM＝90°﹣∠PMN＝90°﹣45°＝45°，
∴∠HPM＝∠PMH＝∠MPT＝∠PTM＝45°，
∴PH＝MH，PM＝TM，MH∥PT，
∵PT2＝PM2+TM2＝2PM2＝2（PH2+MH2）＝2×2PH2＝4PH2，
∴，
即：|n﹣t|＝m，
∴（n﹣t）2＝（n+t）2﹣4nt＝m2，
∵n+t＝﹣3，nt＝2m，
∴（﹣3）2﹣4×2m＝m2，
整理，得：m2+8m﹣9＝0，
解得：m1＝1，m2＝﹣9（不合题意，舍去），
∴PT＝2m＝2×1＝2，
∴（﹣t﹣3）﹣（t2+2t﹣3）＝﹣t2﹣3t＝2，
解得：t1＝﹣1，t2＝﹣2，
∴t2+2t﹣3＝（﹣1）2+2×（﹣1）﹣3＝﹣4或t2+2t﹣3＝（﹣2）2+2×（﹣2）﹣3＝﹣3，
∴点P的坐标为（﹣1，﹣4）或（﹣2，﹣3）．
【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，勾股定理，求一次函数解析式，一次函数图象平移问题，一元二次方程的根与系数的关系，角平分线的性质定理，因式分解法解一元二次方程，等边对等角，等角对等边，三角形的内角和定理，直角三角形的两个锐角互余，两直线平行内错角相等，内错角相等两直线平行，完全平方公式，代数式求值，解三元一次方程组，解二元一次方程组，解一元一次方程等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键．
21．【数学建模】用脚去丈量世界，用眼睛去记录风景，“十一”黄金周期间秋高气爽，露营成为大多数人倾向的假期休闲活动，各式帐篷成为户外露营活动的必要装备．其中抛物线型帐篷（图1）支架简单，携带方便，适合一般的休闲旅行使用．
【建立模型】小邕发现A款帐篷搭建时张开的宽度AB＝4m，顶部高度h＝2m，于是他建立了平面直角坐标系（如图2所示），请你帮他求出帐篷支架对应的抛物线函数关系式．
【运用模型】每款帐篷张开时的宽度和顶部高度会影响容纳的椅子数量，图3为一张椅子摆入A款帐篷后的简易视图，椅子高度EC＝0.72m，宽度CD＝0.5m，若在帐篷内沿AB方向摆放一排此款椅子，求最多可摆放的椅子数量．
【分析计算】现要设计一款抛物线型帐篷，要求顶部高度为2.5米，且一排能容纳5张高为1m，宽为0.6m的椅子．设其抛物线型支架的形状值为a（a＜0），请求出a的最小值．
【答案】【建立模型】；
【运用模型】最多可摆放的椅子数量为6张；
【分析计算】．
【分析】【建立模型】以AB的中点为平面直角坐标系的原点，此时A（﹣2，0），B（2，0），且经过（0，2），代入抛物线函数关系式，即可作答．
【运用模型】在【建立模型】的基础上，令，求出x1＝1.6，x2＝﹣1.6，得出3.2÷0.5＝6.4（张），即可作答．
【分析计算】设抛物线函数关系式为y＝ax2+2.5，根据“且一排能容纳5张高宽分别为1m和0.6m的椅子”，建立不等式，即可作答．
【解答】解：【建立模型】A款帐篷搭建时张开的宽度AB＝4m，顶部高度h＝2m，
∴A（﹣2，0），B（2，0），
∵抛物线经过点（0，2），
设抛物线函数关系式为y＝ax2+bx+c，代入点A，点B，点C的坐标得：
，
解得：，
∴抛物线函数关系式为yx2+2；
【运用模型】∵，且椅子高度EC＝0.72m，宽度CD＝0.5m，
∴，
解得x1＝1.6，x2＝﹣1.6，
1.6+1.6＝3.2（m）；
3.2÷0.5＝6.4（张），
∵椅子数量为正整数，
∴最多可摆放的椅子数量为6张；
【分析计算】依题意，设抛物线函数关系式为y＝ax2+2.5，
∵且一排能容纳5张高宽分别为1m和0.6m的椅子，
∴即刚好经过点D点，
∴，
∴y＝ax2+2.5经过点，
即当y＝1时，即，
解得，
∴a的最小值为．
【点评】本题考查了二次函数的图象性质，平面直角坐标系，不等式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
22．抛物线y＝ax2+bx﹣4过点A（﹣1，0），点B（3，0），C是抛物线的顶点，D是抛物线与y轴的交点．
（1）求抛物线的表达式及点C的坐标；
（2）点P在抛物线上，且位于直线BD下方，过点P作PQ平行于x轴交直线BD于点Q，求PQ的最大值；
（3）M为抛物线上一点，N为抛物线对称轴上一点，若MN∥BD，且MN＝BD，求点M和点N的坐标．
【答案】（1）；；
（2）；
（3）或．
【分析】（1）利用待定系数法即可求解出解析式，进而出顶点坐标C；
（2）先求出D（0，﹣4），再求出直线BD的解析式为，设，求出，再求出PQ＝﹣p2+3p，即可求解；
（3）根据题意，当MN∥BD，且MN＝BD，以MN，BD为对边的四边形是平行四边形，设，求出直线MN的解析式为，进而求出，分MD，BN为对角线和MB，ND为对角线两种情况讨论，根据平行四边形的性质建立方程求解即可．
【解答】解：（1）抛物线y＝ax2+bx﹣4过点A（﹣1，0），点B（3，0），C是抛物线的顶点，将点A，点B的坐标分别代入得：
，
解得：，
∴抛物线的表达式为，
∵C是抛物线的顶点，
∴C的坐标为；
（2）如图，
将x＝0代入，得：y＝﹣4，
∴D（0，﹣4），
设直线BD的解析式为y＝kx﹣4，将点B的坐标代入得：
0＝3k﹣4，
解得：，
∴直线BD的解析式为，
设，
∵PQ∥x轴，
∴点Q的纵坐标为，
则，
解得x＝p2﹣2p，
∴，
∴PQ＝﹣p2+3p，
∴，且﹣1＜0，
∴当时，PQ有最大值为；
（3）∵MN∥BD，且MN＝BD，
∴MN，BD为对边的四边形是平行四边形，
设，直线MN的解析式为，
将代入，得：
，
解得：，
∴直线MN的解析式为，
∵N为抛物线对称轴上一点，抛物线对称轴为x＝1，
将x＝1代入，得：
，
∴，
∵B（3，0），D（0，﹣4），
当MD，BN为对角线时，
则，
解得：m＝4，
则，
∴；
当MB，ND为对角线时，
则，
解得：m＝﹣2，
则，
∴；
综上所述，或．
【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数解析式，图象与性质，二次函数与线段的问题，一次函数与几何的应用，平行四边形形的性质，灵活应用分类讨论的思想是解题的关键．
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22.1 二次函数的图象和性质
一．选择题（共7小题）
1．在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx（k为常数）与抛物线yx2﹣2交于A，B两点，且A点在y轴左侧，P点坐标为（0，﹣4），连接PA，PB．有以下说法：
①PO2＝PA PB； ②当k＞0时，（PA+AO）（PB﹣BO）的值随k的增大而增大；
③当k时，BP2＝BO BA；④△PAB面积的最小值为4，
其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．抛物线y＝x2+kx+4k在直线y＝16下方的图象上恰好有五个横坐标为整数的点，则k的值不可能是（ ）
A．2 B． C．13 D．4π+1
3．如图，函数y＝ax2+bx+c的图象过点（﹣1，0）和（m，0），请思考下列判断：
①abc＜0；②4a+c＜2b；③1；④am2+（2a+b）m+a+b+c＜0；⑤|am+a|正确的是（ ）
A．①③⑤ B．①②③④⑤ C．①③④ D．①②③⑤
4．在四边形ABCD中，AB∥DC，∠C＝∠D＝60o，AB＝6cm，CD＝12cm，点P从A点出发，沿A→D→C以1cm/s的速度运动；点Q从B点出发，沿B→C→D以2cm/s的速度运动，直到P与Q相遇就停止运动．在运动过程中，四边形ABQP的面积的最大值为（ ）
A．cm2 B．21cm2 C．cm2 D．cm2
5．已知抛物线y＝ax2+bx+c（0＜2a＜b）的顶点为P（x0，y0），点A（1，yA），B（0，yB），C（﹣1，yC）在该抛物线上，当y0≥0恒成立时，的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．3
6．定义符号min{a，b}含义为：当a＞b时min{a，b}＝b；当a＜b时min{a，b}＝a．如：min{1，﹣3}＝﹣3，min{﹣4，2）＝﹣4．则min{﹣x2+1，﹣x}的最大值是（ ）
A． B． C．1 D．0
7．如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝﹣1，且过点（，0），有下列结论：
①abc＞0； ②a﹣2b+4c＞0；③25a﹣10b+4c＝0；④3b+2c＞0；
其中所有正确的结论是（ ）
A．①③ B．①③④ C．①②③ D．①②③④
二．填空题（共8小题）
8．如图，在矩形ABCD中，AB＝12，BC＝16，点E、F分别是边AB、BC上的动点，且EF＝10，点G是EF的中点，AG、CG，则四边形AGCD面积的最小值为 ．
9．约定：在平面直角坐标系中，若某函数图象上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称之为“P函数”，其图象上关于原点对称的不同的两点叫做一对“P点”．已知关于x的二次函数y＝ax2+bx﹣4a（a＜0）是“P函数”，其中A（2，﹣2），B两点为一对“P点”，点C是该二次函数图象上A，B两点之间的一个动点（含端点A，B）．若点C的纵坐标的最大值为，则a＝ ．
10．已知二次函数y＝x2﹣2ax+3（其中x是自变量且a≠0），且﹣2≤x≤1时，y的最小值为1，则a的值是 ．
11．一条抛物线，顶点坐标为（4，﹣2），且形状与抛物线y＝x2+2相同，则它的函数表达式是 ．
12．在平面直角坐标系中，已知点A（1，2），B（2，3），C（2，1），直线y＝x+m经过点A，抛物线y＝ax2+bx+1恰好经过A，B，C三点中的两点．则a+b＝ ；若平移抛物线y＝ax2+bx+1，使其顶点仍在直线y＝x+m上，则平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的最大值是 ．
13．定义：在平面直角坐标系xOy中，函数图象上到两坐标轴的距离之和等于n（n＞0）的点，叫做该函数图象的“n阶和点”．例如，（2，1）为一次函数y＝x﹣1的“3阶和点”．
（1）若点（﹣1，﹣1）是y关于x的正比例函数y＝mx的“n阶和点”，则m+n＝ ；
（2）若y关于x的一次函数y＝nx﹣4的图象有且仅有2个“n阶和点”，则n的取值范围为 ．
14．已知二次函数y＝x2﹣4x+m（m为常数）的图象上的两点A（x1，y1）、B（x2，y2），若x1＜2＜x2，且x1+x2＞4，则y1与y2的大小关系为y1 y2．（填“＞”或“＜”或“＝”）
15．△ABC中，AB＝AC＝5，，边AB上有动点P，以PC为边作正方形PCDE，则：
（1）当BP＝ 时，△BPE的面积最大；
（2）△BPE的面积最大值为 ．
三．解答题（共7小题）
16．如图所示，已知抛物线y＝ax2+bx﹣8（a≠0）经过点A（﹣2，0）、B（4，0），与直线y＝x﹣4交于B，D两点．
（1）求抛物线的解析式并直接写出D点的坐标；
（2）点P为直线BD下方抛物线上的一个动点，试求出△BDP面积的最大值及此时点P的坐标；
（3）在抛物线上有一点M，过点M作x轴的垂线交x轴于点N，若△AMN是等腰直角三角形，求点M的坐标．
17．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣4与x轴交于点A（﹣2，0），B（4，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点P是直线BC下方抛物线上一点，过点P作PD⊥x轴于点D，交BC于点E，作PF⊥BC于点F．
（i）是否存点P，使得BE＝EF．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（ii）求△PEF周长的最大值及此时点P的坐标．
18．新定义：抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（x1，0）、B（x2，0），x1＜x2，与y轴交于点C．若△ABC为直角三角形，则称此抛物线为“直角型抛物线”．
（1）抛物线是“直角型抛物线”吗？请说明理由．
（2）若抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）是“直角型抛物线”，且tan∠BAC＝2，求b的值．
（3）若抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）是“直角型抛物线”，△ABC的面积为S，且函数，当时，t的最小值为1，求S的值及抛物线的解析式．
19．在平面直角坐标系中，若一次函数y＝ax+b的图象关于直线x＝1对称后与反比例函数的图象有公共点，则称公共点为y＝ax+b与的关联点，二次函数y＝ax2+bx+c为y＝ax+b与的关联函数．
（1）判断y＝﹣x+4与与是否存在关联函数，若存在，请求出关联点坐标，若不存在，请说明理由．
（2）已知点M（m，n）为y＝﹣2kx+7k+2与的关联点，其中﹣1≤m≤1，直接写出k的取值范围．
（3）已知y＝﹣kx﹣k+5与存在两不同的关联点P1，P2，对应的关联函数记为二次函数C，直线P1P2与直线y＝8，双曲线所围成的封闭区域（不含边界）Ω内恰有10个整点，若点S、T为关联函数C与直线y＝x的两个公共点，N为封闭区域Ω内的某一整点，直接写出△STN面积s的取值范围．
20．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3），连接AC，点P是抛物线上一动点．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）如图1，当点P在第二象限时，连接PC，交x轴于点E．当CP平分∠ACO时，求点E的坐标；
（3）如图2，当点P在第三象限时，过点P作PM⊥AC于点M，作PN∥AC交抛物线于点N，当PM＝PN时，求点P的坐标．
21．【数学建模】用脚去丈量世界，用眼睛去记录风景，“十一”黄金周期间秋高气爽，露营成为大多数人倾向的假期休闲活动，各式帐篷成为户外露营活动的必要装备．其中抛物线型帐篷（图1）支架简单，携带方便，适合一般的休闲旅行使用．
【建立模型】小邕发现A款帐篷搭建时张开的宽度AB＝4m，顶部高度h＝2m，于是他建立了平面直角坐标系（如图2所示），请你帮他求出帐篷支架对应的抛物线函数关系式．
【运用模型】每款帐篷张开时的宽度和顶部高度会影响容纳的椅子数量，图3为一张椅子摆入A款帐篷后的简易视图，椅子高度EC＝0.72m，宽度CD＝0.5m，若在帐篷内沿AB方向摆放一排此款椅子，求最多可摆放的椅子数量．
【分析计算】现要设计一款抛物线型帐篷，要求顶部高度为2.5米，且一排能容纳5张高为1m，宽为0.6m的椅子．设其抛物线型支架的形状值为a（a＜0），请求出a的最小值．
22．抛物线y＝ax2+bx﹣4过点A（﹣1，0），点B（3，0），C是抛物线的顶点，D是抛物线与y轴的交点．
（1）求抛物线的表达式及点C的坐标；
（2）点P在抛物线上，且位于直线BD下方，过点P作PQ平行于x轴交直线BD于点Q，求PQ的最大值；
（3）M为抛物线上一点，N为抛物线对称轴上一点，若MN∥BD，且MN＝BD，求点M和点N的坐标．
22.1 二次函数的图象和性质
参考答案与试题解析
一．选择题（共7小题）
1．在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx（k为常数）与抛物线yx2﹣2交于A，B两点，且A点在y轴左侧，P点坐标为（0，﹣4），连接PA，PB．有以下说法：
①PO2＝PA PB； ②当k＞0时，（PA+AO）（PB﹣BO）的值随k的增大而增大；
③当k时，BP2＝BO BA；④△PAB面积的最小值为4，
其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】（1）说法①错误．如答图1，设点A关于y轴的对称点为A′，若结论①成立，则可以证明△POA′∽△PBO，得到∠AOP＝∠PBO．而∠AOP是△PBO的外角，∠AOP＞∠PBO，由此产生矛盾，故说法①错误；
（2）说法②错误．如答图2，可求得（PA+AO）（PB﹣BO）＝16为定值，故错误；
（3）说法③正确．联立方程组，求得点A、B坐标，进而求得BP、BO、BA，验证等式BP2＝BO BA成立，故正确；
（4）说法④正确．由根与系数关系得到：S△PAB＝2，当k＝0时，取得最小值为4，故正确．
【解答】解：设A（m，km），B（n，kn），其中m＜0，n＞0．
联立yx2﹣2与y＝kx得：x2﹣2＝kx，即x2﹣3kx﹣6＝0，
∴m+n＝3k，mn＝﹣6．
设直线PA的解析式为y＝ax+b，将P（0，﹣4），A（m，km）代入得：
，
解得a，b＝﹣4，
∴y＝（）x﹣4．
令y＝0，得x，
∴直线PA与x轴的交点坐标为（，0）．
同理可得，直线PB的解析式为y＝（）x﹣4，直线PB与x轴交点坐标为（，0）．
∵0，
∴直线PA、PB与x轴的交点关于y轴对称，即直线PA、PB关于y轴对称．
（1）说法①错误．理由如下：
如答图1所示，∵PA、PB关于y轴对称，
∴点A关于y轴的对称点A′落在PB上．
连接OA′，则OA＝OA′，∠POA＝∠POA′．
假设结论：PO2＝PA PB成立，即PO2＝PA′ PB，
∴，
又∵∠BPO＝∠BPO，
∴△POA′∽△PBO，
∴∠POA′＝∠PBO，
∴∠AOP＝∠PBO．
而∠AOP是△PBO的外角，
∴∠AOP＞∠PBO，矛盾，
∴说法①错误．
（2）说法②错误．理由如下：
易知：，
∴OBOA．
由对称可知，PO为△APB的角平分线，
∴，
∴PBPA．
∴（PA+AO）（PB﹣BO）＝（PA+AO）[PA﹣（OA）]（PA+AO）（PA﹣OA）（PA2﹣AO2）．
如答图2所示，过点A作AD⊥y轴于点D，则OD＝﹣km，PD＝4+km．
∴PA2﹣AO2＝（PD2+AD2）﹣（OD2+AD2）＝PD2﹣OD2＝（4+km）2﹣（﹣km）2＝8km+16，
∵m+n＝3k，∴k（m+n），
∴PA2﹣AO2＝8 （m+n） m+16m2mn+16m2（﹣6）+16m2．
∴（PA+AO）（PB﹣BO）（PA2﹣AO2） m2mn（﹣6）＝16．
即：（PA+AO）（PB﹣BO）为定值，所以说法②错误．
（3）说法③正确．理由如下：
当k时，联立方程组：，得A（﹣2，2），B（，﹣1），
∴BP2＝12，BO BA＝2×6＝12，
∴BP2＝BO BA，故说法③正确．
（4）说法④正确．理由如下：
S△PAB＝S△PAO+S△PBOOP （﹣m）OP nOP （n﹣m）＝2（n﹣m）＝22，
∴当k＝0时，△PAB面积有最小值，最小值为24．
故说法④正确．
综上所述，正确的说法是：③④．
故选：B．
【点评】本题是代数几何综合题，难度很大．解答中首先得到两个基本结论，其中PA、PB的对称性是判定说法①的基本依据，根与系数关系的结论是判定说法②、④的关键依据．正确解决本题的关键是打好数学基础，将平时所学知识融会贯通、灵活运用．
2．抛物线y＝x2+kx+4k在直线y＝16下方的图象上恰好有五个横坐标为整数的点，则k的值不可能是（ ）
A．2 B． C．13 D．4π+1
【答案】C
【分析】首先将抛物线y＝x2+kx+4k在直线y＝16联立，解出两个解x1和x2，然后根据抛物线在直线下方图象上有五个横坐标为整数的点这一条件，列出不等式组，求出k的范围，再检验选项是否符合题意即可作出判断．
【解答】解：将抛物线y＝x2+kx+4k在直线y＝16联立，
得x2+kx+4k＝16，即x2+kx+4k﹣16＝0，
∴，
化简，得，
解得x1＝﹣4，x2＝﹣k+4，
当﹣k+4＞﹣4时，
∵抛物线y＝x2+kx+4k在直线y＝16下方的图象上恰好有五个横坐标为整数的点，
∴这五个点的横坐标为﹣3，﹣2，﹣1，0，1，
∴，
解得3＜k≤2，
∴k的值可以是2，，
故选项A，B不符合题意；
当﹣k+4＜﹣4时，
∵抛物线y＝x2+kx+4k在直线y＝16下方的图象上恰好有五个横坐标为整数的点，
∴这五个点的横坐标为﹣5，﹣6，﹣7，﹣8，﹣9，
∴，
解得13＜k≤14，
∴k的值不可以是13，可以是4π+1，
故选项C符合题意，选项D不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查二次函数的图象，一元二次方程解法的应用，一元一次不等式组的解法和应用，无理数大小估计，掌握相关知识的应用是解题的关键．
3．如图，函数y＝ax2+bx+c的图象过点（﹣1，0）和（m，0），请思考下列判断：
①abc＜0；②4a+c＜2b；③1；④am2+（2a+b）m+a+b+c＜0；⑤|am+a|正确的是（ ）
A．①③⑤ B．①②③④⑤ C．①③④ D．①②③⑤
【答案】B
【分析】①利用图象信息即可判断；②根据x＝﹣2时，y＜0即可判断；③根据m是方程ax2+bx+c＝0的根，结合两根之积﹣m，即可判断；④根据两根之和﹣1+m，可得ma＝a﹣b，可得am2+（2a+b）m+a+b+c＝am2+bm+c+2am+a+b＝2a﹣2b+a+b＝3a﹣b＜0，⑤根据抛物线与x轴的两个交点之间的距离，列出关系式即可判断；
【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线交y轴于正半轴，
∴c＞0，
∵0，
∴b＞0，
∴abc＜0，故①正确，
∵x＝﹣2时，y＜0，
∴4a﹣2b+c＜0，即4a+c＜2b，故②正确，
∵y＝ax2+bx+c的图象过点（﹣1，0）和（m，0），
∴﹣1×m，am2+bm+c＝0，
∴0，
∴1，故③正确，
∵﹣1+m，
∴﹣a+am＝﹣b，
∴am＝a﹣b，
∵am2+（2a+b）m+a+b+c
＝am2+bm+c+2am+a+b
＝2a﹣2b+a+b
＝3a﹣b＜0，故④正确，
∵m+1＝||，
∴m+1＝||，
∴|am+a|，故⑤正确，
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）；△决定抛物线与x轴交点个数：Δ＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；Δ＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；Δ＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
4．在四边形ABCD中，AB∥DC，∠C＝∠D＝60o，AB＝6cm，CD＝12cm，点P从A点出发，沿A→D→C以1cm/s的速度运动；点Q从B点出发，沿B→C→D以2cm/s的速度运动，直到P与Q相遇就停止运动．在运动过程中，四边形ABQP的面积的最大值为（ ）
A．cm2 B．21cm2 C．cm2 D．cm2
【答案】C
【分析】作AE⊥CD于E，作BF⊥CD于F，可求得AD，BC，AE的值，进而求得四边形ABCD的面积；当点Q在AC上时，当点Q和点C重合时，四边形ABQP的面积＝18，当点Q在CD上，点P在AP上时，设四边形ABQP的面积为S，求得S，求得当t时，S最大，进一步得出结果．
【解答】解：如图1，
作AE⊥CD于E，作BF⊥CD于F，
∴∠BFE＝∠AEF＝90°，
∴AE∥BF，
∵AB∥CD，
∴四边形AEFB是平行四边形，
∴ AEFB是矩形，
∴EF＝AB＝6，AE＝BF，
∵∠C＝∠D，
∴△AED≌△BFC（AAS），
∴DE＝CF＝3，
∴AD＝BC＝2CF＝6，AE＝BF＝3，
∴梯形ABCD的面积S27，
如图2，
当点Q在BC上时，
当点Q和点C重合时，四边形ABQP的面积最大．此时AP＝PQ＝3，
∴四边形ABQP的面积＝2718，
如图3，
当点Q在CD上，点P在AD上时，设四边形ABQP的面积为S，
∵，
S△PDQ，
∴S＝27，
∴当t时，S最大，
因为，
故选：C．
【点评】本题考查了解直角三角形，二次函数及其图象的性质等知识，解决问题的关键是分类讨论．
5．已知抛物线y＝ax2+bx+c（0＜2a＜b）的顶点为P（x0，y0），点A（1，yA），B（0，yB），C（﹣1，yC）在该抛物线上，当y0≥0恒成立时，的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．3
【答案】D
【分析】利用点A（1，yA）、B（0，yB）、C（﹣1，yC）在抛物线y＝ax2+bx+c上得yA＝a+b+c，yB＝c，yC＝a﹣b+c，，再利用4a﹣2b+c≥0得到a+b+c≥3（b﹣a），所以3，从而得到的最小值．
【解答】解：点A（1，yA）、B（0，yB）、C（﹣1，yC）在抛物线y＝ax2+bx+c上，
得yA＝a+b+c，yB＝c，yC＝a﹣b+c，
∵y0≥0恒成立，0＜2a＜b，
∴x01，
∴4a﹣2b+c≥0，
即a+b+c≥3（b﹣a），
而b﹣a＞a＞0，
∴3，
即的最小值为3．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数的性质：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（，），对称轴直线x，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x时，y随x的增大而减小；x时，y随x的增大而增大；x时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x时，y随x的增大而增大；x时，y随x的增大而减小；x时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．
6．定义符号min{a，b}含义为：当a＞b时min{a，b}＝b；当a＜b时min{a，b}＝a．如：min{1，﹣3}＝﹣3，min{﹣4，2）＝﹣4．则min{﹣x2+1，﹣x}的最大值是（ ）
A． B． C．1 D．0
【答案】A
【分析】min{a，b}的含义就是取二者中的较小值，画出函数图象草图，利用函数图象的性质可得结论．
【解答】解：在同一坐标系xOy中，画出二次函数y＝﹣x2+1与正比例函数y＝﹣x的图象，如图所示．设它们交于点A、B．
令﹣x2+1＝﹣x，即x2﹣x﹣1＝0，解得：x或，
∴A（，），B（，）．
观察图象可知：
①当x时，min{﹣x2+1，﹣x}＝﹣x2+1，函数值随x的增大而增大，其最大值为；
②当x时，min{﹣x2+1，﹣x}＝﹣x，函数值随x的增大而减小，其最大值为小于；
③当x时，min{﹣x2+1，﹣x}＝﹣x2+1，函数值随x的增大而减小，最大值为．
综上所述，min{﹣x2+1，﹣x}的最大值是．
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数与正比例函数的图象与性质，充分理解定义min{a，b}和掌握函数的性质是解题的关键．
7．如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝﹣1，且过点（，0），有下列结论：
①abc＞0； ②a﹣2b+4c＞0；③25a﹣10b+4c＝0；④3b+2c＞0；
其中所有正确的结论是（ ）
A．①③ B．①③④ C．①②③ D．①②③④
【答案】C
【分析】①根据抛物线的开口方向、对称轴、与y轴的交点即可得结论；
②根据抛物线与x轴的交点坐标即可得结论；
③根据对称轴和与x轴的交点得另一个交点坐标，把另一个交点坐标代入抛物线解析式即可得结论；
④根据点（，0）和对称轴方程即可得结论．
【解答】解：①观察图象可知：
a＜0，b＜0，c＞0，∴abc＞0，
所以①正确；
②当x时，y＝0，
即ab+c＝0，
∴a+2b+4c＝0，
∴a+4c＝﹣2b，
∴a﹣2b+4c＝﹣4b＞0，
所以②正确；
③因为对称轴x＝﹣1，抛物线与x轴的交点（，0），
所以与x轴的另一个交点为（，0），
当x时，ab+c＝0，
∴25a﹣10b+4c＝0．
所以③正确；
④当x时，a+2b+4c＝0，
又对称轴：1，
∴b＝2a，ab，
b+2b+4c＝0，
∴bc．
∴3b+2cc+2cc＜0，
∴3b+2c＜0．
所以④错误．
或者∵当x＝1时，a+b+c＜0，
∴c＜﹣a﹣b，
又∵b＝2a，
∴ab，
∴cb，
∴2c＜﹣3b，
∴2c+3b＜0，
∴结论④错误
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征，解决本题的关键是熟练运用二次函数的图象和性质．
二．填空题（共8小题）
8．如图，在矩形ABCD中，AB＝12，BC＝16，点E、F分别是边AB、BC上的动点，且EF＝10，点G是EF的中点，AG、CG，则四边形AGCD面积的最小值为 142 ．
【答案】142
【分析】连接AC，过B作BH⊥AC于H，以B为圆心，BG为半径作圆，交BH于G'，由四边形ABCD是矩形，得∠EBF＝90°，又EF＝10，点G是EF的中点，即得BGEF＝5，故G在以B为圆心，5为半径的弧上，当G运动到G'时，S△ACG最小，此时四边形AGCD面积的最小值，最小值即为四边形AG'CD的面积，根据AB＝12＝CD，BC＝16＝AD，可得AC＝20，S△ACD＝96，BH，可得G'H＝BH﹣5，从而S△ACG'AC G'H＝46，得四边形AGCD面积的最小值是142．
【解答】解：连接AC，过B作BH⊥AC于H，以B为圆心，BG为半径作圆，交BH于G'，如图：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠EBF＝90°，
∵EF＝10，点G是EF的中点，
∴BGEF10＝5，
∴G在以B为圆心，5为半径的弧上，当G运动到G'时，S△ACG最小，此时四边形AGCD面积的最小值，最小值即为四边形AG'CD的面积，
∵AB＝12＝CD，BC＝16＝AD，
∴AC＝20，S△ACD12×16＝96，
∴BH，
∴G'H＝BH﹣55，
∴S△ACG'AC G'H2046，
∴S四边形AG'CD＝S△ACD+S△ACG'＝46+96＝142，即四边形AGCD面积的最小值是142．
故答案为：142．
【点评】本题考查矩形中的动点问题，解题的关键是求出G的运动轨迹．
9．约定：在平面直角坐标系中，若某函数图象上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称之为“P函数”，其图象上关于原点对称的不同的两点叫做一对“P点”．已知关于x的二次函数y＝ax2+bx﹣4a（a＜0）是“P函数”，其中A（2，﹣2），B两点为一对“P点”，点C是该二次函数图象上A，B两点之间的一个动点（含端点A，B）．若点C的纵坐标的最大值为，则a＝ ．
【答案】．
【分析】根据约定得到点B的坐标，将点A的坐标代入二次函数y＝ax2+bx﹣4a（a＜0），求出b的值，从而得到二次函数图象的对称轴，再分当﹣20时和当2时两种情况讨论即可．
【解答】解：∵A（2，一2），B两点为一对“P点”，
∴B（﹣2，2），且点A，B都在二次函数图象上．
将点A的坐标代入二次函数y＝ax2+bx﹣4a（a＜0），
得4a+2b﹣4a＝﹣2，
解得b＝﹣1．
∴二次函数的表达式为y＝ax2﹣x﹣4a（a＜0）．
∴二次函数图象的对称轴为直线x，
当﹣20时，
∵a＜0，
∴顶点纵坐标为点C纵坐标的最大值，
即a，
解得a＝±，
∵a＜0，
∴a．
当2时，
∵a＜0，
∴点B的纵坐标为点C纵坐标的最大值，
即2a，
解得a，
此时2不成立，含去．
综上所述，a．
故答案为：．
【点评】本题考查二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，理解约定，掌握二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征是解题的关键．
10．已知二次函数y＝x2﹣2ax+3（其中x是自变量且a≠0），且﹣2≤x≤1时，y的最小值为1，则a的值是 或 ．
【答案】或．
【分析】先求出二次函数的对称轴x＝a，然后分a≤﹣2，﹣2＜a≤1，a＞1三种情况利用二次函数的性质求解即可．
【解答】解：∵y＝x2﹣2ax+3＝（x﹣a）2﹣a2+3，
∴二次函数对称轴为直线x＝a，抛物线开口向上，
当a≤﹣2时，在﹣2≤x≤1时，y随着x的增大而增大，
当x＝﹣2时，y取得最小值，y＝（﹣2）2﹣2a×（﹣2）+3＝7+4a，
∵y的最小值为1，
∴7+4a＝1，
解得，不合题意舍去，
当﹣2＜a≤1时，在﹣2≤x≤1时，
当x＝a时，y取得最小值，y＝a2﹣2a×a+3＝﹣a2+3，
∵y的最小值为1，
∴﹣a2+3＝1，
解得（不合题意，舍去）或，
此时符合题意；
当a＞1时，在﹣2≤x≤1时，y随着x的增大而减小，
当x＝1时，y取得最小值，y＝12﹣2a×1+3＝﹣2a+4，
∵y的最小值为1，
∴﹣2a+4＝1，
解得，
此时符合题意；
综上所述，或，
故答案为：或．
【点评】本题主要考查了二次函数图象的性质，求出二次函数的对称轴，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
11．一条抛物线，顶点坐标为（4，﹣2），且形状与抛物线y＝x2+2相同，则它的函数表达式是 y＝（x﹣4）2﹣2或y＝﹣（x﹣4）2﹣2 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】直接利用抛物线形状相同，则|a|的值相等，进而结合函数顶点坐标得出答案．
【解答】解：由题意可得：顶点坐标为（4，﹣2），且形状与抛物线y＝x2+2相同，
它的函数表达式是：y＝（x﹣4）2﹣2或y＝﹣（x﹣4）2﹣2．
故答案为：y＝（x﹣4）2﹣2或y＝﹣（x﹣4）2﹣2．
【点评】此题主要考查了二次函数的性质，正确得出a的值是解题关键．
12．在平面直角坐标系中，已知点A（1，2），B（2，3），C（2，1），直线y＝x+m经过点A，抛物线y＝ax2+bx+1恰好经过A，B，C三点中的两点．则a+b＝ 1 ；若平移抛物线y＝ax2+bx+1，使其顶点仍在直线y＝x+m上，则平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的最大值是 ．
【答案】1；．
【分析】根据待定系数法求得直线的解析式，然后即可判断点B（2，3）在直线y＝x+m上；因为直线经过A、B和点（0，1），所以经过点（0，1）的抛物线不同时经过A、B点，即可判断抛物线只能经过A、C两点，根据待定系数法即可求得a、b；设平移后的抛物线为y＝﹣x2+px+q，其顶点坐标为（，q），根据题意得出q1，由抛物线y＝﹣x2+px+q与y轴交点的纵坐标为q，即可得出q1（p﹣1）2，从而得出q的最大值．
【解答】解：∵直线y＝x+m经过点A（1，2），
∴2＝1+m，解得m＝1，
∴直线为y＝x+1，
把x＝2代入y＝x+1得y＝3，
∴点B（2，3）在直线y＝x+m上；
∵直线y＝x+1经过点B（2，3），直线y＝x+1与抛物线y＝ax2+bx+1都经过点（0，1），点（0，1），A（1，2），B（2，3）在直线上，点（0，1），A（1，2）在抛物线上，直线与抛物线不可能有三个交点，
∵B（2，3），C（2，1）两点的横坐标相同，
∴抛物线只能经过A、C两点，
把A（1，2），C（2，1）代入y＝ax2+bx+1，得
．
解得a＝﹣1，b＝2．
∴a+b＝﹣1+2＝1．
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+1，
设平移后的抛物线的解析式为y＝﹣x2+px+q，其顶点坐标为（，q），
∵顶点仍在直线y＝x+1上，
∴q1，
∴q1，
∵抛物线y＝﹣x2+px+q与y轴的交点的纵坐标为q，
∴q1（p﹣1）2，
∴当p＝1时，平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的最大值为．
故答案为：1；．
【点评】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数的解析式和二次函数的解析式，二次函数的图象与几何变换，二次函数的性质，题目有一定难度．
13．定义：在平面直角坐标系xOy中，函数图象上到两坐标轴的距离之和等于n（n＞0）的点，叫做该函数图象的“n阶和点”．例如，（2，1）为一次函数y＝x﹣1的“3阶和点”．
（1）若点（﹣1，﹣1）是y关于x的正比例函数y＝mx的“n阶和点”，则m+n＝ 3 ；
（2）若y关于x的一次函数y＝nx﹣4的图象有且仅有2个“n阶和点”，则n的取值范围为 n＞2 ．
【答案】（1）3；
（2）n＞2．
【分析】（1）由新定义即可求解；
（2）利用一次函数的性质确定y关于x的一次函数y＝nx﹣4的图象经过第一、三、四象限，再利用分类讨论的方法和“n阶和点”的定义，求得x的值，进而得到关于n的不等式，解不等式求得n的取值范围，再利用已知条件即可得出结论．
【解答】解：（1）∵点（﹣1，﹣1）是y关于x的正比例函数y＝mx的点，
∴﹣m＝﹣1，
∴m＝1．
∵点（﹣1，﹣1）到两坐标轴的距离之和等于2，
∴点（﹣1，﹣1）是y关于x的正比例函数y＝mx的“2阶和点”，
∴n＝2．
则m+n＝3
故答案为：3；
（2）∵y关于x的一次函数y＝nx﹣4的图象有且仅有2个“n阶和点”，
∴一次函数y＝nx﹣4的图象与以原点为中心，两对角线在坐标轴上，边长为n的正方形有两个交点．
由题意得：n＞0，
∵﹣4＜0，
∴y关于x的一次函数y＝nx﹣4的图象经过第一、三、四象限，
①如图，当0＜n≤4时，
一次函数y＝nx﹣4的图象经过（n，0），则n2﹣4＝0，
∴n＝±2．
∵n＞0，
∴n＝2．
∵y关于x的一次函数y＝nx﹣4的图象有且仅有2个“n阶和点”，
∴2＜n≤4．
②如图，当n＞4时，y关于x的一次函数y＝nx﹣4的图象有且仅有2个“n阶和点”，
综上，y关于x的一次函数y＝nx﹣4的图象有且仅有2个“n阶和点”，n的取值范围为n＞2．
故答案为：n＞2．
【点评】本题主要考查了一次函数的图形与性质，一次函数图象上点的坐标的特征，待定系数法，本题是新定义型，理解新定义并熟练运用是解题的关键．
14．已知二次函数y＝x2﹣4x+m（m为常数）的图象上的两点A（x1，y1）、B（x2，y2），若x1＜2＜x2，且x1+x2＞4，则y1与y2的大小关系为y1 ＜ y2．（填“＞”或“＜”或“＝”）
【答案】见试题解答内容
【分析】计算函数对称轴，比较A、B两点离对称轴的远近即可求解．
【解答】解：二次函数y＝x2﹣4x+m的对称轴为x2，
x1＜2＜x2，则A、B在对称轴两侧，
x1+x2＞4，则（x1+x2）＞2，即B离对称轴的距离比A离对称轴的距离远，
而a＝1＞0，抛物线开口向上，故y2大于y1，
故答案为：＜．
【点评】本题考查的是二次函数图象上点的坐标特征，关键在于确定函数的对称轴，进而求解．
15．△ABC中，AB＝AC＝5，，边AB上有动点P，以PC为边作正方形PCDE，则：
（1）当BP＝ 4 时，△BPE的面积最大；
（2）△BPE的面积最大值为 8 ．
【答案】（1）4；（2）8．
【分析】证明△EPN≌△PCM（AAS），得到∴EN＝PM＝8﹣BP，由 BP ，即可求解．
【解答】解：（1）过C、E分别作AB的垂线，垂足分别为M、N，作AH⊥BC于点H，
则BH＝CH＝2，
则AH
则S△ABCBC×AHCM×AB，即5CM4，
解得：CM＝4，
在Rt△ACM中，AC＝5，CM＝4，则AM＝3，
则BM＝AB+AM＝8，
∵∠MPC+∠EPN＝90°，∠EPN+∠NPE＝90°，
∴∠PCM＝∠NPE，
∵∠ENP＝∠PMC＝90°，PE＝PC，
∴△EPN≌△PCM（AAS），
∴EN＝PM＝8﹣BP，
∴ BP ，
即当BP＝4时，△BPE的面积最大；
（2）由（1）知，BPE的面积的最大值为8．
【点评】本题考查的是二次函数的最值，涉及到正方形的性质、三角形全等等，难度适中．
三．解答题（共7小题）
16．如图所示，已知抛物线y＝ax2+bx﹣8（a≠0）经过点A（﹣2，0）、B（4，0），与直线y＝x﹣4交于B，D两点．
（1）求抛物线的解析式并直接写出D点的坐标；
（2）点P为直线BD下方抛物线上的一个动点，试求出△BDP面积的最大值及此时点P的坐标；
（3）在抛物线上有一点M，过点M作x轴的垂线交x轴于点N，若△AMN是等腰直角三角形，求点M的坐标．
【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣8；点D的坐标是（﹣1，﹣5）；
（2）△BDP的面积的最大值为；P（，）；
（3）点M的坐标为（5，7）或（3，﹣5）．
【分析】（1）设抛物线的解析式为y＝a（x+2）（x﹣4），将点C的坐标代入可求得a的值，然后将y＝x﹣4与抛物线的解析式联立方程组并求解即可；
（2）过点P作PE∥y轴，交直线AB与点E，设P（x，x2﹣2x﹣8），则E（x，x﹣4），则PE＝﹣x2+3x+4，然后依据S△BDP＝S△DPE+S△BPE，列出△BDP的面积与x的函数关系式，然后依据二次函数的性质求解即可；
（3）设点N的坐标为（m，0）则点M（m，m2﹣2m﹣8），则AN＝|m+2|，MN＝|m2﹣2m﹣8|，进而得到|m+2|＝|m2﹣2m﹣8|，解答即可得到m的值，进而得到点M的坐标为（5，7）或（3，﹣5）．
【解答】解：（1）已知抛物线y＝ax2+bx﹣8（a≠0）经过点A（﹣2，0）、B（4，0），将点A，点B的坐标代入得：
，
解得：，
∴设该抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣8，
联立方程组：，
解得（舍去）或，
即点D的坐标是（﹣1，﹣5）；
（2）如图1：过点P作PE∥y轴，交BD于点E，
设P（x，x2﹣2x﹣8），则E（x，x﹣4）．
∴PE＝x﹣4﹣（x2﹣2x﹣8）＝﹣x2+3x+4．
∴S△BDP＝S△DPE+S△BPEPE （xp﹣xD）PE （xB﹣xE）PE （xB﹣xD）（﹣x2+3x+4）（x）2．
∴当x时，△BDP的面积的最大值为．
∴P（，）．
（3）如图2，
∵MN⊥x轴于N，
∴∠MNA＝90°，
∵△AMN是等腰直角三角形，
∴AN＝MN，
∵点P在抛物线y＝x2﹣2x﹣8上，
∴设点N的坐标为（m，0）则点M（m，m2﹣2m﹣8），
∴AN＝|m﹣（﹣2）|＝|m+2|，MN＝|m2﹣2m﹣8|，
∴|m+2|＝|m2﹣2m﹣8|，
∴m+2＝m2﹣2m﹣8或m+2＝﹣（m2﹣2m﹣8），
即m2﹣3m﹣10＝0或m2﹣m﹣6＝0，
当m2﹣3m﹣10＝0时，
解得m＝5或m＝﹣2（舍去），
此时M（5，7）；
当m2﹣m﹣6＝0时，
解得m＝3或m＝﹣2（舍去），
此时M（3，﹣5），
综上，点M的坐标为（5，7）或（3，﹣5）．
【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数的表达式，等腰直角三角形的判定等知识点，分类讨论是解答本题的关键．
17．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣4与x轴交于点A（﹣2，0），B（4，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点P是直线BC下方抛物线上一点，过点P作PD⊥x轴于点D，交BC于点E，作PF⊥BC于点F．
（i）是否存点P，使得BE＝EF．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（ii）求△PEF周长的最大值及此时点P的坐标．
【答案】（1）；
（2）（i）不存点P，使得BE＝EF；理由如下：
如图，
∵抛物线的解析式为，
∴当x＝0时，得：y＝﹣4，
∴C（0，﹣4），
∵B（4，0），
∴OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB＝45°，
∵PF⊥BC，PD⊥AB，
∴∠DEB＝45°＝∠PEF＝∠FPE，
∴，，
∵BE＝EF，
∴，
∴PE＝2DE，
∵B（4，0），C（0，﹣4），
设直线BC为y＝kx﹣4，
∴4k﹣4＝0，
解得：k＝1，
∴直线BC为y＝x﹣4，
设，则E（x，x﹣4），
∴DE＝4﹣x，，
∴，
解得：x1＝x2＝4，
∴P（4，0），
此时P，B重合，不符合题意；
∴不存点P，使得BE＝EF；
（ii）△PEF周长的最大值为，P（2，﹣4）．
【分析】（1）根据题意设抛物线为y＝a（x+2）（x﹣4）＝ax2﹣2ax﹣8a，可得﹣8a＝﹣4，再进一步求解即可；
（2）（i）如图，求解C（0，﹣4），证明，，结合BE＝EF，可得PE＝2DE，求解直线BC为y＝x﹣4，设，则E（x，x﹣4），可得DE＝4﹣x，，再建立方程求解即可；
（ii）由（i）得：，，可得△PEF周长，再利用二次函数的性质求解即可．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣4与x轴交于点A（﹣2，0），B（4，0），将点A，点B的坐标分别代入得：
，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）（i）不存点P，使得BE＝EF；理由如下：
如图，
∵抛物线的解析式为，
∴当x＝0时，得：y＝﹣4，
∴C（0，﹣4），
∵B（4，0），
∴OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB＝45°，
∵PF⊥BC，PD⊥AB，
∴∠DEB＝45°＝∠PEF＝∠FPE，
∴，，
∵BE＝EF，
∴，
∴PE＝2DE，
∵B（4，0），C（0，﹣4），
设直线BC为y＝kx﹣4，
∴4k﹣4＝0，
解得：k＝1，
∴直线BC为y＝x﹣4，
设，则E（x，x﹣4），
∴DE＝4﹣x，，
∴，
解得：x1＝x2＝4，
∴P（4，0），
此时P，B重合，不符合题意；
∴不存点P，使得BE＝EF；
（ii）由（i）得：，，
∴△PEF周长，
∵，
∴当时，△PEF周长最大，
最大值为，
此时，
∴P（2，﹣4）．
【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，等腰直角三角形的判定与性质，一元二次方程的解法，二次函数的性质，熟练的利用数形结合的方法解题是关键．
18．新定义：抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（x1，0）、B（x2，0），x1＜x2，与y轴交于点C．若△ABC为直角三角形，则称此抛物线为“直角型抛物线”．
（1）抛物线是“直角型抛物线”吗？请说明理由．
（2）若抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）是“直角型抛物线”，且tan∠BAC＝2，求b的值．
（3）若抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）是“直角型抛物线”，△ABC的面积为S，且函数，当时，t的最小值为1，求S的值及抛物线的解析式．
【答案】（1）抛物线是“直角型抛物线”；理由如下：
抛物线与x轴交于点A（x1，0）、B（x2，0），x1＜x2，与y轴交于点C，
当y＝0时，得：，
解得：x1＝﹣1，x2＝4，
当x＝0时，得：y＝2，
∴A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2），
∴AB＝4﹣（﹣1）＝5，
∴，，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC为直角三角形，
∴抛物线是“直角型抛物线”；
（2）或；
（3）S＝6，抛物线的解析式为．
【分析】（1）利用抛物线的解析式求出点A，B，C的坐标，得出AB，AC，BC的长，再利用勾股定理的逆定理即可得出答案；
（2）利用抛物线的解析式得出C（0，c），令y＝0得到ax2+bx+c＝0，利用一元二次方程根与系数的关系得出，根据“直角型抛物线”的定义得到∠ACB＝90°，利用勾股定理整理得到c2＝﹣x1x2，进而推出x1+x2＝bc，ac＝﹣1，在Rt△ABC中利用正切的定义得到BC＝2AC，代入数据整理得到x2＝﹣4x1，，则有c＝2x1或c＝﹣2x1，再分2种情况求出对应b的值即可；
（3）利用三角形的面积公式表示出，则有，整理得到，结合当时，t的最小值为1，利用二次函数的性质求出S和对应a的值，即可求出抛物线的解析式．
【解答】解：（1）抛物线是“直角型抛物线”；理由如下：
抛物线与x轴交于点A（x1，0）、B（x2，0），x1＜x2，与y轴交于点C，
当y＝0时，得：，
解得：x1＝﹣1，x2＝4，
当x＝0时，得：y＝2，
∴A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2），
∴AB＝4﹣（﹣1）＝5，
∴，，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC为直角三角形，
∴抛物线是“直角型抛物线”；
（2）令x＝0，则y＝c，
∴C（0，c），
令x＝0，则ax2+bx+c＝0，
∴，，
∴，
∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）是“直角型抛物线”，
∴△ABC为直角三角形，且∠ACB＝90°，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴，
整理得：c2＝﹣x1x2，
∴，
整理得：x1+x2＝bc，ac＝﹣1，
在Rt△ABC中，，
∴BC＝2AC，
∴BC2＝4AC2，
∴，即，
解得：x2＝﹣4x1或x2＝x1（不合题意，舍去），
∴B（﹣4x1，0），，
∴c＝2x1或c＝﹣2x1，
∵x1＜x2，即x1＜﹣4x1，
∴x1＜0，
当c＝2x1时，b 2x1＝bc＝x1+x2＝﹣3x1，
解得：；
当c＝﹣2x1时，b （﹣2x1）＝bc＝x1+x2＝﹣3x1，
解得：；
∴综上所述，b的值为或；
（3）∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）是“直角型抛物线”，
∴△ABC为直角三角形，且∠ACB＝90°，
由（2）得，，，ac＝﹣1，
∴，
∴，
∵C（0，c），
∴，
∴，
∴，
∴，
∴函数t的对称轴为，
由题意得，S＞0，
①当，即0＜S＜1，
当a＝2时，t取最小值1，
此时，
解得：（不合题意，舍去）；
②当时，即1≤S≤4，
当时，t取最小值1，
此时，
解得：S＝8（不合题意，舍去）；
③当，即S＞4，
当时，t取最小值1，
此时，
解得：S＝6，
∴，，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
综上所述，S＝6，抛物线的解析式为．
【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的图象与性质、抛物线与坐标轴的交点、勾股定理及其逆定理、一元二次方程根与系数的关系、解直角三角形，理解“直角型抛物线”的定义是解题的关键．
19．在平面直角坐标系中，若一次函数y＝ax+b的图象关于直线x＝1对称后与反比例函数的图象有公共点，则称公共点为y＝ax+b与的关联点，二次函数y＝ax2+bx+c为y＝ax+b与的关联函数．
（1）判断y＝﹣x+4与与是否存在关联函数，若存在，请求出关联点坐标，若不存在，请说明理由．
（2）已知点M（m，n）为y＝﹣2kx+7k+2与的关联点，其中﹣1≤m≤1，直接写出k的取值范围．
（3）已知y＝﹣kx﹣k+5与存在两不同的关联点P1，P2，对应的关联函数记为二次函数C，直线P1P2与直线y＝8，双曲线所围成的封闭区域（不含边界）Ω内恰有10个整点，若点S、T为关联函数C与直线y＝x的两个公共点，N为封闭区域Ω内的某一整点，直接写出△STN面积s的取值范围．
【答案】（1）y＝﹣x+4与存在关联函数，关联点的坐标为（﹣1，1）；
（2）k≤﹣1或k≥1；
（3）△STN面积s的取值范围是．
【分析】（1）求y＝﹣x+4关于x＝1对称的函数解析式，与联立，解方程组，求交点坐标即可；
（2）求y＝﹣2kx+7k+2关于直线x＝1对称的函数解析式，与联立，解方程组，结合m的取值范围，解不等式，即可得k的取值范围；
（3）分类讨论，确定满足题意的k的取值范围，综合应用不等式的性质和勾股定理，计算每种情况对应的△STN的面积的取值范围即可．
【解答】解：（1）把x＝0代入y＝﹣x+4，得y＝4；把y＝0代入y＝﹣x+4，得x＝4，
∴点（0，4）和（4，0）在直线y＝﹣x+4上，
由轴对称得，点（0，4）和（4，0）关于直线x＝1的对称点分别为（2，4）和（﹣2，0），
设一次函数y＝﹣x+4关于直线x＝1对称的函数为y＝mx+n，
把（2，4）和（﹣2，0）代入得，，
解得，，
∴一次函数y＝﹣x+4关于直线x＝1对称的函数为y＝x+2，
由，
解得，
∴y＝﹣x+4与存在关联函数，关联点坐标为 （﹣1，1）；
（2）y＝﹣2kx+7k+2＝（﹣2x+7）k+2，令﹣2x+7＝0，得，
∴直线y＝﹣2kx+7k+2过定点，
∵，
∴关于直线x＝1的对称点为，
在y＝﹣2kx+7k+2中，令x＝0，得y＝7k+2，
（0，7k+2）关于直线x＝1的对称点为（2，7k+2），
设一次函数y＝﹣2kx+7k+2关于直线x＝1对称的函数为y＝px+q，
把（2，7k+2）代入得，，
解得，，
∵一次函数y＝﹣2kx+7k+2关于直线x＝1对称的函数为y＝2kx+3k+2，
由得，
∴2kx2+（3k+2）x+3＝0，
∴（2x+3）（kx+1）＝0，
∴或，
∵点M（m，n）为y＝﹣2kx+7k+2与的关联点，﹣1≤m≤1，
∴，
∴，
∴k≤﹣1或k≥1；
（3）y＝﹣kx﹣k+5＝﹣k（x+1）+5，
令x+1＝0，得x＝﹣1，
∴直线y＝﹣kx﹣k+5过顶点（﹣1，5），
∵1×2﹣（﹣1）＝3，
∴（﹣1，5）关于直线x＝1的对称点为A（3，5），
在y＝﹣kx﹣k+5中，令x＝1，得y＝﹣2k+5，
设一次函数y＝﹣kx﹣k+5关于直线x＝1对称的函数为y＝ex+f，把（3，5），（1，﹣2k+5）代入得，，
解得，，
∴一次函数y＝﹣kx﹣k+5关于直线x＝1对称的函数为y＝kx﹣3k+5，
由得，
∴kx2+（5﹣3k）x﹣4＝0，Δ＝（5﹣3k）2+16k＞0，
对于直线y＝kx﹣3k+5，与y＝8，所围成的封闭区域：
当k＞0时，要使区域内有10个整点，
当x＝1时，可取的整点有（1，5），（1，6），（1，7），
当x＝2时，可取的整点有（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（2，7），
当x＝3时，可取的整点有（3，6），（3，7），
当k特别大时，可取的整点恰有10个：（1，5），（1，6），（1，7），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（2，7），（3，6），（3，7），
当直线y＝kx﹣3k+5过点（4，7）时，k＝2，即y＝2x﹣1，直线y＝2x﹣l过点（2，3），
∴k＞2符合题意，
当k＜2时，（2，3）不可取，但（4，7）可取，下一个可取到的整点为（4，6），（5，7），此时，k＝1，
∴1＜k＜2符合题意，
当0＜k＜1时，（4，6），（5，7）均可取，此时已经有11个整点，k越小整点越多，故不符合题意；
当k＜0时，随着|k|减小，整点会由第一象限向y轴和第二象限扩展，当k＜﹣2时，有11个整点：（1，5），（1，6），（1，7），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（2，7），（3，2），（3，3），（3，4），
当k＝﹣2时，舍弃（2，6），增加（4，1），仍然有11个整点，
当k＜0时，随着|k|减小，整点会由第一象限向y轴和第二象限扩展，当k＜﹣2时，有11个整点：（1，5），（1，6），（1，7），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（2，7），（3，2），（3，3），（3，4），
当k＝﹣2时，舍弃（2，6），增加（4，1），仍然有11个整点，
当k增大到直线y＝kx﹣3k+5过点时，即时，区域内直线上方减少的整点的个数小于直线下方增加的整点的个数，此时，不能找到符合题意的k，随着k进一步增大，封闭区域内的整点会出现在第二象限；
在y轴上和第二象限，首先收入的整点为（0，6），（0，7），（﹣1，6），（﹣1，7），（﹣2，7），（﹣3，7），（﹣4，7），（﹣5，7），（﹣6，7），由图可知，若（﹣7，7）在封闭区域内，则 （﹣2，6）会同时收入封闭区域内，此时，整点为11个，无法找到恰有10个整点的情况，故k＜0不符合题意；
根据题意可知，关联函数C为y＝﹣kx2+（5﹣k）x+4，
由可得，kx2+（k﹣4）x﹣4＝0，
∴（x+1）（kx﹣4）＝0，
∴x＝﹣1或，
∴关联函数C与直线y＝x的两个公共点的坐标为 （﹣1，﹣1），，
当1＜k＜2时，，
∵，，，
∴，若△STN以ST为底边，则10个整点到y＝x的距离的取值范围为，
∵，，
∴3＜s＜15，
当k＞2时，，
∵，，，
∴，若△STN以ST为底边，则10个整点到y＝x的距离的取值范围为，
∵，，
∴，
综上，．
答：△STN 面积s的取值范围是．
【点评】本题考查求一次函数的解析式，一次函数与反比例函数的交点问题，一次函数与几何的综合，不等式的性质，解题的关键是正确理解题意，熟练掌握分类讨论和数形结合的解题思想．
20．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3），连接AC，点P是抛物线上一动点．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）如图1，当点P在第二象限时，连接PC，交x轴于点E．当CP平分∠ACO时，求点E的坐标；
（3）如图2，当点P在第三象限时，过点P作PM⊥AC于点M，作PN∥AC交抛物线于点N，当PM＝PN时，求点P的坐标．
【答案】（1）y＝x2+2x﹣3；
（2）；
（3）（﹣1，﹣4）或（﹣2，﹣3）．
【分析】（1）把A（﹣3，0），B（1，0），C（0，﹣3）代入y＝ax2+bx+c，得，解方程组即可求出a、b、c的值，进而得出该抛物线的函数表达式；
（2）过点E作EF⊥AC于点F，则∠AFE＝90°，由角平分线的性质定理可得EF＝OE，由A（﹣3，0），C（0，﹣3）可得OA＝3，OC＝3，进而可得OA＝OC，由等边对等角及三角形的内角和定理可得，即∠FAE＝45°，由直角三角形的两个锐角互余可得∠FEA＝90°﹣∠FAE＝45°，进而可得∠FAE＝∠FEA，由等角对等边可得AF＝EF，则AF＝EF＝OE，设AF＝EF＝OE＝x，由勾股定理可得，由AE+OE＝OA可得，解方程即可求出x的值，进而可得点E的坐标；
（3）连接MN，过点P作PT∥y轴，交直线AC于点T，由PM⊥AC可得∠AMP＝90°，由两直线平行内错角相等可得∠MPN＝∠AMP＝90°，由等边对等角及三角形的内角和定理可得，设直线AC的函数表达式为y＝kx+b，将A（﹣3，0），C（0，﹣3）代入，得，解得，于是可得直线AC的函数表达式为y＝﹣x﹣3，设PT＝2m，由PN∥AC可得直线PN的函数表达式为y＝﹣x﹣3﹣2m，设P（t，t2+2t﹣3），N（n，n2+2n﹣3），则T（t，﹣t﹣3），由直线PN与抛物线交于点P，N可得x2+2x﹣3＝﹣x﹣3﹣2m，整理得x2+3x+2m＝0，由一元二次方程的根与系数的关系可得x1+x2＝n+t＝﹣3，x1x2＝nt＝2m，由（2）得∠ACO＝45°，由两直线平行内错角相等可得∠PTM＝∠ACO＝45°，由直角三角形的两个锐角互余可得∠MPT＝90°﹣∠PTM＝45°，过点P作PH⊥MN于点H，则∠PHM＝90°，由直角三角形的两个锐角互余可得∠HPM＝90°﹣∠PMN＝45°，进而可得∠HPM＝∠PMH＝∠MPT＝∠PTM＝45°，由等角对等边可得PH＝MH，PM＝TM，由内错角相等两直线平行可得MH∥PT，由勾股定理可得PT2＝PM2+TM2＝2PM2＝2（PH2+MH2）＝2×2PH2＝4PH2，则，即|n﹣t|＝m，进而可得（n﹣t）2＝（n+t）2﹣4nt＝m2，再结合n+t＝﹣3，nt＝2m，可得（﹣3）2﹣4×2m＝m2，整理得m2+8m﹣9＝0，解得m1＝1，m2＝﹣9（不符合题意，故舍去），则PT＝2m＝2，即（﹣t﹣3）﹣（t2+2t﹣3）＝﹣t2﹣3t＝2，解得t1＝﹣1，t2＝﹣2，则t2+2t﹣3＝﹣4或﹣3，由此即可得出点P的坐标．
【解答】解：（1）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3），将点A，点B，点C的坐标分别代入得：
，
解得：，
∴该抛物线的函数表达式为y＝x2+2x﹣3；
（2）当点P在第二象限时，如图1，过点E作EF⊥AC于点F，
则∠AFE＝90°，
∵CP平分∠ACO，
∴EF＝OE，
∵A（﹣3，0），C（0，﹣3），
∴OA＝0﹣（﹣3）＝3，OC＝0﹣（﹣3）＝3，
∴OA＝OC，
∵∠AOC＝90°，
∴，
即：∠FAE＝45°，
∴∠FEA＝90°﹣∠FAE＝90°﹣45°＝45°，
∴∠FAE＝∠FEA，
∴AF＝EF，
∴AF＝EF＝OE，
设AF＝EF＝OE＝x，
在直角三角形AEF中，由勾股定理得：，
∵AE+OE＝OA，
∴，
解得：，
∴点E的坐标为；
（3）当点P在第三象限时，连接MN，过点P作PT∥y轴，交直线AC于点T，如图2，
∵PM⊥AC于点M，PN∥AC交抛物线于点N，
∴∠AMP＝90°，∠MPN＝∠AMP＝90°，
∵PM＝PN，
∴△MPN是等腰直角三角形，
∴，
设直线AC的函数表达式为y＝kx+b，将点A，点C的坐标分别代入，得：
，
解得：，
∴直线AC的函数表达式为y＝﹣x﹣3，
设PT＝2m，
∵PN∥AC，
∴直线PN的函数表达式为y＝﹣x﹣3﹣2m，
设P（t，t2+2t﹣3），N（n，n2+2n﹣3），则T（t，﹣t﹣3），
∵直线PN与抛物线交于点P，N，
∴x2+2x﹣3＝﹣x﹣3﹣2m，
整理，得：x2+3x+2m＝0，
∴x1+x2＝n+t＝﹣3，x1x2＝nt＝2m，
由（2）得：∠ACO＝45°，
∵PT∥y轴，
∴∠PTM＝∠ACO＝45°，
∴∠MPT＝90°﹣∠PTM＝90°﹣45°＝45°，
如图，过点P作PH⊥MN于点H，则∠PHM＝90°，
∴∠HPM＝90°﹣∠PMN＝90°﹣45°＝45°，
∴∠HPM＝∠PMH＝∠MPT＝∠PTM＝45°，
∴PH＝MH，PM＝TM，MH∥PT，
∵PT2＝PM2+TM2＝2PM2＝2（PH2+MH2）＝2×2PH2＝4PH2，
∴，
即：|n﹣t|＝m，
∴（n﹣t）2＝（n+t）2﹣4nt＝m2，
∵n+t＝﹣3，nt＝2m，
∴（﹣3）2﹣4×2m＝m2，
整理，得：m2+8m﹣9＝0，
解得：m1＝1，m2＝﹣9（不合题意，舍去），
∴PT＝2m＝2×1＝2，
∴（﹣t﹣3）﹣（t2+2t﹣3）＝﹣t2﹣3t＝2，
解得：t1＝﹣1，t2＝﹣2，
∴t2+2t﹣3＝（﹣1）2+2×（﹣1）﹣3＝﹣4或t2+2t﹣3＝（﹣2）2+2×（﹣2）﹣3＝﹣3，
∴点P的坐标为（﹣1，﹣4）或（﹣2，﹣3）．
【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，勾股定理，求一次函数解析式，一次函数图象平移问题，一元二次方程的根与系数的关系，角平分线的性质定理，因式分解法解一元二次方程，等边对等角，等角对等边，三角形的内角和定理，直角三角形的两个锐角互余，两直线平行内错角相等，内错角相等两直线平行，完全平方公式，代数式求值，解三元一次方程组，解二元一次方程组，解一元一次方程等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键．
21．【数学建模】用脚去丈量世界，用眼睛去记录风景，“十一”黄金周期间秋高气爽，露营成为大多数人倾向的假期休闲活动，各式帐篷成为户外露营活动的必要装备．其中抛物线型帐篷（图1）支架简单，携带方便，适合一般的休闲旅行使用．
【建立模型】小邕发现A款帐篷搭建时张开的宽度AB＝4m，顶部高度h＝2m，于是他建立了平面直角坐标系（如图2所示），请你帮他求出帐篷支架对应的抛物线函数关系式．
【运用模型】每款帐篷张开时的宽度和顶部高度会影响容纳的椅子数量，图3为一张椅子摆入A款帐篷后的简易视图，椅子高度EC＝0.72m，宽度CD＝0.5m，若在帐篷内沿AB方向摆放一排此款椅子，求最多可摆放的椅子数量．
【分析计算】现要设计一款抛物线型帐篷，要求顶部高度为2.5米，且一排能容纳5张高为1m，宽为0.6m的椅子．设其抛物线型支架的形状值为a（a＜0），请求出a的最小值．
【答案】【建立模型】；
【运用模型】最多可摆放的椅子数量为6张；
【分析计算】．
【分析】【建立模型】以AB的中点为平面直角坐标系的原点，此时A（﹣2，0），B（2，0），且经过（0，2），代入抛物线函数关系式，即可作答．
【运用模型】在【建立模型】的基础上，令，求出x1＝1.6，x2＝﹣1.6，得出3.2÷0.5＝6.4（张），即可作答．
【分析计算】设抛物线函数关系式为y＝ax2+2.5，根据“且一排能容纳5张高宽分别为1m和0.6m的椅子”，建立不等式，即可作答．
【解答】解：【建立模型】A款帐篷搭建时张开的宽度AB＝4m，顶部高度h＝2m，
∴A（﹣2，0），B（2，0），
∵抛物线经过点（0，2），
设抛物线函数关系式为y＝ax2+bx+c，代入点A，点B，点C的坐标得：
，
解得：，
∴抛物线函数关系式为yx2+2；
【运用模型】∵，且椅子高度EC＝0.72m，宽度CD＝0.5m，
∴，
解得x1＝1.6，x2＝﹣1.6，
1.6+1.6＝3.2（m）；
3.2÷0.5＝6.4（张），
∵椅子数量为正整数，
∴最多可摆放的椅子数量为6张；
【分析计算】依题意，设抛物线函数关系式为y＝ax2+2.5，
∵且一排能容纳5张高宽分别为1m和0.6m的椅子，
∴即刚好经过点D点，
∴，
∴y＝ax2+2.5经过点，
即当y＝1时，即，
解得，
∴a的最小值为．
【点评】本题考查了二次函数的图象性质，平面直角坐标系，不等式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
22．抛物线y＝ax2+bx﹣4过点A（﹣1，0），点B（3，0），C是抛物线的顶点，D是抛物线与y轴的交点．
（1）求抛物线的表达式及点C的坐标；
（2）点P在抛物线上，且位于直线BD下方，过点P作PQ平行于x轴交直线BD于点Q，求PQ的最大值；
（3）M为抛物线上一点，N为抛物线对称轴上一点，若MN∥BD，且MN＝BD，求点M和点N的坐标．
【答案】（1）；；
（2）；
（3）或．
【分析】（1）利用待定系数法即可求解出解析式，进而出顶点坐标C；
（2）先求出D（0，﹣4），再求出直线BD的解析式为，设，求出，再求出PQ＝﹣p2+3p，即可求解；
（3）根据题意，当MN∥BD，且MN＝BD，以MN，BD为对边的四边形是平行四边形，设，求出直线MN的解析式为，进而求出，分MD，BN为对角线和MB，ND为对角线两种情况讨论，根据平行四边形的性质建立方程求解即可．
【解答】解：（1）抛物线y＝ax2+bx﹣4过点A（﹣1，0），点B（3，0），C是抛物线的顶点，将点A，点B的坐标分别代入得：
，
解得：，
∴抛物线的表达式为，
∵C是抛物线的顶点，
∴C的坐标为；
（2）如图，
将x＝0代入，得：y＝﹣4，
∴D（0，﹣4），
设直线BD的解析式为y＝kx﹣4，将点B的坐标代入得：
0＝3k﹣4，
解得：，
∴直线BD的解析式为，
设，
∵PQ∥x轴，
∴点Q的纵坐标为，
则，
解得x＝p2﹣2p，
∴，
∴PQ＝﹣p2+3p，
∴，且﹣1＜0，
∴当时，PQ有最大值为；
（3）∵MN∥BD，且MN＝BD，
∴MN，BD为对边的四边形是平行四边形，
设，直线MN的解析式为，
将代入，得：
，
解得：，
∴直线MN的解析式为，
∵N为抛物线对称轴上一点，抛物线对称轴为x＝1，
将x＝1代入，得：
，
∴，
∵B（3，0），D（0，﹣4），
当MD，BN为对角线时，
则，
解得：m＝4，
则，
∴；
当MB，ND为对角线时，
则，
解得：m＝﹣2，
则，
∴；
综上所述，或．
【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数解析式，图象与性质，二次函数与线段的问题，一次函数与几何的应用，平行四边形形的性质，灵活应用分类讨论的思想是解题的关键．
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