8.2.1 几个函数模型的比较 学案（含答案） 2025-2026学年高一数学苏教版（2019）必修第一册

8.2.1　几个函数模型的比较
1. 掌握常见增函数的定义、图象、性质，并体会其增长快慢．
2. 理解直线上升、对数增长、指数爆炸的含义，比较三种函数模型的性质．
3. 会分析具体的实际问题，能够建模解决实际问题．
活动一 理解指数函数模型的“变化趋势”
我们已经学过一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数等，它们在实际生活中有着广泛的应用．不同的函数模型可以刻画不同的自然现象，不同函数的“变化趋势”也不同．通过对不同函数的“变化趋势”的研究和比较，可以加深对自然现象的理解.
例1　(1) 用计算器或计算机计算下列各值：1.012，1.013，1.014，0.992，0.993，0.994.猜测一下，1.01365大概是多少？0.99365大概是多少？
(2) 用计算器或计算机计算下列各值：1.12，1.13，1.14，0.92，0.93，0.94.猜测一下，1.1100大概是多少？1.1260大概是多少？0.9100大概是多少？0.91 000大概是多少？
(3) 用计算器或计算机计算一下(1)(2)中的结果，与你的猜测进行比较，谈谈你对“指数爆炸”的理解．
四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如下表：
x 0 5 10 15 20 25 30
y1 5 130 505 1 130 2 005 3 130 4 505
y2 5 94.478 1 785.2 33 733 6.37×105 1.2×107 2.28×108
y3 5 30 55 80 105 130 155
y4 5 2.310 7 1.429 5 1.140 7 1.046 1 1.015 1 1.005
关于x呈指数型函数变化的变量是________．
活动二 函数模型的增长差异　　
例2　(1) 在同一个直角坐标系中画出下列4个函数在区间(0，＋∞)上的图象： y＝2x，y＝x2，y＝x0.5，y＝log2x.结合这4个函数的图象，比较它们随着x的增大函数值增长的快慢，并指出：当x的值足够大(x＞16)的时候，这4个函数的值的大小关系；
(2) 先想象下列两组函数图象之间的关系，再用数值验算，提出更一般的猜想．
①y＝1.01x与 y＝x10；②y＝x0.1与 y＝lg x.
(3) 借助图形计算器或计算机，作出下列两组函数的图象，验证你在(2)中的猜想．
①y＝2x与 y＝x100；②y＝x0.25与 y＝log2x.
三种函数的增长速度比较：
(1) 在区间(0，＋∞)上，函数y＝ax(a>1)，y＝logax(a>1)和y＝xn(n>0)都是增函数，但增长速度不同，且不在同一个“档次”上．
(2) 在区间(0，＋∞)上随着x的增大，y＝ax(a>1)增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝xn(n>0)的增长速度，而y＝logax(a>1)的增长速度则会越来越慢．
(3) 存在一个x0，使得当x>x0时，有logax三个变量y1，y2，y3随着变量x的变化情况如下表：
x 1 3 5 7 9 11
y1 5 135 625 1 715 3 645 6 655
y2 5 29 245 2 189 19 685 177 149
y3 5 6.10 6.61 6.95 7.2 7.4
则关于x分别呈对数型函数、指数型函数、幂函数型函数变化的变量依次为(　　)
A. y1，y2，y3 B. y2，y1，y3
C. y3，y2，y1 D. y1，y3，y2
活动三 根据函数增长差异确定图象并比较大小
例3　函数f(x)＝2x和g(x)＝x3的图象如图所示．设两函数的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1(1) 请指出示意图中曲线C1，C2分别对应哪一个函数；
(2) 结合函数图象示意图，判断f(6)，g(6)，f(2 020)，g(2 020)的大小．
探究　本例中若x1∈[a，a＋1]，x2∈[b，b＋1]，且a，b∈{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12}，指出a，b的值，并说明理由．
1. 解答此类问题的关键是明确“指数爆炸”“对数增长”等函数增长差异，需注意幂函数的增长是介于两者之间的．
2. 体会数形结合思想，明确图形是函数关系的直观反映．
1. (2024镇雄五中月考)下列四个函数中，增长速率最快的是(　　)
A. y＝2 024x B. y＝log2 024x C. y＝x2 024 D. y＝2 024x
2. 已知函数y1＝2x，y2＝x2，y3＝log2x，则当2A. y1>y2>y3 B. y2>y1>y3 C. y1>y3>y2 D. y2>y3>y1
3. (多选)(2024南京六校期中)某工程需要向一个容器内源源不断地注入某种液体，有三种方案可以选择，这三种方案的注入量随时间变化如下图所示，横轴为时间(单位：h)，纵轴为注入量，根据以上信息，若使注入量最多，则下列说法中正确的是(　　)
A. 当注入时间在3h以内(含3h)时，采用方案一 　　
B. 当注入时间恰为4h时，不采用方案三
C. 当注入时间恰为6h时，采用方案二 　　
D. 当注入时间恰为10h时，采用方案二
4. (2024广东粤华学校期中)函数y＝x与函数y＝x·ln x在区间(4，＋∞)上增长较快的一个是________．
5. 将一次函数y＝2x，对数函数y＝lg x和指数函数y＝2x的图象画到同一坐标系下，并比较它们的增长差异．
8.2.1　几个函数模型的比较
【活动方案】
例1　(1) 1.012＝1.020 1，0.992＝0.980 1，
1．013＝1.030 301，0.993＝0.970 299，
1．014＝1.040 604 01，0.994＝0.960 596 01.
(2) 1.12＝1.21，0.92＝0.81，
1．13＝1.331，0.93＝0.729，
1．14＝1.464 1，0.94＝0.656 1.
(3) 用计算器或计算机计算，得
1．01365≈37.8，0.99365≈0.03，
1．1100≈13 781，0.9100≈2.656×10-5，
1．1260≈57 822 669 934，0.91 000≈1.748×10-46.
根据(1)(2)，我们发现“指数爆炸”的含义是：当 a＞1时，指数函数y＝ax随着x的增大而增大，且增大的速度越来越快，呈“爆炸”的趋势；当0＜a＜1时，指数函数y＝ax随着x的增大而减小，并逐步趋向于0.
跟踪训练　y2　指数型函数呈“爆炸式”增长．从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从5开始变化，变量y4的值越来越小，但是减小的速度很慢，故变量y4关于x不呈指数型函数变化；而变量y1，y2，y3的值都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，画出它们的图象(图略)，可知变量y2关于x呈指数型函数变化．
例2　(1) 这4个函数的图象如图1所示．
由图知，当0＜x＜2时，0＜x2＜2x＜4；
当x＝2时，2x＝x2＝4；
当2＜x＜4时，4＜2x＜x2＜16；
当x＝4时，2x＝x2＝16；
当x＞4时，16＜x2＜2x.
对应地，
当0＜x＜4时，0＜log2x＜x0.5＜2；
当x＝4时，x0.5＝log2x＝2；
当4＜x＜16时，2＜x0.5＜log2x＜4；
当x＝16时，x0.5＝log2x＝4；
当x＞16时，x0.5＞log2x.
可以发现，当x的值足够大(x＞16)时，这4个函数的值的大小关系是2x＞x2＞x0.5＞log2x.
(2) ①可以想象，在区间(0，＋∞)上，函数y＝1.01x与 y＝x10的图象都是随着x的增大而上升的，函数值的大小有如下特征：
当0＜x＜1时，1.01x＞x10；
当2≤x≤9 000时，1.01x＜x10；
当x≥10 000时，1.01x＞x10.
②可以想象，在区间(0，＋∞)上，函数y＝x0.1与y＝lg x 的图象都是随着x的增大而上升的，函数值的大小有如下特征：
当0＜x≤10时，x0.1＞1≥lg x；
当30≤x＜1010时，x0.1＜lg x；
当x＝1010时，x0.1＝lg x＝10；
当x＞1010时，x0.1＞lg x.
因此，我们可以得到更一般的猜想：对于指数函数y＝ax(a＞1)，幂函数y＝xα(α＞0)和对数函数 y＝logax(a＞1)，当x的值足够大时，总有ax＞xα＞logax.
(3) 借助图形计算器或计算机，观察函数y＝2x，y＝x100的图象，如图2，可以发现：当x的值从0开始增大时，随着x的增大，当0≤x≤1时，2x＞x100，之后很快有2x＜x100，直到x＞997时，总有 2x＞x100.
同样借助图形计算器或计算机，观察函数y＝x0.25，y＝log2x的图象，如图3，可以发现：当x的值从4开始增大时，一直有x0.25＜log2x，直到x＞65 536时，总有x0.25＞log2x.
由此，我们验证了(2)中猜想：当x的值足够大时，总有ax＞xα＞logax.
图1
图2 图3
跟踪训练　C　通过对指数型函数、对数型函数、幂函数型函数的增长规律比较可知，对数型函数的增长速度越来越慢，变量y3随x的变化符合此规律；指数型函数的增长是爆炸式增长，y2随x的变化符合此规律；幂函数型函数的增长速度越来越快，y1随x的变化符合此规律，故选C.
例3　(1) 曲线C1对应的函数为g(x)＝x3，曲线C2对应的函数为f(x)＝2x.
(2) 因为f(1)>g(1)，f(2)g(10)，
所以1所以x1<6x2.
从图象上可以看出，当x1所以f(6)当x>x2时，f(x)>g(x)，
所以f(2 020)>g(2 020).
又因为g(2 020)>g(6)，
所以f(2 020)>g(2 020)>g(6)>f(6).
探究　a＝1，b＝9.理由如下：
令φ(x)＝f(x)－g(x)＝2x－x3，则x1，x2为函数φ(x)的零点．
由于φ(x)在区间[1，13]上为连续函数，φ(1)＝1>0，φ(2)＝－4<0，φ(9)＝－217<0，φ(10)＝24>0，
所以函数φ(x)＝f(x)－g(x)的两个零点x1∈[1，2]，x2∈[9，10]，
故a＝1，b＝9.
【检测反馈】
1. D　由题意，得y＝2 024x为一次函数，y＝log2 024x为对数函数，y＝x2 024为幂函数，y＝2 024x为指数函数. 易得指数函数y＝ax，当a>1时，呈爆炸式增长，当x足够大时，指数函数增长速度最快．
2. B　在同一平面直角坐标系内画出这三个函数的图象(图略)，在区间(2，4)内，从上到下图象依次对应的函数为y2＝x2，y1＝2x，y3＝log2x，故 y2>y1>y3.
3. ABC　对于A，由图可知，当注入时间在3h以内(含3h)时，方案一的注入量大于其他两种方案，故A正确；对于B，当注入时间恰为4h时，由图可知，方案三的注入量小于其他两个方案，故B正确；对于C，当注入时间恰为6h时，方案二的注入量大于其他两个方案，故C正确；对于D，当注入时间恰为10h时，由图可知方案三的注入量最大，则应选择方案三，故D错误．故选ABC.
4. y＝x·ln x　因为当x∈(4，＋∞)时，x·ln x－x＝x(ln x－1)>x(ln 4－1)>0，所以函数y＝x·ln x在区间(4，＋∞)上增长快．
5. 在同一直角坐标系中，作出函数y＝2x，y＝lg x和y＝2x的图象，如图，一次函数y＝2x匀速增长，指数函数y＝2x增长越来越快，对数函数y＝lg x增长最慢．