8.2.2 函数的实际应用 学案（含答案） 2025-2026学年高一数学苏教版（2019）必修第一册

8．2.2　函数的实际应用
1. 理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具．在实际情景中，会选择合适的函数模型来刻画现实问题的变化规律．
2. 结合现实情景中的具体问题，比较对数函数、一次函数、指数函数增长速度的差异，理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的现实含义．
3. 培养应用数学方法分析问题、探索问题、解决问题的能力．
活动一 一次函数模型的应用
我们已经学过一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数等，它们在实际生活中有着广泛的应用. 今天我们尝试一下，怎样从实际问题入手，运用已学过的函数知识来解决实际问题.
例1　某计算机集团公司生产某种型号计算机的固定成本为200万元，生产每台计算机的可变成本为3 000元，每台计算机的售价为5 000元．分别写出总成本C(单位：万元)、单位成本P(单位：万元)、销售收入R(单位：万元)以及利润L(单位：万元)关于总产量x(单位：台)的函数关系式．
信息量大是数学应用题的一大特点，当所给条件错综复杂，一时难以理清关系时，可采用列表分析的方法，有些典型应用题也可以画出相应的图形，建立坐标系等．
某校高一(2)班共有学生51人，据统计原来每人每年用于购买饮料的平均支出是a元，若该班全体学生改饮某品牌的桶装纯净水，经测算和市场调查，其年总费用由两部分组成，一部分是购买纯净水的费用，另一部分是其他费用228元．其中，纯净水的销售价x(单位：元/桶)与年购买总量y(单位：桶)之间满足如图所示的关系．
(1) 求y关于x的函数关系式；
(2) 当a＝120时，若该班每年需要纯净水380桶，请你根据提供的信息比较，该班全体学生改饮桶装纯净水的年总费用与该班全体学生购买饮料的年总费用，哪一种更少？说明你的理由；
(3) 当a至少为多少时，该班学生集体改饮桶装纯净水的年总费用一定比该班全体学生购买饮料的年总费用少？
活动二 指数型函数模型的应用
例2　物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：设物体的初始温度是T0，经过一定时间t后的温度是T，则T－Tα＝(T0－Tα)·，其中Tα表示环境温度，h称为半衰期．现有一杯用88 ℃热水冲的速溶咖啡，放在24 ℃的房间中，如果咖啡降温到40 ℃需要20 min，那么降温到35 ℃时，需要多长时间(结果精确到0.1)
本题是利用已知的函数模型来解决物理问题，需由已知条件先确定函数式，然后再求解．本题的实质为已知自变量的值，求对应的函数值的数学问题，由于运算比较复杂，要借助计算器进行计算．
某海滨城市现有人口100万人，如果年平均自然增长率为1.2%.解答下面的问题：
(1) 写出该城市人口数y(单位：万人)与年份x(单位：年)的函数关系；
(2) 计算10年后该城市人口总数(精确到0.1万人)；
(3) 计算大约多少年后该城市人口将达到120万人(精确到1年)
活动三 二次函数模型的应用
例3　在经济学中，函数f(x)的边际函数Mf(x)定义为Mf(x)＝f(x＋1)－f(x).某公司每月最多生产100台报警系统装置，生产x台(x∈N*)的收入函数为R(x)＝3 000x－20x2(单位：元)，其成本函数为C(x)＝500x＋4 000(单位：元)，利润是收入与成本之差．
(1) 求利润函数P(x)及边际利润函数MP(x)；
(2) 利润函数P(x)与边际利润函数MP(x)是否具有相同的最大值？
利用二次函数求最值的方法及注意点：
(1) 一般方法：根据实际问题建立函数解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法以及函数的单调性等方法求最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等最值问题．
(2) 注意点：利用二次函数求最值时，应特别注意取得最值时的自变量与实际意义是否相符．
某地预计明年从年初开始的前x个月内，某种商品的需求总量f(x)(单位：万件)与月份x的近似关系为f(x)＝x(x＋1)(35－2x)(x∈N，且x≤12).
(1) 写出明年第x个月的需求量g(x)(单位：万件)与月份x的函数关系式；
(2) 求哪个月份的需求量最大？最大为多少？
活动四 对数函数模型的应用
例4　大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵．记鲑鱼的游速为v(单位：m/s)，鲑鱼的耗氧量的单位数为Q，研究中发现v与log3成正比，且当Q＝900时，v＝1.
(1) 求出v关于Q的函数关系式；
(2) 计算一条鲑鱼的游速是1.5m/s时耗氧量的单位数；
(3) 一条鲑鱼要想把游速提高1m/s，其耗氧量的单位数应怎样变化？
尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解．例如，地震时释放出的能量E(单位：焦耳)与地震里氏震级M之间的关系为lg E＝4.8＋1.5M.2008年5月汶川发生里氏8.0级地震，它释放出来的能量是2019年6月四川长宁发生里氏6.0级地震释放出来能量的________倍．
1. 指数函数模型：y＝m·ax＋b(a＞0且a≠1，m≠0).
2. 对数函数模型：y＝mlogax＋c(m≠0，a＞0且a≠1).
3. 幂函数模型：y＝k·xn＋b(k≠0).
如果已知函数模型，可用待定系数法求解相应参数．对数函数y＝logax(a>1)增长最慢，指数函数y＝ax(a>1)增长最快，当x足够大时，一定有ax>xn>logax.
1. (2024常州期末)在一次数学实验中，某同学运用图形计算器采集到如下一组数据：
x 0.24 0.51 1 2.02 3.98 8.02
y －2.0 －1.0 0 1.00 2.0 3.0
在四个函数模型(a，b为待定系数)中，最能反映x，y函数关系的是(　　)
A. y＝a＋bx B. y＝a＋bx C. y＝a＋logbx D. y＝a＋
2. (2025驻马店期末)某放射性物质在衰减过程中，其质量y与年数t满足关系式y＝m0e－kt(m0为初始质量，m0>0，k为常数，e≈2.718).已知该放射性物质经过4年，其质量变为初始质量的，若再经过8年，则该放射性物质的质量变为初始质量的(　　)
A. B. C. D.
3. (多选)如图表示一位骑自行车和一位骑摩托车的旅行者在相距80 km的甲、乙两城间从甲城到乙城所行驶的路程与时间之间的函数关系，有人根据函数图象，提出了关于这两个旅行者的如下信息，其中正确的是(　　)
A. 骑自行车者比骑摩托车者早出发3 h，晩到1 h
B. 骑自行车者是变速运动，骑摩托车者是匀速运动
C. 骑摩托车者在出发1.5 h后追上了骑自行车者
D. 骑摩托车者在出发1.5 h后与骑自行车者速度一样
4. 为了落实“提速降费”的要求，某市移动公司欲下调移动用户的消费资费，已知该公司共有移动用户10万人，人均月消费50元．经测算，若人均月消费下降x%(x为正数)，则用户人数会增加万人．若要保证该公司月总收入不减少，则x的取值范围为________．
5. (2025滨州期末)某厂生产某种产品的年固定成本为300万元，每年生产x万件，需增加投入成本为C(x)万元. 当年产量不足9万件时，C(x)＝x2＋100x；当年产量不小于9万件时，C(x)＝510x＋－1 300.通过市场分析，每件产品售价定为500元，且该厂一年内生产的产品能全部销售出去，获得的年利润为L(x)万元. (利润＝销售收入－总成本)
(1) 求年利润L(x)的函数关系式；
(2) 求当年产量为多少时，该厂的年利润L(x)最大？
8．2.2　函数的实际应用
【活动方案】
例1　总成本与总产量的函数关系式为C＝200＋0.3x，x∈N*.单位成本与总产量的函数关系式为P＝＋0.3，x∈N*.销售收入与总产量的函数关系式为R＝0.5x，x∈N*.利润与总产量的函数关系式为L＝R－C＝0.2x－200，x∈N*.
跟踪训练　(1) 设y＝kx＋b(k≠0).
因为当x＝8时，y＝400；当x＝10时，y＝320，
所以解得
所以y关于x的函数关系式为y＝－40x＋720(x>0).
(2) 买饮料的年总费用为51×120＝6 120(元).
当y＝380时，由380＝－40x＋720，得x＝8.5，
买桶装纯净水的年总费用为380×8.5＋228＝3 458(元)，所以饮用桶装纯净水的年总费用少．
(3) 设该班每年购买纯净水的费用为P元，则
P＝xy＝x(－40x＋720)＝－40(x－9)2＋3 240，
所以当x＝9时，Pmax＝3 240.
要使饮用桶装纯净水的年总费用一定比该班全体学生购买饮料的年总费用少，则51a≥Pmax＋228，解得a≥68，
故a至少为68时，全班饮用桶装纯净水的年总费用一定比该班全体学生购买饮料的年总费用少．
例2　由题意，得40－24＝(88－24)×，
即＝，解得h＝10，故T－24＝64×.
当T＝35时，代入上式，
得35－24＝64×，即＝，
两边取对数，用计算器计算，得t≈25.4，
因此，约需要25.4 min可降温到35℃.
跟踪训练　(1) 1年后该城市人口总数为y＝100＋100×1.2%＝100×(1＋1.2%)，
2年后该城市人口总数为y＝100×(1＋1.2%)2，
3年后该城市人口总数为y＝100×(1＋1.2%)3，
…
x年后该城市人口总数为y＝100×(1＋1.2%)x，x∈N.
(2) 10年后该城市人口总数为y＝100×(1＋1.2%)10＝100×1.01210≈112.7(万人).
(3) 设x年后人口将达到120万人，
则100×(1＋1.2%)x＝120，
x＝log1.012＝≈15.28，
所以大约16年后该城市人口总数达到120万人．
例3　由题意知，x∈[1，100]，且x∈N*.
(1) P(x)＝R(x)－C(x)
＝3 000x－20x2－(500x＋4 000)
＝－20x2＋2 500x－4 000，x∈[1，100]，x∈N*.
MP(x)＝P(x＋1)－P(x)
＝－20(x＋1)2＋2 500(x＋1)－4 000－(－20x2＋2 500x－4 000)＝2 480－40x，x∈[1，100]，x∈N*.
(2) P(x)＝－20x2＋2 500x－4 000＝－20＋74 125，
当x＝62或x＝63时，P(x)的最大值为 74 120元.
因为MP(x)＝2 480－40x是减函数，
所以当x＝1时，MP(x)的最大值为2 440元，
因此，利润函数P(x)与边际利润函数MP(x)不具有相同的最大值．
跟踪训练　(1) 由题意知，g(x)＝f(x)－f(x－1)＝x(x＋1)(35－2x)－(x－1)x[35－2(x－1)]＝x[(x＋1)(35－2x)－(x－1)(37－2x)]＝x(72－6x)＝x(12－x)(x∈N，且 x≤12).
(2) g(x)＝(12－x)＝－(x－6)2＋，
所以当x＝6时，g(x)有最大值，
即第六个月需求量最大，最大为万件．
例4　(1) 设v＝k·log3.
因为当Q＝900时，v＝1，
所以1＝k·log3，解得k＝，
所以v关于Q的函数关系式为v＝log3.
(2) 令v＝1.5，则1.5＝log3，解得Q＝2 700，
故一条鲑鱼的游速是1.5 m/s时耗氧量的单位数为2 700.
(3) 设鲑鱼的耗氧量的单位数为Q1，Q2时，游速分别为v1，v2，
由题意，得v2－v1＝1，
即log3－log3＝1，
所以log3＝1，
所以＝9，即Q2＝9Q1，
故鲑鱼要想把游速提高1 m/s，其耗氧量的单位数应变为原来的9倍．
跟踪训练　1 000　设汶川发生的里氏震级为M1，长宁发生的里氏震级为M2.因为M1－M2＝8－6＝2，所以lg E1－lg E2＝1.5×2＝3，所以＝103＝1 000.故汶川地震释放出来的能量是四川长宁地震释放出来能量的1 000倍．
【检测反馈】
1. C　作出散点图如下，由散点图可知，其与对数函数图象接近，可选择y＝a＋logbx反映x，y函数关系．
2. C　由题意，得m0＝m0e-4k，则e-4k＝，再经过8年，即t＝12时，y＝m0e-12k＝m0(e-4k)3＝m0，故再经过8年，该放射性物质的质量变为初始质量的.
3. AB　由时间轴知，骑自行车者比骑摩托车者早出发3 h，晩到1 h，故A正确；骑摩托车者行驶的路程与时间的函数图象是直线，所以是匀速运动，而骑自行车者行驶的路程与时间的函数图象是折线，所以是变速运动，故B正确；摩托车速度为 40 km/h，骑摩托车者出发1 h后距离骑自行车者10 km，自行车后两小时速度为15 km/h，故骑摩托车者还需要＝(h)追上骑自行车者，故骑摩托车者在出发1.4 h后追上了骑自行车者，故C，D错误．故选AB.
4. (0，20]　设该公司下调消费投资后的月总收入为y元，则y＝50，要保证该公司月总收入不减少，则50≥10×50，解得0≤x≤20.因为x为正数，所以x的取值范围为(0，20].
5. (1) 由题意，得当0≤x<9时，L(x)＝500x－－300＝－x2＋400x－300；
当x≥9时，L(x)＝500x－－300＝－10x－＋1 000，
所以L(x)＝
(2) 由(1)可知当0≤x<9时，L(x)＝－(x－6)2＋900，
所以当x＝6时，L(x)取得最大值，最大值是900万元；
当x≥9时，L(x)＝1 000－10≤1 000－10×2＝800，
当且仅当x＝，即x＝10时，等号成立，
所以当x＝10时，L(x)取得最大值，最大值是800万元．
因为900>800，所以当年产量为6万件时，该厂年利润L(x)最大．