22.2 二次函数与一元二次方程（同步练习·含解析）-2025-2026学年人教版数学九年级上册

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22.2 二次函数与一元二次方程
一．选择题（共8小题）
1．抛物线y＝a（x﹣1）2﹣5（a＞0），则方程|a（x﹣1）2﹣5|＝5的所有解之和为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．已知函数y＝kx2﹣（k+2）x+2（k是常数），下列说法：①函数图象必过第一、二象限； ②当函数图象与坐标轴只有两个交点时，k＝0；③当k＜﹣2时，抛物线顶点在第一象限；④若k＞0，则当x时，y随着x的增大而减小，其中正确的有（　　）
A．①②③ B．①③④ C．②④ D．①③
3．经过点A（m，n），点B（m﹣4，n）的抛物线y＝x2+2cx+c与x轴有两个公共点，与y轴的交点在x轴的上方，则当m时，n的取值范围是（　　）
A．n＜4 B．n＜2 C．n＜8 D．n＜2
4．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过（﹣1.5，0）与（2.5，0）两点，关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝p（p＜0）有两个不同的实数根，其中一个根是x＝m（m＜﹣1.5）．如果关于x的方程ax2+bx+c＝q（q＞0）有两个不同的整数，则这两个整数根可能是（　　）
A．x1＝﹣1，x2＝0 B．x1＝0，x2＝2
C．x1＝﹣1，x2＝2 D．x1＝﹣2，x2＝3
5．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）满足：（1）当x＝﹣1时，y＝0，（2）对一切x的值有成立．则该二次函数的解析式为（　　）
A． B．
C． D．
6．已知二次函数y＝x2+2（a﹣2）x﹣a+2的图象与x轴最多有一个公共点，且二次函数y＝a2﹣2ab﹣3的最小值为3，则b的值为（　　）
A． B．或 C．或 D．
7．已知x1、x2是一元二次方程x2+3x﹣n＝0的两个不相等的实数根，x3、x4是一元二次方程x2﹣3x﹣n＝0的两个不相等的实数根，其中n＞0．若|x1﹣x4|＝2|x2﹣x3|，则n的值为（　　）
A．8 B．9 C．12 D．18
8．如图，抛物线y＝﹣x2+2x+m+1交x轴于点A（a，0）和B（b，0），交y轴于点C，抛物线的顶点为D，下列四个命题：①当x＞0时，y＞0；②若a＝﹣1，则b＝5；③抛物线上有两点P（x1，y1）和Q（x2，y2），若x1＜1＜x2，且x1+x2＞2，则y1＞y2；④点C关于抛物线对称轴的对称点为E，点G、F分别在x轴和y轴上，当m＝2时，四边形EDFG周长的最小值为，其中正确的有（　　）个．
A．0 B．1 C．2 D．3
二．填空题（共7小题）
9．二次函数y＝ax2﹣2ax﹣m的部分图象如图所示，则方程ax2﹣2ax﹣m＝0的根为 　 　 ．
10．关于x的方程x2+x﹣c＝0无实数根，则二次函数y＝x2+x﹣c的图象的顶点在第 　 　 象限．
11．已知抛物线y＝4x2+2x+m，当﹣1＜x＜1时，抛物线与x轴有且只有一个公共点，则m的取值范围是 　 　 ．
12．已知抛物线y＝x2﹣x﹣1与x轴的一个交点为（m，0），则代数式m2﹣m+2023的值为 　 　 ．
13．函数y＝7x2﹣14x﹣105与x轴的交点如图所示，则方程7x2﹣14x﹣105＝0的实数根x1＝　 　 ，x2＝　 　 ．
14．如图，若y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，则关于x的方程ax2+bx+c＝0的另一个解为　 　 ．
15．抛物线的图象如图，当y＜0时，x的取值范围是 　 　 ．
三．解答题（共9小题）
16．已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴分别交于点A（﹣2，0）和点B，与y轴交于点C，且点C的坐标为（0，﹣6）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）已知E为抛物线的顶点，F为抛物线对称轴右侧的一个动点，当△CBF和△CEB的面积相等时，求点F的坐标．
17．已知函数y＝2x2﹣3x﹣2，解答下列问题：
（1）画出函数的图象；
（2）观察图象，填空、回答：
①抛物线y＝2x2﹣3x﹣2与y轴的交点坐标是 　 　 ，与x轴的交点坐标是 　 　 ；
②x取什么值时，y≥0．
18．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）与x轴的一个交点坐标是（2，0），与y轴的交点坐标是（0，﹣2），且经过点（﹣2，4）．
（Ⅰ）求该抛物线解析式中a，b，c的值；
（Ⅱ）直接写出y＞0时，自变量x的取值范围．
19．已知二次函数图象的顶点坐标为（﹣1，﹣8），且过点（0，﹣6）．
（1）求出函数解析式．
（2）请求出函数图象与坐标轴的交点．
20．已知抛物线y＝x2﹣4x+3．
（1）求抛物线的顶点坐标；
（2）求抛物线与x轴的交点坐标；
（3）当y＜0时，请直接写出x的取值范围．
21．在平面直角坐标系中，已知（1，4）在抛物线y＝﹣x2+（m﹣1）x+m上．
（1）求m的值，并直接写出抛物线解析式；
（2）求抛物线与x轴的交点坐标．
22．已知抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于（﹣3，0），（1，0）两点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）求该抛物线的对称轴；
（3）若﹣4＜x＜3，求函数值y的取值范围．
23．已知抛物线y＝（a﹣1）x2﹣2x+1与x轴有两个不同的交点，试求a的取值范围．
24．已知二次函数y＝﹣x2+2（m﹣4）x+m2﹣1（m是常数）．
（1）求证：不论m为何值，该函数图象与x轴总有两个公共点；
（2）求证：当﹣1＜m＜1时，该函数图象与y轴的交点总在x轴的下方．
22.2 二次函数与一元二次方程
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．抛物线y＝a（x﹣1）2﹣5（a＞0），则方程|a（x﹣1）2﹣5|＝5的所有解之和为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】画出y＝|a（x﹣1）2﹣5|与y＝5的图象，观察图象可得结果．
【解答】解：如图，
在同一坐标系中，作出y＝|a（x﹣1）2﹣5|和y＝5的图象，
它们有三个交点，（x1，5），（x2，5），（1，5），
∵x1+x2＝2，
∴方程|a（x﹣1）2﹣5|＝5的所有解之和：x1+x2+1＝3，
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数和一元二次方程之间的关系，解决问题的关键是画出图象，数形结合．
2．已知函数y＝kx2﹣（k+2）x+2（k是常数），下列说法：①函数图象必过第一、二象限； ②当函数图象与坐标轴只有两个交点时，k＝0；③当k＜﹣2时，抛物线顶点在第一象限；④若k＞0，则当x时，y随着x的增大而减小，其中正确的有（　　）
A．①②③ B．①③④ C．②④ D．①③
【答案】B
【分析】①当k＝0时，函数为y＝﹣x+2，函数图象经过第一、二、四象限；当k≠0时，△＝（k+2）2﹣8k＝（k﹣2）2≥0，k＞0时，抛物线开口向上，并且与x轴有交点，函数图象必过第一二象限；k＜0时，抛物线开口向下，与y轴相交于y轴正半轴，函数图象必过第一二象限；所以函数图象必经过第一、二象限即可求解；
②当k＝0时，函数与坐标轴有两个交点，当k≠0时，△＝（k+2）2﹣8k＝（k﹣2）2≥0，即可求解；
③当k＜﹣2时，对称轴x0，顶点纵坐标0，即可求解；
④若k＞0，抛物线的对称轴为：x，则当x时，y随着x的增大而减小，即可求解．
【解答】解：①当k＝0时，函数为y＝﹣x+2，函数图象经过第一、二、四象限；当k≠0时，△＝（k+2）2﹣8k＝（k﹣2）2≥0；
k＞0时，抛物线开口向上，并且与x轴有交点，函数图象必过第一二象限；k＜0时，抛物线开口向下，与y轴相交于y轴正半轴，函数图象必过第一二象限；所以函数图象必经过第一、二象限，故符合题意；
②当k＝0时，此函数是不平行于坐标轴的直线，所以，函数与坐标轴有两个交点，当k≠0时，函数是抛物线，必与y轴相交，△＝（k+2）2﹣8k＝（k﹣2）2≥0，抛物线与x轴有一个（k＝2时）或两个交点，此时函数与坐标轴有两个到三个交点，故不符合题意；
③当k＜﹣2时，对称轴x0，顶点纵坐标0，故抛物线顶点在第一象限，符合题意；
④若k＞0，抛物线的对称轴为：x，则当x时，y随着x的增大而减小，符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
3．经过点A（m，n），点B（m﹣4，n）的抛物线y＝x2+2cx+c与x轴有两个公共点，与y轴的交点在x轴的上方，则当m时，n的取值范围是（　　）
A．n＜4 B．n＜2 C．n＜8 D．n＜2
【答案】A
【分析】先求对称轴直线x＝m﹣2，直线xc，列方程求出c＝2﹣m，代入原抛物线关系式，根据抛物线与x轴有两个公共点列不等式求出解集，再根据抛物线与y轴的交点在x轴的上方得c＞0，求出m＜2，最后根据抛物线的递增情况求n的取值范围．
【解答】解：∵A（m，n），B（m﹣4，n），
∴抛物线对称轴是直线x＝m﹣2，
∵抛物线对称轴是直线xc，
∴c＝2﹣m，
∴抛物线y＝x2+2（2﹣m）x+2﹣m，
∵抛物线y＝x2+2（2﹣m）x+2﹣m与x轴有两个公共点，
∴Δ＞0，
（4﹣2m）2﹣4（2﹣m）＞0，
（m﹣1）（m﹣2）＞0，
或，
解得，m＜1或m＞2，
∵抛物线与y轴的交点在x轴的上方，
∴c＞0，
∴2﹣m＞0，
∴m＜2，
∴m＜1，
把A（m，n）代入y＝x2+2（2﹣m）x+2﹣m得，
n＝﹣m2+3m+2，
∵﹣1＜0，对称轴是直线x，
∵m＜1，
∴n随着m的增大而增大，
当m时，n，
当m＝1时，n＝4，
∴n＜4，
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数的性质及坐标特点，掌握这几个知识点的综合应用是解题关键．
4．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过（﹣1.5，0）与（2.5，0）两点，关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝p（p＜0）有两个不同的实数根，其中一个根是x＝m（m＜﹣1.5）．如果关于x的方程ax2+bx+c＝q（q＞0）有两个不同的整数，则这两个整数根可能是（　　）
A．x1＝﹣1，x2＝0 B．x1＝0，x2＝2
C．x1＝﹣1，x2＝2 D．x1＝﹣2，x2＝3
【答案】C
【分析】二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过（﹣1.5，0）与（2.5，0）两点，关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝p（p＜0）有两个不同的实数根，其中一个根是x＝m（m＜﹣1.5）
则抛物线开口向下，进而求解．
【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过（﹣1.5，0）与（2.5，0）两点，
则函数y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x，
关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝p（p＜0）有两个不同的实数根，其中一个根是x＝m（m＜﹣1.5）
则抛物线开口向下，
如果关于x的方程ax2+bx+c＝q（q＞0）有两个不同的整数，相当于y＝ax2+bx+c和y＝q（q＞0）有在x轴上方的两个交点，且两个解关于对称轴对称，
只有C符合上述条件，
故选：C．
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数与一元二次方程的关系，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的关系解答．
5．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）满足：（1）当x＝﹣1时，y＝0，（2）对一切x的值有成立．则该二次函数的解析式为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】证明x＝1时，y＝1，而当x＝1时，y＝1，当x＝﹣1时，y＝0得到a+b+c＝1，a﹣b+c＝0，而ax2+（b﹣1）x+c≥0恒成立，即ax2x+c≥0，即可求解．
【解答】解：∴当x＝1时，y≤（）2＝1，
∵y≥x，
∴当x＝1时，y≥1，
即1≤y≤1，
∴x＝1时，y＝1；
当x＝1时，y＝1，当x＝﹣1时，y＝0，
即a+b+c＝1，a﹣b+c＝0，
解得：b，ca，
∵对任意实数x，恒有y≥x，
∴ax2+（b﹣1）x+c≥0恒成立，即ax2x+c≥0，
∴Δ＝（）2﹣4ac4a（a）≤0，即（a）2≤0，
解得：a，
故抛物线的表达式为：yx2x，
故选：B．
【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到解不等式、函数图象的交点等，题目综合性强，难度较大．
6．已知二次函数y＝x2+2（a﹣2）x﹣a+2的图象与x轴最多有一个公共点，且二次函数y＝a2﹣2ab﹣3的最小值为3，则b的值为（　　）
A． B．或 C．或 D．
【答案】D
【分析】由题意得：Δ＝[2（a﹣2）]2﹣4（2﹣a）≤0，求得1≤a≤2，再分类求解即可．
【解答】解：由题意得：Δ＝[2（a﹣2）]2﹣4（2﹣a）≤0，
解得：1≤a≤2，
当b≥2时，
则a＝2时，y取得最小值，
即4﹣4b﹣3＝3，则t（舍去）；
当b≤1时，
则a＝1时，y取得最小值，
即1﹣2b﹣3＝3，则b；
当1＜b＜2时，
当a＝b时，y取得最小值，
即b2﹣2b2﹣3＝3，
方程无解，
故选：D．
【点评】本题考查的是抛物线和x轴的交点，二次函数的最值，分类求解是本题解题的关键．
7．已知x1、x2是一元二次方程x2+3x﹣n＝0的两个不相等的实数根，x3、x4是一元二次方程x2﹣3x﹣n＝0的两个不相等的实数根，其中n＞0．若|x1﹣x4|＝2|x2﹣x3|，则n的值为（　　）
A．8 B．9 C．12 D．18
【答案】D
【分析】将方程与二次函数结合，根据二次函数的图象特点求出相关点的坐标，再将点的坐标代入求出答案．
【解答】解：将方程x2+3x﹣n＝0和x2﹣3x﹣n＝0转化成函数y＝x2+3x﹣n和y＝x2﹣3x﹣n，
如图所示，∴两条抛物线都交于点（0，﹣n），
∵|x1﹣x4|＝2|x2﹣x3|，
∴OB＝OC＝AB＝CD，
∵两条抛物线的对称直线x的值为和，
∴OB＝OC＝AB＝CD＝||＝3，
∴x2＝3，
∴C（3，0），
将点C代入y＝x2+3x﹣n得：n＝18．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，需熟知二次函数表达式所呈现的意义及对二次函数图象做出大致分析．
8．如图，抛物线y＝﹣x2+2x+m+1交x轴于点A（a，0）和B（b，0），交y轴于点C，抛物线的顶点为D，下列四个命题：①当x＞0时，y＞0；②若a＝﹣1，则b＝5；③抛物线上有两点P（x1，y1）和Q（x2，y2），若x1＜1＜x2，且x1+x2＞2，则y1＞y2；④点C关于抛物线对称轴的对称点为E，点G、F分别在x轴和y轴上，当m＝2时，四边形EDFG周长的最小值为，其中正确的有（　　）个．
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】观察函数图象，利用抛物线在x轴上所对应的自变量的取值范围可对①进行判断；抛物线的对称轴为直线x＝1，则利用对称性可对②进行判断；确定点Q比点P离对称轴的距离要大，则根据二次函数的性质可对③进行判断；当m＝2时，先确定D（1，4），C（0，3），E（2，3），利用勾股定理计算出DE，作D点关于y轴的对称点为D′，E点关于y轴的对称点为E′，利用关于坐标轴对称的点的坐标特征得到D′（﹣1，4），E′（2，﹣3），根据对称的性质得FD＝FD′，GE＝GE′，于是FD+FG+GE＝D′E′，根据两点之间线段最短可判断此时四边形EDFG周长的最小，然后利用勾股定理计算出D′E′，于是可对④进行判断．
【解答】解：当a＜x＜b时，y＞0，所以①错误；
抛物线的对称轴为直线x1，当a＝﹣1，即A（﹣1，0），而点A与点B为对称点，则B（3，0），b＝3，所以②错误；
因为x1＜1＜x2，所以点P和Q在对称轴两侧，而x1+x2＞2，则点Q比点P离对称轴的距离要大，所以y1＞y2，所以③正确；
当m＝2时，y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，则D（1，4），C（0，3），
∵点C关于抛物线对称轴的对称点为E，
∴E（2，3），
∴DE，
作D点关于y轴的对称点为D′，E点关于x轴的对称点为E′，则D′（﹣1，4），E′（2，﹣3），
∴FD＝FD′，GE＝GE′，
∴FD+FG+GE＝FD′+FG+GE′＝D′E′，
∴此时四边形EDFG周长的最小，
而D′E′，
∴四边形EDFG周长的最小值为，所以④错误．
故选：B．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质和求最短路径的解决方法．
二．填空题（共7小题）
9．二次函数y＝ax2﹣2ax﹣m的部分图象如图所示，则方程ax2﹣2ax﹣m＝0的根为 　x＝﹣1或x＝3　 ．
【答案】x＝﹣1或x＝3．
【分析】ax2﹣2ax﹣m＝0的根为y＝ax2﹣2ax﹣m的图象与x轴的交点的横坐标，根据图象求出抛物线与x轴交点的横坐标即可．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2﹣2ax﹣m的对称轴为直线x1，
∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣1，0），
∴ax2﹣2ax﹣m＝0的根为x＝﹣1或x＝3，
故答案为：x＝﹣1或x＝3．
【点评】本题主要考查二次函数的图象和性质，关键是要牢记二次函数的图象和对应的一元二次方程的根的关系．
10．关于x的方程x2+x﹣c＝0无实数根，则二次函数y＝x2+x﹣c的图象的顶点在第 　二　 象限．
【答案】见试题解答内容
【分析】首先确定抛物线与x轴没有交点，再利用抛物线开口方向以及对称轴位置得出顶点的位置．
【解答】解：∵关于x的方程x2+x﹣c＝0无实数根，
∴b2﹣4ac＝1+4c＜0，
故二次函数y＝x2+x﹣c的图象与x轴没有交点，
∵二次函数y＝x2+x﹣c的图象开口向上，对称轴为：直线x，
∴抛物线顶点在第二象限．
故答案为：二．
【点评】此题主要考查了抛物线与x轴的交点，熟练掌握相关性质得出顶点位置是解题关键．
11．已知抛物线y＝4x2+2x+m，当﹣1＜x＜1时，抛物线与x轴有且只有一个公共点，则m的取值范围是 　﹣6＜m＜﹣2或m　 ．
【答案】﹣6＜m＜﹣2或m．
【分析】当抛物线与x轴有两个交点时，只要满足x＝﹣1和x＝1时的函数值异号；当抛物线与x轴有一个交点时，只需要对应的一元二次方程的判别式等于0即可；从而可分别得到关于m的不等式或方程，可求得答案．
【解答】解：∵y＝4x2+2x+m，
∴当x＝﹣1时，y＝m+2，当x＝1时，y＝m+6，
令y＝0可得4x2+2x+m，＝0，其判别式为Δ＝4﹣16m．
当抛物线与x轴有两个交点时，
需满足，解得﹣6＜m＜﹣2；
当抛物线与x轴只有一个交点时，
∵抛物线对称轴为x，
∴其对称轴满足﹣1＜x＜1，
∴只需要Δ＝0即可，即4﹣16m＝0，解得m；
综上可知m的取值范围为﹣6＜m＜﹣2或m，
故答案为：﹣6＜m＜﹣2或m．
【点评】本题主要考查抛物线与x轴的交点，掌握抛物线与x轴的交点与对应一元二次方程根的关系是解题的关键．
12．已知抛物线y＝x2﹣x﹣1与x轴的一个交点为（m，0），则代数式m2﹣m+2023的值为 　2024　 ．
【答案】2024．
【分析】由点（m，0）在抛物线y＝x2﹣x﹣1上，可得出m2﹣m﹣1＝0，将其代入m2﹣m+2023中即可得出结论．
【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣x﹣1与x轴的一个交点为（m，0），
∴m2﹣m﹣1＝0，
∴m2﹣m+2023＝m2﹣m﹣1+2024＝2024．
故答案为：2024．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，根据点在抛物线上得出m2﹣m﹣1＝0是解题的关键．
13．函数y＝7x2﹣14x﹣105与x轴的交点如图所示，则方程7x2﹣14x﹣105＝0的实数根x1＝　﹣3　 ，x2＝　5　 ．
【答案】﹣3，5．
【分析】根据函数y＝7x2﹣14x﹣105与x轴的交点为（﹣3，0），（5，0）即可求出答案．
【解答】解：由题意可得：
当x＝﹣3或x＝5时，7x2﹣14x﹣105＝0，
∴方程7x2﹣14x﹣105＝0的实数根x1＝﹣3，x2＝5，
故答案为：﹣3，5．
【点评】此题考查了二次函数图象与x轴的交点和一元二次方程的解的关系，正确进行计算是解题关键．
14．如图，若y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，则关于x的方程ax2+bx+c＝0的另一个解为　x＝﹣1　 ．
【答案】x＝﹣1．
【分析】二次函数与x轴交点的横坐标即为对应的一元二次方程的解，据此利用对称性求出二次函数与x轴的另一个交点的坐标即可得到答案．
【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为直线x＝1且与x轴的一个交点坐标为（3，0），
∴二次函数与x轴的另一个交点坐标为（﹣1，0），
∴关于x的方程ax2+bx+c＝0的另一个解为x＝﹣1，
故答案为：x＝﹣1．
【点评】本题主要考查了二次函数与一元二次方程之间的关系，掌握其性质是解题的关键．
15．抛物线的图象如图，当y＜0时，x的取值范围是 　1＜x＜3　 ．
【答案】1＜x＜3．
【分析】根据抛物线的图象开口向上及与x轴的两个交点坐标，可求得答案．
【解答】解：由图象可知，抛物线开口向上，与x轴的交点分别是（1，0）、（3，0），
则当1＜x＜3时，y＜0．
故答案为：1＜x＜3．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数与不等式的关系，掌握二次函数图象与对应一元二次方程的关系是解题的关键，注意数形结合思想的应用．
三．解答题（共9小题）
16．已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴分别交于点A（﹣2，0）和点B，与y轴交于点C，且点C的坐标为（0，﹣6）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）已知E为抛物线的顶点，F为抛物线对称轴右侧的一个动点，当△CBF和△CEB的面积相等时，求点F的坐标．
【答案】（1）y＝x2﹣x﹣6；
（2）或．
【分析】（1）代入A，C坐标可求答案；
（2）用等面积法求出直线EF解析式，与抛物线联立即可．
【解答】解：（1）由题意可得：
解得
∴y＝x2﹣x﹣6．
（2）由（1）知，
∴顶点E的坐标为，点B的坐标为（3，0）．
设BC所在直线的函数表达式为y＝kx﹣6．
将点（3，0）代入，得k＝2，
∴y＝2x﹣6．
①当点F在直线BC下方时，由△CBF和△CEB的面积相等，得EF∥BC．
设EF所在直线的函数表达式为y＝2x+m．
将点代入，得，
∴直线EF的表达式为，与y轴交于点．
联立y＝x2﹣x﹣6，得，
∴点F的坐标为．
②由①可知点关于点C（0，﹣6）的对称点G′为．
当点F在直线BC上方时，由△CBF和△CEB的面积相等，得G′F∥BC．
设G′F所在直线的函数表达式为y＝2x+n．
将点代入，得，
∴直线G′F的表达式为．
联立y＝x2﹣x﹣6，得，
∴点F的坐标为．
综上所述，当△CBF和△CEB的面积相等时，点F的坐标为或．
【点评】本题考查待定系数法求函数解析式及与几何图形结合的综合能力，要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来是解题的关键．
17．已知函数y＝2x2﹣3x﹣2，解答下列问题：
（1）画出函数的图象；
（2）观察图象，填空、回答：
①抛物线y＝2x2﹣3x﹣2与y轴的交点坐标是 　（0，﹣2）　 ，与x轴的交点坐标是 　（，0）和（2，0）　 ；
②x取什么值时，y≥0．
【答案】（1）见解答．
（2）①（0，﹣2）；（，0）和（2，0）．
②或x≥2时，y≥0．
【分析】（1）利用描点法直接画图即可．
（2）①由（1）可知，抛物线y＝2x2﹣3x﹣2与y轴的交点坐标是（0，﹣2），与x轴的交点坐标是（，0）和（2，0）．
②结合图象可直接得出答案．
【解答】解：（1）列表：
x ... 0 2 ...
y ... 0 ﹣2 ﹣2 0 ...
画出函数y＝2x2﹣3x﹣2的图象如图所示．
（2）①抛物线y＝2x2﹣3x﹣2与y轴的交点坐标是（0，﹣2），与x轴的交点坐标是（，0）和（2，0）．
故答案为：（0，﹣2）；（，0）和（2，0）．
②由图可知，或x≥2时，y≥0．
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
18．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）与x轴的一个交点坐标是（2，0），与y轴的交点坐标是（0，﹣2），且经过点（﹣2，4）．
（Ⅰ）求该抛物线解析式中a，b，c的值；
（Ⅱ）直接写出y＞0时，自变量x的取值范围．
【答案】（Ⅰ）a＝1，b＝﹣1，c＝﹣2；
（Ⅱ）x＜﹣1或x＞2．
【分析】（I）根据题意得方程组，解方程组即可得到结论；
（II）由（Ⅰ）知，抛物线解析式为y＝x2﹣x﹣2，当y＝0时，x2﹣x﹣2＝0，解方程得到抛物线y＝x2﹣x﹣2与x轴的交点为（﹣1，0），（2，0），于是得到结论．
【解答】解：（I）由题意可知抛物线经过点（2，0），（0，﹣2），（﹣2，4），
有，
解得，
（II）由（Ⅰ）知，抛物线解析式为y＝x2﹣x﹣2，
当y＝0时，x2﹣x﹣2＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝2，
∴抛物线y＝x2﹣x﹣2与x轴的交点为（﹣1，0），（2，0），
当y＞0时，自变量x的取值范围为：x＜﹣1或x＞2．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，正确地求出二次函数的解析式是解题的关键．
19．已知二次函数图象的顶点坐标为（﹣1，﹣8），且过点（0，﹣6）．
（1）求出函数解析式．
（2）请求出函数图象与坐标轴的交点．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）设出顶点式，利用待定系数法求解析式即可；
（2）令y＝0，解一元二次方程即可．
【解答】解：（1）∵二次函数图象的顶点坐标为（﹣1，﹣8），且过点（0，﹣6），
∴设函数解析式为y＝a（x+1）2﹣8，
将（0，﹣6）代入得：﹣6＝a（0+1）2﹣8，
解得a＝2；
∴y＝2（x+1）2﹣8＝2x2+4x﹣6；
∴解析式为y＝2x2+4x﹣6；
（2）当y＝0时：2x2+4x﹣6＝0，
解得：x＝﹣3或x＝1，
∴图象与x轴的交点坐标为（﹣3，0），（1，0）．
由条件知，图象与y轴交点坐标为（0，﹣6）．
【点评】本题考查求二次函数的解析式以及抛物线与x轴，y轴的交点坐标，利用待定系数法准确的求出函数解析式是解题的关键．
20．已知抛物线y＝x2﹣4x+3．
（1）求抛物线的顶点坐标；
（2）求抛物线与x轴的交点坐标；
（3）当y＜0时，请直接写出x的取值范围．
【答案】（1）（2，﹣1）；
（2）（1，0），（3，0）；
（3）1＜x＜3．
【分析】（1）把一般式配成顶点式得到抛物线的顶点坐标；
（2）通过解方程x2﹣4x+3＝0可得抛物线与x轴的交点坐标；
（3）写出抛物线在x轴下方所对应的自变量的取值范围即可．
【解答】解：（1）∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，
∴抛物线的顶点坐标为（2，﹣1）；
（2）当y＝0时，x2﹣4x+3＝0，
解得x1＝1，x2＝3，
∴抛物线与x轴的交点坐标为（1，0），（3，0）；
（3）当y＜0时，x的取值范围为1＜x＜3．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
21．在平面直角坐标系中，已知（1，4）在抛物线y＝﹣x2+（m﹣1）x+m上．
（1）求m的值，并直接写出抛物线解析式；
（2）求抛物线与x轴的交点坐标．
【答案】（1）m＝3，y＝﹣x2+2x+3；
（2）抛物线与x轴的交点坐标为（﹣1，0），（3，0）．
【分析】（1）根据（1，4）在抛物线y＝﹣x2+（m﹣1）x+m上，可以求得m的值，然后将m代入函数解析式，即可得到抛物线的解析式；
（2）将y＝0代入（1）中的函数解析式，即可得到抛物线与x轴的交点坐标．
【解答】解：（1）∵（1，4）在抛物线y＝﹣x2+（m﹣1）x+m上，
∴4＝﹣12+（m﹣1）×1+m，
解得m＝3，
∴y＝﹣x2+2x+3；
（2）将y＝0代入y＝﹣x2+2x+3，得：0＝﹣x2+2x+3，
解得x1＝3，x2＝﹣1，
即抛物线与x轴的交点坐标为（﹣1，0），（3，0）．
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
22．已知抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于（﹣3，0），（1，0）两点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）求该抛物线的对称轴；
（3）若﹣4＜x＜3，求函数值y的取值范围．
【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）x＝﹣1；
（3）﹣12＜x≤4．
【分析】（1）设交点式y＝a（x+3）（x﹣1），再把解析式化为一般式得y＝ax2+2ax﹣3a，所以﹣3a＝3，然后求出a，从而确定抛物线解析式；
（2）利用配方法把一般式化为顶点式，从而得到抛物线的对称轴；
（3）由于﹣（x+1）2+4，则当x＝﹣1时，y有最大值，最大值为4，再计算出当x＝﹣4时，y＝﹣5，当x＝3时，y＝﹣12，然后写出当﹣4＜x＜3，函数值y的取值范围．
【解答】解：（1）设抛物线解析式为y＝a（x+3）（x﹣1），
即y＝ax2+2ax﹣3a，
∴﹣3a＝3，
解得a＝﹣1，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1；
（3）当x＝﹣1时，y有最大值，最大值为4，
∵当x＝﹣4时，y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣5，
当x＝3时，y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣12，
∴当﹣4＜x＜3，函数值y的取值范围为﹣12＜x≤4．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了待定系数法求二次函数解析式和二次函数的性质．
23．已知抛物线y＝（a﹣1）x2﹣2x+1与x轴有两个不同的交点，试求a的取值范围．
【答案】a＜2且a≠1．
【分析】根据抛物线y＝（a﹣1）x2﹣2x+1与x轴有两个不同的交点，得出（﹣2）2﹣4（a﹣1）×1＞0且a﹣1≠0，进而求出a的取值范围．
【解答】解：由题意可得：
（﹣2）2﹣4（a﹣1）×1＞0且a﹣1≠0，
解得：a＜2且a≠1．
【点评】本题考查了抛物线与x轴交点问题，正确记忆相关知识点是解题关键．
24．已知二次函数y＝﹣x2+2（m﹣4）x+m2﹣1（m是常数）．
（1）求证：不论m为何值，该函数图象与x轴总有两个公共点；
（2）求证：当﹣1＜m＜1时，该函数图象与y轴的交点总在x轴的下方．
【答案】见解答．
【分析】（1）先计算根的判别式的值得到Δ＝8（m﹣2）2+28，则利用非负数的性质可判断Δ＞0，然后利用根的判别式的意义得到结论；
（2）计算自变量为0对应的函数值得到二次函数图象与y轴的交点坐标为（0，m2﹣1），然后利用﹣1＜m＜1可判断二次函数图象与y轴的交点在y轴的负半轴上．
【解答】证明：（1）∵Δ＝4（m﹣4）2﹣4×（﹣1）×（m2﹣1）＝8（m﹣2）2+28，
而8（m﹣2）2≥0，
∴Δ＞0，
∴不论m为何值，该函数图象与x轴总有两个公共点；
（2）当x＝0时，y＝﹣x2+2（m﹣4）x+m2﹣1＝y＝m2﹣1，
∴二次函数图象与y轴的交点坐标为（0，m2﹣1），
∵﹣1＜m＜1，
∴m2﹣1＜0，
∴二次函数图象与y轴的交点在y轴的负半轴上，
即当﹣1＜m＜1时，该函数图象与y轴的交点总在x轴的下方．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程；Δ＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．也考查了二次函数的性质．
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