第7章 三角函数 本章复习 学案（含答案） 2025-2026学年高一数学苏教版（2019）必修第一册

第7章　三角函数 本 章 复 习
1. 梳理本章知识点，形成知识体系．
2. 巩固三角函数的概念，灵活运用同角三角函数的基本关系式及诱导公式化简求值；巩固正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质(定义域、值域、周期、奇偶性、单调区间)；理解函数 y＝A sin (ωx＋φ)的图象和图象变换，综合运用这些知识解决问题．
3. 体会数形结合思想、由特殊到一般思想、整体代换思想、分类讨论思想及转化思想的应用．
活动一 构建知识网络
1.
2.
活动二　理解概念，掌握基本方法　
例1　(1) 与－30°角终边相同的角的集合为________________；(用弧度制表示)
(2) 已知P(－，m)为角α的终边上的一点，且sin α＝，则m的值为________；
(3) 化简：1＋cos ·sin ·tan(π＋α)＝________．
已知sin α＋cos α＝，α∈(0，π)，求tan α的值．
活动三　三角函数的图象与性质　
例2　函数y＝A sin (ωx＋φ)＋k(A＞0，ω＞0)的部分图象如图所示．
(1) 求函数的解析式；
(2) 分析一下该函数的图象是如何通过y＝sin x的图象变换得来的．
已知函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A＞0，ω＞0，|φ|<)的部分图象如图所示，求函数y＝f(x)的解析式．
例3　已知函数f(x)＝2sin (2x＋)＋a＋1(其中a为常数).
(1) 求函数f(x)的单调区间；
(2) 若当x∈时，f(x)的最大值为4，求a的值；
(3) 求f(x)取最大值时x的取值集合．
活动四　提升探究能力，体会数形结合思想的应用　
例4　如图，在平面直角坐标系xOy中，P(x，y)是单位圆上的一个动点，它以单位圆与y轴负半轴的交点P0为初始位置，沿单位圆按逆时针方向旋转，设旋转角为α.
(1) 将x表示为α的函数f(α)；
(2) 若f＝2f(α)，求sin αcos α的值；
(3) 若f＝，且－<α<，求sin 的值．
例5　作出函数f(x)＝sin 的图象，并写出它的单调增区间．
若f(x)＝sin 在区间[0，a]上有且只有两个最大值，求实数a的取值范围．
若方程sin ＝a在区间上有两解．
(1) 求实数a的取值范围；
(2) 若方程的两解为α和β，求α＋β的值．
若方程sin x＝在x∈上有两个实数解，则a的取值范围是________．
例6　已知函数f(x)＝1－2a－2a cos x－2sin2x的最小值为g(a)(a∈R).
(1)求g(a)的解析式；
(2) 若g(a)＝，求a的值及此时函数f(x)的最大值．
1. (2024南京期末)已知角θ的终边经过点P(x，－5)，且tan θ＝，则x的值是(　　)
A. －13 B. －12 C. 12 D. 13
2. (2025番禺期末)当x∈[0，2π]时，函数y＝sin x与y＝2sin 图象的交点个数为(　　)
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
3. (多选)(2025广东部分学校期末)下列函数中，在区间上单调递增，且为偶函数的是(　　)
A. y＝tan x B. y＝cos 2x
C. y＝cos x D. y＝－|sin x|
4. (2025海淀期末)若θ为第二象限角，且sin θ＝，则cos (π＋θ)cos ＝________．
5. (2024临沂期末)已知函数f(x)＝2cos (ωx－φ)(ω>0，0<φ<π)的最小正周期为4π，且图象经过点(0，1).
(1) 求函数f(x)的单调减区间；
(2) 当x∈[0，2π]时，求f(x)的最值以及取得最值时x的值．
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【活动方案】
例1　(1)
(2) 　因为r＝，所以sin α＝＝，解得m＝.
(3) cos2α　原式＝1＋(－sinα)·cos α·tan α＝1－sin α·cos α·＝1－sin2α＝cos2α.
跟踪训练　因为sinα＋cos α＝，①
两边同时平方，得1＋2sin αcos α＝，
所以2sin αcos α＝－.
因为α∈(0，π)，所以cos α＜0＜sin α.
因为(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝，
所以sin α－cos α＝.②
由①②，得sin α＝，cos α＝，
所以tan α＝＝－.
例2　(1) 由图象知A＝＝，
k＝＝－1，T＝2×＝π，
所以ω＝＝2，所以y＝sin (2x＋φ)－1.
当x＝时，2×＋φ＝，所以φ＝，
所以y＝sin －1.
(2) 将y＝sin x的图象向左平移个单位长度，得到y＝sin 的图象，然后纵坐标不变、横坐标变为原来的，得到y＝sin 的图象，再保持横坐标不变，纵坐标变为原来的，得到 y＝sin (2x＋)的图象，最后将函数y＝sin 的图象向下平移1个单位长度，得到y＝sin －1的图象．
跟踪训练　由题意，得A＝，
由T＝＝4×＝π，得ω＝2，
所以f＝sin ＝－，
所以φ＝＋2kπ，k∈Z.
因为|φ|<，所以φ＝，
所以f(x)＝sin .
例3　(1) 由－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，
解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
所以函数f(x)的单调增区间为[－＋kπ，＋kπ]，k∈Z.
由＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，
解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
所以函数f(x)的单调减区间为[＋kπ，＋kπ]，k∈Z.
(2) 因为0≤x≤，
所以≤2x＋≤，
所以－≤sin ≤1，
所以f(x)max＝2＋a＋1＝4，所以a＝1.
(3) 当f(x)取最大值时，2x＋＝＋2kπ，k∈Z，解得x＝＋kπ，k∈Z，
所以当f(x)取最大值时，x的取值集合是{x|x＝＋kπ，k∈Z}．
例4　(1) x＝f(α)＝cos ＝sin α.
(2) 由题意，得sin ＝cos α＝2sin α.
又sin2α＋cos2α＝1，
所以或
所以sin αcos α＝.
(3) 因为－<α<，所以－<2α＋<，
所以cos ＝＝，
所以sin ＝cos ＝.
例5　函数f(x)＝sin 的图象如图所示．
单调增区间为(k∈Z).
跟踪训练1　因为x∈[0，a]，
所以2x＋∈.
由题意，得≤2a＋<，即≤a<，
所以实数a的取值范围为.
跟踪训练2　(1) 因为x∈，
所以2x＋∈.　
根据图象可知实数a的取值范围为(－1，－]∪[，1).
(2) 由题意，得的值为或，
所以α＋β的值为或.
跟踪训练3　(－1，1－]　因为≤x≤π，根据正弦函数的图象及题意可得≤<1，解得－1＜a≤1－.
例6　(1) f(x)＝1－2a－2a cos x－2sin2x＝1－2a－2a cosx－2(1－cos2x)＝2cos2x－2a cosx－(2a＋1)＝2－－2a－1(－1≤cos x≤1).
①当－1≤≤1，即－2≤a≤2时，
则f(x)min＝g(a)＝－－2a－1；
②当<－1，即a<－2时，
则f(x)min＝g(a)＝1；
③当>1，即a>2时，
则f(x)min＝g(a)＝1－4a.
综上，g(a)＝
(2) ①若a>2，则1－4a＝，解得a＝，不满足题意，舍去；
②若－2≤a≤2，则－－2a－1＝，
即a2＋4a＋3＝0，解得a＝－1或a＝－3(舍去)，
此时f(x)＝2＋，
当cos x＝1时，f(x)取得最大值5；
③若a<－2，则g(a)＝1，不满足题意(舍去).
综上，a＝－1，此时f(x)的最大值为5.
【检测反馈】
1. B　由任意角三角函数的定义，得tan θ＝＝，所以x＝－12.
2. B　在同一平面直角坐标系中，分别作出y＝sin x与y＝2sin 的图象，由图象可知y＝sin x与y＝2sin (2x－)的图象在x∈[0，2π]时有4个交点．
3. BD　y＝tan x在区间上单调递增，但是是奇函数，故A错误；y＝cos 2x在区间上单调递增，且是偶函数，故B正确；y＝cos x在区间上单调递减，是偶函数，故C错误；y＝－|sin x|在区间上单调递增，是偶函数，故D正确．故选BD.
4. －　因为θ为第二象限角，且sin θ＝，所以cos θ＝－＝－＝－，所以cos(π＋θ)cos (＋θ)＝(－cos θ)·(－sin θ)＝sin θcos θ＝×＝－.
5. (1) 因为函数f(x)＝2cos (ωx－φ)(ω>0，0<φ<π)的最小正周期为4π，
所以＝4π，即ω＝.
因为f(x)的图象经过点(0，1)，
所以f(0)＝2cos (－φ)＝2cos φ＝1，
所以cos φ＝.
因为0<φ<π，所以φ＝，
所以f(x)＝2cos ，
令2kπ≤－≤2kπ＋π，k∈Z，
得4kπ＋≤x≤4kπ＋，k∈Z，
故函数f(x)的单调减区间为[4kπ＋，4kπ＋]，k∈Z.
(2) 当x∈[0，2π]时，－∈，
由余弦函数的单调性可知cos (－)∈，
则当－＝0，即x＝时，函数f(x)取得最大值2；当－＝，即x＝2π时，函数f(x)取得最小值－1.