22.3 实际问题与二次函数（同步练习·含解析）-2025-2026学年人教版数学九年级上册

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22.3 实际问题与二次函数
一．选择题（共7小题）
1．在四边形ABCD中，AB∥DC，∠C＝∠D＝60o，AB＝6cm，CD＝12cm，点P从A点出发，沿A→D→C以1cm/s的速度运动；点Q从B点出发，沿B→C→D以2cm/s的速度运动，直到P与Q相遇就停止运动．在运动过程中，四边形ABQP的面积的最大值为（　　）
A．cm2 B．21cm2 C．cm2 D．cm2
2．古代拱桥的建筑形状类似于抛物线，某拱桥的形状可以看作是一个二次函数y＝ax2﹣4x+3，若关于x的一元二次方程ax2﹣4x+2＝0有两个不相等的实数根，那么a的取值范围是（　　）
A．a＜2 B．a＞2 C．a＜2且a≠0 D．a≤2且a≠0
3．某种爆竹点燃后升空，并在最高处燃爆．该爆竹点燃后离地高度h（单位：m）关于离地时间t（单位：s）的函数解析式是h＝30t﹣5t2，其中t的取值范围是（　　）
A．t≥0 B．0≤t≤3 C．3≤t≤6 D．0≤t≤6
4．将商品按单件利润为20元售出时，能卖出100个．已知该商品单价每上涨1元，其销售量就减少5个．设这种商品的售价上涨x元时，获得的利润为y元，则下列关系式正确的是（　　）
A．y＝（20+x）（100﹣5x） B．y＝（20﹣x）（100﹣5x）
C．y＝（20﹣x）（100+5x） D．y＝（20+x）（100+5x）
5．在一个边长为5的正方形中挖去一个边长为x（0＜x＜5）的小正方形，如果设剩余部分的面积为y，那么y关于x的函数解析式是（　　）
A．y＝x2 B．y＝25﹣x2 C．y＝x2﹣25 D．y＝25﹣2x
6．已知二次函数的图象（0≤x≤3）如图所示，下列关于该函数在所给自变量取值范围内的说法正确的是（　　）
A．有最小值0，最大值3
B．有最小值﹣1，最大值3
C．有最小值﹣1，最大值0
D．有最小值﹣1，无最大值
7．某车的刹车距离y（m）与开始刹车时的速度x（m/s）之间满足二次函数yx2（x＞0），若该车某次的刹车距离为4m，则开始刹车时的速度为（　　）
A．4m/s B．5m/s C．8m/s D．10m/s
二．填空题（共7小题）
8．如图，已知边长为12的正方形ABCD，E是BC边上一动点（与B、C不重合），连接AE，G是BC延长线上的点，过点E作AE的垂线交∠DCG的角平分线于点F，若FG⊥BG，则△CEF的最大面积为 　 　 ．
9．图1是一个高脚杯截面图，杯体CBD呈抛物线状（杯体厚度不计），点B是抛物线的顶点，AB＝9，EF＝2，点A是EF的中点，当高脚杯中装满液体时，液面CD＝4，此时最大深度（液面到最低点的距离）为12，将高脚杯绕点F缓缓倾斜倒出部分液体，当∠EFH＝30°时停止，此时液面为GD，求此时杯体内液体的最大深度为　 　 　 ．
10．图1是一座彩虹桥两条抛物线型钢梁在桥面上的跨度分别为AB＝50米和CD＝40米（如图2所示），x轴表示桥面，BC＝10米．若两抛物线交y轴于同一点，且它们的形状相同，则的值为 　 　 ．
11．设O为坐标原点，点A、B为抛物线y上的两个动点，且OA⊥OB．连接点A、B，过O作OC⊥AB于点C，则点C到y轴距离的最大值 　 　 ．
12．如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y（m）与运行的水平距离x（m）满足关系式y＝a（x﹣6）2+h．已知球网与O点的水平距离为9m，高度为2.24m，球场的边界距O点的水平距离为18m．若球一定能越过球网，又不出边界（可落在边界），则h的取值范围是　 　 ．
13．如图，点D为等边三角形ABC边BC上一动点，AB＝4，连接AD，以AD为边作正方形ADEF，连接CE、CF，则当BD＝　 　 时，△CEF的面积最小值为 　 　 ．
14．图1是一个高脚杯截面图，杯体CBD呈抛物线状（杯体厚度不计），点B是抛物线的顶点，AB＝9，EF＝2，点A是EF的中点，当高脚杯中装满液体时，液面CD＝4，此时最大深度（液面到最低点的距离）为12，将高脚杯绕点F缓缓倾斜倒出部分液体，当∠EFH＝30°时停止，此时液面为GD，则液面GD到平面l的距离是 　 　 ；此时杯体内液体的最大深度为 　 　 ．
三．解答题（共5小题）
15．我们常见的炒菜锅和锅盖都是抛物线面，经过锅心和盖心的纵断面是两段抛物线组合而成的封闭图形，不妨简称为“锅线”，锅口直径为6dm，锅深3dm，锅盖高1dm（锅口直径与锅盖直径视为相同），建立直角坐标系如图①所示，如果把锅纵断面的抛物线记为C1，把锅盖纵断面的抛物线记为C2．
（1）求C1和C2的解析式；
（2）如果炒菜时锅的水位高度是1dm，求此时水面的直径（结果保留根号）；
（3）如果将一个底面直径为2dm，高度为3.6dm的圆柱形器皿竖直放入炒菜锅内蒸食物，锅盖能否正常盖上？请说明理由．
16．2024年9月大型城市马拉松赛在沈阳开赛，为了迎接这场城市马拉松盛宴，某商店购进了一批进价为20元/个的纪念品进行销售，经市场调查发现：销售单价不低于进价时，日销量y（个）与销售单价x（元/个）之间满足如图所示的一次函数关系．
（1）根据图象，求y与x的函数关系式；
（2）纪念品销售单价定为多少时，所获日销售利润最大，最大利润是多少？
17．某服装店购进单价为15元的童装若干件．销售一段时间后发现：当销售价为25元时平均每天能售出8件，而当售价每降低1元时，平均每天能多售出2件．当每件降价多少元时，该服装店平均每天的销售利润最大？
18．西安市白鹿原影视城旁的将军岭隧道连接了美丽的蓝田县城和“温泉之乡”汤峪，其外形顶部可近似地看成是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，隧道的最高点C（抛物线的顶点）离地面OB的距离为7m，OA＝4m，OD＝3m，隧道左右两侧底部水平距离OB为7m，EB⊥OB．
（1）求点E距地面OB的高度；
（2）在抛物线型隧道内上方需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过6m，那么两排灯的水平距离最小是多少米？（结果保留根号）
19．“双减政策”要求学校更注重“减负增效”，学校为了保护学生的视力，倡导学生购买护眼灯．某商场为了保证供应充足，购进两种不同类型的护眼灯，若用3120元购进A型护眼灯的数量和用4200元购进B型护眼灯的数量相同，其中每台A型护眼灯比B型护眼灯便宜9元．
（1）求该商场购进每台A型和B型护眼灯的成本价．
（2）该商场经过调查发现，A型护眼灯售价为36元时，可以卖出100台．每涨价1元，则每天少售出2台．求每台A型护眼灯升价多少元时，销售利润最大？
22.3 实际问题与二次函数
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．在四边形ABCD中，AB∥DC，∠C＝∠D＝60o，AB＝6cm，CD＝12cm，点P从A点出发，沿A→D→C以1cm/s的速度运动；点Q从B点出发，沿B→C→D以2cm/s的速度运动，直到P与Q相遇就停止运动．在运动过程中，四边形ABQP的面积的最大值为（　　）
A．cm2 B．21cm2 C．cm2 D．cm2
【答案】C
【分析】作AE⊥CD于E，作BF⊥CD于F，可求得AD，BC，AE的值，进而求得四边形ABCD的面积；当点Q在AC上时，当点Q和点C重合时，四边形ABQP的面积＝18，当点Q在CD上，点P在AP上时，设四边形ABQP的面积为S，求得S，求得当t时，S最大，进一步得出结果．
【解答】解：如图1，
作AE⊥CD于E，作BF⊥CD于F，
∴∠BFE＝∠AEF＝90°，
∴AE∥BF，
∵AB∥CD，
∴四边形AEFB是平行四边形，
∴ AEFB是矩形，
∴EF＝AB＝6，AE＝BF，
∵∠C＝∠D，
∴△AED≌△BFC（AAS），
∴DE＝CF＝3，
∴AD＝BC＝2CF＝6，AE＝BF＝3，
∴梯形ABCD的面积S27，
如图2，
当点Q在BC上时，
当点Q和点C重合时，四边形ABQP的面积最大．此时AP＝PQ＝3，
∴四边形ABQP的面积＝2718，
如图3，
当点Q在CD上，点P在AD上时，设四边形ABQP的面积为S，
∵，
S△PDQ，
∴S＝27，
∴当t时，S最大，
因为，
故选：C．
【点评】本题考查了解直角三角形，二次函数及其图象的性质等知识，解决问题的关键是分类讨论．
2．古代拱桥的建筑形状类似于抛物线，某拱桥的形状可以看作是一个二次函数y＝ax2﹣4x+3，若关于x的一元二次方程ax2﹣4x+2＝0有两个不相等的实数根，那么a的取值范围是（　　）
A．a＜2 B．a＞2 C．a＜2且a≠0 D．a≤2且a≠0
【答案】C
【分析】由两个不相等的实数根，即可得判别式Δ＞0，继而可求得a的范围．
【解答】解：由题意得：Δ＝（﹣4）2﹣4a×2＞0且a≠0，
解得：a＜2且a≠0，
故选：C．
【点评】此题考查了一元二次方程判别式的知识，掌握根的判别式公式是解题的关键．
3．某种爆竹点燃后升空，并在最高处燃爆．该爆竹点燃后离地高度h（单位：m）关于离地时间t（单位：s）的函数解析式是h＝30t﹣5t2，其中t的取值范围是（　　）
A．t≥0 B．0≤t≤3 C．3≤t≤6 D．0≤t≤6
【答案】B
【分析】把该函数解析式化为顶点式，然后根据二次函数的性质以及实际意义即可解答．
【解答】解：化为顶点式可得：h＝30t﹣5t2＝﹣5（t﹣3）2+45，
∴该函数h＝﹣5（t﹣3）2+45的顶点坐标为（3，45），对称轴为直线t＝3，
∴t的取值范围是0≤t≤3．
故选：B．
【点评】本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
4．将商品按单件利润为20元售出时，能卖出100个．已知该商品单价每上涨1元，其销售量就减少5个．设这种商品的售价上涨x元时，获得的利润为y元，则下列关系式正确的是（　　）
A．y＝（20+x）（100﹣5x） B．y＝（20﹣x）（100﹣5x）
C．y＝（20﹣x）（100+5x） D．y＝（20+x）（100+5x）
【答案】A
【分析】根据总利润等于每个利润乘上销售量，依题意：设这种商品的售价上涨x元时，获得的利润为y元，即利润为每个（20+x）元，销售量为（100﹣5x）个，结合获得的利润为y元，可列方程．
【解答】解：根据题意可得：利润为每个（20+x）元，销售量为（100﹣5x）个，
那么y＝（20+x）（100﹣5x），
故选：A．
【点评】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是理解“单价每上涨1元，其销售量就减少5个”．
5．在一个边长为5的正方形中挖去一个边长为x（0＜x＜5）的小正方形，如果设剩余部分的面积为y，那么y关于x的函数解析式是（　　）
A．y＝x2 B．y＝25﹣x2 C．y＝x2﹣25 D．y＝25﹣2x
【答案】B
【分析】利用剩余部分的面积＝大正方形的面积﹣小正方形的面积，即可找出y关于x的函数解析式．
【解答】解：根据题意得：y＝52﹣x2，
∴y关于x的函数解析式是y＝25﹣x2．
故选：B．
【点评】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，根据各数量之间的关系，找出y关于x的函数解析式是解题的关键．
6．已知二次函数的图象（0≤x≤3）如图所示，下列关于该函数在所给自变量取值范围内的说法正确的是（　　）
A．有最小值0，最大值3
B．有最小值﹣1，最大值3
C．有最小值﹣1，最大值0
D．有最小值﹣1，无最大值
【答案】B
【分析】根据函数图象和自变量取值范围，可以得出对应y的值，再根据函数图象，确定函数的最值．
【解答】解：根据图象可知：
当0≤x≤3时，函数有最小值﹣1，有最大值3．
故选：B．
【点评】此题主要考查了根据函数图象和自变量的取值范围判断函数的最值问题，解题的关键是利用数形结合思想根据函数图象得出函数的最值．
7．某车的刹车距离y（m）与开始刹车时的速度x（m/s）之间满足二次函数yx2（x＞0），若该车某次的刹车距离为4m，则开始刹车时的速度为（　　）
A．4m/s B．5m/s C．8m/s D．10m/s
【答案】D
【分析】本题实际是告知函数值求自变量的值，代入求解即可，另外实际问题中，负值舍去．
【解答】解：当刹车距离为4m时，即可得y＝4，
代入二次函数解析式得：4x2．
解得x＝±10，（x＝﹣10舍），
故开始刹车时的速度为10m/s．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数的应用，明确x、y代表的实际意义，刹车距离为4m，即是y＝4，难度一般．
二．填空题（共7小题）
8．如图，已知边长为12的正方形ABCD，E是BC边上一动点（与B、C不重合），连接AE，G是BC延长线上的点，过点E作AE的垂线交∠DCG的角平分线于点F，若FG⊥BG，则△CEF的最大面积为 　18　 ．
【答案】18．
【分析】先根据正方形的性质和角平分线的性质证明出FG＝CG，设CE＝x，则BE＝12﹣x，再利用同角的余角相等，判断出∠BAE＝∠FEG，进而得出△ABE∽△EGF，得出，然后求出FG＝12﹣x，再根据三角形的面积公式求出△ECF的面积，再根据函数的性质求最值．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DCB＝∠DCG＝90°，
∵CF是∠DCG的角平分线，
∴∠FCG＝45°，
∵FG⊥BG，
∴∠CFG＝45°，
∴FG＝CG，
设CE＝x，则BE＝12﹣x，
∴EG＝CE+CG＝x+FG，
∵四边形ABCD是正方形，EF⊥AE，
∴∠B＝∠G＝∠AEF＝90°，
∴∠BAE+∠AEB＝90°，∠AEB+∠FEG＝90°，
∴∠BAE＝∠FEG，
∵∠B＝∠G＝90°，
∴△BAE∽△GEF；
∴，
∴，
∴FG＝12﹣x，
∴S△ECFCE×FGx （12﹣x）（x2﹣12x）（x﹣6）2+18，
∵0，
∴当EC＝6时，S△ECF最大＝18．
故答案为：18．
【点评】主要考查了正方形的性质，角平分线，相似三角形的判定和性质，三角形的面积公式以及二次函数求最值，判断出△BAE∽△GEF是解本题的关键．
9．图1是一个高脚杯截面图，杯体CBD呈抛物线状（杯体厚度不计），点B是抛物线的顶点，AB＝9，EF＝2，点A是EF的中点，当高脚杯中装满液体时，液面CD＝4，此时最大深度（液面到最低点的距离）为12，将高脚杯绕点F缓缓倾斜倒出部分液体，当∠EFH＝30°时停止，此时液面为GD，求此时杯体内液体的最大深度为　 　　 ．
【答案】．
【分析】以A为原点，直线EF为x轴，直线AB为y轴，建立平面直角坐标系，由待定系数法求得抛物线的解析式；将高脚杯绕点F倾斜后，仍以A为原点，直线EF为x轴，直线AB为y轴，建立平面直角坐标系，分别用待定系数法求得直线l的解析式和直线GD的解析式，过点M作MP⊥l于点P，用三角函数求得液面GD到平面l的距离；过抛物线最低点Q作QL∥l，再将QL的解析式与抛物线的解析式联立，得出关于x的一元二次方程，由判别式求得q，最后用三角函数求得答案．
【解答】解：以A为原点，直线EF为x轴，直线AB为y轴，建立平面直角坐标系，如图：
由题意得：
A（0，0），B（0，9），C（﹣2，21），D（2，21），
设抛物线的解析式为：y＝ax2+9，
将D（2，21）代入得：
21＝a×（2）2+9，
解得：a＝1，
∴y＝x2+9．
将高脚杯绕点F倾斜后，仍以A为原点，直线EF为x轴，直线AB为y轴，建立平面直角坐标系，如图：
由题意得：
A（0，0），F（，0），E（，0），B（0，9），C（﹣2，21），D（2，21），
由题可知，直线l与x轴的夹角为30°，GD∥l，
∵l经过点F（，0），且∠EFH＝30°，
∴设直线l的解析式为：yx+b，
将F（，0）代入，解得b＝﹣1，
∴yx﹣1，
又∵GD∥l，
∴kGD＝kl，
∴设直线GD的解析式为yx+p，
将D（2，21）代入，解得p＝19，
∴yx+19，
∴M（0，19），N（0，﹣1），
过点M作MP⊥l于点P，过抛物线最低点Q作QL∥l，L为QL于MP的交点，
设直线QL的解析式为yx+q，
由，得：
x2x+9﹣q＝0，
∵只有一个交点Q，
∴Δ＝0，
∴4（9﹣q）＝0，
∴q，
∴ML＝（19）×sin60°
．
故答案为：．
【点评】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，数形结合并熟练掌握待定系数法、二次函数及解直角三角形等知识点是解题的关键．
10．图1是一座彩虹桥两条抛物线型钢梁在桥面上的跨度分别为AB＝50米和CD＝40米（如图2所示），x轴表示桥面，BC＝10米．若两抛物线交y轴于同一点，且它们的形状相同，则的值为 　　 ．
【答案】．
【分析】因为两个抛物线形状相同，可设：AB所在抛物线：y＝m（x﹣xA）（x﹣xB）①CD所在抛物线：y＝m（x﹣xC）（x﹣xD）②其中xA，xB，xC，xD分别为A，BC，D的横坐标，令x＝0，可以分别求出两条抛物线与y轴的交点E，F坐标，然后根据两抛物线交y轴于同一点，可以得出xAxB＝xCxD，然后根据已知条件B，C横坐标，从而得出结论．
【解答】解：设抛物线交y轴于点E．
因为两个抛物线形状相同，可设：yAB＝m（x﹣xA）（x﹣xB）①，yCD＝m（x﹣xC）（x﹣xD）②，其中xA，xB，xC，xD分别为A，B，C，D的横坐标，
对于①令x＝0，则y＝mxA xB，
所以E点坐标为（0，mxAxB）；
同理，对于②令x＝0，则y＝mxC xD，
所以E点坐标为（0，mxCxD），
因为mxAxB＝mxCxD，即xAxB＝xCxD，
因为AB＝50米，BC＝10米，CD＝40米．
所以AC＝60米，
所以xC﹣xA＝60，xC﹣xB＝10，xD﹣xC＝40，
所以xA＝xC﹣60，xB＝xC﹣10，xD＝xC十40，
将上式代入xAxB＝xCxD得，
（xC60）（xC﹣10）＝xC（xC40），
解得xC，
又因为xB，
所以．
故答案为：．
【点评】本题考查二次函数的应用，关键是根据题意列出函数解析式．
11．设O为坐标原点，点A、B为抛物线y上的两个动点，且OA⊥OB．连接点A、B，过O作OC⊥AB于点C，则点C到y轴距离的最大值 　2　 ．
【答案】2．
【分析】分别作AE、BF垂直于x轴于点E、F，设OE＝a，OF＝b，由抛物线解析式可得AE＝a2，BF＝b2，作AH⊥BH于H，交y轴于点G，连接AB交y轴于点D，设点D（0，m），易证△ADG∽△ABH，所以，即，可得mab．再证明△AEO∽△OFB，所以∴，即，可得ab＝16．即得点D为定点，坐标为（0，4），得DO＝4．进而可推出点C是在以DO为直径的圆上运动，则当点C到y轴距离为此圆的直径的一半，即时最大．
【解答】解：如图，分别作AE、BF垂直于x轴于点E、F，
设OE＝a，OF＝b，由抛物线解析式为yx2，
则AEa2，BFb2，
作AH⊥BF于H，交y轴于点G，连接AB交y轴于点D，
设点D（0，m），
∵DG∥BH，
∴△ADG∽△ABH，
∴，即，
化简得：mab，
∵∠AOB＝90°，
∴∠AOE+∠BOF＝90°，
又∠AOE+∠EAO＝90°，
∴∠BOF＝∠EAO，
又∠AEO＝∠BFO＝90°，
∴△AEO∽△OFB，
∴，
即，
化简得：ab＝16．
则mab＝4，说明直线AB过定点D，D点坐标为（0，4），
∵∠DCO＝90°，DO＝4，
∴点C是在以DO为直径的圆上运动，
∴当点C到y轴距离为DO时，点C到y轴距离的最大，最大值为DO，即最大值为2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了二次函数结合动点问题背景下的最值求法，涉及相似三角形，圆周角定理，此题难度较大，关键是要找出点D为定点，确定出点C的轨迹为一段优弧，再求最值．
12．如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y（m）与运行的水平距离x（m）满足关系式y＝a（x﹣6）2+h．已知球网与O点的水平距离为9m，高度为2.24m，球场的边界距O点的水平距离为18m．若球一定能越过球网，又不出边界（可落在边界），则h的取值范围是　h　 ．
【答案】h．
【分析】抛物线的表达式为y（x﹣6）2+h，由题意得：当x＝9时，y＞2.24，当x＝18时，y≤0，即可求解．
【解答】解：点A（0，2），将点A的坐标代入抛物线表达式得：2＝a（0﹣6）2+h，解得：a，
故抛物线的表达式为y（x﹣6）2+h，
由题意得：当x＝9时，y（x﹣6）2+h（9﹣6）2+h＞2.24，解得：h＞2.32；
当x＝18时，y（x﹣6）2+h（18﹣6）2+h≤0，解得：h，
故h的取值范围是为h，
故答案为h．
【点评】此题主要考查了二次函数的应用题，根据题意求出两个不等式是解题关键．
13．如图，点D为等边三角形ABC边BC上一动点，AB＝4，连接AD，以AD为边作正方形ADEF，连接CE、CF，则当BD＝　2　 时，△CEF的面积最小值为 　　 ．
【答案】2，．
【分析】如图，过点A作AJ⊥BC于点J，EK⊥BC交BC的延长线于点K，过点F作FH⊥AC于点H，过点D作DTAC于点T．设DJ＝x．构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题．
【解答】解：如图，过点A作AJ⊥BC于点J，EK⊥BC交BC的延长线于点K，过点F作FH⊥AC于点H，过点D作DT⊥AC于点T．设DJ＝x．
∵△ABC是等边三角形，AJ⊥BC，
∴BJ＝CJ＝2，AJ＝2，
∴AD2＝DJ2+AJ2＝x2+12，
∵∠AJD＝∠ADE＝∠DKE＝90°，
∴∠DAJ+∠ADJ＝90°，∠ADJ+∠KDE＝90°，
∴∠DAJ＝∠KDE，
∵AD＝DE，
∴△AJD≌△DKE（AAS），
∴DJ＝EK＝x，
∵∠ATD＝∠AHF＝∠DAF＝90°，
∴∠DAT+∠FAH＝90°，∠FAH+∠AFH＝90°，
∴∠DAT＝∠AFH，
∵AD＝AF，
∴△DTA≌△AHF（AAS），
∴AT＝FH，
∵CTCD（x+2），
∴AT＝FJ＝4（x+2）＝3x，
∴S阴＝S正方形ABCD﹣S△ADC﹣S△DCE﹣S△ACF
＝x2+12（2+x）×2（x+2）×x4×（3x）
x2x+6﹣2，
∵0，
∴S阴有最小值，当x时，最小值为，此时BD＝2．
故答案为：2，．
【点评】本题考查二次函数的最值，等边三角形的性质，正方形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建二次函数解决问题．
14．图1是一个高脚杯截面图，杯体CBD呈抛物线状（杯体厚度不计），点B是抛物线的顶点，AB＝9，EF＝2，点A是EF的中点，当高脚杯中装满液体时，液面CD＝4，此时最大深度（液面到最低点的距离）为12，将高脚杯绕点F缓缓倾斜倒出部分液体，当∠EFH＝30°时停止，此时液面为GD，则液面GD到平面l的距离是 　10　 ；此时杯体内液体的最大深度为 　　 ．
【答案】10，．
【分析】以A为原点，直线EF为x轴，直线AB为y轴，建立平面直角坐标系，由待定系数法求得抛物线的解析式；将高脚杯绕点F倾斜后，仍以A为原点，直线EF为x轴，直线AB为y轴，建立平面直角坐标系，分别用待定系数法求得直线l的解析式和直线GD的解析式，过点M作MP⊥l于点P，用三角函数求得液面GD到平面l的距离；过抛物线最低点Q作QL∥l，再将QL的解析式与抛物线的解析式联立，得出关于x的一元二次方程，由判别式求得q，最后用三角函数求得答案．
【解答】解：以A为原点，直线EF为x轴，直线AB为y轴，建立平面直角坐标系，如图：
由题意得：
A（0，0），B（0，9），C（﹣2，21），D（2，21），
设抛物线的解析式为：y＝ax2+9，
将D（2，21）代入得：
21＝a9，
解得：a＝1，
∴y＝x2+9．
将高脚杯绕点F倾斜后，仍以A为原点，直线EF为x轴，直线AB为y轴，建立平面直角坐标系，如图：
由题意得：
A（0，0），F（，0），E（，0），B（0，9），C（﹣2，21），D（2，21），
由题可知，直线l与x轴的夹角为30°，GD∥l，
∵l经过点F（，0），且∠EFH＝30°，
∴设直线l的解析式为：yx+b，
将F（，0）代入，解得b＝﹣1，
∴yx﹣1，
又∵GD∥l，
∴kGD＝kl，
∴设直线GD的解析式为yx+p，
将D（2，21）代入，解得p＝19，
∴yx+19，
∴M（0，19），N（0，﹣1），
过点M作MP⊥l于点P，
∵∠EFH＝30°，∠FAN＝90°，
∴∠ANF＝60°，
∴MP＝MN sin60°
＝[19﹣（﹣1）]
＝10．
过抛物线最低点Q作QL∥l，L为QL于MP的交点，
设直线QL的解析式为yx+q，
由得：
x2x+9﹣q＝0，
∵只有一个交点Q，
∴Δ＝0，
∴4（9﹣q）＝0，
∴q，
∴ML＝（19）×sin60°
．
故答案为：10，．
【点评】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，数形结合并熟练掌握待定系数法、二次函数及解直角三角形等知识点是解题的关键．
三．解答题（共5小题）
15．我们常见的炒菜锅和锅盖都是抛物线面，经过锅心和盖心的纵断面是两段抛物线组合而成的封闭图形，不妨简称为“锅线”，锅口直径为6dm，锅深3dm，锅盖高1dm（锅口直径与锅盖直径视为相同），建立直角坐标系如图①所示，如果把锅纵断面的抛物线记为C1，把锅盖纵断面的抛物线记为C2．
（1）求C1和C2的解析式；
（2）如果炒菜时锅的水位高度是1dm，求此时水面的直径（结果保留根号）；
（3）如果将一个底面直径为2dm，高度为3.6dm的圆柱形器皿竖直放入炒菜锅内蒸食物，锅盖能否正常盖上？请说明理由．
【答案】（1）；
（2）；
（3）锅盖不能正常盖上，理由见解析．
【分析】（1）已知A、B、C、D四点坐标，利用待定系数法即可确定两函数的解析式；
（2）炒菜锅里的水位高度为1dm，即y＝﹣2，列方程求得x的值即可得答案；
（3）底面直径为2dm、高度为3.6dm圆柱形器皿能否放入锅内，需判断当x＝1时，C1、C2中的y值的差与3.6比较大小，从而可得答案．
【解答】解：（1）抛物线过点A（﹣3，0）、B（3，0），
设C1、C2的解析式为：y＝a1（x﹣3）（x+3），y＝a2（x﹣3）（x+3）；
抛物线C1还经过D（0，﹣3），
则有：﹣3＝a1（0﹣3）（0+3），
∴，
∴；
抛物线C2还经过C（0，1），
则有：1＝a2（0﹣3）（0+3），
∴，
∴；
（2）当炒菜锅里的水位高度为1dm时，y＝﹣2，即，
∴，
∴此时水面的直径为；
（3）锅盖不能正常盖上，
当x＝1时，抛物线，
，
而，
∴锅盖不能正常盖上．
【点评】本题主要考查了二次函数的应用，解答本题的关键是找准等量关系，列出二次函数解析式．
16．2024年9月大型城市马拉松赛在沈阳开赛，为了迎接这场城市马拉松盛宴，某商店购进了一批进价为20元/个的纪念品进行销售，经市场调查发现：销售单价不低于进价时，日销量y（个）与销售单价x（元/个）之间满足如图所示的一次函数关系．
（1）根据图象，求y与x的函数关系式；
（2）纪念品销售单价定为多少时，所获日销售利润最大，最大利润是多少？
【答案】（1）y＝﹣4x+200；（2）纪念品销售单价定为35元时，所获得的利润最大，最大利润是900元．
【分析】（1）利用待定系数法求一次函数解析式进行计算，即可解答；
（2）设总利润为w元，然后根据总利润＝单个利润x总数量，得到w与x的函数关系式，根据二次函数的性质求解即可．
【解答】解：（1）设y与x的函数关系式为 y＝kx+b，
∵图象经过 （30，80）和（40，40）两点，
∴，
解得，
∴y与x的函数关系式为y＝﹣4x+200；
（2）设日销售利润为w元，
w＝（x﹣20）（﹣4x+200）＝﹣4x2+280x﹣4000＝﹣4（x﹣35）2+900，
∵a＝﹣4＜0，
∴抛物线开口向下，
∵对称轴为直线x＝35，
∴当x＝35时，w有最大值，此时w最大＝900，
答：纪念品销售单价定为35元时，所获得的利润最大，最大利润是900元．
【点评】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求一次函数解析式，准确熟练地进行计算是解题的关键．
17．某服装店购进单价为15元的童装若干件．销售一段时间后发现：当销售价为25元时平均每天能售出8件，而当售价每降低1元时，平均每天能多售出2件．当每件降价多少元时，该服装店平均每天的销售利润最大？
【答案】见试题解答内容
【分析】根据“利润＝（售价﹣成本）×销售量”列出每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；把二次函数解析式转化为顶点式方程，利用二次函数图象的性质进行解答．
【解答】解：设每件降价为x元，每天的销售利润为y元，
根据题意得：y＝（25﹣15﹣x）（8+2x）＝﹣2x2+12x+80＝﹣2（x﹣3）2+98，
∵a＝﹣2＜0，
∴抛物线开口向下，
∴当x＝3时，y有最大值，y最大值＝98．
答：当每件降价3元时，该服装店平均每天的销售利润最大．
【点评】此题考查二次函数的实际应用，为数学建模题，借助二次函数解决实际问题，解决本题的关键是二次函数图象的性质．
18．西安市白鹿原影视城旁的将军岭隧道连接了美丽的蓝田县城和“温泉之乡”汤峪，其外形顶部可近似地看成是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，隧道的最高点C（抛物线的顶点）离地面OB的距离为7m，OA＝4m，OD＝3m，隧道左右两侧底部水平距离OB为7m，EB⊥OB．
（1）求点E距地面OB的高度；
（2）在抛物线型隧道内上方需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过6m，那么两排灯的水平距离最小是多少米？（结果保留根号）
【答案】（1）点E距地面OB的高度为；
（2）两排灯的水平距离最小是米．
【分析】（1）先确定B点和顶点C的坐标，然后利用待定系数法求出抛物线解析式，再令x＝7，求得y的值，从而得到点E距地面OB的高度；
（2）抛物线开口向下，函数值越大，对称点之间的距离越小，于是计算函数值为6所对应的自变量的值即可得到两排灯的水平距离最小值．
【解答】解：（1）根据题意得：A（0，4），顶点C（3，7），
设抛物线的解析式为y＝a（x﹣3）2+7，
把B（0，4）代入得4＝a（0﹣3）2+7，
解得，
∴该抛物线的函数关系式为，
令x＝7，，
∴点E距地面OB的高度为；
（2）∵灯离地面的高度不超过6m，
∴令y＝6，则，
解得，，
∵，
如果灯离地面的高度不超过6m，那么两排灯的水平距离最小是米．
【点评】本题考查了二次函数的应用，求出二次函数解析式，掌握二次函数的性质是解题关键．
19．“双减政策”要求学校更注重“减负增效”，学校为了保护学生的视力，倡导学生购买护眼灯．某商场为了保证供应充足，购进两种不同类型的护眼灯，若用3120元购进A型护眼灯的数量和用4200元购进B型护眼灯的数量相同，其中每台A型护眼灯比B型护眼灯便宜9元．
（1）求该商场购进每台A型和B型护眼灯的成本价．
（2）该商场经过调查发现，A型护眼灯售价为36元时，可以卖出100台．每涨价1元，则每天少售出2台．求每台A型护眼灯升价多少元时，销售利润最大？
【答案】（1）该商场购进每台A型护眼灯的成本价为26元，购进每台B型护眼灯的成本价为35元；
（2）20元．
【分析】（1）设该商场购进每台A型护眼灯的成本价为x元，则购进每台B型护眼灯的成本价为（x+9）元，根据“用3120元和 4200元购进A型和B型护眼灯的数量相同”建立方程，解方程即可得；
（2）设每台A型护眼灯升价a元时，销售利润为w元，则每台A型护眼灯的售价为（36+a）元，每天可以售出A型护眼灯（100﹣2a）台，根据“利润＝（售价﹣成本价）×销售数量”建立函数关系式，利用二次函数的性质求解即可得．
【解答】解：（1）设该商场购进每台A型护眼灯的成本价为x元，则购进每台B型护眼灯的成本价为（x+9）元，
由题意得：，
解得x＝26，
经检验，x＝26是分式方程的解，
∴26+9＝35（元），
答：该商场购进每台A型护眼灯的成本价为26元，购进每台B型护眼灯的成本价为35元．
（2）设每台A型护眼灯升价a元时，销售利润为w元，
由题意得：w＝（36+a﹣26）（100﹣2a）＝﹣2（a﹣20）2+1800，
∵，
∴0≤a＜50，
由二次函数的性质可知，在0≤a＜50内，当a＝20时，w取得最大值，最大值为1800，
答：每台A型护眼灯升价20元时，销售利润最大．
【点评】本题考查了分式方程的应用、二次函数的应用，正确建立方程和熟练掌握二次函数的性质是解题关键．
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