第22章 二次函数（单元测试·含解析）-2025-2026学年人教版数学九年级上册

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第22章 二次函数
一．选择题（共6小题）
1．抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，下列说法正确的是（　　）
A．abc＞0 B．b＝2a C．9a+3b+c＜0 D．3a+c＞0
2．已知二次函数y＝x2﹣2tx+4在0≤x≤2范围内的最小值不小于3，则实数t的取值范围是（　　）
A．t≤1 B．t≥1 C．t≤﹣1 D．﹣1≤t≤1
3．已知抛物线的顶点坐标是（2，1），且抛物线经过点（3，0），则这条抛物线的函数表达式是（　　）
A．y＝（x﹣2）2+1 B．y＝（x+2）2+1
C．y＝﹣（x+2）2+1 D．y＝﹣（x﹣2）2+1
4．直线y＝ax+b与抛物线y＝ax2+bx﹣ab在同一坐标系里的大致图象正确的是（　　）
A． B．
C． D．
5．已知抛物线y＝2（x﹣1）2+c过点（﹣2，y1）（0，y2），（3，y3），则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y2＞y3＞y1 B．y1＞y3＞y2 C．y2＞y1＞y3 D．y1＞y2＞y3
6．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b和二次函数y＝ax2+bx+c的图象可能为（　　）
A． B．
C． D．
二．填空题（共7小题）
7．如图，抛物线yx2+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，2），点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当四边形CDBF的面积最大时，E点的坐标为　 　 ．
8．定义[a，b，c]为函数y＝ax2+bx+c的特征数，下面给出特征数位[2m，1﹣m，﹣1﹣m]的函数的一些结论：
①当m＝﹣3时，函数图象的顶点坐标是（，）；
②当m＝1时，函数图象截x轴所得的线段长度等于2；
③当m＝﹣1时，函数在x时，y随x的增大而减小；
④当m≠0时，函数图象经过同一个点．
上述结论中所有正确的结论有　 　 ．（填写所有正确答案的序号）
9．已知抛物线y＝﹣x2+2x+8与x轴交于B、C两点，点D平分BC．若在x轴上侧的A点为抛物线上的动点，且∠BAC为锐角，则AD的取值范围是　 　 ．
10．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的顶点为D，其图象与x轴的交点A，B的横坐标分别为﹣1，3，与y轴负半轴交于点C．下面五个结论：
①2a+b＝0；②a+b+c＞0；③4a+b+c＞0；④只有当a时，△ABD是等腰直角三角形；⑤使△ACB为等腰三角形的a的值可以有三个．
那么，其中正确的结论是　 　 ．
11．设O为坐标原点，点A、B为抛物线y＝2x2上的两个动点，且OA⊥OB．连接点A、B，过O作OC⊥AB于点C，则点C到y轴距离的最大值为 　 　 ．
12．如图，已知点A（3，0），B（1，0），两点C（﹣3，9），D（2，4）在抛物线y＝x2上，向左或向右平移抛物线后，C，D的对应点分别为C′，D′．当四边形ABC′D′的周长最小时，抛物线的解析式为 　 　 ．
13．如图，已知在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是矩形，点A、C分别在x轴和y轴上，A（3，0），C（0，）．D是BC的中点，M是线段OC上的点且OMOC，点P是线段OM上一个动点，经过P、D、B三点的抛物线交x轴的正半轴于点E，连接DE交AB于点F．
（1）当点P与原点重合时，此时的抛物线解析式是 　 　 ；
（2）以线段DF为边，在DF所在直线的右上方作等边△DFG，当动点P从点O运动到点M时，点G也随之运动，则点G的运动路径的长是 　 　 ．
三．解答题（共7小题）
14．已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴分别交于点A（﹣2，0）和点B，与y轴交于点C，且点C的坐标为（0，﹣6）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）已知E为抛物线的顶点，F为抛物线对称轴右侧的一个动点，当△CBF和△CEB的面积相等时，求点F的坐标．
15．某商店经销一种健身球，已知这种健身球的成本价为每个20元，市场调查发现，该种健身球每天的销售量y（个）与销售单价x（元）有如下关系：y＝﹣2x+80（20≤x≤40），设这种健身球每天的销售利润为w元．
（1）如果销售单价定为25元，那么健身球每天的销售量是　 　 个；
（2）求w与x之间的函数关系式；
（3）该种健身球销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
16．已知抛物线y＝ax2﹣2ax+c的图象经过点（﹣1，0），（0，3）．
（1）求这个二次函数的表达式．
（2）当﹣1≤x≤2时，函数的最大值为m，最小值为n，求m﹣n．
17．在平面直角坐标系xOy 中，已知A（1，y1），B（a+3，y2）在抛物线y＝ax2﹣2a2x+5（a≠0）上，设抛物线的对称轴为x＝t．
（1）当y1＝y2时，求a的值；
（2）已知C（3a+1，y3）在抛物线上，且，求a的取值范围．
18．已知抛物线为常数）．
（1）若m＝2，，求该抛物线与x轴的交点坐标．
（2）若抛物线过点（﹣1，y0），且对于抛物线上任意一点（x1，y1）都有y1≥y0，若点A（n，p），B（3﹣n，q）是这条抛物线上不同的两点，且，求p+q的取值范围．
19．已知二次函数y＝x2﹣tx﹣3．
（1）若二次函数经过（1，0），求二次函数的解析式；
（2）当﹣1≤x≤5时，函数有最大值为6，求t的值；
（3）在二次函数图象上任取两点（x1，y1），（x2，y2），当t≤x1＜x2≤t+3时，总有y1＞y2，求t的取值范围．
20．随着劳动教育的开展，某学校在校园开辟了一块劳动教育基地：一面利用学校的墙（墙的最大可用长度为28m），用长为40m的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的矩形菜地ABCD，在菜地的前端BC设计了两个宽1m的小门，便于同学们进入．设边AB的长为x m，矩形菜地ABCD的面积为S．
（1）用含x的代数式表示S（不要求求x的取值范围）；
（2）若围成的菜地的面积为120m2，求此时x的值；
（3）可以围成的菜地的面积最大是多少？
第22章 二次函数
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题）
1．抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，下列说法正确的是（　　）
A．abc＞0 B．b＝2a C．9a+3b+c＜0 D．3a+c＞0
【答案】D
【分析】依据题意，由函数的图象可得对称轴是直线x＝1，即b＝﹣2a，又结合图象可得，当x＝1时，y＝a+b+c＞0；当x＝2时，y＝4a+2b+c＞0；当x＝3时，y＝9a+3b+c＞0，进而可以逐个判断得解．
【解答】解：由题意，∵抛物线开口向下，对称轴是直线x＝1，
∴b＝﹣2a＞0，则2a+b＝0．
又∵结合图象可得，当x＝1时，y＝a+b+c＞0；当x＝2时，y＝4a+2b+c＞0；当x＝3时，y＝9a+3b+c＞0，
∴a﹣2a+c＝c﹣a＞0，4a﹣4a+c＝c＞0，9a﹣6a+c＝3a+c＞0，故C错误，D正确．
∴abc＜0，故A错误．
∵b＝﹣2a＞0，
∴b﹣2a＝﹣4a＞0，故B错误．
故选：D．
【点评】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，解题时要能熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．
2．已知二次函数y＝x2﹣2tx+4在0≤x≤2范围内的最小值不小于3，则实数t的取值范围是（　　）
A．t≤1 B．t≥1 C．t≤﹣1 D．﹣1≤t≤1
【答案】A
【分析】确定出抛物线的对称轴，分三种情况考虑即可．
【解答】解：二次函数y＝x2﹣2tx+4在0≤x≤2范围内的最小值不小于3，
抛物线y＝x2﹣2tx+4的对称轴为直线；
当x＝0时，y＝4；当x＝2时，y＝8﹣4t；当x＝t时，y＝﹣t2+4；
当t≤0时，0≤x≤2在对称轴的右侧，函数值随自变量的增大而增大，
而此时8﹣4t≥8，则函数在0≤x≤2范围内的最小值不小于4，故满足题意；
当0＜t≤2时，函数在0≤x≤2内取得最小值﹣t2+4，
由题意，只需满足﹣t2+4≥3，解得：﹣1≤t≤1，
即0＜t≤1；
当t＞2时，0≤x≤2在对称轴的左侧，函数值随自变量的增大而减小，
由题意，只需满足4＞8﹣4t≥3，解得：，
故这样的t不存在；
∴t的取值范围为t≤1．
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，分类讨论，正确记忆相关知识点是解题关键．
3．已知抛物线的顶点坐标是（2，1），且抛物线经过点（3，0），则这条抛物线的函数表达式是（　　）
A．y＝（x﹣2）2+1 B．y＝（x+2）2+1
C．y＝﹣（x+2）2+1 D．y＝﹣（x﹣2）2+1
【答案】D
【分析】由抛物线顶点坐标设其顶点式，再将点（3，0）代入求解可得．
【解答】解：设抛物线顶点式为：y＝a（x﹣2）2+1，
把点（3，0）坐标代入得：0＝a+1，
解得a＝﹣1，
∴抛物线解析式为y＝﹣（x﹣2）2+1．
故选：D．
【点评】本题主要考查待定系数法求函数解析式，在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
4．直线y＝ax+b与抛物线y＝ax2+bx﹣ab在同一坐标系里的大致图象正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据一次函数的性质和二次函数的性质可以判断各个选项中a、b的正负情况，本题得以解决．
【解答】解：选项A中，直线y＝ax+b中的a＞0，b＞0，抛物线y＝ax2+bx﹣ab中a＞0，b＜0，故选项A不符合题意；
选项B中，直线y＝ax+b中的a＞0，b＞0，抛物线y＝ax2+bx﹣ab中a＞0，b＞0，﹣ab＜0，故选项B符合题意；
选项C中，直线y＝ax+b中的a＞0，b＞0，抛物线y＝ax2+bx﹣ab中a＞0，b＞0，﹣ab＜0，而抛物线中﹣ab＞0，故选项C不符合题意；
选项D中，直线y＝ax+b中的a＞0，b＞0，抛物线y＝ax2+bx﹣ab中a＞0，b＜0，故选项D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查二次函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
5．已知抛物线y＝2（x﹣1）2+c过点（﹣2，y1）（0，y2），（3，y3），则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y2＞y3＞y1 B．y1＞y3＞y2 C．y2＞y1＞y3 D．y1＞y2＞y3
【答案】B
【分析】根据二次函数的图象与性质可进行求解．
【解答】解：由抛物线解析式可知：开口向上，对称轴为直线x＝1，离对称轴的距离越近，其对应的函数值也就越小，
∵（﹣2，y1）距离对称轴有3个单位长度，
（0，y2）距离对称轴有1个单位长度，
（3，y3）距离对称轴有2个单位长度，
∴y2＜y3＜y1．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
6．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b和二次函数y＝ax2+bx+c的图象可能为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题可先由二次函数y＝ax2+bx+c图象得到字母系数的正负，再与一次函数y＝ax+b的图象相比较看是否一致．
【解答】解：A、由抛物线可知，a＜0，x0，得b＜0，由直线可知，a＜0，b＜0，故本选项正确；
B、由抛物线可知，a＞0，由直线可知，a＜0，故本选项错误；
C、由抛物线可知，a＞0，x0，得b＜0，由直线可知，a＞0，b＞0，故本选项错误；
D、由抛物线可知，a＞0，由直线可知，a＜0，故本选项错误．
故选：A．
【点评】本题考查抛物线和直线的性质，用假设法来搞定这种数形结合题是一种很好的方法．
二．填空题（共7小题）
7．如图，抛物线yx2+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，2），点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当四边形CDBF的面积最大时，E点的坐标为　（2，1）　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】由于四边形CDBF的面积等于△CDB的面积与△BCF的面积之和，当四边形CDBF的面积最大时，即△BCF最大，设点E的坐标为（x，y），利用点E的坐标表示出△BCF的面积即可求出点E的坐标．
【解答】解：过点E作EG⊥x轴于点G，交抛物线于F，
将A（﹣1，0），C（0，2）代入yx2+mx+n
解得：
∴抛物线的解析式为：yx2x+2
令y＝0代入yx2x+2，
∴0x2x+2
解得：x＝﹣1或x＝4
∴B（4，0）
∴OB＝4
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
把B（4，0）和C（0，2）代入y＝kx+b
∴
解得：
∴直线BC的解析式为：yx+2，
设E的坐标为：（x，x+2）
∴F（x，x2x+2）
∴EFx2x+2﹣（x+2）x2+2x，
∴△BCF的面积为：EF OB＝2（x2+2x）＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4
四边形CDBF的面积最大时，只需要△BCF的面积最大即可，
∴当x＝2时，
△BCF的面积可取得最大值，
此时E的坐标为（2，1）
【点评】本题考查二次函数的综合问题，解题的关键是求出△BCF的面积的表达式，本题属于中等题型．
8．定义[a，b，c]为函数y＝ax2+bx+c的特征数，下面给出特征数位[2m，1﹣m，﹣1﹣m]的函数的一些结论：
①当m＝﹣3时，函数图象的顶点坐标是（，）；
②当m＝1时，函数图象截x轴所得的线段长度等于2；
③当m＝﹣1时，函数在x时，y随x的增大而减小；
④当m≠0时，函数图象经过同一个点．
上述结论中所有正确的结论有　①②④　 ．（填写所有正确答案的序号）
【答案】见试题解答内容
【分析】①把m＝﹣3代入[2m，1﹣m，﹣1﹣m]，求得[a，b，c]，求得解析式，利用顶点坐标公式解答即可；
②令函数值为0，求得与x轴交点坐标，利用两点间距离公式解决问题；
③首先求得对称轴，利用二次函数的性质解答即可；
④根据特征数的特点，直接得出x的值，进一步验证即可解答．
【解答】解：因为函数y＝ax2+bx+c的特征数为[2m，1﹣m，﹣1﹣m]；
①当m＝﹣3时，y＝﹣6x2+4x+2＝﹣6（x）2，顶点坐标是（，）；此结论正确；
②当m＝1时，y＝2x2﹣2，令y＝0，则有2x2﹣2＝0，解得，x1＝1，x2＝﹣1，
|x2﹣x1|＝2，所以当m＝1时，函数图象截x轴所得的线段长度等于2，此结论正确；
③当m＝﹣1时，y＝﹣2x2+2x，是一个开口向下的抛物线，其对称轴是直线x，在对称轴的右边y随x的增大而减小，，右边，因此函数在x右边先递增到对称轴位置，再递减，此结论错误；
④当x＝1时，y＝2mx2+（1﹣m）x+（﹣1﹣m）＝2m+（1﹣m）+（﹣1﹣m）＝0 即对任意m，函数图象都经过点（1，0）那么同样的：当m＝0时，函数图象都经过同一个点（1，0），当m≠0时，函数图象经过同一个点（1，0），故当m≠0时，函数图象经过x轴上一个定点此结论正确．
根据上面的分析，①②④都是正确的，③是错误的．
故答案为：①②④．
【点评】此题考查二次函数的性质，顶点坐标，两点间的距离公式，以及二次函数图象上点的坐标特征，理解新定义是解答此题的关键．
9．已知抛物线y＝﹣x2+2x+8与x轴交于B、C两点，点D平分BC．若在x轴上侧的A点为抛物线上的动点，且∠BAC为锐角，则AD的取值范围是　3＜AD≤9　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】由“∠BAC为锐角”可知点A在以定线段BC为直径的圆外，又点A在x轴上侧，从而可确定动点A的范围，进而确定AD的取值范围．
【解答】解：如图，∵抛物线y＝﹣x2+2x+8，∴抛物线的顶点为Q（1，9），
对称轴为x＝1，
与x轴交于两点B（﹣2，0）、C（4，0），
分别以BC为直径作⊙D，交抛物线于点A，此时AD＝3，
观察图象可知AD的最大值为9．
即AD的取值范围是3＜AD≤9．
【点评】此题主要考查了抛物线与x轴的交点，解题时首先求出抛物线的顶点坐标和与x轴的交点坐标，然后利用已知条件探究即可解决问题．
10．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的顶点为D，其图象与x轴的交点A，B的横坐标分别为﹣1，3，与y轴负半轴交于点C．下面五个结论：
①2a+b＝0；②a+b+c＞0；③4a+b+c＞0；④只有当a时，△ABD是等腰直角三角形；⑤使△ACB为等腰三角形的a的值可以有三个．
那么，其中正确的结论是　①④　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】先根据图象与x轴的交点A，B的横坐标分别为﹣1，3确定出AB的长及对称轴，再由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【解答】解：①∵图象与x轴的交点A，B的横坐标分别为﹣1，3，
∴AB＝4，
∴对称轴x1，
即2a+b＝0；
故①正确；
②由抛物线的开口方向向上可推出a＞0，而0
∴b＜0，
∵对称轴x＝1，
∴当x＝1时，y＜0，
∴a+b+c＜0；
故②错误；
③∵图象与x轴的交点A，B的横坐标分别为﹣1，3，
∴a﹣b+c＝0，9a+3b+c＝0，
∴10a+2b+2c＝0，
∴5a+b+c＝0，
∴a+4a+b+c＝0，
∵a＞0，
∴4a+b+c＜0，
故③错误；
④要使△ABD为等腰直角三角形，必须保证D到x轴的距离等于AB长的一半；
D到x轴的距离就是当x＝1时y的值的绝对值．
当x＝1时，y＝a+b+c，
即|a+b+c|＝2，
∵当x＝1时y＜0，
∴a+b+c＝﹣2，
又∵图象与x轴的交点A，B的横坐标分别为﹣1，3，
∴当x＝﹣1时y＝0即a﹣b+c＝0；
x＝3时y＝0．
∴9a+3b+c＝0，
解这三个方程可得：b＝﹣1，a，c；
⑤要使△ACB为等腰三角形，则必须保证AB＝BC＝4或AB＝AC＝4或AC＝BC，
当AB＝BC＝4时，
∵AO＝1，△BOC为直角三角形，
又∵OC的长即为|c|，
∴c2＝16﹣9＝7，
∵由抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上，
∴c，
与2a+b＝0、a﹣b+c＝0联立组成解方程组，解得a；
同理当AB＝AC＝4时，
∵AO＝1，△AOC为直角三角形，
又∵OC的长即为|c|，
∴c2＝16﹣1＝15，
∵由抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上，
∴c
与2a+b＝0、a﹣b+c＝0联立组成解方程组，解得a；
同理当AC＝BC时
在△AOC中，AC2＝1+c2，
在△BOC中BC2＝c2+9，
∵AC＝BC，
∴1+c2＝c2+9，此方程无解．
经解方程组可知只有两个a值满足条件．
故⑤错误．
故答案为：①④．
【点评】二次函数y＝ax2+bx+c系数符号的确定：
（1）a由抛物线开口方向确定：开口方向向上，则a＞0；否则a＜0；
（2）b由对称轴和a的符号确定：由对称轴公式x判断符号；
（3）c由抛物线与y轴的交点确定：交点在y轴正半轴，则c＞0；否则c＜0；
（4）b2﹣4ac由抛物线与x轴交点的个数确定：
①2个交点，b2﹣4ac＞0；
②1个交点，b2﹣4ac＝0；
③没有交点，b2﹣4ac＜0．
11．设O为坐标原点，点A、B为抛物线y＝2x2上的两个动点，且OA⊥OB．连接点A、B，过O作OC⊥AB于点C，则点C到y轴距离的最大值为 　　 ．
【答案】．
【分析】分别作AE、BF垂直于x轴于点E、F，设OE＝a，OF＝b，由抛物线解析式可得AE＝2a2，BF＝2b2，作AH⊥BH于H，交y轴于点G，连接AB交y轴于点D，设点D（0，m），易证△ADG∽△ABH，所以，即．可得m＝2ab．再证明△AEO∽△OFB，所以，即，可得4ab＝1．即得点D为定点，坐标为，得．进而可推出点C是在以DO为直径的圆上运动，则当点C到y轴距离为此圆的直径的一半时最大．
【解答】解：如图，分别作AE、BF垂直于x轴于点E、F，
设OE＝a，OF＝b，由抛物线解析式为y＝2x2，
则AE＝2a2，BF＝2b2，
作AH⊥BF于H，交y轴于点G，连接AB交y轴于点D，
设点D（0，m），
∵DG∥BH，
∴△ADG∽△ABH，
∴，即．
化简得：m＝2ab．
∵∠AOB＝90°，
∴∠AOE+∠BOF＝90°，
又∠AOE+∠EAO＝90°，
∴∠BOF＝∠EAO，
又∠AEO＝∠BFO＝90°，
∴△AEO∽△OFB．
∴，即，
化简得4ab＝1．
则，说明直线AB过定点D，D点坐标为．
∵，
∴点C是在以DO为直径的圆上运动，
∴当点C到y轴距离为时，点C到y轴的距离最大．
故答案为：．
【点评】本题考查了二次函数结合动点问题背景下的最值求法，涉及相似三角形，圆周角定理，此题难度较大，关键是要找出点D为定点，确定出点C的运动轨迹为一段优弧，再求最值．
12．如图，已知点A（3，0），B（1，0），两点C（﹣3，9），D（2，4）在抛物线y＝x2上，向左或向右平移抛物线后，C，D的对应点分别为C′，D′．当四边形ABC′D′的周长最小时，抛物线的解析式为 　y＝（x）2　 ．
【答案】y＝（x）2．
【分析】过C、D作x轴平行线，作A关于直线y＝4的对称点A'，过A'作A'E∥CD，且A'E＝CD，连接BE交直线y＝9于C'，过C'作C'D'∥CD，交直线y＝4于D'，四边形A'ECD和四边形C'D'DC是平行四边形，可得四边形A'EC'D'是平行四边形，可证BE＝BC'+EC'＝BC'+AD'，BC'+AD'最小，最小值为BE的长度，故此时四边形ABC′D′的周长最小，求出A'（3，8），E（﹣2，13），可得直线BE解析式为yx，从而C'（，9），CC'（﹣3），故将抛物线y＝x2向右移个单位后，四边形ABC′D′的周长最小，即可得到答案．
【解答】解：过C、D作x轴平行线，作A关于直线y＝4的对称点A'，过A'作A'E∥CD，且A'E＝CD，连接BE交直线y＝9于C'，过C'作C'D'∥CD，交直线y＝4于D'，如图：
作图可知：四边形A'ECD和四边形C'D'DC是平行四边形，
∴A'E∥CD，C'D'∥CD，且A'E＝CD，C'D'＝CD，
∴C'D'∥A'E且C'D'＝A'E，
∴四边形A'EC'D'是平行四边形，
∴A'D'＝EC'，
∵A关于直线y＝4的对称点A'，
∴AD'＝A'D'，
∴EC'＝AD'，
∴BE＝BC'+EC'＝BC'+AD'，即此时BC'+AD'转化到一条直线上，BC'+AD'最小，最小值为BE的长度，
而AB、CD为定值，
∴此时四边形ABC′D′的周长最小，
∵A（3，0）关于直线y＝4的对称点A'，
∴A'（3，8），
∵四边形A'ECD是平行四边形，C（﹣3，9），D（2，4），
∴E（﹣2，13），
设直线BE解析式为y＝kx+b，则，
解得，
∴直线BE解析式为yx，
令y＝9得9x，
∴x，
∴C'（，9），
∴CC'（﹣3），
即将抛物线y＝x2向右移个单位后，四边形ABC′D′的周长最小，
∴此时抛物线为y＝（x）2，
故答案为：y＝（x）2．
【点评】本题考查二次函数背景下的平移、对称变换，解题的关键是作出图形，求到C'的坐标．
13．如图，已知在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是矩形，点A、C分别在x轴和y轴上，A（3，0），C（0，）．D是BC的中点，M是线段OC上的点且OMOC，点P是线段OM上一个动点，经过P、D、B三点的抛物线交x轴的正半轴于点E，连接DE交AB于点F．
（1）当点P与原点重合时，此时的抛物线解析式是 　yx2x　 ；
（2）以线段DF为边，在DF所在直线的右上方作等边△DFG，当动点P从点O运动到点M时，点G也随之运动，则点G的运动路径的长是 　　 ．
【答案】（1）yx2x；
（2）．
【分析】（1）求出点B、D的坐标，再将B（3，），D（，）代入y＝ax2+bx，即可求解；
（2）当P点在O点时，△DFG是等边三角形，当P点在M点时，△DF'G'是等边三角形，可证明△DFF'≌△DGG'（SAS），则FF'＝GG'，求出FF'长即为G点的运动轨迹长．
【解答】解：（1）∵A（3，0），C（0，），四边形OABC是矩形，
∴B（3，），
∵D是BC的中点，
∴D（，），
∵点P与原点重合，
设抛物线的解析式为y＝ax2+bx，
将B（3，），D（，）代入y＝ax2+bx，
∴，
解得，
∴yx2x，
故答案为：yx2x；
（2）∵OMOC，
∴OM，
∴M（0，），
如图：当P点在O点时，△DFG是等边三角形，当P点在M点时，△DF'G'是等边三角形，
∴DF＝DG，DG'＝DF'，∠FDG＝∠G'DF'＝60°，
∴∠GDG'＝∠FDF'，
∴△DFF'≌△DGG'（SAS），
∴FF'＝GG'，
当P点与O点重合时，yx2x，
令y＝0，则x＝0或x，
∴E（，0），
设直线DE的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得，
∴yx，
∴F（3，）；
当P点与M点重合时，
设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c，
将点B（3，），D（，），P（0，）代入，
得，
解得，
∴yx2x，
令y＝0，则x2x0，
解得x＝6或x，
∴E（6，0），
设直线ED的解析式为y＝k'x+b'，
∴，
解得，
∴yx，
∴F'（3，）；
∴FF'，
∴GG'，
∴点G的运动路径的长是，
故答案为：．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，用待定系数法求函数的解析式，三角形全等的判定及性质是解题的关键．
三．解答题（共7小题）
14．已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴分别交于点A（﹣2，0）和点B，与y轴交于点C，且点C的坐标为（0，﹣6）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）已知E为抛物线的顶点，F为抛物线对称轴右侧的一个动点，当△CBF和△CEB的面积相等时，求点F的坐标．
【答案】（1）y＝x2﹣x﹣6；
（2）或．
【分析】（1）代入A，C坐标可求答案；
（2）用等面积法求出直线EF解析式，与抛物线联立即可．
【解答】解：（1）由题意可得：
解得
∴y＝x2﹣x﹣6．
（2）由（1）知，
∴顶点E的坐标为，点B的坐标为（3，0）．
设BC所在直线的函数表达式为y＝kx﹣6．
将点（3，0）代入，得k＝2，
∴y＝2x﹣6．
①当点F在直线BC下方时，由△CBF和△CEB的面积相等，得EF∥BC．
设EF所在直线的函数表达式为y＝2x+m．
将点代入，得，
∴直线EF的表达式为，与y轴交于点．
联立y＝x2﹣x﹣6，得，
∴点F的坐标为．
②由①可知点关于点C（0，﹣6）的对称点G′为．
当点F在直线BC上方时，由△CBF和△CEB的面积相等，得G′F∥BC．
设G′F所在直线的函数表达式为y＝2x+n．
将点代入，得，
∴直线G′F的表达式为．
联立y＝x2﹣x﹣6，得，
∴点F的坐标为．
综上所述，当△CBF和△CEB的面积相等时，点F的坐标为或．
【点评】本题考查待定系数法求函数解析式及与几何图形结合的综合能力，要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来是解题的关键．
15．某商店经销一种健身球，已知这种健身球的成本价为每个20元，市场调查发现，该种健身球每天的销售量y（个）与销售单价x（元）有如下关系：y＝﹣2x+80（20≤x≤40），设这种健身球每天的销售利润为w元．
（1）如果销售单价定为25元，那么健身球每天的销售量是　30　 个；
（2）求w与x之间的函数关系式；
（3）该种健身球销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
【答案】（1）30；
（2）w＝﹣2x2+120x﹣1600；
（3）该种健身球销售单价定为30元时，每天的销售利润最大，最大利润是200元．
【分析】（1）在y＝﹣20x+80中，令x＝25，进行计算即可得；
（2）根据总利润＝每个建生球的利润×销售量即可列出w与x之间的函数关系式；
（3）结合（2）的函数关系式，根据二次函数性质即可得．
【解答】解：（1）在y＝﹣2x+80中，令x＝25得，y＝﹣2×25+80＝30，
故答案为：30；
（2）w＝（x﹣20）（﹣2x+80）＝﹣2x2+120x﹣1600，
∴w＝﹣2x2+120x﹣1600；
（3）w＝﹣2x2+120x﹣1600＝﹣2（x﹣30）2+200，
∵﹣2＜0，
∴当x＝30时，w取最大值，最大值为200，
即单价定为30元时，利润最大是200元．
【点评】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是理解题意，列出函数关系式．
16．已知抛物线y＝ax2﹣2ax+c的图象经过点（﹣1，0），（0，3）．
（1）求这个二次函数的表达式．
（2）当﹣1≤x≤2时，函数的最大值为m，最小值为n，求m﹣n．
【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；
（2）4．
【分析】（1）把两个已知点的坐标代入y＝ax2﹣2ax+c得a、c的方程组，然后解方程组即可；
（2）先利用配方法得到顶点式y＝﹣（x﹣1）2+4，则当x＝1时，y有最大值4，再计算出x＝0和x＝2时对应的函数值，从而得到当﹣1≤x≤2时函数值的取值范围，然后确定m、n的值，最后进行m﹣n的值．
【解答】解：（1）把（﹣1，0），（0，3）分别代入y＝ax2﹣2ax+c得，
解得，
∴这个二次函数的表达式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴当x＝1时，y有最大值4，
当x＝﹣1时，y＝﹣x2+2x+3＝0，
当x＝2时，y＝﹣x2+2x+3＝﹣4+4+3＝3，
∴﹣1≤x≤2时，0≤y≤4，
∴m＝4，n＝0，
∴m﹣n＝4﹣0＝4．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质和二次函数图象上点的坐标特征．
17．在平面直角坐标系xOy 中，已知A（1，y1），B（a+3，y2）在抛物线y＝ax2﹣2a2x+5（a≠0）上，设抛物线的对称轴为x＝t．
（1）当y1＝y2时，求a的值；
（2）已知C（3a+1，y3）在抛物线上，且，求a的取值范围．
【答案】（1）a的值为﹣2或4；（2）﹣2＜a＜0或．
【分析】（1）由题意可得抛物线的对称轴为直线x＝a，结合y1＝y2，得出|1﹣a|＝|a+3﹣a|，计算即可得解；
（2）表示出y1、y2、y3，结合得出不等式，解不等式即可得解．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2﹣2a2x+5（a≠0）
∴抛物线的对称轴为直线，
∵A（1，y1），B（a+3，y2）在抛物线y＝ax2﹣2a2x+5（a≠0）上，且y1＝y2
∴|1﹣a|＝|a+3﹣a|，
解得：a＝﹣2或a＝4，
故a的值为﹣2或4；
（2）∵A（1，y1），B（a+3，y2），C（3a+1，y3）在抛物线y＝ax2﹣2a2x+5（a≠0）上，
∴，y2＝a（a+3）2﹣2a2（a+3）+5＝a3+6a2+9a﹣2a3﹣6a2+5＝﹣a3+9a+5，y3＝a（3a+1）2﹣2a2（3a+1）+5＝9a3+6a2+a﹣6a3﹣2a2+5＝3a3+4a2+a+5，
∵，
∴，
整理可得：5a3+2a2﹣16a＞0，
因式分解为a（5a﹣8）（a+2）＞0，
解得﹣2＜a＜0或，
故a的取值范围为﹣2＜a＜0或．
【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解此题的关键．
18．已知抛物线为常数）．
（1）若m＝2，，求该抛物线与x轴的交点坐标．
（2）若抛物线过点（﹣1，y0），且对于抛物线上任意一点（x1，y1）都有y1≥y0，若点A（n，p），B（3﹣n，q）是这条抛物线上不同的两点，且，求p+q的取值范围．
【答案】（1）（﹣1，0），（﹣3，0）；
（2）．
【分析】（1）令，进行求解即可；
（2）由题意，可知，抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，求出m的值，进而求出p，q，将p+q的范围转化为二次函数求最值即可．
【解答】解：（1）∵，
∴抛物线，
令y＝0，则，
化简得x2+4x+3＝0，
∴x1＝﹣1，x2＝﹣3，
∴抛物线与x轴的交点坐标为（﹣1，0），（﹣3，0）；
（2）∵抛物线过点（﹣1，y0），且对于抛物线上任意一点（x1，y1）都有y1≥y0，
∴二次函数对称轴为，
∴﹣m＝﹣1，
∴m＝1，
∴，
∵点A（n，p），B（3﹣n，q）是这条抛物线上不同的两点，
∴，
，
∴，
∵，
∴当时，，
∴当时，，
∴．
【点评】本题考查二次函数的图象和性质，抛物线与x轴的交点问题，二次函数的最值问题，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质．
19．已知二次函数y＝x2﹣tx﹣3．
（1）若二次函数经过（1，0），求二次函数的解析式；
（2）当﹣1≤x≤5时，函数有最大值为6，求t的值；
（3）在二次函数图象上任取两点（x1，y1），（x2，y2），当t≤x1＜x2≤t+3时，总有y1＞y2，求t的取值范围．
【答案】（1）y＝x2+2x﹣3；
（2）t的值为8或；
（3）t≤﹣6．
【分析】（1）把（1，0）点的坐标代入函数解析式中求出即可；
（2）根据二次函数解析式得抛物线开口向上，进而得x＝﹣1或x＝5时，函数有最大值6，分别代入x＝﹣1、x＝5，得到关于t的方程，解方程求出t的值，并验证此时最大值为6即可；
（3）抛物线开口向上，得出称轴为直线，根据二次函数图象的增减性结合题意可得关于t的不等式，解不等式即可．
【解答】解：（1）把（1，0）代入函数解析式得，1﹣t﹣3＝0，
∴t＝﹣2，
∴函数解析式为：y＝x2+2x﹣3；
（2）∵a＝1＞0，
∴抛物线开口向上，
当﹣1≤x≤5时，x＝﹣1或x＝5时，函数有最大值6，
若当x＝﹣1时，y＝1+t﹣3＝6，
解得t＝8，
当t＝8时，y＝x2﹣8x﹣3，
将x＝5代入得，y＝25﹣8×5﹣3＝﹣18＜6，符合题意；
若当x＝5时，y＝25﹣5t﹣3＝6，
解得，
当时，，
将x＝﹣1代入得，，符合题意；
综上，t的值为8或；
（3）∵二次函数y＝x2﹣tx﹣3，
∴二次函数图象的对称轴为，
∵当t≤x1＜x2≤t+3时，总有y1＞y2，开口向上，
∴当点（x1，y1）（x2，y2）在对称轴同侧时，y随x的增大而减小，则都在对称轴的左侧，即t+3，
解得t≤﹣6；
当点（x1，y1）（x2，y2）在对称轴异侧时，则对称轴左右两端存在函数值的相等的两段范围，无法保证左边的函数值一定比右边大，即不合题意，
综上所述，t≤﹣6．
【点评】本题主要考查了二次函数的性质及待定系数法求函数解析式，解题的关键是掌握二次函数的相关性质．
20．随着劳动教育的开展，某学校在校园开辟了一块劳动教育基地：一面利用学校的墙（墙的最大可用长度为28m），用长为40m的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的矩形菜地ABCD，在菜地的前端BC设计了两个宽1m的小门，便于同学们进入．设边AB的长为x m，矩形菜地ABCD的面积为S．
（1）用含x的代数式表示S（不要求求x的取值范围）；
（2）若围成的菜地的面积为120m2，求此时x的值；
（3）可以围成的菜地的面积最大是多少？
【答案】（1）S＝42x﹣3x2；
（2）10；
（3）147m2．
【分析】（1）根据篱笆长为40m，边AB的长为x m，可得BC＝（42﹣3x）m，再根据矩形的面积公式求解即可；
（2）令S＝120m2，则42x﹣3x2＝120，即可求解；
（3）由S＝42x﹣3x2＝﹣3（x﹣7）2+147，结合二次函数的性质即可求解．
【解答】解：（1）由题意可得：BC＝40﹣3x+2＝（42﹣3x）m，
∴S＝x（42﹣3x）＝42x﹣3x2；
（2）当S＝120m2时，42x﹣3x2＝120，
∴x1＝4，x2＝10，
当x1＝4时，BC＝42﹣3x＝42﹣12＝30＞28，不符合题意，舍去；
当x1＝10时，BC＝42﹣3x＝42﹣30＝12＜28，符合题意；
∴x的值为10；
（3）∵S＝42x﹣3x2＝﹣3（x﹣7）2+147，﹣3＜0，
∴当x＝7时，S有最大值，最大值为147m2．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，列代数式，熟练掌握方程的应用和二次函数最值的应用是解题的关键．
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