2025-2026学年九年级苏科版数学上册第一次月考测试卷（第1-2章）（含答案）

2025-2026学年九年级数学上册第一次月考测试卷（第1-2章）
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．用配方法解一元二次方程时，下列变形正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，是的一条弦，，垂足为C，交于点D，点E在优弧上．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．下列关于的方程中一定有实数解的是（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，为的直径，为圆上一点，为劣弧上一点，将劣弧沿弦所在的直线翻折，翻折后点恰好与圆心重合，则的大小等于（ ）
A． B． C． D．
5．已知，是方程的两个实数根，则的值是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在中，，，与三边分别相切于点，，，且，则的面积是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在矩形中，，先以顶点B为圆心，以边为半径作弧交对角线于点E，再以顶点D为圆心，以边为半径作弧交对角线于点 F，则方程 的一个正根是（ ）

A．线段的长 B．线段的长 C．线段的长 D．线段的长
8．已知一架飞机在跑道起点处着陆后的滑行速度v（单位：）与滑行时间t（单位：）之间满足一次函数关系．而滑行距离，，其中是初始速度，是t秒时的速度，当飞机在跑道起点处着陆后滑行了，则此时飞机的滑行速度（ ）．
A．10 B．20 C．30 D．10或30
9．如图，六边形是内接正六边形，以为边作正五边形，连接，延长交于点，若半径为，则的长为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，中，直径，，平分交圆于点，则（ ）
A．5 B． C． D．4
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．关于的一元二次方程有一个根是1，则的值是 ．
12．如图，是的直径，点，在上，，，垂足分别为点．若，则的长为 ．
13．我们规定一种运算：．依据以上规定计算：当 时，．
14．如图，是的弦，半径于点C，为直径，，则线段的长为 ．
15．观察下列一元二次方程，并回答问题：
第1个方程：；
第2个方程：；
第3个方程：；
第4个方程：；
……
直接写出第n个方程为 ，第n个方程的解为 ．
16．如图，为的直径，，分别与相切于点，，经过上一点，，若，，则的长为 ．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（6分）解方程：
(1) (2)
18．（6分）如图，已知为的直径，是弦，且于点．连接、OC．BC．
(1)若，求的度数．
(2)若，求长度．
19．（8分）已知：关于的一元二次方程．
(1)求证：无论为何值，方程总有两个实数根；
(2)若为方程的一个根，求的值及方程的另一个根．
20．（8分）如图，在中，，点O为边上一点，以为半径的与边，分别交于点D，E，连接，，且为的切线．
(1)求证： ；
(2)若，的半径为2，求阴影部分的面积．
21．（10分）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．
(1)求实数k的取值范围；
(2)若方程两实数根满足，求k的值
22．（10分）如图，在四边形中，平分．点O在上，以点O为圆心，为半径，作与相切于点B，且过点，延长线交于点E，交于点F，连接， ．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求的长．
23．（12分）某头盔经销商5至7月份统计，某品牌头盔5月份销售2250个，7月份销售3240个，且从5月份到7月份销售量的月增长率相同．请解决下列问题．
(1)求该品牌头盔销售量的月增长率；
(2)某工厂已建有一条头盔生产线生产头盔，经过一段时间后，发现一条生产线最大产能是900个/天，但如果每增加一条生产线，每条生产线的最大产能将减少30个/天，现该厂要保证每天生产头盔3900个，应该增加几条生产线？
24．（12分）（1）如图1，用无刻度的直尺和圆规在图1中作出的内接正六边形，保留作图痕迹．
（2）如图2、图3是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．其中点A、点D为格点，经过点A、点D，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图任务．
①如图2，过点O作的垂线，交于；
②如图3，点B在上，过点B作弦．
参考答案
一．选择题
1．B
【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，先移项，然后在方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，最后整理得，即可作答．
【详解】解：依题意，
，
移项得，
，
∴，
故选：B
2．C
【分析】本题考查了圆周角定理和垂径定理，熟练掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．
根据题意得出，即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故选：C．
3．D
【分析】本题考查一元二次方程根的情况，解题的关键是掌握一元二次方程有实数解的条件是．计算各方程的，的一元二次方程有实数解．
【详解】解：、根的判别式，方程没有实数解，不符合题意；
B、根的判别式，方程没有实数解，不符合题意；
C、根的判别式，方程没有实数解，不符合题意；
D、根的判别式，符合题意；
故选：．
4．C
【分析】本题考查了翻折的性质，圆周角定理，等边三角形的判定及性质，连接，，由等边三角形的判定方法得为等边三角形，结合圆周角定理求解即可．
【详解】解：连接，，
，
，
由翻折得：，
，
为等边三角形，
，
∴，
∴，
，
故选：C．
5．C
【分析】本题考查了一元二次方程根的定义，一元二次方程根与系数的关系，代数式求值，由一元二次方程根的定义可得，由一元二次方程根与系数的关系可得，，进而代入代数式计算即可求解，掌握以上知识点是解题的关键．
【详解】解：∵，是方程的两个实数根，
∴，，，
∴，
∴
，
故选：．
6．C
【分析】此题考查了三角形的内切圆与内心、切线的性质、正方形的判定与性质、三角形的面积公式等知识，正确地添加辅助线是解题的关键．
连接、、、，由与三边分别相切于点，得，，，，，，，则，推导出，可证明四边形是正方形，则，求得，于是得到问题的答案．
【详解】解：连接、、、，
与三边分别相切于点，且，，，
∴，，，，，，，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∵，
∴四边形是正方形，
∴，
∴，
故选：C．
7．C
【分析】本题考查的是勾股定理、一元二次方程的解法，掌握一元二次方程的求根公式、勾股定理是解题的关键．
根据勾股定理求出，利用求根公式解方程，比较即可．
【详解】解：∵四边形是矩形
∴
在中，由勾股定理得，，
∴，
解方程得，
∴线段的长是方程的一个根．
故选：C．
8．C
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用．根据题意可得，令得到关于t的方程，求出t的值，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，，，
∴，
∴，
当时，，
整理得：，
解得：（舍去），
此时，
即此时飞机的滑行速度．
故选：C
9．D
【分析】本题考查了求弧长，正多边形和圆，连接，根据正多边的性质求得，进而求得，根据圆周角定理求得，然后根据弧长公式，即可求解．
【详解】解：如图，连接，
∵六边形是内接正六边形，
∴
∴，
∵为边作正五边形，
∴，，
∴
∴
∴
∴的长为
故选：D．
10．C
【分析】本题考查了圆周角定理，全等三角形的判定与性质，以及勾股定理等，熟练掌握相关知识点，并作出适当的辅助线是解题的关键；过点D作的垂线，交延长线于E，利用题中条件和圆的性质，证明，推出，，再利用勾股定理求的长．
【详解】如图，连接，过点D作的垂线，交延长线于E，则，
为的直径，
，
又，，
，
平分，
，
又在中，，，
，
，
又在中，，，
，
又，，
，
，
，，
，
由勾股定理得，，
即，解得，
故选：C．
二．填空题
11．
【分析】此题考查了一元二次方程的定义及方程的解的定义，正确理解一元二次方程的定义及方程的解的定义是解题的关键．将代入方程求出，再根据一元二次方程的定义求出，由此得到答案．
【详解】解：将代入，得，
解得：，
，
，
，
故答案为：．
12．9
【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用．
利用垂径定理得出，，证明，得出，假设半径为，则，，利用勾股定理列出方程进行求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
假设半径为，则，，
由勾股定理得，，
即，
解得，，
∴，
∴，
故答案为：9．
13．
【分析】 首先观察新定义的运算规律，根据新运算可得关于的一元二次方程； 利用公式法解一元二次方程可得方程的两个根.
【详解】解：由题意可得．
整理得
，
解得．
故答案为.
14．
【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理、圆周角定理以及三角形中位线定理等知识，作出恰当的辅助线是解答此题的关键．
连接，先根据垂径定理求出的长，设的半径为r，在中利用勾股定理求出r的值，易得，连接，根据圆周角定理得到，由三角形中位线定理得到，然后在中由勾股定理可求出．
【详解】解：连接，如图所示：
，，
．
设的半径，
．
在中，由勾股定理得：，
解得：．
．
，，
．
是直径，
．
点分别是的中点，
是的中位线．
．
在中，
．
故答案为：．
15． ，
【分析】本题考查用因式分解法解一元二次方程，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先观察给出的方程序列，总结规律写出第n个方程，再用因式分解法解一元二次方程即可．
【详解】由题意得，第n个方程为，
，
，或，
，，
故答案为：；，．
16．
【分析】连接，，过点作，垂足为点，根据题意可得，根据全等三角形的判定和性质可得，根据切线的判定定理即可证明是的切线，根据切线的性质以及矩形的判定和性质可得，，得出，根据切线长定理可得，，
得出，根据勾股定理即可求得的长．
【详解】解：如图：连接，，过点作，垂足为点，
∵是的切线，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线，
∵是的切线，
∵，
∵，，，
即，
∴四边形是矩形，
∴，，
则，
∵是的切线，是的切线，是的切线，
∴，，
∴，
∵，
在中，，
即，
解得：，
故答案为：．
三．解答题
17．（1）解：，
则，
∴，
∴，
所以．
（2）解：，
∴，
∴或，
∴．
18．（1）解：∵、均为的半径，
∴，
∴（等边对等角）．
∵为的直径，
∴（直径所对的圆周角为直角），即．
又∵于E，
∴，即．
∴（同角的余角相等）．
（2）解：∵为的直径，
∴（半径等于直径的一半）．
∵，
∴．
∵于E，
∴（垂径定理），且为直角三角形．
在中，由勾股定理得：
，
即，
，
∴（线段长度为正）．
∴．
答：的长度为．
19．（1）证明：由题意得，
，
∵，
∴，
∴无论为何值，方程总有两个实数根；
（2）解：∵为方程的一个根，
∴，
解得，
∴原方程为，
解得或，
∴原方程的另一个根为．
20．（1）证明：连接，如图，
∵为的切线，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
（2）解：∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
，
∴，
∴阴影部分的面积．
21．（1）解：∵原方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得；
（2）解：∵方程有两个不相等的实数根，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
解得：，
又∵，
∴．
22．（1）证明：连接，
平分，
，
，，
，，
，，
，
，，
，
，
与相切于点B，
，
，
，
即，
是的切线；
（2）解：，，
垂直平分，，
，
，
，
，
，
是的直径，
，
，
，
．
23．（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x．
依题意，得：，
解得：，（不合题意，舍去）．
答：该品牌头盔销售量的月增长率为．
（2）解：设增加x条生产线．
，
解得，，
答：增加4条或条生产线．
24．解：（1）如图，六边形即为所求；
理由：连接，
由作图可得：，
∴为等边三角形，
∴，
同理可得：，
∴，
∴=====，
∴，
∴，
∴六边形为的正六边形；
（2）①如图，即为所求；
理由：由格点图形可得：四边形为正方形，
∴，
∴，即；
②如图，即为所求；
理由：由（2）得：是的垂直平分线，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴．