2025-2026学年九年级苏科版数学上册第一次月考检测卷（第1-2章）（含答案）

2025-2026学年九年级数学上册第一次月考检测卷（第1-2章）
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．如图，半径为5的中，弦，所对的圆心角分别是，，若，，则弦的长等于（ ）
A．8 B．10 C．11 D．12
2．甲、乙两人在解一道一元二次方程时，甲在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根为6和1，乙在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根为和，则原方程根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．有两个相等的实数根
C．两根分别是2和5 D．两根分别是和
3．如图，已知锐角三角形内接于圆，于点，连接，点在线段上，，连接，若，，则的度数是（）
A． B． C． D．
4．已知关于的一元二次方程满足，且有两个相等的实数根，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，正四边形和正五边形内接于，和相交于点，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．关于x的一元二次方程 与 称为“同族二次方程”．如 与 就是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程 与 是“同族二次方程”，那么代数式 能取的最大值是（ ）
A．2023 B．2024 C．2025 D．2026
7．如图，正方形的边长为，分别以，为圆心，半径为作弧和，两处阴影部分面积分别记为，，则（ ）
A． B． C． D．
8．如图，这是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点…，第行有个点…，前行的点数和不能是以下哪个结果 （ ）
A．741 B．600 C．465 D．300
9．如图，锐角三角形内接于，点、分别是、的中点，，，则（ ）
A． B．
C． D．
10．如图，锐角内接于，其中，M为锐角的内心，连并延长与相交于点D，若，则锐角的内切圆半径为（ ）（参考数据：，，结果保留2位小数）
A．0.65 B．0.66 C．0.67 D．0.68
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的最小正整数值是 ．
12．如图，中，，，，则外接圆的面积为 ．
13．非零实数满足，则 ．
14．如图，以等边的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，由三段圆弧得到的封闭图形就是“莱洛三角形”，而封闭图形由，，，组成是由两个“莱洛三角形”交叠而成．若，则封闭图形的周长是 ．
15．关于的方程的解是，（、、均为常数，），则方程的解是 ．
16．如图，四边形内接于，，，，则的半径为： ．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（6分）已知关于的方程．
(1)求证：方程必有两个不等实数根；
(2)当取的整数时，存在两个有理数根，求的值和这两个有理数根．
18．（6分）如图，直线与相切于点A，是的弦且平行直线，连接半径交于点，弦与交于点，连接，．
(1)求证：；
(2)若，，，求的长．
19．（8分）如图，在矩形中，，动点P、Q分别以，的速度从点A，C同时出发，沿规定路线移动．
(1)若点P从点A移动到点B停止，点Q随点P的停止而停止移动，问经过多长时间P，Q两点之间的距离是？
(2)若点P沿着移动，点Q从点C移动到点D停止时，点P随点Q的停止而停止移动，试探求经过多长时间的面积为？
20．（8分）如图，在四边形中，平分．点O在上，以点O为圆心，为半径，作与相切于点B，且过点，延长线交于点E，交于点F，连接， ．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求的长．
21．（10分）关于x的一元二次方程有两个实数根分别是，，若，为整数，则称为“”点．
(1) （填是或否）存在“”点；
(2)若关于x的一元二次方程：的“”点为，求b，c的值；
(3)关于x的一元二次方程是否存在一“”点，且该点在直线上，若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由．
22．（10分）已知关于x的方程．
(1)求证：无论k取任何实数值，方程总有实数根；
(2)若斜边长，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，求的周长．
(3)已知三个不同的实数a，b，c满足，方程和有一个相同的实根，方程和也有一个相同的实根．求a，b，c的值．
23．（12分）已知，正方形和它的外接圆．
(1)如图1，若点在弧上，是上的一点，且，过点作，．求的半径；
(2)如图2，若点在弧上，过点作，试探究此时线段、、之间的关系．请写出你的结论并证明；
(3)如图3，在正方形中，，若点满足，且，请直接写出点到的距离．
24．（12分）如图，在中，是直径上的动点，过点作弦（点在点的左边），过点作弦，垂足为点，连接，已知．
(1)求证：．
(2)当点在半径上时，且，求的值．
(3)连接，若．
①求的长．
②如图，延长至点，使得，连接，求的面积．
参考答案
一．选择题
1．A
【分析】本题考查了圆周角定理、勾股定理．作直径，连接，先利用等角的补角相等得到，然后再根据同圆中，相等的圆心角所对的弦相等得到，再利用勾股定理，继而求得答案．
【详解】解：∵半径为5的，
∴，
作直径，连接，如图，
则，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：A．
2．C
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系、解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．设原方程为，由根与系数的关系得，，得出，，再代入到原方程，解出的值即可得出答案．
【详解】解：设原方程为，
由题意得，，，
，，
原方程为，即，
解得：，，
原方程根的情况是两根分别是2和5．
故选：C．
3．B
【分析】本题考查等腰三角形的性质，垂径定理，圆周角定理，正确作出辅助线是解题的关键．
延长交圆于点，连接，，，利用圆周角定理和垂径定理求出，，及的度数即可求解．
【详解】解：延长交圆于点，连接，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵圆中于点，根据垂径定理可得：，
∴，
∴，
∴，
故选：．
4．D
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的意义．
根据题意得出，，，再根据判别式的意义可知，进而可得答案．
【详解】解：∵，
∴，，．
∵一元二次方程有两个相等的实数根，，
∴，
∴，选项A结论正确，不符合题意；
∵一元二次方程有两个相等的实数根，，
∴，
∴，选项B结论正确，不符合题意；
∵一元二次方程有两个相等的实数根，，
∴，
∴，选项C结论正确，不符合题意；
∵，，．
∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴，选项D结论错误，符合题意．
故选：D．
5．B
【分析】本题考查了圆内接正多边形的性质，圆周角定理，三角形内角和定理，对顶角的性质，直角三角形的性质，连接，设与相交于点，由圆的内接正多边形的性质可得，，即得，即可由圆周角定理得，进而由三角形内角和定理得，再由直角三角形两锐角互余得到，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：连接，设与相交于点，
∵正四边形和正五边形内接于，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：．
6．D
【分析】本题考查一元二次方程，配方法的应用，根据新定义，得到，可以写成，展开对应相等求出的值，利用配方法求出的最大值即可．熟练掌握新定义是解题的关键．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程 与 是“同族二次方程”
∴第二个方程可以写成的形式，
∴展开得：
∴，，，
解得：，，
∴，
∵
∴
∴能取的最大值是2026．
故选D．
7．A
【分析】本题考查了整式的加减及扇形面积的计算．过点作，交、于点、，连接，可知、，从而可得，根据扇形的面积公式和正方形的面积公式计算即可．
【详解】解：如下图所示，过点作，交、于点、，连接，
四边形为正方形，
，，，
，，
设，则，
，，
．
故选：A ．
8．B
【分析】由于第一行有1个点，第二行有2个点…第n行有n个点…，则前五行共有（1＋2＋3＋4＋5）个点，前10行共有（1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10）个点，前n行共有1＋2＋3＋4＋5＋…＋n＝n（n＋1）个点，然后根据选项分别求出n的数值，即可作出判断．
【详解】解：通过观察图形可知：
第一行有1个点，第二行有2个点…第n行有n个点，
则前5行共有（1＋2＋3＋4＋5）个点，
前10行共有（1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10）个点，
前n行共有1＋2＋3＋4＋5＋…＋n＝n（n＋1）个点，
其中n为正整数，
∴当n（n＋1）=741时，解得：（舍），，
当n（n＋1）=600时，解得： （舍），
当n（n＋1）=465时，解得：（舍），，
当n（n＋1）=300时，解得：（舍），，
故选：B．
9．B
【分析】此题考查了圆周角定理，解题的关键是掌握圆周角定理．连接、、，由同圆中，等弧所对的圆周角相等，得到，同弧所对的圆周角相等，，即，，在中三角形的内角和为，可以得出，在中，，，即可以得出与的关系．
【详解】解：如图，连接、、，
∵、分别是、 中点，
=,=，
，
，
，
，
=，
，
，
，
，
在中，，
，
在中，
，
，
，
，
故选：B．
10．B
【分析】本题考查三角形的内切圆与外接圆的综合，涉及垂径定理，切线的性质，勾股定理，二次根式的混合运算等知识点，连接，，，，连接交于，过作于，设锐角的内切圆半径为，由内切圆可得点到三边距离为，，，是的角平分线，先证明，得到，再在中，由，得到，在和中求出，，最后根据求解即可．
【详解】解：如图，连接，，，，连接交于，过作于，设锐角的内切圆半径为，
∵M为锐角的内心，
∴点到三边距离为，，，是的角平分线，
∴，，
∵，，
∴，
∴，，，
∴，
∴，
∵，
∴垂直平分，
∴中，，，，
∴，
∵，
∴，
∴中，，，
中，，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：B．
二．填空题
11．2
【分析】本题主要考查根的判别式、一元二次方程的定义、解不等式等知识点，解题的关键是掌握一元二次方程根的判别式．
根据一元二次方程有两个不相等的实数根得出，结合一元二次方程的定义知求解即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得：且，
∴k的最小正整数值是2．
故答案为：2．
12．
【分析】先连接，在截取一点，连接使得，证明是等腰直角三角形，结合三角形的外角性质以及角的和差关系得，即，设，则，得，
根据，得，整理得，运用圆周角定理以及勾股定理，得再代入数值计算，即可作答．
【详解】解：连接，在截取一点，连接使得，
如图所示：
∵，
∴，
即是等腰直角三角形，
∵，，
∴，
即，
∴，
设，
则，
∴，
过作，
∴，
同理证明是等腰直角三角形
∴，
∵，
∴，
整理得，
过作，
∵，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
设，
∴，
即，
∴，
∴，
则
即
∴，
∵，
∴，
整理得，
∴，
则外接圆的面积为，
故答案为：．
13．3
【分析】本题考查了方程的解以及一元二次方程的根与系数的关系，能熟练利用方程解的定义得到m，n是方程的两实数根是解题的关键．
根据已知判断出m，n是方程的两实数根，然后利用根与系数的关系即可求解．
【详解】解：∵非零实数，满足等式，，
∴m，n是方程的两实数根，
∴，，
∴，
故答案为：．
14．
【分析】连接，如图，先根据等边三角形的性质得到，则根据圆心角、弧、弦的关系得到，再利用画法得到，所以，所以封闭图形ABCD的周长的长，然后根据弧长公式计算即可．
本题考查了弧长的计算，弧长公式：其中n为圆心角的度数，R为圆的半径也考查了等边三角形的性质．
【详解】解：连接，如图，
为等边三角形，
，，
，
，
，
，
封闭图形的周长的长
故答案为：
15．，
【分析】本题考查了用换元法解一元二次方程，首先把方程 ，整理成的形式，根据方程的解是，，可知方程的解是，，从而求出方程的解．
【详解】解：，
整理得：，
方程的解是，，
方程的解是，，
解得：，．
故答案为：， ．
16．
【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，圆周角定理，等腰三角形的性质与判定等知识点，熟练掌握圆周角定理以及全等三角形的性质与判定是解题的关键．
连接，延长至点，使，连接并延长交于点，连接，即可证得，进而可求得，再利用圆周角定理得到，运用含角的直角三角形的性质即可求解．
【详解】解：如图，连接，延长至点，使，连接并延长交于点，连接，
∵四边形内接于，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴是的直径，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，，
∵，
∵是直径，
∴，
∵，
∴，
∴,
∴，
∴，
∵．
故答案为：．
三．解答题
17．（1）证明：
．
∵，
∴，
即，
∴方程必有两个不等实数根；
（2）解：∵当m取的整数时，存在两个有理数根，且，
∴，
∴原方程为，且，
∴此时原方程的解为，
∴m的值为1，这两个有理数根为和．
18．（1）证明：连接．
∵直线是切线，
∴直线，
∵平行直线，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
19．（1）解：过点作于．
设秒后，点和点的距离是．
根据题意得：
，即，
∴，
∴，；
∴经过或后、两点之间的距离是；
（2）连接．设经过后的面积为．
①当时，则，
∴，即，
解得；
②当时，
，，则
，
解得，（舍去）；
③时，，
，
∴，
解得（舍去）．
综上所述，经过秒或秒的面积为．
20．（1）证明：连接，
平分，
，
，，
，，
，，
，
，，
，
，
与相切于点B，
，
，
，
即，
是的切线；
（2）解：，，
垂直平分，，
，
，
，
，
，
是的直径，
，
，
，
．
21．（1）解：由，得，
∴或，
解得，，
∵，为整数，
∴是“”点，
故答案为：是；
（2）解：∵关于x的一元二次方程：的“”点为，
∴，，
故，；
（3）解：假设关于x的一元二次方程存在一“”点，且该点在直线上，
由，
得，
故，
由一元二次方程的根与系数的关系得，，
∴，
∵“”点在直线上，
∴，
∴，
解得，，
所以，
整理得 ，
解得或，
当时，方程为，，，“”点坐标为，符合；
当时，和不是整数解，舍去．
综上，关于x的一元二次方程存在一“”点，且该点在直线上，此时．
22．（1）证明：∵，
∴
，
，
无论k为任意实数值方程，总有实数根．
（2）解：∵斜边长，另两边长b，c恰好是方程的两个根，
∴，
∵b、c为直角边，斜边长，
∴，
∴，
∴，
整理得，
解得，，
，
舍去，
∴，
∴的周长，
（3）解：依次将题设中所给的四个方程编号为①，②，③，④．
设是方程①和方程②的一个相同的实根，则，两方程相减，
解得：．
设是方程③和方程④的一个相同的实根，则，两方程相减，
∴解得，
∴．
又方程①的两根之积等于1，
∴也是方程①的根，则．
又，
两方程相减，得．
若，则方程①无实根，
∴，
∴．
∴，
∴，
由④得：．
又，
解得：，．
23．（1）解：连接、，如图所示：
∵四边形是正方形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴，
∴，
∴
∵
∴是的直径，
∴
在中，
∴
∴的半径为
（2），理由如下：
在上取点G，使，连接，
同理（1）可得：，
∴，
在正方形中，，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形三角形，
∵，
∴，
∵，
∴；
（3）解：点A到的距离是或，理由如下：
∵，
∴点在以点为圆心，为半径的圆上，
∵，
∴点在以为直径的圆上，
∴点是这两圆的交点，
①当点P在如图3①所示位置时，
连接、、，作，垂足为H，过点A作，交于点E，如图3①，
∵四边形是正方形，
∴，
∴．
∵，
∴，
∵，
∴A、P、D、B在以为直径的圆上，
∴，
∴是等腰直角三角形，
又∵是等腰直角三角形，点B、E、P共线，，
∴由（2）中的结论可得：，
∴，
∴；
②当点P在如图3②所示位置时，
连接、、，作，垂足为H，过点A作，交的延长线于点E，如图3②，
同理可得：，
∴，
∴，
综上所述：点A到的距离为或．
24.A（1）∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
（2）由（1）得，，
∵，
∴，
设，
∴，
∴，
连接
∴在中，
∵为的直径，，
∴，
∴
（3）①连接OE，如图，
∵为的直径，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∵，
∴，
∴；
②∵，，
∴点，点是线段，的中点，
∴为的中位线，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴中边上的高等于的长，
∴的面积为：．