数学建模 建立统计模型进行预测
【建模应用】
解:(1)由表格中的数据可得=×(8.5+9+9.5+10+10.5)=9.5,=×(120+110+90+70+60)=90,
则===-32,=- =90+32×9.5=394,∴Y关于x的经验回归方程为=-32x+394.
(2)设当单价定为x元时,销售的利润为W元,则=(-32x+394)(x-8)=-32x2+650x-3152(x≥8),则当x=-≈10,即单价定为10元时,销售的利润最大.数学建模 建立统计模型进行预测
一、数学建模的概念
数学建模是对现实问题进行数学抽象,用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的素养.数学建模过程主要包括:在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题,分析问题、建立模型,确定参数、计算求解,检验结果、改进模型,最终解决实际问题.
二、数学建模的作用
1.数学模型搭建了数学与外部世界联系的桥梁,是数学应用的重要形式.
2.数学建模是应用数学解决实际问题的基本手段,也是推动数学发展的动力.
三、数学建模的表现
1.发现和提出问题;
2.建立和求解模型;
3.检验和完善模型;
4.分析和解决问题.
四、数学建模的目的
1.学会发现和提出问题,用数学语言表达问题,感悟数学与现实之间的关联;
2.学会用数学模型解决实际问题,积累数学实践的经验;
3.认识数学模型在科学、社会、工程技术等诸多领域的作用,提升实践能力,增强创新意识和科学精神.
鞋号问题
【目的】在寻求变量简单变化规律的过程中,体现数学建模素养的水平,体会评价过程中的满意原则和加分原则.
【情境】网上购鞋常常看到下面的表格:
脚长与鞋号对应表
脚长a/mm 220 225 230 235 240 245 250 255 260 265
鞋号b 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43
请解决下面的问题:
(1)找出满足表中对应规律的计算公式,通过实际脚长a计算出鞋号b.
(2)根据计算公式,计算30号童鞋所对应的脚长.
(3)若一个篮球运动员的脚长为282 mm,根据计算公式,他该穿多大号的鞋
【分析】数学建模素养的一个基本表现,就是能够针对具体的数据,选择合适的函数表达数量之间的关系,解决实际问题.在这样的活动中,可以体现数学建模素养不同水平的表现.
(1)可以把表中的两行数据看成两个数列,分别为{an}和{bn}.仔细观察可以知道,这两个数列分别满足下面的递推关系:
an+1=an+5,a1=220;
bn+1=bn+1,b1=34.
由此得到an=215+5n和bn=33+n,于是有bn=0.2an-10.如果学生能够找到准确表达脚长与鞋号之间的线性关系,根据满意原则,可以认为达到数学建模素养水平一的要求.
进一步,将脚长和对应的鞋号记作(a,b),在平面直角坐标系中描点,观察得a,b有线性关系,然后建立函数b=0.2a-10.这说明学生能够借助图形直观发现变化规律,并且能够用函数清晰地表达变化规律,根据加分原则,可以加分.
如果学生构建数据表,利用计算工具的电子表格作出散点图,选择几种函数模型进行拟合,对比拟合效果,发现线性函数的拟合效果最好,样本相关系数为1,进而确定a与b的线性模型,如图J-1所示.根据加分原则,可以针对“善于使用计算工具”加分.
(2)令b=30,代入公式b=0.2a-10,得a=200,故30号童鞋所对应的脚长为200 mm.虽然计算过程是套用已知结果,但由b求a涉及简单的反函数,可以认为达到数学建模素养水平二的要求.
(3)当a=282时,代入公式b=0.2a-10,得b=46.4.分两种情况:如果简单地进行“四舍五入”,选46号鞋,依然可以认为达到数学建模素养水平二的要求.如果知道作出的结论要符合实际,提出穿鞋要“不挤脚”,因此选47号鞋,或者提出要考虑脚型、鞋型,根据解答情况,可以加分.
一饮料店制作了一款新饮料,为了进行合理定价先进行试销售,其单价x(元)与销量Y(杯)的相关数据如下表:
单价x(元) 8.5 9 9.5 10 10.5
销量Y(杯) 120 110 90 70 60
(1)已知销量Y与单价x具有线性相关关系,求Y关于x的经验回归方程;
(2)若该款新饮料每杯的成本为8元,试销售结束后,请利用(1)中所求的经验回归方程确定单价应定为多少才能使销售的利润最大.(结果保留整数)
参考数据:xiyi=4195,=453.75.(共14张PPT)
数学建模 建立统计模型进行预测
一、数学建模的概念
数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数
学方法构建模型解决问题的素养．数学建模过程主要包括：在实际
情境中从数学的视角发现问题、提出问题，分析问题、建立模型，
确定参数、计算求解，检验结果、改进模型，最终解决实际问题．
二、数学建模的作用
1.数学模型搭建了数学与外部世界联系的桥梁，是数学应用的重要形式．
2.数学建模是应用数学解决实际问题的基本手段，也是推动数学发展
的动力．
三、数学建模的表现
1.发现和提出问题；
2.建立和求解模型；
3.检验和完善模型；
4.分析和解决问题．
四、数学建模的目的
1.学会发现和提出问题，用数学语言表达问题，感悟数学与现实之间
的关联；
2.学会用数学模型解决实际问题，积累数学实践的经验；
3.认识数学模型在科学、社会、工程技术等诸多领域的作用，提升实
践能力，增强创新意识和科学精神．
鞋号问题
【目的】在寻求变量简单变化规律的过程中，体现数学建模素养的
水平，体会评价过程中的满意原则和加分原则．
【情境】网上购鞋常常看到下面的表格：
脚长与鞋号对应表
220 225 230 235 240 245 250 255 260 265
34 35 36 37 38 39 40 41 42 43
请解决下面的问题：
（1）找出满足表中对应规律的计算公式，通过实际脚长 计算出鞋
号 .
（2）根据计算公式，计算30号童鞋所对应的脚长.
（3）若一个篮球运动员的脚长为 ，根据计算公式，他该穿
多大号的鞋？
【分析】数学建模素养的一个基本表现，就是能够针对具体的数据，
选择合适的函数表达数量之间的关系，解决实际问题．在这样的活
动中，可以体现数学建模素养不同水平的表现．
（1）可以把表中的两行数据看成两个数列，分别为和 ．仔
细观察可以知道，这两个数列分别满足下面的递推关系：
， ；
， ．
由此得到和，于是有 ．如
果学生能够找到准确表达脚长与鞋号之间的线性关系，根据满意原
则，可以认为达到数学建模素养水平一的要求．
进一步，将脚长和对应的鞋号记作 ，在平面直角坐标系中描点，
观察得,有线性关系，然后建立函数 ．这说明学生能
够借助图形直观发现变化规律，并且能够用函数清晰地表达变化规
律，根据加分原则，可以加分．
如果学生构建数据表，利用计算工具的电子表格作出散点图，选择
几种函数模型进行拟合，对比拟合效果，发现线性函数的拟合效果
最好，样本相关系数为1，进而确定与 的线性模型，如图所示．
根据加分原则，可以针对“善于使用计算工具”加分．
（2）令，代入公式，得 ，故30号童鞋
所对应的脚长为．虽然计算过程是套用已知结果，但由求
涉及简单的反函数，可以认为达到数学建模素养水平二的要求．
（3）当时，代入公式，得 ．分两种
情况：如果简单地进行“四舍五入”，选46号鞋，依然可以认为达到
数学建模素养水平二的要求．如果知道作出的结论要符合实际，提
出穿鞋要“不挤脚”，因此选47号鞋，或者提出要考虑脚型、鞋型，
根据解答情况，可以加分．
一饮料店制作了一款新饮料，为了进行合理定价先进行试销售，其
单价（元）与销量 （杯）的相关数据如下表：
8.5 9 9.5 10 10.5
120 110 90 70 60
（1）已知销量与单价具有线性相关关系，求关于 的经验回归方程；
参考数据：， ．
解：由表格中的数据可得，
，
则 ，
，
关于 的经验回归方程为 .
（2）若该款新饮料每杯的成本为8元，试销售结束后，请利用（1）
中所求的经验回归方程确定单价应定为多少才能使销售的利润最大.
（结果保留整数）
解：设当单价定为元时，销售的利润为 元，则
，则当
，即单价定为10元时，销售的利润最大．
