模块素养测评卷(一)
1.C [解析] =,即=,故n-2=3!=6,解得n=8.故选C.
2.B [解析] 将==1代入经验回归方程,得1=-1,故=2.故选B.
3.C [解析] 先让甲在B,C,D,E中选择一种工作,有=4(种)情况,再让其他4人选择剩余的四种工作,有=24(种)情况,故所有不同的情况种数为4×24=96.故选C.
4.A [解析] 由分布列的性质知+n+=1,解得n=,∴E(X)=0×+1×+m×=1.1,∴m=2,∴D(X)=(0-1.1)2×+(1-1.1)2×+(2-1.1)2×=0.49.故选A.
5.A [解析] 由题意得展开式中含x4y2的项为(x2)2·(-y)2·2=10x4·3y2·2=60x4y2,所以展开式中含x4y2的项的系数为60.故选A.
6.B [解析] 将5名医生(其中有一对夫妻)分配到3个地区,每个地区至少分配1名医生的所有不同分配方法共有+=150(种),其中这对夫妻被分配到同一个地区的不同分配方法共有+=36(种),所以这对夫妻被分配到同一个地区的概率P==,故选B.
7.B [解析] 因为X~N(110,σ2),所以由P(100≤X≤110)=0.35可得P(110≤X≤120)=0.35,所以该班学生的数学成绩在120分以上的概率为P(X>120)=×(1-0.35-0.35)=0.15,所以该班学生的数学成绩在120分以上的人数为0.15×60=9.
8.D [解析] 因为A和C必须去同一农场,所以可将A和C捆绑在一起记为F,则B和F不能去同一农场.先将B,D,E,F分成三组,共有=6(种)方法,再将这三组分给三个农场,有=6(种)方法,故将B,D,E,F同时派到三个农场去进行技术指导,每个农场至少有一名技术员的分派方案共有6×6=36(种),又B,F同在一个农场的分派方案有=6(种),故满足题意的不同的分派方案有36-6=30(种),故选D.
9.BD [解析] 4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目,每人报一项,每个同学都有3种选法,故共有34=81(种)报名方法,所以A错误;4名同学都参加了跑步、跳高、跳远三个项目,且冠军均在这4名同学中产生,每个项目的冠军有4种情况,则这三个项目的冠军共有43=64(种)不同结果,所以B正确;4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目,每人报一项,每项至少一人,按1,1,2分组再分配,共有=36(种)报名方法,所以C错误;4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目,每项报一人,每人至多报一项,因此跑步项目有4种选法,跳高项目有3种选法,跳远项目有2种选法,根据分步乘法计数原理,可得共有4×3×2=24(种)报名方法,所以D正确.故选BD.
10.ABD [解析] 该工厂一共有200+300=500(名)工人,则500×25%=125,又25周岁及以上组的日生产件数在区间[50,60)内的人数为300×0.005×10=15,25周岁以下组的日生产件数在区间[50,60)内的人数为200×0.005×10=10,25周岁及以上组的日生产件数在区间[60,70)内的人数为300×0.035×10=105,25周岁以下组的日生产件数在区间[60,70)内的人数为200×0.025×10=50,且15+10=25<125,15+10+105+50=180>126,所以该工厂工人日生产件数的25%分位数在区间[60,70)内,故A正确.估计25周岁及以上组日生产件数的平均数为55×0.005×10+65×0.035×10+75×0.035×10+85×0.02×10+95×0.005×10=73.5,估计25周岁以下组日生产件数的平均数为55×0.005×10+65×0.025×10+75×0.032 5×10+85×0.032 5×10+95×0.005×10=75.75,因为73.5<75.75,所以估计25周岁及以上组日生产件数的平均数小于25周岁以下组日生产件数的平均数,故B正确.由上可知,日生产件数小于60的工人一共有25人,其中来自25周岁及以上组的有15人,来自25周岁以下组的有10人,所以从日生产件数小于60的工人中随机抽取2人,至少有1人来自25周岁以下组的概率为=,故C错误.2×2列联表如下:
单位:人
年龄组 是否为“生产能手” 合计
“生产能手” 非“生产能手”
25周岁及以上组 75 225 300
25周岁以下组 75 125 200
合计 150 350 500
则χ2=≈8.929>7.879,根据小概率值α=0.005的独立性检验,我们推断H0不成立,即认为是否为“生产能手”与工人所在的年龄组有关联,此推断犯错误的概率不大于0.005,故D正确.故选ABD.
11.ABC [解析] P=1-P(X=0)=1-=,故A正确;f(k)=P(X=k)=·,f(10-k)=P(X=10-k)=·=·,即f(k)=f(10-k),故B正确;[i·f(i)]=0×f(0)+1×f(1)+2×f(2)+3×f(3)+…+10f(10)=(0++2+3+…+10),又(1+x)10=1+x+x2+…+x10,两边求导数,得10(1+x)9=+2x+3x2+…+10x9,令x=1,得+2+3+…+10=10×29,所以[i·f(i)]=×10×29=5,故C正确;设f(k)最大,则
可得≤k≤,所以当k=5时,f(k)取得最大值,故D错误.故选ABC.
12.0.013 [解析] 由题意,记事件A1,A2,A3分别为任取一件产品是一、二、三厂生产的,记事件B为任取一件产品是次品,由题意可得,P(A1)=0.3,P(A2)=0.5,P(A3)=0.2,P(B|A1)=0.02,P(B|A2)=0.01,P(B|A3)=0.01,由全概率公式可得,P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)=0.3×0.02+0.5×0.01+0.2×0.01=0.013,故从这批产品中任取一件是次品的概率是0.013.
13.168 [解析] 在9个数中选出3个,让其中最大的排在十位上,余下的全排列,即有=168(个)符合题意的三位数.易知X的所有可能取值为0,1,2,3,且P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==,P(X=3)==,则E(X)=0×+1×+2×+3×=.
14. [解析] (2-)n的展开式的通项为Tr+1=2n-r(-)r=2n-r(-1)r,令=1,解得r=2,所以f(n)=2n-2=·2n-2=n(n-1)·2n-3,故+++…+=+++…+=2+++…+=2+4=2+4=2+4×=2+=.
15.解:(1)由分步乘法计数原理可得,共有34=81(种)不同的包装方法.
(2)因为每个盒子至少有一件装饰品,所以恰有两个装饰品装到同一个盒子里,故共有=36(种)不同的包装方法.
(3)将四件不同的装饰品分成三堆,有=6(种)分法,
故共有6种不同的包装方法.
(4)将四件不同的装饰品分成一堆,有1种分法;
将四件不同的装饰品分成两堆,有+=7(种)分法;
由(3)可得将四件不同的装饰品分成三堆,有6种分法.
由分类加法计数原理可知,共有1+7+6=14(种)不同的包装方法.
16.解:(1)二项式的展开式的通项为Tr+1==(-1)r,r=0,1,2,…,8,
令8-∈Z,得r=0,3,6.
故展开式中有3项有理项,6项无理项.
记事件A=“第一次取到有理项”,事件B=“第二次取到无理项”,
所以P(A)=,P(AB)=,则P(B|A)==.
(2)由题意可得,X的可能取值为0,1,2,P(X=0)==,
P(X=1)==,P(X=2)==,
则X的分布列为
X 0 1 2
P
E(X)=+=.
17.解:(1)该企业原有生产线的正品率P1=××=,所以该企业原有生产线的次品率P=1-P1=1-=.
(2)记“任取一个芯片来自原生产线”为事件A,“任取一个芯片来自新生产线”为事件,记“任取一个芯片是次品”为事件B,
则P(A)=,P()=,且P(B|A)=,P(B|)=,
所以P(B)=P(A)P(B|A)+P()P(B|)=×+×=,
即从混放的芯片中任取一个,它是次品的概率为.
18.解:(1)依题意得==3,(xi-)2=(1-3)2+(2-3)2+(3-3)2+(4-3)2+(5-3)2=10,
则r===
≈≈0.98,
因为r>0.75,所以变量y与x的线性相关程度很强.
(2)设变量y关于x的经验回归方程为=x+,
则===2.5,
所以=-=70.5-2.5×3=63,
所以变量y关于x的经验回归方程为=2.5x+63.
2024年对应的年份代码为x=6,当x=6时,=2.5×6+63=78,
所以该公司2024年的利润的预测值为78亿元.
19.解:(1)从该校学生中随机选出1人,记其达标为事件A,是“阅读之星”为事件B,则P(A)=P(X≥1),P(B)=P(AB)=P(X≥2).
因为X~N(1.5,σ2),所以P(B)=1-P(A).
又因为达标学生是“阅读之星”的概率为,
所以P(B|A)===,解得P(A)=,
即从该校学生中随机选出1人,其达标的概率为.
(2)依题意,随机调查的90名学生中,男生人数为40,女生人数为50.
设这90名学生中,不达标学生人数为Y.
由(1)知,从该校学生中随机选出1人,其不达标的概率为,
则Y~B,所以数学期望E(Y)=90×=18,即不达标的人数为18.
因为不达标学生中有是男生,所以不达标的男生人数为3,不达标的女生人数为15,则达标的男生人数为37,达标的女生人数为35,得如下2×2列联表.
单位:人
是否达标 性别 合计
男 女
达标 37 35 72
不达标 3 15 18
合计 40 50 90
零假设为H0:是否达标与性别无关联.
经计算得χ2==7.031 25>6.635=x0.01.
根据小概率值α=0.01的独立性检验,推断H0不成立,即能够认为是否达标与性别有关联.模块素养测评卷(一)
[第六章~第八章]
(时间:120分钟 分值:150分)
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知=,则n= ( )
A.6 B.7 C.8 D.9
2.具有线性相关关系的变量x,y有一组观测数据(xi,yi)(i∈N*),其经验回归方程是=x-1,且==1,则实数的值是 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
3.有5人从事A,B,C,D,E五种不同的工作,每人从事一种,且每种工作都有人从事.若这5人中的甲不能从事A工作,则这5人从事工作的所有不同的情况种数为 ( )
A.24 B.60 C.96 D.120
4.随机变量X的分布列为
X 0 1 m
P n
若E(X)=1.1,则D(X)= ( )
A.0.49 B.0.69 C.1 D.2
5.(x2-y+2)5的展开式中含x4y2的项的系数为 ( )
A.60 B.-60 C.30 D.-30
6.将5名医生(其中有一对夫妻)分配到3个地区,要求每个地区至少分配1名医生,则这对夫妻被分配到同一个地区的概率为 ( )
A. B. C. D.
7.某班有60名学生,一次考试后,全班学生的数学成绩X~N(110,σ2),若P(100≤X≤110)=0.35,则该班学生的数学成绩在120分以上的人数为 ( )
A.10 B.9 C.8 D.7
8.某市农技推广中心拟将A,B,C,D,E五名技术员同时派到三个农场去进行技术指导,每个农场至少有一名技术员,其中A和B不能去同一农场,A和C必须去同一农场,则不同的分派方案有 ( )
A.240种 B.120种 C.60种 D.30种
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.[2024·南京高二期中] 下列说法正确的是 ( )
A.4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目,每人报一项,共有24种报名方法
B.4名同学都参加了跑步、跳高、跳远三个项目,且冠军均在这4名同学中产生,则这三个项目的冠军共有64种不同结果
C.4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目,每人报一项,每项至少一人,共有24种报名方法
D.4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目,每项报一人,每人至多报一项,共有24种报名方法
10.某工厂有25周岁及以上的工人300名,25周岁以下的工人200名,统计了他们某日生产产品的件数,然后按“25周岁及以上”和“25周岁以下”分成两组,再分别将两组工人的日生产件数分成[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]的五组并加以汇总,得到如图所示的频率分布直方图.规定日生产件数不小于80者为“生产能手”.零假设为H0:是否为“生产能手”与工人所在的年龄组无关联,则下列说法正确的是 ( )
附:χ2=,其中n=a+b+c+d.
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
A.该工厂工人日生产件数的25%分位数在区间[60,70)内
B.估计25周岁及以上组日生产件数的平均数小于25周岁以下组日生产件数的平均数
C.从日生产件数小于60的工人中随机抽取2人,至少有1人来自25周岁以下组的概率为
D.根据小概率值α=0.005的独立性检验,我们推断H0不成立
11.[2024·江苏苏州高二期中] 若随机变量X~B,记f(k)=P(X=k)(k∈{0,1,2,…,10})为恰好发生k次的概率,下列说法正确的是 ( )
A.P=
B.f(k)=f(10-k)
C.[i·f(i)]=5
D.当k=5或6时,f(k)取得最大值
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.有一批同一型号的产品,已知其中一厂生产的占30%,二厂生产的占50%,三厂生产的占20%,且这三个厂的产品次品率分别为2%,1%,1%,则从这批产品中任取一件是次品的概率是 .
13.在1,2,3,…,9这9个自然数中任取3个数.若组成一个没有重复数字的三位数且十位上的数字最大,则这样的三位数有 个;若X表示取出的3个数中偶数的个数,则E(X)= .
14.[2024·齐齐哈尔高二期中] 已知二项式(2-)n(n≥2,n∈N*)的展开式中含x的项的系数为f(n),则+++…+= .
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)(1)四件不同的装饰品要装进包装盒里,有三个不同形状的精美盒子供选择,一共有多少种不同的包装方法
(2)四件不同的装饰品要装进包装盒里,有三个不同形状的精美盒子供选择,每个盒子至少有一件装饰品,一共有多少种不同的包装方法
(3)四件不同的装饰品要装进包装盒里,有三个大小、形状、图案等完全相同的精美盒子供选择,每个盒子至少有一件装饰品,一共有多少种不同的包装方法
(4)四件不同的装饰品要装进包装盒里,有三个大小、形状、图案等完全相同的精美盒子供选择,一共有多少种不同的包装方法
16.(15分)在二项式的展开式的所有项中,依次不放回地抽取两项,且每一项被取到的可能性相等.
(1)在第一次取到有理项的条件下,求第二次取到无理项的概率;
(2)记取到有理项的项数为随机变量X,求X的分布列及数学期望.
17.(15分)[2024·郑州高二期中] 某芯片制造企业采用流水线的方式生产芯片.原有生产线生产某型号的芯片需要经过三道工序,这三道工序互不影响.已知三道工序产生不合格产品的概率分别为,,,三道工序均合格的产品成为正品,否则成为次品.
(1)求该企业原有生产线的次品率.
(2)为了提高产量,该企业又引进一条新生产线加工同一型号的芯片,两条生产线生产出的芯片随机混放在一起.已知新生产线的次品率为,且新生产线的产量是原生产线产量的2倍,从混放的芯片中任取一个,求它是次品的概率.
18.(17分)某公司为改进生产,现对近5年来生产经营情况进行分析.收集了近5年的利润y(单位:亿元)与年份代码x共5组数据(其中年份代码x=1,2,3,4,5分别指2019年,2020年,2021年,2022年,2023年),并得到如下值:=70.5,(yi-)2=65,(yi-)(xi-)=25.
(1)若用线性回归模型拟合变量y与x的相关关系,计算样本相关系数r,并判断变量y与x的线性相关程度(r精确到0.01);
(2)求变量y关于x的经验回归方程,并求2024年的利润的预测值.
附:①≈2.55.②若|r|≥0.75,则线性相关程度很强;若0.3≤|r|<0.75,则线性相关程度一般;若|r|<0.3,则线性相关程度较弱.③一组数据(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),其经验回归直线=x+的斜率和截距的最小二乘估计分别为=,=-;样本相关系数r=.
19.(17分)[2024·江苏泰州高二期末] 为培养学生的阅读习惯,某学校规定所有学生每天在校阅读时长不得少于1小时.若认为每天在校阅读的时长不少于1小时为达标,达到2小时的学生为“阅读之星”.假设该校学生每天在校阅读时长X~N(1.5,σ2)(X的单位:小时),达标学生是“阅读之星”的概率为.
(1)从该校学生中随机选出1人,求其达标的概率;
(2)为进一步了解该校学生是否达标与性别是否有关联,随机调查了90名学生,其中男生占,已知不达标的人数恰是90名学生中不达标人数的期望值,且不达标的学生中男生占,根据小概率值α=0.01的独立性检验,能否认为是否达标与性别有关联
参考公式:χ2=,其中n=a+b+c+d.
参考数据:
α 0.05 0.01 0.001
xα 3.841 6.635 10.828
