湖南省邵阳市邵东县2015-2016学年高一（下）期末数学试卷（解析版）

湖南省邵阳市邵东县2015-2016学年高一（下）期末数学试卷
　
一、选择题：本题共10题，共40分
1．已知f（x）=cos（x+15°），则f（30°）=（　　）
A．
B．
C．﹣
D．﹣
2．下列给出的赋值语句中，正确的是（　　）
A．4=m
B．m=﹣m
C．p=q=3
D．a+b=3
3．2sincos的值是（　　）
A．
B．
C．
D．1
4．已知=（1，2），=（x，﹣1），若⊥，则x=（　　）
A．﹣2
B．﹣1
C．1
D．2
5．如图是某同学在本学期的几次练习中数学成绩茎叶图，则中位数是（　　）
A．83，85
B．84
C．83或85
D．86
6．对于总数为N的一批零件，抽取一个容量为30的样本，若每个零件被抽到的可能性均为25%，则N=（　　）
A．120
B．150
C．200
D．240
7．下列各数中最小的是（　　）
A．85
B．210（6）
C．1000（7）
D．101011（2）
8．如图，程序运行后输出的结果是（　　）
A．25
B．22
C．﹣3
D．﹣12
9．将函数y=2sin（﹣2x+）的图象向左平移个单位后，得到的图象对应的解析式应该是（　　）
A．y=﹣2sin（2x）
B．y=﹣2sin（2x+）
C．y=﹣2sin（2x﹣）
D．y=﹣2sin（2x+）
10．已知α、β都是锐角，且sinα=，cos（α+β）=﹣，则cos2β=（　　）
A．
B．
C．﹣
D．﹣
　
二、填空题（共5小题，共25分）
11．已知A（2，4），B（5，3），则=　　　　　　．
12．已知角α的终边经过点P（﹣1，m），sinα=，则m的值为　　　　　　．
13．若锐角α，β满足α+β=，则（1+tanα）（1+tanβ）=　　　　　　．
14．如图是200辆汽车在某红绿灯处的速度频率分布直方图，则速度众数大约是　　　　　　．
15．用秦九韶算法计算函数f（x）=2x6﹣3x4+2x3+7x2+6x+3，求x=2时函数值，则V2=　　　　　　．
　
三、解答题：本题5小题，共55分.
16．已知tanα=2，求sinαcosα﹣cos2α之值．
17．△ABC的顶点A（3，4），B（0，0），C（c，0）（C＞0），又∠A为锐角，求c的取值范围．
18．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象一个最高点为P（，2），相邻最低点为Q（，﹣2），当x∈[﹣，]时，求f（x）的值域．
19．已知f（x）=sin（x﹣30°）+cos（x﹣60°），g（x）=2sin2．
（1）若α为第一象限角且f（α）=，求g（α）之值；
（2）求f（x﹣1080°）≥g（x）在[0，360°]内的解集．
20．已知点P（x、y）满足
（1）若x∈{0，1，2，3，4，5}，y∈{0，1，2，3，4}，则求y≥x的概率．
（2）若x∈[0，5]，y∈[0，4]，则求x＞y的概率．
　
2015-2016学年湖南省邵阳市邵东县高一（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
　
一、选择题：本题共10题，共40分
1．已知f（x）=cos（x+15°），则f（30°）=（　　）
A．
B．
C．﹣
D．﹣
【分析】由x=30°，利用特殊角的三角函数值即可计算得解．
【解答】解：∵f（x）=cos（x+15°），
∴f（30°）=cos（30°+15°）=cos45°=．
故选：A．
【点评】本题主要考查了特殊角的三角函数值在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．
　
2．下列给出的赋值语句中，正确的是（　　）
A．4=m
B．m=﹣m
C．p=q=3
D．a+b=3
【分析】赋值语句是赋给某个变量一个具体的确定值的语句，根据赋值语句的定义直接进行判断即可得解．
【解答】解：根据题意，
A：左侧为数字，故不是赋值语句；
B：赋值语句，把﹣m的值赋给m；
C：连等，不是赋值语句；
D：不是赋值语句，是等式，左侧为两个字母的和．
故选：B．
【点评】本题考查赋值语句，通过对赋值语句定义的把握直接进行判断即可．属于基础题．
　
3．2sincos的值是（　　）
A．
B．
C．
D．1
【分析】直接利用二倍角公式化简求值即可．
【解答】解：2sincos=sin=．
故选：C．
【点评】本题考查三角函数的化简求值，二倍角公式的应用．
　
4．已知=（1，2），=（x，﹣1），若⊥，则x=（　　）
A．﹣2
B．﹣1
C．1
D．2
【分析】利用向量的垂直的充要条件，列出方程求解即可．
【解答】解：
=（1，2），=（x，﹣1），若⊥，
可得：x﹣2=0，解得x=2．
故选：D．
【点评】本题考查向量的坐标运算，考查计算能力．
　
5．如图是某同学在本学期的几次练习中数学成绩茎叶图，则中位数是（　　）
A．83，85
B．84
C．83或85
D．86
【分析】由茎叶图得某同学在本学期的几次练习中数学成绩从小到大为78，79，82，83，85，92，93，97，由此能求出中位数．
【解答】解：由茎叶图得某同学在本学期的几次练习中数学成绩从小到大为：
78，79，82，83，85，92，93，97，
位于中间的两位数是83，85，
∴中位数是：
=84．
故选：B．
【点评】本题考查中位数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意茎叶图性质、中位数定义的合理运用．
　
6．对于总数为N的一批零件，抽取一个容量为30的样本，若每个零件被抽到的可能性均为25%，则N=（　　）
A．120
B．150
C．200
D．240
【分析】由已知利用概率的定义直接求解．
【解答】解：∵对于总数为N的一批零件，抽取一个容量为30的样本，
每个零件被抽到的可能性均为25%，
∴，
解得N=120．
故选：A．
【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意概率定义的合理运用．
　
7．下列各数中最小的是（　　）
A．85
B．210（6）
C．1000（7）
D．101011（2）
【分析】欲找四个中最小的数，先将它们分别化成十进制数，后再比较它们的大小即可．
【解答】解：由题意可得：
210（6）=2×62+1×6=78；
1000（7）=1×73=343；
101011（2）=25+0×24+23+0×22+21+1=43．
故101011（2）最小．
故选：D．
【点评】本题考查的知识点是算法的概念，由n进制转化为十进制的方法，我们只要依次累加各位数字上的数×该数位的权重，即可得到结果，属于基础题．
　
8．如图，程序运行后输出的结果是（　　）
A．25
B．22
C．﹣3
D．﹣12
【分析】根据题意，模拟程序框图的运行过程，即可得出输出的结果．
【解答】解：模拟程序的运行，可得
x=5，y=﹣20
不满足条件x＜0，可得：y=﹣20+3=﹣17，
输出x﹣y的值为5﹣（﹣17）=22．
故选：B．
【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，即可得出正确的答案，是容易题．
　
9．将函数y=2sin（﹣2x+）的图象向左平移个单位后，得到的图象对应的解析式应该是（　　）
A．y=﹣2sin（2x）
B．y=﹣2sin（2x+）
C．y=﹣2sin（2x﹣）
D．y=﹣2sin（2x+）
【分析】利用诱导公式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．
【解答】解：将函数y=2sin（﹣2x+）=﹣2sin（2x﹣）的图象向左平移个单位后，
得到的图象对应的解析式应该
y=﹣2sin[2（x+）﹣]=﹣2sin（2x+），
故选：B．
【点评】本题主要考查诱导公式的应用，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．
　
10．已知α、β都是锐角，且sinα=，cos（α+β）=﹣，则cos2β=（　　）
A．
B．
C．﹣
D．﹣
【分析】利用同角三角函数的基本关系、两角差的余弦公式求得cosβ=cos[（α+β）﹣α]的值，再利用二倍角的余弦公式求得cos2β的值．
【解答】解：∵α、β都是锐角，且sinα=，
∴cosα==，
∵cos（α+β）=﹣，
∴α+β为钝角，sin（α+β）==，
∴cosβ=cos[（α+β）﹣α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα=﹣+=，
则cos2β=2cos2β﹣1=﹣，
故选：D．
【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角的余弦公式，两角差的余弦公式的应用，属于基础题．
　
二、填空题（共5小题，共25分）
11．已知A（2，4），B（5，3），则=　（3，﹣1）　．
【分析】利用=即可得出．
【解答】解：
=（5，3）﹣（2，4）=（3，﹣1），
故答案为：（3，﹣1）．
【点评】本题考查了向量的坐标运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
　
12．已知角α的终边经过点P（﹣1，m），sinα=，则m的值为　2　．
【分析】利用正弦函数的定义求解．
【解答】解：∵角α的终边经过点P（﹣1，m），sinα=，
∴，
解得m=2．
故答案为：2．
【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意任意角三角函数的定义的合理运用．
　
13．若锐角α，β满足α+β=，则（1+tanα）（1+tanβ）=　2　．
【分析】由，两边求正切，左边利用两角和与差的正切函数公式化简，右边利用特殊角的三角函数值化简，得到关于tanα和tanβ的关系式，表示出tanα+tanβ，把所求式子去括号化简后，将表示出的tanα+tanβ代入，化简可求出值．
【解答】解：∵，
∴tan（α+β）==1，
即tanα+tanβ=1﹣tanαtanβ，
则（1+tanα）（1+tanβ）
=1+tanα+tanβ+tanαtanβ
=1+1﹣tanαtanβ+tanαtanβ
=2．
故答案为：2
【点评】此题考查了两角和与差的正切函数公式，以及特殊角的三角函数值，利用了整体代入的思想，熟练掌握公式是解本题的关键．
　
14．如图是200辆汽车在某红绿灯处的速度频率分布直方图，则速度众数大约是　50　．
【分析】众数位于频率分布直方图中最高的小矩形对应的区间内，由此能求出结果．
【解答】解：由频率分布直方图得速度区间[40，60）对应的小矩形最高，
∴速度众数是50．
故答案为：50．
【点评】本题考查众数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意频率分布直方图的性质的合理运用．
　
15．用秦九韶算法计算函数f（x）=2x6﹣3x4+2x3+7x2+6x+3，求x=2时函数值，则V2=　5　．
【分析】根据秦九韶算法．把多项式改写成如下形式f（x）=（（（（（2x﹣0）x﹣3）x+2）x+7）x+6）x+3，从内到外的顺序依次计算一次多项式当x=2时函数值．
【解答】解：∵f（x）=2x6﹣3x4+2x3+7x2+6x+3，
=（（（（（2x﹣0）x﹣3）x+2）x+7）x+6）x+3
∴x=2时
V1=2x﹣0=4
V2=V1x﹣3=5
故答案为：5
【点评】本题考察了秦九韶算法，考察了推理能力与计算能力，属于基础题．
　
三、解答题：本题5小题，共55分.
16．已知tanα=2，求sinαcosα﹣cos2α之值．
【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式即可化简得解．
【解答】解：∵tanα=2，
∴sinαcosα﹣cos2α=…5分
==…10分
【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．
　
17．△ABC的顶点A（3，4），B（0，0），C（c，0）（C＞0），又∠A为锐角，求c的取值范围．
【分析】根据点A，B，C的坐标即可求出，而由条件0＜cosA＜1，从而得出，并且不平行，这样便可得出关于c的不等式组，从而便可得出c的取值范围．
【解答】解：∵A（3，4），B（0，0），C（c，0）；
∴；
又；
∴，且与不平行；
∴﹣3c+9+16＞0，且12+4（c﹣3）≠0，c＞0；
∴解得；
∴c的取值范围为．
【点评】考查根据点的坐标求向量坐标的方法，向量余弦的计算公式，余弦函数的值域，以及向量数量积的坐标运算，平行向量的坐标关系．
　
18．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象一个最高点为P（，2），相邻最低点为Q（，﹣2），当x∈[﹣，]时，求f（x）的值域．
【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由最低点的坐标求出φ的值，可得函数的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，求得f（x）的值域．
【解答】解：由题意可得A=2，
=﹣，∴ω=2．
再根据最高点的坐标可得2+φ=2kπ+，k∈Z，即
φ=2kπ，再结合|φ|＜，可得φ=0，
∴f（x）=2sin2x．
当x∈[﹣，]时，2x∈[﹣，]，sin2x∈[﹣，1]，∴f（x）∈[﹣，2]．
【点评】本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由最低点的坐标求出φ的值，正弦函数的定义域和值域，属于基础题．
　
19．已知f（x）=sin（x﹣30°）+cos（x﹣60°），g（x）=2sin2．
（1）若α为第一象限角且f（α）=，求g（α）之值；
（2）求f（x﹣1080°）≥g（x）在[0，360°]内的解集．
【分析】（1）利用三角函数恒等变换的应用化简可得f（x）=sinx，g（x）=1﹣cosx，由f（α）=，可求sinα，利用同角三角函数基本关系式可求cosα，进而可求g（α）．
（2）由（1）利用诱导公式可求f（x﹣1080°）=sinx，由f（x﹣1080°）≥g（x），可得sin（x+30°）≥，
结合范围x∈[0°，360°]，利用正弦函数的图象和性质即可得解．
【解答】（本题满分为12分）
解：（1）∵f（x）=sin（x﹣30°）+cos（x﹣60°）=sinx﹣cosx+cosx+sinx=sinx，…2分
g（x）=2sin2=1﹣cosx，…4分
由f（α）=，可得：sinα=，
又α为第一象限角，
∴cos，
∴g（α）=．…5分
（2）由（1）可得f（x）=sinx，
∴f（x﹣1080°）=sin（x﹣1080°）=sinx，
∴f（x﹣1080°）≥g（x）等价于sinx≥1﹣cosx，即：
sinx+cosx≥1，…7分
可得：2sin（x+30°）≥1，
∴sin（x+30°）≥，…9分
∴k360°+30°≤x+30°≤k360°+150°（k∈Z），
又∵x∈[0°，360°]，
∴0°≤x≤120°，
∴f（x﹣1080°）≥g（x）的解集为：[0°，120°]．…12分
【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，同角三角函数基本关系式，诱导公式，正弦函数的图象和性质的综合应用，考查了转化思想和数形结合思想，属于中档题．
　
20．已知点P（x、y）满足
（1）若x∈{0，1，2，3，4，5}，y∈{0，1，2，3，4}，则求y≥x的概率．
（2）若x∈[0，5]，y∈[0，4]，则求x＞y的概率．
【分析】（1）根据古典概型的概率公式进行求解即可．
（2）利用几何概型的概率公式进行求解．
【解答】解：∵x∈{0，1，2，3，4，5}，y∈{0，1，2，3，4}，
∴p（x，y）共有30个点，
满足y≥x的有15个点，
故满足y≥x的概率．
（2）∵x∈[0，5]，y∈[0，4]，则p（x，y）在如图所示的矩形区域内，
又y=x的直线与y=4交于（4，4），
则满足x＞y的点p（x，y）在图中阴影部分内（不包括直线y=x），
故．
【点评】本题主要考查概率的计算，涉及古典概型和几何概型的概率的计算，利用列举法以及图象法是解决这两种概率的常用方法．