模块素养测评卷(二)
1.A [解析] 的展开式的通项为Tr+1=·(x3)10-r·=(-1)r··x30-4r.令30-4r=2,得r=7,则T8=(-1)7×·x2=-120x2,所以的展开式中含x2项的系数是-120.故选A.
2.C [解析] 由题可知得故选C.
3.C [解析] 因为事件A与B相互独立,P(A)>0,所以P(B|A)==P(B),则P(B)=P(B|A)=0.32.故选C.
4.C [解析] 设抽取的男性人数为X,则X的可能取值为0,1,2,P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==,则E(X)=0×+1×+2×=.故选C.
5.B [解析] 完成这个事情需要三步:第一步,在第二、三、四笔中选一笔写卧钩,有种写法;第二步,在前四笔剩下的三笔中写左点、上点、撇,有种写法;第三步,最后一笔写右点,只有1种写法.根据分步乘法计数原理可知,共有××1=3×3×2×1×1=18(种)不同的笔顺.故选B.
6.D [解析] 对于A,P(X1≤μ2)是函数y=f1(x)的图象在直线x=μ2左侧与x轴围成的部分的面积,P(X2≤μ1)是函数y=f2(x)的图象在直线x=μ1左侧与x轴围成的部分的面积,由图象可知P(X1≤μ2)>P(X2≤μ1),故A错误;对于B,P(X2≥μ2)=,P(X3≥μ3)=,则P(X2≥μ2)=P(X3≥μ3),故B错误;对于C,与A分析同理,知P(X1≤μ2)>P(X2≤μ3),故C错误;对于D,正态分布中事件发生的概率表示正态曲线和x轴围成的部分的面积,与i无关,故P(μi-2σi≤Xi≤μi+2σi)=P(μi+1-2σi+1≤Xi+1≤μi+1+2σi+1)(i=1,2),故D正确.故选D.
7.C [解析] 由题意得=7-(2.27×4-1.08)=-1,因为R2≈0.97,所以该回归模型拟合的效果比较好,故A,B错误;在线性回归模型中R2表示解释变量对于响应变量的贡献率,R2≈0.97,则销售量y的多少有97%是由广告支出费用引起的,C正确,D错误.故选C.
8.D [解析] 由题意可得a+b+=1,所以a+b=,则b=-a,E(X)=0×a+2a×+1×b=a+b=,故E(X)为定值.D(X)=×a+×+×b=2a2-a+=2+,因为a∈,所以当a∈时,D(X)单调递减,当a∈时,D(X)单调递增.故选D.
9.ACD [解析] 对于A,∵ X~B,∴P(X=3)=××=,故A正确;对于B,|r|越接近1,线性相关程度越强,故B错误;对于C,∵=yi-,∴=yi-=n-(xi+)=-(xi+n)=n-(+n)=n-n(+)=n-n=0,故C正确;对于D,散点图中所有的散点都落在一条斜率不为0的直线上,则决定系数R2=1,故D正确.故选ACD.
10.BD [解析] 对于A,若1班不再分配名额,则20个名额分配到5个班级,每个班级至少1个,根据隔板法,有种分配方法,故A错误.对于B,若1班有除劳动模范之外的学生参加,则20个名额分配到6个班级,每个班级至少1个,根据隔板法,有种分配方法,故B正确.对于C,D,若每个班至少3人参加,相当于16个名额被占用,还有4个名额需要分到6个班级,分5类:①4个名额分到1个班,有6种分法;②1个班3个名额,1个班1个名额,有=30(种)分法;③其中2个班各有2个名额,有=15(种)分法;④其中2个班各有1个名额,1个班有2个名额,有=60(种)分法;⑤其中4个班各有1个名额,有=15(种)分法.则共有6+30+15+60+15=126(种)分配方法,故C错误,D正确.故选BD.
11.ABC [解析] 对于A,++…+=++…+=++…+=…==330,故A正确;对于B,因为(1+x)n的展开式的通项为Tr+1=1n-rxr=xr(0≤r≤n,r∈N),所以(1+x)n=+x+…+xn,故(1+x)n·(1+x)n的展开式的xn的系数为++…+,又因为=,所以++…+=()2+()2+…+()2,同理(1+x)2n的展开式的通项为T'k+1=12n-kxk=xk(0≤k≤2n,k∈N),即(1+x)2n的展开式的xn的系数为,因为(1+x)n·(1+x)n=(1+x)2n,所以()2+()2+…+()2=,在上式中,令n=100,则()2+()2+…+()2=,故B正确;对于C,若n>m,则==
=,故C正确;对于D,因为==-=-(n≥3,n∈N*),所以+++…+=++…+=-,所以x=×=×=-1=45×-1,而45×是一些正整数的乘积,且里面含有10,所以45×的个位数字是0,所以x除以10的余数为9,不是6,故D错误.故选ABC.
12.38 [解析] 由题意,四位数能被15整除即四位数的个位为0或5,且各位上的数字之和为3的倍数.当个位为0时,其他三位可以为1,2,3或1,3,5或2,3,4或3,4,5,故有4=24(个)满足题意的四位数;当个位为5且其他三位没有0时,其他三位只能为1,2,4,此时有=6(个)满足题意的四位数;当个位为5且其他三位有0时,0只能在十位或百位上,其他两位可以为1,3或3,4,此时有2=8(个)满足题意的四位数.故共有24+6+8=38(个)满足题意的四位数.
13.6 [解析] 因为y1y2…y9=e51,所以ln (y1y2…y9)=51,即===,又因为变换后的经验回归直线=x+5恒过点(,),所以=+5=,所以==,即x1+x2+…+x9=6.
14. 3 [解析] 设事件A为“取出的3个小球中有2个红球和1个黄球”,则P(A)==.由题意可得X~B,则E(X)=5×=3.
15.解:(1)由题知,4位同学报6个项目共有64种可能,4位同学报了4个不同的项目共有种可能,所以所求概率P1==.
(2)由题知,4位同学报6个项目共有64种可能,1位同学报项目A,剩余3位同学都报项目B共有种可能,所以所求概率P2==.
16.解:(1)设事件A=“在3次中只有1次拿到黄球”,事件B=“在3次中至多有1次拿到红球”,则事件AB=“在3次中只有1次拿到黄球,其他2次至多有1次拿到红球”,P(A)===,
P(AB)===,
所以P(B|A)==.
(2)由题意知,X的可能取值为0,1,2,
P(X=0)===,P(X=1)===,P(X=2)===,
故X的分布列为
X 0 1 2
P
设事件C=“拿到的3个球中红球个数比黄球个数多”,
事件C1=“拿到的3个球为2红1黄”,事件C2=“拿到的3个球为2红1绿”,事件C3=“拿到的3个球为1红2绿”,则C=C1∪C2∪C3,
P(C1)===,P(C2)===,P(C3)===,
所以P(C)=P(C1)+P(C2)+P(C3)=++=.
17.解:(1)2×2列联表补充完整如下.
单位:人
用户年龄段 选择直播间购物的情况 合计
甲公司 乙公司
19-24岁 40 10 50
25-34岁 20 30 50
合计 60 40 100
零假设为H0:选择哪个公司的直播间购物与用户年龄段无关联.
根据2×2列联表中的数据,经计算得到χ2=≈16.667>10.828=x0.001,
根据小概率值α=0.001的独立性检验,我们推断H0不成立,即认为选择哪个公司的直播间购物与用户年龄段有关联.
(2)设A=“小李第一天去甲公司的直播间购物”,B=“小李第二天去甲公司的直播间购物”,则P(A)=P()=,P(B|A)=,P(B|)=,
由全概率公式可得P(B)=P(A)P(B|A)+P()P(B|)=×+×=,
故小李第二天去甲公司直播间购物的概率为.
18.解:(1)按照比例分配的分层随机抽样的方法,这5人中测评成绩在[0,20)内的游客有2人,在[80,100]内的游客有3人,则X的所有可能取值是1,2,3,P(X=1)==0.3,P(X=2)==0.6,P(X=3)==0.1,故X的分布列为
X 1 2 3
P 0.3 0.6 0.1
E(X)=1×0.3+2×0.6+3×0.1=1.8.
(2)(i)对=两边取对数得ln =ln +x,
令z=ln y,则=x+ln .
根据所给条件可得=≈0.02,
又∵==63,≈-0.64,
∴ln ≈-0.64-0.02×63=-1.9,则≈e-1.9≈0.15,
∴该非线性经验回归方程为=0.15e0.02x.
(ii)由(i)及参考数据可得,μ≈=63,σ=19.5,
由y>0.78,得0.15e0.02x>0.78,可得x>≈82.5,
又μ+σ=82.5,P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7,∴由正态分布的性质得P(X>82.5)=≈=0.158 65,
∴估计该市景区好评率高于0.78的概率约为0.158 65.
19.解:(1)证明:∵P(X>r)=(1-p)r,∴P(X>k+n|X>n)====(1-p)k=P(X>k).
(2)Y的所有可能取值为2,3,…,
且P(Y=k)=(1-p)k-1p+pk-1(1-p),k≥2,k∈N*,
则E(Y)=2×P(Y=2)+3×P(Y=3)+4×P(Y=4)+…=[2×(1-p)p+3×(1-p)2p+4×(1-p)3p+…]+[2×p(1-p)+3×p2(1-p)+4×p3(1-p)+…],
令E(Y1)=2×(1-p)p+3×(1-p)2p+4×(1-p)3p+…,E(Y2)=2×p(1-p)+3×p2(1-p)+4×p3(1-p)+…,
则(1-p)E(Y1)=2(1-p)2p+3(1-p)3p+4(1-p)4p+…,
由错位相消法,得E(Y1)=2(1-p)+(1-p)2+(1-p)3+(1-p)4+…=1-p+.
同理可得,E(Y2)=p+,∴E(Y)=E(Y1)+E(Y2)=1++≥3,即E(Y)的最小值为3.
(3)方法一:记E1=E(X),E2=E(Z),期望E1表示首次出现成功,
当下一次再成功时,即有连续两次成功,则总试验次数为E1+1,概率为p;
当下一次不成功时,因为出现试验失败时对出现连续两次成功毫无帮助,可以认为后续期望仍是E2,即总的试验次数为E1+1+E2,概率为1-p.
所以E2=p(E1+1)+(1-p)(E1+1+E2),又E1=,∴E2=.
方法二:记E2=E(Z),先进行第一次试验,若第一次试验失败,因为出现试验失败时对出现连续两次成功毫无帮助,可以认为后续期望仍是E2,即总的试验次数为E2+1;若第一次试验成功,则进行第二次试验,当第二次试验成功时,试验停止,此时试验次数为2;若第二次试验失败,相当于重新试验,此时总的试验次数为E2+2.Z的分布列为
Z E2+1 E2+2 2
P 1-p p(1-p) p2
∴E2=(1-p)(E2+1)+p(1-p)(E2+2)+2p2,解得E(Z)=E2=.模块素养测评卷(二)
[第六章~第八章]
(时间:120分钟 分值:150分)
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.的展开式中含x2项的系数是 ( )
A.-120 B.120 C.-45 D.45
2.某射手射击所得环数X的分布列如下表,已知X的数学期望E(X)=8.9,则y的值为 ( )
X 7 8 9 10
P x 0.1 0.3 y
A.0.2 B.0.5 C.0.4 D.0.3
3.已知事件A与B相互独立,当P(A)>0时,若P(B|A)=0.32,则P(B)= ( )
A.0.34 B.0.68 C.0.32 D.1
4.[2024·东北师大附中高二月考] 某团队共有男性5人,女性3人,现随机抽取两人晚上值班,则男性人数的期望为 ( )
A. B. C. D.
5.书写汉字时,笔顺对书写的速度和字形的美观有非常关键的影响,为了满足课堂教学的需要,我们制定了一套现代汉语通用字的笔顺规范,但在进行书法创作时,笔顺则更加灵活多变,比如“必”字有五笔:左点、上点、右点、撇、卧钩.若要求第一笔不写卧钩且最后一笔写右点,则“必”字不同的笔顺有 ( )
A.12种 B.18种 C.24种 D.30种
6.已知连续型随机变量Xi~N(μi,)(i=1,2,3),X1,X2, X3的正态曲线分别如图中曲线y=f1(x),y=f2(x),y=f3(x)所示,则下列结论正确的是 ( )
A.P(X1≤μ2)
B.P(X2≥μ2)>P(X3≥μ3)
C.P(X1≤μ2)D.P(μi-2σi≤Xi≤μi+2σi)=P(μi+1-2σi+1≤Xi+1≤μi+1+2σi+1)(i=1,2)
7.某种产品的广告支出费用x(单位:万元)与销售量y(单位:万件)之间的对应数据如下表所示:
广告支出费用x 2.2 2.6 4.0 5.3 5.9
销售量y 3.8 5.4 7.0 11.6 12.2
根据表中的数据可得经验回归方程为=2.27x-1.08,R2≈0.97,则以下说法正确的是 ( )
A.第三个样本点对应的残差=-1,回归模型的拟合效果一般
B.第三个样本点对应的残差=1,回归模型的拟合效果较好
C.销售量y的多少有97%是由广告支出费用引起的
D.销售量y的多少有3%是由广告支出费用引起的
8.设a,b∈,随机变量X的分布列如下表所示,则当a在上变化时,下列说法正确的是 ( )
X 0 2a 1
P a b
A.E(X)增大,D(X)增大
B.E(X)增大,D(X)减小
C.E(X)为定值,D(X)先增大后减小
D.E(X)为定值,D(X)先减小后增大
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.下列说法中,正确的是 ( )
A.若随机变量X~B,则P(X=3)=
B.变量x和变量y的样本相关系数r越大,它们的线性相关程度越强
C.变量x和变量y的经验回归方程为=x+,残差=yi-,则=0
D.若散点图中所有的散点都落在一条斜率不为0的直线上,则决定系数R2=1
10.某中学为提升学生劳动意识和社会实践能力,利用周末进社区义务劳动,高三一共6个班,其中只有1班有2个劳动模范,本次义务劳动一共20个名额,劳动模范必须参加且不占名额,每个班都必须有人参加,则下列说法正确的是 ( )
A.若1班不再分配名额,则共有种分配方法
B.若1班有除劳动模范之外的学生参加,则共有种分配方法
C.若每个班至少3人参加,则共有90种分配方法
D.若每个班至少3人参加,则共有126种分配方法
11.[2024·宁波五校联盟高二期中] 下列关于排列组合数的说法正确的是 ( )
A.++…+=330
B.()2+()2+…+()2
C.已知n>m,则等式=对任意n,m∈N*恒成立
D.若x=×,则x除以10的余数为6
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.用0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的四位数,其中能被15整除的有 个.
13.[2024·江西吉安高二期中] 用模型y=aebx拟合一组数据组(xi,yi)(i=1,2,…,9),其中y1y2…y9=e51.设z=ln y,变换后的经验回归方程为=x+5,则x1+x2+…+x9= .
14.袋子中有5个大小质地完全相同的小球,其中3个红球,2个黄球,从袋中一次性随机取出3个小球后,再将小球放回,则取出的3个小球中有2个红球和1个黄球的概率为 ;若重复5次这样的试验,记“取出的3个小球中有2个红球和1个黄球”发生的次数为X,则X的数学期望为 .
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)4位同学报名参加某运动会6个不同的项目(记为A,B,C,D,E,F)的志愿者活动.假设每位同学只报1个项目,且报名各项目是等可能的.
(1)求4位同学报了4个不同的项目的概率;
(2)求1位同学报了项目A,剩余3位同学都报了项目B的概率.
16.(15分)一个纸箱里放10个小球,其中包括2个红球、3个黄球和5个绿球,小明不放回地从中拿3次,每次拿1个球.
(1)求小明在3次中只有1次拿到黄球的条件下,至多有1次拿到红球的概率;
(2)设拿到红球的个数为X,求X的分布列,并计算拿到的3个球中,红球个数比黄球个数多的概率.
17.(15分)为了进一步发挥电子商务在活跃消费市场方面的积极作用,甲公司和乙公司在某购物平台上同时开启了打折促销、直播带年货活动,甲公司和乙公司所售商品类似,存在竞争关系.
(1)现对某时间段100名用户观看直播后选择这两个公司直播间购物的情况进行调查,得到如下2×2列联表:
单位:人
用户年龄段 选择直播间购物的情况 合计
甲公司 乙公司
19-24岁 40 50
25-34岁 30
合计
请将2×2列联表补充完整,根据小概率值α=0.001的独立性检验,能否认为选择哪个公司的直播间购物与用户年龄段有关联
(2)若小李连续两天每天选择在甲、乙其中一个公司的直播间购物,第一天等可能地从甲、乙两个公司中选一个公司的直播间购物,如果第一天去甲公司的直播间购物,那么第二天去甲公司直播间购物的概率为,如果第一天去乙公司的直播间购物,那么第二天去甲公司直播间购物的概率为,求小李第二天去甲公司直播间购物的概率.
18.(17分)2023年“五一”假期旅游市场传递出令人振奋的信息.为了解游客游玩时的满意度,某市文旅局对市内各景区进行了游客满意度测评(满分100分).
(1)在本市某一景区随机选取了100名游客的测评成绩作为样本并进行统计,得到如下频率分布表.
测试成绩 [0,20) [20,40) [40,60) [60,80) [80,100]
频率 0.1 0.1 0.3 0.35 0.15
按照比例分配的分层随机抽样的方法,先从样本测评成绩在[0,20),[80,100]内的游客中随机抽取5人,再从这5人中随机选取3人赠送纪念品,记这3人中测评成绩在[80,100]内的人数为X,求X的分布列及数学期望.
(2)该市文旅局规定游客满意度测评成绩在80分及以上为“好评”,并分别统计了该市7个景区满意度测评的平均成绩x与好评率y,如下表所示:
x 32 41 54 68 74 80 92
y 0.28 0.34 0.44 0.58 0.66 0.74 0.94
根据数据初步判断,可选用=(>0)作为非线性经验回归方程.
(i)求该非线性经验回归方程;
(ii)根据以上统计分析,可以认为本市各景区满意度测评平均成绩X~N(μ,19.52),其中μ近似为样本平均数,估计该市景区好评率高于0.78的概率.
参考数据:若z=ln y,则=zi≈-0.64,≈0.02,ln 0.15≈-1.9,ln 5.2≈1.65.
19.(17分)[2024·江苏常州高二期中] 在伯努利试验中,每次试验中事件A发生的概率为p(0(1)求证: k,n∈N*,P(X>k+n|X>n)=P(X>k);
(2)设随机变量Y表示试验直至成功与失败都发生时试验已进行的次数,求E(Y)的最小值;
(3)设随机变量Z表示首次出现连续两次成功时所需的试验次数,求E(Z).