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6.1 分类加法计数原理与分步乘法计
数原理
第1课时 分类加法计数原理与分步乘
法计数原理
探究点一 分类加法计数原理
探究点二 分步乘法计数原理
探究点三 两个计数原理的简单综合应用
【学习目标】
1.通过实例,能归纳总结出分类加法计数原理、分步乘法计数原理.
2.正确地理解“完成一件事情”的含义,能根据具体问题的特征,选
择“分类”或“分步”.
3.能根据具体问题的特征,选择两种计数原理解决一些实际问题，
发展数学建模和数学运算的核心素养.
知识点一 分类加法计数原理
定义:完成一件事有______不同方案,在第1类方案中有___种不同的方
法,在第2类方案中有___种不同的方法,那么完成这件事共有
_______种不同的方法.
如果完成一件事情有类不同方案，在第类中有 种不同的方法，
那么完成这件事共有 ________________种不同的方法.
两类
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同.( )
×
[解析] 在分类加法计数原理中,两类不同方案中的方法是不同的,若相
同则它只能在同一类方案中且只能算是一种方法.
（2）在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能完成这件事.
( )
√
知识点二 分步乘法计数原理
定义:完成一件事需要______步骤,做第1步有___种不同的方法,做第2步
有___种不同的方法,那么完成这件事共有 _______种不同的方法.
如果完成一件事情需要个步骤，做第步有 种不同的方法，那么
完成这件事共有 ______________种不同的方法.
两个
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各
不相同的.( )
√
（2）在分步乘法计数原理中，事情如果是分两步完成的，那么其中
任何一个单独的步骤都不能完成这件事，只有两个步骤都完成后，
这件事情才算完成.( )
√
探究点一 分类加法计数原理
例1（1） 一个科技小组有4名男同学,6名女同学,从中任选1名同学参
加学科竞赛,不同的选派方法共有____种.
10
[解析] 任选1名同学参加学科竞赛,有两类方案:
第一类,从男同学中选取1名参加学科竞赛,有4种不同的选法;
第二类,从女同学中选取1名参加学科竞赛,有6种不同的选法.
由分类加法计数原理得,不同的选派方法共有 （种）.
（2）在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数的个数为
____.
36
[解析] 方法一：根据题意，将十位上的数字按1,2,3,4,5,6,7,8的情况
分成八类，在每一类中满足题目条件的两位数分别有8个，7个，6个，
5个，4个，3个，2个，1个.
由分类加法计数原理知，符合条件的两位数共有
（个）.
方法二：分析个位上的数字，可以分以下几类：个位数字是9，则十
位数字可以是1,2,3， ，8中的一个，故共有8个；
个位数字是8，则十位数字可以是1,2,3， ，7中的一个，故共有7个；
同理，个位数字是7的有6个……个位数字是2的有1个.
由分类加法计数原理知，符合条件的两位数共有
（个）.
变式 某市的有线电视可以接收中央台12个频道、本地台10个频道和
其他省市46个频道的节目.
（1）当这些频道播放的节目互不相同时，一台电视机共可以选看多
少个不同的节目？
解：当所有频道播放的节目互不相同时，一台电视机可以选看的节
目可分为3类：
第一类，选看中央台频道的节目，有12个不同的节目；
第二类，选看本地台频道的节目，有10个不同的节目；
第三类，选看其他省市频道的节目，有46个不同的节目.
根据分类加法计数原理，一台电视机共可以选看
（个）不同的节目.
（2）如果有3个频道正在转播同一场球赛，其余频道正在播放互不
相同的节目，一台电视机共可以选看多少个不同的节目？
解：因为有3个频道正在转播同一场球赛，所以这3个频道播放的节
目只有1个，而其余频道正在播放 （个）互不
相同的节目，所以一台电视机共可以选看 （个）不同的节目.
［素养小结］
利用分类加法计数原理计数时的解题流程
［提醒］ 确定分类标准时要确保每一类都能独立地完成这件事.
探究点二 分步乘法计数原理
例2（1） 有7本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各1本，共
有多少种不同的送法？
解：从7本不同的书中选3本送给3名同学，每人各1本，根据分步乘
法计数原理，可得不同的送法共有 （种）.
（2）有7种不同的书（每种不少于3本），要买3本送给3名同学，每
人各1本，共有多少种不同的送法？
解：从7种不同的书中买3本书，这3本书并不要求都不相同，故送给
每个同学的书都有7种不同的选法，根据分步乘法计数原理，可得不
同的送法共有 （种）.
变式（1） 若4名学生报名参加数学、计算机、航模兴趣小组，每人
选报1项，则不同的报名方式有( )
A.种 B.种 C.种 D. 种
[解析] 4名学生每人有3种报名方式，根据分步乘法计数原理,共有
（种）报名方式.故选A.
√
（2）人们习惯把最后一位是6的多位数叫作“吉祥数”,则无重复数字
的四位“吉祥数”（首位不能是零）共有_____个.
448
[解析] 第一步,确定千位,除去0和6,有8种不同的选法;
第二步,确定百位,除去6和千位上的数字,有8种不同的选法;
第三步,确定十位,除去6和千位、百位上的数字,有7种不同的选法.
故满足要求的四位“吉祥数”共有 （个）.
［素养小结］
利用分步乘法计数原理计数时的解题流程
［提醒］（1）要按照事件发生的过程合理分步.
（2）分步时要注意各步骤互相依存，不能遗漏步骤，只有各步骤都完
成才算完成这件事.
探究点三 两个计数原理的简单综合应用
例3 现有10本不同的数学书，9本不同的语文书，8本不同的英语书，
从中任取2本不同学科的书，共有多少种不同的取法
解：任取2本不同学科的书，当取的是一本数学书、一本语文书时，
有 （种）不同的取法；
当取的是一本数学书、一本英语书时，有 （种）不同的取法；
当取的是一本语文书、一本英语书时，有 （种）不同的取法.
综上，共有 （种）不同的取法.
变式 某公园休息处东面有8个空闲的凳子，西面有6个空闲的凳子，
小明与爸爸来这里休息.
（1）若小明爸爸任选一个凳子坐下（小明不坐），有多少种不同的
坐法？
解：小明爸爸选凳子可以分两类：
第一类，选东面的空闲凳子，有8种坐法；
第二类，选西面的空闲凳子，有6种坐法.
根据分类加法计数原理知，小明爸爸共有 （种）不同的坐法.
（2）若小明与爸爸分别就座，有多少种不同的坐法？
解：小明与爸爸分别就座，可以分两步完成：
第一步，小明先就座，从东、西面共 （个）空闲凳子中选
一个坐下，共14种坐法；
第二步，小明爸爸再就座，从东、西面共13个空闲凳子中选一个坐
下，共13种坐法.
由分步乘法计数原理知，小明与爸爸分别就座共有
（种）不同的坐法.
［素养小结］
利用两个计数原理解题时的三个注意点
（1）当题目无从下手时，可考虑要完成的这件事是什么，即怎样做
才算完成这件事，然后给出完成这件事的一种或几种方法，从这几
种方法中归纳出解题方法.
（2）分类时标准要明确，做到不重不漏，有时要恰当画出示意图或
树状图，使问题的分析更直观、清楚，便于探索规律.
（3）综合问题一般是先分类再分步.
拓展 某电路图如图所示．
解：如图，设三条线路依次为 ，, .
根据题意，分3种情况讨论：①通过线路 ，
有2种不同的接通方法；
②通过线路，有1种接通方法；
③通过线路 ，有（种）不同的接通方法.
故共有 （条）不同的路径.
（1）该电路从到 只有一条支路接通，
共有多少条不同的路径？
（2）合上两个开关接通电路，有多少种不同
的方法？
解：根据题意，分2种情况讨论：
①若线路 的开关闭合，则闭合剩下7个开关中的任意1个都可以接通电
路，有7种方法；
②若线路的开关不闭合，则有 （种）不同的方法.
故共有 （种）不同的方法．
1.若完成一件事情有类不同的方案，在第1类方案中有 种不同的方
法，在第2类方案中有种不同的方法， ，在第类方案中有 种
不同的方法，那么完成这件事共有 种不同的方法.
2.完成一件事需要个步骤，做第1步有 种不同的方法，做第2步有
种不同的方法， ，做第步有 种不同的方法，则完成这件事
共有 种不同的方法.
3.“完成一件事有 类不同的方案”是指完成这件事的所有方法可分为
类，即用任何一类中的任何一种方法都可以做完这件事，而不需要
再用其他方法.每一类没有相同的方法，且完成这件事的任何一种方
法都在某一类中.
4.分类加法计数原理与集合类比： 且
，如图.
5.分步乘法计数原理中“完成一件事需要 个步骤”是指完成这件事的
任何一种方法都要分成 个步骤，在每一个步骤中任取一种方法，然
后相继完成所有这些步骤才能完成这件事，即步与步之间是连续的、
缺一不可的，且不能重复、交叉.简单地说，就是应用分步乘法计数
原理时要做到“步骤完整”.
分类和分步的划分标准:
若完成这件事,可以分几种情况,每种情况中任何一种方法都能完成任
务,则是分类;而从其中一种情况中任取一种方法只能完成一部分事件,
且只有依次完成各种情况,才能完成这件事,则是分步.
例1 某单位职工义务献血，在体检合格的人中， 型血的共有28人，
A型血的共有7人，B型血的共有9人， 型血的共有3人.
解：从 型血的人中选1人有28种不同的选法，从A型血的人中选1人
有7种不同的选法，
从B型血的人中选1人有9种不同的选法，从 型血的人中选1人有3
种不同的选法.
任选1人去献血，根据分类加法计数原理，有 （种）
不同的选法.
（1）从中任选1人去献血，有多少种不同的选法？
（2）从四种血型的人中各选1人去献血，有多少种不同的选法？
解： 要从四种血型的人中各选1人，根据分步乘法计数原理，
有 （种）不同的选法.
例2 某景区下周一至周六空气质量预报情况如下表所示.该市有甲、
乙、丙三人计划在下周一至周六选择一天到该景区旅游，给出下列
条件：①甲只选择空气质量为优的一天出游；②乙不选择周四出游；
③丙不选择周一出游；④甲与乙不选择同一天出游.从这四个条件中
任选其中三个，求这三人出游的不同方法种数.
周一 周二 周三 周四 周五 周六
优 优 优 优 良 良
解：若选择①②③，则甲、乙、丙不同的选法种数分别为4，5，5，
则这三人出游的不同方法种数为 .
若选择①②④，则需分两类：若甲选择周四出游，则这三人出游的
不同方法种数为 ；
若甲不选择周四出游，则这三人出游的不同方法种数为 .
故这三人出游的不同方法种数为 .
若选择①③④，则甲、乙、丙不同的选法种数分别为4，5，5，则这
三人出游的不同方法种数为 .
若选择②③④，则乙、丙、甲不同的选法种数分别为5，5，5，则这
三人出游的不同方法种数为 .
练习册
一、选择题
1.某学校食堂有5种大荤菜式，8种半荤半素菜式，5种全素菜式，现
任意打一种菜，则可以打到的菜式品种有( )
A.200种 B.33种 C.45种 D.18种
[解析] 任意打一种菜，由分类加法计数原理可知，可以打到的菜式
品种有 （种）.故选D.
√
2.有4条不同样式的项链和8个不同款式的手镯，若一条项链与一个手
镯配成一套，则不同的配法种数为( )
A.12 B.32 C.56 D.66
[解析] 一条项链与一个手镯配成一套，则不同的配法种数为
.故选B.
√
3.某影城有一些电影上映，其中有3部科幻片、4部警匪片、3部战争
片及2部喜剧片，小明从中任选1部电影观看，不同的选法共有( )
A.9种 B.12种 C.24种 D.72种
[解析] 任选1部电影可分四类：第一类，选的是科幻片，有3种选法；
第二类，选的是警匪片，有4种选法；
第三类，选的是战争片，有3种选法；
第四类，选的是喜剧片，有2种选法.
由分类加法计数原理可得，不同的选法共有 （种）.
故选B.
√
4.教学大楼共有四层，每层都有东西两个楼梯，则从一层到四层的不
同的走法种数是( )
A. B. C. D.
[解析] 从一层到二层有2种选择，从二层到三层有2种选择，从三层
到四层有2种选择， 从一层到四层的不同的走法种数是 .
√
5.由0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个数字可以组成没有重复数
字的三位数的个数为( )
A.720 B.648 C.504 D.360
[解析] 因为百位上的数字不为0，所以有9个数字可选，则十位上的
数字有9个数字可选，个位上的数字有8个数字可选，所以可以组成
（个）没有重复数字的三位数.故选B.
√
6.从集合 中取两个不同的数分别作为对数的底数
与真数，可得到不同的对数值有( )
A.56个 B.54个 C.52个 D.50个
[解析] 第一步，取底数，有8种取法；
第二步，取真数，有7种取法.
根据分步乘法计数原理，共得到 （个）对数.
但在这些对数中，，， ，
，所以可以得到 （个）不同的对数值.故选C.
√
7.算盘是一种手动操作计算辅助工具.它起源于中国，迄今已有2600
多年的历史，是中国古代的一项重要发明，算盘有很多种类.现有一
种算盘（如图①），共2档，自右向左分别表示个位和十位，档中横
以梁，梁上一珠拨下，记作数字5，梁下有4珠，上拨每珠记作数字1
（例如图②中算盘表示整数51）.如果拨动图①算盘中的3枚算珠，那
么可以表示不同整数的个数为( )
A.16 B.15
C.12 D.10
√
[解析] 由题意,拨动3枚算珠,有4类拨法:①十位拨动0枚,个位拨动3枚,
有2种结果:7和3;
②十位拨动1枚,个位拨动2枚,有4种结果:12,16,52,56;
③十位拨动2枚,个位拨动1枚,有4种结果:21,25,61,65;
④十位拨动3枚,个位拨动0枚,有2种结果:30,70.
综上,拨动图①算盘中的3枚算珠,可以表示不同整数的个数为12.故选C.
8.（多选题）某城市地铁公司为鼓励人们绿色出行，决定按照乘客的
乘坐站数实施分段优惠政策，不超过9站的地铁票价如表：
票价/元 2 3 4
现有小花、小李两位乘客同时从首站乘坐同一辆地铁，已知他们乘
坐地铁都不超过9站，且他们各自在每个站下地铁的可能性相同，则
下列结论中正确的是( )
A.若小花、小李两人共花费5元，则小花、小李下地铁的方案共有9种
B.若小花、小李两人共花费5元，则小花、小李下地铁的方案共有18种
C.若小花、小李两人共花费6元，则小花、小李下地铁的方案共有27种
D.若小花、小李两人共花费6元，则小花比小李先下地铁的方案有12种
√
√
√
[解析] 若小花、小李两人共花费5元，则两人中1人花费2元，另1人
花费3元，小花、小李下地铁的方案共有 （种），故A
错误，B正确；
若小花、小李两人共花费6元，则两人中1人花费2元，
另1人花费4元，或2人都花费3元，小花、小李下地铁的方案共有
（种），故C正确；
小花比小李先下地铁的方案有（种），故D正确.故选 .
9.（多选题）现有3名老师、8名男同学和5名女同学共16人，有一项
活动需派人参加，则下列说法中正确的是( )
A.只需1人参加，有16种不同的选法
B.若需老师、男同学、女同学各1人参加，则有120种不同的选法
C.若需1名老师和1名学生参加，则有39种不同的选法
D.若需3名老师和1名学生参加，则有56种不同的选法
√
√
√
[解析] 对于A，分三类：第一类，派老师参加，有3种选法；第二类，
派男同学参加，有8种选法；第三类，派女同学参加，有5种选法.故
共有 （种）选法，故A正确.
对于B，分三步：第一步，选老师，有3种选法；第二步，选男同学，
有8种选法；第三步，选女同学，有5种选法.故共有
（种）选法，故B正确.
对于C，分两步：第一步，选老师，有3种选法；第二步，选学生，有
（种）选法.故共有 （种）选法，故C正确.
对于D，若需3名老师和1名学生参加，则分两步：第一步，选老师，有
1种选法；第二步，选学生，有 （种）选法.故共有
（种）不同的选法，故D错误.故选 .
二、填空题
10. 展开后，共有____项.
12
[解析] 根据多项式的乘法运算法则分两步,第一步，在第一个因式中
选一项，有3种方法；第二步，在第二个因式中选一项，有4种方法.
根据分步乘法计数原理可得，展开后共有 （项）.
11.在一个三位数中，若十位数字小于个位和百位数字，则称该数为
“驼峰数”，比如102，546为“驼峰数”.由数字1，2，3，4可构成无重
复数字的“驼峰数”有___个，其中偶数有___个.
8
5
[解析] 十位上的数字为1时，有213，214，312，314，412，413，共
6个；十位上的数字为2时，有324，423，共2个.所以无重复数字的
“驼峰数”共有 （个）,其中偶数为214，312，314，412，
324，共5个.
12.一排有10盏灯，如果用灯亮表示数1，用灯不亮表示数0，每一种
亮灯方式代表一个数据，如：0010100101表示一个数据，那么这10
盏灯可以表示的数据个数是______.
1024
[解析] 因为用灯亮表示数1，用灯不亮表示数0，每一种亮灯方式代
表一个数据，所以由分步乘法计数原理可知这10盏灯可以表示的数
据个数是 .
三、解答题
13.如图，从地到 地有三条不同的飞行航线，
从地到地有四条不同的飞行航线，从 地不
经地到 地有两条不同的飞行航线.
（1）从地到 地共有多少种不同的飞行航线？
解：从地到地的航线分为两类：第一类，经过 地，分两步完成，
第一步从地到地，第二步从地到地，有 （种）；
第二类，从地直接到地，有2种方法.所以从地到 地不同的飞行航
线共有 （种）.
（2）从地到地再回到 地，但返回时要飞与去时不同的航线，有
多少种不同的飞行航线？
解：该事件发生的过程分为两大步，第一步去，有14种走法；第二
步回，返回的走法比去时的走法少一种.所以不同的飞行航线有
（种）.
14.为了确保电子邮箱的安全，在注册时，通常要设置电子邮箱密码.
在某网站设置的邮箱中.
（1）若密码为4位，每位均为 这10个数字中的1个，则这样的密
码共有多少个？
解：设置1个4位密码要分4步进行，每一步确定一位数字，每一位上
都可以从 这10个数字中任取1个，有10种取法.根据分步乘法计
数原理，4位密码的个数是 .
（2）若密码为位，每位均为 这10个数字中的1个，则这样
的密码共有多少个？
解：设置的密码为位，每位均为 这10个数字中的1个，这样
的密码共有3类.其中4位密码、5位密码、6位密码的个数分别为
，，.
根据分类加法计数原理，设置由数字 组成的位密码的个数
是 .故满足条件的密码有1 110 000个.
15.[2024·上海宝山区高二期中]对于定义域为的函数 ，若对任
意的,，当时，都有，则称函数 为
“函数”.若函数的定义域，值域 ，则
使函数为“ 函数”的对应关系共有( )
A.4种 B.5种 C.6种 D.7种
√
[解析] 因为函数的定义域，值域 ，所
以要使为“函数”，则一定有, .
元素2,3,4的对应值可分为三类：
个元素均与7对应，即 ，共有1种对应关系；
个元素中有2个元素与7对应，则有,或
, ，共有2种对应关系；
个元素中仅有一个元素与7对应，则有 ,
或,,或 ,，
共有3种对应关系.综上可得，共有 （种）对应关系.故选C.
16.若直线方程中的， 可以从0,1,2,3,5这五个数字中任
取两个不同的数字，则方程所表示的不同直线共有多少条？
解：分两类完成：第一类，当或 中有一个为0时，表示直线为
或，共有2条.
第二类，当， 都不取0时，直线被确定需分两步完成：
第一步，确定 的值，从1,2,3,5中选一个，共有4种不同的方法；
第二步，确定 的值，共有3种不同的方法．
由分步乘法计数原理，共确定 （条）直线．
由分类加法计数原理得，方程所表示的不同直线共有 （条）．第六章 计数原理
6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
第1课时 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
【课前预习】
知识点一
两类 m n m+n a1+a2+…+an
诊断分析
(1)× (2)√ [解析] (1)在分类加法计数原理中,两类不同方案中的方法是不同的,若相同则它只能在同一类方案中且只能算是一种方法.
知识点二
两个 m n m×n a1·a2·…·an
诊断分析
(1)√ (2)√
【课中探究】
例1 (1)10 (2)36 [解析] (1)任选1名同学参加学科竞赛,有两类方案:第一类,从男同学中选取1名参加学科竞赛,有4种不同的选法;第二类,从女同学中选取1名参加学科竞赛,有6种不同的选法.由分类加法计数原理得,不同的选派方法共有4+6=10(种).
(2)方法一:根据题意,将十位上的数字按1,2,3,4,5,6,7,8的情况分成八类,在每一类中满足题目条件的两位数分别有8个,7个,6个,5个,4个,3个,2个,1个.由分类加法计数原理知,符合条件的两位数共有8+7+6+5+4+3+2+1=36(个).
方法二:分析个位上的数字,可以分以下几类:个位数字是9,则十位数字可以是1,2,3,…,8中的一个,故共有8个;个位数字是8,则十位数字可以是1,2,3,…,7中的一个,故共有7个;同理,个位数字是7的有6个……个位数字是2的有1个.由分类加法计数原理知,符合条件的两位数共有8+7+6+5+4+3+2+1=36(个).
变式 解:(1)当所有频道播放的节目互不相同时,一台电视机可以选看的节目可分为3类:
第一类,选看中央台频道的节目,有12个不同的节目;
第二类,选看本地台频道的节目,有10个不同的节目;
第三类,选看其他省市频道的节目,有46个不同的节目.
根据分类加法计数原理,一台电视机共可以选看12+10+46=68(个)不同的节目.
(2)因为有3个频道正在转播同一场球赛,所以这3个频道播放的节目只有1个,而其余频道正在播放12+10+46-3=65(个)互不相同的节目,
所以一台电视机共可以选看1+65=66(个)不同的节目.
例2 解:(1)从7本不同的书中选3本送给3名同学,每人各1本,根据分步乘法计数原理,可得不同的送法共有7×6×5=210(种).
(2)从7种不同的书中买3本书,这3本书并不要求都不相同,故送给每个同学的书都有7种不同的选法,根据分步乘法计数原理,可得不同的送法共有7×7×7=343(种).
变式 (1)A (2)448 [解析] (1)4名学生每人有3种报名方式,根据分步乘法计数原理,共有3×3×3×3=34(种)报名方式.故选A.
(2)第一步,确定千位,除去0和6,有8种不同的选法;第二步,确定百位,除去6和千位上的数字,有8种不同的选法;第三步,确定十位,除去6和千位、百位上的数字,有7种不同的选法.故满足要求的四位“吉祥数”共有8×8×7=448(个).
例3 解:任取2本不同学科的书,当取的是一本数学书、一本语文书时,有10×9=90(种)不同的取法;当取的是一本数学书、一本英语书时,有10×8=80(种)不同的取法;当取的是一本语文书、一本英语书时,有9×8=72(种)不同的取法.综上,共有90+80+72=242(种)不同的取法.
变式 解:(1)小明爸爸选凳子可以分两类:
第一类,选东面的空闲凳子,有8种坐法;
第二类,选西面的空闲凳子,有6种坐法.
根据分类加法计数原理知,小明爸爸共有8+6=14(种)不同的坐法.
(2)小明与爸爸分别就座,可以分两步完成:
第一步,小明先就座,从东、西面共8+6=14(个)空闲凳子中选一个坐下,共14种坐法;
第二步,小明爸爸再就座,从东、西面共13个空闲凳子中选一个坐下,共13种坐法.
由分步乘法计数原理知,小明与爸爸分别就座共有14×13=182(种)不同的坐法.
拓展 解:如图,设三条线路依次为D,E,F.
(1)根据题意,分3种情况讨论:①通过线路D,有2种不同的接通方法;②通过线路E,有1种接通方法;③通过线路F,有2×2=4(种)不同的接通方法.故共有2+1+4=7(条)不同的路径.
(2)根据题意,分2种情况讨论:
①若线路E的开关闭合,则闭合剩下7个开关中的任意1个都可以接通电路,有7种方法;②若线路E的开关不闭合,则有2×1+2×2=6(种)不同的方法.
故共有6+7=13(种)不同的方法. 第六章 计数原理
6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
第1课时 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
1.D [解析] 任意打一种菜,由分类加法计数原理可知,可以打到的菜式品种有5+8+5=18(种).故选D.
2.B [解析] 一条项链与一个手镯配成一套,则不同的配法种数为4×8=32.故选B.
3.B [解析] 任选1部电影可分四类:第一类,选的是科幻片,有3种选法;第二类,选的是警匪片,有4种选法;第三类,选的是战争片,有3种选法;第四类,选的是喜剧片,有2种选法.由分类加法计数原理可得,不同的选法共有3+4+3+2=12(种).故选B.
4.B [解析] 从一层到二层有2种选择,从二层到三层有2种选择,从三层到四层有2种选择,∴从一层到四层的不同的走法种数是23.
5.B [解析] 因为百位上的数字不为0,所以有9个数字可选,则十位上的数字有9个数字可选,个位上的数字有8个数字可选,所以可以组成9×9×8=648(个)没有重复数字的三位数.故选B.
6.C [解析] 第一步,取底数,有8种取法;第二步,取真数,有7种取法.根据分步乘法计数原理,共得到8×7=56(个)对数.但在这些对数中,log24=log39,log42=log93,log23=log49,log32=log94,所以可以得到56-4=52(个)不同的对数值.故选C.
7.C [解析] 由题意,拨动3枚算珠,有4类拨法:①十位拨动0枚,个位拨动3枚,有2种结果:7和3;②十位拨动1枚,个位拨动2枚,有4种结果:12,16,52,56;③十位拨动2枚,个位拨动1枚,有4种结果:21,25,61,65;④十位拨动3枚,个位拨动0枚,有2种结果:30,70.综上,拨动图①算盘中的3枚算珠,可以表示不同整数的个数为12.故选C.
8.BCD [解析] 若小花、小李两人共花费5元,则两人中1人花费2元,另1人花费3元,小花、小李下地铁的方案共有2×3×3=18(种),故A错误,B正确;若小花、小李两人共花费6元,则两人中1人花费2元,另1人花费4元,或2人都花费3元,小花、小李下地铁的方案共有2×3×3+3×3=27(种),故C正确;小花比小李先下地铁的方案有3×3+3=12(种),故D正确.故选BCD.
9.ABC [解析] 对于A,分三类:第一类,派老师参加,有3种选法;第二类,派男同学参加,有8种选法;第三类,派女同学参加,有5种选法.故共有3+8+5=16(种)选法,故A正确.对于B,分三步:第一步,选老师,有3种选法;第二步,选男同学,有8种选法;第三步,选女同学,有5种选法.故共有3×8×5=120(种)选法,故B正确.对于C,分两步:第一步,选老师,有3种选法;第二步,选学生,有8+5=13(种)选法.故共有3×13=39(种)选法,故C正确.对于D,若需3名老师和1名学生参加,则分两步:第一步,选老师,有1种选法;第二步,选学生,有8+5=13(种)选法.故共有1×13=13(种)不同的选法,故D错误.故选ABC.
10.12 [解析] 根据多项式的乘法运算法则分两步,第一步,在第一个因式中选一项,有3种方法;第二步,在第二个因式中选一项,有4种方法.根据分步乘法计数原理可得,展开后共有3×4=12(项).
11.8 5 [解析] 十位上的数字为1时,有213,214,312,314,412,413,共6个;十位上的数字为2时,有324,423,共2个.所以无重复数字的“驼峰数”共有6+2=8(个),其中偶数为214,312,314,412,324,共5个.
12.1024 [解析] 因为用灯亮表示数1,用灯不亮表示数0,每一种亮灯方式代表一个数据,所以由分步乘法计数原理可知这10盏灯可以表示的数据个数是210=1024.
13.解:(1)从A地到C地的航线分为两类:第一类,经过B地,分两步完成,第一步从A地到B地,第二步从B地到C地,有3×4=12(种);第二类,从A地直接到C地,有2种方法.所以从A地到C地不同的飞行航线共有12+2=14(种).
(2)该事件发生的过程分为两大步,第一步去,有14种走法;第二步回,返回的走法比去时的走法少一种.所以不同的飞行航线有14×13=182(种).
14.解:(1)设置1个4位密码要分4步进行,每一步确定一位数字,每一位上都可以从0~9这10个数字中任取1个,有10种取法.根据分步乘法计数原理,4位密码的个数是10×10×10×10=10 000.
(2)设置的密码为4~6位,每位均为0~9这10个数字中的1个,这样的密码共有3类.其中4位密码、5位密码、6位密码的个数分别为104,105,106.根据分类加法计数原理,设置由数字0~9组成的4~6位密码的个数是104+105+106=1 110 000.故满足条件的密码有1 110 000个.
15.C [解析] 因为函数f(x)的定义域D={1,2,3,4,5},值域A={6,7,8},所以要使f(x)为“M函数”,则一定有f(1)=6,f(5)=8.元素2,3,4的对应值可分为三类:①3个元素均与7对应,即f(2)=f(3)=f(4)=7,共有1种对应关系;②3个元素中有2个元素与7对应,则有f(2)=f(3)=7,f(4)=8或f(2)=6,f(3)=f(4)=7,共有2种对应关系;③3个元素中仅有一个元素与7对应,则有f(2)=7,f(3)=f(4)=8或f(2)=6,f(3)=7,f(4)=8或f(2)=f(3)=6,f(4)=7,共有3种对应关系.综上可得,共有1+2+3=6(种)对应关系.故选C.
16.解:分两类完成:第一类,当A或B中有一个为0时,表示直线为x=0或y=0,共有2条.第二类,当A,B都不取0时,直线Ax+By=0被确定需分两步完成:第一步,确定A的值,从1,2,3,5中选一个,共有4种不同的方法;第二步,确定B的值,共有3种不同的方法.由分步乘法计数原理,共确定4×3=12(条)直线.由分类加法计数原理得,方程所表示的不同直线共有2+12=14(条).第六章 计数原理
6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
第1课时 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
【学习目标】
1.通过实例,能归纳总结出分类加法计数原理、分步乘法计数原理.
2.正确地理解“完成一件事情”的含义,能根据具体问题的特征,选择“分类”或“分步”.
3.能根据具体问题的特征,选择两种计数原理解决一些实际问题,发展数学建模和数学运算的核心素养.
◆ 知识点一 分类加法计数原理
定义:完成一件事有 不同方案,在第1类方案中有 种不同的方法,在第2类方案中有 种不同的方法,那么完成这件事共有N= 种不同的方法.
如果完成一件事情有n类不同方案,在第k类中有ak种不同的方法,那么完成这件事共有N= 种不同的方法.
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)在分类加法计数原理中,两类不同方案中的方法可以相同. ( )
(2)在分类加法计数原理中,每类方案中的方法都能完成这件事. ( )
◆ 知识点二 分步乘法计数原理
定义:完成一件事需要 步骤,做第1步有 种不同的方法,做第2步有 种不同的方法,那么完成这件事共有N= 种不同的方法.
如果完成一件事情需要n个步骤,做第k步有ak种不同的方法,那么完成这件事共有N= 种不同的方法.
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)在分步乘法计数原理中,每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的. ( )
(2)在分步乘法计数原理中,事情如果是分两步完成的,那么其中任何一个单独的步骤都不能完成这件事,只有两个步骤都完成后,这件事情才算完成. ( )
◆ 探究点一 分类加法计数原理
例1 (1)一个科技小组有4名男同学,6名女同学,从中任选1名同学参加学科竞赛,不同的选派方法共有 种.
(2)在所有的两位数中,个位数字大于十位数字的两位数的个数为 .
变式 某市的有线电视可以接收中央台12个频道、本地台10个频道和其他省市46个频道的节目.
(1)当这些频道播放的节目互不相同时,一台电视机共可以选看多少个不同的节目
(2)如果有3个频道正在转播同一场球赛,其余频道正在播放互不相同的节目,一台电视机共可以选看多少个不同的节目
[素养小结]
利用分类加法计数原理计数时的解题流程
[提醒] 确定分类标准时要确保每一类都能独立地完成这件事.
◆ 探究点二 分步乘法计数原理
例2 (1)有7本不同的书,从中选3本送给3名同学,每人各1本,共有多少种不同的送法
(2)有7种不同的书(每种不少于3本),要买3本送给3名同学,每人各1本,共有多少种不同的送法
变式 (1)若4名学生报名参加数学、计算机、航模兴趣小组,每人选报1项,则不同的报名方式有 ( )
A.34种 B.43种
C.3×2×1种 D.4×3×7种
(2)人们习惯把最后一位是6的多位数叫作“吉祥数”,则无重复数字的四位“吉祥数”(首位不能是零)共有 个.
[素养小结]
利用分步乘法计数原理计数时的解题流程
[提醒] (1)要按照事件发生的过程合理分步.
(2)分步时要注意各步骤互相依存,不能遗漏步骤,只有各步骤都完成才算完成这件事.
◆ 探究点三 两个计数原理的简单综合应用
例3 现有10本不同的数学书,9本不同的语文书,8本不同的英语书,从中任取2本不同学科的书,共有多少种不同的取法
变式 某公园休息处东面有8个空闲的凳子,西面有6个空闲的凳子,小明与爸爸来这里休息.
(1)若小明爸爸任选一个凳子坐下(小明不坐),有多少种不同的坐法
(2)若小明与爸爸分别就座,有多少种不同的坐法
[素养小结]
利用两个计数原理解题时的三个注意点
(1)当题目无从下手时,可考虑要完成的这件事是什么,即怎样做才算完成这件事,然后给出完成这件事的一种或几种方法,从这几种方法中归纳出解题方法.
(2)分类时标准要明确,做到不重不漏,有时要恰当画出示意图或树状图,使问题的分析更直观、清楚,便于探索规律.
(3)综合问题一般是先分类再分步.
拓展 某电路图如图所示.
(1)该电路从A到B只有一条支路接通,共有多少条不同的路径
(2)合上两个开关接通电路,有多少种不同的方法 第六章 计数原理
6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
第1课时 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
一、选择题
1.某学校食堂有5种大荤菜式,8种半荤半素菜式,5种全素菜式,现任意打一种菜,则可以打到的菜式品种有 ( )
A.200种 B.33种
C.45种 D.18种
2.有4条不同样式的项链和8个不同款式的手镯,若一条项链与一个手镯配成一套,则不同的配法种数为 ( )
A.12 B.32 C.56 D.66
3.某影城有一些电影上映,其中有3部科幻片、4部警匪片、3部战争片及2部喜剧片,小明从中任选1部电影观看,不同的选法共有 ( )
A.9种 B.12种
C.24种 D.72种
4.教学大楼共有四层,每层都有东西两个楼梯,则从一层到四层的不同的走法种数是 ( )
A.32 B.23 C.42 D.24
5.由0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这10个数字可以组成没有重复数字的三位数的个数为 ( )
A.720 B.648
C.504 D.360
6.从集合M={2,3,4,5,6,7,8,9}中取两个不同的数分别作为对数的底数与真数,可得到不同的对数值有 ( )
A.56个 B.54个 C.52个 D.50个
7.算盘是一种手动操作计算辅助工具.它起源于中国,迄今已有2600多年的历史,是中国古代的一项重要发明,算盘有很多种类.现有一种算盘(如图①),共2档,自右向左分别表示个位和十位,档中横以梁,梁上一珠拨下,记作数字5,梁下有4珠,上拨每珠记作数字1(例如图②中算盘表示整数51).如果拨动图①算盘中的3枚算珠,那么可以表示不同整数的个数为 ( )
A.16 B.15 C.12 D.10
8.(多选题)某城市地铁公司为鼓励人们绿色出行,决定按照乘客的乘坐站数实施分段优惠政策,不超过9站的地铁票价如表:
乘坐站数x 0票价/元 2 3 4
现有小花、小李两位乘客同时从首站乘坐同一辆地铁,已知他们乘坐地铁都不超过9站,且他们各自在每个站下地铁的可能性相同,则下列结论中正确的是 ( )
A.若小花、小李两人共花费5元,则小花、小李下地铁的方案共有9种
B.若小花、小李两人共花费5元,则小花、小李下地铁的方案共有18种
C.若小花、小李两人共花费6元,则小花、小李下地铁的方案共有27种
D.若小花、小李两人共花费6元,则小花比小李先下地铁的方案有12种
9.(多选题)现有3名老师、8名男同学和5名女同学共16人,有一项活动需派人参加,则下列说法中正确的是 ( )
A.只需1人参加,有16种不同的选法
B.若需老师、男同学、女同学各1人参加,则有120种不同的选法
C.若需1名老师和1名学生参加,则有39种不同的选法
D.若需3名老师和1名学生参加,则有56种不同的选法
二、填空题
10.(a1+a2+a3)(b1+b2+b3+b4)展开后,共有 项.
11.在一个三位数中,若十位数字小于个位和百位数字,则称该数为“驼峰数”,比如102,546为“驼峰数”.由数字1,2,3,4可构成无重复数字的“驼峰数”有 个,其中偶数有 个.
12.一排有10盏灯,如果用灯亮表示数1,用灯不亮表示数0,每一种亮灯方式代表一个数据,如:0010100101表示一个数据,那么这10盏灯可以表示的数据个数是 .
三、解答题
13.如图,从A地到B地有三条不同的飞行航线,从B地到C地有四条不同的飞行航线,从A地不经B地到C地有两条不同的飞行航线.
(1)从A地到C地共有多少种不同的飞行航线
(2)从A地到C地再回到A地,但返回时要飞与去时不同的航线,有多少种不同的飞行航线
14.为了确保电子邮箱的安全,在注册时,通常要设置电子邮箱密码.在某网站设置的邮箱中.
(1)若密码为4位,每位均为0~9这10个数字中的1个,则这样的密码共有多少个
(2)若密码为4~6位,每位均为0~9这10个数字中的1个,则这样的密码共有多少个
15.[2024·上海宝山区高二期中] 对于定义域为D的函数f(x),若对任意的x1,x2∈D,当x1A.4种 B.5种
C.6种 D.7种
16.若直线方程Ax+By=0中的A,B可以从0,1,2,3,5这五个数字中任取两个不同的数字,则方程所表示的不同直线共有多少条
