第五章检测题（单元测试（含解析））-2025-2026学年人教A版（2019）高中数学选择性必修第二册
文档属性
| 名称 | 第五章检测题（单元测试（含解析））-2025-2026学年人教A版（2019）高中数学选择性必修第二册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 73.6KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-09-12 18:40:29 | ||
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文档简介
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第五章检测题
一、选择题
1．一个物体的运动方程为s＝t2其中s的单位是米，t的单位是秒，那么物体，在3秒末的瞬时速度是（ ）米/秒．
A．2 B．4 C．6 D．8
（多选）2．f（x）是定义在（0，+∞）上的非负可导函数，且满足xf'（x）+f（x）＜0，对任意正数a，b，若a＜b，则必有（ ）
A．af（b）＜bf（a） B．bf（a）＜af（b）
C．bf（b）＜af（a） D．af（a）＜bf（b）
3．曲线y在点（﹣1，﹣1）处的切线方程为（ ）
A．y＝2x+1 B．y＝2x﹣1 C．y＝﹣2x﹣3 D．y＝﹣2x﹣2
4．函数f（x）＝x e﹣x的一个单调递增区间是（ ）
A．[﹣1，0] B．[2，8] C．[1，2] D．[0，2]
5．若函数f（x）＝kx﹣ex在（1，+∞）上存在最值，则实数k的取值范围为（ ）
A．（﹣∞，﹣e] B．（e，+∞） C．（2e，+∞） D．（﹣∞，﹣2e]
6．函数f（x）＝x3+3x2+3x﹣a的极值点的个数是（ ）
A．2 B．1 C．0 D．由a确定
7．已知函数，且f（4x﹣1）＞f（3），则实数x的取值范围是（ ）
A．（2，+∞） B．（﹣∞，2） C．（1，+∞） D．（﹣∞，1）
8．设函数f（x）x﹣lnx（x＞0），则y＝f（x）（ ）
A．在区间（，1），（1，e）内均有零点
B．在区间（，1），（1，e）内均无零点
C．在区间（，1）内有零点，在区间（1，e）内无零点
D．在区间（，1）内无零点，在区间（1，e）内有零点
二、填空题
9．若曲线y＝ln（﹣x）上点P处的切线平行于直线2x+y+1＝0，则点P的坐标是 ．
10．已知a＜0，函数f（x）＝ax3lnx，且f'（1）的值为﹣12，则实数a的值为 ．
11．若曲线y＝ax+lnx在点（1，a）处的切线方程为y＝2x+b，则b＝ ．
12．定义在（0，+∞）上的函数f（x），其导函数为f'（x），若xf'（x）﹣f（x）＜0，且f（2）＝2，则不等式f（x）＞x的解集是 ．
三、多选题
（多选）13．直线能作为下列函数图象的切线的有（ ）
A． B．f（x）＝x4 C．f（x）＝sinx D．f（x）＝ex
（多选）14．已知f（x）是奇函数，当x＞0时，f'（x）﹣f（x）＞1，f（1）＝3，则（ ）
A．f（4）＞ef（3） B．f（﹣4）＞e2f（﹣2）
C．f（4）＞4e3﹣1 D．f（﹣4）＜﹣4e2﹣1
四、解答题
15．已知函数f（x）＝2x3﹣3（a+1）x2+6ax+8，其中a∈R，已知f（x）在x＝3处取得极值．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）在点A（1，f（1））处切线的方程．
16．已知函数f（x）＝x2+alnx．
（1）当a＝﹣2时，求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）若在[1，+∞）上是单调增函数，求实数a的取值范围．
17．已知函数f（x）＝sinx+ln（1+x）．证明：
（1）f（x）在区间（0，π）存在唯一极大值点；
（2）f（x）有且仅有1个零点．
18．已知函数f（x）＝lnx．
（1）讨论f（x）的单调性，并证明f（x）有且仅有两个零点；
（2）设x0是f（x）的一个零点，证明曲线y＝lnx在点A（x0，lnx0）处的切线也是曲线y＝ex的切线．
第五章检测题
参考答案与试题解析
一、选择题
1．一个物体的运动方程为s＝t2其中s的单位是米，t的单位是秒，那么物体，在3秒末的瞬时速度是（ ）米/秒．
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【分析】根据导数的物理意义，求出函数在t＝3处的导数即可．
【解答】解：∵s＝s（t）＝t2，
∴s'（t）＝2t，
∴根据导数的物理意义可知物体在3秒末的瞬时速度为s'（3），
即s'（3）＝2×3＝6（米/秒），
故选：C．
【点评】本题主要考查导数的物理意义，根据导数的公式直接进行计算即可，属于基础题．
（多选）2．f（x）是定义在（0，+∞）上的非负可导函数，且满足xf'（x）+f（x）＜0，对任意正数a，b，若a＜b，则必有（ ）
A．af（b）＜bf（a） B．bf（a）＜af（b）
C．bf（b）＜af（a） D．af（a）＜bf（b）
【答案】AC
【分析】先构造函数g（x）＝xf（x），x∈（0，+∞），通过求导利用已知条件即可得出．
【解答】解：设g（x）＝xf（x），x∈（0，+∞），
f（x）是定义在（0，+∞）上的非负可导函数，
则g′（x）＝xf′（x）+f（x）＜0，
∴g（x）在区间x∈（0，+∞）单调递减，
∵a＜b，∴g（a）＞g（b），即af（a）＞bf（b），故C正确；
由C选项，f（a）＞f（b），可得af（b）＜bf（a），故A正确．
故选：AC．
【点评】本题主要考查了利用导数来判断函数的单调性，恰当构造函数和熟练掌握利用导数研究函数的单调性是解题的关键．
3．曲线y在点（﹣1，﹣1）处的切线方程为（ ）
A．y＝2x+1 B．y＝2x﹣1 C．y＝﹣2x﹣3 D．y＝﹣2x﹣2
【答案】A
【分析】欲求在点（﹣1，﹣1）处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在x＝﹣1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．
【解答】解：∵y，
∴y′，
所以k＝y′|x＝﹣1＝2，得切线的斜率为2，所以k＝2；
所以曲线y＝f（x）在点（﹣1，﹣1）处的切线方程为：
y+1＝2×（x+1），即y＝2x+1．
故选：A．
【点评】本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．
4．函数f（x）＝x e﹣x的一个单调递增区间是（ ）
A．[﹣1，0] B．[2，8] C．[1，2] D．[0，2]
【答案】A
【分析】利用函数的求导公式求出函数的导数，根据导数大于0，求函数的单调增区间．
【解答】解：由函数f（x）＝x e﹣x，
则，
从而解得x≤1，
故选：A．
【点评】该题考查利用函数的求导求函数的单调性，属于基础题．
5．若函数f（x）＝kx﹣ex在（1，+∞）上存在最值，则实数k的取值范围为（ ）
A．（﹣∞，﹣e] B．（e，+∞） C．（2e，+∞） D．（﹣∞，﹣2e]
【答案】B
【分析】对函数f（x）求导，易知当k≤0时不合题意，则k＞0，则只需此时的极值点lnk＞1即可，由此可得k的范围．
【解答】解：f′（x）＝k﹣ex，
当k≤0时，f′（x）＝k﹣ex＜0，此时f（x）在（1，+∞）上单调递减，无最值；
当k＞0时，令f′（x）＝0，解得x＝lnk，
要使函数f（x）在（1，+∞）上存在最值，则lnk＞1，解得k＞e，
故选：B．
【点评】本题考查利用导数研究函数的最值，考查分类讨论思想以及运算求解能力，属于基础题．
6．函数f（x）＝x3+3x2+3x﹣a的极值点的个数是（ ）
A．2 B．1 C．0 D．由a确定
【答案】C
【分析】先求出函数的导数，得到导函数f′（x）≥0，从而得到结论．
【解答】解：f′（x）＝3x2+6x+3＝3（x+1）2≥0，
∴函数f（x）在R上单调递增，
∴函数f（x）＝x3+3x2+3x﹣a的极值点的个数是0个，
故选：C．
【点评】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，是一道基础题．
7．已知函数，且f（4x﹣1）＞f（3），则实数x的取值范围是（ ）
A．（2，+∞） B．（﹣∞，2） C．（1，+∞） D．（﹣∞，1）
【答案】D
【分析】可看出f（x）是R上的减函数，从而可根据f（4x﹣1）＞f（3）可得出4x﹣1＜3，然后解出x的范围即可．
【解答】解：∵x增大时，2x+1增大，减小，
∴f（x）是R上的减函数，且f（4x﹣1）＞f（3），
∴4x﹣1＜3，解得x＜1，
∴x的取值范围是（﹣∞，1）．
故选：D．
【点评】本题考查了指数函数的单调性，减函数的定义，考查了计算能力，属于基础题．
8．设函数f（x）x﹣lnx（x＞0），则y＝f（x）（ ）
A．在区间（，1），（1，e）内均有零点
B．在区间（，1），（1，e）内均无零点
C．在区间（，1）内有零点，在区间（1，e）内无零点
D．在区间（，1）内无零点，在区间（1，e）内有零点
【答案】D
【分析】先对函数f（x）进行求导，再根据导函数的正负情况判断原函数的增减性可得答案．
【解答】解：由题得f′（x），令f′（x）＞0得x＞3；
令f′（x）＜0得0＜x＜3；f′（x）＝0得x＝3，
故知函数f（x）在区间（0，3）上为减函数，在区间（3，+∞）为增函数，
在点x＝3处有极小值1﹣ln3＜0；
又f（1）0，f（e）1＜0，f（）1＞0，
故选：D．
【点评】本题主要考查导函数的增减性与原函数的单调性之间的关系．即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．
二、填空题
9．若曲线y＝ln（﹣x）上点P处的切线平行于直线2x+y+1＝0，则点P的坐标是 （，﹣ln2） ．
【答案】见试题解答内容
【分析】先设P（x，y），对函数求导，由在点P处的切线与直线2x+y+1＝0平行，即斜率相等，求出x，最后求出y．
【解答】解：设P（x，y），则y＝ln（﹣x），
∵y′，在点P处的切线与直线2x+y+1＝0平行，
令2，解得x，
∴y＝ln（﹣x）＝﹣ln2，
故P（，﹣ln2）．
故答案为：（，﹣ln2）．
【点评】本题考查了导数的几何意义，即点P处的切线的斜率是该点处的导数值，以及切点在曲线上和切线上的应用．
10．已知a＜0，函数f（x）＝ax3lnx，且f'（1）的值为﹣12，则实数a的值为 ．
【答案】．
【分析】求出导函数f′（x），然后根据f′（1）＝﹣12即可建立关于a的方程，根据a＜0解出a的值即可．
【解答】解：∵，
∴，且a＜0，解得．
故答案为：．
【点评】本题考查了基本初等函数的求导公式，已知函数求值的方法，考查了计算能力，属于基础题．
11．若曲线y＝ax+lnx在点（1，a）处的切线方程为y＝2x+b，则b＝ ﹣1 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】求出函数的导数，求出切线的斜率，再由切线方程得到斜率，解方程求得a＝1，再代入切线方程，得到b．
【解答】解：y＝ax+lnx的导数为y′＝a，
则在点（1，a）处的切线斜率为a+1，
由于在点（1，a）处的切线方程为y＝2x+b，
则有a+1＝2，即a＝1，
则1＝2+b，
解得b＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处的切线的斜率，考查运算能力，属于基础题．
12．定义在（0，+∞）上的函数f（x），其导函数为f'（x），若xf'（x）﹣f（x）＜0，且f（2）＝2，则不等式f（x）＞x的解集是 （0，2） ．
【答案】（0，2）．
【分析】令（x＞0），依题意，得g（x）在（0，+∞）上单调递减；f（x）＞x 1g（2），利用g（x）在（0，+∞）单调递减的性质，脱“g”可得答案．
【解答】解：令（x＞0），
∵当x＞0时，xf'（x）﹣f（x）＜0，
∴当x＞0时，g′（x）0，
∴g（x）在（0，+∞）上单调递减；
又f（2）＝2，
∴当x＞0时，f（x）＞x 1g（2），
解得0＜x＜2；
∴f（x）＞x的解集为（0，2），
故答案为：（0，2）．
【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查等价转化思想与分类讨论思想、构造法的应用，考查运算能力，属于中档题．
三、多选题
（多选）13．直线能作为下列函数图象的切线的有（ ）
A． B．f（x）＝x4 C．f（x）＝sinx D．f（x）＝ex
【答案】BCD
【分析】先求出函数的导函数，然后根据直线yx+b能作为下列函数图象的切线，根据导数与切线斜率的关系建立等式，看是否成立即可．
【解答】解：函数，可得f′（x）不成立；所以A不正确；
f（x）＝x4，f′（x）＝4x3可以成立；所以B正确；
f（x）＝sinx，f′（x）＝cosx，可以成立；所以C正确；
f（x）＝ex，f（x）＝ex可成立．所以D正确；
故直线yx+b能作为BCD函数图象的切线，
故选：BCD．
【点评】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，关键利用导数与切线斜率的关系，属于基础题．
（多选）14．已知f（x）是奇函数，当x＞0时，f'（x）﹣f（x）＞1，f（1）＝3，则（ ）
A．f（4）＞ef（3） B．f（﹣4）＞e2f（﹣2）
C．f（4）＞4e3﹣1 D．f（﹣4）＜﹣4e2﹣1
【答案】ACD
【分析】根据题意，设g（x），求出其导数，分析可得g（x）在区间（0，+∞）上为增函数，据此依次分析选项是否正确，即可得答案．
【解答】解：根据题意，设g（x），
其导数g′（x），
又由当x＞0时，f'（x）﹣f（x）＞1，即f'（x）﹣f（x）﹣1＞0，
则当x＞0时，有g′（x）＞0，
即g（x）在区间（0，+∞）上为增函数，
依次分析选项：
对于A，g（x）在区间（0，+∞）上为增函数，有g（4）＞g（3），即，
变形可得f（4）+1＞ef（3）+e，
则有f（4）＞ef（3）+e﹣1＞ef（3），A正确，
对于B，g（x）在区间（0，+∞）上为增函数，有g（4）＞g（2），即，
变形可得f（4）+1＞e2f（2）+e2，即﹣f（﹣4）+1＞﹣e2f（﹣2）+e2，
则有f（﹣4）＜﹣f（2）+1﹣e2，B错误，
对于C，g（x）在区间（0，+∞）上为增函数，有g（4）＞g（1），
即，
变形可得f（4）＞4e3﹣1，C正确，
对于D，由C的结论，f（4）＞4e3﹣1，即﹣f（﹣4）＞4e3﹣1，变形可得f（﹣4）＜1﹣4e3，
而（1﹣4e3）﹣（﹣4e2﹣1）＝2﹣4e3+4e2＝2﹣4e2（e﹣1）＜0，
则有f（﹣4）＜1﹣4e3＜﹣4e2﹣1，D正确；
故选：ACD．
【点评】本题考查利用导数分析函数的单调性，注意构造新函数，涉及函数单调性、奇偶性的综合应用，属于难题．
四、解答题
15．已知函数f（x）＝2x3﹣3（a+1）x2+6ax+8，其中a∈R，已知f（x）在x＝3处取得极值．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）在点A（1，f（1））处切线的方程．
【答案】（1）f（x）＝2x3﹣12x2+18x+8；（2）y﹣16＝0．
【分析】（1）由题得f′（3）＝0，解方程即得a＝3，检验即得解；
（2）利用导数求出切线的斜率，求出切点坐标即得切线方程．
【解答】解：（1）∵f（x）＝2x3﹣3（a+1）x2+6ax+8，
∴f'（x）＝6x2﹣6（a+1）x+6a＝6（x﹣a）（x﹣1），
而f（x）在x＝3处取得极值，故f′（3）＝0，得a＝3，
经检验，当a＝3时，f（x）在x＝3处取得极值，
所以f（x）＝2x3﹣12x2+18x+8．
（2）由（1）得，f'（x）＝6（x﹣3）（x﹣1），
所以切线的斜率k＝f'（1）＝0，而f（1）＝16，
所以切线的方程为y﹣16＝0．
【点评】本题主要考查利用导数研究函数的极值问题，考查导数的几何意义求切线方程，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题．
16．已知函数f（x）＝x2+alnx．
（1）当a＝﹣2时，求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）若在[1，+∞）上是单调增函数，求实数a的取值范围．
【答案】（1）y＝1；（2）a≥0．
【分析】（1）代入a的值，计算f（1），f′（1），求出切线方程即可；
（2）问题转化为在[1，+∞）上恒成立，结合在[1，+∞）上为单调递减函数，求出a的范围即可．
【解答】解：（1）a＝﹣2时，f（x）＝x2﹣2lnx，f′（x）＝2x，
则f（1）＝1，f′（1）＝0，故切线方程是：y﹣1＝0，即y＝1；
（2）因为在[1，+∞）上是单调增函数，
所以0在[1，+∞）上恒成立，
即在[1，+∞）上恒成立，
因为在[1，+∞）上为单调递减函数，
所以当x＝1时，取得最大值0，
所以a≥0．
【点评】本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性，函数恒成立问题，考查导数的应用，是中档题．
17．已知函数f（x）＝sinx+ln（1+x）．证明：
（1）f（x）在区间（0，π）存在唯一极大值点；
（2）f（x）有且仅有1个零点．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）先求出其导函数，结合导函数值的正负即可得到结论；
（2）分段判断导函数值的正负，进而得到原函数的大致图象走势即可得到证明．
【解答】证明：函数f（x）的定义域为（﹣1，+∞）
（1）由题可得，；
当x∈（0，π）时，f''（x）＜0
所以f'（x）在区间（0，π）上单调递减；
，，
所以f'（x）在区间内有唯一零点x0；
当x∈（0，x0）时，f'（x）＞0，当x∈（x0，π）时，f'（x）＜0，
所以f（x）在区间（0，π）存在唯一极大值点．
（2）当时，f'（x）＞0，f（x）在区间上单调递增；
因f（0）＝0，所以存在零点x＝0；
当时，f（x）＝sinx+ln（1+x）≥ln（1+x）＞0；
当x∈[π，+∞）时，f（x）＝sinx+ln（1+x）≥ln（1+π）﹣1＞0；
所以f（x）有且仅有1个零点．
【点评】本题主要考查函数极值的判断以及零点个数问题的判断，利用函数极值和导数之间的关系是解决本题的关键．
18．已知函数f（x）＝lnx．
（1）讨论f（x）的单调性，并证明f（x）有且仅有两个零点；
（2）设x0是f（x）的一个零点，证明曲线y＝lnx在点A（x0，lnx0）处的切线也是曲线y＝ex的切线．
【答案】（1）函数f（x）在（0，1）和（1，+∞）上是单调增函数，证明见解析；（2）证明见解析．
【分析】（1）对函数f（x）求导，结合定义域，判断函数的单调性；
（2）先求出曲线y＝lnx在A（x0，lnx0）处的切线l，然后求出当曲线y＝ex切线的斜率与l斜率相等时，证明曲线y＝ex切线l在纵轴上的截距与l在纵轴的截距相等即可．
【解答】证明：（1）函数f（x）的定义域为（0，1）∪（1，+∞），
f′（x），因为函数f（x）的定义域为（0，1）∪（1，+∞），
所以f′（x）＞0，因此函数f（x）在（1，1）和（1，+∞）上是单调增函数；
当x∈（0，1）时，x→0，y→﹣∞，而f（）＝ln0，
显然当x∈（0，1），函数f（x）有零点，
而函数f（x）在（0，1）上单调递增，故当x∈（0，1）时，函数f（x）有唯一的零点；
当x∈（1，+∞）时，f（e）＝lne0，f（e2）＝lne20，
因为f（e）f（e2）＜0，所以函数f（x）在（e，e2）必有一零点，
而函数f（x）在（1，+∞）上是单调递增，故当x∈（1，+∞）时，函数f（x）有唯一的零点，
综上所述，函数f（x）的定义域（0，1）∪（1，+∞）内有2个零点；
（2）因为x0是f（x）的一个零点，所以f（x0）＝lnx00 lnx0，
y＝lnx，y′，所以曲线y＝lnx在A（x0，lnx0）处的切线l的斜率k，
故曲线y＝lnx在A（x0，lnx0）处的切线l的方程为：y﹣lnx0（x﹣x0），
而lnx0，所以l的方程为y，它在纵轴的截距为．
设曲线y＝ex的切点为B（x1，），过切点B（x1，）为切线l′，
y＝ex，y′＝ex，所以在B（x1，）处的切线l′的斜率为，
因此切线l′的方程为yx（1﹣x1），
当切线l′的斜率k1等于直线l的斜率k时，即 x1＝﹣lnx0，
切线l′在纵轴的截距为b1（1﹣x1）（1+lnx0）（（1+lnx0），
而lnx0，所以b1（1），
直线l，l′的斜率相等，在纵轴上的截距也相等，
因此直线l，l′重合，故曲线y＝lnx在A（x0，lnx0）处的切线也是曲线y＝ex的切线．
【点评】本题考查了利用导数求已知函数的单调性、考查了曲线的切线方程，考查了数学运算能力．
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第五章检测题
一、选择题
1．一个物体的运动方程为s＝t2其中s的单位是米，t的单位是秒，那么物体，在3秒末的瞬时速度是（ ）米/秒．
A．2 B．4 C．6 D．8
（多选）2．f（x）是定义在（0，+∞）上的非负可导函数，且满足xf'（x）+f（x）＜0，对任意正数a，b，若a＜b，则必有（ ）
A．af（b）＜bf（a） B．bf（a）＜af（b）
C．bf（b）＜af（a） D．af（a）＜bf（b）
3．曲线y在点（﹣1，﹣1）处的切线方程为（ ）
A．y＝2x+1 B．y＝2x﹣1 C．y＝﹣2x﹣3 D．y＝﹣2x﹣2
4．函数f（x）＝x e﹣x的一个单调递增区间是（ ）
A．[﹣1，0] B．[2，8] C．[1，2] D．[0，2]
5．若函数f（x）＝kx﹣ex在（1，+∞）上存在最值，则实数k的取值范围为（ ）
A．（﹣∞，﹣e] B．（e，+∞） C．（2e，+∞） D．（﹣∞，﹣2e]
6．函数f（x）＝x3+3x2+3x﹣a的极值点的个数是（ ）
A．2 B．1 C．0 D．由a确定
7．已知函数，且f（4x﹣1）＞f（3），则实数x的取值范围是（ ）
A．（2，+∞） B．（﹣∞，2） C．（1，+∞） D．（﹣∞，1）
8．设函数f（x）x﹣lnx（x＞0），则y＝f（x）（ ）
A．在区间（，1），（1，e）内均有零点
B．在区间（，1），（1，e）内均无零点
C．在区间（，1）内有零点，在区间（1，e）内无零点
D．在区间（，1）内无零点，在区间（1，e）内有零点
二、填空题
9．若曲线y＝ln（﹣x）上点P处的切线平行于直线2x+y+1＝0，则点P的坐标是 ．
10．已知a＜0，函数f（x）＝ax3lnx，且f'（1）的值为﹣12，则实数a的值为 ．
11．若曲线y＝ax+lnx在点（1，a）处的切线方程为y＝2x+b，则b＝ ．
12．定义在（0，+∞）上的函数f（x），其导函数为f'（x），若xf'（x）﹣f（x）＜0，且f（2）＝2，则不等式f（x）＞x的解集是 ．
三、多选题
（多选）13．直线能作为下列函数图象的切线的有（ ）
A． B．f（x）＝x4 C．f（x）＝sinx D．f（x）＝ex
（多选）14．已知f（x）是奇函数，当x＞0时，f'（x）﹣f（x）＞1，f（1）＝3，则（ ）
A．f（4）＞ef（3） B．f（﹣4）＞e2f（﹣2）
C．f（4）＞4e3﹣1 D．f（﹣4）＜﹣4e2﹣1
四、解答题
15．已知函数f（x）＝2x3﹣3（a+1）x2+6ax+8，其中a∈R，已知f（x）在x＝3处取得极值．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）在点A（1，f（1））处切线的方程．
16．已知函数f（x）＝x2+alnx．
（1）当a＝﹣2时，求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）若在[1，+∞）上是单调增函数，求实数a的取值范围．
17．已知函数f（x）＝sinx+ln（1+x）．证明：
（1）f（x）在区间（0，π）存在唯一极大值点；
（2）f（x）有且仅有1个零点．
18．已知函数f（x）＝lnx．
（1）讨论f（x）的单调性，并证明f（x）有且仅有两个零点；
（2）设x0是f（x）的一个零点，证明曲线y＝lnx在点A（x0，lnx0）处的切线也是曲线y＝ex的切线．
第五章检测题
参考答案与试题解析
一、选择题
1．一个物体的运动方程为s＝t2其中s的单位是米，t的单位是秒，那么物体，在3秒末的瞬时速度是（ ）米/秒．
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【分析】根据导数的物理意义，求出函数在t＝3处的导数即可．
【解答】解：∵s＝s（t）＝t2，
∴s'（t）＝2t，
∴根据导数的物理意义可知物体在3秒末的瞬时速度为s'（3），
即s'（3）＝2×3＝6（米/秒），
故选：C．
【点评】本题主要考查导数的物理意义，根据导数的公式直接进行计算即可，属于基础题．
（多选）2．f（x）是定义在（0，+∞）上的非负可导函数，且满足xf'（x）+f（x）＜0，对任意正数a，b，若a＜b，则必有（ ）
A．af（b）＜bf（a） B．bf（a）＜af（b）
C．bf（b）＜af（a） D．af（a）＜bf（b）
【答案】AC
【分析】先构造函数g（x）＝xf（x），x∈（0，+∞），通过求导利用已知条件即可得出．
【解答】解：设g（x）＝xf（x），x∈（0，+∞），
f（x）是定义在（0，+∞）上的非负可导函数，
则g′（x）＝xf′（x）+f（x）＜0，
∴g（x）在区间x∈（0，+∞）单调递减，
∵a＜b，∴g（a）＞g（b），即af（a）＞bf（b），故C正确；
由C选项，f（a）＞f（b），可得af（b）＜bf（a），故A正确．
故选：AC．
【点评】本题主要考查了利用导数来判断函数的单调性，恰当构造函数和熟练掌握利用导数研究函数的单调性是解题的关键．
3．曲线y在点（﹣1，﹣1）处的切线方程为（ ）
A．y＝2x+1 B．y＝2x﹣1 C．y＝﹣2x﹣3 D．y＝﹣2x﹣2
【答案】A
【分析】欲求在点（﹣1，﹣1）处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在x＝﹣1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．
【解答】解：∵y，
∴y′，
所以k＝y′|x＝﹣1＝2，得切线的斜率为2，所以k＝2；
所以曲线y＝f（x）在点（﹣1，﹣1）处的切线方程为：
y+1＝2×（x+1），即y＝2x+1．
故选：A．
【点评】本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．
4．函数f（x）＝x e﹣x的一个单调递增区间是（ ）
A．[﹣1，0] B．[2，8] C．[1，2] D．[0，2]
【答案】A
【分析】利用函数的求导公式求出函数的导数，根据导数大于0，求函数的单调增区间．
【解答】解：由函数f（x）＝x e﹣x，
则，
从而解得x≤1，
故选：A．
【点评】该题考查利用函数的求导求函数的单调性，属于基础题．
5．若函数f（x）＝kx﹣ex在（1，+∞）上存在最值，则实数k的取值范围为（ ）
A．（﹣∞，﹣e] B．（e，+∞） C．（2e，+∞） D．（﹣∞，﹣2e]
【答案】B
【分析】对函数f（x）求导，易知当k≤0时不合题意，则k＞0，则只需此时的极值点lnk＞1即可，由此可得k的范围．
【解答】解：f′（x）＝k﹣ex，
当k≤0时，f′（x）＝k﹣ex＜0，此时f（x）在（1，+∞）上单调递减，无最值；
当k＞0时，令f′（x）＝0，解得x＝lnk，
要使函数f（x）在（1，+∞）上存在最值，则lnk＞1，解得k＞e，
故选：B．
【点评】本题考查利用导数研究函数的最值，考查分类讨论思想以及运算求解能力，属于基础题．
6．函数f（x）＝x3+3x2+3x﹣a的极值点的个数是（ ）
A．2 B．1 C．0 D．由a确定
【答案】C
【分析】先求出函数的导数，得到导函数f′（x）≥0，从而得到结论．
【解答】解：f′（x）＝3x2+6x+3＝3（x+1）2≥0，
∴函数f（x）在R上单调递增，
∴函数f（x）＝x3+3x2+3x﹣a的极值点的个数是0个，
故选：C．
【点评】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，是一道基础题．
7．已知函数，且f（4x﹣1）＞f（3），则实数x的取值范围是（ ）
A．（2，+∞） B．（﹣∞，2） C．（1，+∞） D．（﹣∞，1）
【答案】D
【分析】可看出f（x）是R上的减函数，从而可根据f（4x﹣1）＞f（3）可得出4x﹣1＜3，然后解出x的范围即可．
【解答】解：∵x增大时，2x+1增大，减小，
∴f（x）是R上的减函数，且f（4x﹣1）＞f（3），
∴4x﹣1＜3，解得x＜1，
∴x的取值范围是（﹣∞，1）．
故选：D．
【点评】本题考查了指数函数的单调性，减函数的定义，考查了计算能力，属于基础题．
8．设函数f（x）x﹣lnx（x＞0），则y＝f（x）（ ）
A．在区间（，1），（1，e）内均有零点
B．在区间（，1），（1，e）内均无零点
C．在区间（，1）内有零点，在区间（1，e）内无零点
D．在区间（，1）内无零点，在区间（1，e）内有零点
【答案】D
【分析】先对函数f（x）进行求导，再根据导函数的正负情况判断原函数的增减性可得答案．
【解答】解：由题得f′（x），令f′（x）＞0得x＞3；
令f′（x）＜0得0＜x＜3；f′（x）＝0得x＝3，
故知函数f（x）在区间（0，3）上为减函数，在区间（3，+∞）为增函数，
在点x＝3处有极小值1﹣ln3＜0；
又f（1）0，f（e）1＜0，f（）1＞0，
故选：D．
【点评】本题主要考查导函数的增减性与原函数的单调性之间的关系．即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．
二、填空题
9．若曲线y＝ln（﹣x）上点P处的切线平行于直线2x+y+1＝0，则点P的坐标是 （，﹣ln2） ．
【答案】见试题解答内容
【分析】先设P（x，y），对函数求导，由在点P处的切线与直线2x+y+1＝0平行，即斜率相等，求出x，最后求出y．
【解答】解：设P（x，y），则y＝ln（﹣x），
∵y′，在点P处的切线与直线2x+y+1＝0平行，
令2，解得x，
∴y＝ln（﹣x）＝﹣ln2，
故P（，﹣ln2）．
故答案为：（，﹣ln2）．
【点评】本题考查了导数的几何意义，即点P处的切线的斜率是该点处的导数值，以及切点在曲线上和切线上的应用．
10．已知a＜0，函数f（x）＝ax3lnx，且f'（1）的值为﹣12，则实数a的值为 ．
【答案】．
【分析】求出导函数f′（x），然后根据f′（1）＝﹣12即可建立关于a的方程，根据a＜0解出a的值即可．
【解答】解：∵，
∴，且a＜0，解得．
故答案为：．
【点评】本题考查了基本初等函数的求导公式，已知函数求值的方法，考查了计算能力，属于基础题．
11．若曲线y＝ax+lnx在点（1，a）处的切线方程为y＝2x+b，则b＝ ﹣1 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】求出函数的导数，求出切线的斜率，再由切线方程得到斜率，解方程求得a＝1，再代入切线方程，得到b．
【解答】解：y＝ax+lnx的导数为y′＝a，
则在点（1，a）处的切线斜率为a+1，
由于在点（1，a）处的切线方程为y＝2x+b，
则有a+1＝2，即a＝1，
则1＝2+b，
解得b＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处的切线的斜率，考查运算能力，属于基础题．
12．定义在（0，+∞）上的函数f（x），其导函数为f'（x），若xf'（x）﹣f（x）＜0，且f（2）＝2，则不等式f（x）＞x的解集是 （0，2） ．
【答案】（0，2）．
【分析】令（x＞0），依题意，得g（x）在（0，+∞）上单调递减；f（x）＞x 1g（2），利用g（x）在（0，+∞）单调递减的性质，脱“g”可得答案．
【解答】解：令（x＞0），
∵当x＞0时，xf'（x）﹣f（x）＜0，
∴当x＞0时，g′（x）0，
∴g（x）在（0，+∞）上单调递减；
又f（2）＝2，
∴当x＞0时，f（x）＞x 1g（2），
解得0＜x＜2；
∴f（x）＞x的解集为（0，2），
故答案为：（0，2）．
【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查等价转化思想与分类讨论思想、构造法的应用，考查运算能力，属于中档题．
三、多选题
（多选）13．直线能作为下列函数图象的切线的有（ ）
A． B．f（x）＝x4 C．f（x）＝sinx D．f（x）＝ex
【答案】BCD
【分析】先求出函数的导函数，然后根据直线yx+b能作为下列函数图象的切线，根据导数与切线斜率的关系建立等式，看是否成立即可．
【解答】解：函数，可得f′（x）不成立；所以A不正确；
f（x）＝x4，f′（x）＝4x3可以成立；所以B正确；
f（x）＝sinx，f′（x）＝cosx，可以成立；所以C正确；
f（x）＝ex，f（x）＝ex可成立．所以D正确；
故直线yx+b能作为BCD函数图象的切线，
故选：BCD．
【点评】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，关键利用导数与切线斜率的关系，属于基础题．
（多选）14．已知f（x）是奇函数，当x＞0时，f'（x）﹣f（x）＞1，f（1）＝3，则（ ）
A．f（4）＞ef（3） B．f（﹣4）＞e2f（﹣2）
C．f（4）＞4e3﹣1 D．f（﹣4）＜﹣4e2﹣1
【答案】ACD
【分析】根据题意，设g（x），求出其导数，分析可得g（x）在区间（0，+∞）上为增函数，据此依次分析选项是否正确，即可得答案．
【解答】解：根据题意，设g（x），
其导数g′（x），
又由当x＞0时，f'（x）﹣f（x）＞1，即f'（x）﹣f（x）﹣1＞0，
则当x＞0时，有g′（x）＞0，
即g（x）在区间（0，+∞）上为增函数，
依次分析选项：
对于A，g（x）在区间（0，+∞）上为增函数，有g（4）＞g（3），即，
变形可得f（4）+1＞ef（3）+e，
则有f（4）＞ef（3）+e﹣1＞ef（3），A正确，
对于B，g（x）在区间（0，+∞）上为增函数，有g（4）＞g（2），即，
变形可得f（4）+1＞e2f（2）+e2，即﹣f（﹣4）+1＞﹣e2f（﹣2）+e2，
则有f（﹣4）＜﹣f（2）+1﹣e2，B错误，
对于C，g（x）在区间（0，+∞）上为增函数，有g（4）＞g（1），
即，
变形可得f（4）＞4e3﹣1，C正确，
对于D，由C的结论，f（4）＞4e3﹣1，即﹣f（﹣4）＞4e3﹣1，变形可得f（﹣4）＜1﹣4e3，
而（1﹣4e3）﹣（﹣4e2﹣1）＝2﹣4e3+4e2＝2﹣4e2（e﹣1）＜0，
则有f（﹣4）＜1﹣4e3＜﹣4e2﹣1，D正确；
故选：ACD．
【点评】本题考查利用导数分析函数的单调性，注意构造新函数，涉及函数单调性、奇偶性的综合应用，属于难题．
四、解答题
15．已知函数f（x）＝2x3﹣3（a+1）x2+6ax+8，其中a∈R，已知f（x）在x＝3处取得极值．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）在点A（1，f（1））处切线的方程．
【答案】（1）f（x）＝2x3﹣12x2+18x+8；（2）y﹣16＝0．
【分析】（1）由题得f′（3）＝0，解方程即得a＝3，检验即得解；
（2）利用导数求出切线的斜率，求出切点坐标即得切线方程．
【解答】解：（1）∵f（x）＝2x3﹣3（a+1）x2+6ax+8，
∴f'（x）＝6x2﹣6（a+1）x+6a＝6（x﹣a）（x﹣1），
而f（x）在x＝3处取得极值，故f′（3）＝0，得a＝3，
经检验，当a＝3时，f（x）在x＝3处取得极值，
所以f（x）＝2x3﹣12x2+18x+8．
（2）由（1）得，f'（x）＝6（x﹣3）（x﹣1），
所以切线的斜率k＝f'（1）＝0，而f（1）＝16，
所以切线的方程为y﹣16＝0．
【点评】本题主要考查利用导数研究函数的极值问题，考查导数的几何意义求切线方程，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题．
16．已知函数f（x）＝x2+alnx．
（1）当a＝﹣2时，求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）若在[1，+∞）上是单调增函数，求实数a的取值范围．
【答案】（1）y＝1；（2）a≥0．
【分析】（1）代入a的值，计算f（1），f′（1），求出切线方程即可；
（2）问题转化为在[1，+∞）上恒成立，结合在[1，+∞）上为单调递减函数，求出a的范围即可．
【解答】解：（1）a＝﹣2时，f（x）＝x2﹣2lnx，f′（x）＝2x，
则f（1）＝1，f′（1）＝0，故切线方程是：y﹣1＝0，即y＝1；
（2）因为在[1，+∞）上是单调增函数，
所以0在[1，+∞）上恒成立，
即在[1，+∞）上恒成立，
因为在[1，+∞）上为单调递减函数，
所以当x＝1时，取得最大值0，
所以a≥0．
【点评】本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性，函数恒成立问题，考查导数的应用，是中档题．
17．已知函数f（x）＝sinx+ln（1+x）．证明：
（1）f（x）在区间（0，π）存在唯一极大值点；
（2）f（x）有且仅有1个零点．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）先求出其导函数，结合导函数值的正负即可得到结论；
（2）分段判断导函数值的正负，进而得到原函数的大致图象走势即可得到证明．
【解答】证明：函数f（x）的定义域为（﹣1，+∞）
（1）由题可得，；
当x∈（0，π）时，f''（x）＜0
所以f'（x）在区间（0，π）上单调递减；
，，
所以f'（x）在区间内有唯一零点x0；
当x∈（0，x0）时，f'（x）＞0，当x∈（x0，π）时，f'（x）＜0，
所以f（x）在区间（0，π）存在唯一极大值点．
（2）当时，f'（x）＞0，f（x）在区间上单调递增；
因f（0）＝0，所以存在零点x＝0；
当时，f（x）＝sinx+ln（1+x）≥ln（1+x）＞0；
当x∈[π，+∞）时，f（x）＝sinx+ln（1+x）≥ln（1+π）﹣1＞0；
所以f（x）有且仅有1个零点．
【点评】本题主要考查函数极值的判断以及零点个数问题的判断，利用函数极值和导数之间的关系是解决本题的关键．
18．已知函数f（x）＝lnx．
（1）讨论f（x）的单调性，并证明f（x）有且仅有两个零点；
（2）设x0是f（x）的一个零点，证明曲线y＝lnx在点A（x0，lnx0）处的切线也是曲线y＝ex的切线．
【答案】（1）函数f（x）在（0，1）和（1，+∞）上是单调增函数，证明见解析；（2）证明见解析．
【分析】（1）对函数f（x）求导，结合定义域，判断函数的单调性；
（2）先求出曲线y＝lnx在A（x0，lnx0）处的切线l，然后求出当曲线y＝ex切线的斜率与l斜率相等时，证明曲线y＝ex切线l在纵轴上的截距与l在纵轴的截距相等即可．
【解答】证明：（1）函数f（x）的定义域为（0，1）∪（1，+∞），
f′（x），因为函数f（x）的定义域为（0，1）∪（1，+∞），
所以f′（x）＞0，因此函数f（x）在（1，1）和（1，+∞）上是单调增函数；
当x∈（0，1）时，x→0，y→﹣∞，而f（）＝ln0，
显然当x∈（0，1），函数f（x）有零点，
而函数f（x）在（0，1）上单调递增，故当x∈（0，1）时，函数f（x）有唯一的零点；
当x∈（1，+∞）时，f（e）＝lne0，f（e2）＝lne20，
因为f（e）f（e2）＜0，所以函数f（x）在（e，e2）必有一零点，
而函数f（x）在（1，+∞）上是单调递增，故当x∈（1，+∞）时，函数f（x）有唯一的零点，
综上所述，函数f（x）的定义域（0，1）∪（1，+∞）内有2个零点；
（2）因为x0是f（x）的一个零点，所以f（x0）＝lnx00 lnx0，
y＝lnx，y′，所以曲线y＝lnx在A（x0，lnx0）处的切线l的斜率k，
故曲线y＝lnx在A（x0，lnx0）处的切线l的方程为：y﹣lnx0（x﹣x0），
而lnx0，所以l的方程为y，它在纵轴的截距为．
设曲线y＝ex的切点为B（x1，），过切点B（x1，）为切线l′，
y＝ex，y′＝ex，所以在B（x1，）处的切线l′的斜率为，
因此切线l′的方程为yx（1﹣x1），
当切线l′的斜率k1等于直线l的斜率k时，即 x1＝﹣lnx0，
切线l′在纵轴的截距为b1（1﹣x1）（1+lnx0）（（1+lnx0），
而lnx0，所以b1（1），
直线l，l′的斜率相等，在纵轴上的截距也相等，
因此直线l，l′重合，故曲线y＝lnx在A（x0，lnx0）处的切线也是曲线y＝ex的切线．
【点评】本题考查了利用导数求已知函数的单调性、考查了曲线的切线方程，考查了数学运算能力．
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