第六章 计数原理（单元测试（含解析））-2025-2026学年人教A版（2019）高中数学选择性必修第三册
文档属性
| 名称 | 第六章 计数原理（单元测试（含解析））-2025-2026学年人教A版（2019）高中数学选择性必修第三册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 115.0KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-09-12 18:40:34 | ||
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文档简介
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第六章 计数原理
一、选择题
1．若，则n的值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
2．按照四川省疫情防控的统一安排部署，2021年国庆期间继续对某区12周岁及以上人群全面开展免费新冠疫苗接种工作．该区设置有A，B，C三个接种点位，市民可以随机选择去任何一个点位接种，同时每个点位备有北京科兴与成都生物两种灭活新冠疫苗供市民选择，且只能选择一种．那么在这期间该区有接种意愿的人，完成一次疫苗接种的安排方法共有（ ）
A．5种 B．6种 C．8种 D．9种
3．已知（ax）5的展开式中各项系数之和为243，则实数a的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．﹣2
4．公元五世纪，数学家祖冲之估计圆周率π的值的范围：3.1415926＜π＜3.1415927，为纪念祖冲之在圆周率的成就，把3.1415926称为“祖率”，这是中国数学的伟大成就．某小学教师为帮助同学们了解“祖率”，让同学们把小数点后的7位数字1，4，1，5，9，2，6进行随机排列，整数部分3不变，那么可以得到小于3.14的不同数字的个数有（ ）
A．240 B．360 C．600 D．720
二、填空题
5．第24届冬奥会将于2022年2月4日～20日在北京——张家口举行，某大学从7名志愿者中选出4人分别从事对外联络、场馆运行、文化展示、赛会综合这四项服务中的某一项工作，则不同的选派方案共有 种．
6．某数学兴趣小组用纸板制作正方体教具，现给图中的正方体展开图的六个区域涂色，有红、橙、黄、绿四种颜色可选，要求制作出的正方体相邻面所涂颜色均不同，共有 种不同的涂色方法．
三、多选题
（多选）7．现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加2022年杭州亚运会志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，则以下说法错误的是（ ）
A．若每人都安排一项工作，则不同的方法数为54
B．若每项工作至少有1人参加，则不同的方法数为
C．每项工作至少有1人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是
D．如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排1人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为（）
（多选）8．设（2x+1）6＝a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+ +a6（x+1）6，下列结论正确的是（ ）
A．a0﹣a1+a2 ﹣a5+a6＝36
B．a2+a3＝100
C．a1，a2，a3， ，a6中最大的是a2
D．当x＝999时，（2x+1）6除以2000的余数是1
四、解答题
9．用1，5，9，13中的任意一个数作分子，4，8，12，16中任意一个数作分母，可构成多少个不同的分数？可构成多少个不同的真分数？
10．现从甲、乙、丙、丁、戊、己6人中选4人参加4×100米接力赛，在下列条件下，各有多少种不同的排法？
（1）甲、乙两人都被选中且必须跑中间两棒；
（2）甲、乙两人只有1人被选中且不能跑最后一棒．
11．列式并计算数值．
从A，B，C等8人中选出5人排成一排．
（1）A必须在内，有多少种排法？
（2）A，B，C三人不全在内，有多少种排法？
（3）A，B，C都在内，且A，B必须相邻，C与A，B都不相邻，有多少种排法？
（4）A不允许站排头和排尾，B不允许站在中间（第三位），有多少种排法？
12．已知f（x）＝（x+2）n，n∈N*．
（1）设f（x）＝a0+a1x+a2x2+…+anxn，
①求a0+a1+a2+…+an；
②若在a0，a1，a2，…，an中，唯一的最大的数是a4，试求n的值；
（2）设f（x）＝b0+b1（x+1）+b2（x+1）2+…+bn（x+1）n，求．
第六章 计数原理
参考答案与试题解析
一、选择题
1．若，则n的值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【分析】直接利用排列数和组合数公式求解即可．
【解答】解：由题意可得n（n﹣1）＝30，即n2﹣n﹣20＝0，
解得n＝5或n＝﹣4（舍去），
故选：B．
【点评】本题主要考查了排列数和组合数公式的运用，是基础题．
2．按照四川省疫情防控的统一安排部署，2021年国庆期间继续对某区12周岁及以上人群全面开展免费新冠疫苗接种工作．该区设置有A，B，C三个接种点位，市民可以随机选择去任何一个点位接种，同时每个点位备有北京科兴与成都生物两种灭活新冠疫苗供市民选择，且只能选择一种．那么在这期间该区有接种意愿的人，完成一次疫苗接种的安排方法共有（ ）
A．5种 B．6种 C．8种 D．9种
【答案】B
【分析】利用分步计数原理求解即可．
【解答】解：第一步选择接种点位，有3种选择；
第二步选择疫苗，有2种选择，
由分步计数原理可得，共有3×2＝6种安排方法．
故选：B．
【点评】本题考查了分步计数原理的理解与应用，属于基础题．
3．已知（ax）5的展开式中各项系数之和为243，则实数a的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．﹣2
【答案】B
【分析】令x＝1，可得展开式中各项系数之和为 （a+1）5＝243，由此求得a的值．
【解答】解：∵（ax）5的展开式中各项系数之和为 （a+1）5＝243，
则实数a＝2，
故选：B．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的x赋值，求展开式的系数和，属于基础题．
4．公元五世纪，数学家祖冲之估计圆周率π的值的范围：3.1415926＜π＜3.1415927，为纪念祖冲之在圆周率的成就，把3.1415926称为“祖率”，这是中国数学的伟大成就．某小学教师为帮助同学们了解“祖率”，让同学们把小数点后的7位数字1，4，1，5，9，2，6进行随机排列，整数部分3不变，那么可以得到小于3.14的不同数字的个数有（ ）
A．240 B．360 C．600 D．720
【答案】A
【分析】分为3.11开头的以及3.12开头的，分别计算得出结果，根据分类加法计数原理加起来，即可得出答案．
【解答】解：小于3.14的不同数字的个数有两类：
第一类：3.11开头的，剩余5个数字全排列有种；
第二类：3.12开头的，剩余5个数字全排列有种．
根据分类加法计数原理可知，共120+120＝240种．
故选：A．
【点评】本题主要考查了排列组合知识，考查了分类加法计数原理的应用，属于基础题．
二、填空题
5．第24届冬奥会将于2022年2月4日～20日在北京——张家口举行，某大学从7名志愿者中选出4人分别从事对外联络、场馆运行、文化展示、赛会综合这四项服务中的某一项工作，则不同的选派方案共有 840 种．
【答案】840．
【分析】显然，这是一个从7个不同元素中任意选出4个不同元素的排列数问题，结合公式容易求解．
【解答】解：由已知得：不同的选派方案共有840（种）．
故答案为：840．
【点评】本题考查排列数公式的应用，属于基础题．
6．某数学兴趣小组用纸板制作正方体教具，现给图中的正方体展开图的六个区域涂色，有红、橙、黄、绿四种颜色可选，要求制作出的正方体相邻面所涂颜色均不同，共有 96 种不同的涂色方法．
【答案】96．
【分析】先涂A，再分C与F同色、C与F不同色两种情况讨论，利用分步、分类计数原理计算可得．
【解答】解：如图，还原回正方体后，D、B为正方体前后两个对面，A、E为左右两个对面，F、C为上下两个对面，
先涂A有4种涂法，
当C与F同色，再涂C有3种涂法，
若D与B同色，则有2种涂法，最后涂E有2种涂法，
若D与B不同色，则有种涂法，最后涂E有1种涂法，
则有种涂法；
当C与F不同色，则涂C有3种涂法，涂F有2种涂法，此时D与B必同色且只有一种涂法，E也只有1种涂法，
则有4×3×2×1×1＝24，
综上可得一共有72+24＝96种涂法．
故答案为：96．
【点评】本题考查了分步、分类计数原理，属于基础题．
三、多选题
（多选）7．现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加2022年杭州亚运会志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，则以下说法错误的是（ ）
A．若每人都安排一项工作，则不同的方法数为54
B．若每项工作至少有1人参加，则不同的方法数为
C．每项工作至少有1人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是
D．如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排1人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为（）
【答案】ABD
【分析】根据题意，依次分析选项是否正确，综合可得答案．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，安排5人参加4项工作，若每人都安排一项工作，每人有4种安排方法，则有45种安排方法，A错误；
对于B，根据题意，分2步进行分析：先将5人分为4组，再将分好的4组全排列，安排4项工作，有种安排方法，B错误；
对于C，根据题意，分2种情况讨论：①从丙，丁，戊中选出2人开车，②从丙，丁，戊中选出1人开车，则有种安排方法，C正确；
对于D，分2步分析：需要先将5人分为3组，有（）种分组方法，将分好的三组安排翻译、导游、礼仪三项工作，有种情况，
则有（）种安排方法，D错误；
故选：ABD．
【点评】本题考查排列组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，属于基础题．
（多选）8．设（2x+1）6＝a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+ +a6（x+1）6，下列结论正确的是（ ）
A．a0﹣a1+a2 ﹣a5+a6＝36
B．a2+a3＝100
C．a1，a2，a3， ，a6中最大的是a2
D．当x＝999时，（2x+1）6除以2000的余数是1
【答案】AD
【分析】将已知等式转化为（2x+1）6＝[2（x+1）﹣1]6＝[1﹣2（x+1）]6＝a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+ +a6（x+1）6，利用二项展开式的通项公式可求得a1，a2，a3， ，a6，再逐项判断即可求解．
【解答】解：由（2x+1）6＝[2（x+1）﹣1]6＝[1﹣2（x+1）]6＝a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+ +a6（x+1）6，
得a0，a1＝﹣2，a2＝22，a3＝﹣23，a4＝24，a5＝﹣25，a6＝26，
所以a0﹣a1+a2 ﹣a5+a622226（1+2）6＝36，故A正确；
a2+a3＝2223100，故B错误；
a1，a2，a3， ，a6中最大的是a4，故C错误；
当x＝999时，x+1＝1000，a1（x+1），a2（x+1）2， ，a6（x+1）6都能被2000整除，
而a01，所以（2x+1）6除以2000的余数是1，故D正确．
故选：AD．
【点评】本题考查了二项式定理，将已知等式转化为（2x+1）6＝[2（x+1）﹣1]6＝[1﹣2（x+1）]6＝a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+ +a6（x+1）6是解题的关键，属于中档题
四、解答题
9．用1，5，9，13中的任意一个数作分子，4，8，12，16中任意一个数作分母，可构成多少个不同的分数？可构成多少个不同的真分数？
【答案】见试题解答内容
【分析】根据题意，对于分数的数目，分析分子、分母的选法数目，由分步计数原理计算可得答案，对于真分数数目，对分子分情况讨论，求出每种情况下真分数的数目，由加法原理计算可得答案．
【解答】解：根据题意，从1，5，9，13中的任意一个数作分子，有4种选法；从4，8，12，16中任意一个数作分母，有4种选法，
则可以组成4×4＝16个分数，
根据真分数的定义，
当分子为1时，分母有4种选择，
当分子为5时，分母有3种选择，
当分子为9时，分母有2种选择，
当分子为13时，分母有1种选择，
根据分类计数原理得真分数有，4+3+2+1＝10种，
【点评】本题考查排列、组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，属于基础题．
10．现从甲、乙、丙、丁、戊、己6人中选4人参加4×100米接力赛，在下列条件下，各有多少种不同的排法？
（1）甲、乙两人都被选中且必须跑中间两棒；
（2）甲、乙两人只有1人被选中且不能跑最后一棒．
【答案】（1）24；
（2）144．
【分析】（1）把甲、乙两人安排在第二和第三棒，再从丙、丁、戊、己中选两人，排在第一和第四棒即可；
（2）先从甲、乙两人中选1人排在除第四棒外的任何一棒，然后从丙、丁、戊、己中选3人排在其它棒即可．
【解答】解：（1）由题意得把甲、乙两人安排在第二和第三棒，有种方法，
然后从丙、丁、戊、己中选两人，排在第一和第四棒，有种方法，
由分步乘法原理可知共有种排法；
（2）由题意得先从甲、乙两人中选1人排在除第四棒外的任何一棒，有种方法，
然后从丙、丁、戊、己中选3人排在其它棒，有种方法，
由分步乘法原理可知共有种排法．
【点评】本题考查排列组合相关知识，属于基础题．
11．列式并计算数值．
从A，B，C等8人中选出5人排成一排．
（1）A必须在内，有多少种排法？
（2）A，B，C三人不全在内，有多少种排法？
（3）A，B，C都在内，且A，B必须相邻，C与A，B都不相邻，有多少种排法？
（4）A不允许站排头和排尾，B不允许站在中间（第三位），有多少种排法？
【答案】（1）4200种，
（2）5520，
（3）240，
（4）4440，
【分析】（1）根据题意，先在除A之外的7人中选出4人，再与A一起进行全排列，由分步计数原理计算可得答案，
（2）根据题意，先在8人中任选5人，要求A，B，C三人不全在内，再将选出的5人排成一排，由分步计数原理计算可得答案，
（3）根据题意，分3步进行分析：①先在除A，B，C之外的5人中任选2人，排成一排，②2人排好后，有3个空位，将AB看成一个整体，按排其中一个空位，③在剩下的2个空位中任选1个安排C，由分步计数原理计算可得答案，
（4）根据题意，分2种情况讨论：①将B安排在排头或排尾，②没有将B安排在排头或排尾，求出每种情况的安排方法数目，由加法原理计算可得答案．
【解答】解：（1）根据题意，先在除A之外的7人中选出4人，再与A一起进行全排列，有4200种排法，
（2）根据题意，先在8人中任选5人，要求A，B，C三人不全在内，有46种选法，
再将选出的5人排成一排，有120种顺序，
则有46×120＝5520种排法，
（3）根据题意，分3步进行分析：
①先在除A，B，C之外的5人中任选2人，排成一排，有20种情况，
②2人排好后，有3个空位，将AB看成一个整体，按排其中一个空位，有36种情况，
③在剩下的2个空位中任选1个安排C，有2种情况，
有20×6×2＝240种不同的排法，
（4）根据题意，分2种情况讨论：
①将B安排在排头或排尾，在除AB之外的其余6人中选出1人，与B安排在排头和排尾，再从剩下的6人中选出3人，安排在中间3个位置，
有21440种排法，
②没有将B安排在排头或排尾，在除AB之外的其余6人中选出2人，安排在排头和排尾，中间有5种安排方法，再从剩下的5人中选出2人，安排在其他2个位置，
有53000种排法，
则有1440+3000＝4440种不同的排法．
【点评】本题考查排列组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，属于基础题．
12．已知f（x）＝（x+2）n，n∈N*．
（1）设f（x）＝a0+a1x+a2x2+…+anxn，
①求a0+a1+a2+…+an；
②若在a0，a1，a2，…，an中，唯一的最大的数是a4，试求n的值；
（2）设f（x）＝b0+b1（x+1）+b2（x+1）2+…+bn（x+1）n，求．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）①可令x＝1，代入计算可得所求和；②可得f（x）＝（x+2）n＝（2+x）n的通项公式，ar最大即为ar≥ar﹣1，且ar≥ar+1，化简计算，结合不等式的解，可得所求值；
（2）由f（x）＝[1+（x+1）]n，可得br，r＝0，1，…，n，推得，再由二项式定理，计算可得所求和．
【解答】解：（1）①由（x+2）n＝a0+a1x+a2x2+…+anxn，
可令x＝1，可得3n＝a0+a1+a2+…+an，
即a0+a1+a2+…+an＝3n；
②f（x）＝（x+2）n＝（2+x）n，
可得ar2n﹣rxr，r＝0，1，…，n，
若在a0，a1，a2，…，an中，ar最大，
可得，即为，
化为，由于r＝4时为a4唯一的最大值，
可得n＝12，13；
（2）由f（x）＝b0+b1（x+1）+b2（x+1）2+…+bn（x+1）n，
且f（x）＝[1+（x+1）]n，可得br，r＝0，1，…，n，
则，
由 ，
则（）（2n+1﹣2﹣n）．
【点评】本题考查二项式定理和通项公式的运用，注意赋值法和最大项的求法，考查化简变形和运算求解能力、推理能力，属于中档题．
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第六章 计数原理
一、选择题
1．若，则n的值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
2．按照四川省疫情防控的统一安排部署，2021年国庆期间继续对某区12周岁及以上人群全面开展免费新冠疫苗接种工作．该区设置有A，B，C三个接种点位，市民可以随机选择去任何一个点位接种，同时每个点位备有北京科兴与成都生物两种灭活新冠疫苗供市民选择，且只能选择一种．那么在这期间该区有接种意愿的人，完成一次疫苗接种的安排方法共有（ ）
A．5种 B．6种 C．8种 D．9种
3．已知（ax）5的展开式中各项系数之和为243，则实数a的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．﹣2
4．公元五世纪，数学家祖冲之估计圆周率π的值的范围：3.1415926＜π＜3.1415927，为纪念祖冲之在圆周率的成就，把3.1415926称为“祖率”，这是中国数学的伟大成就．某小学教师为帮助同学们了解“祖率”，让同学们把小数点后的7位数字1，4，1，5，9，2，6进行随机排列，整数部分3不变，那么可以得到小于3.14的不同数字的个数有（ ）
A．240 B．360 C．600 D．720
二、填空题
5．第24届冬奥会将于2022年2月4日～20日在北京——张家口举行，某大学从7名志愿者中选出4人分别从事对外联络、场馆运行、文化展示、赛会综合这四项服务中的某一项工作，则不同的选派方案共有 种．
6．某数学兴趣小组用纸板制作正方体教具，现给图中的正方体展开图的六个区域涂色，有红、橙、黄、绿四种颜色可选，要求制作出的正方体相邻面所涂颜色均不同，共有 种不同的涂色方法．
三、多选题
（多选）7．现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加2022年杭州亚运会志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，则以下说法错误的是（ ）
A．若每人都安排一项工作，则不同的方法数为54
B．若每项工作至少有1人参加，则不同的方法数为
C．每项工作至少有1人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是
D．如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排1人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为（）
（多选）8．设（2x+1）6＝a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+ +a6（x+1）6，下列结论正确的是（ ）
A．a0﹣a1+a2 ﹣a5+a6＝36
B．a2+a3＝100
C．a1，a2，a3， ，a6中最大的是a2
D．当x＝999时，（2x+1）6除以2000的余数是1
四、解答题
9．用1，5，9，13中的任意一个数作分子，4，8，12，16中任意一个数作分母，可构成多少个不同的分数？可构成多少个不同的真分数？
10．现从甲、乙、丙、丁、戊、己6人中选4人参加4×100米接力赛，在下列条件下，各有多少种不同的排法？
（1）甲、乙两人都被选中且必须跑中间两棒；
（2）甲、乙两人只有1人被选中且不能跑最后一棒．
11．列式并计算数值．
从A，B，C等8人中选出5人排成一排．
（1）A必须在内，有多少种排法？
（2）A，B，C三人不全在内，有多少种排法？
（3）A，B，C都在内，且A，B必须相邻，C与A，B都不相邻，有多少种排法？
（4）A不允许站排头和排尾，B不允许站在中间（第三位），有多少种排法？
12．已知f（x）＝（x+2）n，n∈N*．
（1）设f（x）＝a0+a1x+a2x2+…+anxn，
①求a0+a1+a2+…+an；
②若在a0，a1，a2，…，an中，唯一的最大的数是a4，试求n的值；
（2）设f（x）＝b0+b1（x+1）+b2（x+1）2+…+bn（x+1）n，求．
第六章 计数原理
参考答案与试题解析
一、选择题
1．若，则n的值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【分析】直接利用排列数和组合数公式求解即可．
【解答】解：由题意可得n（n﹣1）＝30，即n2﹣n﹣20＝0，
解得n＝5或n＝﹣4（舍去），
故选：B．
【点评】本题主要考查了排列数和组合数公式的运用，是基础题．
2．按照四川省疫情防控的统一安排部署，2021年国庆期间继续对某区12周岁及以上人群全面开展免费新冠疫苗接种工作．该区设置有A，B，C三个接种点位，市民可以随机选择去任何一个点位接种，同时每个点位备有北京科兴与成都生物两种灭活新冠疫苗供市民选择，且只能选择一种．那么在这期间该区有接种意愿的人，完成一次疫苗接种的安排方法共有（ ）
A．5种 B．6种 C．8种 D．9种
【答案】B
【分析】利用分步计数原理求解即可．
【解答】解：第一步选择接种点位，有3种选择；
第二步选择疫苗，有2种选择，
由分步计数原理可得，共有3×2＝6种安排方法．
故选：B．
【点评】本题考查了分步计数原理的理解与应用，属于基础题．
3．已知（ax）5的展开式中各项系数之和为243，则实数a的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．﹣2
【答案】B
【分析】令x＝1，可得展开式中各项系数之和为 （a+1）5＝243，由此求得a的值．
【解答】解：∵（ax）5的展开式中各项系数之和为 （a+1）5＝243，
则实数a＝2，
故选：B．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的x赋值，求展开式的系数和，属于基础题．
4．公元五世纪，数学家祖冲之估计圆周率π的值的范围：3.1415926＜π＜3.1415927，为纪念祖冲之在圆周率的成就，把3.1415926称为“祖率”，这是中国数学的伟大成就．某小学教师为帮助同学们了解“祖率”，让同学们把小数点后的7位数字1，4，1，5，9，2，6进行随机排列，整数部分3不变，那么可以得到小于3.14的不同数字的个数有（ ）
A．240 B．360 C．600 D．720
【答案】A
【分析】分为3.11开头的以及3.12开头的，分别计算得出结果，根据分类加法计数原理加起来，即可得出答案．
【解答】解：小于3.14的不同数字的个数有两类：
第一类：3.11开头的，剩余5个数字全排列有种；
第二类：3.12开头的，剩余5个数字全排列有种．
根据分类加法计数原理可知，共120+120＝240种．
故选：A．
【点评】本题主要考查了排列组合知识，考查了分类加法计数原理的应用，属于基础题．
二、填空题
5．第24届冬奥会将于2022年2月4日～20日在北京——张家口举行，某大学从7名志愿者中选出4人分别从事对外联络、场馆运行、文化展示、赛会综合这四项服务中的某一项工作，则不同的选派方案共有 840 种．
【答案】840．
【分析】显然，这是一个从7个不同元素中任意选出4个不同元素的排列数问题，结合公式容易求解．
【解答】解：由已知得：不同的选派方案共有840（种）．
故答案为：840．
【点评】本题考查排列数公式的应用，属于基础题．
6．某数学兴趣小组用纸板制作正方体教具，现给图中的正方体展开图的六个区域涂色，有红、橙、黄、绿四种颜色可选，要求制作出的正方体相邻面所涂颜色均不同，共有 96 种不同的涂色方法．
【答案】96．
【分析】先涂A，再分C与F同色、C与F不同色两种情况讨论，利用分步、分类计数原理计算可得．
【解答】解：如图，还原回正方体后，D、B为正方体前后两个对面，A、E为左右两个对面，F、C为上下两个对面，
先涂A有4种涂法，
当C与F同色，再涂C有3种涂法，
若D与B同色，则有2种涂法，最后涂E有2种涂法，
若D与B不同色，则有种涂法，最后涂E有1种涂法，
则有种涂法；
当C与F不同色，则涂C有3种涂法，涂F有2种涂法，此时D与B必同色且只有一种涂法，E也只有1种涂法，
则有4×3×2×1×1＝24，
综上可得一共有72+24＝96种涂法．
故答案为：96．
【点评】本题考查了分步、分类计数原理，属于基础题．
三、多选题
（多选）7．现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加2022年杭州亚运会志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，则以下说法错误的是（ ）
A．若每人都安排一项工作，则不同的方法数为54
B．若每项工作至少有1人参加，则不同的方法数为
C．每项工作至少有1人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是
D．如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排1人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为（）
【答案】ABD
【分析】根据题意，依次分析选项是否正确，综合可得答案．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，安排5人参加4项工作，若每人都安排一项工作，每人有4种安排方法，则有45种安排方法，A错误；
对于B，根据题意，分2步进行分析：先将5人分为4组，再将分好的4组全排列，安排4项工作，有种安排方法，B错误；
对于C，根据题意，分2种情况讨论：①从丙，丁，戊中选出2人开车，②从丙，丁，戊中选出1人开车，则有种安排方法，C正确；
对于D，分2步分析：需要先将5人分为3组，有（）种分组方法，将分好的三组安排翻译、导游、礼仪三项工作，有种情况，
则有（）种安排方法，D错误；
故选：ABD．
【点评】本题考查排列组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，属于基础题．
（多选）8．设（2x+1）6＝a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+ +a6（x+1）6，下列结论正确的是（ ）
A．a0﹣a1+a2 ﹣a5+a6＝36
B．a2+a3＝100
C．a1，a2，a3， ，a6中最大的是a2
D．当x＝999时，（2x+1）6除以2000的余数是1
【答案】AD
【分析】将已知等式转化为（2x+1）6＝[2（x+1）﹣1]6＝[1﹣2（x+1）]6＝a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+ +a6（x+1）6，利用二项展开式的通项公式可求得a1，a2，a3， ，a6，再逐项判断即可求解．
【解答】解：由（2x+1）6＝[2（x+1）﹣1]6＝[1﹣2（x+1）]6＝a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+ +a6（x+1）6，
得a0，a1＝﹣2，a2＝22，a3＝﹣23，a4＝24，a5＝﹣25，a6＝26，
所以a0﹣a1+a2 ﹣a5+a622226（1+2）6＝36，故A正确；
a2+a3＝2223100，故B错误；
a1，a2，a3， ，a6中最大的是a4，故C错误；
当x＝999时，x+1＝1000，a1（x+1），a2（x+1）2， ，a6（x+1）6都能被2000整除，
而a01，所以（2x+1）6除以2000的余数是1，故D正确．
故选：AD．
【点评】本题考查了二项式定理，将已知等式转化为（2x+1）6＝[2（x+1）﹣1]6＝[1﹣2（x+1）]6＝a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+ +a6（x+1）6是解题的关键，属于中档题
四、解答题
9．用1，5，9，13中的任意一个数作分子，4，8，12，16中任意一个数作分母，可构成多少个不同的分数？可构成多少个不同的真分数？
【答案】见试题解答内容
【分析】根据题意，对于分数的数目，分析分子、分母的选法数目，由分步计数原理计算可得答案，对于真分数数目，对分子分情况讨论，求出每种情况下真分数的数目，由加法原理计算可得答案．
【解答】解：根据题意，从1，5，9，13中的任意一个数作分子，有4种选法；从4，8，12，16中任意一个数作分母，有4种选法，
则可以组成4×4＝16个分数，
根据真分数的定义，
当分子为1时，分母有4种选择，
当分子为5时，分母有3种选择，
当分子为9时，分母有2种选择，
当分子为13时，分母有1种选择，
根据分类计数原理得真分数有，4+3+2+1＝10种，
【点评】本题考查排列、组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，属于基础题．
10．现从甲、乙、丙、丁、戊、己6人中选4人参加4×100米接力赛，在下列条件下，各有多少种不同的排法？
（1）甲、乙两人都被选中且必须跑中间两棒；
（2）甲、乙两人只有1人被选中且不能跑最后一棒．
【答案】（1）24；
（2）144．
【分析】（1）把甲、乙两人安排在第二和第三棒，再从丙、丁、戊、己中选两人，排在第一和第四棒即可；
（2）先从甲、乙两人中选1人排在除第四棒外的任何一棒，然后从丙、丁、戊、己中选3人排在其它棒即可．
【解答】解：（1）由题意得把甲、乙两人安排在第二和第三棒，有种方法，
然后从丙、丁、戊、己中选两人，排在第一和第四棒，有种方法，
由分步乘法原理可知共有种排法；
（2）由题意得先从甲、乙两人中选1人排在除第四棒外的任何一棒，有种方法，
然后从丙、丁、戊、己中选3人排在其它棒，有种方法，
由分步乘法原理可知共有种排法．
【点评】本题考查排列组合相关知识，属于基础题．
11．列式并计算数值．
从A，B，C等8人中选出5人排成一排．
（1）A必须在内，有多少种排法？
（2）A，B，C三人不全在内，有多少种排法？
（3）A，B，C都在内，且A，B必须相邻，C与A，B都不相邻，有多少种排法？
（4）A不允许站排头和排尾，B不允许站在中间（第三位），有多少种排法？
【答案】（1）4200种，
（2）5520，
（3）240，
（4）4440，
【分析】（1）根据题意，先在除A之外的7人中选出4人，再与A一起进行全排列，由分步计数原理计算可得答案，
（2）根据题意，先在8人中任选5人，要求A，B，C三人不全在内，再将选出的5人排成一排，由分步计数原理计算可得答案，
（3）根据题意，分3步进行分析：①先在除A，B，C之外的5人中任选2人，排成一排，②2人排好后，有3个空位，将AB看成一个整体，按排其中一个空位，③在剩下的2个空位中任选1个安排C，由分步计数原理计算可得答案，
（4）根据题意，分2种情况讨论：①将B安排在排头或排尾，②没有将B安排在排头或排尾，求出每种情况的安排方法数目，由加法原理计算可得答案．
【解答】解：（1）根据题意，先在除A之外的7人中选出4人，再与A一起进行全排列，有4200种排法，
（2）根据题意，先在8人中任选5人，要求A，B，C三人不全在内，有46种选法，
再将选出的5人排成一排，有120种顺序，
则有46×120＝5520种排法，
（3）根据题意，分3步进行分析：
①先在除A，B，C之外的5人中任选2人，排成一排，有20种情况，
②2人排好后，有3个空位，将AB看成一个整体，按排其中一个空位，有36种情况，
③在剩下的2个空位中任选1个安排C，有2种情况，
有20×6×2＝240种不同的排法，
（4）根据题意，分2种情况讨论：
①将B安排在排头或排尾，在除AB之外的其余6人中选出1人，与B安排在排头和排尾，再从剩下的6人中选出3人，安排在中间3个位置，
有21440种排法，
②没有将B安排在排头或排尾，在除AB之外的其余6人中选出2人，安排在排头和排尾，中间有5种安排方法，再从剩下的5人中选出2人，安排在其他2个位置，
有53000种排法，
则有1440+3000＝4440种不同的排法．
【点评】本题考查排列组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，属于基础题．
12．已知f（x）＝（x+2）n，n∈N*．
（1）设f（x）＝a0+a1x+a2x2+…+anxn，
①求a0+a1+a2+…+an；
②若在a0，a1，a2，…，an中，唯一的最大的数是a4，试求n的值；
（2）设f（x）＝b0+b1（x+1）+b2（x+1）2+…+bn（x+1）n，求．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）①可令x＝1，代入计算可得所求和；②可得f（x）＝（x+2）n＝（2+x）n的通项公式，ar最大即为ar≥ar﹣1，且ar≥ar+1，化简计算，结合不等式的解，可得所求值；
（2）由f（x）＝[1+（x+1）]n，可得br，r＝0，1，…，n，推得，再由二项式定理，计算可得所求和．
【解答】解：（1）①由（x+2）n＝a0+a1x+a2x2+…+anxn，
可令x＝1，可得3n＝a0+a1+a2+…+an，
即a0+a1+a2+…+an＝3n；
②f（x）＝（x+2）n＝（2+x）n，
可得ar2n﹣rxr，r＝0，1，…，n，
若在a0，a1，a2，…，an中，ar最大，
可得，即为，
化为，由于r＝4时为a4唯一的最大值，
可得n＝12，13；
（2）由f（x）＝b0+b1（x+1）+b2（x+1）2+…+bn（x+1）n，
且f（x）＝[1+（x+1）]n，可得br，r＝0，1，…，n，
则，
由 ，
则（）（2n+1﹣2﹣n）．
【点评】本题考查二项式定理和通项公式的运用，注意赋值法和最大项的求法，考查化简变形和运算求解能力、推理能力，属于中档题．
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