第七章 随机变量及其分布（单元测试）（含解析）-2025-2026学年人教A版（2019）高中数学选择性必修第三册
文档属性
| 名称 | 第七章 随机变量及其分布（单元测试）（含解析）-2025-2026学年人教A版（2019）高中数学选择性必修第三册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 97.4KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-09-12 18:41:21 | ||
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文档简介
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第七章 随机变量及其分布
一、选择题
1．甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，共下三局．用ξ表示甲的得分，则{ξ＝3}表示（ ）
A．甲赢三局
B．甲赢一局
C．甲、乙平局三次
D．甲赢一局或甲、乙平局三次
2．设两个正态分布N（μ1，σ12）（σ1＞0）和N（μ2，σ22）（σ2＞0）的密度曲线如图所示，则有（ ）
A．μ1＜μ2，σ1＜σ2 B．μ1＜μ2，σ1＞σ2
C．μ1＞μ2，σ1＜σ2 D．μ1＞μ2，σ1＞σ2
3．若随机变量ξ的分布列如表：
ξ ﹣2 ﹣1 1 2 3
P 0.2 0.1 2m 0.25 m
则P（|ξ﹣1|＜2）＝（ ）
A．0.3 B．0.35 C．0.45 D．0.55
4．某学校高三（5）班要从8名班干部（其中5名男生，3名女生）中选取3人参加学校优秀班干部评选，事件A：男生甲被选中，事件B：有两名女生被选中，则P（B|A）＝（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
5．离散型随机变量X的可能取值为1，2，3，4，P（X＝k）＝ak+b（k＝1，2，3，4），E（X）＝3，则a+b等于 ．
6．离散型随机变量X的分布列为P（X＝xi）＝Pi，i＝1，2，3，…，6，其期望为E（X），若，则D（2X+1）＝ ．
三、多选题
（多选）7．已知X～B（4，p）（0＜p＜1），则下列结论正确的有（ ）
A．若p，则E（X）
B．若p，则P（X＝0）
C．D（X）max＝1
D．若P（x＝1）＞P（X）＝3，则0＜p
（多选）8．有3台车床加工同一型号零件，第1台次品率为6%，第2，3台次品率为5%，加工的零件混在一起，已知第1，2，3台车床加工的零件分别占总数的25%，30%，45%，记事件B＝“任取一个零件为次品”，事件Ai＝“零件为第i台车床加工”（i＝1，2，3），则（ ）
A．P（B|A1）＝0.06 B．P（A2B）＝0.015
C．P（B）＝0.0525 D．P（A1|B）
四、解答题
9．袋子中有9个大小、材质都相同的小球，其中6个白球，3个红球．每次从袋子中随机摸出1个球，摸出的球不再放回，求：
（1）在第一次摸到红球的条件下，第二次也摸到红球的概率；
（2）第二次摸到白球的概率．
10．某商场举办店庆活动，消费者凭借购物发票进行现场抽奖．抽奖盒中装有3个红球和2个黄球，这些球除颜色外完全相同．抽奖规则为：抽奖者一次从中摸出2个小球，若摸到2个红球就中奖，否则均为不中奖．小球用后放回盒子，下一位抽奖者继续抽奖．
（1）求每一位抽奖者中奖的概率；
（2）现有甲，乙、丙三人依次抽奖，用X表示中奖的人数，求X的分布列及均值．
11．新高考改革后部分省份采用“3+1+2”高考模式，“3”指的是语文、数学、外语三门为必选科目，“1”指的是要在物理、历史里选一门，“2”指考生要在生物、化学、思想政治、地理4门中选择2门．
（1）若按照“3+1+2”模式选科，求甲、乙两名学生恰有四门学科相同的选法种数；
（2）某教育部门为了调查学生语数外三科成绩，从当地不同的学校中抽取高一学生4000名参加语数外的网络测试，假设该次网络测试成绩服从正态分布N（245，552）．
①估计4000名学生中成绩介于190分到355分之间的有多少人（结果保留到个位）；
②该地某校对外宣传“我校200人参与此次网络测试，有12名同学获得425分以上的高分”，请结合统计学知识分析上述宣传语是否可信．
附：P（μ﹣σ≤X≤μ+σ）≈0.6827，P（μ﹣2σ≤X≤μ+2σ）≈0.9545，P（μ﹣3σ≤X≤μ+3σ）≈0.9973．
12．一个袋子中有50个大小相同的球，其中有白球20个，黑球30个，从中有放回的依次摸出5个球作为样本，用X表示样本中白球的个数．
（1）求X的分布列和期望；
（2）用样本中的白球比例估计总体中白球的比例，求误差不超过0.2的概率．
第七章 随机变量及其分布
参考答案与试题解析
一、选择题
1．甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，共下三局．用ξ表示甲的得分，则{ξ＝3}表示（ ）
A．甲赢三局
B．甲赢一局
C．甲、乙平局三次
D．甲赢一局或甲、乙平局三次
【答案】D
【分析】根据题意，{ξ＝3}即甲在三局比赛中得了3分，由此分析可得答案．
【解答】解：根据题意，{ξ＝3}即甲在三局比赛中得了3分，
有甲赢一局或甲、乙平局三次两种情况，
故选：D．
【点评】本题考查随机变量的定义和应用，涉及随机事件的定义，属于基础题．
2．设两个正态分布N（μ1，σ12）（σ1＞0）和N（μ2，σ22）（σ2＞0）的密度曲线如图所示，则有（ ）
A．μ1＜μ2，σ1＜σ2 B．μ1＜μ2，σ1＞σ2
C．μ1＞μ2，σ1＜σ2 D．μ1＞μ2，σ1＞σ2
【答案】A
【分析】从正态曲线关于直线x＝μ对称，看μ的大小，从曲线越“矮胖”，表示总体越分散；σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中，由此可得结论．
【解答】解：从正态曲线的对称轴的位置看，显然μ1＜μ2，
正态曲线越“瘦高”，表示取值越集中，σ越小，
∴σ1＜σ2
故选：A．
【点评】本题主要考查了正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，以及数形结合的思想，属于基础题．
3．若随机变量ξ的分布列如表：
ξ ﹣2 ﹣1 1 2 3
P 0.2 0.1 2m 0.25 m
则P（|ξ﹣1|＜2）＝（ ）
A．0.3 B．0.35 C．0.45 D．0.55
【答案】D
【分析】根据已知条件，结合分布列的性质，即可求解．
【解答】解：由分布列的性质可得，0.2+0.1+2m+0.25+m＝1，解得m＝0.15，
∵|ξ﹣1|＜2，解得﹣1＜ξ＜3，
∴P（|ξ﹣1|＜2）＝2m+0.25＝0.55．
故选：D．
【点评】本题主要考查分布列的性质，属于基础题．
4．某学校高三（5）班要从8名班干部（其中5名男生，3名女生）中选取3人参加学校优秀班干部评选，事件A：男生甲被选中，事件B：有两名女生被选中，则P（B|A）＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求出男生甲被选中的概率，即可得出结论．
【解答】解：总的选法有：56种，男生甲被选中的概率为P（A），
有两名女生被选中的概率为P（AB）；
则P（B|A），
故选：B．
【点评】本题着重考查了条件概率公式等知识，考查学生的计算能力，属于基础题．
二、填空题
5．离散型随机变量X的可能取值为1，2，3，4，P（X＝k）＝ak+b（k＝1，2，3，4），E（X）＝3，则a+b等于 ．
【答案】．
【分析】利用离散型随机变量分布列的性质与数学期望的计算公式列出方程组，解出a，b即可得出结论．
【解答】解：由题意可得：a（1+2+3+4）+4b＝1，1×（a+b）+2×（2a+b）+3（3a+b）+4（4a+b）＝3，
解得a，b＝0．
∴a+b，
故答案为：．
【点评】本题考查了离散型随机变量分布列的性质与数学期望的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
6．离散型随机变量X的分布列为P（X＝xi）＝Pi，i＝1，2，3，…，6，其期望为E（X），若，则D（2X+1）＝ 8 ．
【答案】8．
【分析】根据方差的定义求得D（X）＝2，然后利用方差性质求解即可．
【解答】解：由题意及方差定义知，
所以D（2X+1）＝4D（X）＝8．
故答案为：8．
【点评】本题主要考查了方差的定义和性质，属于基础题．
三、多选题
（多选）7．已知X～B（4，p）（0＜p＜1），则下列结论正确的有（ ）
A．若p，则E（X）
B．若p，则P（X＝0）
C．D（X）max＝1
D．若P（x＝1）＞P（X）＝3，则0＜p
【答案】BCD
【分析】根据已知条件结合选项分别判断即可．
【解答】解：∵X～B（4，p）（0＜p＜1），
∴若，则，，故A选项错误，B选项正确，
D（X）＝4p（1﹣p），∴D（X）max＝1，故C选项正确，
∵P（X＝1）＞P（X＝3），∴，
化简整理可得（1﹣p）2＞p2，解得，故D选项正确．
故选：BCD．
【点评】本题主要考查二项分布数学期望与方差的求解，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．
（多选）8．有3台车床加工同一型号零件，第1台次品率为6%，第2，3台次品率为5%，加工的零件混在一起，已知第1，2，3台车床加工的零件分别占总数的25%，30%，45%，记事件B＝“任取一个零件为次品”，事件Ai＝“零件为第i台车床加工”（i＝1，2，3），则（ ）
A．P（B|A1）＝0.06 B．P（A2B）＝0.015
C．P（B）＝0.0525 D．P（A1|B）
【答案】ABC
【分析】根据已知条件，结合全概率公式和条件概率公式，即可求解．
【解答】解：由题意可得，P（A1）＝0.25，P（A2）＝0.3，P（A3）＝0.45，
P（B|A1）＝0.06，P（B|A2）＝P（B|A3）＝0.05，故A选项正确，
由全概率公式可得，P（B）＝P（A1）P（B|A1）+P（A2）P（B|A2）+P（A3）P（B|A3）＝0.25×0.06+0.3×0.05+0.45×0.05＝0.0525，故C选项正确，
P（A2B）＝P（A2）P（B|A2）＝0.3×0.05＝0.015，故B选项正确，
P（A1|B），故D选项错误．
故选：ABC．
【点评】本题主要考查条件事件的全概率公式，以及条件概率公式，属于基础题．
四、解答题
9．袋子中有9个大小、材质都相同的小球，其中6个白球，3个红球．每次从袋子中随机摸出1个球，摸出的球不再放回，求：
（1）在第一次摸到红球的条件下，第二次也摸到红球的概率；
（2）第二次摸到白球的概率．
【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）利用条件概率的计算公式求解即可；
（2）第二次摸到白球的情况分为两种，分别求出这两种情况的概率，进而可求得答案．
【解答】解：（1）设第一次摸到红球的事件为A，第二次摸到红球的事件为B，
则，，
所以在第一次摸到红球的条件下，第二次也摸到红球的概率；
（2）第二次摸到白球的情况分为两种：
第一种情况：第一次摸到红球，第二次摸到白球，此时的概率，
第二种情况：第一次摸到白球，第二次摸到白球，此时的概率，
所以第二次摸到白球的概率．
【点评】本题主要考查条件概率公式，属于基础题．
10．某商场举办店庆活动，消费者凭借购物发票进行现场抽奖．抽奖盒中装有3个红球和2个黄球，这些球除颜色外完全相同．抽奖规则为：抽奖者一次从中摸出2个小球，若摸到2个红球就中奖，否则均为不中奖．小球用后放回盒子，下一位抽奖者继续抽奖．
（1）求每一位抽奖者中奖的概率；
（2）现有甲，乙、丙三人依次抽奖，用X表示中奖的人数，求X的分布列及均值．
【答案】（1）；
（2）X的分布列为：
X 0 1 2 3
P 0.343 0.441 0.189 0.027
所以E（X）．
【分析】（1）利用古典概型的概率公式求解即可；
（2）先求出随机变量X的可能取值，然后求出其对应的概率，列出分布列，由数学期望的计算公式求解即可．
【解答】解：（1）设事件A为“抽奖者获奖”，
则P（A）；
（2）由题意可知，X的可能取值为0，1，2，3，
则P（X＝0）0.343，
P（X＝1）0.441，
P（X＝2）0.189，
P（X＝3）0.027，
故X的分布列为：
X 0 1 2 3
P 0.343 0.441 0.189 0.027
所以E（X）＝0×0.343+1×0.441+2×0.189+3×0.027．
【点评】本题考查了古典概型概率公式的应用，离散型随机变量及其分布列和离散型随机变量期望的求解与应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．
11．新高考改革后部分省份采用“3+1+2”高考模式，“3”指的是语文、数学、外语三门为必选科目，“1”指的是要在物理、历史里选一门，“2”指考生要在生物、化学、思想政治、地理4门中选择2门．
（1）若按照“3+1+2”模式选科，求甲、乙两名学生恰有四门学科相同的选法种数；
（2）某教育部门为了调查学生语数外三科成绩，从当地不同的学校中抽取高一学生4000名参加语数外的网络测试，假设该次网络测试成绩服从正态分布N（245，552）．
①估计4000名学生中成绩介于190分到355分之间的有多少人（结果保留到个位）；
②该地某校对外宣传“我校200人参与此次网络测试，有12名同学获得425分以上的高分”，请结合统计学知识分析上述宣传语是否可信．
附：P（μ﹣σ≤X≤μ+σ）≈0.6827，P（μ﹣2σ≤X≤μ+2σ）≈0.9545，P（μ﹣3σ≤X≤μ+3σ）≈0.9973．
【答案】（1）60；
（2）①3274人；②不可信．
【分析】（1）甲乙必选语文、数学、外语，根据另一门相同的是物理、历史中的一门或者是生物、化学、思想政治、地理中的一门进行分类讨论，先分类后分步即可求得结果；
（2）①根据参考数据求得P（190≤X≤355），再根据总人数进行计算即可；②根据参考数据求得P（X＞μ+3σ），估计成绩高于410分的人数，即可判断．
【解答】解：（1）甲、乙两名学生必选语文、数学、外语．
若另一门相同的为物理、历史中的一门，有种，
在生物、化学、思想政治、地理4门中，甲、乙选择不同的2门，
则有种，共2×6＝12种；
若另一门相同的为生物、化学、思想政治、地理4门中的一门，则有种．
所以甲、乙两个学生恰有四门学科相同的选法总数为12+48＝60．
（2）①设此次网络测试的成绩记为X，则X N（245，552）．
由题知μ＝245，σ＝55，μ+2σ＝245+110＝355，μ﹣σ＝245﹣55＝190，
则，
所以4000×0.8186＝3274.4≈3274．
所以估计4000名学生中成绩介于190分到355分之间的约有3274人．
②不可信．
μ+3σ＝245+3×55＝410＜425，
则，
4000名学生中成绩大于410分的约有4000×0.00135＝5.4人，
这说明4000名考生中，只有约5人的成绩高于410分．
所以说“某校200人参与此次网络测试，有12名同学获得425分以上的高分”的宣传语不可信．
【点评】本题主要考查正态分布的对称性，考查转化能力，属于中档题．
12．一个袋子中有50个大小相同的球，其中有白球20个，黑球30个，从中有放回的依次摸出5个球作为样本，用X表示样本中白球的个数．
（1）求X的分布列和期望；
（2）用样本中的白球比例估计总体中白球的比例，求误差不超过0.2的概率．
【答案】（1）分布列答案见解析，数学期望为2．
（2）0.8352．
【分析】（1）根据二项分布相关知识求解即可；
（2）根据条件得到随机变量的取值，再计算概率即可．
【解答】解：对于有放回的摸球，每次摸到白球的概率是0.4，且各次之间的结果是相互独立的，
因此X～B（5，0.4），则X的分布列为，
X 0 1 2 3 4 5
P
期望E（X）＝5×0.4＝2．
（2）样本中的白球比例是个随机变量，
且，
所以，用样本中的白球比例估计总体中白球的比例，则误差不超过0.2的概率为0.8352．
【点评】本题主要考查离散型随机变量的分布列和期望，属于基础题．
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第七章 随机变量及其分布
一、选择题
1．甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，共下三局．用ξ表示甲的得分，则{ξ＝3}表示（ ）
A．甲赢三局
B．甲赢一局
C．甲、乙平局三次
D．甲赢一局或甲、乙平局三次
2．设两个正态分布N（μ1，σ12）（σ1＞0）和N（μ2，σ22）（σ2＞0）的密度曲线如图所示，则有（ ）
A．μ1＜μ2，σ1＜σ2 B．μ1＜μ2，σ1＞σ2
C．μ1＞μ2，σ1＜σ2 D．μ1＞μ2，σ1＞σ2
3．若随机变量ξ的分布列如表：
ξ ﹣2 ﹣1 1 2 3
P 0.2 0.1 2m 0.25 m
则P（|ξ﹣1|＜2）＝（ ）
A．0.3 B．0.35 C．0.45 D．0.55
4．某学校高三（5）班要从8名班干部（其中5名男生，3名女生）中选取3人参加学校优秀班干部评选，事件A：男生甲被选中，事件B：有两名女生被选中，则P（B|A）＝（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
5．离散型随机变量X的可能取值为1，2，3，4，P（X＝k）＝ak+b（k＝1，2，3，4），E（X）＝3，则a+b等于 ．
6．离散型随机变量X的分布列为P（X＝xi）＝Pi，i＝1，2，3，…，6，其期望为E（X），若，则D（2X+1）＝ ．
三、多选题
（多选）7．已知X～B（4，p）（0＜p＜1），则下列结论正确的有（ ）
A．若p，则E（X）
B．若p，则P（X＝0）
C．D（X）max＝1
D．若P（x＝1）＞P（X）＝3，则0＜p
（多选）8．有3台车床加工同一型号零件，第1台次品率为6%，第2，3台次品率为5%，加工的零件混在一起，已知第1，2，3台车床加工的零件分别占总数的25%，30%，45%，记事件B＝“任取一个零件为次品”，事件Ai＝“零件为第i台车床加工”（i＝1，2，3），则（ ）
A．P（B|A1）＝0.06 B．P（A2B）＝0.015
C．P（B）＝0.0525 D．P（A1|B）
四、解答题
9．袋子中有9个大小、材质都相同的小球，其中6个白球，3个红球．每次从袋子中随机摸出1个球，摸出的球不再放回，求：
（1）在第一次摸到红球的条件下，第二次也摸到红球的概率；
（2）第二次摸到白球的概率．
10．某商场举办店庆活动，消费者凭借购物发票进行现场抽奖．抽奖盒中装有3个红球和2个黄球，这些球除颜色外完全相同．抽奖规则为：抽奖者一次从中摸出2个小球，若摸到2个红球就中奖，否则均为不中奖．小球用后放回盒子，下一位抽奖者继续抽奖．
（1）求每一位抽奖者中奖的概率；
（2）现有甲，乙、丙三人依次抽奖，用X表示中奖的人数，求X的分布列及均值．
11．新高考改革后部分省份采用“3+1+2”高考模式，“3”指的是语文、数学、外语三门为必选科目，“1”指的是要在物理、历史里选一门，“2”指考生要在生物、化学、思想政治、地理4门中选择2门．
（1）若按照“3+1+2”模式选科，求甲、乙两名学生恰有四门学科相同的选法种数；
（2）某教育部门为了调查学生语数外三科成绩，从当地不同的学校中抽取高一学生4000名参加语数外的网络测试，假设该次网络测试成绩服从正态分布N（245，552）．
①估计4000名学生中成绩介于190分到355分之间的有多少人（结果保留到个位）；
②该地某校对外宣传“我校200人参与此次网络测试，有12名同学获得425分以上的高分”，请结合统计学知识分析上述宣传语是否可信．
附：P（μ﹣σ≤X≤μ+σ）≈0.6827，P（μ﹣2σ≤X≤μ+2σ）≈0.9545，P（μ﹣3σ≤X≤μ+3σ）≈0.9973．
12．一个袋子中有50个大小相同的球，其中有白球20个，黑球30个，从中有放回的依次摸出5个球作为样本，用X表示样本中白球的个数．
（1）求X的分布列和期望；
（2）用样本中的白球比例估计总体中白球的比例，求误差不超过0.2的概率．
第七章 随机变量及其分布
参考答案与试题解析
一、选择题
1．甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，共下三局．用ξ表示甲的得分，则{ξ＝3}表示（ ）
A．甲赢三局
B．甲赢一局
C．甲、乙平局三次
D．甲赢一局或甲、乙平局三次
【答案】D
【分析】根据题意，{ξ＝3}即甲在三局比赛中得了3分，由此分析可得答案．
【解答】解：根据题意，{ξ＝3}即甲在三局比赛中得了3分，
有甲赢一局或甲、乙平局三次两种情况，
故选：D．
【点评】本题考查随机变量的定义和应用，涉及随机事件的定义，属于基础题．
2．设两个正态分布N（μ1，σ12）（σ1＞0）和N（μ2，σ22）（σ2＞0）的密度曲线如图所示，则有（ ）
A．μ1＜μ2，σ1＜σ2 B．μ1＜μ2，σ1＞σ2
C．μ1＞μ2，σ1＜σ2 D．μ1＞μ2，σ1＞σ2
【答案】A
【分析】从正态曲线关于直线x＝μ对称，看μ的大小，从曲线越“矮胖”，表示总体越分散；σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中，由此可得结论．
【解答】解：从正态曲线的对称轴的位置看，显然μ1＜μ2，
正态曲线越“瘦高”，表示取值越集中，σ越小，
∴σ1＜σ2
故选：A．
【点评】本题主要考查了正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，以及数形结合的思想，属于基础题．
3．若随机变量ξ的分布列如表：
ξ ﹣2 ﹣1 1 2 3
P 0.2 0.1 2m 0.25 m
则P（|ξ﹣1|＜2）＝（ ）
A．0.3 B．0.35 C．0.45 D．0.55
【答案】D
【分析】根据已知条件，结合分布列的性质，即可求解．
【解答】解：由分布列的性质可得，0.2+0.1+2m+0.25+m＝1，解得m＝0.15，
∵|ξ﹣1|＜2，解得﹣1＜ξ＜3，
∴P（|ξ﹣1|＜2）＝2m+0.25＝0.55．
故选：D．
【点评】本题主要考查分布列的性质，属于基础题．
4．某学校高三（5）班要从8名班干部（其中5名男生，3名女生）中选取3人参加学校优秀班干部评选，事件A：男生甲被选中，事件B：有两名女生被选中，则P（B|A）＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求出男生甲被选中的概率，即可得出结论．
【解答】解：总的选法有：56种，男生甲被选中的概率为P（A），
有两名女生被选中的概率为P（AB）；
则P（B|A），
故选：B．
【点评】本题着重考查了条件概率公式等知识，考查学生的计算能力，属于基础题．
二、填空题
5．离散型随机变量X的可能取值为1，2，3，4，P（X＝k）＝ak+b（k＝1，2，3，4），E（X）＝3，则a+b等于 ．
【答案】．
【分析】利用离散型随机变量分布列的性质与数学期望的计算公式列出方程组，解出a，b即可得出结论．
【解答】解：由题意可得：a（1+2+3+4）+4b＝1，1×（a+b）+2×（2a+b）+3（3a+b）+4（4a+b）＝3，
解得a，b＝0．
∴a+b，
故答案为：．
【点评】本题考查了离散型随机变量分布列的性质与数学期望的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
6．离散型随机变量X的分布列为P（X＝xi）＝Pi，i＝1，2，3，…，6，其期望为E（X），若，则D（2X+1）＝ 8 ．
【答案】8．
【分析】根据方差的定义求得D（X）＝2，然后利用方差性质求解即可．
【解答】解：由题意及方差定义知，
所以D（2X+1）＝4D（X）＝8．
故答案为：8．
【点评】本题主要考查了方差的定义和性质，属于基础题．
三、多选题
（多选）7．已知X～B（4，p）（0＜p＜1），则下列结论正确的有（ ）
A．若p，则E（X）
B．若p，则P（X＝0）
C．D（X）max＝1
D．若P（x＝1）＞P（X）＝3，则0＜p
【答案】BCD
【分析】根据已知条件结合选项分别判断即可．
【解答】解：∵X～B（4，p）（0＜p＜1），
∴若，则，，故A选项错误，B选项正确，
D（X）＝4p（1﹣p），∴D（X）max＝1，故C选项正确，
∵P（X＝1）＞P（X＝3），∴，
化简整理可得（1﹣p）2＞p2，解得，故D选项正确．
故选：BCD．
【点评】本题主要考查二项分布数学期望与方差的求解，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．
（多选）8．有3台车床加工同一型号零件，第1台次品率为6%，第2，3台次品率为5%，加工的零件混在一起，已知第1，2，3台车床加工的零件分别占总数的25%，30%，45%，记事件B＝“任取一个零件为次品”，事件Ai＝“零件为第i台车床加工”（i＝1，2，3），则（ ）
A．P（B|A1）＝0.06 B．P（A2B）＝0.015
C．P（B）＝0.0525 D．P（A1|B）
【答案】ABC
【分析】根据已知条件，结合全概率公式和条件概率公式，即可求解．
【解答】解：由题意可得，P（A1）＝0.25，P（A2）＝0.3，P（A3）＝0.45，
P（B|A1）＝0.06，P（B|A2）＝P（B|A3）＝0.05，故A选项正确，
由全概率公式可得，P（B）＝P（A1）P（B|A1）+P（A2）P（B|A2）+P（A3）P（B|A3）＝0.25×0.06+0.3×0.05+0.45×0.05＝0.0525，故C选项正确，
P（A2B）＝P（A2）P（B|A2）＝0.3×0.05＝0.015，故B选项正确，
P（A1|B），故D选项错误．
故选：ABC．
【点评】本题主要考查条件事件的全概率公式，以及条件概率公式，属于基础题．
四、解答题
9．袋子中有9个大小、材质都相同的小球，其中6个白球，3个红球．每次从袋子中随机摸出1个球，摸出的球不再放回，求：
（1）在第一次摸到红球的条件下，第二次也摸到红球的概率；
（2）第二次摸到白球的概率．
【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）利用条件概率的计算公式求解即可；
（2）第二次摸到白球的情况分为两种，分别求出这两种情况的概率，进而可求得答案．
【解答】解：（1）设第一次摸到红球的事件为A，第二次摸到红球的事件为B，
则，，
所以在第一次摸到红球的条件下，第二次也摸到红球的概率；
（2）第二次摸到白球的情况分为两种：
第一种情况：第一次摸到红球，第二次摸到白球，此时的概率，
第二种情况：第一次摸到白球，第二次摸到白球，此时的概率，
所以第二次摸到白球的概率．
【点评】本题主要考查条件概率公式，属于基础题．
10．某商场举办店庆活动，消费者凭借购物发票进行现场抽奖．抽奖盒中装有3个红球和2个黄球，这些球除颜色外完全相同．抽奖规则为：抽奖者一次从中摸出2个小球，若摸到2个红球就中奖，否则均为不中奖．小球用后放回盒子，下一位抽奖者继续抽奖．
（1）求每一位抽奖者中奖的概率；
（2）现有甲，乙、丙三人依次抽奖，用X表示中奖的人数，求X的分布列及均值．
【答案】（1）；
（2）X的分布列为：
X 0 1 2 3
P 0.343 0.441 0.189 0.027
所以E（X）．
【分析】（1）利用古典概型的概率公式求解即可；
（2）先求出随机变量X的可能取值，然后求出其对应的概率，列出分布列，由数学期望的计算公式求解即可．
【解答】解：（1）设事件A为“抽奖者获奖”，
则P（A）；
（2）由题意可知，X的可能取值为0，1，2，3，
则P（X＝0）0.343，
P（X＝1）0.441，
P（X＝2）0.189，
P（X＝3）0.027，
故X的分布列为：
X 0 1 2 3
P 0.343 0.441 0.189 0.027
所以E（X）＝0×0.343+1×0.441+2×0.189+3×0.027．
【点评】本题考查了古典概型概率公式的应用，离散型随机变量及其分布列和离散型随机变量期望的求解与应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．
11．新高考改革后部分省份采用“3+1+2”高考模式，“3”指的是语文、数学、外语三门为必选科目，“1”指的是要在物理、历史里选一门，“2”指考生要在生物、化学、思想政治、地理4门中选择2门．
（1）若按照“3+1+2”模式选科，求甲、乙两名学生恰有四门学科相同的选法种数；
（2）某教育部门为了调查学生语数外三科成绩，从当地不同的学校中抽取高一学生4000名参加语数外的网络测试，假设该次网络测试成绩服从正态分布N（245，552）．
①估计4000名学生中成绩介于190分到355分之间的有多少人（结果保留到个位）；
②该地某校对外宣传“我校200人参与此次网络测试，有12名同学获得425分以上的高分”，请结合统计学知识分析上述宣传语是否可信．
附：P（μ﹣σ≤X≤μ+σ）≈0.6827，P（μ﹣2σ≤X≤μ+2σ）≈0.9545，P（μ﹣3σ≤X≤μ+3σ）≈0.9973．
【答案】（1）60；
（2）①3274人；②不可信．
【分析】（1）甲乙必选语文、数学、外语，根据另一门相同的是物理、历史中的一门或者是生物、化学、思想政治、地理中的一门进行分类讨论，先分类后分步即可求得结果；
（2）①根据参考数据求得P（190≤X≤355），再根据总人数进行计算即可；②根据参考数据求得P（X＞μ+3σ），估计成绩高于410分的人数，即可判断．
【解答】解：（1）甲、乙两名学生必选语文、数学、外语．
若另一门相同的为物理、历史中的一门，有种，
在生物、化学、思想政治、地理4门中，甲、乙选择不同的2门，
则有种，共2×6＝12种；
若另一门相同的为生物、化学、思想政治、地理4门中的一门，则有种．
所以甲、乙两个学生恰有四门学科相同的选法总数为12+48＝60．
（2）①设此次网络测试的成绩记为X，则X N（245，552）．
由题知μ＝245，σ＝55，μ+2σ＝245+110＝355，μ﹣σ＝245﹣55＝190，
则，
所以4000×0.8186＝3274.4≈3274．
所以估计4000名学生中成绩介于190分到355分之间的约有3274人．
②不可信．
μ+3σ＝245+3×55＝410＜425，
则，
4000名学生中成绩大于410分的约有4000×0.00135＝5.4人，
这说明4000名考生中，只有约5人的成绩高于410分．
所以说“某校200人参与此次网络测试，有12名同学获得425分以上的高分”的宣传语不可信．
【点评】本题主要考查正态分布的对称性，考查转化能力，属于中档题．
12．一个袋子中有50个大小相同的球，其中有白球20个，黑球30个，从中有放回的依次摸出5个球作为样本，用X表示样本中白球的个数．
（1）求X的分布列和期望；
（2）用样本中的白球比例估计总体中白球的比例，求误差不超过0.2的概率．
【答案】（1）分布列答案见解析，数学期望为2．
（2）0.8352．
【分析】（1）根据二项分布相关知识求解即可；
（2）根据条件得到随机变量的取值，再计算概率即可．
【解答】解：对于有放回的摸球，每次摸到白球的概率是0.4，且各次之间的结果是相互独立的，
因此X～B（5，0.4），则X的分布列为，
X 0 1 2 3 4 5
P
期望E（X）＝5×0.4＝2．
（2）样本中的白球比例是个随机变量，
且，
所以，用样本中的白球比例估计总体中白球的比例，则误差不超过0.2的概率为0.8352．
【点评】本题主要考查离散型随机变量的分布列和期望，属于基础题．
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