第四章 数列（单元测试）（含解析）-2025-2026学年人教A版（2019）高中数学选择性必修第二册
文档属性
| 名称 | 第四章 数列（单元测试）（含解析）-2025-2026学年人教A版（2019）高中数学选择性必修第二册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 186.8KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-09-12 18:41:26 | ||
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文档简介
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第四章 数列
一、选择题
1．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且，则a6﹣a3＝（ ）
A．3 B．6 C．9 D．18
2．罗星塔是航海灯塔，是福州港口的标志，是国际上公认的海上重要航标之一，世界许多航海图上都标有罗星塔．如图，该塔为七层仿楼阁式石塔，假设该塔底层（第一层）的底面直径为8米，且每往上一层，底面直径减少0.6米，则该塔顶层（第七层）的底面直径为（ ）
A．3.1米 B．3.8米 C．4.4米 D．5米
3．已知递减等差数列{an}，a1，a2024是方程x2﹣2025x+2024＝0两个实根，当an＝0时，n＝（ ）
A．2026 B．2025 C．1012 D．2
4．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若2，则（ ）
A． B． C． D．
5．等比数列{an}中，Sn为其前n项和，a1＝1，且4a1，2a2，a3成等差数列，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．1
6．在等比数列{an}中，若a5a7a9a11＝36，则a2a14＝（ ）
A．6 B．9 C．±6 D．±9
7．数列1，2，3，…，n的前n项和为（ ）
A．n+1﹣（）n﹣1 B．n2n2
C．n2n2 D．n1
二、填空题
8．设等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn和Tn．若，则 ．
9．已知数列{an}的通项公式为an＝﹣n+c，其中c为常数，设数列{an}的前n项和为Sn，若S6＞S5且S6＞S7，则c的取值范围为 ．
10．已知{an}是公差为d的等差数列，{bn}是公比为q的等比数列．若数列{an+bn}的前n项和Sn＝2n2﹣n+2n﹣1（n∈N*），则d+q的值为 ．
11．已知四个整数a，b，c，d满足0＜a＜b＜c＜d．若a，b，c成等差数列，b，c，d成等比数列，且d﹣a＝48，则a+b+c+d的值为 ．
三、多选题
（多选）12．已知数列{an}满足a1＝1，，则下列结论正确的有（ ）
A．为等比数列
B．{an}的通项公式为
C．{an}为递增数列
D．的前n项和
（多选）13．已知等比数列{an}的公比，等差数列{bn}的首项b1＝12，若a9＞b9且a10＞b10，则以下结论正确的有（ ）
A．a9 a10＜0 B．a9＞a10 C．b10＞0 D．b9＞b10
四、解答题
14．已知数列{an}的通项公式为an＝2n+λn，其中常数λ∈R．
（1）若a3＝4a2，求λ的值；
（2）若{an}前10项的和为1551，试分析{an}的单调性；
（3）对于常数t，记集合 t＝{n|an＝t}，试求当λ与t变化时，集合 t中元素个数的最大值．
15．已知数列{an}的通项公式为an＝n2﹣5n+4．
（1）30是不是数列{an}中的项？70呢？
（2）数列中有多少项是负数？
（3）当n为何值时an有最小值？并求出这个最小值．
16．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差d＝4，ak＝15，Sk＝36，k∈N*．
（1）求k及数列{an}的通项公式；
（2）记bn，n∈N*，若b1，b2，b3成等差数列，求c并证明{bn}为等差数列．
17．已知{an}为等差数列，{bn}为等比数列，a1＝b1＝1，a5＝5（a4﹣a3），b5＝4（b4﹣b3）．
（1）求{an}和{bn}的通项公式；
（2）令cn＝an bn，求数列{cn}的前n项和；
（3）记dn＝3n﹣2 （﹣1）nλbn（λ≠0），是否存在实数λ，使得对任意的正整数，恒有dn+1＞dn？若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由．
18．已知数列{an}为等差数列，前n项和为Sn，a3＝9，S3＝18，数列{bn}为等比数列，公比q＞1，前n项和为Tn，b2＝4，T3＝14，数列{cn}的前n项和为Mn，{cn}中的项满足．
（1）当c3+c5＝kc7时，求k的值；
（2）是否存在n∈N*使得M2n＝3bn﹣1，若存在有几个，请说明理由；
（3）设数列{dn}的前n项和为，证明：．
第四章 数列
参考答案与试题解析
一、选择题
1．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且，则a6﹣a3＝（ ）
A．3 B．6 C．9 D．18
【答案】B
【分析】由等差数列的前n项和公式计算即可求得．
【解答】解：因为等差数列{an}的前n项和为Sn，且，
所以，
所以a6﹣a3＝6．
故选：B．
【点评】本题考查等差数列的前n项和公式的应用，属于基础题．
2．罗星塔是航海灯塔，是福州港口的标志，是国际上公认的海上重要航标之一，世界许多航海图上都标有罗星塔．如图，该塔为七层仿楼阁式石塔，假设该塔底层（第一层）的底面直径为8米，且每往上一层，底面直径减少0.6米，则该塔顶层（第七层）的底面直径为（ ）
A．3.1米 B．3.8米 C．4.4米 D．5米
【答案】C
【分析】利用等差数列的性质求第七层的底面直径即可．
【解答】解：由该塔底层（第一层）的底面直径为8米，且每往上一层，底面直径减少0.6米，
可得从第一层到顶层的底面直径构成首项为8，公差为﹣0.6的等差数列，
所以a7＝8+6×（﹣0.6）＝4.4米．
故选：C．
【点评】本题主要考查等差数列的性质应用，考查计算能力，属于基础题．
3．已知递减等差数列{an}，a1，a2024是方程x2﹣2025x+2024＝0两个实根，当an＝0时，n＝（ ）
A．2026 B．2025 C．1012 D．2
【答案】B
【分析】根据二次方程求a1＝2和a2024，再根据等差数列的公式，即可求解．
【解答】解：方程x2﹣2025x+2024＝0的两个根是1和2024，
又等差数列{an}递减，a1，a2024是方程x2﹣2025x+2024＝0两个实根，
则a1＝2024，a2024＝1，
数列的公差为，所以a2025＝a2024+d＝1﹣1＝0，故n＝2025．
故选：B．
【点评】本题主要考查等差数列的性质，属于基础题．
4．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若2，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意，由等差数列的前n项和公式和性质可得，进而计算可得答案．
【解答】解：根据题意，等差数列{an}中，，
又由2，则，
故选：A．
【点评】本题考查等差数列的前n项和，涉及等差数列的性质，属于基础题．
5．等比数列{an}中，Sn为其前n项和，a1＝1，且4a1，2a2，a3成等差数列，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】D
【分析】先根据等差中项及等比数列得通项求出公比，再根据等比数列的前n项和公式求出Sn，判断出数列的单调性即可得解．
【解答】解：设公比为q，
由4a1，2a2，a3成等差数列，得4a2＝4a1+a3，
又数列{an}为等比数列，所以得，解得q＝2，
所以，
令，
则，
所以数列递增数列，
所以当n＝1时，取得最小值1．
故选：D．
【点评】本题主要考查了等比数列的通项公式，求和公式的应用，等差数列的性质及数列单调性，属于中档题．
6．在等比数列{an}中，若a5a7a9a11＝36，则a2a14＝（ ）
A．6 B．9 C．±6 D．±9
【答案】A
【分析】根据等比数列性质直接求解即可．
【解答】解：因为，
所以（负值舍去），
所以．
故选：A．
【点评】本题考查等比数列性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
7．数列1，2，3，…，n的前n项和为（ ）
A．n+1﹣（）n﹣1 B．n2n2
C．n2n2 D．n1
【答案】B
【分析】先利用等比数列的前n项和公式求解此数列的通项an＝n+1，再利用分组求和法，结合等差数列和等比数列的前n项和公式求解即可．
【解答】解：此数列的通项an＝nnn+1，
所以数列的前n项和Sn＝2+3+4+（n+1）﹣（1）．
故选：B．
【点评】本题主要考查了等差数列和等比数列的前n项和公式，考查了分组求和法的应用，属于中档题．
二、填空题
8．设等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn和Tn．若，则 ．
【答案】．
【分析】直接利用等差数列的性质和等差数列的前n项和公式求出结果．
【解答】解：由于：，所以：．
故答案为：．
【点评】本题考查的知识要点：等差数列的性质和等差数列的前n项和公式，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
9．已知数列{an}的通项公式为an＝﹣n+c，其中c为常数，设数列{an}的前n项和为Sn，若S6＞S5且S6＞S7，则c的取值范围为 （6，7） ．
【答案】（6，7）．
【分析】由a6＝S6﹣S5＞0，且a7＝S7﹣S6＜0，结合数列的通项公式，解不等式可得所求取值范围．
【解答】解：数列{an}的通项公式为an＝﹣n+c，其中c为常数，
设数列{an}的前n项和为Sn，若S6＞S5且S6＞S7，
则a6＝S6﹣S5＞0，且a7＝S7﹣S6＜0，
即有c﹣6＞0，且c﹣7＜0，
解得6＜c＜7，即c的取值范围是（6，7）．
故答案为：（6，7）．
【点评】本题考查数列的通项与求和的关系，考查运算能力，属于基础题．
10．已知{an}是公差为d的等差数列，{bn}是公比为q的等比数列．若数列{an+bn}的前n项和Sn＝2n2﹣n+2n﹣1（n∈N*），则d+q的值为 6 ．
【答案】6．
【分析】由{an+bn}的前n项和Sn＝2n2﹣n+2n﹣1（n∈N*），由{an}是公差为d的等差数列，设首项为a1；求出等差数列的前n项和的表达式；{bn}是公比为q的等比数列，设首项为b1，讨论当q为1和不为1时的前n项和的表达式，由题意可得q≠1，由对应项的系数相等可得d，q的值，进而求出d+q的值．
【解答】解：因为{an+bn}的前n项和Sn＝2n2﹣n+2n﹣1（n∈N*），
又因为{an}是公差为d的等差数列，设首项为a1；{bn}是公比为q的等比数列，设首项为b1，
所以{an}的通项公式an＝a1+（n﹣1）d，所以其前n项和An＝na1n（n﹣1）dn2+（a1）n，
当{bn}中，当公比q＝1时，其前n项和Bn＝nb1，
所以{an+bn}的前n项和Sn＝An+Bnn2+（a1）n+nb1＝2n2﹣n+2n﹣1，显然没有出现2n，所以q≠1，
则{bn}的前n项和为Bn，
所以Sn＝An+Bnn2+（a1）n2n2﹣n+2n﹣1，
由两边对应项相等可得2，a11，q＝2，1，
解得d＝4，a1＝1，q＝2，b1＝1，
所以d+q＝6．
故答案为：6．
【点评】本题考查等差数列和等比数列的求和公式，以及恒等式的性质，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于基础题．
11．已知四个整数a，b，c，d满足0＜a＜b＜c＜d．若a，b，c成等差数列，b，c，d成等比数列，且d﹣a＝48，则a+b+c+d的值为 333 ．
【答案】333．
【分析】设公差为x，从而由题意列式得到x2+3bx＝48b，化为，结合b为整数确定x的取值，进而确定a+b+c+d的值．
【解答】解：因为a，b，c成等差数列，故设公差为x，则a＝b﹣x，c＝b+x，
由b，c，d成等比数列，得c2＝bd，结合d﹣a＝48，
得（b+x）2＝b（48+b﹣x），整理得x2+3bx＝48b，
由于a，b，c，d为整数，且0＜a＜b＜c＜d，故x为整数，x＞0，
则，需满足，即，
结合b为整数，代入x＝6，7，8，9， ，15，可得只有当x＝12，15时，才为整数，
当x＝12时，，则a＝b﹣x＝0，不合题意；
当x＝15时，，则a＝b﹣x＝60，c＝b+x＝90，d＝48+a＝108，适合题意，
则a+b+c+d＝60+75+90+108＝333．
故答案为：333．
【点评】本题考查了数列的综合应用，解答的关键是利用等差等比数列的性质来设参数x，得出后，要结合题意确定x的值，进而求得答案．
三、多选题
（多选）12．已知数列{an}满足a1＝1，，则下列结论正确的有（ ）
A．为等比数列
B．{an}的通项公式为
C．{an}为递增数列
D．的前n项和
【答案】ABD
【分析】首先利用定义求出数列的通项公式，进一步求出数列的和．
【解答】解：数列{an}满足a1＝1，，整理得：2an+1+3anan+1＝an，
转换为，
故：，所以是以为首项，2为公比的等比数列．
故：，整理得．
则：{an}为递减数列．
进一步整理得：，
所以{}的前n项和：，
故选：ABD．
【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，数列的前n项和的求法及应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．
（多选）13．已知等比数列{an}的公比，等差数列{bn}的首项b1＝12，若a9＞b9且a10＞b10，则以下结论正确的有（ ）
A．a9 a10＜0 B．a9＞a10 C．b10＞0 D．b9＞b10
【答案】AD
【分析】设等差数列的公差为d，运用等差数列和等比数列的通项公式分析A正确，B不正确，结合条件判断等差数列为递减数列，即可得到C错误，D正确．
【解答】解：数列{an}是公比q为的等比数列，{bn}是首项为12，公差设为d的等差数列，
则，，
∴a9 a100，故A正确；
∵a1正负不确定，故B错误；
∵a9 a10＜0，∴a9与a10异号，又a9＞b9且a10＞b10，
∴b9与b10中至少有一个是负数，
且a1（）8＞12+8d，a1（）9＞12+9d，
可得等差数列{bn}一定是递减数列，即d＜0，
即有a9＞b9＞b10，则b10＜0，故C错误，D正确．
故选：AD．
【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式，以及单调性的判断，考查运算能力和推理能力，是中档题．
四、解答题
14．已知数列{an}的通项公式为an＝2n+λn，其中常数λ∈R．
（1）若a3＝4a2，求λ的值；
（2）若{an}前10项的和为1551，试分析{an}的单调性；
（3）对于常数t，记集合 t＝{n|an＝t}，试求当λ与t变化时，集合 t中元素个数的最大值．
【答案】（1）；
（2）从首项到第4项单调递减，且从第四项起数列单调递增；
（3）集合 t中元素个数的最大值为2．
【分析】（1）根据给定条件，代入计算即可算出λ的值；
（2）利用等差数列、等比数列前n项和公式求出通项，再作差分析判断数列单调性即可；
（3）先作差，再按λ≥0、λ＜0两种情况判断数列的单调性，进而确定an＝t的解的个数，即可得到本题的答案．
【解答】解：（1）由，得a3＝8+3λ，a2＝4+2λ，由a3＝4a2，可得8+3λ＝16+8λ，解得；
（2）依题意，数列{an}的前10项的和为，于是55λ+2046＝1551，解得λ＝﹣9，
对任意正整数n，，则当n∈{1，2，3}时，an+1＜an；
当n∈N*，且n≥4时，an+1＞an，从而a1＞a2＞a3＞a4，并且a4＜a5＜a6＜ ，
所以数列{an}从首项至第4项单调递减，且从第四项起数列单调递增；
（3）对任意正整数n，，则当λ≥0时，an+1﹣an＞0恒成立，此时数列{an}单调递增，相应地集合 t中的元素至多有1个；
而当λ＜0时，，则当n＜log2|λ|时，an+1＜an，当n＝log2|λ|时，an+1＝an，n＞log2|λ|时，an+1＞an，
因此数列{an}的单调性为先单调递减（可能没有这一部分），
随后有相邻两项相等（也可能没有这一部分），最终单调递增，因此集合 t中的元素个数不会超过2，
而当λ＝﹣2，t＝0时，1和2都是C0中的元素，所以集合 t中元素个数的最大值为2．
【点评】本题主要考查数列的递推公式、等比数列的通项与求和、数列的单调性及其应用等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于中档题．
15．已知数列{an}的通项公式为an＝n2﹣5n+4．
（1）30是不是数列{an}中的项？70呢？
（2）数列中有多少项是负数？
（3）当n为何值时an有最小值？并求出这个最小值．
【答案】（1）30不是数列的项，70是数列的第11项；
（2）数列中有2项是负数；
（3）当n＝2或3时，an有最小值，其最小值为﹣2．
【分析】（1）根据题意，由数列的通项公式，令an＝30和70，判断方程有无正整数解，即可得答案；
（2）根据题意，令an＝n2﹣5n+4＜0，解可得n的取值范围，分析可得答案；
（3）根据题意，结合二次函数的性质分析可得答案．
【解答】解：（1）根据题意，an＝n2﹣5n+4，
若an＝n2﹣5n+4＝30，即n2﹣5n﹣26＝0，无正整数解，则30不是数列的项，
若an＝n2﹣5n+4＝70，即n2﹣5n﹣66＝0，解可得n＝11或﹣6（舍），则70是数列的第11项，
（2）根据题意，an＝n2﹣5n+4，
若an＝n2﹣5n+4＜0，解可得1＜n＜4，
又由n∈N+，则n＝2或3，
则数列中有2项是负数；
（3）根据题意，an＝n2﹣5n+4＝（n）2，
故当n＝2或3时，an有最小值，其最小值为﹣2．
【点评】本题考查数列的函数特性，涉及数列的表示方法，属于基础题．
16．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差d＝4，ak＝15，Sk＝36，k∈N*．
（1）求k及数列{an}的通项公式；
（2）记bn，n∈N*，若b1，b2，b3成等差数列，求c并证明{bn}为等差数列．
【答案】（1）an＝4n﹣1；（2）c＝0或；证明过程见解析．
【分析】（1）直接利用等差数列的性质和求和公式求出数列的通项公式；
（2）利用等差中项和等差数列的定义求出结果．
【解答】解：（1）等差数列{an}的前n项和为Sn，公差d＝4，ak＝15，Sk＝36，k∈N*，设首项为a1，
所以，解得k＝4或（舍去），
故k＝4，
所以an＝4n﹣1．
证明：（2）由（1）得：，由于，
所以，，，
由于b1，b2，b3成等差数列，
所以，解得c＝0或c，
当时，故，
所以bn+1﹣bn＝2（常数），所以{bn}为等差数列；
当c＝0时，故，所以bn+1﹣bn＝2（常数），所以{bn}为等差数列．
【点评】本题考查的知识点：数列的通项公式的求法，数列的求和，等差数列的定义，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
17．已知{an}为等差数列，{bn}为等比数列，a1＝b1＝1，a5＝5（a4﹣a3），b5＝4（b4﹣b3）．
（1）求{an}和{bn}的通项公式；
（2）令cn＝an bn，求数列{cn}的前n项和；
（3）记dn＝3n﹣2 （﹣1）nλbn（λ≠0），是否存在实数λ，使得对任意的正整数，恒有dn+1＞dn？若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由．
【答案】（1）an＝n，bn＝2n﹣1；
（2）（n﹣1） 2n+1；
（3）存在实数λ∈（，0）∪（0，1）．
【分析】（1）根据等差、等比数列通项公式，结合题设求基本量，进而写出{an}和{bn}的通项公式；
（2）由（1）得cn＝n 2n﹣1，应用错位相减法求前n项和Tn；
（3）由（1）得dn＝3n﹣（﹣2）nλ，要使题设不等式恒成立即（﹣2）n﹣1λ＜3n﹣1在n∈N*上恒成立，讨论n的奇偶性，判断是否存在λ使之成立．
【解答】解：（1）{an}为等差数列，{bn}为等比数列，
a1＝b1＝1，a5＝5（a4﹣a3），b5＝4（b4﹣b3）．
设公差为d，公比为q，可得1+4d＝5d，即d＝1，
q4＝4（q3﹣q2），解得q＝2，
可得an＝n，bn＝2n﹣1；
（2）由（1）知cn＝an bn＝n 2n﹣1，
设Tn＝1 20+2 21+3 22+...+n 2n﹣1，
2Tn＝1 2+2 22+3 23+...+n 2n，
以上两式相减，得﹣Tn＝1+2+22+...+2n﹣1﹣n 2nn 2n＝（1﹣n） 2n﹣1
可得数列{cn}的前n项和为（n﹣1） 2n+1；
（3）由题设可得dn＝3n﹣（﹣2）nλ，
要使对任意的正整数，恒有dn+1＞dn，
即3n+1﹣（﹣2）n+1λ＞3n﹣（﹣2）nλ，
即3n﹣1＞（﹣2）n﹣1λ恒成立．
当n为奇数时，λ＜（）n﹣1恒成立，
而（）n﹣1≥1，故当λ＜1且λ≠0时，存在n∈N*使其成立；
当n为偶数时，λ＞﹣（）n﹣1恒成立，
而﹣（）n﹣1，故当λ且λ≠0时，存在n∈N*使其成立；
综上，存在实数λ∈（，0）∪（0，1），使得对任意的正整数n，恒有dn+1＞dn．
【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式、求和公式，以及数列的错位相减法求和、数列的单调性，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
18．已知数列{an}为等差数列，前n项和为Sn，a3＝9，S3＝18，数列{bn}为等比数列，公比q＞1，前n项和为Tn，b2＝4，T3＝14，数列{cn}的前n项和为Mn，{cn}中的项满足．
（1）当c3+c5＝kc7时，求k的值；
（2）是否存在n∈N*使得M2n＝3bn﹣1，若存在有几个，请说明理由；
（3）设数列{dn}的前n项和为，证明：．
【答案】（1）1；
（2）1个，理由见解析；
（3）证明见解析．
【分析】（1）根据给定条件，求出数列{an}，{bn}的通项公式，再依次求出数列{cn}的前7项即可得解．
（2）由已知结合（1）的信息可得M2n＝Sn+Tn，并求出M2n，再作差构造新数列，探讨单调性即可得解．
（3）求出dn，再利用裂项相消法求和即可．
【解答】解：（1）设等差数列{an}的公差为d，由a3＝9，S3＝18，可得a1+2d＝9，3a1+3d＝18，
解得a1＝d＝3，则an＝3+3（n﹣1）＝3n；
由b2＝b1q＝4，，得2q2﹣5q+2＝0，而q＞1，解得b1＝q＝2，
则bn＝b1qn﹣1＝2n；
由a1＝3，b1＝2，得c1＝2，c2＝3；由a2＝6，b2＝4，得c3＝4，c4＝6；
由a3＝9，b3＝8，得c5＝8，c6＝9；由a4＝12，b4＝16，得c7＝12，c8＝16，
则c3+c5＝4+8＝12＝c7，所以k＝1．
（2）由（1）知，，
由M2n＝3bn﹣1，得，则3n2+3n＝2 2n+2，当n＝1时符合，
令，则r1＝0，r2＝8，r3＝18，r4＝26，r5＝24，r6＝﹣4，
，当1≤n≤3时，rn+1﹣rn＞0，
当n≥4，rn+1﹣rn＜0，即r1＜r2＜r3＜r4＞r5＞r6＞
所以有且只有n＝1符合．
（3）证明：由（﹣1）n
＝（﹣1）n[]，
所以，
由0，可得E2n．
【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式、求和公式，以及数列的分组求和、裂项相消求和，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
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第四章 数列
一、选择题
1．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且，则a6﹣a3＝（ ）
A．3 B．6 C．9 D．18
2．罗星塔是航海灯塔，是福州港口的标志，是国际上公认的海上重要航标之一，世界许多航海图上都标有罗星塔．如图，该塔为七层仿楼阁式石塔，假设该塔底层（第一层）的底面直径为8米，且每往上一层，底面直径减少0.6米，则该塔顶层（第七层）的底面直径为（ ）
A．3.1米 B．3.8米 C．4.4米 D．5米
3．已知递减等差数列{an}，a1，a2024是方程x2﹣2025x+2024＝0两个实根，当an＝0时，n＝（ ）
A．2026 B．2025 C．1012 D．2
4．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若2，则（ ）
A． B． C． D．
5．等比数列{an}中，Sn为其前n项和，a1＝1，且4a1，2a2，a3成等差数列，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．1
6．在等比数列{an}中，若a5a7a9a11＝36，则a2a14＝（ ）
A．6 B．9 C．±6 D．±9
7．数列1，2，3，…，n的前n项和为（ ）
A．n+1﹣（）n﹣1 B．n2n2
C．n2n2 D．n1
二、填空题
8．设等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn和Tn．若，则 ．
9．已知数列{an}的通项公式为an＝﹣n+c，其中c为常数，设数列{an}的前n项和为Sn，若S6＞S5且S6＞S7，则c的取值范围为 ．
10．已知{an}是公差为d的等差数列，{bn}是公比为q的等比数列．若数列{an+bn}的前n项和Sn＝2n2﹣n+2n﹣1（n∈N*），则d+q的值为 ．
11．已知四个整数a，b，c，d满足0＜a＜b＜c＜d．若a，b，c成等差数列，b，c，d成等比数列，且d﹣a＝48，则a+b+c+d的值为 ．
三、多选题
（多选）12．已知数列{an}满足a1＝1，，则下列结论正确的有（ ）
A．为等比数列
B．{an}的通项公式为
C．{an}为递增数列
D．的前n项和
（多选）13．已知等比数列{an}的公比，等差数列{bn}的首项b1＝12，若a9＞b9且a10＞b10，则以下结论正确的有（ ）
A．a9 a10＜0 B．a9＞a10 C．b10＞0 D．b9＞b10
四、解答题
14．已知数列{an}的通项公式为an＝2n+λn，其中常数λ∈R．
（1）若a3＝4a2，求λ的值；
（2）若{an}前10项的和为1551，试分析{an}的单调性；
（3）对于常数t，记集合 t＝{n|an＝t}，试求当λ与t变化时，集合 t中元素个数的最大值．
15．已知数列{an}的通项公式为an＝n2﹣5n+4．
（1）30是不是数列{an}中的项？70呢？
（2）数列中有多少项是负数？
（3）当n为何值时an有最小值？并求出这个最小值．
16．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差d＝4，ak＝15，Sk＝36，k∈N*．
（1）求k及数列{an}的通项公式；
（2）记bn，n∈N*，若b1，b2，b3成等差数列，求c并证明{bn}为等差数列．
17．已知{an}为等差数列，{bn}为等比数列，a1＝b1＝1，a5＝5（a4﹣a3），b5＝4（b4﹣b3）．
（1）求{an}和{bn}的通项公式；
（2）令cn＝an bn，求数列{cn}的前n项和；
（3）记dn＝3n﹣2 （﹣1）nλbn（λ≠0），是否存在实数λ，使得对任意的正整数，恒有dn+1＞dn？若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由．
18．已知数列{an}为等差数列，前n项和为Sn，a3＝9，S3＝18，数列{bn}为等比数列，公比q＞1，前n项和为Tn，b2＝4，T3＝14，数列{cn}的前n项和为Mn，{cn}中的项满足．
（1）当c3+c5＝kc7时，求k的值；
（2）是否存在n∈N*使得M2n＝3bn﹣1，若存在有几个，请说明理由；
（3）设数列{dn}的前n项和为，证明：．
第四章 数列
参考答案与试题解析
一、选择题
1．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且，则a6﹣a3＝（ ）
A．3 B．6 C．9 D．18
【答案】B
【分析】由等差数列的前n项和公式计算即可求得．
【解答】解：因为等差数列{an}的前n项和为Sn，且，
所以，
所以a6﹣a3＝6．
故选：B．
【点评】本题考查等差数列的前n项和公式的应用，属于基础题．
2．罗星塔是航海灯塔，是福州港口的标志，是国际上公认的海上重要航标之一，世界许多航海图上都标有罗星塔．如图，该塔为七层仿楼阁式石塔，假设该塔底层（第一层）的底面直径为8米，且每往上一层，底面直径减少0.6米，则该塔顶层（第七层）的底面直径为（ ）
A．3.1米 B．3.8米 C．4.4米 D．5米
【答案】C
【分析】利用等差数列的性质求第七层的底面直径即可．
【解答】解：由该塔底层（第一层）的底面直径为8米，且每往上一层，底面直径减少0.6米，
可得从第一层到顶层的底面直径构成首项为8，公差为﹣0.6的等差数列，
所以a7＝8+6×（﹣0.6）＝4.4米．
故选：C．
【点评】本题主要考查等差数列的性质应用，考查计算能力，属于基础题．
3．已知递减等差数列{an}，a1，a2024是方程x2﹣2025x+2024＝0两个实根，当an＝0时，n＝（ ）
A．2026 B．2025 C．1012 D．2
【答案】B
【分析】根据二次方程求a1＝2和a2024，再根据等差数列的公式，即可求解．
【解答】解：方程x2﹣2025x+2024＝0的两个根是1和2024，
又等差数列{an}递减，a1，a2024是方程x2﹣2025x+2024＝0两个实根，
则a1＝2024，a2024＝1，
数列的公差为，所以a2025＝a2024+d＝1﹣1＝0，故n＝2025．
故选：B．
【点评】本题主要考查等差数列的性质，属于基础题．
4．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若2，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意，由等差数列的前n项和公式和性质可得，进而计算可得答案．
【解答】解：根据题意，等差数列{an}中，，
又由2，则，
故选：A．
【点评】本题考查等差数列的前n项和，涉及等差数列的性质，属于基础题．
5．等比数列{an}中，Sn为其前n项和，a1＝1，且4a1，2a2，a3成等差数列，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】D
【分析】先根据等差中项及等比数列得通项求出公比，再根据等比数列的前n项和公式求出Sn，判断出数列的单调性即可得解．
【解答】解：设公比为q，
由4a1，2a2，a3成等差数列，得4a2＝4a1+a3，
又数列{an}为等比数列，所以得，解得q＝2，
所以，
令，
则，
所以数列递增数列，
所以当n＝1时，取得最小值1．
故选：D．
【点评】本题主要考查了等比数列的通项公式，求和公式的应用，等差数列的性质及数列单调性，属于中档题．
6．在等比数列{an}中，若a5a7a9a11＝36，则a2a14＝（ ）
A．6 B．9 C．±6 D．±9
【答案】A
【分析】根据等比数列性质直接求解即可．
【解答】解：因为，
所以（负值舍去），
所以．
故选：A．
【点评】本题考查等比数列性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
7．数列1，2，3，…，n的前n项和为（ ）
A．n+1﹣（）n﹣1 B．n2n2
C．n2n2 D．n1
【答案】B
【分析】先利用等比数列的前n项和公式求解此数列的通项an＝n+1，再利用分组求和法，结合等差数列和等比数列的前n项和公式求解即可．
【解答】解：此数列的通项an＝nnn+1，
所以数列的前n项和Sn＝2+3+4+（n+1）﹣（1）．
故选：B．
【点评】本题主要考查了等差数列和等比数列的前n项和公式，考查了分组求和法的应用，属于中档题．
二、填空题
8．设等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn和Tn．若，则 ．
【答案】．
【分析】直接利用等差数列的性质和等差数列的前n项和公式求出结果．
【解答】解：由于：，所以：．
故答案为：．
【点评】本题考查的知识要点：等差数列的性质和等差数列的前n项和公式，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
9．已知数列{an}的通项公式为an＝﹣n+c，其中c为常数，设数列{an}的前n项和为Sn，若S6＞S5且S6＞S7，则c的取值范围为 （6，7） ．
【答案】（6，7）．
【分析】由a6＝S6﹣S5＞0，且a7＝S7﹣S6＜0，结合数列的通项公式，解不等式可得所求取值范围．
【解答】解：数列{an}的通项公式为an＝﹣n+c，其中c为常数，
设数列{an}的前n项和为Sn，若S6＞S5且S6＞S7，
则a6＝S6﹣S5＞0，且a7＝S7﹣S6＜0，
即有c﹣6＞0，且c﹣7＜0，
解得6＜c＜7，即c的取值范围是（6，7）．
故答案为：（6，7）．
【点评】本题考查数列的通项与求和的关系，考查运算能力，属于基础题．
10．已知{an}是公差为d的等差数列，{bn}是公比为q的等比数列．若数列{an+bn}的前n项和Sn＝2n2﹣n+2n﹣1（n∈N*），则d+q的值为 6 ．
【答案】6．
【分析】由{an+bn}的前n项和Sn＝2n2﹣n+2n﹣1（n∈N*），由{an}是公差为d的等差数列，设首项为a1；求出等差数列的前n项和的表达式；{bn}是公比为q的等比数列，设首项为b1，讨论当q为1和不为1时的前n项和的表达式，由题意可得q≠1，由对应项的系数相等可得d，q的值，进而求出d+q的值．
【解答】解：因为{an+bn}的前n项和Sn＝2n2﹣n+2n﹣1（n∈N*），
又因为{an}是公差为d的等差数列，设首项为a1；{bn}是公比为q的等比数列，设首项为b1，
所以{an}的通项公式an＝a1+（n﹣1）d，所以其前n项和An＝na1n（n﹣1）dn2+（a1）n，
当{bn}中，当公比q＝1时，其前n项和Bn＝nb1，
所以{an+bn}的前n项和Sn＝An+Bnn2+（a1）n+nb1＝2n2﹣n+2n﹣1，显然没有出现2n，所以q≠1，
则{bn}的前n项和为Bn，
所以Sn＝An+Bnn2+（a1）n2n2﹣n+2n﹣1，
由两边对应项相等可得2，a11，q＝2，1，
解得d＝4，a1＝1，q＝2，b1＝1，
所以d+q＝6．
故答案为：6．
【点评】本题考查等差数列和等比数列的求和公式，以及恒等式的性质，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于基础题．
11．已知四个整数a，b，c，d满足0＜a＜b＜c＜d．若a，b，c成等差数列，b，c，d成等比数列，且d﹣a＝48，则a+b+c+d的值为 333 ．
【答案】333．
【分析】设公差为x，从而由题意列式得到x2+3bx＝48b，化为，结合b为整数确定x的取值，进而确定a+b+c+d的值．
【解答】解：因为a，b，c成等差数列，故设公差为x，则a＝b﹣x，c＝b+x，
由b，c，d成等比数列，得c2＝bd，结合d﹣a＝48，
得（b+x）2＝b（48+b﹣x），整理得x2+3bx＝48b，
由于a，b，c，d为整数，且0＜a＜b＜c＜d，故x为整数，x＞0，
则，需满足，即，
结合b为整数，代入x＝6，7，8，9， ，15，可得只有当x＝12，15时，才为整数，
当x＝12时，，则a＝b﹣x＝0，不合题意；
当x＝15时，，则a＝b﹣x＝60，c＝b+x＝90，d＝48+a＝108，适合题意，
则a+b+c+d＝60+75+90+108＝333．
故答案为：333．
【点评】本题考查了数列的综合应用，解答的关键是利用等差等比数列的性质来设参数x，得出后，要结合题意确定x的值，进而求得答案．
三、多选题
（多选）12．已知数列{an}满足a1＝1，，则下列结论正确的有（ ）
A．为等比数列
B．{an}的通项公式为
C．{an}为递增数列
D．的前n项和
【答案】ABD
【分析】首先利用定义求出数列的通项公式，进一步求出数列的和．
【解答】解：数列{an}满足a1＝1，，整理得：2an+1+3anan+1＝an，
转换为，
故：，所以是以为首项，2为公比的等比数列．
故：，整理得．
则：{an}为递减数列．
进一步整理得：，
所以{}的前n项和：，
故选：ABD．
【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，数列的前n项和的求法及应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．
（多选）13．已知等比数列{an}的公比，等差数列{bn}的首项b1＝12，若a9＞b9且a10＞b10，则以下结论正确的有（ ）
A．a9 a10＜0 B．a9＞a10 C．b10＞0 D．b9＞b10
【答案】AD
【分析】设等差数列的公差为d，运用等差数列和等比数列的通项公式分析A正确，B不正确，结合条件判断等差数列为递减数列，即可得到C错误，D正确．
【解答】解：数列{an}是公比q为的等比数列，{bn}是首项为12，公差设为d的等差数列，
则，，
∴a9 a100，故A正确；
∵a1正负不确定，故B错误；
∵a9 a10＜0，∴a9与a10异号，又a9＞b9且a10＞b10，
∴b9与b10中至少有一个是负数，
且a1（）8＞12+8d，a1（）9＞12+9d，
可得等差数列{bn}一定是递减数列，即d＜0，
即有a9＞b9＞b10，则b10＜0，故C错误，D正确．
故选：AD．
【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式，以及单调性的判断，考查运算能力和推理能力，是中档题．
四、解答题
14．已知数列{an}的通项公式为an＝2n+λn，其中常数λ∈R．
（1）若a3＝4a2，求λ的值；
（2）若{an}前10项的和为1551，试分析{an}的单调性；
（3）对于常数t，记集合 t＝{n|an＝t}，试求当λ与t变化时，集合 t中元素个数的最大值．
【答案】（1）；
（2）从首项到第4项单调递减，且从第四项起数列单调递增；
（3）集合 t中元素个数的最大值为2．
【分析】（1）根据给定条件，代入计算即可算出λ的值；
（2）利用等差数列、等比数列前n项和公式求出通项，再作差分析判断数列单调性即可；
（3）先作差，再按λ≥0、λ＜0两种情况判断数列的单调性，进而确定an＝t的解的个数，即可得到本题的答案．
【解答】解：（1）由，得a3＝8+3λ，a2＝4+2λ，由a3＝4a2，可得8+3λ＝16+8λ，解得；
（2）依题意，数列{an}的前10项的和为，于是55λ+2046＝1551，解得λ＝﹣9，
对任意正整数n，，则当n∈{1，2，3}时，an+1＜an；
当n∈N*，且n≥4时，an+1＞an，从而a1＞a2＞a3＞a4，并且a4＜a5＜a6＜ ，
所以数列{an}从首项至第4项单调递减，且从第四项起数列单调递增；
（3）对任意正整数n，，则当λ≥0时，an+1﹣an＞0恒成立，此时数列{an}单调递增，相应地集合 t中的元素至多有1个；
而当λ＜0时，，则当n＜log2|λ|时，an+1＜an，当n＝log2|λ|时，an+1＝an，n＞log2|λ|时，an+1＞an，
因此数列{an}的单调性为先单调递减（可能没有这一部分），
随后有相邻两项相等（也可能没有这一部分），最终单调递增，因此集合 t中的元素个数不会超过2，
而当λ＝﹣2，t＝0时，1和2都是C0中的元素，所以集合 t中元素个数的最大值为2．
【点评】本题主要考查数列的递推公式、等比数列的通项与求和、数列的单调性及其应用等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于中档题．
15．已知数列{an}的通项公式为an＝n2﹣5n+4．
（1）30是不是数列{an}中的项？70呢？
（2）数列中有多少项是负数？
（3）当n为何值时an有最小值？并求出这个最小值．
【答案】（1）30不是数列的项，70是数列的第11项；
（2）数列中有2项是负数；
（3）当n＝2或3时，an有最小值，其最小值为﹣2．
【分析】（1）根据题意，由数列的通项公式，令an＝30和70，判断方程有无正整数解，即可得答案；
（2）根据题意，令an＝n2﹣5n+4＜0，解可得n的取值范围，分析可得答案；
（3）根据题意，结合二次函数的性质分析可得答案．
【解答】解：（1）根据题意，an＝n2﹣5n+4，
若an＝n2﹣5n+4＝30，即n2﹣5n﹣26＝0，无正整数解，则30不是数列的项，
若an＝n2﹣5n+4＝70，即n2﹣5n﹣66＝0，解可得n＝11或﹣6（舍），则70是数列的第11项，
（2）根据题意，an＝n2﹣5n+4，
若an＝n2﹣5n+4＜0，解可得1＜n＜4，
又由n∈N+，则n＝2或3，
则数列中有2项是负数；
（3）根据题意，an＝n2﹣5n+4＝（n）2，
故当n＝2或3时，an有最小值，其最小值为﹣2．
【点评】本题考查数列的函数特性，涉及数列的表示方法，属于基础题．
16．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差d＝4，ak＝15，Sk＝36，k∈N*．
（1）求k及数列{an}的通项公式；
（2）记bn，n∈N*，若b1，b2，b3成等差数列，求c并证明{bn}为等差数列．
【答案】（1）an＝4n﹣1；（2）c＝0或；证明过程见解析．
【分析】（1）直接利用等差数列的性质和求和公式求出数列的通项公式；
（2）利用等差中项和等差数列的定义求出结果．
【解答】解：（1）等差数列{an}的前n项和为Sn，公差d＝4，ak＝15，Sk＝36，k∈N*，设首项为a1，
所以，解得k＝4或（舍去），
故k＝4，
所以an＝4n﹣1．
证明：（2）由（1）得：，由于，
所以，，，
由于b1，b2，b3成等差数列，
所以，解得c＝0或c，
当时，故，
所以bn+1﹣bn＝2（常数），所以{bn}为等差数列；
当c＝0时，故，所以bn+1﹣bn＝2（常数），所以{bn}为等差数列．
【点评】本题考查的知识点：数列的通项公式的求法，数列的求和，等差数列的定义，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
17．已知{an}为等差数列，{bn}为等比数列，a1＝b1＝1，a5＝5（a4﹣a3），b5＝4（b4﹣b3）．
（1）求{an}和{bn}的通项公式；
（2）令cn＝an bn，求数列{cn}的前n项和；
（3）记dn＝3n﹣2 （﹣1）nλbn（λ≠0），是否存在实数λ，使得对任意的正整数，恒有dn+1＞dn？若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由．
【答案】（1）an＝n，bn＝2n﹣1；
（2）（n﹣1） 2n+1；
（3）存在实数λ∈（，0）∪（0，1）．
【分析】（1）根据等差、等比数列通项公式，结合题设求基本量，进而写出{an}和{bn}的通项公式；
（2）由（1）得cn＝n 2n﹣1，应用错位相减法求前n项和Tn；
（3）由（1）得dn＝3n﹣（﹣2）nλ，要使题设不等式恒成立即（﹣2）n﹣1λ＜3n﹣1在n∈N*上恒成立，讨论n的奇偶性，判断是否存在λ使之成立．
【解答】解：（1）{an}为等差数列，{bn}为等比数列，
a1＝b1＝1，a5＝5（a4﹣a3），b5＝4（b4﹣b3）．
设公差为d，公比为q，可得1+4d＝5d，即d＝1，
q4＝4（q3﹣q2），解得q＝2，
可得an＝n，bn＝2n﹣1；
（2）由（1）知cn＝an bn＝n 2n﹣1，
设Tn＝1 20+2 21+3 22+...+n 2n﹣1，
2Tn＝1 2+2 22+3 23+...+n 2n，
以上两式相减，得﹣Tn＝1+2+22+...+2n﹣1﹣n 2nn 2n＝（1﹣n） 2n﹣1
可得数列{cn}的前n项和为（n﹣1） 2n+1；
（3）由题设可得dn＝3n﹣（﹣2）nλ，
要使对任意的正整数，恒有dn+1＞dn，
即3n+1﹣（﹣2）n+1λ＞3n﹣（﹣2）nλ，
即3n﹣1＞（﹣2）n﹣1λ恒成立．
当n为奇数时，λ＜（）n﹣1恒成立，
而（）n﹣1≥1，故当λ＜1且λ≠0时，存在n∈N*使其成立；
当n为偶数时，λ＞﹣（）n﹣1恒成立，
而﹣（）n﹣1，故当λ且λ≠0时，存在n∈N*使其成立；
综上，存在实数λ∈（，0）∪（0，1），使得对任意的正整数n，恒有dn+1＞dn．
【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式、求和公式，以及数列的错位相减法求和、数列的单调性，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
18．已知数列{an}为等差数列，前n项和为Sn，a3＝9，S3＝18，数列{bn}为等比数列，公比q＞1，前n项和为Tn，b2＝4，T3＝14，数列{cn}的前n项和为Mn，{cn}中的项满足．
（1）当c3+c5＝kc7时，求k的值；
（2）是否存在n∈N*使得M2n＝3bn﹣1，若存在有几个，请说明理由；
（3）设数列{dn}的前n项和为，证明：．
【答案】（1）1；
（2）1个，理由见解析；
（3）证明见解析．
【分析】（1）根据给定条件，求出数列{an}，{bn}的通项公式，再依次求出数列{cn}的前7项即可得解．
（2）由已知结合（1）的信息可得M2n＝Sn+Tn，并求出M2n，再作差构造新数列，探讨单调性即可得解．
（3）求出dn，再利用裂项相消法求和即可．
【解答】解：（1）设等差数列{an}的公差为d，由a3＝9，S3＝18，可得a1+2d＝9，3a1+3d＝18，
解得a1＝d＝3，则an＝3+3（n﹣1）＝3n；
由b2＝b1q＝4，，得2q2﹣5q+2＝0，而q＞1，解得b1＝q＝2，
则bn＝b1qn﹣1＝2n；
由a1＝3，b1＝2，得c1＝2，c2＝3；由a2＝6，b2＝4，得c3＝4，c4＝6；
由a3＝9，b3＝8，得c5＝8，c6＝9；由a4＝12，b4＝16，得c7＝12，c8＝16，
则c3+c5＝4+8＝12＝c7，所以k＝1．
（2）由（1）知，，
由M2n＝3bn﹣1，得，则3n2+3n＝2 2n+2，当n＝1时符合，
令，则r1＝0，r2＝8，r3＝18，r4＝26，r5＝24，r6＝﹣4，
，当1≤n≤3时，rn+1﹣rn＞0，
当n≥4，rn+1﹣rn＜0，即r1＜r2＜r3＜r4＞r5＞r6＞
所以有且只有n＝1符合．
（3）证明：由（﹣1）n
＝（﹣1）n[]，
所以，
由0，可得E2n．
【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式、求和公式，以及数列的分组求和、裂项相消求和，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
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