第四章 数列（单元测试）（含解析）-2025-2026学年人教A版（2019）高中数学选择性必修第二册
文档属性
| 名称 | 第四章 数列（单元测试）（含解析）-2025-2026学年人教A版（2019）高中数学选择性必修第二册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 89.4KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-09-12 18:43:22 | ||
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文档简介
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第四章 数列
一、选择题
1．在等比数列{an}中，若a1＝27，，则a3＝（ ）
A．3或﹣3 B．3 C．﹣9或9 D．9
2．已知等差数列{an}的公差不为零，且a4＝2a2，则的值是（ ）
A．2 B．3 C． D．
3．设{an}是公差不为0的等差数列，a1＝2且a1，a3，a6成等比数列，则{an}的前5项和S5＝（ ）
A．10 B．15 C．20 D．30
4．等差数列{an}的前n项和是Sn，公差d不等于零，若a2，a3，a6成等比，则（ ）
A．a1d＞0，dS3＞0 B．a1d＞0，dS3＜0
C．a1d＜0，dS3＞0 D．a1d＜0，dS3＜0
5．已知数列{an}满足an＝2n+1．其中a1，ai，aj是公比为q（q≠1）的等比数列，则q的最小值为（ ）
A．3 B．4 C． D．
6．设数列{an}，{bn}满足an+bn＝700，，n∈N*，若a6＝400，则（ ）
A．a4＞a3 B．b4＜b3 C．a3＞b3 D．a4＜b4
7．已知数列{an}为等差数列，且a8＝1，则2|a9|+|a10|的最小值为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
8．已知等比数列{an}的公比为q，其前n项和为Sn，若Sn＜0对任意的n∈N+恒成立，则q的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，0）∪（0，1） B．（﹣1，0）∪（0，1）
C．（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞） D．（﹣1，0）∪（0，+∞）
二、填空题
9．设等比数列{an}的公比q＝2，前n项和为Sn，S4＝λa4，则λ为 ．
10．已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和．若a1＝6，a3+a5＝0，则S6＝ ．
11．等比数列{an}满足如下条件：对于任意n∈N*，有an+1＞an，Sn+1＜Sn．试写出满足上述条件的一个通项公式an＝ ．
12．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝﹣11，a2＝﹣9，则当Sn取最小值是，n＝ ．
三、多选题
（多选）13．已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，且 n＞1，其前n项和Sn满足Sn+1+Sn﹣1＝2（Sn+1），则（ ）
A．a7＝13 B．a8＝14 C．S7＝43 D．S8＝64
（多选）14．已知正项数列{an}是递增的等差数列，{bn}是公比为q的等比数列，且满足a1＝b1，a5＝b5，则（ ）
A．a6＞a3 B．b3＞b1 C．a3＞b3 D．a6＜b6
四、解答题
15．已知{an}是公差为1的等差数列，且a1，a2，a4成等比数列．
（1）求{an}的通项公式；
（2）求数列{}的前n项和．
16．已知等差数列{an}的公差为d（d＞0），等差数列{bn}的公差为2d．设An，Bn分别是数列{an}，{bn}的前n项和，且b1＝3，A2＝3，A5＝B3．
（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（2）设cn，求数列{cn}的前n 项和 Sn．
17．从“①Sn＝n（n）；②S2＝a3，a4＝a1a2；③a1＝2，a4是a2，a8的等比中项．”三个条件任选一个，补充到下面横线处，并解答．
已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差d不等于零，______，n∈N*．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若bn，数列{bn}的前n项和为Wn，求Wn．
18．关于某港口今后20年的发展规划，有如下两种方案：
方案甲：按现状进行运营．据测算，每年可收入760万元，但由于港口淤积日益严重，从明年开始需投资进行清淤，第一年投资50万元，以后逐年递增20万元．
方案乙：从明年起开始投资6000万元进行港口改造，以彻底根治港口淤积并提高吞吐能力．港口改造需用时4年，在此期间边改造边运营．据测算，开始改造后港口第一年的收入为320万元，在以后的3年中，每年收入都比上一年增长50%，而后各年的收入都稳定在第4年的水平上．
（I）从明年开始至少经过多少年，方案乙能收回投资（累计总收益为正数）？
（II）从明年开始至少经过多少年，方案乙的累计总收益超过方案甲？（注：收益＝收入﹣投资）
第四章 数列
参考答案与试题解析
一、选择题
1．在等比数列{an}中，若a1＝27，，则a3＝（ ）
A．3或﹣3 B．3 C．﹣9或9 D．9
【答案】B
【分析】根据等比数列的通项公式即可求解．
【解答】解：因为a3是a1和a5的等比中项，则，
解得a3＝±3，由等比数列的符号特征知a3＝3．
故选：B．
【点评】本题考查等比数列的通项公式，属于基础题．
2．已知等差数列{an}的公差不为零，且a4＝2a2，则的值是（ ）
A．2 B．3 C． D．
【答案】A
【分析】a4＝2a2，可得a1+3d＝2（a1+d），化为：a1＝d≠0．再利用通项公式化简，即可得出．
【解答】解：a4＝2a2，∴a1+3d＝2（a1+d），化为：a1＝d≠0．
则2．
故选：A．
【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
3．设{an}是公差不为0的等差数列，a1＝2且a1，a3，a6成等比数列，则{an}的前5项和S5＝（ ）
A．10 B．15 C．20 D．30
【答案】B
【分析】由已知可得a1a6，结合等差数列的通项公式可求公差d，代入等差数列的求和公式即可
【解答】解：∵a1＝2且a1，a3，a6成等比数列
∴a1a6
∴（2+2d）2＝2（2+5d）
∴2d2＝d
∵d≠0
∴d
∴15
故选：B．
【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式、求和公式及等比数列的 性质的应用，属于数列知识的简单应用
4．等差数列{an}的前n项和是Sn，公差d不等于零，若a2，a3，a6成等比，则（ ）
A．a1d＞0，dS3＞0 B．a1d＞0，dS3＜0
C．a1d＜0，dS3＞0 D．a1d＜0，dS3＜0
【答案】C
【分析】由a2、a3、a6成等比数列．可得a2a6，利用等差数列的通项公式可得（a1+2d）2＝（a1+d）（a1+5d），解出a1d＜0，2a1+d＝0．即可．
【解答】解：由a2、a3、a6成等比数列．可得a2a6，
可得（a1+2d）2＝（a1+d）（a1+5d），
即 2a1d+d2＝0，∵公差d不等于零，
∴a1d＜0，2a1+d＝0．
∴dS3＝d（3a1+3d）．
故选：C．
【点评】本题考查了等差数列的通项公式、考查了计算能力，属于基础题．
5．已知数列{an}满足an＝2n+1．其中a1，ai，aj是公比为q（q≠1）的等比数列，则q的最小值为（ ）
A．3 B．4 C． D．
【答案】A
【分析】3，2i+1，2j+1是公比为q（q≠1）的等比数列，分别把四个选项中给出的q值代入验证，能求出结果．
【解答】解：∵数列{an}满足an＝2n+1．其中a1，ai，aj是公比为q（q≠1）的等比数列，
∴3，2i+1，2j+1是公比为q（q≠1）的等比数列，
当q时，2i+1＝35，2j+1，不成立，故C错误；
当q时，2i+1＝37，2j+1＝7，不成立，故D错误；
当q＝3时，2i+1＝3×3＝9，i＝4；2j+1＝9×3＝27，j＝13，成立，故A正确；
当q＝4时，2i+1＝3×4＝12，i，不成立，不成立，故B错误．
故选：A．
【点评】本题考查公比的求法，考查等差数列、等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
6．设数列{an}，{bn}满足an+bn＝700，，n∈N*，若a6＝400，则（ ）
A．a4＞a3 B．b4＜b3 C．a3＞b3 D．a4＜b4
【答案】C
【分析】由题意可得an+1an+280，可得an+1﹣400（an﹣400），由a6＝400，可得an＝400，bn＝300，即可得到所求结论．
【解答】解：an+bn＝700，，
可得bn＝700﹣an，
即有an+1an+280，
可得an+1﹣400（an﹣400）
可得an﹣400＝（a6﹣400） （）n﹣6＝0，
即有an＝400，bn＝300，
则a4＝a3，b4＝b3，a3＞b3，a4＞b4，
故选：C．
【点评】本题数列的通项的求法，注意运用构造等比数列法，考查运算能力，属于中档题．
7．已知数列{an}为等差数列，且a8＝1，则2|a9|+|a10|的最小值为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】C
【分析】设等差数列{an}的公差为d，可得a9＝d+1，a10＝d+2，则2|a9|+|a10|＝2|d+1|+|d+2|，写出分段函数，数形结合得答案．
【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，又a8＝1，
∴a9＝d+1，a10＝2d+1，
则2|a9|+|a10|＝2|d+1|+|2d+1|．
作出分段函数f（d）＝|的图象如图，
∴2|a9|+|a10|的最小值为1．
故选：C．
【点评】本题考查等差数列的通项公式，考查了数列的函数特性，是中档题．
8．已知等比数列{an}的公比为q，其前n项和为Sn，若Sn＜0对任意的n∈N+恒成立，则q的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，0）∪（0，1） B．（﹣1，0）∪（0，1）
C．（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞） D．（﹣1，0）∪（0，+∞）
【答案】D
【分析】由Sn＞0得出a1＞0，讨论q的取值情况，即可求出公比q的取值范围．
【解答】解：等比数列{an}的公比为q，若q≠1，则Sn，
因为Sn＜0对任意的n∈N+恒成立，所以a1＜0，
所以0恒成立，
①当q＞1时，1﹣qn＜0恒成立，即qn＞1恒成立，由q＞1，知qn＞1成立；
②当q＝1时，只要a1＜0，Sn＜0就一定成立；
③当q＜1时，需1﹣qn＞0恒成立，
当0＜q＜1时，1﹣qn＞0恒成立，
当﹣1＜q＜0时，1﹣qn＞0也恒成立，
当q＜﹣1时，当n为偶数时，1﹣qn＞0不成立，
当q＝﹣1时，1﹣qn＞0也不可能恒成立，
所以q的取值范围为（﹣1，0）∪（0，+∞）．
故选：D．
【点评】本题考查了等比数列的前n项和应用问题，也考查了分类讨论思想，是中档题．
二、填空题
9．设等比数列{an}的公比q＝2，前n项和为Sn，S4＝λa4，则λ为 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据等比数列的通项公式以及前n项和公式进行求解即可．
【解答】解：∵等比数列{an}的公比q＝2，
∴由S4＝λa4，得λ23a1＝8λa1，
即15＝8λ，
故λ，
故答案为：
【点评】本题主要考查等比数列的应用，根据等比数列的通项公式以及前n项和公式，建立方程是解决本题的关键．
10．已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和．若a1＝6，a3+a5＝0，则S6＝ 6 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】由已知条件利用等差数列的性质求出公差，由此利用等差数列的前n项和公式能求出S6．
【解答】解：∵{an}为等差数列，Sn为其前n项和．
a1＝6，a3+a5＝0，
∴a1+2d+a1+4d＝0，
∴12+6d＝0，
解得d＝﹣2，
∴S636﹣30＝6．
故答案为：6．
【点评】本题考查等差数列的前6项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．
11．等比数列{an}满足如下条件：对于任意n∈N*，有an+1＞an，Sn+1＜Sn．试写出满足上述条件的一个通项公式an＝ （答案不唯一） ．
【答案】（答案不唯一）．
【分析】直接利用等比数列的性质求出数列的通项公式．
【解答】解：由于Sn+1＜Sn，所以an+1+Sn＜Sn，故an+1＜0，且an+1＞an，
所以数列的首项和公比分别满足a1＜0，q∈（0，1）即可；
故（答案不唯一）．
故答案为：（答案不唯一）．
【点评】本题考查的知识要点：等比数列的性质，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．
12．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝﹣11，a2＝﹣9，则当Sn取最小值是，n＝ 6 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】由已知条件，坟出等差数列{an}的公差，从而得到前n项和公式，再利用配方法能求出结果．
【解答】解：∵等差数列{an}中，a1＝﹣11，a2＝﹣9，
∴d＝（﹣9）﹣（﹣11）＝2，
∴Sn＝﹣11n
＝﹣11n+n2﹣n
＝n2﹣12n
＝（n﹣6）2﹣36，
∴n＝6时，Sn取最小值36．
故答案为：6．
【点评】本题考查等差数列的前n项和取最小值时n的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意配方法的合理运用．
三、多选题
（多选）13．已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，且 n＞1，其前n项和Sn满足Sn+1+Sn﹣1＝2（Sn+1），则（ ）
A．a7＝13 B．a8＝14 C．S7＝43 D．S8＝64
【答案】BC
【分析】由Sn+1+Sn﹣1＝2（Sn+1），得an+1﹣an＝2（n≥2），又因为a2﹣a1＝1，所以数列{an}从第二项起为等差数列，且公差d＝2，再利用等差数列的通项公式和前n项和公式即可求解．
【解答】解：由Sn+1+Sn﹣1＝2（Sn+1），得an+1﹣an＝2（n≥2），
又因为a2﹣a1＝1，所以数列{an}从第二项起为等差数列，且公差d＝2，
故a7＝a2+5d＝2+5×2＝12，a8＝a2+6d＝2+6×2＝14，
所以选项A错误，选项B正确，
又143，157，
所以选项C正确，选项D错误，
故选：BC．
【点评】本题主要考查了数列的递推式，以及等差数列的通项公式和前n项和公式，是中档题．
（多选）14．已知正项数列{an}是递增的等差数列，{bn}是公比为q的等比数列，且满足a1＝b1，a5＝b5，则（ ）
A．a6＞a3 B．b3＞b1 C．a3＞b3 D．a6＜b6
【答案】ABC
【分析】设等差数列{an}的公差为d，根据{an}是正项递增的等差数列，可判断A；由已知条件可得，由d＞0可得q2＞1，即可判断B；根据基本不等式可判断C；当q＜﹣1时，a6＞b6，即可判断D．
【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，
因为a5＝b5，所以，
又a1＝b1，所以，
因为{an}是正项递增的等差数列，故d＞0，所以a6＞a3，故A正确；
由，得q4＞1，即q2＞1，所以，故B正确；
因为a3，
所以，
又a1≠a5，所以，即a3＞b3，故C正确；
因为q2＞1，所以q＜﹣1或q＞1，
当q＜﹣1时，a6＞0，b6＝b5q＜0，所以a6＞b6，所以D错误．
故选：ABC．
【点评】本题考查了等差数列与等比数列的综合应用，属于中档题．
四、解答题
15．已知{an}是公差为1的等差数列，且a1，a2，a4成等比数列．
（1）求{an}的通项公式；
（2）求数列{}的前n项和．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）直接利用已知条件求出数列的通项公式．
（2）利用乘公比错位相减法求出数列的和．
【解答】解：（1）数列{an}是公差为1的等差数列，且a1，a2，a4成等比数列．
由题意得：，
所以：，
解得：a1＝1，
所以数列{an}的通项公式为an＝n．
（2）设数列{}的前n项和，
则Sn，
，
两式相减得：，
整理得：．
【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，乘公比错位相减法在数列求和中的应用．
16．已知等差数列{an}的公差为d（d＞0），等差数列{bn}的公差为2d．设An，Bn分别是数列{an}，{bn}的前n项和，且b1＝3，A2＝3，A5＝B3．
（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（2）设cn，求数列{cn}的前n 项和 Sn．
【答案】（1）an＝n，bn＝2n+1．
（2）Sn＝2n+1﹣2．
【分析】（1）由b1＝3，A2＝3，A5＝B3，利用通项公式与求和公式列出方程组，解出a1，d，即可得出an，bn．
（2）cn2n（），利用求和公式与裂项求和方法即可得出结论．
【解答】解：（1）∵b1＝3，A2＝3，A5＝B3，
∴2a1+d＝3，5a1+10d＝3×3+3×2d，
解得a1＝d＝1，
∴an＝1+（n﹣1）×1＝n，bn＝3+2（n﹣1）＝2n+1．
（2）cn2n2n（），
∴数列{cn}的前n 项和 Sn（）＝2n+1﹣2（）＝2n+1﹣2．
【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、裂项求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
17．从“①Sn＝n（n）；②S2＝a3，a4＝a1a2；③a1＝2，a4是a2，a8的等比中项．”三个条件任选一个，补充到下面横线处，并解答．
已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差d不等于零，______，n∈N*．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若bn，数列{bn}的前n项和为Wn，求Wn．
【答案】（1）选①②③，都有an＝2n；（2）Wn＝4n+1+2n+1﹣6．
【分析】（1）分别选①②③，由等差数列的通项公式和等比数列的中项性质，解方程可得首项和公差，进而得到所求通项公式；
（2）由Sn＝n2+n，可得bn，再由数列的分组求和，结合等比数列的求和公式，计算可得所求和．
【解答】解：（1）选①Sn＝n（n），
可得a1＝S1＝1，解得a1＝2，
即Sn＝n2+n，
则a1+a2＝6，即a2＝4，d＝a2﹣a1＝2，
所以an＝2+2（n﹣1）＝2n；
选②S2＝a3，a4＝a1a2，
可得2a1+d＝a1+2d，a1+3d＝a1（a1+d），
解得a1＝d＝2，
所以an＝2+2（n﹣1）＝2n；
选③a1＝2，a4是a2，a8的等比中项，
可得a2a8，即（2+3d）2＝（2+d）（2+7d），
解得d＝2（d＝0舍去），
所以an＝2+2（n﹣1）＝2n；
（2）由Sn＝n2+n，
可得bn（2n+1）2+2n+1﹣（2n）2﹣2n＝3 4n+2n，
所以Wn＝3（4+42+43+…+4n）+（2+22+23+…+2n）
＝3
＝4n+1﹣4+2n+1﹣2＝4n+1+2n+1﹣6．
【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的分组求和，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
18．关于某港口今后20年的发展规划，有如下两种方案：
方案甲：按现状进行运营．据测算，每年可收入760万元，但由于港口淤积日益严重，从明年开始需投资进行清淤，第一年投资50万元，以后逐年递增20万元．
方案乙：从明年起开始投资6000万元进行港口改造，以彻底根治港口淤积并提高吞吐能力．港口改造需用时4年，在此期间边改造边运营．据测算，开始改造后港口第一年的收入为320万元，在以后的3年中，每年收入都比上一年增长50%，而后各年的收入都稳定在第4年的水平上．
（I）从明年开始至少经过多少年，方案乙能收回投资（累计总收益为正数）？
（II）从明年开始至少经过多少年，方案乙的累计总收益超过方案甲？（注：收益＝收入﹣投资）
【答案】见试题解答内容
【分析】（I）设从明年开始经过第n年，方案乙的累计总收益为正数．在方案乙中，前4年的总收入为，故n必定不小于5，则由260+320×1.54（n﹣4）＞6000，能求出n的最小值．
（II）设从明年开始经过n年方案甲与方案乙的累计总收益分别为y1，y2万元，则，当n≤4时，则y1＞0，y2＜0，可得y1＞y2；当n≥5时，y2＝2600+320×1.54（n﹣4）﹣6000＝1620n﹣9800，由此可得n的最小值．
【解答】解：（I）设从明年开始经过第n年，方案乙的累计总收益为正数．
在方案乙中，前4年的总收入为，
故n必定不小于5，则由260+320×1.54（n﹣4）＞6000，
解得，故n的最小值为7，
答：从明年开始至少经过7年，方案乙能收回投资．
（II）设从明年开始经过n年方案甲与方案乙的累计总收益分别为y1，y2万元，则，
当n≤4时，则y1＞0，y2＜0，可得y1＞y2；
当n≥5时，y2＝2600+320×1.54（n﹣4）﹣6000＝1620n﹣9800，
令y1＜y2，
可得1620n﹣9800＞﹣10n2+720n，
即n（n+90）＞998，
由10（10+90）＞9989（9+90）＜998，
可得n的最小值为10．
答：从明年开始至少经过10年，方案乙的累计总收益超过方案甲．
【点评】本题考查数列在生产实际中的应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．综合性强，是高考的重点，容易出错．解题时要注意不等式性质的灵活运用．
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第四章 数列
一、选择题
1．在等比数列{an}中，若a1＝27，，则a3＝（ ）
A．3或﹣3 B．3 C．﹣9或9 D．9
2．已知等差数列{an}的公差不为零，且a4＝2a2，则的值是（ ）
A．2 B．3 C． D．
3．设{an}是公差不为0的等差数列，a1＝2且a1，a3，a6成等比数列，则{an}的前5项和S5＝（ ）
A．10 B．15 C．20 D．30
4．等差数列{an}的前n项和是Sn，公差d不等于零，若a2，a3，a6成等比，则（ ）
A．a1d＞0，dS3＞0 B．a1d＞0，dS3＜0
C．a1d＜0，dS3＞0 D．a1d＜0，dS3＜0
5．已知数列{an}满足an＝2n+1．其中a1，ai，aj是公比为q（q≠1）的等比数列，则q的最小值为（ ）
A．3 B．4 C． D．
6．设数列{an}，{bn}满足an+bn＝700，，n∈N*，若a6＝400，则（ ）
A．a4＞a3 B．b4＜b3 C．a3＞b3 D．a4＜b4
7．已知数列{an}为等差数列，且a8＝1，则2|a9|+|a10|的最小值为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
8．已知等比数列{an}的公比为q，其前n项和为Sn，若Sn＜0对任意的n∈N+恒成立，则q的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，0）∪（0，1） B．（﹣1，0）∪（0，1）
C．（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞） D．（﹣1，0）∪（0，+∞）
二、填空题
9．设等比数列{an}的公比q＝2，前n项和为Sn，S4＝λa4，则λ为 ．
10．已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和．若a1＝6，a3+a5＝0，则S6＝ ．
11．等比数列{an}满足如下条件：对于任意n∈N*，有an+1＞an，Sn+1＜Sn．试写出满足上述条件的一个通项公式an＝ ．
12．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝﹣11，a2＝﹣9，则当Sn取最小值是，n＝ ．
三、多选题
（多选）13．已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，且 n＞1，其前n项和Sn满足Sn+1+Sn﹣1＝2（Sn+1），则（ ）
A．a7＝13 B．a8＝14 C．S7＝43 D．S8＝64
（多选）14．已知正项数列{an}是递增的等差数列，{bn}是公比为q的等比数列，且满足a1＝b1，a5＝b5，则（ ）
A．a6＞a3 B．b3＞b1 C．a3＞b3 D．a6＜b6
四、解答题
15．已知{an}是公差为1的等差数列，且a1，a2，a4成等比数列．
（1）求{an}的通项公式；
（2）求数列{}的前n项和．
16．已知等差数列{an}的公差为d（d＞0），等差数列{bn}的公差为2d．设An，Bn分别是数列{an}，{bn}的前n项和，且b1＝3，A2＝3，A5＝B3．
（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（2）设cn，求数列{cn}的前n 项和 Sn．
17．从“①Sn＝n（n）；②S2＝a3，a4＝a1a2；③a1＝2，a4是a2，a8的等比中项．”三个条件任选一个，补充到下面横线处，并解答．
已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差d不等于零，______，n∈N*．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若bn，数列{bn}的前n项和为Wn，求Wn．
18．关于某港口今后20年的发展规划，有如下两种方案：
方案甲：按现状进行运营．据测算，每年可收入760万元，但由于港口淤积日益严重，从明年开始需投资进行清淤，第一年投资50万元，以后逐年递增20万元．
方案乙：从明年起开始投资6000万元进行港口改造，以彻底根治港口淤积并提高吞吐能力．港口改造需用时4年，在此期间边改造边运营．据测算，开始改造后港口第一年的收入为320万元，在以后的3年中，每年收入都比上一年增长50%，而后各年的收入都稳定在第4年的水平上．
（I）从明年开始至少经过多少年，方案乙能收回投资（累计总收益为正数）？
（II）从明年开始至少经过多少年，方案乙的累计总收益超过方案甲？（注：收益＝收入﹣投资）
第四章 数列
参考答案与试题解析
一、选择题
1．在等比数列{an}中，若a1＝27，，则a3＝（ ）
A．3或﹣3 B．3 C．﹣9或9 D．9
【答案】B
【分析】根据等比数列的通项公式即可求解．
【解答】解：因为a3是a1和a5的等比中项，则，
解得a3＝±3，由等比数列的符号特征知a3＝3．
故选：B．
【点评】本题考查等比数列的通项公式，属于基础题．
2．已知等差数列{an}的公差不为零，且a4＝2a2，则的值是（ ）
A．2 B．3 C． D．
【答案】A
【分析】a4＝2a2，可得a1+3d＝2（a1+d），化为：a1＝d≠0．再利用通项公式化简，即可得出．
【解答】解：a4＝2a2，∴a1+3d＝2（a1+d），化为：a1＝d≠0．
则2．
故选：A．
【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
3．设{an}是公差不为0的等差数列，a1＝2且a1，a3，a6成等比数列，则{an}的前5项和S5＝（ ）
A．10 B．15 C．20 D．30
【答案】B
【分析】由已知可得a1a6，结合等差数列的通项公式可求公差d，代入等差数列的求和公式即可
【解答】解：∵a1＝2且a1，a3，a6成等比数列
∴a1a6
∴（2+2d）2＝2（2+5d）
∴2d2＝d
∵d≠0
∴d
∴15
故选：B．
【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式、求和公式及等比数列的 性质的应用，属于数列知识的简单应用
4．等差数列{an}的前n项和是Sn，公差d不等于零，若a2，a3，a6成等比，则（ ）
A．a1d＞0，dS3＞0 B．a1d＞0，dS3＜0
C．a1d＜0，dS3＞0 D．a1d＜0，dS3＜0
【答案】C
【分析】由a2、a3、a6成等比数列．可得a2a6，利用等差数列的通项公式可得（a1+2d）2＝（a1+d）（a1+5d），解出a1d＜0，2a1+d＝0．即可．
【解答】解：由a2、a3、a6成等比数列．可得a2a6，
可得（a1+2d）2＝（a1+d）（a1+5d），
即 2a1d+d2＝0，∵公差d不等于零，
∴a1d＜0，2a1+d＝0．
∴dS3＝d（3a1+3d）．
故选：C．
【点评】本题考查了等差数列的通项公式、考查了计算能力，属于基础题．
5．已知数列{an}满足an＝2n+1．其中a1，ai，aj是公比为q（q≠1）的等比数列，则q的最小值为（ ）
A．3 B．4 C． D．
【答案】A
【分析】3，2i+1，2j+1是公比为q（q≠1）的等比数列，分别把四个选项中给出的q值代入验证，能求出结果．
【解答】解：∵数列{an}满足an＝2n+1．其中a1，ai，aj是公比为q（q≠1）的等比数列，
∴3，2i+1，2j+1是公比为q（q≠1）的等比数列，
当q时，2i+1＝35，2j+1，不成立，故C错误；
当q时，2i+1＝37，2j+1＝7，不成立，故D错误；
当q＝3时，2i+1＝3×3＝9，i＝4；2j+1＝9×3＝27，j＝13，成立，故A正确；
当q＝4时，2i+1＝3×4＝12，i，不成立，不成立，故B错误．
故选：A．
【点评】本题考查公比的求法，考查等差数列、等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
6．设数列{an}，{bn}满足an+bn＝700，，n∈N*，若a6＝400，则（ ）
A．a4＞a3 B．b4＜b3 C．a3＞b3 D．a4＜b4
【答案】C
【分析】由题意可得an+1an+280，可得an+1﹣400（an﹣400），由a6＝400，可得an＝400，bn＝300，即可得到所求结论．
【解答】解：an+bn＝700，，
可得bn＝700﹣an，
即有an+1an+280，
可得an+1﹣400（an﹣400）
可得an﹣400＝（a6﹣400） （）n﹣6＝0，
即有an＝400，bn＝300，
则a4＝a3，b4＝b3，a3＞b3，a4＞b4，
故选：C．
【点评】本题数列的通项的求法，注意运用构造等比数列法，考查运算能力，属于中档题．
7．已知数列{an}为等差数列，且a8＝1，则2|a9|+|a10|的最小值为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】C
【分析】设等差数列{an}的公差为d，可得a9＝d+1，a10＝d+2，则2|a9|+|a10|＝2|d+1|+|d+2|，写出分段函数，数形结合得答案．
【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，又a8＝1，
∴a9＝d+1，a10＝2d+1，
则2|a9|+|a10|＝2|d+1|+|2d+1|．
作出分段函数f（d）＝|的图象如图，
∴2|a9|+|a10|的最小值为1．
故选：C．
【点评】本题考查等差数列的通项公式，考查了数列的函数特性，是中档题．
8．已知等比数列{an}的公比为q，其前n项和为Sn，若Sn＜0对任意的n∈N+恒成立，则q的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，0）∪（0，1） B．（﹣1，0）∪（0，1）
C．（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞） D．（﹣1，0）∪（0，+∞）
【答案】D
【分析】由Sn＞0得出a1＞0，讨论q的取值情况，即可求出公比q的取值范围．
【解答】解：等比数列{an}的公比为q，若q≠1，则Sn，
因为Sn＜0对任意的n∈N+恒成立，所以a1＜0，
所以0恒成立，
①当q＞1时，1﹣qn＜0恒成立，即qn＞1恒成立，由q＞1，知qn＞1成立；
②当q＝1时，只要a1＜0，Sn＜0就一定成立；
③当q＜1时，需1﹣qn＞0恒成立，
当0＜q＜1时，1﹣qn＞0恒成立，
当﹣1＜q＜0时，1﹣qn＞0也恒成立，
当q＜﹣1时，当n为偶数时，1﹣qn＞0不成立，
当q＝﹣1时，1﹣qn＞0也不可能恒成立，
所以q的取值范围为（﹣1，0）∪（0，+∞）．
故选：D．
【点评】本题考查了等比数列的前n项和应用问题，也考查了分类讨论思想，是中档题．
二、填空题
9．设等比数列{an}的公比q＝2，前n项和为Sn，S4＝λa4，则λ为 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据等比数列的通项公式以及前n项和公式进行求解即可．
【解答】解：∵等比数列{an}的公比q＝2，
∴由S4＝λa4，得λ23a1＝8λa1，
即15＝8λ，
故λ，
故答案为：
【点评】本题主要考查等比数列的应用，根据等比数列的通项公式以及前n项和公式，建立方程是解决本题的关键．
10．已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和．若a1＝6，a3+a5＝0，则S6＝ 6 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】由已知条件利用等差数列的性质求出公差，由此利用等差数列的前n项和公式能求出S6．
【解答】解：∵{an}为等差数列，Sn为其前n项和．
a1＝6，a3+a5＝0，
∴a1+2d+a1+4d＝0，
∴12+6d＝0，
解得d＝﹣2，
∴S636﹣30＝6．
故答案为：6．
【点评】本题考查等差数列的前6项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．
11．等比数列{an}满足如下条件：对于任意n∈N*，有an+1＞an，Sn+1＜Sn．试写出满足上述条件的一个通项公式an＝ （答案不唯一） ．
【答案】（答案不唯一）．
【分析】直接利用等比数列的性质求出数列的通项公式．
【解答】解：由于Sn+1＜Sn，所以an+1+Sn＜Sn，故an+1＜0，且an+1＞an，
所以数列的首项和公比分别满足a1＜0，q∈（0，1）即可；
故（答案不唯一）．
故答案为：（答案不唯一）．
【点评】本题考查的知识要点：等比数列的性质，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．
12．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝﹣11，a2＝﹣9，则当Sn取最小值是，n＝ 6 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】由已知条件，坟出等差数列{an}的公差，从而得到前n项和公式，再利用配方法能求出结果．
【解答】解：∵等差数列{an}中，a1＝﹣11，a2＝﹣9，
∴d＝（﹣9）﹣（﹣11）＝2，
∴Sn＝﹣11n
＝﹣11n+n2﹣n
＝n2﹣12n
＝（n﹣6）2﹣36，
∴n＝6时，Sn取最小值36．
故答案为：6．
【点评】本题考查等差数列的前n项和取最小值时n的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意配方法的合理运用．
三、多选题
（多选）13．已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，且 n＞1，其前n项和Sn满足Sn+1+Sn﹣1＝2（Sn+1），则（ ）
A．a7＝13 B．a8＝14 C．S7＝43 D．S8＝64
【答案】BC
【分析】由Sn+1+Sn﹣1＝2（Sn+1），得an+1﹣an＝2（n≥2），又因为a2﹣a1＝1，所以数列{an}从第二项起为等差数列，且公差d＝2，再利用等差数列的通项公式和前n项和公式即可求解．
【解答】解：由Sn+1+Sn﹣1＝2（Sn+1），得an+1﹣an＝2（n≥2），
又因为a2﹣a1＝1，所以数列{an}从第二项起为等差数列，且公差d＝2，
故a7＝a2+5d＝2+5×2＝12，a8＝a2+6d＝2+6×2＝14，
所以选项A错误，选项B正确，
又143，157，
所以选项C正确，选项D错误，
故选：BC．
【点评】本题主要考查了数列的递推式，以及等差数列的通项公式和前n项和公式，是中档题．
（多选）14．已知正项数列{an}是递增的等差数列，{bn}是公比为q的等比数列，且满足a1＝b1，a5＝b5，则（ ）
A．a6＞a3 B．b3＞b1 C．a3＞b3 D．a6＜b6
【答案】ABC
【分析】设等差数列{an}的公差为d，根据{an}是正项递增的等差数列，可判断A；由已知条件可得，由d＞0可得q2＞1，即可判断B；根据基本不等式可判断C；当q＜﹣1时，a6＞b6，即可判断D．
【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，
因为a5＝b5，所以，
又a1＝b1，所以，
因为{an}是正项递增的等差数列，故d＞0，所以a6＞a3，故A正确；
由，得q4＞1，即q2＞1，所以，故B正确；
因为a3，
所以，
又a1≠a5，所以，即a3＞b3，故C正确；
因为q2＞1，所以q＜﹣1或q＞1，
当q＜﹣1时，a6＞0，b6＝b5q＜0，所以a6＞b6，所以D错误．
故选：ABC．
【点评】本题考查了等差数列与等比数列的综合应用，属于中档题．
四、解答题
15．已知{an}是公差为1的等差数列，且a1，a2，a4成等比数列．
（1）求{an}的通项公式；
（2）求数列{}的前n项和．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）直接利用已知条件求出数列的通项公式．
（2）利用乘公比错位相减法求出数列的和．
【解答】解：（1）数列{an}是公差为1的等差数列，且a1，a2，a4成等比数列．
由题意得：，
所以：，
解得：a1＝1，
所以数列{an}的通项公式为an＝n．
（2）设数列{}的前n项和，
则Sn，
，
两式相减得：，
整理得：．
【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，乘公比错位相减法在数列求和中的应用．
16．已知等差数列{an}的公差为d（d＞0），等差数列{bn}的公差为2d．设An，Bn分别是数列{an}，{bn}的前n项和，且b1＝3，A2＝3，A5＝B3．
（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（2）设cn，求数列{cn}的前n 项和 Sn．
【答案】（1）an＝n，bn＝2n+1．
（2）Sn＝2n+1﹣2．
【分析】（1）由b1＝3，A2＝3，A5＝B3，利用通项公式与求和公式列出方程组，解出a1，d，即可得出an，bn．
（2）cn2n（），利用求和公式与裂项求和方法即可得出结论．
【解答】解：（1）∵b1＝3，A2＝3，A5＝B3，
∴2a1+d＝3，5a1+10d＝3×3+3×2d，
解得a1＝d＝1，
∴an＝1+（n﹣1）×1＝n，bn＝3+2（n﹣1）＝2n+1．
（2）cn2n2n（），
∴数列{cn}的前n 项和 Sn（）＝2n+1﹣2（）＝2n+1﹣2．
【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、裂项求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
17．从“①Sn＝n（n）；②S2＝a3，a4＝a1a2；③a1＝2，a4是a2，a8的等比中项．”三个条件任选一个，补充到下面横线处，并解答．
已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差d不等于零，______，n∈N*．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若bn，数列{bn}的前n项和为Wn，求Wn．
【答案】（1）选①②③，都有an＝2n；（2）Wn＝4n+1+2n+1﹣6．
【分析】（1）分别选①②③，由等差数列的通项公式和等比数列的中项性质，解方程可得首项和公差，进而得到所求通项公式；
（2）由Sn＝n2+n，可得bn，再由数列的分组求和，结合等比数列的求和公式，计算可得所求和．
【解答】解：（1）选①Sn＝n（n），
可得a1＝S1＝1，解得a1＝2，
即Sn＝n2+n，
则a1+a2＝6，即a2＝4，d＝a2﹣a1＝2，
所以an＝2+2（n﹣1）＝2n；
选②S2＝a3，a4＝a1a2，
可得2a1+d＝a1+2d，a1+3d＝a1（a1+d），
解得a1＝d＝2，
所以an＝2+2（n﹣1）＝2n；
选③a1＝2，a4是a2，a8的等比中项，
可得a2a8，即（2+3d）2＝（2+d）（2+7d），
解得d＝2（d＝0舍去），
所以an＝2+2（n﹣1）＝2n；
（2）由Sn＝n2+n，
可得bn（2n+1）2+2n+1﹣（2n）2﹣2n＝3 4n+2n，
所以Wn＝3（4+42+43+…+4n）+（2+22+23+…+2n）
＝3
＝4n+1﹣4+2n+1﹣2＝4n+1+2n+1﹣6．
【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的分组求和，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
18．关于某港口今后20年的发展规划，有如下两种方案：
方案甲：按现状进行运营．据测算，每年可收入760万元，但由于港口淤积日益严重，从明年开始需投资进行清淤，第一年投资50万元，以后逐年递增20万元．
方案乙：从明年起开始投资6000万元进行港口改造，以彻底根治港口淤积并提高吞吐能力．港口改造需用时4年，在此期间边改造边运营．据测算，开始改造后港口第一年的收入为320万元，在以后的3年中，每年收入都比上一年增长50%，而后各年的收入都稳定在第4年的水平上．
（I）从明年开始至少经过多少年，方案乙能收回投资（累计总收益为正数）？
（II）从明年开始至少经过多少年，方案乙的累计总收益超过方案甲？（注：收益＝收入﹣投资）
【答案】见试题解答内容
【分析】（I）设从明年开始经过第n年，方案乙的累计总收益为正数．在方案乙中，前4年的总收入为，故n必定不小于5，则由260+320×1.54（n﹣4）＞6000，能求出n的最小值．
（II）设从明年开始经过n年方案甲与方案乙的累计总收益分别为y1，y2万元，则，当n≤4时，则y1＞0，y2＜0，可得y1＞y2；当n≥5时，y2＝2600+320×1.54（n﹣4）﹣6000＝1620n﹣9800，由此可得n的最小值．
【解答】解：（I）设从明年开始经过第n年，方案乙的累计总收益为正数．
在方案乙中，前4年的总收入为，
故n必定不小于5，则由260+320×1.54（n﹣4）＞6000，
解得，故n的最小值为7，
答：从明年开始至少经过7年，方案乙能收回投资．
（II）设从明年开始经过n年方案甲与方案乙的累计总收益分别为y1，y2万元，则，
当n≤4时，则y1＞0，y2＜0，可得y1＞y2；
当n≥5时，y2＝2600+320×1.54（n﹣4）﹣6000＝1620n﹣9800，
令y1＜y2，
可得1620n﹣9800＞﹣10n2+720n，
即n（n+90）＞998，
由10（10+90）＞9989（9+90）＜998，
可得n的最小值为10．
答：从明年开始至少经过10年，方案乙的累计总收益超过方案甲．
【点评】本题考查数列在生产实际中的应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．综合性强，是高考的重点，容易出错．解题时要注意不等式性质的灵活运用．
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