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6.2 排列与组合
6.2.1 排列
探究点一 排列的概念
探究点二 简单的排列问题
探究点三 实际中的简单排列问题
【学习目标】
理解排列的概念,能正确写出一些简单问题的所有排列.
知识点 排列
（1）排列的定义：一般地，从个不同元素中取出 个元素，
并按照____________排成一列，叫作从个不同元素中取出 个元素
的一个排列.
一定的顺序
（2）两个排列相同的充要条件：两个排列的______完全相同，且元
素的__________也相同.
元素
排列顺序
注意：（1） 个元素是不同的.
（2）定义中排列有两个步骤：第一步先取出 个元素，第二步再按
照一定的顺序排成一列.这与后面的组合是有联系的.
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）1,2,3与3,2,1为同一排列.( )
×
[解析] 元素相同，但排列顺序不同，故不是同一排列.
（2）在一个排列中，同一个元素不能重复出现.( )
√
（3）从1,2,3,4中任选两个数字，就组成一个排列.( )
×
[解析] 任选两个数字，可以组成两个排列.
（4）从5名同学中任选2名同学分别参加数学和物理竞赛的所有不同
的选法是一个排列问题.( )
√
探究点一 排列的概念
［探索］ 判断一个具体问题是否为排列问题的关键是什么？
解：关键是在安排取出的元素时是有序还是无序.有序的是排列，否
则不是.
例1 判断下列问题是否是排列问题，并说明理由.
（1）从1,2,3,4四个数字中，任选两个做加法，其结果有多少种不同
的可能？
解：不是.因为加法运算满足交换律，所以选出的两个元素做加法时，
与两个元素的位置无关，所以不是排列问题.
（2）从1到10这十个自然数中任取两个不同的数组成直角坐标平面
内的点的坐标，可得到多少个不同的点的坐标？
解：是.因为取出的两个数组成的点的坐标与哪一个数是横坐标，哪
一个数是纵坐标有关，即与顺序有关，所以是排列问题.
（3）从十名同学中任选两名同学去学校开座谈会，有多少种不同的
选取方法？
解：不是.因为从十名同学中选取两名同学去学校开座谈会不需要考
虑两个人的顺序，所以不是排列问题.
（4）某商场有四个大门，若从一个大门进去，购买物品后，再从另
一个大门出来，不同的出入方式有多少种？
解：是.因为从一个大门进，从另一个大门出是有顺序的，所以是排
列问题.
变式 （多选题）下列问题中，属于排列问题的有( )
A.从甲、乙、丙三名同学中选出两名分别担任正、副班长，共有多
少种不同的选取方法
B.从甲、乙、丙三名同学中选出两名同学参加志愿者活动，共有多
少种不同的选取方法
C.平面上有五个点，任意三点不共线，这五个点最多可确定多少条
直线
D.从1，2，3，4四个数字中任选两个组成一个两位数，共有多少个
不同的两位数
√
√
[解析] 对于A，因为两名同学担任的是正、副班长，所以是排列问
题，A正确；
对于B，因为两名同学参加志愿者活动不需要考虑两人的顺序，所以
不是排列问题，B错误；
对于C，两点确定一条直线，五个点中任取两个点，不涉及顺序问题，
因此不是排列问题，C错误；
对于D，四个数字中任取两个组成两位数，与顺序有关，是排列问题，
D正确.故选 .
［素养小结］
判断一个具体问题是否为排列问题，就看安排取出的元素时是有序
的还是无序的，而检验它是否有序的依据就是变换元素的“位置”
（这里的“位置”应视具体问题的性质和条件来决定），看其结果是
否有变化，有变化就是排列问题，无变化就不是排列问题.
探究点二 简单的排列问题
例2（1） 从1,2,3,4四个数字中任取两个数字组成没有重复数字的两
位数，一共可以组成多少个？
解：方法一：可以从1,2,3，4四个数字中选取一个放在十位上，然后
在剩余的三个数字中选取一个放在个位上，按照分步乘法计数原理，
一共可以组成 （个）没有重复数字的两位数.
方法二：由题意作出树状图如下：
故组成的所有没有重复数字的两位数为12,13,14,21,23,24,31,32,34,41,
42,43，一共可以组成12个.
（2）从0，1,2，3四个数字中任取三个数字组成没有重复数字的三位
数，一共可以组成多少个？
解：首先从1,2,3三个数字中选取一个放在百位上，然后在剩余的三
个数字中选取一个放在十位上，最后在剩余的两个数字中选取一个
放在个位上.
由分步乘法计数原理得，一共可以组成 （个）没有重复
数字的三位数.
（3）从语文书、数学书、英语书、物理书4本书中任意取出3本分给
甲、乙、丙三人，每人一本，试将所有不同的分法列举出来.
解：从语文书、数学书、英语书、物理书4本书中任意取出3本分给甲、
乙、丙三人，每人一本，相当于从4个不同的元素中任意取出3个元素，
按“甲、乙、丙”的顺序进行排列，每一个排列就对应着一种分法，所
以共有 （种）不同的分法.取语文书、数学书、英语书、
物理书的简称分别为语、数、英、物，画出树状图如图.
由树状图可知，按甲、乙、丙的顺序分的分法为：
语数英 语数物 语英数 语英物 语物数 语物英
数语英 数语物 数英语 数英物 数物语 数物英
英语数 英语物 英数语 英数物 英物语 英物数
物语数 物语英 物数语 物数英 物英语 物英数
变式（1） 从6名同学中选出正、副组长各1名，不同的选法有
( )
A.11种 B.15种 C.30种 D.36种
[解析] 从6名同学中选出正、副组长各1名，不同的选法有
（种）,故选C.
√
（2）若把英语单词“ ”的字母顺序写错了，则可能出现的错误共
有____种.
23
[解析] 由题意知，可能出现的错误的种数为 .
［素养小结］
利用树状图法解决简单排列问题的适用范围及策略
（1）适用范围:树状图在解决排列元素个数不多的问题时,是一种比
较有效的表示方式.
（2）策略:在操作中先将元素按一定顺序排出,然后以先安排哪个元
素为分类标准进行分类,再安排第二个元素,并按此元素分类,依次进行,
直到完成一个排列,这样能做到不重不漏,然后再按树状图写出排列.
拓展 写出，，，四名同学站成一排照相， 不站在两端的所
有可能站法.
解：作出树状图如图所示：
故所有可能的站法是，，，， ，
，，，，，， ，共12种.
探究点三 实际中的简单排列问题
例3 上午要上语文、数学、体育和外语四门课，数学老师不能上第
二节和第四节，则不同的排课方案的种数是( )
A.24 B.22 C.20 D.12
[解析] 因为数学老师不能上第二节和第四节，所以先排数学老师的
课，有2种排课方案，然后再排剩下三位老师的课，有
（种）排课方案.
由分步乘法计数原理可得共有 （种）排课方案.故选D.
√
变式 甲、乙、丙、丁4名同学和1名老师站成一排合影留念，要求老
师必须站在中间，则有____种不同的站法.
24
[解析] 根据题意，将甲、乙、丙、丁4名同学排列，有
（种）排法，老师必须站在中间，有1种安排方法，
故有 （种）站法.
［素养小结］
解决简单的排列实际应用问题的策略
（1）首先明确要研究的元素是什么，有无顺序.
（2）在处理该问题时是需要分类完成还是分步完成.
排列组合问题，最早见于我国《易经》一书.《易经》是
我国古代思想智慧的积累与结晶，它具有一套独特的、
创新的图示符号，用“— —”“——”两种“爻”的符号代表
阴阳，“— —”称为阴爻、“——”称为阳爻.阴阳两爻在三个位置的不同
排列组成了八卦.
所谓“四象”就是每次取两个爻的排列，“八卦”是每次取
三个爻的排列.在汉代数学家徐岳的《数术记遗》
（公元2世纪）中，也曾记载有与占卜有关的“八卦算”，
即把卦按不同的方法在八个方位中排列起来.它与“八个
人围一张圆桌而坐，问有多少种不同的坐法”这一典型的
排列问题类似.11世纪，邵雍还进一步研究了六十四卦的
排列问题.
1.排列中元素所满足的两个特征
（1）无重复性：从个不同元素中取出 个不同的元素，否
则不是排列问题.
（2）有序性：安排这 个元素时是有顺序的，有序的就是排列，无
序的不是排列.而检验它是否有顺序的依据是变换元素的位置，看结
果是否发生变化，有变化就是有顺序，无变化就是无顺序.
2.从定义知，只有当元素完全相同，并且元素排列的顺序也完全相同
时，才是同一个排列，元素不完全相同或元素完全相同而排列的顺
序不同的排列，都不是同一个排列.
3.在定义中“一定的顺序”就是说与位置有关，在实际问题中，究竟何
时有关，何时无关，要由具体问题的性质和条件来决定，这一点要
特别注意，这也是与后面学习的组合的根本区别.
树状图，亦称树枝状图.树状图是数据树的图形表示形式，也是枚举
法的一种表达方式.画树状图的关键：一是确定层数，二是确定每层
分叉的个数.树状图也是学生学习排列组合、概率问题所需要画的一
种图形.
例 在1,2,3,4的排列中，求满足，，
的排列个数.
解：首先满足 的树状图是：
其次满足 的树状图是：
最后满足 的排列有2143,3142,3241,4132,4231，共5个.
例 在1,2,3,4的排列中，求满足，，
的排列个数.
练习册
一、选择题
1.下面问题中，是排列问题的是( )
A.由1，2，3三个数字组成无重复数字的三位数
B.从40人中选5人组成篮球队
C.从100人中选2人抽样调查
D.从1，2，3，4，5中选2个数组成集合
√
[解析] 对于A，由1，2，3三个数字组成无重复数字的三位数，符合
排列的定义，是排列问题；
对于B，从40人中选5人组成篮球队，与顺序无关，不是排列问题；
对于C，从100人中选2人抽样调查，与顺序无关，不是排列问题；
对于D，从1，2，3，4，5中选2个数组成集合，与顺序无关，
不是排列问题.故选A.
2.从甲、乙、丙三人中选出两人并站成一排的所有站法为( )
A.甲乙，乙甲，甲丙，丙甲
B.甲乙丙，乙丙甲
C.甲乙，甲丙，乙甲，乙丙，丙甲，丙乙
D.甲乙，甲丙，乙丙
[解析] 若选出的是甲、乙，则站法为甲乙、乙甲；
若选出的是甲、丙，则站法为甲丙、丙甲；
若选出的是乙、丙，则站法为乙丙、丙乙.故选C.
√
3.[2024·福建泉州高二期中]某高校有4名志愿者参加社区工作，若每
天早、中、晚三班，每班1人，每人每天最多值一班，则值班当天不
同的排班种类为( )
A.12 B.18 C.24 D.144
[解析] 由题意，4名志愿者参加社区志愿工作，每天早、中、晚三班，
每班1人，每人每天最多值一班，则值班当天不同的排班种类为
.故选C.
√
4.从5本不同的书中选2本送给2名同学，每人一本，则不同的送书方
法的种数为( )
A.5 B.10 C.20 D.60
[解析] 此问题相当于从5个不同元素中取出2个元素进行排列，即共
有 （种）不同的送书方法.故选C.
√
5.小明和妹妹跟着父母一家四口到游乐园游玩，购票后依次入园，为
安全起见，首尾一定要排家长，则这4个人的入园顺序的种数是
( )
A.4 B.6 C.12 D.24
[解析] 根据题意，由于首尾一定要排家长，则首尾两个位置的排法
有2种，小明和妹妹排在中间，有2种排法，则有 （种）入
园顺序.故选A.
√
6.沪宁城际铁路线上有六个大站：上海、苏州、无锡、常州、镇江、
南京，铁路部门应为这六个大站之间准备不同的火车票的种数为
( )
A.15 B.30 C.12 D.36
[解析] 对于两个大站A和B，从A到B的火车票与从B到A的火车票不
同.因为每张车票对应一个起点站和一个终点站，所以每张火车票对
应从6个不同元素（大站）中取出2个不同元素（起点站和终点站）
的一种排列，故应准备不同的火车票的种数为 .故选B.
√
7. 中的质数能够组成的所有没有重复数字的整数的个数为( )
A.4 B.12 C.24 D.64
[解析] 中的质数有2，3，5，7，由2，3，5，7组成的没有重
复数字的整数可以为一位数、两位数、三位数、四位数，这4个数字
可组成的一位数有4个，可组成的没有重复数字的两位数有 （个），
可组成的没有重复数字的三位数有 （个），
可组成的没有重复数字的四位数有（个），
则 中的质数能够组成的所有没有重复数字的整数的个数为
.故选D.
√
8.“数独九宫格”原创者是18世纪的瑞士数学家欧拉，它的游戏规则很
简单，将1到9这九个自然数填到如图所示的小九宫格的9个空格里，
每个空格填一个数，且9个空格的数字各不相同，若中间空格已填数
字5，且只填第二行和第二列，并要求第二行从左至右及第二列从上
至下所填的数字都是从大到小排列的，则不同的填法种数为( )
A.72 B.108 C.144 D.196
√
[解析] 依题意，5的上方和左边只能从6，7，8，9中选取，5的下方
和右边只能从1，2，3，4中选取.因此填法种数为
.故选C.
9.（多选题）从1，2，3，4，5，6中任取三个不同的数字组成一个三
位数，则在所组成的三位数中( )
A.三位偶数有60个
B.比300大的三位奇数有48个
C.个位和百位数字之和为7的三位数有24个
D.能被3整除的三位数有48个
√
√
√
[解析] 对于A，其个位数字为2或4或6，有3种情况，在剩余5个数字
中任选2个，安排在百位和十位，有 （种）情况，则有
（个）三位偶数，故A正确；
对于B，分2种情况讨论，若百位数字为3或5，有 （个）
三位奇数，若百位数字为4或6，有 （个）三位奇数，
则符合题意的三位数有 （个），故B错误；
对于C，个位和百位数字之和为7有，， ，共3种情况，
则符合题意的三位数有 （个），故C正确；
对于D，能被3整除，则三个数字之和为3的倍数，有，，
， ，，，， ，共8种情况，
故能被3整除的三位数有（个），故D正确.故选 .
二、填空题
10.学号分别为1，2，3，4的四位同学排成一排，要求学号相邻的同
学不相邻，列举出所有不同的排列：____________.
3142，2413
[解析] 先排学号为1，2的同学，有2种方法，此时1，2之间必须插入
4，有1种方法，3必须排在与1相邻的另一侧，有1种方法，故所有不
同的排列为3142，2413.
11.直线的斜率大于零，,,,,0,1, 且互不
相同，那么这样的不重合直线有____条.
11
[解析] 因为直线的斜率大于零，所以 且
，则，不妨设,，当时， 有2种选
法，有2种选法，因为直线和直线 重合，
所以这样的直线有（条），当时，则, 有
（种）选法， 有2种选法，且其中任意两条直线都不重合，
所以这样的直线有 （条），
当时，则,有（种）选法， 有2种选法，且其中任
意两条直线都不重合，所以这样的直线有 （条）.综上所述，
符合题意的直线有 （条）.
12.某个游戏的一个环节是要打开一个密码箱，已知该密码箱的密码由
四个数字组成（每个数字均为 这十个整数中的一个），且从之前
的游戏环节得知，该密码的四个数字互不相同，且前两个数字均大于
6，最后两个数字均小于5，则该密码的可能的情况种数为_____.
120
[解析] 依题意，从7，8，9中任取两个不同的数字排在前两位，有
（种）情况，从0，1，2，3，4中任取两个不同的数字排在
后两位，有 （种）情况.由分步乘法计数原理得，该密码
的可能的情况种数为 .
三、解答题
13.写出下列问题的所有排列：
（1）北京、广州、南京、天津4个城市相互通航，应该有多少种机票？
解：列出每一个起点和终点情况，如图所示.
故符合题意的机票种类有：
北京 广州，北京 南京，北京 天津，广州 南京，广州 天
津，广州 北京，南京 天津，南京 北京，南京 广州，天津
北京，天津 广州，天津 南京，共12种.
（2），，，四名同学排成一排照相，要求自左向右， 不排
第一， 不排第四，共有多少种不同的排列方法？
解：因为不排第一，所以排第一的情况有3类（可从，， 中任
选一人排），兼顾分析 的排法，列树形图如图.
所以符合题意的所有排列是，，， ，
，，，，，，， ，
， ，共14种.
14.在三位数中，如果十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字
都小，那么这个数为凹数，如524，746等都是凹数，那么用0，1，2，
3，4这五个数字能组成多少个无重复数字的凹数？请列举出来.
解：符合要求的凹数的十位上的数字只能为0,1,2，第1类，十位上的
数字为0，则个位和百位上的数字从数字1,2,3,4中选取，共有
（个）满足题意的数，分别为102，103，104，201，203，
204，301，302，304，401，402，403.
第2类，十位上的数字为1，则个位和百位上的数字从数字2,3,4中选取，
共有 （个）满足题意的数，分别为213，214，312，314，4
12，413.
第3类，十位上的数字为2，则个位和百位上的数字从数字3,4中选取，
共有 （个）满足题意的数，分别为324，423.
所以由0，1，2，3，4可组成 （个）无重复数字的凹数.
分别为102，103，104，201，203，204，301，302，304，401，402，
403，213，214，312，314，412，413，324，423.
15.某学校社团将举办红歌展演，现从《歌唱祖国》《英雄赞歌》
《南泥湾》《没有共产党就没有新中国》4首独唱歌曲和《保卫黄河》
《唱支山歌给党听》《我和我的祖国》3首合唱歌曲中共选出4首歌
曲安排演出，要求最后一首歌曲必须是合唱，则不同的安排方法共
有( )
A.40种 B.240种 C.120种 D.360种
√
[解析] 根据题意，在3首合唱歌曲中任选1首，安排在最后，有3种安
排方法，在其他6首歌曲中任选3首，作为前3首歌曲，有
（种）安排方法，则有 （种）不同的
安排方法，故选D.
16.从0,1,2,3这四个数字中，每次取出三个不同的数字组成一个三位数.
（1）能组成多少个不同的偶数？并写出这些偶数.
解：画出树状图如下：
由树状图知，能组成10个不同的偶数，这些偶数分别为102,120,
130,132,210,230,302,310,312,320.
（2）若组成的这些三位数中，1不能在百位，2不能在十位，3不能
在个位，则这样的三位数共有多少个？并写出这些三位数.
解：直接画出树状图：
由树状图知，符合条件的三位数有8个，分别为201,210,230,231,301,3
02,310,312.6.2 排列与组合
6.2.1 排列
【课前预习】
知识点
(1)一定的顺序 (2)元素 排列顺序
诊断分析
(1)× (2)√ (3)× (4)√ [解析] (1)元素相同,但排列顺序不同,故不是同一排列.
(3)任选两个数字,可以组成两个排列.
【课中探究】
探索 解:关键是在安排取出的元素时是有序还是无序.有序的是排列,否则不是.
例1 解:(1)不是.因为加法运算满足交换律,所以选出的两个元素做加法时,与两个元素的位置无关,所以不是排列问题.
(2)是.因为取出的两个数组成的点的坐标与哪一个数是横坐标,哪一个数是纵坐标有关,即与顺序有关,所以是排列问题.
(3)不是.因为从十名同学中选取两名同学去学校开座谈会不需要考虑两个人的顺序,所以不是排列问题.
(4)是.因为从一个大门进,从另一个大门出是有顺序的,所以是排列问题.
变式 AD [解析] 对于A,因为两名同学担任的是正、副班长,所以是排列问题,A正确;对于B,因为两名同学参加志愿者活动不需要考虑两人的顺序,所以不是排列问题,B错误;对于C,两点确定一条直线,五个点中任取两个点,不涉及顺序问题,因此不是排列问题,C错误;对于D,四个数字中任取两个组成两位数,与顺序有关,是排列问题,D正确.故选AD.
例2 解:(1)方法一:可以从1,2,3,4四个数字中选取一个放在十位上,然后在剩余的三个数字中选取一个放在个位上,按照分步乘法计数原理,一共可以组成4×3=12(个)没有重复数字的两位数.
方法二:由题意作出树状图如下:
故组成的所有没有重复数字的两位数为12,13,14,21,23,24,31,32,34,41,42,43,一共可以组成12个.
(2)首先从1,2,3三个数字中选取一个放在百位上,然后在剩余的三个数字中选取一个放在十位上,最后在剩余的两个数字中选取一个放在个位上.由分步乘法计数原理得,一共可以组成3×3×2=18(个)没有重复数字的三位数.
(3)从语文书、数学书、英语书、物理书4本书中任意取出3本分给甲、乙、丙三人,每人一本,相当于从4个不同的元素中任意取出3个元素,按“甲、乙、丙”的顺序进行排列,每一个排列就对应着一种分法,所以共有4×3×2=24(种)不同的分法.取语文书、数学书、英语书、物理书的简称分别为语、数、英、物,画出树状图如图.
由树状图可知,按甲、乙、丙的顺序分的分法为:
语数英 语数物 语英数 语英物 语物数 语物英
数语英 数语物 数英语 数英物 数物语 数物英
英语数 英语物 英数语 英数物 英物语 英物数
物语数 物语英 物数语 物数英 物英语 物英数
变式 (1)C (2)23 [解析] (1)从6名同学中选出正、副组长各1名,不同的选法有6×5=30(种),故选C.
(2)由题意知,可能出现的错误的种数为4×3×2×1-1=23.
拓展 解:作出树状图如图所示:
故所有可能的站法是BACD,BADC,BCAD,BDAC,CABD,CADB,CBAD,CDAB,DABC,DACB,DBAC,DCAB,共12种.
例3 D [解析] 因为数学老师不能上第二节和第四节,所以先排数学老师的课,有2种排课方案,然后再排剩下三位老师的课,有3×2×1=6(种)排课方案.由分步乘法计数原理可得共有2×6=12(种)排课方案.故选D.
变式 24 [解析] 根据题意,将甲、乙、丙、丁4名同学排列,有4×3×2×1=24(种)排法,老师必须站在中间,有1种安排方法,故有24×1=24(种)站法.6.2 排列与组合
6.2.1 排列
1.A [解析] 对于A,由1,2,3三个数字组成无重复数字的三位数,符合排列的定义,是排列问题;对于B,从40人中选5人组成篮球队,与顺序无关,不是排列问题;对于C,从100人中选2人抽样调查,与顺序无关,不是排列问题;对于D,从1,2,3,4,5中选2个数组成集合,与顺序无关,不是排列问题.故选A.
2.C [解析] 若选出的是甲、乙,则站法为甲乙、乙甲;若选出的是甲、丙,则站法为甲丙、丙甲;若选出的是乙、丙,则站法为乙丙、丙乙.故选C.
3.C [解析] 由题意,4名志愿者参加社区志愿工作,每天早、中、晚三班,每班1人,每人每天最多值一班,则值班当天不同的排班种类为4×3×2=24.故选C.
4.C [解析] 此问题相当于从5个不同元素中取出2个元素进行排列,即共有5×4=20(种)不同的送书方法.故选C.
5.A [解析] 根据题意,由于首尾一定要排家长,则首尾两个位置的排法有2种,小明和妹妹排在中间,有2种排法,则有2×2=4(种)入园顺序.故选A.
6.B [解析] 对于两个大站A和B,从A到B的火车票与从B到A的火车票不同.因为每张车票对应一个起点站和一个终点站,所以每张火车票对应从6个不同元素(大站)中取出2个不同元素(起点站和终点站)的一种排列,故应准备不同的火车票的种数为6×5=30.故选B.
7.D [解析] 1~10中的质数有2,3,5,7,由2,3,5,7组成的没有重复数字的整数可以为一位数、两位数、三位数、四位数,这4个数字可组成的一位数有4个,可组成的没有重复数字的两位数有4×3=12(个),可组成的没有重复数字的三位数有4×3×2=24(个),可组成的没有重复数字的四位数有4×3×2×1=24(个),则1~10中的质数能够组成的所有没有重复数字的整数的个数为4+12+24+24=64.故选D.
8.C [解析] 依题意,5的上方和左边只能从6,7,8,9中选取,5的下方和右边只能从1,2,3,4中选取.因此填法种数为4×3×4×3=144.故选C.
9.ACD [解析] 对于A,其个位数字为2或4或6,有3种情况,在剩余5个数字中任选2个,安排在百位和十位,有5×4=20(种)情况,则有3×20=60(个)三位偶数,故A正确;对于B,分2种情况讨论,若百位数字为3或5,有2×2×4=16(个)三位奇数,若百位数字为4或6,有2×3×4=24(个)三位奇数,则符合题意的三位数有16+24=40(个),故B错误;对于C,个位和百位数字之和为7有(1,6),(2,5),(3,4),共3种情况,则符合题意的三位数有3×(2×1)×4=24(个),故C正确;对于D,能被3整除,则三个数字之和为3的倍数,有(1,2,3),(1,2,6),(1,3,5),(1,5,6),(2,3,4),(2,4,6),(3,4,5),(4,5,6),共8种情况,故能被3整除的三位数有8×(3×2)=48(个),故D正确.故选ACD.
10.3142,2413 [解析] 先排学号为1,2的同学,有2种方法,此时1,2之间必须插入4,有1种方法,3必须排在与1相邻的另一侧,有1种方法,故所有不同的排列为3142,2413.
11.11 [解析] 因为直线ax+by+c=0的斜率大于零,所以b≠0且->0,则ab<0,不妨设a<0,b>0,当c=0时,a有2种选法,b有2种选法,因为直线-2x+2y=0和直线-x+y=0重合,所以这样的直线有2×2-1=3(条),当c<0时,则a,c有2×1=2(种)选法,b有2种选法,且其中任意两条直线都不重合,所以这样的直线有2×2=4(条),当c>0时,则b,c有2×1=2(种)选法,a有2种选法,且其中任意两条直线都不重合,所以这样的直线有2×2=4(条).综上所述,符合题意的直线有3+4+4=11(条).
12.120 [解析] 依题意,从7,8,9中任取两个不同的数字排在前两位,有3×2=6(种)情况,从0,1,2,3,4中任取两个不同的数字排在后两位,有5×4=20(种)情况.由分步乘法计数原理得,该密码的可能的情况种数为6×20=120.
13.解:(1)列出每一个起点和终点情况,如图所示.
故符合题意的机票种类有:
北京→广州,北京→南京,北京→天津,广州→南京,广州→天津,广州→北京,南京→天津,南京→北京,南京→广州,天津→北京,天津→广州,天津→南京,共12种.
(2)因为A不排第一,所以排第一的情况有3类(可从B,C,D中任选一人排),兼顾分析B的排法,列树形图如图.
所以符合题意的所有排列是BADC,BACD,BCAD,BCDA,BDAC,BDCA,CABD,CBAD,CBDA,CDBA,DABC,DBAC,DBCA,DCBA,共14种.
14.解:符合要求的凹数的十位上的数字只能为0,1,2,第1类,十位上的数字为0,则个位和百位上的数字从数字1,2,3,4中选取,共有4×3=12(个)满足题意的数,分别为102,103,104,201,203,204,301,302,304,401,402,403.第2类,十位上的数字为1,则个位和百位上的数字从数字2,3,4中选取,共有3×2=6(个)满足题意的数,分别为213,214,312,314,412,413.第3类,十位上的数字为2,则个位和百位上的数字从数字3,4中选取,共有2×1=2(个)满足题意的数,分别为324,423.所以由0,1,2,3,4可组成12+6+2=20(个)无重复数字的凹数.分别为102,103,104,201,203,204,301,302,304,401,402,403,213,214,312,314,412,413,324,423.
15.D [解析] 根据题意,在3首合唱歌曲中任选1首,安排在最后,有3种安排方法,在其他6首歌曲中任选3首,作为前3首歌曲,有6×5×4=120(种)安排方法,则有3×120=360(种)不同的安排方法,故选D.
16.解:(1)画出树状图如下:
由树状图知,能组成10个不同的偶数,这些偶数分别为102,120,130,132,210,230,302,310,312,320.
(2)直接画出树状图:
由树状图知,符合条件的三位数有8个,分别为201,210,230,231,301,302,310,312.6.2 排列与组合
6.2.1 排列
【学习目标】
理解排列的概念,能正确写出一些简单问题的所有排列.
◆ 知识点 排列
(1)排列的定义:一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素,并按照 排成一列,叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.
(2)两个排列相同的充要条件:两个排列的 完全相同,且元素的 也相同.
注意:(1)m个元素是不同的.
(2)定义中排列有两个步骤:第一步先取出m个元素,第二步再按照一定的顺序排成一列.这与后面的组合是有联系的.
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)1,2,3与3,2,1为同一排列. ( )
(2)在一个排列中,同一个元素不能重复出现.( )
(3)从1,2,3,4中任选两个数字,就组成一个排列. ( )
(4)从5名同学中任选2名同学分别参加数学和物理竞赛的所有不同的选法是一个排列问题.( )
◆ 探究点一 排列的概念
[探索] 判断一个具体问题是否为排列问题的关键是什么
例1 判断下列问题是否是排列问题,并说明理由.
(1)从1,2,3,4四个数字中,任选两个做加法,其结果有多少种不同的可能
(2)从1到10这十个自然数中任取两个不同的数组成直角坐标平面内的点的坐标,可得到多少个不同的点的坐标
(3)从十名同学中任选两名同学去学校开座谈会,有多少种不同的选取方法
(4)某商场有四个大门,若从一个大门进去,购买物品后,再从另一个大门出来,不同的出入方式有多少种
变式 (多选题)下列问题中,属于排列问题的有 ( )
A.从甲、乙、丙三名同学中选出两名分别担任正、副班长,共有多少种不同的选取方法
B.从甲、乙、丙三名同学中选出两名同学参加志愿者活动,共有多少种不同的选取方法
C.平面上有五个点,任意三点不共线,这五个点最多可确定多少条直线
D.从1,2,3,4四个数字中任选两个组成一个两位数,共有多少个不同的两位数
[素养小结]
判断一个具体问题是否为排列问题,就看安排取出的元素时是有序的还是无序的,而检验它是否有序的依据就是变换元素的“位置”(这里的“位置”应视具体问题的性质和条件来决定),看其结果是否有变化,有变化就是排列问题,无变化就不是排列问题.
◆ 探究点二 简单的排列问题
例2 (1)从1,2,3,4四个数字中任取两个数字组成没有重复数字的两位数,一共可以组成多少个
(2)从0,1,2,3四个数字中任取三个数字组成没有重复数字的三位数,一共可以组成多少个
(3)从语文书、数学书、英语书、物理书4本书中任意取出3本分给甲、乙、丙三人,每人一本,试将所有不同的分法列举出来.
变式 (1)从6名同学中选出正、副组长各1名,不同的选法有 ( )
A.11种 B.15种
C.30种 D.36种
(2)若把英语单词“word”的字母顺序写错了,则可能出现的错误共有 种.
[素养小结]
利用树状图法解决简单排列问题的适用范围及策略
(1)适用范围:树状图在解决排列元素个数不多的问题时,是一种比较有效的表示方式.
(2)策略:在操作中先将元素按一定顺序排出,然后以先安排哪个元素为分类标准进行分类,再安排第二个元素,并按此元素分类,依次进行,直到完成一个排列,这样能做到不重不漏,然后再按树状图写出排列.
拓展 写出A,B,C,D四名同学站成一排照相,A不站在两端的所有可能站法.
◆ 探究点三 实际中的简单排列问题
例3 上午要上语文、数学、体育和外语四门课,数学老师不能上第二节和第四节,则不同的排课方案的种数是 ( )
A.24 B.22
C.20 D.12
变式 甲、乙、丙、丁4名同学和1名老师站成一排合影留念,要求老师必须站在中间,则有 种不同的站法.
[素养小结]
解决简单的排列实际应用问题的策略
(1)首先明确要研究的元素是什么,有无顺序.
(2)在处理该问题时是需要分类完成还是分步完成.6.2 排列与组合
6.2.1 排列
一、选择题
1.下面问题中,是排列问题的是 ( )
A.由1,2,3三个数字组成无重复数字的三位数
B.从40人中选5人组成篮球队
C.从100人中选2人抽样调查
D.从1,2,3,4,5中选2个数组成集合
2.从甲、乙、丙三人中选出两人并站成一排的所有站法为 ( )
A.甲乙,乙甲,甲丙,丙甲
B.甲乙丙,乙丙甲
C.甲乙,甲丙,乙甲,乙丙,丙甲,丙乙
D.甲乙,甲丙,乙丙
3.[2024·福建泉州高二期中] 某高校有4名志愿者参加社区工作,若每天早、中、晚三班,每班1人,每人每天最多值一班,则值班当天不同的排班种类为 ( )
A.12 B.18
C.24 D.144
4.从5本不同的书中选2本送给2名同学,每人一本,则不同的送书方法的种数为 ( )
A.5 B.10
C.20 D.60
5.小明和妹妹跟着父母一家四口到游乐园游玩,购票后依次入园,为安全起见,首尾一定要排家长,则这4个人的入园顺序的种数是 ( )
A.4 B.6 C.12 D.24
6.沪宁城际铁路线上有六个大站:上海、苏州、无锡、常州、镇江、南京,铁路部门应为这六个大站之间准备不同的火车票的种数为 ( )
A.15 B.30 C.12 D.36
7.1~10中的质数能够组成的所有没有重复数字的整数的个数为 ( )
A.4 B.12
C.24 D.64
8.“数独九宫格”原创者是18世纪的瑞士数学家欧拉,它的游戏规则很简单,将1到9这九个自然数填到如图所示的小九宫格的9个空格里,每个空格填一个数,且9个空格的数字各不相同,若中间空格已填数字5,且只填第二行和第二列,并要求第二行从左至右及第二列从上至下所填的数字都是从大到小排列的,则不同的填法种数为 ( )
5
A.72 B.108
C.144 D.196
9.(多选题)从1,2,3,4,5,6中任取三个不同的数字组成一个三位数,则在所组成的三位数中 ( )
A.三位偶数有60个
B.比300大的三位奇数有48个
C.个位和百位数字之和为7的三位数有24个
D.能被3整除的三位数有48个
二、填空题
10.学号分别为1,2,3,4的四位同学排成一排,要求学号相邻的同学不相邻,列举出所有不同的排列: .
11.直线ax+by+c=0的斜率大于零,a,b,c∈{-2,-1,0,1,2}且互不相同,那么这样的不重合直线有 条.
12.某个游戏的一个环节是要打开一个密码箱,已知该密码箱的密码由四个数字组成(每个数字均为0~9这十个整数中的一个),且从之前的游戏环节得知,该密码的四个数字互不相同,且前两个数字均大于6,最后两个数字均小于5,则该密码的可能的情况种数为 .
三、解答题
13.写出下列问题的所有排列:
(1)北京、广州、南京、天津4个城市相互通航,应该有多少种机票
(2)A,B,C,D四名同学排成一排照相,要求自左向右,A不排第一,B不排第四,共有多少种不同的排列方法
14.在三位数中,如果十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都小,那么这个数为凹数,如524,746等都是凹数,那么用0,1,2,3,4这五个数字能组成多少个无重复数字的凹数 请列举出来.
15.某学校社团将举办红歌展演,现从《歌唱祖国》《英雄赞歌》《南泥湾》《没有共产党就没有新中国》4首独唱歌曲和《保卫黄河》《唱支山歌给党听》《我和我的祖国》3首合唱歌曲中共选出4首歌曲安排演出,要求最后一首歌曲必须是合唱,则不同的安排方法共有 ( )
A.40种 B.240种
C.120种 D.360种
16.从0,1,2,3这四个数字中,每次取出三个不同的数字组成一个三位数.
(1)能组成多少个不同的偶数 并写出这些偶数.
(2)若组成的这些三位数中,1不能在百位,2不能在十位,3不能在个位,则这样的三位数共有多少个 并写出这些三位数.
