(共70张PPT)
6.2 排列与组合
6.2.2 排列数
探究点一 排列数公式的计算
探究点二 排数问题
探究点三 排队问题
【学习目标】
1.理解排列数公式,能利用排列数公式进行计算和证明.
2.进一步理解排列的概念,掌握一些排列问题的常用解决方法.
3.能应用排列知识解决简单的实际问题.
知识点 排列数与排列数公式
排列数定义及 表示 把从个不同元素中取出 个元素的所有
________________，叫作从个不同元素中取出 个
元素的排列数，用符号 表示
全排列的概念 把 个不同的元素__________的一个排列
阶乘的概念 正整数1到的连乘积，叫作的阶乘，用 表示
排列数公式 ____________________________
阶乘式_ _______
特殊情况 _____，___, ___
不同排列的个数
全部取出
1
1
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）从 个人中选出2个人，分别从事两项不同的工作，可
以用 表示.( )
√
（2）集合,，则 的取值个数是4.( )
√
（3）将8名同学排成两排，每排4人，则不可以用 表示.( )
×
[解析] 相当于8名同学排成一排,可以用 表示.
（4） .( )
√
（5） .( )
√
探究点一 排列数公式的计算
角度一 直接利用排列数公式求值
例1 计算:
（1） ；
解： .
（2） ；
解： .
（3） .
解： .
变式 ___.
1
[解析] .
角度二 排列数的化简与证明
例2（1） 满足的 的值为___.
5
[解析] 由 ,
得
,
,
即 ,解得或（舍去）, .
（2）化简: ____________.
[解析] !, 原式
.
变式（1） 解方程： .
解：由，可得 ，而
，故，可得 .
（2）求证： .
证明：左边
右边，
结论成立，即 .
［素养小结］
1.排列数的计算方法
（1）排列数的计算主要是利用排列数的乘积公式进行,连续正整数的
积可以写成某个排列数；
（2）应用排列数公式的阶乘形式时,一般写出它们的式子后,再提取
公因式.
2.排列数的化简与证明技巧
应用排列数公式可以对含有排列数的式子进行化简和证明，化简的
过程中要对排列数进行变形，并要熟悉排列数之间的内在联系.解题
时要灵活地运用如下变式：
； ；
； .
［提醒］ 在解含有排列数的方程或不等式时，必须注意 中
，且 这些限制条件.在解出方程或不等式后，要
进行检验，把不合题意的解舍掉.
探究点二 排数问题
［探索］ 排数问题的特点是什么 解题时怎样分析
解:排数问题的特点是每个位置一定要排上一个数,因此一般按位置分
析.排数时除遇到的条件外,还有一些数字本身的条件,如0不能排在首
位、奇偶数等,解题时要加以重视.
例3 用0，1，2，3，4五个数字.
（1）可组成多少个五位数？
解：各个数位上数字允许重复，万位上不能为0，根据分步乘法计数
原理，可组成 （个）五位数.
（2）可组成多少个无重复数字的五位数？
解：从1，2，3，4中任选一个放在万位，共有4种选法，其余四个位
置，4个数字全排列，故共有 （个）无重复数字的五位数.
（3）可组成多少个无重复数字且是3的倍数的三位数？
解：是3的倍数的三位数，其各个位上数字之和是3的倍数，则由0,1,
2和0,2,4和1,2,3以及2,3,4组成三位数，由0,1,2和0,2,4组成的三位数有
（个），由1,2,3和2,3,4组成的三位数有 （个），
故满足题意的三位数共有 （个）.
（4）可组成多少个无重复数字的五位奇数？
解：考虑特殊位置个位和万位，先确定个位上的数字，从1,3中选一
个放在个位，有 种选法，然后从剩余3个非零数字中选一个放在万
位，有种选法，其余3个数字在中间三个位置上全排列，有 种排
法，故满足题意的五位数共有 （个）.
（5）组成没有重复数字的五位数，将这些数由小到大排列，
是第几个数？
解：本题的本质是求不大于42 130的五位数有多少.
按分类加法计数原理，当万位数字为1，2，3时均满足，共有 个数，
当万位数字为4，千位数字为0，1时均满足，共有 个数，
当万位数字为4，千位数字为2，而百位数字为0和1时均满足，
共有 个，所以42 130是第 （个）数.
变式（1） 用数字1，2，3，4组成没有重复数字的三位数，其中奇
数的个数为( )
A.6 B.12 C.16 D.18
[解析] 先排个位，有2种排法，再排百位和十位，有 （种）排
法，因此共有 （个）奇数，故选B.
√
（2）用0,1,2,3,4,5这六个数字能组成多少个无重复数字且能被5整除
的五位数
解:个位上的数字必须是0或5.
若个位上的数字是0,则有 个符合题意的五位数；
若个位上的数字是5且五个数位上的数字不含0,则有 个符合题意的
五位数；
若个位上的数字是5且五个数位上的数字含0,则有个符合题意的
五位数.
故共能组成 （个）无重复数字且能被5整除
的五位数.
［素养小结］
数字排列问题的解题原则
排列问题的本质是“元素”占“位子”问题,有限制条件的排列问题的限
制条件主要表现在某元素不排在某个位子上,或某个位子不排某些元
素.解决该类排列问题的方法主要是按“优先”原则,即优先排特殊元素
或优先满足特殊位子,当一个位子安排的元素影响到另一个位子的元
素个数时,应分类讨论.
［提醒］ 解决数字问题时,应注意题干中的限制条件,恰当地进行分
类和分步,尤其注意特殊元素“0”的处理.
探究点三 排队问题
［探索］ 排队问题的特点是什么 解题时怎样分析
解:排队问题的特点是元素与位置都具有唯一性,分析问题时可按位置
分析,也可按元素分析.含有限制条件的问题,分析时一般采用特殊元素
优先原则,即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置,对于分类
过多的问题可以采用间接法.
例4 3名男生和4名女生按照不同的要求排队，求不同的排队方法数．
（1）选5人排成一排；
解：无条件的排列问题，排法有 （种）.
（2）全体站成一排，甲、乙均不在两端；
解：先安排甲、乙，有种方法，再安排余下的5人，有 种方法，
故排法有 （种）.
（3）全体站成一排，甲不在最左端，乙不在最右端；
解：由题知甲在最左端或乙在最右端的排法均有 种，甲在最左端
且乙在最右端的排法有种，故排法有
（种）.
（4）全体站成一排，男生站在一起、女生站在一起；
解：把男生看成一个整体，男生全排列的排法有 种，再把女生看
成一个整体，女生全排列的排法有 种，再把这两个整体全排列，
共有 （种）排法.
（5）全体站成一排，男生彼此不相邻；
解：先排女生，有 种排法，排好后有5个空位，让男生插入5个空
位中，有种排法，故共有 （种）排法.
（6）全体站成一排，男生各不相邻、女生各不相邻；
解：先排男生，有种排法，让女生插空，有 种排法，故共有
（种）排法.
（7）全体站成一排，甲、乙中间有2个人；
解：任选2人与甲、乙组成一个整体，与余下3个元素全排列，故共
有 （种）排法.
（8）排成前后两排，前排3人，后排4人.
解：分步完成，共有 （种）排法.
变式 把5件不同产品，，，， 摆成一排.
（1）若，相邻且， 相邻，则共有多少种不同的摆法？
解：当,相邻且,相邻时，将,, 捆绑起来作为一个元素并把产
品放在产品与之间，又产品与可互换位置，所以,, 有
（种）摆法.
把,, 组成的整体作为一个元素和剩下的两个元素,进行排列，
有 （种）摆法.
所以，相邻且，相邻共有 （种）不同的摆法.
（2）若，相邻且， 不相邻，则共有多少种不同的摆法？
解：，相邻共有 （种）不同的摆法，由（1）可知
，相邻且，相邻共有12种不同的摆法，所以，相邻且，
不相邻共有 （种）不同的摆法.
［素养小结］
排队问题的解题策略
（1）合理归类，要将题目大致归类，常见的类型有特殊元素、特殊
位置、相邻问题、不相邻问题等，再针对每一类采用相应的方法解题.
（2）恰当结合，排列问题的解决离不开两个计数原理的应用，解题
过程中要恰当结合两个计数原理.
（3）正难则反，这是一个基本的数学思想，巧妙应用排除法可起到
事半功倍的效果.
拓展 某班级某天的课程表要排入历史、语文、数学、物理、体育、
英语共6节课.
（1）如果数学必须比语文先上,那么不同的排法有多少种
解：方法一:如果数学必须比语文先上,那么不同的排法有
（种）.
方法二：先排历史、物理、体育、英语，剩下的两个位置排语文、
数学，则不同的排法有 （种）.
（2）原定的6节课已排好,学校临时通知要增加生物、化学、地理3节
课,若将这3节课插入原课表中且原来的6节课相对顺序不变,则有多少
种不同的排法
解：方法一：若将这3节课插入原课表中且原来的6节课相对顺序不
变,则不同的排法有 （种）.
方法二：先排生物、化学、地理，剩下的位置安排顺序已定的六门
课，则不同的排法有 （种）.
方法三（插空法）：六门课顺序已定，先插入生物，有7种方法，再
插入化学，有8种方法，最后插入地理，有9种方法，则不同的排法
有 （种）.
1.排列与排列数的区别
“一个排列”是指：从个不同的元素中任取 个元素，按照
一定的顺序排成一列，不是数，是一种排法；“排列数”是指从 个不
同的元素中取出 个元素的所有排列的个数，是一个数.所以
符号 只表示排列数，而不表示具体的排列.
2.排列数的两个公式的特点
（1）第一个公式右边是若干数的连乘积，其特点是：第一个因数是
(下标)，后面的每一个因数都比它前面的因数少1，最后一个因数
为(下标-上标，共有 (上标)个连续自然数相乘.
（2）排列数的第二个公式是阶乘的形式，所以又叫排列数的阶乘式.
它是一个分式的形式，分子是下标 的阶乘，分母是下标减上标即
的阶乘.公式中的，应该满足，， ，当
时不成立.
3.利用排列与排列数解排列应用题的基本思想
1.一般来说，在直接进行具体计算时，选用连乘积形式较好；当对含
有字母的排列数的式子进行变形、解方程或证明时，采用阶乘形式
较好.
公式主要有两个作用：一是当, 较大时，由于科学计
算器上可直接求出相应的阶乘数，因此用上面的公式计算排列数较
为方便；二是当对含有字母的排列数的式子进行变形和论证时，写
成这种形式有利于发现相互之间的关系.
例1 （多选题）下列关于排列数的等式中，正确的是( )
A. B.
C. D.
[解析] !，故A正确；
，故B正确;
，故C不正确；
，故D正确.故选 .
√
√
√
2.简单的排列问题
例2 12名选手参加校园歌手大奖比赛，比赛设一等奖、二等奖、三
等奖各一名，每人最多获得一种奖项，每个奖项均有人获得，共有
多少种不同的获奖情况？
解：从12名选手中选出3名获奖选手并安排奖项，共有
（种）不同的获奖情况.
例3 某地区足球比赛共有12个队参加，每队都要与其他各队在主客
场分别比赛一次，则共要进行多少场比赛？
解：若把每一场比赛都看成主场队在前、客场队在后的一个排列，
则所求比赛数等于从12个对象中任取2个的排列数，故共要进行
（场）比赛.
3.解有限制条件的排列问题的基本思路
限制条件 解题策略
特殊元素 通常采用“元素分析”法，即以元素为主，优先考虑特
殊元素的要求，再考虑其他元素
特殊位置 通常采用“位置分析”法，即以位置为主，优先考虑特
殊位置的要求，再考虑其他位置
限制条件 解题策略
元素相邻 通常采用“捆绑”法，即把相邻元素看作一个整体与其
他元素一起排列
元素不相邻 通常采用“插空”法，即先考虑不受限制的元素的排
列，再将不相邻元素插在前面元素排列的空档中
续表
例4 5名篮球队员甲、乙、丙、丁、戊排成一排.
（1）共有多少种不同的排法？
解：5名篮球队员排成一排，共有 （种）
不同的排法.
（2）若甲必须站在排头，则共有多少种不同的排法？
解：因为甲必须站在排头，所以将其余4人全排列即可，有
（种）不同的排法，
所以若甲必须站在排头，则共有24种不同的排法.
（3）若甲既不能站在排头，也不能站在排尾，则共有多少种不同的
排法？
解：因为甲既不能站在排头，也不能站在排尾，所以先排甲，有
（种）不同的排法，
然后将其余4人全排列，有 （种）不同的排法，
所以若甲既不能站在排头，也不能站在排尾，则共有
（种）不同的排法.
练习册
一、选择题
1. ( )
A. B. C. D.
[解析] 由排列数的定义可得
,故选D.
√
2.甲、乙分别从《扬州民间艺术》《扬州盐商文化》《扬州评话》和
《大运河的前世今生》4门课程中选修1门，且2人选修的课程不同，
则不同的选法有( )
A.6种 B.8种 C.12种 D.16种
[解析] 甲、乙分别从4门课程中选修1门，且2人选修的课程不同，则
有 （种）选法.故选C.
√
3.已知，则 等于( )
A.6 B.13 C.6或13 D.12
[解析] 因为，所以 ，得
，解得或 （舍去）.故选A.
√
4.由1，2，3，4组成的没有重复数字的三位数中，偶数的个数为
( )
A.6 B.12 C.24 D.36
[解析] 由题意可得，个位上的数字可以是2或4，有2种排法，百位和
十位上的数字可以从剩余的三个数字中任选两个进行排列，有 种
排法.由分步乘法计数原理可得，满足条件的三位偶数共有
（个）.故选B.
√
5.若!，则 的个位数字是( )
A.0 B.3 C.5 D.8
[解析] ,,,，从!开始一直到 !的个位数
字都是0，所以要求 的个位数字，只需将前面四个数加起来，又
，所以 的个位数字是3.故选B.
√
6.[2024·西南大学附中高二月考]有五个节目（甲、乙、丙、丁、
戊），现对这五个节目的出场顺序进行排序，其中甲不能第一个出
场，乙不能第三个出场，则不同的出场顺序共有( )
A.72种 B.78种 C.96种 D.120种
[解析] 当甲第三个出场时，乙、丙、丁、戊全排列，有
（种）出场顺序；
当甲不在第一、三个出场时，有（种）出场顺序.
故共有 （种）不同的出场顺序.故选B.
√
7.由数字0,1,2,3组成的无重复数字的四位数中,比2021大的四位数的个数为( )
A.10 B.11 C.12 D.13
[解析] 根据题意,分两种情况讨论:①当千位为3时,将剩下的三个数字
全排列,安排在后面的三个数位上,有 （种）情况,即有6个符合
条件的四位数.
②当千位为2时,若百位为1或3,则将剩下的两个数字全排列,安排在后面的
两个数位上,有 （种）情况,即有4个符合条件的四位数;
若百位为0,则只有2031这1个符合条件的四位数.
综上,共有 （个）符合条件的四位数,故选B.
√
8.（多选题）下列等式中恒成立的是( )
A. B.
C. D.
[解析] 对于A， ，故A正确；
对于B，,，当时， ，
故B错误；
对于C， ，故C正确；
对于D，，故D正确.故选 .
√
√
√
9.（多选题）甲、乙、丙、丁、戊五人并排站成一排，下列说法正确
的是( )
A.如果甲、乙必须相邻且乙在甲的右边，那么不同的排法有48种
B.最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有42种
C.甲、乙不相邻的排法有72种
D.甲、乙、丙按从左到右的顺序排列的排法有20种
√
√
√
[解析] 对于A，甲、乙必须相邻且乙在甲的右边，将甲、乙看成一
个整体，与丙、丁、戊全排列，有 （种）排法，故A错误.
对于B，分2种情况讨论：若甲站在最左端，乙和丙、丁、戊全排列，
有 （种）排法；若乙站在最左端，则甲有3种站法，剩下3人
全排列，有（种）排法.则共有 （种）不同
的排法，故B正确.
对于C，先将丙、丁、戊三人排成一排，有 种排法，再将甲、乙安排
在三人形成的4个空位中，有 种排法，故共有 （种）排法，
故C正确.
对于D，甲、乙、丙、丁、戊五人全排列有（种）排法，
甲、乙、丙全排列有 （种）排法，则甲、乙、丙按从左到右的
顺序排列的排法有 （种），故D正确.故选 .
二、填空题
10.不等式 的解集为____.
[解析] 由题意得，
, ，
!， ，
，解得，又，
，，故不等式的解集为 .
11.[2024·宁德高二期末] 在某次文化表演中，主办方安排了《济公传》
《反五关》《龙虎斗》《宏碧缘》《旗王哭将》五个节目，其中要
求《宏碧缘》与《旗王哭将》不相邻，则不同的节目安排种数为___
（用数字作答）.
72
[解析] 先将《济公传》《反五关》《龙虎斗》三个节目进行排序，
然后将《宏碧缘》与《旗王哭将》两个节目插入《济公传》《反五
关》《龙虎斗》这三个节目形成的四个空位中的两个空位，由分步
乘法计数原理可知，不同的节目安排种数为 .
12.[2024·浙江嘉兴八校联盟高二期中] 用1至9这9个正整数组成无重
复数字且任意相邻的三个数字之和是3的倍数的九位数，这样的九位
数有______个（用数字作答）.
1296
[解析] 将1至9这9个正整数分为3组：1，4，7；2，5，8；3，6，9.
若这个九位数任意相邻的三个数字之和是3的倍数，则这个九位数从
左至右数第一、四、七个数为这3组中一组的一个排列，第二、五、
八个数为剩余2组中一组的一个排列，第三、六、九个数为最后的一
组的一个排列，故这样的九位数有 （个）.
三、解答题
13.有0，1，2，3，4，5这六个数字.
（1）能组成多少个无重复数字的四位偶数？
解：符合要求的四位偶数可分为三类：第一类，0在个位时，有 个四位偶数；
第二类，2在个位时，千位从1，3，4，5中选定1个（有种选法），十位和
百位从余下的数字中选（有 种选法），有 个四位偶数；
第三类，4在个位时，与第二类同理，也有 个四位偶数.
由分类加法计数原理知，能组成 （个）
无重复数字的四位偶数.
（2）能组成多少个无重复数字且能被25整除的四位数？
解：符合要求的四位数可分为两类：第一类，四位数的十位和个位
分别是2，5，需要先从余下的非零数字中选一个放在千位，剩下的
三个数字中选一个放在百位，共有 个四位数；
第二类，四位数的十位和个位分别是5，0，共有 个四位数.
由分类加法计数原理知，能组成 （个）符合题意的
四位数.
（3）能组成多少个无重复数字且比1325大的四位数？
解：符合要求的四位数可分为三类：
第一类，形如 ，，，，共有个；
第二类，形如 ，，共有个；
第三类，形如，，共有 个.
由分类加法计数原理知，能组成
（个）符合题意的四位数.
14.某校举办元旦晩会，现有4首歌曲和3个舞蹈需要安排出场顺序.
（结果用数字作答）
（1）如果4首歌曲相邻，那么有多少种不同的出场顺序
解：先将4首歌曲捆绑，有 种情况，再将捆绑好的4首歌曲与3个舞
蹈排序，有种情况，所以有 （种）不同的出场顺序.
（2）如果3个舞蹈互不相邻，那么有多少种不同的出场顺序
解：先将4首歌曲排好，有 种情况，再将3个舞蹈排入4首歌曲隔开的
5个空中，有种情况，所以有 （种）不同的出场顺序.
（3）如果歌曲甲不在第一个出场，舞蹈乙不在最后一个出场，那么
有多少种不同的出场顺序
解：方法一：7个节目全排列，有 种情况.当歌曲甲在第一个出场
时，有种情况，当舞蹈乙在最后一个出场时，有 种情况，其中
都包含了歌曲甲在第一个出场且舞蹈乙在最后一个出场的情况，有
种情况，故共有 （种）不同的出场顺序.
方法二：当歌曲甲在最后一个出场时，其他节目全排列，有 种情
况；当歌曲甲不在最后一个出场时，可从余下的5个位置任选一个，
有 种情况，而舞蹈乙可排在除去甲排的位置及最后一个位置后剩
下的5个位置中，有种情况，其余节目全排列，有 种情况，故共
有 （种）不同的出场顺序.
15.自然对数是以常数为底数的对数，记作 ，在物理学、
生物学等自然科学中有着重要的意义.这个表示自然对数的底数的符
号是由瑞士数学家和物理学家 命名的，取的正是
的首字母，.某教师为帮助同学们了解 ，让同
学们把小数点后的7位数字进行随机排列，整数部分2的位置不变，
那么大于2.72的数的个数为( )
A.216 B.220 C.340 D.460
√
[解析] 由题意，当小数点后第一个数字为8时，后面6个数字中有2个
1，2个8，1个2和1个7，两个相同数字之间是没有顺序的，所以共有
（个）大于2.72的数；
当小数点后第一个数字为7时，后面6个数字中有2个1，3个8和1个2，
相同数字之间是没有顺序的，所以共有 （个）大于
2.72的数.
综上，大于2.72的数共有 （个）.故选B.
16.某高校从某系的10名优秀毕业生（包括甲、乙）中选4人分别到西
部的,,,四座城市参加中国西部经济开发建设,其中甲不到 城,乙
不到 城,共有多少种不同的派遣方案
解：因为甲、乙两人有限制条件,所以按照派遣人员中是否有甲、乙
两人来分类,有以下4种情况:①若甲、乙都不参加,则派遣方案有 种;
②若甲参加而乙不参加,则先安排甲,有3种方法,然后安排其余人,有
种方法,所以共有种派遣方案;
③若乙参加而甲不参加,也有 种派遣方案;
④若甲、乙都参加,则先安排甲、乙,有7种方法,然后再安排其余8人中
的2人到另外两座城市,有种方法,所以共有 种派遣方案.
综上，不同的派遣方案共有 （种）.6.2.2 排列数
【课前预习】
知识点
不同排列的个数 全部取出 n(n-1)(n-2)…(n-m+1)
n! 1 1
诊断分析
(1)√ (2)√ (3)× (4)√ (5)√ [解析] (3)相当于8名同学排成一排,可以用表示.
【课中探究】
例1 解:(1)=10×9×8×7=5040.
(2)-=9×8×7×6-9×8×7=2520.
(3)===5.
变式 1 [解析] ===1.
例2 (1)5 (2)(n+1)!-1 [解析] (1)由3=2+6,得3x(x-1)(x-2)=2(x+1)·x+6x(x-1).∵x≥3,∴3(x-1)(x-2)=2(x+1)+6(x-1),即3x2-17x+10=0,解得x=5或x=(舍去),∴x=5.
(2)∵n×n!=[(n+1)-1]×n!=(n+1)!-n!,∴原式=(2!-1!)+(3!-2!)+(4!-3!)+…+[(n+1)!-n!]=(n+1)!-1.
变式 解:(1)由=,可得2n(2n-1)(2n-2)=28n(n-1),而n≥2,故2n-1=7,可得n=4.
(2)证明:左边=-=n(n+1)-n=(n2+n-n)=n2=右边,∴结论成立,即-=n2.
探索 解:排数问题的特点是每个位置一定要排上一个数,因此一般按位置分析.排数时除遇到的条件外,还有一些数字本身的条件,如0不能排在首位、奇偶数等,解题时要加以重视.
例3 解:(1)各个数位上数字允许重复,万位上不能为0,根据分步乘法计数原理,可组成4×5×5×5×5=2500(个)五位数.
(2)从1,2,3,4中任选一个放在万位,共有4种选法,其余四个位置,4个数字全排列,故共有4=96(个)无重复数字的五位数.
(3)是3的倍数的三位数,其各个位上数字之和是3的倍数,则由0,1,2和0,2,4和1,2,3以及2,3,4组成三位数,由0,1,2和0,2,4组成的三位数有2=8(个),由1,2,3和2,3,4组成的三位数有2=12(个),故满足题意的三位数共有8+12=20(个).
(4)考虑特殊位置个位和万位,先确定个位上的数字,从1,3中选一个放在个位,有种选法,然后从剩余3个非零数字中选一个放在万位,有种选法,其余3个数字在中间三个位置上全排列,有种排法,故满足题意的五位数共有=36(个).
(5)本题的本质是求不大于42 130的五位数有多少.按分类加法计数原理,当万位数字为1,2,3时均满足,共有个数,当万位数字为4,千位数字为0,1时均满足,共有个数,当万位数字为4,千位数字为2,而百位数字为0和1时均满足,共有个,所以42 130是第++=88(个)数.
变式 (1)B [解析] 先排个位,有2种排法,再排百位和十位,有=6(种)排法,因此共有2×6=12(个)奇数,故选B.
(2)解:个位上的数字必须是0或5.若个位上的数字是0,则有个符合题意的五位数;若个位上的数字是5且五个数位上的数字不含0,则有个符合题意的五位数;若个位上的数字是5且五个数位上的数字含0,则有个符合题意的五位数.故共能组成++=216(个)无重复数字且能被5整除的五位数.
探索 解:排队问题的特点是元素与位置都具有唯一性,分析问题时可按位置分析,也可按元素分析.含有限制条件的问题,分析时一般采用特殊元素优先原则,即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置,对于分类过多的问题可以采用间接法.
例4 解:(1)无条件的排列问题,排法有=2520(种).
(2)先安排甲、乙,有种方法,再安排余下的5人,有种方法,故排法有·=2400(种).
(3)由题知甲在最左端或乙在最右端的排法均有种,甲在最左端且乙在最右端的排法有种,故排法有-2+=3720(种).
(4)把男生看成一个整体,男生全排列的排法有 种,再把女生看成一个整体,女生全排列的排法有 种,再把这两个整体全排列,共有=288(种)排法.
(5)先排女生,有种排法,排好后有5个空位,让男生插入5个空位中,有种排法,故共有=1440(种)排法.
(6)先排男生,有种排法,让女生插空,有种排法,故共有=144(种)排法.
(7)任选2人与甲、乙组成一个整体,与余下3个元素全排列,故共有=960(种)排法.
(8)分步完成,共有==5040(种)排法.
变式 解:(1)当A,B相邻且A,C相邻时,将A,B,C捆绑起来作为一个元素并把产品A放在产品B与C之间,又产品B与C可互换位置,所以A,B,C有=2×1=2(种)摆法.把A,B,C组成的整体作为一个元素和剩下的两个元素D,E进行排列,有=3×2×1=6(种)摆法.所以A,B相邻且A,C相邻共有2×6=12(种)不同的摆法.
(2)A,B相邻共有×=48(种)不同的摆法,由(1)可知A,B相邻且A,C相邻共有12种不同的摆法,所以A,B相邻且A,C不相邻共有48-12=36(种)不同的摆法.
拓展 解:(1)方法一:如果数学必须比语文先上,那么不同的排法有==360(种).
方法二:先排历史、物理、体育、英语,剩下的两个位置排语文、数学,则不同的排法有×1=360(种).
(2)方法一:若将这3节课插入原课表中且原来的6节课相对顺序不变,则不同的排法有=9×8×7=504(种).
方法二:先排生物、化学、地理,剩下的位置安排顺序已定的六门课,则不同的排法有×1=504(种).
方法三(插空法):六门课顺序已定,先插入生物,有7种方法,再插入化学,有8种方法,最后插入地理,有9种方法,则不同的排法有7×8×9=504(种).6.2.2 排列数
1.D [解析] 由排列数的定义可得=2024×2023×2022×2021×2020×…×2000,故选D.
2.C [解析] 甲、乙分别从4门课程中选修1门,且2人选修的课程不同,则有=4×3=12(种)选法.故选C.
3.A [解析] 因为3=4,所以3×=4×,得3=,解得x=6或x=13(舍去).故选A.
4.B [解析] 由题意可得,个位上的数字可以是2或4,有2种排法,百位和十位上的数字可以从剩余的三个数字中任选两个进行排列,有种排法.由分步乘法计数原理可得,满足条件的三位偶数共有2=12(个).故选B.
5.B [解析] 1!=1,2!=2,3!=6,4!=24,从5!开始一直到100!的个位数字都是0,所以要求S的个位数字,只需将前面四个数加起来,又1+2+6+24=33,所以S的个位数字是3.故选B.
6.B [解析] 当甲第三个出场时,乙、丙、丁、戊全排列,有=4×3×2×1=24(种)出场顺序;当甲不在第一、三个出场时,有3×3×=54(种)出场顺序.故共有54+24=78(种)不同的出场顺序.故选B.
7.B [解析] 根据题意,分两种情况讨论:①当千位为3时,将剩下的三个数字全排列,安排在后面的三个数位上,有=6(种)情况,即有6个符合条件的四位数.②当千位为2时,若百位为1或3,则将剩下的两个数字全排列,安排在后面的两个数位上,有2=4(种)情况,即有4个符合条件的四位数;若百位为0,则只有2031这1个符合条件的四位数.综上,共有6+4+1=11(个)符合条件的四位数,故选B.
8.ACD [解析] 对于A,=(n-2)(n-1)n=(n-2),故A正确;对于B,=,=,当n>2时,≠,故B错误;对于C,n=n·(n-1)!=n!=,故C正确;对于D,=·==,故D正确.故选ACD.
9.BCD [解析] 对于A,甲、乙必须相邻且乙在甲的右边,将甲、乙看成一个整体,与丙、丁、戊全排列,有=24(种)排法,故A错误.对于B,分2种情况讨论:若甲站在最左端,乙和丙、丁、戊全排列,有=24(种)排法;若乙站在最左端,则甲有3种站法,剩下3人全排列,有3×=18(种)排法.则共有24+18=42(种)不同的排法,故B正确.对于C,先将丙、丁、戊三人排成一排,有种排法,再将甲、乙安排在三人形成的4个空位中,有种排法,故共有=72(种)排法,故C正确.对于D,甲、乙、丙、丁、戊五人全排列有=120(种)排法,甲、乙、丙全排列有=6(种)排法,则甲、乙、丙按从左到右的顺序排列的排法有=20(种),故D正确.故选BCD.
10.{8} [解析] 由题意得<6×,∵(8-x)!>0,(10-x)!>0,∴(10-x)!<6×(8-x)!,∴(10-x)(9-x)<6,∴x2-19x+84<0,解得711.72 [解析] 先将《济公传》《反五关》《龙虎斗》三个节目进行排序,然后将《宏碧缘》与《旗王哭将》两个节目插入《济公传》《反五关》《龙虎斗》这三个节目形成的四个空位中的两个空位,由分步乘法计数原理可知,不同的节目安排种数为=6×12=72.
12.1296 [解析] 将1至9这9个正整数分为3组:1,4,7;2,5,8;3,6,9.若这个九位数任意相邻的三个数字之和是3的倍数,则这个九位数从左至右数第一、四、七个数为这3组中一组的一个排列,第二、五、八个数为剩余2组中一组的一个排列,第三、六、九个数为最后的一组的一个排列,故这样的九位数有=1296(个).
13.解:(1)符合要求的四位偶数可分为三类:第一类,0在个位时,有个四位偶数;第二类,2在个位时,千位从1,3,4,5中选定1个(有种选法),十位和百位从余下的数字中选(有种选法),有·个四位偶数;第三类,4在个位时,与第二类同理,也有·个四位偶数.由分类加法计数原理知,能组成+·+·=156(个)无重复数字的四位偶数.
(2)符合要求的四位数可分为两类:第一类,四位数的十位和个位分别是2,5,需要先从余下的非零数字中选一个放在千位,剩下的三个数字中选一个放在百位,共有个四位数;第二类,四位数的十位和个位分别是5,0,共有个四位数.由分类加法计数原理知,能组成+=21(个)符合题意的四位数.
(3)符合要求的四位数可分为三类:第一类,形如2□□□,3□□□,4□□□,5□□□,共有·个;第二类,形如14□□,15□□,共有·个;第三类,形如134□,135□,共有·个.由分类加法计数原理知,能组成·+·+·=270(个)符合题意的四位数.
14.解:(1)先将4首歌曲捆绑,有种情况,再将捆绑好的4首歌曲与3个舞蹈排序,有种情况,所以有·=576(种)不同的出场顺序.
(2)先将4首歌曲排好,有种情况,再将3个舞蹈排入4首歌曲隔开的5个空中,有种情况,所以有·=1440(种)不同的出场顺序.
(3)方法一:7个节目全排列,有种情况.当歌曲甲在第一个出场时,有种情况,当舞蹈乙在最后一个出场时,有种情况,其中都包含了歌曲甲在第一个出场且舞蹈乙在最后一个出场的情况,有种情况,故共有-2+=3720(种)不同的出场顺序.
方法二:当歌曲甲在最后一个出场时,其他节目全排列,有种情况;当歌曲甲不在最后一个出场时,可从余下的5个位置任选一个,有种情况,而舞蹈乙可排在除去甲排的位置及最后一个位置后剩下的5个位置中,有种情况,其余节目全排列,有种情况,故共有+=3720(种)不同的出场顺序.
15.B [解析] 由题意,当小数点后第一个数字为8时,后面6个数字中有2个1,2个8,1个2和1个7,两个相同数字之间是没有顺序的,所以共有=180(个)大于2.72的数;当小数点后第一个数字为7时,后面6个数字中有2个1,3个8和1个2,相同数字之间是没有顺序的,所以共有-=40(个)大于2.72的数.综上,大于2.72的数共有180+40=220(个).故选B.
16.解:因为甲、乙两人有限制条件,所以按照派遣人员中是否有甲、乙两人来分类,有以下4种情况:①若甲、乙都不参加,则派遣方案有种;②若甲参加而乙不参加,则先安排甲,有3种方法,然后安排其余人,有种方法,所以共有3种派遣方案;③若乙参加而甲不参加,也有3种派遣方案;④若甲、乙都参加,则先安排甲、乙,有7种方法,然后再安排其余8人中的2人到另外两座城市,有种方法,所以共有7种派遣方案.综上,不同的派遣方案共有+3+3+7=4088(种).6.2.2 排列数
【学习目标】
1.理解排列数公式,能利用排列数公式进行计算和证明.
2.进一步理解排列的概念,掌握一些排列问题的常用解决方法.
3.能应用排列知识解决简单的实际问题.
◆ 知识点 排列数与排列数公式
排列数 定义 及表示 把从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有 ,叫作从n个不同元素中取出m个元素的排列数,用符号表示
全排列 的概念 把n个不同的元素 的一个排列
阶乘的 概念 正整数1到n的连乘积,叫作n的阶乘,用n!表示
排列数 公式 =
阶乘式= (n,m∈N*,m≤n)
特殊 情况 = ,1!= ,0!=
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)从n(n≥2)个人中选出2个人,分别从事两项不同的工作,可以用表示. ( )
(2)集合P={x|x=,m∈N*},则m的取值个数是4. ( )
(3)将8名同学排成两排,每排4人,则不可以用表示.( )
(4)n!=. ( )
(5)=. ( )
◆ 探究点一 排列数公式的计算
角度一 直接利用排列数公式求值
例1 计算:(1);(2)-;(3).
变式 = .
角度二 排列数的化简与证明
例2 (1)满足3=2+6的x的值为 .
(2)化简:1!+2×2!+3×3!+…+n×n!= .
变式 (1)解方程:=28.
(2)求证:-=n2.
[素养小结]
1.排列数的计算方法
(1)排列数的计算主要是利用排列数的乘积公式进行,连续正整数的积可以写成某个排列数;
(2)应用排列数公式的阶乘形式时,一般写出它们的式子后,再提取公因式.
2.排列数的化简与证明技巧
应用排列数公式可以对含有排列数的式子进行化简和证明,化简的过程中要对排列数进行变形,并要熟悉排列数之间的内在联系.解题时要灵活地运用如下变式:
①n!=n(n-1)!;②=n;
③n·n!=(n+1)!-n!;④=-.
[提醒] 在解含有排列数的方程或不等式时,必须注意中m∈N*,n∈N*且m≤n这些限制条件.在解出方程或不等式后,要进行检验,把不合题意的解舍掉.
◆ 探究点二 排数问题
[探索] 排数问题的特点是什么 解题时怎样分析
例3 用0,1,2,3,4五个数字.
(1)可组成多少个五位数
(2)可组成多少个无重复数字的五位数
(3)可组成多少个无重复数字且是3的倍数的三位数
(4)可组成多少个无重复数字的五位奇数
(5)组成没有重复数字的五位数,将这些数由小到大排列,42 130是第几个数
变式 (1)用数字1,2,3,4组成没有重复数字的三位数,其中奇数的个数为 ( )
A.6 B.12 C.16 D.18
(2)用0,1,2,3,4,5这六个数字能组成多少个无重复数字且能被5整除的五位数
[素养小结]
数字排列问题的解题原则
排列问题的本质是“元素”占“位子”问题,有限制条件的排列问题的限制条件主要表现在某元素不排在某个位子上,或某个位子不排某些元素.解决该类排列问题的方法主要是按“优先”原则,即优先排特殊元素或优先满足特殊位子,当一个位子安排的元素影响到另一个位子的元素个数时,应分类讨论.
[提醒] 解决数字问题时,应注意题干中的限制条件,恰当地进行分类和分步,尤其注意特殊元素“0”的处理.
◆ 探究点三 排队问题
[探索] 排队问题的特点是什么 解题时怎样分析
例4 3名男生和4名女生按照不同的要求排队,求不同的排队方法数.
(1)选5人排成一排;
(2)全体站成一排,甲、乙均不在两端;
(3)全体站成一排,甲不在最左端,乙不在最右端;
(4)全体站成一排,男生站在一起、女生站在一起;
(5)全体站成一排,男生彼此不相邻;
(6)全体站成一排,男生各不相邻、女生各不相邻;
(7)全体站成一排,甲、乙中间有2个人;
(8)排成前后两排,前排3人,后排4人.
变式 把5件不同产品A,B,C,D,E摆成一排.
(1)若A,B相邻且A,C相邻,则共有多少种不同的摆法
(2)若A,B相邻且A,C不相邻,则共有多少种不同的摆法
[素养小结]
排队问题的解题策略
(1)合理归类,要将题目大致归类,常见的类型有特殊元素、特殊位置、相邻问题、不相邻问题等,再针对每一类采用相应的方法解题.
(2)恰当结合,排列问题的解决离不开两个计数原理的应用,解题过程中要恰当结合两个计数原理.
(3)正难则反,这是一个基本的数学思想,巧妙应用排除法可起到事半功倍的效果.
拓展 某班级某天的课程表要排入历史、语文、数学、物理、体育、英语共6节课.
(1)如果数学必须比语文先上,那么不同的排法有多少种
(2)原定的6节课已排好,学校临时通知要增加生物、化学、地理3节课,若将这3节课插入原课表中且原来的6节课相对顺序不变,则有多少种不同的排法 6.2.2 排列数
一、选择题
1. 2024×2023×2022×2021×2020×…×2000= ( )
A. B.
C. D.
2.甲、乙分别从《扬州民间艺术》《扬州盐商文化》《扬州评话》和《大运河的前世今生》4门课程中选修1门,且2人选修的课程不同,则不同的选法有 ( )
A.6种 B.8种
C.12种 D.16种
3.已知3=4,则x等于 ( )
A.6 B.13
C.6或13 D.12
4.由1,2,3,4组成的没有重复数字的三位数中,偶数的个数为 ( )
A.6 B.12
C.24 D.36
5.若S=1!+2!+3!+…+100!,则S的个位数字是 ( )
A.0 B.3
C.5 D.8
6.[2024·西南大学附中高二月考] 有五个节目(甲、乙、丙、丁、戊),现对这五个节目的出场顺序进行排序,其中甲不能第一个出场,乙不能第三个出场,则不同的出场顺序共有 ( )
A.72种 B.78种
C.96种 D.120种
7.由数字0,1,2,3组成的无重复数字的四位数中,比2021大的四位数的个数为 ( )
A.10 B.11
C.12 D.13
8.(多选题)下列等式中恒成立的是 ( )
A.=(n-2)
B.=
C.n=
D.=
9.(多选题)甲、乙、丙、丁、戊五人并排站成一排,下列说法正确的是 ( )
A.如果甲、乙必须相邻且乙在甲的右边,那么不同的排法有48种
B.最左端只能排甲或乙,最右端不能排甲,则不同的排法共有42种
C.甲、乙不相邻的排法有72种
D.甲、乙、丙按从左到右的顺序排列的排法有20种
二、填空题
10.不等式<6的解集为 .
11.[2024·宁德高二期末] 在某次文化表演中,主办方安排了《济公传》《反五关》《龙虎斗》《宏碧缘》《旗王哭将》五个节目,其中要求《宏碧缘》与《旗王哭将》不相邻,则不同的节目安排种数为 (用数字作答).
12.[2024·浙江嘉兴八校联盟高二期中] 用1至9这9个正整数组成无重复数字且任意相邻的三个数字之和是3的倍数的九位数,这样的九位数有 个(用数字作答).
三、解答题
13.有0,1,2,3,4,5这六个数字.
(1)能组成多少个无重复数字的四位偶数
(2)能组成多少个无重复数字且能被25整除的四位数
(3)能组成多少个无重复数字且比1325大的四位数
14.某校举办元旦晩会,现有4首歌曲和3个舞蹈需要安排出场顺序.(结果用数字作答)
(1)如果4首歌曲相邻,那么有多少种不同的出场顺序
(2)如果3个舞蹈互不相邻,那么有多少种不同的出场顺序
(3)如果歌曲甲不在第一个出场,舞蹈乙不在最后一个出场,那么有多少种不同的出场顺序
15.自然对数是以常数e为底数的对数,记作ln N(N>0),在物理学、生物学等自然科学中有着重要的意义.这个表示自然对数的底数的符号e是由瑞士数学家和物理学家Leonhard Euler命名的,取的正是Euler的首字母e,e≈2.718 281 8.某教师为帮助同学们了解e,让同学们把小数点后的7位数字进行随机排列,整数部分2的位置不变,那么大于2.72的数的个数为 ( )
A.216 B.220
C.340 D.460
16.某高校从某系的10名优秀毕业生(包括甲、乙)中选4人分别到西部的A,B,C,D四座城市参加中国西部经济开发建设,其中甲不到A城,乙不到B城,共有多少种不同的派遣方案
