(共82张PPT)
6.2 排列与组合
6.2.4 组合数
探究点一 组合数公式及其应用
探究点二 有限制条件的组合问题
探究点三 分组、分配问题
【学习目标】
1.理解组合数的概念.
2.会推导组合数公式,并会应用公式求值.
3.理解组合数的两个性质,并会求值、化简和证明.
4.能解决有限制条件的组合问题.
知识点 组合数与组合数公式
组合数 定义 表示法 ____ 组合数 公式 乘积式
阶乘式
性质 备注 所有不同组合
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）从，，三个不同的元素中任取两个元素的一个组合是 .
( )
×
（2） .( )
×
（3）从1,3,5,7中任取两个数相乘可得 个积.( )
√
探究点一 组合数公式及其应用
角度一 组合数的计算与化简
例1（1） 计算： .
解:原式 .
（2）计算: .
解:, ,
.
（3）计算: .
解:原式 .
角度二 组合数有关的证明
例2 证明：
（1） ；
证明： ，
原式成立.
（2） .
证明： ,原式成立.
变式（1） 求使成立的 的值.
解：根据排列数和组合数公式，原方程可化为 ，
即，即，
，解得或 （舍去）.
（2）证明： .
证明： ，
，
， 原式成立.
（3）若求 满足的条件.
解：由 得
即即故 ，
又，或 .
［素养小结］
进行组合数的相关计算时,注意以下几点:
（1）像排列数公式一样，公式 一般用于计算；
而公式及 一般用于证明、解方程（不等式）等.
（2）要注意公式的逆向运用，如例 中可利用“
”简化计算过程.
（3）在解决与组合数有关的问题时，要注意隐含条件“且 ，
”的运用.
（4）例2（1）所推导的结论“ ”以及它的变形公式是
非常重要的公式，应熟练掌握.
探究点二 有限制条件的组合问题
考向1 “含有”与“至少”问题
例3 有男运动员6名,女运动员4名,其中男、女队长各1名.选派5人外
出比赛,按下列要求分别有多少种选法
（1）男运动员3名,女运动员2名;
解：第一步:选3名男运动员,有 种选法.
第二步:选2名女运动员,有种选法.
故共有 （种）选法.
（2）至少有1名女运动员;
解：方法一（直接法）:至少有1名女运动员包括以下几种情况:1女4
男,2女3男,3女2男,4女1男.由分类加法计数原理可得共有
（种）选法.
方法二（间接法）:“至少有1名女运动员”的反面为“全是男运动员”,
从10人中任选5人有种选法,其中全是男运动员的选法有 种，
所以“至少有1名女运动员”的选法有 （种）.
（3）至少有1名队长;
解：方法一（直接法）:可分类求解.“只有男队长”的选法有 种;“只
有女队长”的选法有种;“男、女队长都有”的选法有 种.所以共有
（种）选法.
方法二（间接法）:从10人中任选5人有 种选法,其中不选队长的选
法有种，所以“至少有1名队长”的选法有 （种）.
（4）既有队长,又有女运动员.
解：当选女队长时,其他人任意选,共有 种选法；
当不选女队长时, 必选男队长,从其他人中任选4人共有 种选法,
其中不含女运动员的选法有种,所以不选女队长时的选法共有
种.
所以既有队长，又有女运动员的选法共有 （种）.
变式 蓝天救援队有男救援员8名，女救援员4名，现选派5名救援员
参加一项救援.
（1）若男救援员甲与女救援员乙必须参加，共有多少种不同的选法？
解：共有12名救援员，若甲、乙必须参加，则再从剩下的10名中选3
名即可，有 （种）不同的选法.
（2）若救援员甲、乙均不能参加，共有多少种不同的选法？
解：若甲、乙两人均不能参加，则从剩下的10名中选5名即可，有
（种）不同的选法.
（3）若至少有一名男救援员和一名女救援员参加，共有多少种不同
的选法？
解：若不限制条件，则共有 种选法，若所选的5人均为男救援员，
则有 种选法，故至少有一名男救援员和一名女救援员参加共有
（种）不同的选法.
［素养小结］
组合问题常有以下两类题型:
（1）“含有”或“不含有”某些元素的组合题型:“含”,则先将这些元素取
出,再由其他元素补足;“不含”,则先将这些元素剔除,再从剩下的元素
中选取.
（2）“至少”或“至多”含有几个元素的题型:当直接法分类复杂时,逆
向思维,间接求解.
考向2 “多面手”问题
例4 有11名外语翻译人员，其中5名英语翻译员，4名日语翻译员，
另外2名英语、日语都精通，从中找出8人，使他们可以组成2个翻译
小组，其中一组4人翻译英语，另外一组4人翻译日语，且这2个小组
能同时工作，则这样的8人名单共有多少种？
解：设2名英语、日语都精通的翻译员为甲、乙，则根据题意可分为
三类：第一类，2名英语、日语都精通的翻译员都不选，则有
（种）；
第二类，2名英语、日语都精通的翻译员只选1人，比如选甲，若让
甲去翻译英语，则有 （种），若让甲去翻译日语，则有
（种），此时共有 （种）；
第三类，2名英语、日语都精通的翻译员都选，若2人都去翻译英语，
则有（种），若2人都去翻译日语，则有 （种），
若2人一个翻译英语，一个翻译日语，则有 （种），此时
共有 （种）.
综上，这样的8人名单共有 （种）.
变式 有6名工人，其中2人只会电工，3人只会木工，还有1人既会电
工又会木工，若要选出电工2人、木工2人，且这4人能同时工作，则
共有____种不同的选法.
12
[解析] 由题意可分为三类：①既会电工又会木工的1人没入选，有
（种）选法；
②既会电工又会木工的1人入选当电工，有 （种）选法；
③既会电工又会木工的1人入选当木工，有（种）选法.
综上，共有 （种）不同的选法.
［素养小结］
多面手问题以元素作为分析对象，按照选用几个多面手，多面手做
什么建立分类讨论的标准，并且要注意做到不重复不遗漏.
探究点三 分组、分配问题
［探索］ （1）把3个苹果平均分成三份共有几种分法 为什么
解：共1种分法，因为三份无差异.
（2）把3本不同的书分给3个人,共有几种分法
解：共有 （种）分法.
考向1 不同元素分组、分配问题
例5 按下列要求分配6本不同的书,分别有多少种不同的分配方法
（1）分成3份,1份1本,1份2本,1份3本;
解：无序不均匀分组问题.首先选1本有 种方法,然后从余下的5本中
选2本有种方法,最后余下3本全选有种方法,故共有
（种）分配方法.
（2）甲、乙、丙三人中,一人得1本,一人得2本,一人得3本;
解：有序不均匀分组问题.由于甲、乙、丙是不同的三人,在第（1）
问的基础上再分配给三人,共有 （种）分配方法.
（3）平均分成3份,每份2本;
解：无序均匀分组问题.分三步进行,应有 种方法,但是这里出
现了三个位置上的重复,故共有 （种）分配方法.
（4）平均分配给甲、乙、丙三人,每人2本;
解：有序均匀分组问题.在第（3）问的基础上再分配给三人,故共有
（种）分配方法.
（5）分成3份,1份4本,另外2份每份1本;
解：无序部分均匀分组问题.共有 （种）分配方法.
（6）甲、乙、丙三人中,一人得4本,另外两人每人得1本;
解：有序部分均匀分组问题.在第（5）问的基础上再分配给三人,共
有 （种）分配方法.
（7）甲得1本,乙得1本,丙得4本.
解：直接分配问题.甲选1本有种方法,乙从余下的5本中选1本有 种
方法,余下的4本留给丙有种方法,故共有 （种）分配方法.
变式 有9件不同的玩具，求符合下列条件的分配方案的种数.
（1）平均分成三堆；
解：平均分成三堆，共有 （种）分配方案.
（2）按数量分为2，2，2，3四堆；
解：先选3件，剩下的6件平均分成3堆，共有 （种）
分配方案.
（3）分给甲、乙、丙三个人，甲得2件，乙得3件，丙得4件；
解：甲得2件玩具有种方法，乙得3件有种方法，丙得4件有 种
方法，故共有 （种）分配方案.
（4）分给甲、乙、丙三个人，一人得2件，一人得3件，一人得4件.
解：9件玩具按数量分为2，3，4三堆，有 种方法，再分给甲、
乙、丙三人，共有 （种）分配方案.
考向2 相同元素分组、分配问题
例6 6个相同的小球放入4个编号为1,2,3,4的盒子中，求下列问题中
不同放法的种数.
（1）每个盒子都不空；
解：先把6个相同的小球排成一行，在首尾2个球的外侧各放置一块
隔板，然后在小球之间的5个空隙中任选3个空隙各插一块隔板即可，
故共有 （种）放法.
（2）恰有1个空盒子；
解：恰有1个空盒子，插板分两步进行.先在首尾2个球的外侧各放置
一块隔板，并在5个空隙中任选2个空隙各插一块隔板，如 ，
有 种插法；然后将剩下的一块隔板与前面任意一块隔板并放形成
空盒，如，有种插法.故共有 （种）放法.
（3）恰有2个空盒子.
解：恰有2个空盒子，插板分两步进行.先在首尾2个球的外侧各放置
一块隔板，并在5个空隙中任选1个空隙插一块隔板，如 ，
有 种插法，然后将剩下的两块隔板插入形成空盒.
分两种情况：①这两块隔板与前面三块隔板形成不相邻的2个空盒子，
如 ，有种插法.
②将两块隔板与前面三块隔板之一并放，如 ，有种插法.
故共有 （种）放法.
变式 某校准备参加高中数学联赛，把16个选手名额分配到高三年级
的1，2，3，4四个班，每班至少1个名额.
（1）不同的分配方案共有多少种？
解：问题相当于将16个小球串成一串，插入3块隔板，截为4段，16
个小球间有15个空隙，从中选3个插入隔板，插法种数为 .
故不同的分配方案共有455种.
（2）若每班名额不少于该班的序号数，则不同的分配方案共有多少种？
解：问题等价于先给2班1个小球，3班2个小球，4班3个小球，再把
余下的10个相同的小球分给4个班级，求每个班至少分有1个小球的
分配方法种数.将10个小球串成一串，截为4段，截法种数为 ，
因此不同的分配方案共有84种.
［素养小结］
（1）分组问题属于“组合”问题，常见的分组问题有三种：
①完全均匀分组，每组的元素个数均相等.
②部分均匀分组，应注意不要重复，有组均匀，最后必须除以 .
③完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象.
（2）相同元素分配问题的处理策略
①隔板法：将放有小球的盒子紧挨着成一行放置，便可看作排成一
行的小球的空隙中插入了若干隔板，相邻两块隔板形成一个“盒”.每
一种插入隔板的方法对应着小球放入盒子的一种方法，此法称为隔
板法.隔板法专门解决相同元素的分配问题.
②将个相同的元素分给个不同的对象 ，每个对象至少分
得一个元素，有种方法.可描述为个空中插入 块板.
1.如何理解组合与组合数这两个概念？
提示：同“排列”与“排列数”是两个不同的概念一样，“组合”与“组合
数”也是两个不同的概念.“组合”是指“从 个不同的元素中取
个元素作为一组”，它不是一个数，而是具体的一件事；
“组合数”是指“从个不同的元素中取出 个元素的所有不同
组合的个数”，它是一个数.
2.组合数公式乘积式体现了组合数与相应排列数的关系，一般在计算
具体的组合数时会用到.
3.组合数公式阶乘式的主要作用有:（1）计算, 较大时的组合数;
（2）对含有字母的组合数的式子进行变形和证明.
4.组合数的性质 .
证明:因为, ,所以
.
应用:（1）简化计算,当时,通常将计算转化为计算 ,如
.
（2）列等式,或,如 或
.
5.组合数的性质 .
证明: .
应用:恒等变形,简化运算,在学习“二项式定理”研究二项式系数时会有具体应用.
1.组合数的计算
例1（1） 计算： ；（请用数字作答）
解：原式 .
（2）解关于正整数的方程： .
解：由，得 ，
即 ，
又,，故上式可化为 ，
解得或（舍），故原方程的正整数解为 .
2.组合应用问题
（1）无限制条件的组合应用题的解题步骤为:判断（组合问题）;转
化（组合模型）;求值（组合数）;作答.
（2）有限制条件的组合应用题的解法:
组合问题与顺序无关,组合问题的限制条件往往是对被取元素进行分
类,按每类取出元素的多少对事件分解,常用解法有直接法、间接法.
例2 一次游戏有10个人参加，现将这10人分为5组，每组2人.
（1）若任意2人可分为一组，求这样的分组方式有多少种？
解：将10人平均分为5组共有 （种）分组方式.
（2）若这10人中有5名男生和5名女生，要求各组人员不能为同性，
求这样的分组方式有多少种？
解：将5名男生视为5个不同的盒子，5名女生视为5个不同的小球，
问题转化为将5个不同的小球装入5个不同的盒子，每盒一个球，共
有 （种）分组方式.
（3）若这10人恰为5对夫妻，任意2人均可分为一组，问分组后恰有
一对夫妻在同组的概率是多少？
解：先任选一对夫妻，有 种选法，再将剩余4对夫妻分组.
将4位丈夫分别视为,,,四个小球，4位妻子分别视为,,, 四个
盒子，则4个不同的小球装入4个不同的盒子，每盒一个球，且与自己的
字母不同，有,,,,,,,,
,共有9种放法，
故不同的分组方法有 （种），所以分组后恰有一对夫妻在
同组的概率是 .
例3 （多选题）某工程队有6辆不同的工程车，按下列方式分给工地
进行作业，每个工地至少分1辆工程车，则下列结论正确的有( )
A.分给甲、乙、丙三地每地各2辆，有120种分配方式
B.分给甲、乙两地每地各2辆，分给丙、丁两地每地各1辆，有180种
分配方式
C.分给甲、乙、丙三地，其中一地分4辆，另两地各分1辆，有60种
分配方式
D.分给甲、乙、丙、丁四地，其中两地各分2辆，另两地各分1辆，
有1080种分配方式
√
√
[解析] 对于A，先从6辆工程车中分给甲地2辆，有 种方法，再从
剩余的4辆工程车中分给乙地2辆，有 种方法，最后的2辆分给丙地，
有种方法，所以不同的分配方式有 （种），故A错误；
对于B，6辆工程车先分给甲、乙两地每地各2辆，有 种方法，
剩余2辆分给丙、丁两地每地各1辆，有 种方法，所以不同的分配
方式有 （种），故B正确；
对于C，先把6辆工程车分成3组：4辆、1辆、1辆，有 种方法，再分
给甲、乙、丙三地，所以不同的分配方式有 （种），故C错误；
对于D，先把6辆工程车分成4组：2辆、2辆、1辆、1辆，有
种方法，再分给甲、乙、丙、丁四地，所以不同的分配方式
有 （种），故D正确.故选 .
3.要正确理解题中的关键词（如:“都”与“不都”,“至少”与“至多”,“含”
与“不含”等）的确切含义,正确分类,合理分步.
例4 某校开设类选修课3门, 类选修课4门,一位同学从中选3门.若要
求两类课程中各至少选1门,则不同的选法有多少种
解：需分两类:选类选修课1门、类选修课2门或选 类选修课2门、
类选修课1门,故不同的选法有 （种）.
例5 [2024·广东清远高二期中]“赛龙舟”是端午节的习俗之一，也是
端午节最重要的民俗活动之一.某单位龙舟队欲参加端午节龙舟赛，
经过训练后，龙舟队的8名队员在左、右桨位中至少会一个，其中有
5人会划左桨，5人会划右桨.现要选派3人划左桨、3人划右桨共6人去
参加比赛，则不同的选派方法共有( )
A.26种 B.31种 C.36种 D.37种
√
4.“多面手”问题可按只会一种本领被选的人数来分类，将“多面手”和
只会另一种本领的人放在一起，也可按“多面手”被选的人数来分类.
[解析] 依题意，8名队员中有5人会划左桨，5人会划右桨，则既会划
左桨又会划右桨的有 （人），记这两人分别为A，B，
所以只会划左桨的有（人），只会划右桨的有 （人）.
分3种情况讨论：①从只会划左桨的3人中选3人划左桨，从剩
下的5个人中选3人划右桨，则有 （种）选派方法；
②从只会划左桨的3人中选2人划左桨，从A，B中选1人划左桨，再从
剩下的4个人中选3人划右桨，则有 （种）选派方法；
③从只会划左桨的3人中选1人划左桨，A，B这2人划左桨，另外会划
右桨的3人划右桨，则有 （种）选派方法.
综上可得，一共有 （种）不同的选派方法.故选D.
5.组合的综合应用，最短路径问题
例6 如图，在某城市中，， 两地之间有整
齐的方格形道路网，其中，，，，
是道路网中位于一条对角线上的5个交汇处，
现在道路网，处的甲、乙两人分别要到 ，
处，他们分别随机地选择一条最短路径.
（1）甲从到达 处共有多少种不同的走法？
解：甲由道路网 处出发，随机地选择一条最
短路径到达 处，相当于需走8步，横向走4步，
纵向走4步，故共有 （种）不同的走法.
（2）甲从必须经过到达 处共有多少种不同
的走法？
解：甲由道路网处出发，随机地选择一条最短路
径到达 处，相当汙需走4步，横向走2步，纵向走2步，
有 （种）不同的走法，
甲从 处出发，随机地选择一条最短路径到达 处，相当于需走4步，
横向走2步，纵向走2步，有 （种）不同的走法，
故甲从必须经过到达处共有 （种）不同的走法.
（3）甲、乙以相同的速度同时出发，直到到达， 处为止，若他
们在行走途中会相遇，则共有多少种不同的走法？
解：甲、乙两人沿各自的最短路径行走，只可
能在，，，， 处相遇，
从处沿最短路径到达 处有
种不同的走法，
从处沿最短路径到达 处有 种不同的走法，
故甲从处经过到达处有 种不同的走法，
同理乙从处经过到达处有 种不同的走法，
故他们在处相遇有 种不
同的走法，
所以若他们在行走途中会相遇，则共有
（种）不同的走法.
练习册
一、选择题
1. ( )
A.40 B.56 C.168 D.336
[解析] ，故选B.
√
2.已知，且，则 的值为( )
A.25 B.30 C.42 D.56
[解析] ， .故选B.
√
3.从11名大学毕业生中选3人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，
而丙没有入选的不同选法的种数为( )
A.84 B.64 C.56 D.49
[解析] 甲、乙有且仅有1人入选、丙没有入选的情况有
（种）；甲、乙2人都入选、丙没有入选的情况有（种）
甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为
.故选B.
√
4.空间中有10个点，其中有5个点在同一个平面内，除完全从这5个点
中选择外,其余情况无四点共面，则以这些点为顶点，共可构成四面
体的个数为( )
A.205 B.110 C.204 D.200
[解析] 方法一：可以按从共面的5个点中取0个、1个、2个、3个进行
分类，则得到所有的取法总数为 .
方法二：从10个点中任取4个点的方法数中去掉4个点全部取自共面
的5个点的情况，得到可构成四面体的个数为 .
√
5.某楼梯一共有8个台阶，甲同学每步可以登一个或两个台阶，一共
用6步登上该楼梯，则甲同学登上该楼梯的不同方法种数是( )
A.10 B.15 C.20 D.30
[解析] 用6步走完8个台阶，则每步登的台阶数为2，2，1，1，1，1，
即需要2步每步登2个台阶，4步每步登1个台阶，故甲同学登上该楼
梯的方法种数是 ，故选B.
√
6.如图所示，某地有南北街道6条、东西街道
5条，一快递员从地出发，送货到 地，且
途经 地，要求所走路程最短，则不同的走
法共有( )
A.100种 B.80种 C.60种 D.40种
[解析] 分两步，第一步，从A到B的走法有 （种）；
第二步，从B到C的走法有 （种）.
由分步乘法计数原理得，不同的走法有 （种）．
√
7.[2024·南京高二期中]有5个人到南京、镇江、扬州的三所学校去应
聘，若每人至多被一个学校录用，每个学校至少录用其中一人，则
不同的录用情况种数是( )
A.300 B.360 C.390 D.420
[解析] 若5人中有3人被录用，则不同的录用情况种数为 ;
若5人中有4人被录用，则不同的录用情况种数为 ；
若5人全部被录用，则不同的录用情况种数为
.
综上，不同的录用情况种数为 .故选C.
√
8.（多选题）某同学研究得：一个盒子内有5个白球，1个红球，从中
任取2球的方法数可以是，也可以是，故 .类比
可得( )
A.
B.
C.
D.
√
√
√
[解析] 对于A，， ，故A错误；
对于B，由类比推理，可得 ，故B正确；
对于C， ，故C正确；
对于D，可以利用从三个分别装有,, 个球的盒子内任取2球的情况数
类比推理推出，故D正确.故选 .
9.（多选题）某校环保兴趣小组准备开展一次关于全球变暖的研讨会，
现有10名学生，其中5名男生5名女生，若从中选取4名学生参加研讨
会，则( )
A.选取的4名学生都是女生的不同选法共有5种
B.选取的4名学生中恰有2名女生的不同选法共有400种
C.选取的4名学生中至少有1名女生的不同选法共有420种
D.选取的4名学生中至多有2名男生的不同选法共有155种
√
√
[解析] 选取的4名学生都是女生的不同的选法共有 （种），故
A正确；
选取的4名学生中恰有2名女生的不同选法共有
（种），故B错误；
选取的4名学生中至少有1名女生的不同选法共有 （种），
故C错误；
选取的4名学生中至多有2名男生的不同选法共有
（种），故D正确.故选 .
二、填空题
10.已知，则 ______.
1或6
[解析] 由组合数公式得或，解得 或
，经检验， 或6均符合题意.
11.甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同
一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是_____．
（用数字作答）
336
[解析] 当每个台阶上各站1人时有 种站法；
当两个人站在同一级台阶上时有 种站法．
因此不同的站法种数为 .
12.现在要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人
分别从事翻译、安保、礼仪、服务四项不同工作，若小张和小赵只
能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，每个工作仅需
要一人且每人只能从事一项工作，则不同的选派方案共有____种.
36
[解析] 分两类：①小张和小赵两人只有一人入选，则有
（种）选派方案；
②小张和小赵两人都入选，则有（种）选派方案.
综上可得，一共有 （种）不同的选派方案.
三、解答题
13.现有12个人.
（1）把这12个人分成3个小组，各组人数分别为2,4,6，有多少种不
同的分法？
解：有 （种）不同的分法.
（2）把这12个人平均分成3个小组，有多少种不同的分法？
解：有 （种）不同的分法.
（3）把这12个人平均分成3个小组，对应3个不同的车间，有多少种
不同的分法？
解：分两步：第一步，平均分成3个小组，第二步，让3个小组对应3
个不同的车间，故有 （种）不同的
分法.
14.部队是青年学生成长成才的大学校，是砥砺品格、增强意志的好
课堂，是施展才华、成就事业的大舞台，国防和军队现代化建设迫
切需要一大批有责任、敢担当的有志青年携笔从戎、报效祖国.为响
应征兵号召，某高等院校7名男生和5名女生报名参军，经过逐层筛
选，有5人通过入伍审核.
（1）若学生甲和乙都接到入伍通知，其余入伍人员尚未接到通知，
求所有可能结果有多少种？
解：因为学生甲和乙都接到了入伍通知，其余入伍人员尚未接到通
知，所以从学生甲和乙以外的10人中任选3人，所以所有的可能结果
有 （种）.
（2）若至少有2名女生通过入伍审核，但入伍人员尚未接到通知，
求所有可能结果有多少种？
解：从12人中任选5人的所有可能结果有 种，选出的5人中没有女
生的所有可能结果有 种，选出的5人中有1名女生的所有可能结果
有 种，所以至少有2名女生通过入伍审核的结果有
（种）.
（3）若通过入伍审核的5人恰好是海军、空军、陆军、火箭军、武
警各1人，且入伍陆军的是女生，入伍火箭军的是男生，求所有可能
结果有多少种？
解：入伍陆军的是女生，入伍火箭军的是男生，先选1名女生，1名
男生，再从剩余的10人中任选3人进行排列，得所有可能结果有
（种）.
15.现将甲、乙、丙、丁四个人全部安排到市、市、 市三个地区
工作，要求每个地区都有人去，则甲、乙两个人至少有一人到 市工
作的安排种数为( )
A.12 B.14 C.18 D.22
√
[解析] 若甲、乙两人中的1人到A市工作，有 种选择，其余3人到
另外两个地区工作，先将3人分为两组，再进行排列，有 种安排，
故有 （种）安排；
若甲、乙两人中的1人到A市工作，有种选择，丙、丁两人中的1人
到A市工作，有 种选择，其余2人到另外两个地区工作，有种选择，
故有 （种）安排；
若安排甲、乙两人都到A市工作，丙、丁两人到另外两个地区工作，
则有（种）安排.故共有 （种）安排.故选D.
16.设，，在集合,2, , 的所有元素个数为2的子集中,
把每个子集的较大元素相加，和记为,把较小元素也相加，和记为 .
（1）当时,求, 的值；
解：当时，集合的所有元素个数为2的子集为 ，
，，所以， .
（2）求证:对任意的,， 为定值.
证明：当， 时，依题意得
,
,
则，所以 .
又 ，
所以，所以 （定值）.6.2.4 组合数
【课前预习】
知识点
所有不同组合 +
诊断分析
(1)× (2)× (3)√
【课中探究】
例1 解:(1)原式=-=-7×6×5=210-210=0.
(2)∵∴9.5≤n≤10.5.∵n∈N*,∴n=10,
∴+=+=+=+31=466.
(3)原式=+++…+=++…+=++…+=…=+==330.
例2 证明:(1)m=m·==n·=n,原式成立.
(2)+2+=(+)+(+)=+=,原式成立.
变式 解:(1)根据排列数和组合数公式,原方程可化为3·=5·,
即=,即(x-3)(x-6)=40,∴x2-9x-22=0,解得x=11或x=-2(舍去).
(2)证明:∵·=·=,·=·=,∴·=·,∴原式成立.
(3)由得
即即故5≤r≤6,
又∵r∈N*,∴r=5或r=6.
例3 解:(1)第一步:选3名男运动员,有种选法.
第二步:选2名女运动员,有种选法.故共有×=120(种)选法.
(2)方法一(直接法):至少有1名女运动员包括以下几种情况:1女4男,2女3男,3女2男,4女1男.由分类加法计数原理可得共有+++=246(种)选法.
方法二(间接法):“至少有1名女运动员”的反面为“全是男运动员”,从10人中任选5人有种选法,其中全是男运动员的选法有种,所以“至少有1名女运动员”的选法有-=246(种).
(3)方法一(直接法):可分类求解.“只有男队长”的选法有种;“只有女队长”的选法有种;“男、女队长都有”的选法有种.所以共有2+=196(种)选法.
方法二(间接法):从10人中任选5人有种选法,其中不选队长的选法有种,所以“至少有1名队长”的选法有-=196(种).
(4)当选女队长时,其他人任意选,共有种选法;当不选女队长时,必选男队长,从其他人中任选4人共有种选法,其中不含女运动员的选法有种,所以不选女队长时的选法共有(-)种.所以既有队长,又有女运动员的选法共有+-=191(种).
变式 解:(1)共有12名救援员,若甲、乙必须参加,则再从剩下的10名中选3名即可,有=120(种)不同的选法.
(2)若甲、乙两人均不能参加,则从剩下的10名中选5名即可,有=252(种)不同的选法.
(3)若不限制条件,则共有种选法,若所选的5人均为男救援员,则有种选法,故至少有一名男救援员和一名女救援员参加共有-=736(种)不同的选法.
例4 解:设2名英语、日语都精通的翻译员为甲、乙,则根据题意可分为三类:第一类,2名英语、日语都精通的翻译员都不选,则有=5(种);
第二类,2名英语、日语都精通的翻译员只选1人,比如选甲,若让甲去翻译英语,则有=10(种),若让甲去翻译日语,则有=20(种),此时共有(10+20)=60(种);
第三类,2名英语、日语都精通的翻译员都选,若2人都去翻译英语,则有=10(种),若2人都去翻译日语,则有=30(种),若2人一个翻译英语,一个翻译日语,则有2=80(种),此时共有10+30+80=120(种).
综上,这样的8人名单共有5+60+120=185(种).
变式 12 [解析] 由题意可分为三类:①既会电工又会木工的1人没入选,有=3(种)选法;②既会电工又会木工的1人入选当电工,有=6(种)选法;③既会电工又会木工的1人入选当木工,有=3(种)选法.综上,共有3+6+3=12(种)不同的选法.
探索 解:(1)共1种分法,因为三份无差异.
(2)共有=3×2×1=6(种)分法.
例5 解:(1)无序不均匀分组问题.首先选1本有种方法,然后从余下的5本中选2本有种方法,最后余下3本全选有种方法,故共有=60(种)分配方法.
(2)有序不均匀分组问题.由于甲、乙、丙是不同的三人,在第(1)问的基础上再分配给三人,共有=360(种)分配方法.
(3)无序均匀分组问题.分三步进行,应有种方法,但是这里出现了三个位置上的重复,故共有=15(种)分配方法.
(4)有序均匀分组问题.在第(3)问的基础上再分配给三人,故共有·=90(种)分配方法.
(5)无序部分均匀分组问题.共有=15(种)分配方法.
(6)有序部分均匀分组问题.在第(5)问的基础上再分配给三人,共有·=90(种)分配方法.
(7)直接分配问题.甲选1本有种方法,乙从余下的5本中选1本有种方法,余下的4本留给丙有种方法,故共有=30(种)分配方法.
变式 解:(1)平均分成三堆,共有=280(种)分配方案.
(2)先选3件,剩下的6件平均分成3堆,共有·=1260(种)分配方案.
(3)甲得2件玩具有种方法,乙得3件有种方法,丙得4件有种方法,故共有=1260(种)分配方案.
(4)9件玩具按数量分为2,3,4三堆,有种方法,再分给甲、乙、丙三人,共有=7560(种)分配方案.
例6 解:(1)先把6个相同的小球排成一行,在首尾2个球的外侧各放置一块隔板,然后在小球之间的5个空隙中任选3个空隙各插一块隔板即可,故共有=10(种)放法.
(2)恰有1个空盒子,插板分两步进行.先在首尾2个球的外侧各放置一块隔板,并在5个空隙中任选2个空隙各插一块隔板,如|0|000|00|,有种插法;然后将剩下的一块隔板与前面任意一块隔板并放形成空盒,如|0|000||00|,有种插法.故共有=40(种)放法.
(3)恰有2个空盒子,插板分两步进行.先在首尾2个球的外侧各放置一块隔板,并在5个空隙中任选1个空隙插一块隔板,如|00|0000|,有种插法,然后将剩下的两块隔板插入形成空盒.分两种情况:①这两块隔板与前面三块隔板形成不相邻的2个空盒子,如||00||0000|,有种插法.②将两块隔板与前面三块隔板之一并放,如|00|||0000|,有种插法.故共有×(+)=30(种)放法.
变式 解:(1)问题相当于将16个小球串成一串,插入3块隔板,截为4段,16个小球间有15个空隙,从中选3个插入隔板,插法种数为=455.故不同的分配方案共有455种.
(2)问题等价于先给2班1个小球,3班2个小球,4班3个小球,再把余下的10个相同的小球分给4个班级,求每个班至少分有1个小球的分配方法种数.将10个小球串成一串,截为4段,截法种数为=84,因此不同的分配方案共有84种.6.2.4 组合数
1.B [解析] ===56,故选B.
2.B [解析] ∵=15,∴=·=15×2=30.故选B.
3.B [解析] 甲、乙有且仅有1人入选、丙没有入选的情况有=56(种);甲、乙2人都入选、丙没有入选的情况有=8(种).∴甲、乙至少有1人入选,而丙没有入选的不同选法的种数为56+8=64.故选B.
4.A [解析] 方法一:可以按从共面的5个点中取0个、1个、2个、3个进行分类,则得到所有的取法总数为+++=205.
方法二:从10个点中任取4个点的方法数中去掉4个点全部取自共面的5个点的情况,得到可构成四面体的个数为-=205.
5.B [解析] 用6步走完8个台阶,则每步登的台阶数为2,2,1,1,1,1,即需要2步每步登2个台阶,4步每步登1个台阶,故甲同学登上该楼梯的方法种数是=15,故选B.
6.D [解析] 分两步,第一步,从A到B的走法有=4(种);第二步,从B到C的走法有=10(种).由分步乘法计数原理得,不同的走法有4×10=40(种).
7.C [解析] 若5人中有3人被录用,则不同的录用情况种数为=60;若5人中有4人被录用,则不同的录用情况种数为··=180;若5人全部被录用,则不同的录用情况种数为·+·=150.综上,不同的录用情况种数为60+180+150=390.故选C.
8.BCD [解析] 对于A,+=,+≠,故A错误;对于B,由类比推理,可得+=,故B正确;对于C,+++=+=,故C正确;对于D,可以利用从三个分别装有m,n,r个球的盒子内任取2球的情况数类比推理推出,故D正确.故选BCD.
9.AD [解析] 选取的4名学生都是女生的不同的选法共有=5(种),故A正确;选取的4名学生中恰有2名女生的不同选法共有=10×10=100(种),故B错误;选取的4名学生中至少有1名女生的不同选法共有-=205(种),故C错误;选取的4名学生中至多有2名男生的不同选法共有++=155(种),故D正确.故选AD.
10.1或6 [解析] 由组合数公式得k=3k-2或k+3k-2=22,解得k=1或k=6,经检验,k=1或6均符合题意.
11.336 [解析] 当每个台阶上各站1人时有种站法;当两个人站在同一级台阶上时有种站法.因此不同的站法种数为+=210+126=336.
12.36 [解析] 分两类:①小张和小赵两人只有一人入选,则有=24(种)选派方案;②小张和小赵两人都入选,则有=12(种)选派方案.综上可得,一共有24+12=36(种)不同的选派方案.
13.解:(1)有=13 860(种)不同的分法.
(2)有=5775(种)不同的分法.
(3)分两步:第一步,平均分成3个小组,第二步,让3个小组对应3个不同的车间,故有·==34 650(种)不同的分法.
14.解:(1)因为学生甲和乙都接到了入伍通知,其余入伍人员尚未接到通知,所以从学生甲和乙以外的10人中任选3人,所以所有的可能结果有=120(种).
(2)从12人中任选5人的所有可能结果有种,选出的5人中没有女生的所有可能结果有种,选出的5人中有1名女生的所有可能结果有·种,所以至少有2名女生通过入伍审核的结果有--·=792-21-175=596(种).
(3)入伍陆军的是女生,入伍火箭军的是男生,先选1名女生,1名男生,再从剩余的10人中任选3人进行排列,得所有可能结果有××=25 200(种).
15.D [解析] 若甲、乙两人中的1人到A市工作,有种选择,其余3人到另外两个地区工作,先将3人分为两组,再进行排列,有种安排,故有=12(种)安排;若甲、乙两人中的1人到A市工作,有种选择,丙、丁两人中的1人到A市工作,有种选择,其余2人到另外两个地区工作,有种选择,故有=8(种)安排;若安排甲、乙两人都到A市工作,丙、丁两人到另外两个地区工作,则有=2(种)安排.故共有12+8+2=22(种)安排.故选D.
16.解:(1)当n=3时,集合{1,2,3}的所有元素个数为2的子集为{1,2},{1,3},{2,3},所以a=2+3+3=8,b=1+1+2=4.
(2)证明:当n≥3,n∈N*时,依题意得b=1×+2×+3×+…+(n-2)×+(n-1)×,a=2×+3×+4×+…+(n-1)×+n×=2×1+3×2+4×3+…+(n-1)×(n-2)+n×(n-1),则=+++…+=+++…+=++…+=…=,所以a=2.
又a+b=(1+2+3+…+n)×=×(n-1)=3,所以b=,所以=(定值).6.2.4 组合数
【学习目标】
1.理解组合数的概念.
2.会推导组合数公式,并会应用公式求值.
3.理解组合数的两个性质,并会求值、化简和证明.
4.能解决有限制条件的组合问题.
◆ 知识点 组合数与组合数公式
组合数 定义 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的 的个数,叫作从n个不同元素中取出m个元素的组合数
表示法
组合数 公式 乘积式 = =
阶乘式 =
性质 = ,=
备注 ①n,m∈N*且m≤n;②规定:=1
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)从a,b,c三个不同的元素中任取两个元素的一个组合是. ( )
(2)=5×4×3=60. ( )
(3)从1,3,5,7中任取两个数相乘可得个积.( )
◆ 探究点一 组合数公式及其应用
角度一 组合数的计算与化简
例1 (1)计算:-·.
(2)计算:+.
(3)计算:++…+.
角度二 组合数有关的证明
例2 证明:(1)m=n;
(2)=+2+.
变式 (1)求使3=5成立的x的值.
(2)证明:·=·.
(3)若求r满足的条件.
[素养小结]
进行组合数的相关计算时,注意以下几点:
(1)像排列数公式一样,公式=一般用于计算;而公式=及=一般用于证明、解方程(不等式)等.
(2)要注意公式=的逆向运用,如例1(1)中可利用“=”简化计算过程.
(3)在解决与组合数有关的问题时,要注意隐含条件“m≤n且m,n∈N*”的运用.
(4)例2(1)所推导的结论“m=n”以及它的变形公式是非常重要的公式,应熟练掌握.
◆ 探究点二 有限制条件的组合问题
考向1 “含有”与“至少”问题
例3 有男运动员6名,女运动员4名,其中男、女队长各1名.选派5人外出比赛,按下列要求分别有多少种选法
(1)男运动员3名,女运动员2名;
(2)至少有1名女运动员;
(3)至少有1名队长;
(4)既有队长,又有女运动员.
变式 蓝天救援队有男救援员8名,女救援员4名,现选派5名救援员参加一项救援.
(1)若男救援员甲与女救援员乙必须参加,共有多少种不同的选法
(2)若救援员甲、乙均不能参加,共有多少种不同的选法
(3)若至少有一名男救援员和一名女救援员参加,共有多少种不同的选法
[素养小结]
组合问题常有以下两类题型:
(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型:“含”,则先将这些元素取出,再由其他元素补足;“不含”,则先将这些元素剔除,再从剩下的元素中选取.
(2)“至少”或“至多”含有几个元素的题型:当直接法分类复杂时,逆向思维,间接求解.
考向2 “多面手”问题
例4 有11名外语翻译人员,其中5名英语翻译员,4名日语翻译员,另外2名英语、日语都精通,从中找出8人,使他们可以组成2个翻译小组,其中一组4人翻译英语,另外一组4人翻译日语,且这2个小组能同时工作,则这样的8人名单共有多少种
变式 有6名工人,其中2人只会电工,3人只会木工,还有1人既会电工又会木工,若要选出电工2人、木工2人,且这4人能同时工作,则共有 种不同的选法.
[素养小结]
多面手问题以元素作为分析对象,按照选用几个多面手,多面手做什么建立分类讨论的标准,并且要注意做到不重复不遗漏.
◆ 探究点三 分组、分配问题
[探索] (1)把3个苹果平均分成三份共有几种分法 为什么
(2)把3本不同的书分给3个人,共有几种分法
考向1 不同元素分组、分配问题
例5 按下列要求分配6本不同的书,分别有多少种不同的分配方法
(1)分成3份,1份1本,1份2本,1份3本;
(2)甲、乙、丙三人中,一人得1本,一人得2本,一人得3本;
(3)平均分成3份,每份2本;
(4)平均分配给甲、乙、丙三人,每人2本;
(5)分成3份,1份4本,另外2份每份1本;
(6)甲、乙、丙三人中,一人得4本,另外两人每人得1本;
(7)甲得1本,乙得1本,丙得4本.
变式 有9件不同的玩具,求符合下列条件的分配方案的种数.
(1)平均分成三堆;
(2)按数量分为2,2,2,3四堆;
(3)分给甲、乙、丙三个人,甲得2件,乙得3件,丙得4件;
(4)分给甲、乙、丙三个人,一人得2件,一人得3件,一人得4件.
考向2 相同元素分组、分配问题
例6 6个相同的小球放入4个编号为1,2,3,4的盒子中,求下列问题中不同放法的种数.
(1)每个盒子都不空;
(2)恰有1个空盒子;
(3)恰有2个空盒子.
变式 某校准备参加高中数学联赛,把16个选手名额分配到高三年级的1,2,3,4四个班,每班至少1个名额.
(1)不同的分配方案共有多少种
(2)若每班名额不少于该班的序号数,则不同的分配方案共有多少种
[素养小结]
(1)分组问题属于“组合”问题,常见的分组问题有三种:
①完全均匀分组,每组的元素个数均相等.
②部分均匀分组,应注意不要重复,有n组均匀,最后必须除以n!.
③完全非均匀分组,这种分组不考虑重复现象.
(2)相同元素分配问题的处理策略
①隔板法:将放有小球的盒子紧挨着成一行放置,便可看作排成一行的小球的空隙中插入了若干隔板,相邻两块隔板形成一个“盒”.每一种插入隔板的方法对应着小球放入盒子的一种方法,此法称为隔板法.隔板法专门解决相同元素的分配问题.
②将n个相同的元素分给m个不同的对象(n≥m),每个对象至少分得一个元素,有种方法.可描述为n-1个空中插入m-1块板.6.2.4 组合数
一、选择题
1.= ( )
A.40 B.56 C.168 D.336
2.已知=15(n∈N*,且n≥2),则的值为 ( )
A.25 B.30 C.42 D.56
3.从11名大学毕业生中选3人担任村长助理,则甲、乙至少有1人入选,而丙没有入选的不同选法的种数为 ( )
A.84 B.64 C.56 D.49
4.空间中有10个点,其中有5个点在同一个平面内,除完全从这5个点中选择外,其余情况无四点共面,则以这些点为顶点,共可构成四面体的个数为 ( )
A.205 B.110 C.204 D.200
5.某楼梯一共有8个台阶,甲同学每步可以登一个或两个台阶,一共用6步登上该楼梯,则甲同学登上该楼梯的不同方法种数是 ( )
A.10 B.15 C.20 D.30
6.如图所示,某地有南北街道6条、东西街道5条,一快递员从A地出发,送货到C地,且途经B地,要求所走路程最短,则不同的走法共有 ( )
A.100种 B.80种 C.60种 D.40种
7.[2024·南京高二期中] 有5个人到南京、镇江、扬州的三所学校去应聘,若每人至多被一个学校录用,每个学校至少录用其中一人,则不同的录用情况种数是 ( )
A.300 B.360 C.390 D.420
8.(多选题)某同学研究得:一个盒子内有5个白球,1个红球,从中任取2球的方法数可以是,也可以是+,故=+.类比可得 ( )
A.++=
B.+=
C.+2+=
D.+++++=
9.(多选题)某校环保兴趣小组准备开展一次关于全球变暖的研讨会,现有10名学生,其中5名男生5名女生,若从中选取4名学生参加研讨会,则 ( )
A.选取的4名学生都是女生的不同选法共有5种
B.选取的4名学生中恰有2名女生的不同选法共有400种
C.选取的4名学生中至少有1名女生的不同选法共有420种
D.选取的4名学生中至多有2名男生的不同选法共有155种
二、填空题
10.已知=,则k= .
11.甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上,若每级台阶最多站2人,同一级台阶上的人不区分站的位置,则不同的站法种数是 .(用数字作答)
12.现在要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、安保、礼仪、服务四项不同工作,若小张和小赵只能从事前两项工作,其余三人均能从事这四项工作,每个工作仅需要一人且每人只能从事一项工作,则不同的选派方案共有 种.
三、解答题
13.现有12个人.
(1)把这12个人分成3个小组,各组人数分别为2,4,6,有多少种不同的分法
(2)把这12个人平均分成3个小组,有多少种不同的分法
(3)把这12个人平均分成3个小组,对应3个不同的车间,有多少种不同的分法
14.部队是青年学生成长成才的大学校,是砥砺品格、增强意志的好课堂,是施展才华、成就事业的大舞台,国防和军队现代化建设迫切需要一大批有责任、敢担当的有志青年携笔从戎、报效祖国.为响应征兵号召,某高等院校7名男生和5名女生报名参军,经过逐层筛选,有5人通过入伍审核.
(1)若学生甲和乙都接到入伍通知,其余入伍人员尚未接到通知,求所有可能结果有多少种
(2)若至少有2名女生通过入伍审核,但入伍人员尚未接到通知,求所有可能结果有多少种
(3)若通过入伍审核的5人恰好是海军、空军、陆军、火箭军、武警各1人,且入伍陆军的是女生,入伍火箭军的是男生,求所有可能结果有多少种
15.现将甲、乙、丙、丁四个人全部安排到A市、B市、C市三个地区工作,要求每个地区都有人去,则甲、乙两个人至少有一人到A市工作的安排种数为 ( )
A.12 B.14
C.18 D.22
16.设n≥3,n∈N*,在集合{1,2,…,n}的所有元素个数为2的子集中,把每个子集的较大元素相加,和记为a,把较小元素也相加,和记为b.
(1)当n=3时,求a,b的值;
(2)求证:对任意的n≥3,n∈N*,为定值.
