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6.3 二项式定理
6.3.1 二项式定理
探究点一 二项式定理的正用与逆用
探究点二 与展开式中的特定项有关的问题
探究点三 二项式定理的灵活应用
探究点四 整除和求近似值问题
【学习目标】
1.能用计数原理证明二项式定理.
2.掌握二项式定理及二项展开式的通项.
3.能解决与二项式定理有关的简单问题.
知识点 二项式定理及相关概念
二项式定理
二项展开式 公式右边的多项式
二项式系数 公式右边各项的系数__________________
二项展开式的 通项
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）的展开式中共有 项.( )
×
（2）二项式与的展开式的第 项一定相同.( )
×
（3）是的展开式的第 项.( )
×
（4）与 的二项展开式的二项式系数相同.( )
√
探究点一 二项式定理的正用与逆用
例1 利用二项式定理展开下列各式：
（1） ；
解： .
（2） ．
解：
.
例2（1） 设 ，
，则 的值为( )
A.128 B.129 C. D.0
[解析] .
√
（2）化简： .
解： .
变式（1） 若
，则 ( )
A. B.0 C.1 D.2
[解析] 因为
，所以，即 .故选B.
√
（2）求 的二项展开式.
解： .
［素养小结］
二项式定理的双向功能：
（1）正用：将二项式 展开，得到一个多项式，即二项式定理
从左到右使用是展开.对较复杂的式子，先化简再用二项式定理展开.
（2）逆用：将多项式合并成二项式 的形式，即二项式定理
从右到左使用是合并.对于化简、求和、证明等问题的求解，要熟悉
公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项系数的规律.
探究点二 与展开式中的特定项有关的问题
例3 在 的展开式中，第6项为常数项.
（1）求 的值；
解： 的展开式的通项为
.因为展开式的第6项
为常数项，所以当时，，解得 .
（2）求展开式中含 的项的系数；
解：令，解得，则展开式中含 的项的系数为
.
（3）求展开式的第4项的二项式系数及第4项的系数；
解：因为的展开式的通项为 ，
所以展开式的第4项的二项式系数为 ，展开式的第4项的系
数为 .
（4）求展开式中所有的有理项.
解：根据题意得所以 的值可以为2,5,8，
所以展开式的第3项、第6项与第9项为有理项，
它们分别为，， ，
即，, .
变式（1） 二项式 的展开式中的常数项为( )
A.80 B. C. D.40
[解析] 二项式 的展开式的通项为
，令 ，得
，所以常数项为 .故选B.
√
（2）已知为奇数，在 的展开式中，第4项的系数与倒数
第4项的系数之比为 .
①求 的值；
解： 的展开式的通项为
，
展开式中第4项的系数为 ，倒数第4项的系数为
，，即， .
②求展开式的中间两项.
解：由①可知， 的展开式的通项为
，
二项展开式中共有8项，中间两项即为第4项和第5项，
则，，
展开式的中间两项为和 .
［素养小结］
1.求二项展开式的特定项的常见题型：
（1）求第项， ；
（2）求含的项（或含 的项）；
（3）求常数项；
（4）求有理项.
2.求二项展开式的特定项的注意点：
（1）对于常数项，隐含条件是字母的指数为0（即0次项）.
（2）对于有理项，一般是先写出展开式的通项，再求所有的字母的
指数恰好都是整数的项.解决这类问题必须合并通项中同一字母的指
数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解.
探究点三 二项式定理的灵活应用
例4（1） 在的展开式中， 的一次项的系数为___.
（用数字作答）
4
[解析] 因为 的展开式的通项为
，
所以 的一次项的系数为 .
（2）在的展开式中，含的项的系数为 ，
则 等于( )
A. B.2 C. D.
[解析] 在的展开式中，含 的项的系数为
，则，解得 .
√
（3）在的展开式中，含 的项的系数为( )
A.10 B.20 C.30 D.60
[解析] 方法一：，展开式中含 的
项为，而的展开式中含 的项为
，所以的展开式中含 的项的
系数为 .
方法二：表示5个相乘.含 的项是在5个
中选1个，选2个，选2个 相乘得到的，因此含
的项的系数为 .
√
变式（1） [2024·泰安高二期中]在
的展开式中，含 的项的
系数是( )
A. B. C.69 D.70
[解析] 在 的展开式中，含
的项为 ，所以
含的项的系数是 .故选A.
√
（2）已知的展开式中含 的项的系数为5，则
___.
2
[解析] 因为
，
所以的展开式中含 的项为
，
所以，解得 .
（3）[2024·常德一中高二月考] 在的展开式中，含
的项的系数为______ .
[解析] 可以看作5个相乘，含 的项是在5
个中选3个，选2个1，或选1个，选1个 ，选3个1
相乘得到的，
因此含 的项为，
故含 的项的系数为 .
［素养小结］
1.求两个二项式乘积的展开式中的特定项问题的方法：
（1）分别对每个二项展开式进行分析，发现它们各自项的特点；
（2）找到构成展开式中特定项的组成部分；
（3）分别求解再相乘，求和即可.
2.求三项或三项以上的多项展开式问题的方法：
应根据式子的特点，转化为二项式来解决（有些题目也可转化为计
数问题来解决），转化的方法通常为配方、因式分解、项与项结合，
项与项结合时要注意合理性和简捷性.
探究点四 整除和求近似值问题
例5（1） 若今天是星期二，则经过7天后还是星期二，那么经过
天后是( )
A.星期一 B.星期二 C.星期三 D.星期四
[解析] 由已知可得
，
即被7除的余数为1，所以经过 天后是星期三.故选C.
√
（2）的近似值（精确到 ）为( )
A.1.12 B.1.13 C.1.14 D.1.20
[解析] .故选B.
√
（3） 被7除的余数为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
[解析] ，
显然，除了最后一项外，其余的各项都能被7整除，所以 被7
除的余数为 .故选B.
√
变式（1） 的近似值（精确到 ）是( )
A.0.940 B.0.941 C.0.942 D.0.943
[解析]
，故选B.
√
（2）干支纪年是中国古代的一种纪年法.分别排出十天干与十二地支
如下：
天干：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸.
地支：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.
把天干与地支按以下方法依次配对：把第一个天干“甲”与第一个地
支“子”配出“甲子”，把第二个天干“乙”与第二个地支“丑”配出“乙
丑”……若天干用完，则再从第一个天干开始循环使用，若地支用完，
则再从第一个地支开始循环使用.已知2022年是壬寅年，则 年以
后是______年.
癸卯
[解析] 因为 ，
所以 年以后地支为“寅”后面的“卯”.
因为 ，
，被10除的余数为1，所以 年以后天干为“壬”后面的
“癸”，故 年以后是癸卯年.
［素养小结］
利用二项式定理可以解决整除问题或求余数问题,在解决整除问题或
求余数问题时要进行合理变形,使被除式（数）展开后的每一项都为
含有除式（数）的因式,要注意变形的技巧，注意余数应该是非负数.
1.二项式定理的结构特点：
（1）各项的次数和都等于二项式的幂指数 ；
（2）字母按降幂排列，从第一项开始，次数由 逐项减1直到0，字
母按升幂排列，从第一项开始，次数由0逐项增1直到 ；
（3）二项展开式共有 项.
2.应用二项展开式的通项的注意点：
（1）是展开式中的第项，而不是第 项；
（2）公式中，的指数和为，且， 不能随便颠倒位置；
（3）要将通项中的系数和字母分离开，以便于解决问题；
（4）对二项式 的展开式的通项要特别注意符号问题.
3.二项展开式的第项的二项式系数是 ，二项式系数是仅与二
项式的次数有关的个组合数，与, 的取值无关，且是正数；
而二项展开式的第项的系数则是二项式系数 与数字系数的积，
可能为负数.如的展开式的第二项的二项式系数是 ，而第
二项的系数则是 .
4.与的二项展开式相同，但是 的展开式的
第项为，的展开式的第项为 .
因此，应用二项式定理时，与 是不能随便交换位置的.
5.展开式的通项中含有,,,, 五个量，只要知道其中的四个量，
就可以求出第五个量，在应用二项式定理时，常常遇到已知这五个
量中的若干个，求另外几个量的问题，这类问题一般是利用通项，
把问题转化为解方程（或方程组）.这里必须注意是正整数， 是非
负整数且 .
1.三项式求特定项的方法有：
（1）因式分解法：通过分解因式将三项式变成两个二项式，然后用
二项式定理分别展开.
（2）逐层展开法：将三项式分成两组，用二项式定理展开，再把其
中含两项的一组展开.
（3）利用组合知识：把三项式看成几个一次项的积，利用组合知识
分析项的构成，注意最后应把各个同类项合并.
例1 的展开式共有____项.
66
[解析] 方法一：
， 的展开式有11项，
的展开式有10项， ， 的展开式有2项，
有1项，并且所有项中都没有同类项，所以 的展
开式的项数为 .
方法二：展开式中每一项的次数都是10，其形式为
，则 ，于是展开式的项数等价于方
程 的自然数解的个数，利用“隔板法”得其自然数解的
个数为 .故展开式共有66项.
2.求二项展开式的特定项问题,实质是考查通项 的特
点,一般需要建立方程求,再将的值代回通项求解,注意 的取值范围
.
例2 已知 为正整数)的展开式的中间项是第5项.
（1）求 的值；
解：因为为正偶数，所以 的展开式的中间项为第
项，所以，解得 .
（2）求展开式中系数为有理数的项数.
解：由（1）知 ，
的展开式的通项为
， ,1,2, ,8,
若系数为有理数，则，均为整数，则 ，2，4，6，8，
所以展开式中系数为有理数的项数为5.
3.一般地,求近似值的处理方法如下:
（1）当的绝对值与1相比很小且 不大时,常用近似公式
,因为这时展开式的后面部分
很小,可以忽略不计.类似地,有
.但是使用这两个公式时应注意 的条件,以及对精
确度的要求.
（2）在使用二项式定理进行近似计算时,要注意按问题对精确度的要
求来确定展开式中各项的取舍,例如,若精确度要求较高,则可使用更精
确的近似公式 .
例3 求 精确到0.001的近似值.
解：
.
练习册
一、选择题
1. 的展开式中的第7项为( )
A. B. C. D.
[解析] 由题意知展开式中的第7项为 ，故选B.
√
2.设，化简 ( )
A. B. C. D.
[解析] 因为
，
所以
，
故选B.
√
3.在的展开式中,含 的项的二项式系数为( )
A. B. C. D.
[解析] 含的项为展开式中的第5项,所以所求二项式系数为 .
√
4.的展开式中 的系数为( )
A.208 B. C.217 D.
[解析] 在的展开式中，含 的项为
，
所以 的系数为 .故选B.
√
5.若的展开式中含的项的系数为30，则 等于
( )
A. B. C.1 D.2
[解析] 的展开式的通项是.
令，得 ，令，得，则的
展开式中含 的项的系数为，含的项的系数为 .
根据题意得，解得 .
√
6.中国古代的著作《孙子算经》中对同余除法有较深的研究.设 ，
，均为正整数，若和被除所得的余数相同，则称和对模
同余，记为 ．若
，，则
的值可以是( )
A.2021 B.2023 C.2025 D.2026
√
[解析] 因为
，
，
所以被8除所得的余数为1，所以 被8除所得的余数也要为1.
因为2021除以8余5，2023除以8 余7，2025除以8余1，2026除以8余2，
所以 的值可以是2025，故选C.
7.[2024·云南师范大学附中高二月考]已知 能被9整除，则整
数 的值可以是( )
A. B. C.9 D.13
[解析] 因为 能被9整除，且
能被9整除，所以 能被9整除.
由选项知当时符合题意，当 ，9，13时均不符合题意.故选B.
√
8.（多选题）对于二项式 ，下列说法正确的是 ( )
A.存在 ，使得展开式中有常数项
B.对任意 ，展开式中没有常数项恒成立
C.对任意，展开式中没有含 的项恒成立
D.存在，使得展开式中有含 的项
√
√
[解析] 二项式 的展开式的通项为
.
不妨令，则当 时，展开式中有常数项，故A正确，B错误；
不妨令，则当 时，展开式中有含的项，故C错误，D正确.
故选 .
9.（多选题）在 的展开式中，下列说法正确的是( )
A.有理项共有3项 B.常数项为第4项
C.常数项为135 D.有理项共有4项
√
√
[解析] 的展开式的通项为，
,1,2,3,4,5,6.
令为整数，可得 ，2，4，6，有理项共4项，故A错误，
D正确；
令，解得 ，故常数项为第5项，且常数项
为，故B错误，C正确.故选 .
二、填空题
10.[2024·北京八中高二月考] 在 的展开式中
无常数项，则 的一个取值为_________________.
7（答案不唯一）
[解析] 的展开式的通项为
，
由，得，所以,，
所以 的一个取值为7.
11.[2024·广东梅州高二期中] 的展开式中 的
系数为，则 的值为___.
1
[解析] 的展开式的通项为, ,1,2,
,2024，所以的展开式中含 的项为
，则展开式中 的系数为
，解得 .
12.[2024·蚌埠二中高二月考] 已知
，其中是关于 的多
项式，则 ___.
2
[解析] 因为
，
所以，所以，，所以 .
三、解答题
13.求的展开式中含 的项的系数．
解：的展开式中含 的项为
，
所以 的展开式中含的项的系数为 .
14.已知 的展开式中前三项的系数成等差数列.
（1）求 的值；
解： 展开式中前三项的系数成等差数列，
，即 ，整理得
，解得（舍去）或，故 的值为8.
（2）求展开式中含 的项.
解： 的展开式的通项为
,,1,2, ,8，
令，解得，故展开式中含的项为 .
15.[2024·广州江门一中高二月考]设的小数部分为 ，则
( )
A.1 B.2 C.3 D.4
[解析] 由，得 的整数部分为4，则
，所以，
即 ，
所以 .故选B.
√
16.求证： 能被31整除.
证明：
,
是正整数，
能被31整除.6.3 二项式定理
6.3.1 二项式定理
【课前预习】
知识点
(k=0,1,2,…,n) an-kbk
诊断分析
(1)× (2)× (3)× (4)√
【课中探究】
例1 解:(1)(a+2b)5=a5+a4(2b)1+a3(2b)2+a2(2b)3+a(2b)4+(2b)5=a5+10a4b+40a3b2+80a2b3+80ab4+32b5.
(2)=x7+x6+x5+x4+x3+x2+x+=x7-7x5+21x3-35x+-+-.
例2 (1)A [解析] A-B=37-×36+×35-×34+×33-×32+×3-1=(3-1)7=27=128.
(2)解:1+2+4+…+2n-1+2n=×20×1n+×21×1n-1+×22×1n-2+…+×2n-1×11+×2n×10=(1+2)n=3n.
变式 (1)B [解析] 因为(x+1)5-5(x+1)4+10(x+1)3-10(x+1)2+5(x+1)-1=(x+1)5(-1)0+(x+1)4(-1)1+(x+1)3(-1)2+(x+1)2(-1)3+(x+1)(-1)4+(-1)5=[(x+1)-1]5=x5,所以x+a=x,即a=0.故选B.
(2)解:=++++=1++++.
例3 解:(1)的展开式的通项为Tr+1=×(-3)r×=×(-3)r.因为展开式的第6项为常数项,所以当r=5时,=0,解得n=10.
(2)令=2,解得r=2,则展开式中含x2的项的系数为×(-3)2=405.
(3)因为的展开式的通项为Tr+1=×(-3)r,所以展开式的第4项的二项式系数为=120,展开式的第4项的系数为×(-3)3=120×(-27)=-3240.
(4)根据题意得所以r的值可以为2,5,8,
所以展开式的第3项、第6项与第9项为有理项,
它们分别为×(-3)2x2,×(-3)5,×(-3)8x-2,
即405x2,-61 236,295 245x-2.
变式 (1)B [解析] 二项式的展开式的通项为Tk+1=()5-k·=(-2)k,令=0,得k=3,所以常数项为(-2)3×=-80.故选B.
(2)解:①的展开式的通项为Tr+1=·(x2)m-r·=·2r·,
∴展开式中第4项的系数为·23,倒数第4项的系数为·2m-3,∴=,即=,∴m=7.
②由①可知m=7,∴的展开式的通项为Tr+1=·2r·=·2r·,
二项展开式中共有8项,中间两项即为第4项和第5项,
则T4=·23·=280,T5=·24·=560x4,∴展开式的中间两项为280和560x4.
例4 (1)4 (2)B (3)C [解析] (1)因为(2+x)3的展开式的通项为Tr+1=23-rxr(r≤3,r∈N),所以x的一次项的系数为×22+(-1)××23=12-8=4.
(2)在(1+ax)3+(1-x)5的展开式中,含x3的项的系数为a3+(-1)3=a3-10=-2,则a3=8,解得a=2.
(3)方法一:(x2-x-y)5=[(x2-x)-y]5,展开式中含y2的项为(x2-x)3·y2,而(x2-x)3的展开式中含x4的项为·x2·(-x)2=x4,所以(x2-x-y)5的展开式中含x4y2的项的系数为=30.
方法二:(x2-x-y)5表示5个(x2-x-y)相乘.含x4y2的项是在5个(x2-x-y)中选1个x2,选2个-x,选2个-y相乘得到的,因此含x4y2的项的系数为=30.
变式 (1)A (2)2 (3)-30 [解析] (1)在(1-x)4+(1-x)5+(1-x)6+(1-x)7的展开式中,含x3的项为(-x)3+(-x)3+(-x)3+(-x)3=-69x3,所以含x3的项的系数是-69.故选A.
(2)因为(1-x)4=2x·(1-x)4+·(1-x)4+a·(1-x)4,所以(1-x)4的展开式中含x3的项为2x·(-x)2+·(-x)4+a·(-x)3=(13-4a)x3,所以13-4a=5,解得a=2.
(3)(x2-x+1)5可以看作5个(x2-x+1)相乘,含x3的项是在5个(x2-x+1)中选3个-x,选2个1,或选1个x2,选1个-x,选3个1相乘得到的,因此含x3的项为(-x)3·12+x2(-x)·13=-30x3,故含x3的项的系数为-30.
例5 (1)C (2)B (3)B [解析] (1)由已知可得8100=(7+1)100=×7100+×799+…+×7+×70=7100+×799+…+×7+1,即8100被7除的余数为1,所以经过8100天后是星期三.故选C.
(2)1.026=(1+0.02)6=1+×0.02+×0.022+×0.023+×0.024+×0.025+0.026≈1+0.12+0.006≈1.13.故选B.
(3)5050=(49+1)50=×4950+×4949+×4948+…+×49+,显然,除了最后一项外,其余的各项都能被7整除,所以5050被7除的余数为=1.故选B.
变式 (1)B (2)癸卯 [解析] (1)0.996=(1-0.01)6=-×0.01+×0.012-×0.013+×0.014-×0.015+×0.016≈1-0.06+0.001 5-0.000 02≈0.941,故选B.
(2)因为138=(12+1)8=128+×127+…+×12+1,所以138年以后地支为“寅”后面的“卯”.因为138=(10+3)8=108+×107×3+…+×10×37+38,38=6561,38被10除的余数为1,所以138年以后天干为“壬”后面的“癸”,故138年以后是癸卯年.6.3 二项式定理
6.3.1 二项式定理
1.B [解析] 由题意知展开式中的第7项为a3()6=84a3b3,故选B.
2.B [解析] 因为+×6+×62+…+×6n-1=(×6+×62+×63+…+×6n),所以+×6+×62+…+×6n-1=(+×6+×62+×63+…+×6n-1)=[(1+6)n-1]=(7n-1),故选B.
3.B [解析] 含x6的项为展开式中的第5项,所以所求二项式系数为.
4.B [解析] 在(a-2b-3c)4的展开式中,含abc2的项为·a1··(-2b)··(-3c)2=-216abc2,所以abc2的系数为-216.故选B.
5.D [解析] 的展开式的通项是Tr+1=·x10-r·=·x10-2r.令10-2r=4,得r=3,令10-2r=6,得r=2,则的展开式中含x4的项的系数为,含x6的项的系数为.根据题意得-a=120-45a=30,解得a=2.
6.C [解析] 因为a=+×2+×22+…+×220=(1+2)20=320,320=910=(1+8)10=+×8+×82+…+×810,所以a被8除所得的余数为1,所以b被8除所得的余数也要为1.因为2021除以8余5,2023除以8 余7,2025除以8余1,2026除以8余2,所以b的值可以是2025,故选C.
7.B [解析] 因为42024+a=24048+a=2×81349+a=2×(9-1)1349+a=2[×91349-k×(-1)k]-2+a能被9整除,且2[×91349-k×(-1)k]能被9整除,所以-2+a能被9整除.由选项知当a=-7时符合题意,当a=-12,9,13时均不符合题意.故选B.
8.AD [解析] 二项式(n∈N*)的展开式的通项为Tr+1=(x3)r=x4r-n.不妨令n=4,则当r=1时,展开式中有常数项,故A正确,B错误;不妨令n=3,则当r=1时,展开式中有含x的项,故C错误,D正确.故选AD.
9.CD [解析] 的展开式的通项为Tr+1=·(-1)r·36-r·,r=0,1,2,3,4,5,6.令6-r为整数,可得r=0,2,4,6,有理项共有4项,故A错误,D正确;令6-r=0,解得r=4,故常数项为第5项,且常数项为×(-1)4×32=135,故B错误,C正确.故选CD.
10.7(答案不唯一) [解析] (n∈N*,n≥6)的展开式的通项为Tr+1=·(2x)n-r·=(-1)r·2n-r··xn-2r,由n-2r≠0,得n≠2r,所以n=2k+5,k∈N*,所以n的一个取值为7.
11.1 [解析] (1-x)2024的展开式的通项为Tr+1=(-x)r,r=0,1,2,…,2024,所以(a+x)(1-x)2024的展开式中含x2024的项为aT2025+xT2024=(a-2024)x2024,则展开式中x2024的系数为a-2024=-2023,解得a=1.
12.2 [解析] 因为x10+1=[(x-1)+1]10+1=(x-1)10+(x-1)9+…+(x-1)2+(x-1)++1,所以[(x-1)8+(x-1)7+…+]·(x-1)2+10x-8=(x-1)2f(x)+ax+b,所以a=10,b=-8,所以a+b=2.
13.解:(x+1)(x-1)7的展开式中含x2的项为x×x×(-1)6+1×x2(-1)5=-14x2,所以(x+1)(x-1)7的展开式中含x2的项的系数为-14.
14.解:(1)∵展开式中前三项的系数成等差数列,∴+×=2×,即1+×=n,整理得n2-9n+8=0,解得n=1(舍去)或n=8,故n的值为8.
(2)的展开式的通项为Tr+1=()8-r·=··,r=0,1,2,…,8,令4-=1,解得r=4,故展开式中含x的项为×x=x.
15.B [解析] 由5>>=4,得的整数部分为4,则=x+4,所以(x+4)4=258,即x4+4x3+16x2+64x+256=x4+16x3+96x2+256x+256=258,所以x4+16x3+96x2+256x=2.故选B.
16.证明:25n-1=(31+1)n-1=·31n+·31n-1+·31n-2+…+·311+·310-1=31(31n-1+·31n-2+·31n-3+…+·31+),∵31n-1+·31n-2+·31n-3+…+·31+是正整数,∴25n-1(n∈N*)能被31整除.6.3 二项式定理
6.3.1 二项式定理
【学习目标】
1.能用计数原理证明二项式定理.
2.掌握二项式定理及二项展开式的通项.
3.能解决与二项式定理有关的简单问题.
◆ 知识点 二项式定理及相关概念
二项式定理 (a+b)n=an+an-1b1+…+an-kbk+…+bn(n∈N*)
二项展开式 公式右边的多项式
二项式系数 公式右边各项的系数
二项展开式 的通项 Tk+1=
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)(a+b)n的展开式中共有n项. ( )
(2)二项式(a+b)n与(b+a)n的展开式的第r+1项一定相同. ( )
(3)an-kbk是(a+b)n的展开式的第k项. ( )
(4)(a-b)n与(a+b)n的二项展开式的二项式系数相同. ( )
◆ 探究点一 二项式定理的正用与逆用
例1 利用二项式定理展开下列各式:
(1)(a+2b)5;
(2).
例2 (1)设A=37+×35+×33+×3,B=×36+×34+×32+1,则A-B的值为( )
A.128 B.129 C.47 D.0
(2)化简:1+2+4+…+2n-1+2n.
变式 (1)若(x+a)5=(x+1)5-5(x+1)4+10(x+1)3-10(x+1)2+5(x+1)-1,则a= ( )
A.-1 B.0 C.1 D.2
(2)求的二项展开式.
[素养小结]
二项式定理的双向功能:
(1)正用:将二项式(a+b)n展开,得到一个多项式,即二项式定理从左到右使用是展开.对较复杂的式子,先化简再用二项式定理展开.
(2)逆用:将多项式合并成二项式(a+b)n的形式,即二项式定理从右到左使用是合并.对于化简、求和、证明等问题的求解,要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项系数的规律.
◆ 探究点二 与展开式中的特定项有关的问题
例3 在的展开式中,第6项为常数项.
(1)求n的值;
(2)求展开式中含x2的项的系数;
(3)求展开式的第4项的二项式系数及第4项的系数;
(4)求展开式中所有的有理项.
变式 (1)二项式的展开式中的常数项为 ( )
A.80 B.-80 C.-40 D.40
(2)已知m为奇数,在的展开式中,第4项的系数与倒数第4项的系数之比为.
①求m的值;
②求展开式的中间两项.
[素养小结]
1.求二项展开式的特定项的常见题型:
(1)求第k项,Tk=an-k+1bk-1;
(2)求含xk的项(或含xpyq的项);
(3)求常数项;
(4)求有理项.
2.求二项展开式的特定项的注意点:
(1)对于常数项,隐含条件是字母的指数为0(即0次项).
(2)对于有理项,一般是先写出展开式的通项,再求所有的字母的指数恰好都是整数的项.解决这类问题必须合并通项中同一字母的指数,根据具体要求,令其属于整数,再根据数的整除性来求解.
◆ 探究点三 二项式定理的灵活应用
例4 (1) 在(2+x)3(1-x)的展开式中,x的一次项的系数为 .(用数字作答)
(2)在(1+ax)3+(1-x)5的展开式中,含x3的项的系数为-2,则a等于 ( )
A.2 B.2 C.-2 D.-1
(3)在(x2-x-y)5的展开式中,含x4y2的项的系数为 ( )
A.10 B.20 C.30 D.60
变式 (1)[2024·泰安高二期中] 在(1-x)4+(1-x)5+(1-x)6+(1-x)7的展开式中,含x3的项的系数是 ( )
A.-69 B.-70 C.69 D.70
(2)已知(1-x)4的展开式中含x3的项的系数为5,则a= .
(3)[2024·常德一中高二月考] 在(x2-x+1)5的展开式中,含x3的项的系数为 .
[素养小结]
1.求两个二项式乘积的展开式中的特定项问题的方法:
(1)分别对每个二项展开式进行分析,发现它们各自项的特点;
(2)找到构成展开式中特定项的组成部分;
(3)分别求解再相乘,求和即可.
2.求三项或三项以上的多项展开式问题的方法:
应根据式子的特点,转化为二项式来解决(有些题目也可转化为计数问题来解决),转化的方法通常为配方、因式分解、项与项结合,项与项结合时要注意合理性和简捷性.
◆ 探究点四 整除和求近似值问题
例5 (1)若今天是星期二,则经过7天后还是星期二,那么经过8100天后是 ( )
A.星期一 B.星期二
C.星期三 D.星期四
(2)1.026的近似值(精确到0.01)为 ( )
A.1.12 B.1.13
C.1.14 D.1.20
(3)5050被7除的余数为 ( )
A.0 B.1
C.2 D.3
变式 (1)0.996的近似值(精确到0.001)是 ( )
A.0.940 B.0.941
C.0.942 D.0.943
(2)干支纪年是中国古代的一种纪年法.分别排出十天干与十二地支如下:
天干:甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸.
地支:子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.
把天干与地支按以下方法依次配对:把第一个天干“甲”与第一个地支“子”配出“甲子”,把第二个天干“乙”与第二个地支“丑”配出“乙丑”……若天干用完,则再从第一个天干开始循环使用,若地支用完,则再从第一个地支开始循环使用.已知2022年是壬寅年,则138年以后是 年.
[素养小结]
利用二项式定理可以解决整除问题或求余数问题,在解决整除问题或求余数问题时要进行合理变形,使被除式(数)展开后的每一项都为含有除式(数)的因式,要注意变形的技巧,注意余数应该是非负数.6.3 二项式定理
6.3.1 二项式定理
一、选择题
1.(a+)9的展开式中的第7项为 ( )
A.104a7b2 B.84a3b3
C.63a3b3 D.36a7b
2.设n∈N*,化简+×6+×62+…+×6n-1= ( )
A.7n B.(7n-1)
C.7n-1 D.6n-1
3.在(x-)10的展开式中,含x6的项的二项式系数为 ( )
A.- B.
C.-4 D.4
4.(a-2b-3c)4的展开式中abc2的系数为 ( )
A.208 B.-216
C.217 D.-218
5.若(x2-a)·的展开式中含x6的项的系数为30,则a等于 ( )
A. B.
C.1 D.2
6.中国古代的著作《孙子算经》中对同余除法有较深的研究.设a,b,m均为正整数,若a和b被m除所得的余数相同,则称a和b对模m同余,记为a≡b(mod m).若a=+×2+×22+…+×220,a≡b(mod 8),则b的值可以是 ( )
A.2021 B.2023
C.2025 D.2026
7.[2024·云南师范大学附中高二月考] 已知42024+a能被9整除,则整数a的值可以是 ( )
A.-12 B.-7
C.9 D.13
8.(多选题)对于二项式(n∈N*),下列说法正确的是 ( )
A.存在n∈N*,使得展开式中有常数项
B.对任意n∈N*,展开式中没有常数项恒成立
C.对任意n∈N*,展开式中没有含x的项恒成立
D.存在n∈N*,使得展开式中有含x的项
9.(多选题)在的展开式中,下列说法正确的是 ( )
A.有理项共有3项 B.常数项为第4项
C.常数项为135 D.有理项共有4项
二、填空题
10.[2024·北京八中高二月考] 在(n∈N*,n≥6)的展开式中无常数项,则n的一个取值为 .
11.[2024·广东梅州高二期中] (a+x)(1-x)2024的展开式中x2024的系数为-2023,则a的值为 .
12.[2024·蚌埠二中高二月考] 已知x10+1=(x-1)2f(x)+ax+b(a,b∈R),其中f(x)是关于x的多项式,则a+b= .
三、解答题
13.求(x+1)(x-1)7的展开式中含x2的项的系数.
14.已知的展开式中前三项的系数成等差数列.
(1)求n的值;
(2)求展开式中含x的项.
15.[2024·广州江门一中高二月考] 设的小数部分为x,则x4+16x3+96x2+256x= ( )
A.1 B.2
C.3 D.4
16.求证:25n-1(n∈N*)能被31整除.
