(共61张PPT)
6.3 二项式定理
6.3.2 二项式系数的性质
探究点一 二项展开式的系数和
探究点二 系数的最大项问题
【学习目标】
1.理解和掌握二项式系数的性质,并会简单应用.
2.理解和初步掌握赋值法及其应用.
知识点一 二项式系数表
1.从第一项起至中间项,二项式系数逐渐______,随后又逐渐______.
增大
减小
2.表中每行两端的数都是1,而且除1以外的每一个数都等于它肩上两
个数的____.
和
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）二项式系数表中每一行的首末两数都是1.( )
√
（2）二项式系数表的每一斜行中两相邻数字的差的绝对值都成等差
数列.( )
×
[解析] 每一斜行中两相邻数字的差的绝对值不都成等差数列，例如
当一斜行数字为1,4,10,20， 时，两相邻数字的差的绝对值依次为
3,6,10, ,不成等差数列.
知识点二 二项式系数的性质
（1）对称性：在 的展开式中，与_________________的两个
二项式系数相等，即，， ， .
首末两端“等距离”
（2）增减性与最大值：当时，随 的增加而______；由对
称性知，当时，随的增加而______.当 是偶数时，中间
的一项____取得最大值；当 是奇数时，中间的两项_ ____与_____相
等，且同时取得最大值.
增大
减小
（3）各二项式系数的和
① ____；
② ______.
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）二项展开式的二项式系数的和为 .( )
×
[解析] 二项展开式的二项式系数的和为 .
（2）二项展开式中系数最大项与二项式系数最大项相同.( )
×
（3）在 的展开式中二项式系数最大的项是第5项和第6项.
( )
√
（4）在 的展开式中系数最大的项是第5项和第6项.( )
×
[解析] 的展开式的通项为 ，
则展开式中系数最大的项是第5项.
探究点一 二项展开式的系数和
例1 设 .
（1）求 的值;
解:令,得 .
（2）求 的值;
解:令,得 .
由得 ,
.
（3）求 的值;
解:由得 ,
.
令,得, .
（4）求 的值;
解: 的展开式的通项为
,
,,且，
.
（5）求 的值.
解:对 两边
分别求导得,
令,得 .
变式（1） （多选题）[2024·福建泉州高二期中] 若
，则( )
A.
B.
C.
D.
√
√
[解析] 对于A，令，得 ，故A错误；
对于B，令，得，
令 ，得，
得 ，
所以，
又 ，所以 ，故B正确；
对于C，由以上分析知， ，所以
，故C错误；
对于D，令，得 ，
所以，故D正确.故选 .
（2）若 .
①求 的值；
解：由，
令 ，可得，
令 ，可得，
所以
.
②求 的值.
解：由 ，
令，可得 ，
又由①知 ，所以
.
［素养小结］
二项展开式中系数和的求法：
（1）对形如， 的式
子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令 即可；对
形如 的式子求其展开式的各项系数之和，
只需令 即可.
（2）一般地，若，则 展开
式中各项系数之和为 ，奇数项系数之和为
，偶数项系数之和为
.
拓展 已知 .
（1）求 的值；
解：令，得 .
（2）求
的值.
解：令 ，得
，
则
.
探究点二 系数的最大项问题
例2 已知二项式 ，求：
（1）展开式中二项式系数最大的项；
解：因为 的展开式中共有9项，所以中间一项（第5项）的二
项式系数最大，所以展开式中二项式系数最大的项为 .
（2）展开式中系数最小的项.
解：二项展开式中系数最小的项应在各负项中确定.
由题意知第4项和第6项的系数相等且最小， ，
，所以展开式中系数最小的项是 和
.
变式（1） [2024·重庆西南大学附中高二月考]已知 的展开
式中仅第4项的二项式系数最大，则展开式中系数最大的项是( )
A.第2项 B.第3项 C.第4项 D.第5项
√
[解析] 由展开式中仅第4项的二项式系数最大，得展开式中共有7项，
则，所以二项式为 ，其展开式的通项为
, ,1,2,3,4,5,6.设展开式中第
项的系数最大，则有解得 ，故
，经检验符合题意，所以展开式中系数最大的项是第3项.故选B.
（2）已知 的展开式中各二项式系数的和与各项系数之和
均为128，求展开式中系数最大的项.
解：因为的展开式中各二项式系数的和为 ，各项系数
之和为,所以，解得,所以 ，解
得.
因为的展开式的通项为， ,1,2, ,7，
所以展开式中系数最大的项即为二项式系数最大的项，所
以展开式中系数最大的项为和 .
［素养小结］
（1）根据二项式系数的性质，当 为奇数时，中间两项的二项式系
数最大；当 为偶数时，中间一项的二项式系数最大.
（2）求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根
据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式（组），解不等
式（组）的方法求解.一般地，如果第 项的系数最大，那么与之
相邻两项（第项、第项）的系数均不大于第 项的系数，
由此列不等式组可确定的范围，再依据来确定 的值，即可
求出最大项.
拓展 已知二项式 .
（1）若展开式中第5项、第6项、第7项的二项式系数成等差数列，
求展开式中二项式系数最大项的系数；
解：由题意，得，即，解得
或 .
①当时，展开式中二项式系数最大的项是和， 的系数为
，的系数为 .故展开式中二项
式系数最大项的系数为 和70.
②当时，展开式中二项式系数最大的项是， 的系数为
.故展开式中二项式系数最大项的系数为3432.
（2）若展开式中前三项的二项式系数之和等于79，求展开式中系数
最大的项.
解：由题意知，即,解得
或（舍去）.设展开式中第 项的系数最大，
因为 ，
所以解得 ，
又,1,2， ，，所以 ，所以展开式中系数最大的项
为，且 .
杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列.在欧洲，这个
表叫作帕斯卡三角形.杨辉三角是我国古代数学的杰出研究成果之一，
它把二项式系数图形化，把组合数内在的一些代数性质直观地从图
形中体现出来，是一种离散型的数与形的结合.
奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和,且都等于
.对于二项式,令, ,则
,即
.
赋值法是解决二项展开式中项的系数和的问题的常用方法.根据题目
要求，灵活赋值是解题的关键.解决二项展开式中项的系数和的问题
的思维过程如下：
例 [2024·山东济宁高二期中] 若
，求：
（1） ；
解：令，得 .
（2） ；
解： 等价于
的展开式中各项的系数之和，
将代入 ，
得 .
（3） .
解：令 ，
则 ，
且 ，
令，得 ，
且 ，
所以 .
练习册
一、选择题
1.在的展开式中，若各二项式系数的和为64，则 ( )
A.4 B.5 C.6 D.7
[解析] 由题意得，解得 .故选C.
2.已知的展开式中只有第5项的二项式系数最大,则 等于
( )
A.11 B.10 C.9 D.8
[解析] 根据题意知的展开式中共有9项,所以 .故选D.
√
√
3. 的展开式中的第6项与第7项的系数相等，则展开式中的
二项式系数最大的项为( )
A.第5项 B.第6项或第7项 C.第6项 D.第7项
[解析] 的展开式的通项为 ,则
，，依题意有 ，解得
，所以 的展开式中共有9项，二项式系数最大的项为
第5项.故选A.
√
4.在 的展开式中，若第3项与第9项的二项式系数相等，则
所有项的系数之和为( )
A. B. C. D.
[解析] 在 的展开式中，因为第3项与第9项的二项式系数
相等，所以，解得，令 ，可得所有项的系数之
和为 .故选C.
√
5.已知 的展开式中所有项的系数之和为192，则展
开式中的常数项为( )
A.4 B.8 C.6 D.10
[解析] 令，得，解得.
因为 的展开式的通项为，
所以 的展开式中的常数项为
.故选B.
√
6.已知
，则 ( )
A.10 935 B.5546 C.5467 D.5465
[解析] 令，则 ，可得
，令 ，得
，令，得，令 ，
得 ，
所以 ，
所以 .故选D.
√
7.[2024·浙江A9协作体高二期中]已知
的展开式中 的系数为11，则
的展开式中 的偶次幂项的系数之和为( )
A.29 B.30 C.58 D.60
[解析] 因为 的展开式的通项为，
的展开式的通项为，
所以 ，即，解得，
所以 ，
故的展开式中 的偶次幂项的系数之和为
，故选A.
√
8.（多选题）[2024·福建泉州三校高二联考] 已知 的展开
式中各二项式系数的和为64,则下列结论正确的是( )
A.展开式中的各项系数之和为
B.展开式中二项式系数最大的项为
C.展开式中无常数项
D.展开式中系数最大的项为
√
√
[解析] 因为 的展开式中各二项式系数的和为64,所以
,解得,所以二项式为 ,其展开式的通项为
.
对于A,令 ,可得展开式中的各项系数之和为,故A正确;
对于B,由 ,可得展开式中第4项的二项式系数最大,此时 ,
则展开式中二项式系数最大的项为 ,故B正确;
对于C,令,得 ,所以展开式中的常数项为
,故C错误;
对于D,设展开式中第 项的系数最大,则
解得,又因为 ,所以,则展开式中系数最大的项
为 ,故D错误.故选 .
9.（多选题）[2024·重庆巴蜀中学高二期中] 已知
，则( )
A.
B.
C.
D.
√
√
[解析] 对于A，令，得 ，故A正确；
对于B，， ，故B错误；
对于C，令，得 ，令
，得 ，两式相加得
，则 ，故C错误；
对于D，令 ，得
，
则 ，
故D正确.故选 .
二、填空题
10.二项式 的展开式中，最大的二项式系数为____．
20
[解析] 因为，所以二项式系数的最大值为 ．
11.已知 的展开式中第3项的二项式系数与第4项的二项式系
数相等，且 ，若
，则实数 ___.
2
[解析] 由题可知，则，令，得，令 ，
得，又 ，
所以，即，故 .
12.设,则 ___，
_____.
40
242
[解析] 的展开式的通项为 ,则
.
在中，令 ,得,令,得,
则 .
三、解答题
13.[2024·邯郸十校高二联考] 在 的展开式中：
（1）系数的绝对值最大的项是第几项？
解： 的展开式的通项为
,, ，
设第项系数的绝对值最大，则
即即
解得，又，所以或 ，
所以系数的绝对值最大的项是第6项和第7项.
（2）求二项式系数最大的项.
解：二项式系数最大的项为第5项，即 .
（3）求系数最大的项.
解：由（1）知，展开式中的第6项和第7项系数的绝对值最大，而第
6项的系数为负，第7项的系数为正，所以系数最大的项为第7项，即
.
14.已知
，且
.
（1）求实数 的值；
解：在 中，令 ，可得
，
令 ，可得
，
，
，即，解得
或 .
（2）若，求 的值.
解：, ,
，两边同
时对求导，得 ，令
，得 .
15.（多选题）的展开式中不含 的项的系数的绝对值
的和为243，不含的项的系数的绝对值的和为32.若, 均为有理数，
则， 的值可能为( )
A.， B.，
C.， D.，
√
√
[解析] 由题易知且.令， ，即得到
的展开式中不含的项的系数的和为 ，令
，，即得到的展开式中不含 的项的系数
的和为.
如果，均是正数，那么 即为的展开式中
不含 的项的系数的绝对值的和，即为的展开式
中不含 的项的系数的绝对值的和；
如果，那么只需令， ， 即得到的展开
式中不含 的项的系数的绝对值的和为；
如果，那么只需令， ，即得到的展开
式中不含 的项的系数的绝对值的和为.
由此可知，的展开式中不含 的项的系数的绝对值的和
为，的展开式中不含 的项的系数的绝对值的
和为
根据题意得， ，，
又,均为有理数，所以， ，.故选 .
16.设，， ．
（1）当 时，若
，求 的值；
解：当时， ，
令，得，
令 ，得 ，
则 .
（2）若的展开式中的系数是9，当，变化时，求 的系数
的最小值．
解：由题意可得
的系数为
.
,, 当或5时, 的系数取得最小值16，
即或时， 的系数取得最小值16.6.3.2 二项式系数的性质
【课前预习】
知识点一
1.增大 减小
2.和
诊断分析
(1)√ (2)× [解析] (2)每一斜行中两相邻数字的差的绝对值不都成等差数列,例如当一斜行数字为1,4,10,20,…时,两相邻数字的差的绝对值依次为3,6,10,…,不成等差数列.
知识点二
(1)首末两端“等距离” (2)增大 减小
(3)①2n ②2n-1
诊断分析
(1)× (2)× (3)√ (4)× [解析] (1)二项展开式的二项式系数的和为+++…+.
(4)(1-x)9的展开式的通项为Tr+1=·19-r·(-x)r=(-1)rxr,则展开式中系数最大的项是第5项.
【课中探究】
例1 解:(1)令x=1,得a0+a1+a2+…+a2024=(-1)2024=1①.
(2)令x=-1,得a0-a1+a2-…-a2023+a2024=32024②.
由①-②得2(a1+a3+a5+…+a2023)=1-32024,
∴a1+a3+a5+…+a2023=.
(3)由①+②得2(a0+a2+a4+a6+…+a2024)=32024+1,
∴a0+a2+a4+a6+…+a2024=.
令x=0,得a0=1,∴a2+a4+a6+…+a2024=.
(4)∵(1-2x)2024的展开式的通项为Tr+1=(-2x)r=(-1)r··(2x)r,∴a2k+1<0,a2k>0(k∈N,k<1012),且a2024>0,∴|a0|+|a1|+|a2|+…+|a2024|=a0-a1+a2-…-a2023+a2024=32024.
(5)对(1-2x)2024=a0+a1x+a2x2+…+a2024x2024(x∈R)两边分别求导得-4048(1-2x)2023=a1+2a2x+3a3x2+…+2024a2024x2023(x∈R),令x=1,得a1+2a2+3a3+…+2024a2024=4048.
变式 (1)BD [解析] 对于A,令x=-2,得a0=(-1)10=1,故A错误;对于B,令x=-1,得a0+a1+a2+…+a10=1①,令x=-3,得a0-a1+a2-…+a10=310②,①+②得2(a0+a2+a4+a6+a8+a10)=310+1,所以a0+a2+a4+a6+a8+a10=,又a0=1,所以a2+a4+a6+a8+a10=-1=,故B正确;对于C,由以上分析知a0+a1+a2+…+a10=1,a0=1,所以a1+a2+…+a10=1-1=0,故C错误;对于D,令x=-,得a0++…+=0,所以++…++=0-a0=0-1=-1,故D正确.故选BD.
(2)解:①由(2x+)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4,令x=1,可得(2+)4=a0+a1+a2+a3+a4,令x=0,可得(0+)4=a0,所以a1+a2+a3+a4=a0+a1+a2+a3+a4-a0=(2+)4-(0+)4=88+56.
②由(2x+)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4,
令x=-1,可得(-2+)4=a0-a1+a2-a3+a4,
又由①知a0+a1+a2+a3+a4=(2+)4,所以(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2=(a0+a1+a2+a3+a4)(a0-a1+a2-a3+a4)=(2+)4×(-2+)4=1.
拓展 解:(1)令x=1,得a0+a1+a2+…+a10=(12-1+1)5=1.
(2)令x=-1,得a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6-a7+a8-a9+a10=243,则(a0+a2+a4+a6+a8+a10)2-(a1+a3+a5+a7+a9)2=(a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8+a9+a10)(a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6-a7+a8-a9+a10)=243.
例2 解:(1)因为(1-x)8的展开式中共有9项,所以中间一项(第5项)的二项式系数最大,所以展开式中二项式系数最大的项为(-x)4=70x4.
(2)二项展开式中系数最小的项应在各负项中确定.由题意知第4项和第6项的系数相等且最小,T4=(-x)3=-56x3,T6=(-x)5=-56x5,所以展开式中系数最小的项是-56x3和-56x5.
变式 (1)B [解析] 由展开式中仅第4项的二项式系数最大,得展开式中共有7项,则n=6,所以二项式为,其展开式的通项为Tr+1=x6-r=2-r,r=0,1,2,3,4,5,6.设展开式中第r+1项的系数最大,则有解得≤r≤,故r=2,经检验符合题意,所以展开式中系数最大的项是第3项.故选B.
(2)解:因为的展开式中各二项式系数的和为2n,各项系数之和为(1-a)n,所以2n=128,解得n=7,所以(1-a)7=128,解得a=-1.因为的展开式的通项为Tk+1=,k=0,1,2,…,7,所以展开式中系数最大的项即为二项式系数最大的项,所以展开式中系数最大的项为T4==35和T5==35.
拓展 解:(1)由题意,得+=2,即n2-21n+98=0,解得n=7或n=14.
①当n=7时,展开式中二项式系数最大的项是T4和T5,T4的系数为××23=,T5的系数为××24=70.故展开式中二项式系数最大项的系数为和70.
②当n=14时,展开式中二项式系数最大的项是T8,T8的系数为××27=3432.故展开式中二项式系数最大项的系数为3432.
(2)由题意知++=79,即n2+n-156=0,解得n=12或n=-13(舍去).设展开式中第r+1项的系数最大,
因为=×(1+4x)12,
所以解得≤r≤,
又r∈{0,1,2,…,12},所以r=10,所以展开式中系数最大的项为T11,且T11=××(4x)10=16 896x10.6.3.2 二项式系数的性质
1.C [解析] 由题意得2n=64,解得n=6.故选C.
2.D [解析] 根据题意知(a+b)n的展开式中共有9项,所以n=8.故选D.
3.A [解析] (1+2x)n的展开式的通项为Tr+1=(2x)r,则T6=(2x)5,T7=(2x)6,依题意有×25=×26,解得n=8,所以(1+2x)8的展开式中共有9项,二项式系数最大的项为第5项.故选A.
4.C [解析] 在的展开式中,因为第3项与第9项的二项式系数相等,所以=,解得n=10,令x=1,可得所有项的系数之和为(1+2)10=310.故选C.
5.B [解析] 令x=1,得(1+a)×26=192,解得a=2.因为的展开式的通项为Tr+1==x-2r,所以(x2+2)的展开式中的常数项为x2x-2+2×=+2×=8.故选B.
6.D [解析] 令x-1=t,则x=1+t,可得(t2+2t+2)(1+2t)7=a0+a1t+a2t2+…+a9t9,令t=0,得a0=2,令t=1,得a0+a1+a2+…+a9=10 935,令t=-1,得a0-a1+a2-…-a9=-1,所以a0+a2+a4+a6+a8==5467,所以a2+a4+a6+a8=5467-a0=5467-2=5465.故选D.
7.A [解析] 因为(1+x)5的展开式的通项为Tr+1=xr(0≤r≤5,r∈N),(1+2x)n的展开式的通项为T't+1=(2x)t(0≤t≤n,t∈N),所以+2=11,即5+2n=11,解得n=3,所以f(x)=(1+x)5+(1+2x)3,故f(x)的展开式中x的偶次幂项的系数之和为++++×22=29,故选A.
8.AB [解析] 因为的展开式中各二项式系数的和为64,所以2n=64,解得n=6,所以二项式为,其展开式的通项为Tr+1=(2x)6-r=26-r.对于A,令x=1,可得展开式中的各项系数之和为36,故A正确;对于B,由n=6,可得展开式中第4项的二项式系数最大,此时r=3,则展开式中二项式系数最大的项为T4=26-3=160,故B正确;对于C,令6-r=0,得r=4,所以展开式中的常数项为T5=26-4=60,故C错误;对于D,设展开式中第r+1项的系数最大,则解得≤r≤,又因为r∈N*,所以r=2,则展开式中系数最大的项为T3=26-2=240x3,故D错误.故选AB.
9.AD [解析] 对于A,令x=0,得a0=36=729,故A正确;对于B,a3=×33×(-2)3<0,a2=×34×(-2)2>0,故B错误;对于C,令x=1,得a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6=1,令x=-1,得a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6=56,两式相加得2(a0+a2+a4+a6)=56+1,则a0+a2+a4+a6=,故C错误;对于D,令x=,得a0+a1×+a2×+a3×+a4×+a5×+a6×=26,则26a0+25a1+24a2+23a3+22a4+2a5+a6=212=4096,故D正确.故选AD.
10.20 [解析] 因为n=6,所以二项式系数的最大值为=20.
11.2 [解析] 由题可知=,则n=5,令x=0,得a0=1,令x=1,得a0+a1+a2+…+an=(1+λ)5,又a1+a2+…+an=242,所以(1+λ)5=243,即1+λ=3,故λ=2.
12.40 242 [解析] (1-2x)5的展开式的通项为Tr+1=(-2)rxr,则a2=(-2)2×=40.在(1-2x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5中,令x=0,得a0=1,令x=-1,得a0-a1+a2-a3+a4-a5=35=243,则|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|=-a1+a2-a3+a4-a5=a0-a1+a2-a3+a4-a5-a0=243-1=242.
13.解:(1)的展开式的通项为Tr+1=()8-r=(-2)r,0≤r≤8,r∈N,
设第r+1项系数的绝对值最大,则
即即
解得5≤r≤6,又r∈N,所以r=5或r=6,
所以系数的绝对值最大的项是第6项和第7项.
(2)二项式系数最大的项为第5项,
即T5=(-2)4x-6=1120x-6.
(3)由(1)知,展开式中的第6项和第7项系数的绝对值最大,而第6项的系数为负,第7项的系数为正,所以系数最大的项为第7项,即T7=(-2)6x-11=1792x-11.
14.解:(1)在(x+2+m)9=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+…+a9(x+1)9中,令x=-2,可得(a0+a2+a4+a6+a8)-(a1+a3+a5+a7+a9)=m9,令x=0,可得(a0+a2+a4+a6+a8)+(a1+a3+a5+a7+a9)=(2+m)9.∵(a0+a2+a4+a6+a8)2-(a1+a3+a5+a7+a9)2=39,
∴[(a0+a2+a4+a6+a8)+(a1+a3+a5+a7+a9)][(a0+a2+a4+a6+a8)-(a1+a3+a5+a7+a9)]=39,∴(2+m)9·m9=(2m+m2)9=39,即2m+m2=3,解得m=1或m=-3.
(2)∵m>0,∴m=1,∴(x+3)9=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+…+a9(x+1)9,两边同时对x求导,得9(x+3)8=a1+2a2(x+1)+…+9a9(x+1)8,令x=0,得a1+2a2+3a3+…+9a9=9×38=59 049.
15.AD [解析] 由题易知a≠0且b≠0.令x=0,y=1,即得到(1+ax+by)n的展开式中不含x的项的系数的和为(1+b)n,令x=1,y=0,即得到(1+ax+by)n的展开式中不含y的项的系数的和为(1+a)n.如果a,b均是正数,那么(1+b)n即为(1+ax+by)n的展开式中不含x的项的系数的绝对值的和,(1+a)n即为(1+ax+by)n的展开式中不含y的项的系数的绝对值的和;如果a<0,那么只需令x=-1,y=0,即得到(1+ax+by)n的展开式中不含y的项的系数的绝对值的和为(1-a)n;如果b<0,那么只需令x=0,y=-1,即得到(1+ax+by)n的展开式中不含x的项的系数的绝对值的和为(1-b)n.由此可知,(1+ax+by)n的展开式中不含y的项的系数的绝对值的和为(1+|a|)n,(1+ax+by)n的展开式中不含x的项的系数的绝对值的和为(1+|b|)n.根据题意得,(1+|b|)n=243=35,(1+|a|)n=32=25,又a,b均为有理数,所以n=5,|a|=1,|b|=2.故选AD.
16.解:(1)当m=n=5时,f(x)=2(1+x)5,
令x=0,得f(0)=a5+a4+a3+a2+a1+a0=2,令x=2,得f(2)=-a5+a4-a3+a2-a1+a0=2×35,则a0+a2+a4===244.
(2)由题意可得+=m+n=9.x2的系数为+====+.
∵m,n∈N*,∴当m=4或5时,x2的系数取得最小值16,
即或时,x2的系数取得最小值16.6.3.2 二项式系数的性质
【学习目标】
1.理解和掌握二项式系数的性质,并会简单应用.
2.理解和初步掌握赋值法及其应用.
◆ 知识点一 二项式系数表
1.从第一项起至中间项,二项式系数逐渐 ,随后又逐渐 .
2.表中每行两端的数都是1,而且除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的 .
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)二项式系数表中每一行的首末两数都是1. ( )
(2)二项式系数表的每一斜行中两相邻数字的差的绝对值都成等差数列. ( )
◆ 知识点二 二项式系数的性质
(1)对称性:在(a+b)n的展开式中,与 的两个二项式系数相等,即=,=,…,=.
(2)增减性与最大值:当k<时,随k的增加而 ;由对称性知,当k>时,随k的增加而 .当n是偶数时,中间的一项 取得最大值;当n是奇数时,中间的两项 与 相等,且同时取得最大值.
(3)各二项式系数的和
①+++…+= ;
②+++…=+++…= .
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)二项展开式的二项式系数的和为++…+. ( )
(2)二项展开式中系数最大项与二项式系数最大项相同. ( )
(3)在(1+2x)9的展开式中二项式系数最大的项是第5项和第6项. ( )
(4)在(1-x)9的展开式中系数最大的项是第5项和第6项. ( )
◆ 探究点一 二项展开式的系数和
例1 设(1-2x)2024=a0+a1x+a2x2+…+a2024x2024(x∈R).
(1)求a0+a1+a2+…+a2024的值;
(2)求a1+a3+a5+…+a2023的值;
(3)求a2+a4+a6+…+a2024的值;
(4)求|a0|+|a1|+|a2|+…+|a2024|的值;
(5)求a1+2a2+3a3+…+2024a2024的值.
变式 (1)(多选题)[2024·福建泉州高二期中] 若(2x+3)10=a0+a1(x+2)+a2(x+2)2+…+a9(x+2)9+a10(x+2)10,则 ( )
A.a0=-1
B.a2+a4+a6+a8+a10=
C.a1+a2+…+a10=1
D.++…++=-1
(2)若(2x+)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4.
①求a1+a2+a3+a4的值;
②求(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2的值.
[素养小结]
二项展开式中系数和的求法:
(1)对形如(ax+b)n,(ax2+bx+c)m(a,b,c∈R,m,n∈N*)的式子求其展开式的各项系数之和,常用赋值法,只需令x=1即可;对形如(ax+by)n(a,b∈R,n∈N*)的式子求其展开式的各项系数之和,只需令x=y=1即可.
(2)一般地,若f(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn,则f(x)展开式中各项系数之和为f(1),奇数项系数之和为a0+a2+a4+…=,偶数项系数之和为a1+a3+a5+…=.
拓展 已知(x2-x+1)5=a0+a1x+a2x2+…+a10x10.
(1)求a0+a1+a2+…+a10的值;
(2)求(a0+a2+a4+a6+a8+a10)2-(a1+a3+a5+a7+a9)2的值.
◆ 探究点二 系数的最大项问题
例2 已知二项式(1-x)8,求:
(1)展开式中二项式系数最大的项;
(2)展开式中系数最小的项.
变式 (1)[2024·重庆西南大学附中高二月考] 已知的展开式中仅第4项的二项式系数最大,则展开式中系数最大的项是 ( )
A.第2项 B.第3项
C.第4项 D.第5项
(2)已知的展开式中各二项式系数的和与各项系数之和均为128,求展开式中系数最大的项.
[素养小结]
(1)根据二项式系数的性质,当n为奇数时,中间两项的二项式系数最大;当n为偶数时,中间一项的二项式系数最大.
(2)求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的,需根据各项系数的正、负变化情况,一般采用列不等式(组),解不等式(组)的方法求解.一般地,如果第r+1项的系数最大,那么与之相邻两项(第r项、第r+2项)的系数均不大于第r+1项的系数,由此列不等式组可确定r的范围,再依据r∈N*来确定r的值,即可求出最大项.
拓展 已知二项式.
(1)若展开式中第5项、第6项、第7项的二项式系数成等差数列,求展开式中二项式系数最大项的系数;
(2)若展开式中前三项的二项式系数之和等于79,求展开式中系数最大的项.6.3.2 二项式系数的性质
一、选择题
1.在(a+b)n的展开式中,若各二项式系数的和为64,则n= ( )
A.4 B.5
C.6 D.7
2.已知(a+b)n的展开式中只有第5项的二项式系数最大,则n等于 ( )
A.11 B.10 C.9 D.8
3.(1+2x)n的展开式中的第6项与第7项的系数相等,则展开式中的二项式系数最大的项为 ( )
A.第5项 B.第6项或第7项
C.第6项 D.第7项
4.在的展开式中,若第3项与第9项的二项式系数相等,则所有项的系数之和为 ( )
A.212 B.312 C.310 D.210
5.已知(x2+a)的展开式中所有项的系数之和为192,则展开式中的常数项为 ( )
A.4 B.8 C.6 D.10
6.已知(x2+1)(2x-1)7=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+…+a9(x-1)9,则a2+a4+a6+a8= ( )
A.10 935 B.5546
C.5467 D.5465
7.[2024·浙江A9协作体高二期中] 已知f(x)=(1+x)5+(1+2x)n(n∈N*)的展开式中x的系数为11,则f(x)的展开式中x的偶次幂项的系数之和为 ( )
A.29 B.30 C.58 D.60
8.(多选题)[2024·福建泉州三校高二联考] 已知的展开式中各二项式系数的和为64,则下列结论正确的是 ( )
A.展开式中的各项系数之和为36
B.展开式中二项式系数最大的项为160
C.展开式中无常数项
D.展开式中系数最大的项为90x3
9.(多选题)[2024·重庆巴蜀中学高二期中] 已知(3-2x)6=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6,则 ( )
A.a0=729
B.a3>a2
C.a0+a2+a4+a6=
D.26a0+25a1+24a2+23a3+22a4+2a5+a6=4096
二、填空题
10.二项式(2x+1)6的展开式中,最大的二项式系数为 .
11.已知(1+λx)n的展开式中第3项的二项式系数与第4项的二项式系数相等,且(1+λx)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn,若a1+a2+…+an=242,则实数λ= .
12.设(1-2x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,则a2= ,|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|= .
三、解答题
13.[2024·邯郸十校高二联考] 在的展开式中:
(1)系数的绝对值最大的项是第几项
(2)求二项式系数最大的项.
(3)求系数最大的项.
14.已知(x+2+m)9=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+…+a9(x+1)9,且(a0+a2+a4+a6+a8)2-(a1+a3+a5+a7+a9)2=39.
(1)求实数m的值;
(2)若m>0,求a1+2a2+3a3+…+9a9的值.
15.(多选题)(1+ax+by)n的展开式中不含x的项的系数的绝对值的和为243,不含y的项的系数的绝对值的和为32.若a,b均为有理数,则a,b的值可能为 ( )
A.a=1,b=2 B.a=-2,b=-1
C.a=-3,b=2 D.a=-1,b=-2
16.设m,n∈N*,f(x)=(1+x)m+(1+x)n.
(1)当m=n=5时,若f(x)=a5(1-x)5+a4(1-x)4+a3(1-x)3+a2(1-x)2+a1(1-x)+a0,求a0+a2+a4的值;
(2)若f(x)的展开式中x的系数是9,当m,n变化时,求x2的系数的最小值.
