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微突破 常见的排列组合问题解题策略
知识归纳
（1）解决排列与组合实际问题的基本原则（十六字方针）
分类相加，分步相乘；有序排列，无序组合.
（2）解决排列与组合实际问题的数学思想：
分类讨论与转化化归.
（3）排列与组合实际问题的11类常见经典题型：
①元素个数少或规律性较强的计数问题；
②投信或转化为投信的计数问题；
③排人或排数的计数问题；
④染色或转化为染色的计数问题；
⑤多面手的计数问题；
⑥含与不含的计数问题；
⑦至多或至少的计数问题；
⑧先选（组合）后排（排序）的计数问题；
⑨与几何有关的计数问题；
⑩分组分配的计数问题；
元素相同的计数问题.
（4）解决排列与组合实际问题的8种思路：
①元素个数少或规律性较强问题——列举法；
②相邻问题——捆绑法；
③相离问题——插空法；
④有序问题——缩倍法；
⑥混合问题——先组合后排序法；
⑦“小集团”问题——先整体后局部法；
⑧元素相同的问题——隔板法.
考点1 相邻问题捆绑法
例1 第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，本届亚
运会的吉祥物是一组名为“江南忆”的机器人，分别取名为“琮琮”“莲
莲”和“宸宸”，它们分别代表世界遗产良渚古城遗址、西湖和京杭大
运河.某同学买了6个不同的吉祥物，其中“琮琮”“莲莲”和“宸宸”各2
个，现将这6个吉祥物排成一排，且名称相同的2个吉祥物相邻，则
不同的排法种数为( )
A.48 B.24 C.12 D.6
√
[解析] 由题意，名称相同的2个吉祥物相邻，分别看成一个元素，共
有种排法，相邻元素内部再排，共有 种排法，故不同
的排法种数为 ，故选A.
［方法技巧］
题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排
列.使用捆绑法，然后进行排列，简单计算可得结果.
【变式训练】
1.3名学生和2名老师站成一排合影，则3名学生相邻的排法共有
( )
A.48种 B.36种 C.20种 D.24种
[解析] 3名学生相邻,故将3名学生捆绑看成一个整体，再与2名老师
进行全排列,则共有 （种）排法，故选B.
√
2.将3个1和2个0随机排成一行，则2个0相邻的排列方法有( )
A.3种 B.4种 C.5种 D.6种
[解析] 将2个0看成一个整体，插入到3个1所形成的4个空中的1个，
有4种插法，从而有4种排列的方法.故选B.
√
考点2 相离问题插空法
例2 电视台在电视剧开播前连续播放6个不同的广告，其中4个商业
广告和2个公益广告，现要求2个公益广告不能连续播放，则不同的
播放方式共有( )
A.种 B.种 C.种 D. 种
[解析] 先排4个商业广告，形成5个空，再将2个公益广告插入5个空
中，故不同的播放方式共有 种，故选A.
√
［方法技巧］
元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，
再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素所形成的空位.
【变式训练】
1.[2024·濮阳高二期末]某博物馆新增包括, 在内的8件文物，其中5
件是清朝的，3件是唐朝的，且, 都是清朝的.现将这些文物摆成一
排，要求, 必须相邻，但唐朝的文物不得相邻，则所有不同的摆法
种数为( )
A.1440 B.2160 C.2880 D.3050
√
[解析] 先摆5件清朝的，因为A,B必须相邻，所以有 （种）
摆法；
再摆3件唐朝的，因为唐朝的3件文物不得相邻，所以有 （种）
摆法.
由分步乘法计数原理得，所有不同的摆法种数为 .故选C.
2.，，，，，六人站成一排，满足，相邻，， 不相邻
的不同站法种数为_____.
144
[解析] 第一步，先捆绑，，有 （种）排法；
第二步，将捆绑的，作为一个整体，与，全排列，有 （种）
排法；
第三步，将，插入上面排列形成的4个空中，有 （种）排法.
根据分步乘法计数原理可得，不同站法的种数为 .
考点3 元素分析法（位置分析法）
例3 [2024·江西上饶高二期中]7个人站成两排，前排3人，后排4人，
其中甲、乙两人必须挨着站，甲、丙两人必须分开站，则不同的站
法共有( )
A.672种 B.864种 C.936种 D.1056种
√
[解析] 当甲站在每一排的两端时，有4种站法，此时乙的位置确定，
剩下的人随便站，共有 （种）站法；
当甲不站在每一排的两端时，有3种站法，此时乙和甲相邻有2个位置
可选，丙和甲不相邻有4个位置可选，剩下的人随便站，共有
（种）站法.
综上，不同的站法共有 （种）.故选D.
［方法技巧］
某个或几个元素要排在指定位置，可先排这个或几个元素，再排其
他的元素.
【变式训练】
1.6人排成一排照相，其中甲、乙两人必须排在中间两个位置，有
____种不同的排法.
48
[解析] 先将甲、乙两人排在中间的两个位置，有 （种）排法，
然后将剩下的4人排在剩余的4个位置，有
（种）排法，由分步乘法计数原理可知，共有 （种）不
同的排法.
2.五位同学站成一排合影，甲站在最右边，乙、丙相邻，则不同的站
法种数为____.
12
[解析] 由乙、丙相邻，将两人视为一个整体，可看作共四位同学，
又甲站在最右边，只有1种情况，所以不同的站法种数为
.
考点4 多排问题单排法
例4 6个不同的元素排成前后两排，每排3个元素，那么不同的排法
种数是( )
A.36 B.120 C.720 D.1440
[解析] 前后两排可看成一排的两段，因此本题可看成6个不同的元素
排成一排，共有 （种）排法，故选C.
［方法技巧］
把元素排成几排的问题可归结为一排考虑，再分段处理.
√
【变式训练】
8个不同的元素排成前后两排，每排4个元素，其中某2个元素要排在
前排，某1个元素排在后排，有多少种不同排法？
解：看成一排，某2个元素在前半段的4个位置中选2个排列，有 种
排法，某1个元素在后半段的4个位置中选1个排列，有 种排法，其
余5个元素任意排在剩余5个位置上，有 种排法，故共有
（种）排法.
考点5 定序问题缩倍法（等几率法）
例5 ，，，，五人并排站成一排，如果必须站在 的右边
（， 可以不相邻），那么不同的排法种数为 ____.
60
[解析] 将5人全排列有种排法，在的右边与在 的左边排法种
数相同，所以所求排法种数为 .
［方法技巧］
在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数
的方法.
【变式训练】
1.甲、乙、丙等6人排成一排，且甲、乙均在丙的同侧，则不同的排
法共有_____种.（用数字作答）
480
[解析] 甲、乙、丙等6人进行全排列共有（种）排法，
甲、乙、丙的排列为甲乙丙、甲丙乙、乙甲丙、乙丙甲、丙甲乙、
丙乙甲，共6种，其中甲、乙均在丙同侧的排列有4种，
所求不同的排法共有 （种）.
2.有6位同学排成一排准备拍照，拍照前加入了2位同学，如果要求他
们仍站成一排，同时原来6位同学的相对顺序保持不变，则共有____
种不同的站法.
56
[解析] 因为8位同学站成一排，原来6位同学的相对顺序保持不变，
所以共有 （种）不同的站法.
考点6 标号排位问题（不配对问题）
例6 将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格
填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有( )
A.6种 B.9种 C.11种 D.23种
[解析] 第一步，把1填入方格中，符合条件的有3种填法；
第二步，把被填入方格的对应数字填入其他三个方格，又有3种填法；
第三步，填余下的两个数字，只有1种填法.根据分步乘法计数原理，
共有 （种）填法，故选B.
√
［方法技巧］
把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，然后再排另
一个元素，如此继续下去，依次即可完成.
【变式训练】
1.四个人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人写
的贺年卡，则4张贺年卡不同的分配方式共有( )
A.6种 B.9种 C.11种 D.23种
√
[解析] 设四个人分别为甲、乙、丙、丁，各自写的贺年卡分别为
，，， .第一步，甲取其中一张，有3种方式.
第二步，假设甲取，则乙的取法可分两类：（1）乙取 ，则接下来
丙、丁取法都是唯一的；
（2）乙取或 （2种方式），不管哪一种情况，接下来丙、丁的取法
也都是唯一的.
根据分类加法计数原理和分步乘法计数原理知，共有
（种）分配方式.故选B.
2.编号为，，，， 的5个小球放在如图所示的5个盒子里，要
求每个盒子只能放1个小球，且球不能放在1，2号盒子里， 球必
须放在与 球相邻的盒子中，求不同放法的种数.
解：根据 球所放位置分三类：
（1）若球放在3号盒子内，则 球只能放在4号盒子
内，余下的3个盒子放，， 球，则根据分步乘法
计数原理得，此时有 （种）不同的放法；
（2）若球放在5号盒子内，则 球只能放在4号盒子内，
余下的3个盒子放，，球，则根据分步乘法计数
原理得，此时有 （种）不同的放法；
（3）若球放在4号盒子内，则 球可以放在2号、3号、5号盒子中的
任何一个，余下的3个盒子放，， 球，则根据分步乘法计数原理
得，此时有 （种）不同的放法.
综上所述，由分类加法计数原理得，不同的放法共有
（种）.
考点7 不同元素的分配问题（先分堆再分配）
例7 [2024·四川达州高二期中]有5名大四学生报名参加公开招聘考试，
总共有三个岗位，每人限报一个岗位，若这三个岗位都至少有1人报
考，则这5名大四学生不同的报考方法种数为( )
A.144 B.150 C.196 D.256
√
[解析] 若有两个岗位各有2名学生报考，一个岗位有1名学生报考，
则有 （种）报考方法；
若有两个岗位各有1名学生报考，一个岗位有3名学生报考，则有
（种）报考方法.
故不同的报考方法种数为 .故选B.
［方法技巧］
注意平均分堆的算法.
【变式训练】
1.甲、乙、丙、丁四位同学分别去甘肃省、江西省、北京市三个地方
调研，每个地方至少一个人去，且甲、乙两人不能去同一个地方，
则不同的安排方式有____种.
30
[解析] 将甲、乙、丙、丁四人分成三组且甲、乙两人不能分在同一
组的分法有（种），所以不同的安排方式有 （种）.
2.[2024·云南丽江高二期中] 现有6个孩子和3个不同的房间，让孩子
都进入房间.
（1）若每个房间进2个孩子，共有多少种不同的安排方法？
解：由题意知，共有 （种）不同的安排方法.
（2）若恰有1个房间没有孩子，共有多少种不同的安排方法？
解：由题意知，3个房间进入的孩子人数可分为以下三种情况：
①3个房间进入的孩子人数分别为1，5，0，此时有 （种）
安排方法；
②3个房间进入的孩子人数分别为2，4，0，此时有 （种）
安排方法；
③3个房间进入的孩子人数分别为3，3，0，此时有
（种）安排方法.
综上，共有 （种）不同的安排方法.
考点8 相同元素的分配问题（隔板法）
例8 把20个相同的球全部放入编号分别为1，2，3的三个盒子中，要
求每个盒子中球的个数不小于其编号，有多少种不同的放法？
解：向编号为1，2，3的三个盒子中分别放入0，1，2个球后还余下
17个球，再把这17个球分成3份，每份至少1个球，运用隔板法，共
有 （种）不同的放法.
［方法技巧］
运用“隔板法”必须同时满足三个条件才可以：①题目中要分的元素
没有任何差别，必须完全相同；②所分的元素要求全部分完，不许
存在剩余的情况；③每个人都必须分到一个元素，不可以出现分不
到的情况.
【变式训练】
1.[2024·江苏淮安高二期末] 关于,,的方程
（其中,,，且,, ）的解共有____组.
（用数字作答）
36
[解析] 由,,，且,,，得, ，
等价于 ，即可将10看成10
个1之和，将10个1分为三组，每一组至少有一个1，即在10个1中间
插入两个隔板，所以符合题意的解共有 （组）.
2.将除颜色外完全相同的4个白球、5个黑球、6个红球放入四个不同
的盒子中，使得有一个空盒且其他盒子中球的颜色齐全的不同放法
有多少种？
解：第一步：先从四个盒子中选三个放球，有 种方法.
第二步：因为球除颜色外都是相同的，所以我们可以采用隔板法.为
了保证三个盒子中球的颜色齐全，可以在4个白球、5个黑球、6个红
球所产生的3个、4个、5个空位中分别插入两个隔板，各有， ，
种方法.
由分步乘法计数原理可得，共有 （种）不同放法.
考点9 染色问题
例9 如图，花坛中有5个区域，现有4种不同颜色的花卉可供选择，
要求相同颜色的花不能相邻栽种，则符合条件的种植方案有____种.
72
[解析] 如图，假设5个区域分别为1，2，3，4，5，分
两种情况讨论：①当选用3种颜色的花卉时，2，4同色
且3，5同色，种植方案共有 （种）；
②当4种不同颜色的花卉全选时，即2，4或3，5用同一种颜
色，种植方案共有 （种）.故符合条件的种植方案共有
（种）.
［方法技巧］
涂色问题的常用方法有：（1）可根据共用了多少种颜色分类讨论;
（2）根据相对区域是否同色分类讨论;
（3）将空间问题平面化，转化成平面区域涂色问题.
【变式训练】
1.用4种不同颜色给如图所示的地图上色，要求相邻
两块涂不同的颜色，则不同的涂色方法共有( )
A.24种 B.36种 C.48种 D.72种
[解析] 对于①②③，两两相邻，依次用不同颜色涂，共有
（种）涂色方法，对于④，与②③相邻，但与①相隔，
此时可用剩下的一种颜色或者与①同色，共2种涂色方法，则由分步
乘法计数原理得，共有 （种）不同的涂色方法.故选C.
√
2.[2024·黑龙江哈尔滨高二期中]如图，给，，，，， 六个
点涂色，现有五种不同的颜色可供选用，要求每个点涂一种颜色，
且每条线段的两个端点涂不同的颜色，则不同的涂色方法共有
( )
A.1440种 B.1920种 C.2160种 D.3360种
√
[解析] 根据题意，先涂A，B，C，再涂D，， ，
分为以下三种情况：①五种颜色都用上，先涂A，B，
C，有种方法，再涂D，，中的两个点，有 种
方法，最后剩余的一个点只有2种涂法，故此时共有
（种）方法；
②五种颜色只用四种，选出四种颜色，有种方法，先涂A，B，C，
有种方法，再涂D，， 中的1个点， 有3种方法，最后剩余的两个点
只有3种涂法，故此时共有 （种）方法；
③五种颜色只用三种，选出三种颜色，有种方法，
先涂A，B,C，有 种方法，再涂D，，，有2种方法，
故此时共有 （种）方法.
综上可得，不同的涂色方法共有 （种）.
练习册
一、选择题
1.某值日小组共有5名同学，假设任意安排3名同学负责教室内的地面
卫生，其余2名同学负责教室外的走廊卫生，那么不同的安排方式种
数是( )
A.10 B.20 C.60 D.100
[解析] 从5人中选取3人负责教室内的地面卫生，剩余2人负责教室外
的走廊卫生，共有 （种）安排方式.故选A.
√
2.北京大兴国际机场拥有世界上最
大的单一航站楼，并拥有机器人自
动泊车系统，解决了停车满、找车
A.120种 B.240种 C.480种 D.960种
[解析] 从8个车位里选择5个相邻的车位，共有4种方式.将5辆车相邻
停放，有（种）方式，则不同的泊车方案有
（种）.故选C.
难的问题.现有5辆车停放在8个并排的泊车位上，要求停放的车辆相邻，
箭头表示车头朝向（如图），则不同的泊车方案有( )
√
3.现从4名男生和3名女生中，任选3名男生和2名女生，分别担任5门
不同学科的课代表，则不同安排方法的种数是( )
A.12 B.120 C.1440 D.17 280
[解析] 首先从4名男生和3名女生中，任选3名男生和2名女生，共有
种情况，再分别担任5门不同学科的课代表，共有 种情况，所
以共有 （种）不同安排方法.故选C.
√
4.[2024·湖南新高考教学联盟高二联考]一对夫妻带着三个孩子和一
位老人手拉着手围成一圈跳舞，则三个孩子均不相邻的站法种数是
( )
A.6 B.12 C.18 D.36
[解析] 先让三个大人围成一圈，有 种站法，再将三个孩子插入三
个大人之间的空隙中，有 种站法，所以符合题意的站法种数是
.故选B.
√
5.用0，3，5，7，9组成的无重复数字的五位数中，个位上的数字比
十位上的数字大的五位数的个数为( )
A.48 B.96 C.60 D.120
[解析] 万位上的数字不能为0，先排万位，再排其他数位，则用0，3，
5，7，9组成的无重复数字的五位数的个数为 ，所以个位
上的数字比十位上的数字大的五位数的个数为 .故选A.
√
6.将字母,,,,, 排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列
的字母也互不相同，则不同的排列方法共有( )
A.12种 B.18种 C.24种 D.36种
[解析] 先排第一列,因为每列的字母互不相同,所以共有 种不
同的排法;
再排第二列,其中第二列第一行的字母共有2种不同的排法,第二列第二、
三行的字母只有1种排法.因此共有 （种）不同的排法.
故选A.
√
7.为推动校园体育建设，落实青少年体育发展促进工程，某中学举行
了春季趣味运动会，某班派出甲、乙等8名学生参加 米接力
赛，其中甲只能跑第1棒或第8棒，乙只能跑第7棒或第8棒，那么不
同棒次安排方案种数为( )
A.720 B.1440 C.2160 D.2880
[解析] 当甲跑第8棒时，乙只能跑第7棒，其余6人跑其余棒，共有
（种）安排方案；
当甲跑第1棒时，先安排乙，有2种方法，再安排其余6人，有
（种）方法，共有 （种）安排方案.
根据分类加法计数原理可知，共有 （种）安排方案.故选C.
√
8.某马拉松比赛结束后，5男3女共8位运动员相约在赛道旁站成前后
两排合影，每排各4人，若男运动员中恰有2人相邻（其余3人均不相
邻），则不同的排列方法共有( )
A.732种 B.2260种 C.4320种 D.8640种
√
[解析] 根据题意，只能一排3男1女，另一排2男2女，且相邻的2位男
运动员在“3男1女”这一排中.
先确定“3男1女”这一排，5男选3人，3女选1人，所选3男选2人相邻，
与余下的1男安排在1女的两侧，排列方法有 （种）；
再确定“2男2女”这一排，先排好2男，有种方法，再将2女相邻安排
在2男之间，有 种方法，或将2女分开安排在2男成排的两空，
有 种方法，排列方法有 （种）.
所以不同的排列方法共有 （种）.故选D.
9.（多选题）已知正方体 ，下列说法正确的是( )
A.正方体的12条棱所在的直线中，相互异面的有24对
B.从正方体的8个顶点中选4个作为四面体的顶点，可得到64个不同
的四面体
C.从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为
的共有36对
D.若给正方体每个面涂一种颜色且相邻两个面不同色，有4种颜色可
供选择，则不同涂色方法共有96种
√
√
[解析] 先找出与棱所在直线异面的直线，，， ，
共4条， 相互异面的共有 （对），故A正确；
从8个顶点中选4个顶点的组合数为 ，由正方体的6个面和6个对
角面可知四点共面的情况有12种， 可得到 （个）不
同的四面体，故B错误；
与面对角线所成的角为 的面对角线有，，，，
，，， ，共8条， 所有面对角线中所成的角为
的共有 （对），故C错误；
当用3种颜色时，所有相对面颜色相同，有
（种）涂色方法，当用4种颜色时，有2组对面颜色相同，有
（种）涂色方法， 共有 （种）涂色方法，
故D正确.故选 .
二、填空题
10.有编号为1，2，3， ，的 个学生，入坐编号为1，2，3，
，的 个座位，每个学生规定坐一个座位，设学生所坐的座位号
与该生的编号不同的学生人数为，已知当 时，共有6种坐法，
则 的值为___.
4
[解析] 因为当时，有种坐法，所以，即 ，
解得或（舍去），故 .
11.把白菜、萝卜、西红柿、土豆及黄瓜五种不同的蔬菜放到三个不
同的菜篮子中，每个菜篮子至少放一种且最多放两种蔬菜，则不同
的放法种数为____.（用数字作答）
90
[解析] 由题意得，每个菜篮子所放的蔬菜种数分别为1,2,2，故不同
的放法种数为 .
12.在数学中，有一个被称为自然常数（又叫欧拉数）的常数
.小明在设置银行卡的数字密码时，打算将自然常数的
前6位数字2，7，1，8，2，8进行某种排列得到密码.如果排列时要求
2不排第一位，两个8相邻，那么小明可以设置的不同的密码个数为
____.
36
[解析] 根据题意，分2种情况讨论： 排在第一位，则第二个数字
也是8，再从剩下的4个位置中选出2个，安排两个2，最后安排7和1，
此时有（个）不同的密码；
不排在第一位，则第一位安排7或1，将两个8看成一个整体，
与两个2和7或1中剩下的数排列，此时有（个）不同的密码.
则一共有 （个）不同的密码.
13.某市举行乡村振兴汇报会，六个获奖单位的负责人甲、乙、丙等
六人分别上台发言，其中负责人甲、乙发言顺序必须相邻，且甲、
乙都在丙的前面发言，则共有_____种不同的安排方法.
120
[解析] 方法一：根据丙所在的位置进行分类：当丙在第三个位置发
言时，前两个位置，甲、乙要相邻，捆绑后，捆绑元素有1种安排方
法，所以共有 （种）不同的安排方法；
当丙在第四个位置发言时，前三个位置，甲、乙要相邻，捆绑后，
捆绑元素有2种安排方法，所以共有 （种）不同的安排方法；
当丙在第五个位置发言时，前四个位置，甲、乙要相邻，捆绑后，
捆绑元素有3种安排方法，所以共有 （种）不同的安排方法；
当丙在第六个位置发言时，前五个位置，甲、乙要相邻，捆绑后，
捆绑元素有4种安排方法，所以共有 （种）不同的安排
方法.综上，共有 （种）不同的安排方法.
方法二：负责人甲、乙发言顺序必须相邻，把甲、乙排序后看作一
个整体与其余4人全排列，有 种安排方法，再考虑他们与丙的顺
序固定，故共有 （种）不同的安排方法.
三、解答题
14.（1）设有6个相同的小球，放入3个不同的盒子里，每个盒子至少
有1个小球，有多少种不同的放法？
解：利用隔板法，由题可知使每个盒子至少有1个小球的放法有
（种）.
（2）设有6个不同的小球，放入3个不同的盒子里，盒子不允许为空，
有多少种不同的放法？
解：分成三类：2，2，2；4，1，1；1，2，3.先分组再排列，当分组
为2，2，2时，有 （种）放法；
当分组为4，1，1时，有 （种）放法；
当分组为1，2，3时，有（种）放法.
故共有 （种）不同的放法.
15.3男4女共7名同学站成一排照相留念.
（1）女生必须站在一起的站队方式有多少种？
解：女生必须站在一起的站队方式有 （种）.
（2）男生甲不与其他男生相邻的站队方式有多少种？
解：男生甲不与其他男生相邻的站队方式可分为以下两种情况：
①甲站在两端，有 （种）站队方式；
②甲不站在两端，先选出2名女生站在甲两边，共有
（种）方法，再把这3人看成一个整体，和剩下的4名同学全排列，
所以有 （种）站队方式.
故男生甲不与其他男生相邻的站队方式有 （种）.
（3）现在要求这7名同学分成三个宣讲小组分别去给高一、高二、
高三三个年级的同学做学习成果汇报，要求每个小组必须既有男生
又有女生，共有多少种不同的安排方法？
解：先将4名女生分成三组，有 （种）方法，
再将三组女生分到三个年级，有 （种）方法，
最后将3名男生分到三个年级，有 （种）方法，
故共有 （种）不同的安排方法.
16.[2024·河北邢台高二期中] 如图，某心形花坛中有
，，，， 共5个区域，每个区域只种植一种颜色
的花.
（1）要把5种不同颜色的花种植到这5个区域中，每种
颜色的花都必须种植，共有多少种不同的种植方案？
解：由题意可得，共有 （种）不同的种植方案.
（2）要把4种不同颜色的花种植到这5个区域中，每种
颜色的花都必须种植，共有多少种不同的种植方案？
解：根据题意，可分为以下两步：第一步，从5个区域
中选出2个区域种植相同颜色的花，有 （种）
种植方案；
第二步，将剩余的3种颜色的花种植到剩下的3个区域，有 （种）
种植方案.
根据分步乘法计数原理，共有 （种）不同的种植方案.
（3）要把红、黄、蓝、白4种不同颜色的花种植到这5个区域中，每种
颜色的花都必须种植，要求相同颜色的花不能相邻种植，且有两个相
邻的区域种植红、黄2种不同颜色的花，共有多少种不同的种植方案？
解：要把4种不同颜色的花分别种植到这5个区域中，
则必然有2个区域种植相同颜色的花，可分为以下四类：
第一类，区域种植红色的花，,,, 个区域中有2
个区域种植其他相同颜色的花，则相同颜色的花必然
种植在,或,区域，有 （种）种植方案；
第二类，区域种植黄色的花，同理可得，有
（种）种植方案；
第三类， 区域种植蓝色的花，若有2个区域种植白色
的花，则没有两个相邻的区域种植红、黄2种不同颜色的花，
所以不可能有2个区域种植白色的花，故2个区域种植的相同颜色的花
是红色或黄色的花，有 （种）种植方案；
第四类， 区域种植白色的花，同理可得，有
（种）种植方案.
根据分类加法计数原理，共有 （种）
不同的种植方案.微突破 常见的排列组合问题解题策略
【基本题型】
例1 A [解析] 由题意,名称相同的2个吉祥物相邻,分别看成一个元素,共有种排法,相邻元素内部再排,共有··种排法,故不同的排法种数为···=48,故选A.
【变式训练】
1.B [解析] 3名学生相邻,故将3名学生捆绑看成一个整体,再与2名老师进行全排列,则共有=36(种)排法,故选B.
2.B [解析] 将2个0看成一个整体,插入到3个1所形成的4个空中的1个,有4种插法,从而有4种排列的方法.故选B.
例2 A [解析] 先排4个商业广告,形成5个空,再将2个公益广告插入5个空中,故不同的播放方式共有种,故选A.
【变式训练】
1.C [解析] 先摆5件清朝的,因为A,B必须相邻,所以有=48(种)摆法;再摆3件唐朝的,因为唐朝的3件文物不得相邻,所以有=60(种)摆法.由分步乘法计数原理得,所有不同的摆法种数为48×60=2880.故选C.
2.144 [解析] 第一步,先捆绑A,B,有=2(种)排法;第二步,将捆绑的A,B作为一个整体,与E,F全排列,有=6(种)排法;第三步,将C,D插入上面排列形成的4个空中,有=12(种)排法.根据分步乘法计数原理可得,不同站法的种数为2×6×12=144.
例3 D [解析] 当甲站在每一排的两端时,有4种站法,此时乙的位置确定,剩下的人随便站,共有4=480(种)站法;当甲不站在每一排的两端时,有3种站法,此时乙和甲相邻有2个位置可选,丙和甲不相邻有4个位置可选,剩下的人随便站,共有3×2×4=576(种)站法.综上,不同的站法共有480+576=1056(种).故选D.
【变式训练】
1.48 [解析] 先将甲、乙两人排在中间的两个位置,有=2(种)排法,然后将剩下的4人排在剩余的4个位置,有=4×3×2×1=24(种)排法,由分步乘法计数原理可知,共有2×24=48(种)不同的排法.
2.12 [解析] 由乙、丙相邻,将两人视为一个整体,可看作共四位同学,又甲站在最右边,只有1种情况,所以不同的站法种数为1××=12.
例4 C [解析] 前后两排可看成一排的两段,因此本题可看成6个不同的元素排成一排,共有=720(种)排法,故选C.
【变式训练】
解:看成一排,某2个元素在前半段的4个位置中选2个排列,有种排法,某1个元素在后半段的4个位置中选1个排列,有种排法,其余5个元素任意排在剩余5个位置上,有种排法,故共有=5760(种)排法.
例5 60 [解析] 将5人全排列有种排法,B在A的右边与B在A的左边排法种数相同,所以所求排法种数为=60.
【变式训练】
1.480 [解析] 甲、乙、丙等6人进行全排列共有=720(种)排法,∵甲、乙、丙的排列为甲乙丙、甲丙乙、乙甲丙、乙丙甲、丙甲乙、丙乙甲,共6种,其中甲、乙均在丙同侧的排列有4种,∴所求不同的排法共有×720=480(种).
2.56 [解析] 因为8位同学站成一排,原来6位同学的相对顺序保持不变,所以共有=7×8=56(种)不同的站法.
例6 B [解析] 第一步,把1填入方格中,符合条件的有3种填法;第二步,把被填入方格的对应数字填入其他三个方格,又有3种填法;第三步,填余下的两个数字,只有1种填法.根据分步乘法计数原理,共有3×3×1=9(种)填法,故选B.
【变式训练】
1.B [解析] 设四个人分别为甲、乙、丙、丁,各自写的贺年卡分别为a,b,c,d.第一步,甲取其中一张,有3种方式.第二步,假设甲取b,则乙的取法可分两类:(1)乙取a,则接下来丙、丁取法都是唯一的;(2)乙取c或d(2种方式),不管哪一种情况,接下来丙、丁的取法也都是唯一的.根据分类加法计数原理和分步乘法计数原理知,共有3×(1+2)=9(种)分配方式.故选B.
2.解:根据A球所放位置分三类:
(1)若A球放在3号盒子内,则B球只能放在4号盒子内,余下的3个盒子放C,D,E球,则根据分步乘法计数原理得,此时有=6(种)不同的放法;
(2)若A球放在5号盒子内,则B球只能放在4号盒子内,余下的3个盒子放C,D,E球,则根据分步乘法计数原理得,此时有=6(种)不同的放法;
(3)若A球放在4号盒子内,则B球可以放在2号、3号、5号盒子中的任何一个,余下的3个盒子放C,D,E球,则根据分步乘法计数原理得,此时有=18(种)不同的放法.
综上所述,由分类加法计数原理得,不同的放法共有6+6+18=30(种).
例7 B [解析] 若有两个岗位各有2名学生报考,一个岗位有1名学生报考,则有·=90(种)报考方法;若有两个岗位各有1名学生报考,一个岗位有3名学生报考,则有·=60(种)报考方法.故不同的报考方法种数为90+60=150.故选B.
【变式训练】
1.30 [解析] 将甲、乙、丙、丁四人分成三组且甲、乙两人不能分在同一组的分法有+2=5(种),所以不同的安排方式有5=30(种).
2.解:(1)由题意知,共有·=90(种)不同的安排方法.
(2)由题意知,3个房间进入的孩子人数可分为以下三种情况:
①3个房间进入的孩子人数分别为1,5,0,此时有=36(种)安排方法;
②3个房间进入的孩子人数分别为2,4,0,此时有=90(种)安排方法;
③3个房间进入的孩子人数分别为3,3,0,此时有·=60(种)安排方法.
综上,共有36+90+60=186(种)不同的安排方法.
例8 解:向编号为1,2,3的三个盒子中分别放入0,1,2个球后还余下17个球,再把这17个球分成3份,每份至少1个球,运用隔板法,共有=120(种)不同的放法.
【变式训练】
1.36 [解析] 由x,y,z∈N,且x≥1,y≥2,z≥3,得y-1≥1,z-2≥1,x+y+z=13等价于x+(y-1)+(z-2)=10,即可将10看成10个1之和,将10个1分为三组,每一组至少有一个1,即在10个1中间插入两个隔板,所以符合题意的解共有=36(组).
2.解:第一步:先从四个盒子中选三个放球,有种方法.
第二步:因为球除颜色外都是相同的,所以我们可以采用隔板法.为了保证三个盒子中球的颜色齐全,可以在4个白球、5个黑球、6个红球所产生的3个、4个、5个空位中分别插入两个隔板,各有,,种方法.
由分步乘法计数原理可得,共有=720(种)不同放法.
例9 72 [解析] 如图,假设5个区域分别为1,2,3,4,5,分两种情况讨论:①当选用3种颜色的花卉时,2,4同色且3,5同色,种植方案共有·=24(种);②当4种不同颜色的花卉全选时,即2,4或3,5用同一种颜色,种植方案共有·=48(种).故符合条件的种植方案共有24+48=72(种).
【变式训练】
1.C [解析] 对于①②③,两两相邻,依次用不同颜色涂,共有4×3×2=24(种)涂色方法,对于④,与②③相邻,但与①相隔,此时可用剩下的一种颜色或者与①同色,共2种涂色方法,则由分步乘法计数原理得,共有24×2=48(种)不同的涂色方法.故选C.
2.B [解析] 根据题意,先涂A,B,C,再涂D,E,F,分为以下三种情况:①五种颜色都用上,先涂A,B,C,有种方法,再涂D,E,F中的两个点,有种方法,最后剩余的一个点只有2种涂法,故此时共有×2=720(种)方法;②五种颜色只用四种,选出四种颜色,有种方法,先涂A,B,C,有种方法,再涂D,E,F中的1个点,有3种方法,最后剩余的两个点只有3种涂法,故此时共有×3×3=1080(种)方法;③五种颜色只用三种,选出三种颜色,有种方法,先涂A,B,C,有种方法,再涂D,E,F,有2种方法,故此时共有×2=120(种)方法.综上可得,不同的涂色方法共有720+1080+120=1920(种).微突破 常见的排列组合问题解题策略
1.A [解析] 从5人中选取3人负责教室内的地面卫生,剩余2人负责教室外的走廊卫生,共有=10(种)安排方式.故选A.
2.C [解析] 从8个车位里选择5个相邻的车位,共有4种方式.将5辆车相邻停放,有=120(种)方式,则不同的泊车方案有4×120=480(种).故选C.
3.C [解析] 首先从4名男生和3名女生中,任选3名男生和2名女生,共有种情况,再分别担任5门不同学科的课代表,共有种情况,所以共有=1440(种)不同安排方法.故选C.
4.B [解析] 先让三个大人围成一圈,有种站法,再将三个孩子插入三个大人之间的空隙中,有种站法,所以符合题意的站法种数是=12.故选B.
5.A [解析] 万位上的数字不能为0,先排万位,再排其他数位,则用0,3,5,7,9组成的无重复数字的五位数的个数为=96,所以个位上的数字比十位上的数字大的五位数的个数为=48.故选A.
6.A [解析] 先排第一列,因为每列的字母互不相同,所以共有3×2×1种不同的排法;再排第二列,其中第二列第一行的字母共有2种不同的排法,第二列第二、三行的字母只有1种排法.因此共有3×2×1×2=12(种)不同的排法.故选A.
7.C [解析] 当甲跑第8棒时,乙只能跑第7棒,其余6人跑其余棒,共有=720(种)安排方案;当甲跑第1棒时,先安排乙,有2种方法,再安排其余6人,有=720(种)方法,共有2·=1440(种)安排方案.根据分类加法计数原理可知,共有720+1440=2160(种)安排方案.故选C.
8.D [解析] 根据题意,只能一排3男1女,另一排2男2女,且相邻的2位男运动员在“3男1女”这一排中.先确定“3男1女”这一排,5男选3人,3女选1人,所选3男选2人相邻,与余下的1男安排在1女的两侧,排列方法有=360(种);再确定“2男2女”这一排,先排好2男,有种方法,再将2女相邻安排在2男之间,有1×种方法,或将2女分开安排在2男成排的两空,有2×种方法,排列方法有(1×+2×)=12(种).所以不同的排列方法共有2×360×12=8640(种).故选D.
9.AD [解析] 先找出与棱AB所在直线异面的直线DD1,CC1,A1D1,B1C1,共4条,∴相互异面的共有12×4÷2=24(对),故A正确;从8个顶点中选4个顶点的组合数为=70,由正方体的6个面和6个对角面可知四点共面的情况有12种,∴可得到70-12=58(个)不同的四面体,故B错误;与面对角线A1B所成的角为60°的面对角线有A1C1,AC,BC1,AD1,B1C,A1D,BD,B1D1,共8条,∴所有面对角线中所成的角为60°的共有12×8÷2=48(对),故C错误;当用3种颜色时,所有相对面颜色相同,有=24(种)涂色方法,当用4种颜色时,有2组对面颜色相同,有=72(种)涂色方法,∴共有24+72=96(种)涂色方法,故D正确.故选AD.
10.4 [解析] 因为当X=2时,有种坐法,所以=6,即=6,解得n=4或n=-3(舍去),故n=4.
11.90 [解析] 由题意得,每个菜篮子所放的蔬菜种数分别为1,2,2,故不同的放法种数为=90.
12.36 [解析] 根据题意,分2种情况讨论:①8排在第一位,则第二个数字也是8,再从剩下的4个位置中选出2个,安排两个2,最后安排7和1,此时有·=12(个)不同的密码;②8不排在第一位,则第一位安排7或1,将两个8看成一个整体,与两个2和7或1中剩下的数排列,此时有·=24(个)不同的密码.则一共有12+24=36(个)不同的密码.
13.120 [解析] 方法一:根据丙所在的位置进行分类:当丙在第三个位置发言时,前两个位置,甲、乙要相邻,捆绑后,捆绑元素有1种安排方法,所以共有=12(种)不同的安排方法;当丙在第四个位置发言时,前三个位置,甲、乙要相邻,捆绑后,捆绑元素有2种安排方法,所以共有=24(种)不同的安排方法;当丙在第五个位置发言时,前四个位置,甲、乙要相邻,捆绑后,捆绑元素有3种安排方法,所以共有=36(种)不同的安排方法;当丙在第六个位置发言时,前五个位置,甲、乙要相邻,捆绑后,捆绑元素有4种安排方法,所以共有=48(种)不同的安排方法.综上,共有12+24+36+48=120(种)不同的安排方法.
方法二:负责人甲、乙发言顺序必须相邻,把甲、乙排序后看作一个整体与其余4人全排列,有种安排方法,再考虑他们与丙的顺序固定,故共有=120(种)不同的安排方法.
14.解:(1)利用隔板法,由题可知使每个盒子至少有1个小球的放法有=10(种).
(2)分成三类:2,2,2;4,1,1;1,2,3.先分组再排列,当分组为2,2,2时,有·=90(种)放法;当分组为4,1,1时,有··=90(种)放法;当分组为1,2,3时,有···=360(种)放法.故共有90+90+360=540(种)不同的放法.
15.解:(1)女生必须站在一起的站队方式有·=576(种).
(2)男生甲不与其他男生相邻的站队方式可分为以下两种情况:
①甲站在两端,有2·=960(种)站队方式;
②甲不站在两端,先选出2名女生站在甲两边,共有·=12(种)方法,再把这3人看成一个整体,和剩下的4名同学全排列,所以有12=1440(种)站队方式.
故男生甲不与其他男生相邻的站队方式有960+1440=2400(种).
(3)先将4名女生分成三组,有=6(种)方法,
再将三组女生分到三个年级,有=6(种)方法,
最后将3名男生分到三个年级,有=6(种)方法,
故共有6×6×6=216(种)不同的安排方法.
16.解:(1)由题意可得,共有=120(种)不同的种植方案.
(2)根据题意,可分为以下两步:第一步,从5个区域中选出2个区域种植相同颜色的花,有=40(种)种植方案;
第二步,将剩余的3种颜色的花种植到剩下的3个区域,有=6(种)种植方案.
根据分步乘法计数原理,共有40×6=240(种)不同的种植方案.
(3)要把4种不同颜色的花分别种植到这5个区域中,则必然有2个区域种植相同颜色的花,可分为以下四类:
第一类,E区域种植红色的花,A,B,C,D4个区域中有2个区域种植其他相同颜色的花,则相同颜色的花必然种植在A,D或B,C区域,有1×=12(种)种植方案;
第二类,E区域种植黄色的花,同理可得,有1×=12(种)种植方案;
第三类,E区域种植蓝色的花,若有2个区域种植白色的花,
则没有两个相邻的区域种植红、黄2种不同颜色的花,所以不可能有2个区域种植白色的花,故2个区域种植的相同颜色的花是红色或黄色的花,有1×=8(种)种植方案;
第四类,E区域种植白色的花,同理可得,有1×=8(种)种植方案.
根据分类加法计数原理,共有12×2+8×2=40(种)不同的种植方案.微突破 常见的排列组合问题解题策略
知识归纳
(1)解决排列与组合实际问题的基本原则(十六字方针):
分类相加,分步相乘;有序排列,无序组合.
(2)解决排列与组合实际问题的数学思想:
分类讨论与转化化归.
(3)排列与组合实际问题的11类常见经典题型:
①元素个数少或规律性较强的计数问题;
②投信或转化为投信的计数问题;
③排人或排数的计数问题;
④染色或转化为染色的计数问题;
⑤多面手的计数问题;
⑥含与不含的计数问题;
⑦至多或至少的计数问题;
⑧先选(组合)后排(排序)的计数问题;
⑨与几何有关的计数问题;
⑩分组分配的计数问题;
元素相同的计数问题.
(4)解决排列与组合实际问题的8种思路:
①元素个数少或规律性较强问题——列举法;
②相邻问题——捆绑法;
③相离问题——插空法;
④有序问题——缩倍法;
⑤——分类或除杂法;
⑥混合问题——先组合后排序法;
⑦“小集团”问题——先整体后局部法;
⑧元素相同的问题——隔板法.
考点1 相邻问题捆绑法
例1 第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在杭州举行,本届亚运会的吉祥物是一组名为“江南忆”的机器人,分别取名为“琮琮”“莲莲”和“宸宸”,它们分别代表世界遗产良渚古城遗址、西湖和京杭大运河.某同学买了6个不同的吉祥物,其中“琮琮”“莲莲”和“宸宸”各2个,现将这6个吉祥物排成一排,且名称相同的2个吉祥物相邻,则不同的排法种数为 ( )
A.48 B.24 C.12 D.6
[方法技巧]
题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组,当作一个大元素参与排列.使用捆绑法,然后进行排列,简单计算可得结果.
【变式训练】
1.3名学生和2名老师站成一排合影,则3名学生相邻的排法共有 ( )
A.48种 B.36种
C.20种 D.24种
2.将3个1和2个0随机排成一行,则2个0相邻的排列方法有 ( )
A.3种 B.4种 C.5种 D.6种
考点2 相离问题插空法
例2 电视台在电视剧开播前连续播放6个不同的广告,其中4个商业广告和2个公益广告,现要求2个公益广告不能连续播放,则不同的播放方式共有 ( )
A.种 B.种
C.种 D.种
[方法技巧]
元素相离(即不相邻)问题,可先把无位置要求的几个元素全排列,再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素所形成的空位.
【变式训练】
1.[2024·濮阳高二期末] 某博物馆新增包括A,B在内的8件文物,其中5件是清朝的,3件是唐朝的,且A,B都是清朝的.现将这些文物摆成一排,要求A,B必须相邻,但唐朝的文物不得相邻,则所有不同的摆法种数为 ( )
A.1440 B.2160
C.2880 D.3050
2.A,B,C,D,E,F六人站成一排,满足A,B相邻,C,D不相邻的不同站法种数为 .
考点3 元素分析法(位置分析法)
例3 [2024·江西上饶高二期中] 7个人站成两排,前排3人,后排4人,其中甲、乙两人必须挨着站,甲、丙两人必须分开站,则不同的站法共有 ( )
A.672种 B.864种
C.936种 D.1056种
[方法技巧]
某个或几个元素要排在指定位置,可先排这个或几个元素,再排其他的元素.
【变式训练】
1. 6人排成一排照相,其中甲、乙两人必须排在中间两个位置,有 种不同的排法.
2.五位同学站成一排合影,甲站在最右边,乙、丙相邻,则不同的站法种数为 .
考点4 多排问题单排法
例4 6个不同的元素排成前后两排,每排3个元素,那么不同的排法种数是 ( )
A.36 B.120 C.720 D.1440
[方法技巧]
把元素排成几排的问题可归结为一排考虑,再分段处理.
【变式训练】
8个不同的元素排成前后两排,每排4个元素,其中某2个元素要排在前排,某1个元素排在后排,有多少种不同排法
考点5 定序问题缩倍法(等几率法)
例5 A,B,C,D,E五人并排站成一排,如果B必须站在A的右边(A,B可以不相邻),那么不同的排法种数为 .
[方法技巧]
在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序,可用缩小倍数的方法.
【变式训练】
1.甲、乙、丙等6人排成一排,且甲、乙均在丙的同侧,则不同的排法共有 种.(用数字作答)
2.有6位同学排成一排准备拍照,拍照前加入了2位同学,如果要求他们仍站成一排,同时原来6位同学的相对顺序保持不变,则共有 种不同的站法.
考点6 标号排位问题(不配对问题)
例6 将数字1,2,3,4填入标号为1,2,3,4的四个方格里,每格填一个数,则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有 ( )
A.6种 B.9种 C.11种 D.23种
[方法技巧]
把元素排到指定位置上,可先把某个元素按规定排入,然后再排另一个元素,如此继续下去,依次即可完成.
【变式训练】
1.四个人各写一张贺年卡,先集中起来,然后每人从中拿一张别人写的贺年卡,则4张贺年卡不同的分配方式共有 ( )
A.6种 B.9种 C.11种 D.23种
2.编号为A,B,C,D,E的5个小球放在如图所示的5个盒子里,要求每个盒子只能放1个小球,且A球不能放在1,2号盒子里,B球必须放在与A球相邻的盒子中,求不同放法的种数.
考点7 不同元素的分配问题(先分堆再分配)
例7 [2024·四川达州高二期中] 有5名大四学生报名参加公开招聘考试,总共有三个岗位,每人限报一个岗位,若这三个岗位都至少有1人报考,则这5名大四学生不同的报考方法种数为 ( )
A.144 B.150
C.196 D.256
[方法技巧]
注意平均分堆的算法.
【变式训练】
1.甲、乙、丙、丁四位同学分别去甘肃省、江西省、北京市三个地方调研,每个地方至少一个人去,且甲、乙两人不能去同一个地方,则不同的安排方式有 种.
2.[2024·云南丽江高二期中] 现有6个孩子和3个不同的房间,让孩子都进入房间.
(1)若每个房间进2个孩子,共有多少种不同的安排方法
(2)若恰有1个房间没有孩子,共有多少种不同的安排方法
考点8 相同元素的分配问题(隔板法)
例8 把20个相同的球全部放入编号分别为1,2,3的三个盒子中,要求每个盒子中球的个数不小于其编号,有多少种不同的放法
[方法技巧]
运用“隔板法”必须同时满足三个条件才可以:①题目中要分的元素没有任何差别,必须完全相同;②所分的元素要求全部分完,不许存在剩余的情况;③每个人都必须分到一个元素,不可以出现分不到的情况.
【变式训练】
1.[2024·江苏淮安高二期末] 关于x,y,z的方程x+y+z=13(其中x,y,z∈N,且x≥1,y≥2,z≥3)的解共有 组.(用数字作答)
2.将除颜色外完全相同的4个白球、5个黑球、6个红球放入四个不同的盒子中,使得有一个空盒且其他盒子中球的颜色齐全的不同放法有多少种
考点9 染色问题
例9 如图,花坛中有5个区域,现有4种不同颜色的花卉可供选择,要求相同颜色的花不能相邻栽种,则符合条件的种植方案有 种.
[方法技巧]
涂色问题的常用方法有:(1)可根据共用了多少种颜色分类讨论;
(2)根据相对区域是否同色分类讨论;
(3)将空间问题平面化,转化成平面区域涂色问题.
【变式训练】
1.用4种不同颜色给如图所示的地图上色,要求相邻两块涂不同的颜色,则不同的涂色方法共有 ( )
A.24种 B.36种
C.48种 D.72种
2.[2024·黑龙江哈尔滨高二期中] 如图,给A,B,C,D,E,F六个点涂色,现有五种不同的颜色可供选用,要求每个点涂一种颜色,且每条线段的两个端点涂不同的颜色,则不同的涂色方法共有 ( )
A.1440种 B.1920种
C.2160种 D.3360种微突破 常见的排列组合问题解题策略
一、选择题
1.某值日小组共有5名同学,假设任意安排3名同学负责教室内的地面卫生,其余2名同学负责教室外的走廊卫生,那么不同的安排方式种数是 ( )
A.10 B.20
C.60 D.100
2.北京大兴国际机场拥有世界上最大的单一航站楼,并拥有机器人自动泊车系统,解决了停车满、找车难的问题.现有5辆车停放在8个并排的泊车位上,要求停放的车辆相邻,箭头表示车头朝向(如图),则不同的泊车方案有 ( )
A.120种 B.240种
C.480种 D.960种
3.现从4名男生和3名女生中,任选3名男生和2名女生,分别担任5门不同学科的课代表,则不同安排方法的种数是 ( )
A.12 B.120
C.1440 D.17 280
4.[2024·湖南新高考教学联盟高二联考] 一对夫妻带着三个孩子和一位老人手拉着手围成一圈跳舞,则三个孩子均不相邻的站法种数是 ( )
A.6 B.12
C.18 D.36
5.用0,3,5,7,9组成的无重复数字的五位数中,个位上的数字比十位上的数字大的五位数的个数为 ( )
A.48 B.96
C.60 D.120
6.将字母a,a,b,b,c,c排成三行两列,要求每行的字母互不相同,每列的字母也互不相同,则不同的排列方法共有 ( )
A.12种 B.18种
C.24种 D.36种
7.为推动校园体育建设,落实青少年体育发展促进工程,某中学举行了春季趣味运动会,某班派出甲、乙等8名学生参加8×200米接力赛,其中甲只能跑第1棒或第8棒,乙只能跑第7棒或第8棒,那么不同棒次安排方案种数为 ( )
A.720 B.1440 C.2160 D.2880
8.某马拉松比赛结束后,5男3女共8位运动员相约在赛道旁站成前后两排合影,每排各4人,若男运动员中恰有2人相邻(其余3人均不相邻),则不同的排列方法共有 ( )
A.732种 B.2260种
C.4320种 D.8640种
9.(多选题)已知正方体ABCD-A1B1C1D1,下列说法正确的是 ( )
A.正方体的12条棱所在的直线中,相互异面的有24对
B.从正方体的8个顶点中选4个作为四面体的顶点,可得到64个不同的四面体
C.从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对,其中所成的角为60°的共有36对
D.若给正方体每个面涂一种颜色且相邻两个面不同色,有4种颜色可供选择,则不同涂色方法共有96种
二、填空题
10.有编号为1,2,3,…,n的n个学生,入坐编号为1,2,3,…,n的n个座位,每个学生规定坐一个座位,设学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为X,已知当X=2时,共有6种坐法,则n的值为 .
11.把白菜、萝卜、西红柿、土豆及黄瓜五种不同的蔬菜放到三个不同的菜篮子中,每个菜篮子至少放一种且最多放两种蔬菜,则不同的放法种数为 .(用数字作答)
12.在数学中,有一个被称为自然常数(又叫欧拉数)的常数e≈2.718 28.小明在设置银行卡的数字密码时,打算将自然常数的前6位数字2,7,1,8,2,8进行某种排列得到密码.如果排列时要求2不排第一位,两个8相邻,那么小明可以设置的不同的密码个数为 .
13.某市举行乡村振兴汇报会,六个获奖单位的负责人甲、乙、丙等六人分别上台发言,其中负责人甲、乙发言顺序必须相邻,且甲、乙都在丙的前面发言,则共有 种不同的安排方法.
三、解答题
14.(1)设有6个相同的小球,放入3个不同的盒子里,每个盒子至少有1个小球,有多少种不同的放法
(2)设有6个不同的小球,放入3个不同的盒子里,盒子不允许为空,有多少种不同的放法
15.3男4女共7名同学站成一排照相留念.
(1)女生必须站在一起的站队方式有多少种
(2)男生甲不与其他男生相邻的站队方式有多少种
(3)现在要求这7名同学分成三个宣讲小组分别去给高一、高二、高三三个年级的同学做学习成果汇报,要求每个小组必须既有男生又有女生,共有多少种不同的安排方法
16.[2024·河北邢台高二期中] 如图,某心形花坛中有A,B,C,D,E共5个区域,每个区域只种植一种颜色的花.
(1)要把5种不同颜色的花种植到这5个区域中,每种颜色的花都必须种植,共有多少种不同的种植方案
(2)要把4种不同颜色的花种植到这5个区域中,每种颜色的花都必须种植,共有多少种不同的种植方案
(3)要把红、黄、蓝、白4种不同颜色的花种植到这5个区域中,每种颜色的花都必须种植,要求相同颜色的花不能相邻种植,且有两个相邻的区域种植红、黄2种不同颜色的花,共有多少种不同的种植方案
