(共58张PPT)
7.1 条件概率与全概率公式
7.1.1 条件概率
第1课时 条件概率与乘法公式
探究点一 对条件概率的理解
探究点二 条件概率的计算问题
探究点三 概率的乘法公式的应用
【学习目标】
1.了解条件概率的概念.
2.结合古典概型掌握求条件概率的两种方法.
3.能利用条件概率计算公式解决一些简单的实际问题.
4.结合古典概型,会利用乘法公式计算概率.
知识点一 条件概率
1.概念:一般地,设,为两个随机事件,且,我们称
_ _____为在事件发生的条件下,事件 发生的条件概率,简称条件概率.
2.读法: 读作_____________________________________.
在事件发生的条件下,事件发生的概率
知识点二 概率的乘法公式
1.概念:对任意两个事件与,若,则 ____________,
我们称上式为概率的乘法公式.
2.推广：设，，为三个事件，且 ，则有
.
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）在事件发生的条件下,事件发生的概率为 ，其
中 .( )
√
（2）与 相同.( )
×
[解析] 是在事件发生的条件下，事件发生的概率，
是在事件发生的条件下，事件 发生的概率，二者是不同的.
（3）若,则 .( )
√
[解析] 由, ,得
.
（4）若,则 .( )
×
[解析] 因为,而,所以 .
探究点一 对条件概率的理解
例1 （多选题）下列问题是求条件概率的是( )
A.甲、乙两人射击的命中率分别是， ，求两人各射击一次都命
中的概率
B.甲、乙两人射击的命中率分别是， ，求在甲命中的前提下乙
也命中的概率
C.在含有3件次品的10件产品中不放回地抽取两次，每次抽取1件，
若第一次抽到次品，求第二次也抽到次品的概率
D.在含有3件次品的10件产品中不放回地抽取两次，每次抽取1件，
求恰好抽到1件次品的概率
√
√
[解析] “都命中”属于相互独立事件同时发生，不是求条件概率问题，A
错误；
B，C显然是求条件概率问题，B，C正确；
“恰好抽到1件次品”，即抽到1件正品和1件次品，不是求条件概率问题，
D错误.故选 .
［素养小结］
条件概率的判断方法
（1）若题目中出现“在……的前提下”等字眼，一般属于条件概率.
（2）若题目中没有出现上述字眼，但已知事件的出现影响了所求事
件的概率，则也属于条件概率.
探究点二 条件概率的计算问题
角度一 定义法求条件概率
例2 某校从学生文艺部7名成员（4男3女）中，挑选2人参加学校举
办的文艺汇演活动.
（1）求男生甲被选中的概率；
解：记“男生甲被选中”为事件，则 .
（2）在已知男生甲被选中的条件下，求女生乙被选中的概率；
解：记“女生乙被选中”为事件，则 ，
由（1）知，故 .
（3）在要求被选中的2人为1男1女的条件下，求女生乙被选中的概率.
解：记“被选中的2人为1男1女”为事件，则 ，
,故 .
变式（1） [2024·重庆渝北区高二期中]小张、小王两人计划报一些
兴趣班，他们分别从篮球、绘画、书法、游泳、钢琴这五个兴趣班
中随机选择一个，记事件 “两人中至少有一人选择篮球”，事件
“两人选择的兴趣班不同”，则 ( )
A. B. C. D.
[解析] 由题意可知，，事件 “有一人选择篮球班，
另一人选择其他兴趣班”，则 ，
所以 ，故选B.
√
（2）一个盒子中有大小、形状完全相同的6个白球和4个黑球，每次
从中不放回地任取1个球，连取两次，求在第一次取到白球的条件下，
第二次取到黑球的概率.
解：记事件“第一次取到白球”，事件 “第二次取到黑球”.
显然，事件“第一次取到白球且第二次取到黑球”的概率为
.
由条件概率的计算公式，得 .
［素养小结］
利用定义计算条件概率的步骤：
（1）分别计算概率和 ；
（2）将它们相除得到条件概率 ，这个公式适用于一
般情形，其中表示事件与 同时发生.
角度二 缩小样本空间法求条件概率
例3（1） 抛掷一枚质地均匀的骰子两次，观察向上的点数，记事件
“两次向上的点数不同”，事件 “两次向上的点数中的较大点数
为4”，则 ( )
A. B. C. D.
[解析] “两次向上的点数不同”包含的样本点的个数为 ，
“两次向上的点数中的较大点数为4”包含的样本点有， ，
，，，，共6个，则 .故选C.
√
（2）已知60个产品中，有35个产品长度合格，有45个产品质量合格，
没有长度和质量都不合格的产品，现任取1个产品，若它的质量合格，
则它的长度也合格的概率为( )
A. B. C. D.
[解析] 质量合格的产品有45个，质量和长度都合格的产品有
（个），
所以质量合格的条件下，长度也合格的概率为 .
√
变式（1） 对标有不同编号的10件产品（其中有6件正品，4件次品）
进行检测，每次从中不放回地任取1件，连取两次，则在第一次取到
正品的条件下，第二次也取到正品的概率是( )
A. B. C. D.
[解析] 在第一次取到正品的条件下,第二次从9件产品（5件正品，4
件次品）中取到正品的概率为 .
√
（2）箱子中装有除颜色外完全相同的3个红球和2个白球，从中随机
抽出2个球，则在已知抽到红球的条件下，抽到的2个球都是红球的
概率为___.
[解析] 记事件“抽到的2个球中有红球”，事件 “抽到的2个球
都是红球”，则， ，
所以 .
［素养小结］
利用缩小样本空间法计算条件概率的方法：
将原来的样本空间 缩小为样本空间，原来的事件缩小为，
中仅包含有限个样本点，每个样本点发生的概率相等，从而可以在
缩小的样本空间上利用古典概型公式计算条件概率，即
，这里和 的计数是基于缩小的样本空间范
围的.
探究点三 概率的乘法公式的应用
例4（1） 某项射击游戏规定：选手先后对两个目标进行射击，只有
两个目标都射中才能过关.某选手射中第一个目标的概率为 ，继续
射击，射中第二个目标的概率为 ，则这个选手过关的概率为____.
0.4
[解析] 记“这个选手射中第一个目标”为事件 ，“这个选手射中第二
个目标”为事件，则， ，
所以 ，即这个选手过关的
概率为0.4.
（2）今有3箱产品，其中甲厂生产的有2箱，乙厂生产的有1箱.已知
甲厂生产的每箱产品中装有98件合格品，2件不合格品；乙厂生产的
每箱产品中装有90件合格品，10件不合格品.现从3箱产品中任取1箱，
再从这1箱产品中任取1件，则这件产品是甲厂生产的合格品的概率
是( )
A. B. C. D.
[解析] 记事件“这件产品是甲厂生产的”，事件 “这件产品是
合格品”，则即为所求概率.
， ， .故选C.
√
变式 已知A类产品共2件,记为,,B类产品共3件,记为,, ,混
放在一起.现需要通过检测将其区分开来,每次随机检测1件产品,检测
后不放回,直到检测出2件A类产品或者检测出3件B类产品时,检测结
束,则第一次检测出B类产品,第二次检测出A类产品的概率为____.
[解析] 记“第一次检测出B类产品”为事件 ,“第二次检测出A类产品” 为
事件,依题意得 .
第一次检测出B类产品后还剩A类产品2件，B类产品2件，故 .
故第一次检测出B类产品,第二次检测出A类产品的概率为
.
［素养小结］
公式可变形为 ，即只要知道其
中两个值就可以求得第三个值.
1.条件概率的理解：
（1）与的意义不同.由条件概率的定义可知 表
示在事件发生的条件下事件发生的概率；而表示在事件
发生的条件下事件 发生的概率.
（2）与在事件发生的条件下，事件 发生的概率不
一定是，即与 不一定相等.
当事件与事件相互独立时： ；
当事件与事件不相互独立时： .
（3）在条件概率的概念中,要强调 .
当时, .
（4），必须满足与 互斥，且
.
2.条件概率的计算方法有两种：
①利用定义计算，先计算和 ，然后代入公式
.
②利用缩小样本空间法计算（局限在古典概型内），即将原来的样
本空间 缩小为已知的事件，原来的事件缩小为事件 ，利用
古典概型的概率公式计算，即 .
3.对条件概率计算公式的几点说明:
（1）已知发生，在此条件下发生，相当于发生，要求 ，
相当于把看作新的样本空间计算 发生的概率，即
.
（2）条件概率相当于随机试验及随机试验的样本空间发生了变化,事
件发生的条件下事件发生的概率可以看成在样本空间为时事件
发生的概率,从而得出求条件概率的另一种方法——缩减样本空间法.
（3）概率与 的区别.
①在中，事件，发生有时间上的差异，先后；在
中，事件， 同时发生.
②样本空间不同，在中，事件成为样本空间；在 中，
样本空间仍为 .因而有 .
1.放回和不放回抽样的概率
一般地，事件发生的概率与抽样方式有关，常见的抽样方法有“放回
抽样”与“不放回抽样”，求概率时要对它们加以区分.
放回抽样各次抽取是相互独立的；不放回抽样各次抽取不是相互独
立的.
例1 袋内有3个白球和7个红球（除颜色外完全相同）,每次从中随机
取出1个球,分别求有放回地随机抽取与不放回地随机抽取时，在第一
次取出红球的条件下，第二次取出红球的概率.
解:有放回地随机抽取：在第一次取出红球的条件下，第二次取出红
球的概率是 .
不放回地随机抽取：在第一次取出红球的条件下,第二次取出红球的
概率是 .
2.将条件概率的计算公式进行变形,可得概率的乘法公式
.
例2 [2024·安徽安庆高二期中]质检部门对某种建筑构件的抗压能力
进行检测，对此建筑构件实施两次打击，若没有受损，则认为该构
件通过质检.若第一次打击后该构件没有受损的概率为 ，当第一
次没有受损时第二次实施打击也没有受损的概率为 ，则该构件通
过质检的概率为( )
A.0.4 B.0.16 C.0.68 D.0.17
√
[解析] 设表示第次打击后该构件没有受损， ,2，则由已知可
得， ，
所以由乘法公式可得 ，
即该构件通过质检的概率为0.68.故选C.
练习册
一、选择题
1.下面问题是求条件概率的是( )
A.甲、乙二人投篮的命中率分别为， ，求甲、乙二人各投篮一次都命中的概率
B.甲、乙二人投篮的命中率分别为， ，求在甲投篮一次命中的条件下乙
投篮一次命中的概率
C.有10件产品，其中3件是次品，随机抽取2件产品进行检验，求恰好抽到1件次品的概率
D.小明上学途中要过四个路口，每个路口遇到红灯的概率都是 ，求小明在一
次上学途中遇到红灯的概率
√
[解析] 根据条件概率的定义，易知只有B中问题是求条件概率.故选B.
2.已知,,则 等于( )
A. B. C. D.
[解析] 由,可得 .故选C.
√
3.将两枚质地均匀的骰子各掷一次,设“两个点数互不相同”,
“两个点数都为奇数”,则 ( )
A. B. C. D.
[解析] , ,所以
.故选C.
√
4.某人忘记了一个电话号码的最后一个数字，只好去试拨，则他第一
次失败、第二次成功的概率是( )
A. B. C. D.
[解析] 记事件“第一次失败”，事件 “第二次成功”，则
，，
所以 .
√
5.已知箱中装有6瓶消毒液，其中4瓶合格品，2瓶不合格品，现从箱
中每次取1瓶消毒液，每瓶消毒液被抽到的可能性相同，不放回地抽
取两次，若“第一次取到不合格品”， “第二次取到不合格品”，
则 ( )
A. B. C. D.
[解析] 根据题意得， ，
所以 .故选B.
√
6.某项目工作需要2名服务人员，某集团迅速从人事部选取5人，市场
部选取10人组成服务队，为了进一步开展工作，现选取2人作为队长，
则2位队长来自同一部门的前提下，2位队长来自市场部的概率为
( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由题意，设事件 “选取的2位队长来自同一部门”，事件
“选取的2位队长来自市场部”，则 ，
，
所以所求概率为 .故选C.
7.目前，国际上常用身体质量指数 来衡量人体的胖瘦程度.某公
司对员工的值调查结果显示，男员工中肥胖者的占比为 ，女
员工中肥胖者的占比为 ，已知该公司男、女员工的人数之比为
，从该公司中任选一名员工，若选中的员工为肥胖者，则该员工
为男性的概率为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 设该公司男、女员工的人数分别为和 ，则男员工中的肥
胖者有（人），女员工中的肥胖者有 （人），
设“从该公司中任选一名员工，该员工为肥胖者”为事件A，
“从该公司中任选一名员工，该员工为男性”为事件B，则
，，
所以 .故选D.
8.（多选题）已知，是两个随机事件， ,则下列说法
正确的是( )
A.若，相互独立，则
B.若事件,则
C.若，是对立事件，则
D.若，是互斥事件，则
√
√
√
[解析] 对于A，若随机事件A，B相互独立，则 ，
所以，A正确；
对于B，若事件 ,则, ,B正确；
对于C，因为A，B是对立事件，所以，所以
，C不正确；
对于D，因为A，B是互斥事件，所以 ，所以
，D正确.故选 .
9.（多选题）[2024·东北师大附中高二期末] 盒子中有12个乒乓球，
其中8个是白球，4个是黄球，白球中有6个正品、2个次品，黄球中
有3个正品、1个次品.依次不放回地随机取出2个球，记事件“第
次取球，取到白球”，事件“第次取球，取到正品”， ,2，则
下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
√
√
[解析] 对于A，， ，所以
,故A正确；
对于B， ，故B错误；
对于C，事件 “第1次取球，取到正品且第2次取球，取到白球”，
则 ，
所以，故C错误；
对于D，事件 “第1次取球，取到白球且第2次取球，取到正品”，
则 ，
所以，
又因为 ，所以,故D正确.故选 .
二、填空题
10.[2024·上海位育中学高二期中] 某地区气象台统计，该地区下雨
的概率是，在下雨天里，刮风的概率是 ，则既刮风又下雨的概率
是___.
[解析] 记事件“下雨”，事件“刮风”，则事件 “既刮风又
下雨”，所以, ，
所以 .
11.已知，，且，则 ____.
0.7
[解析] ，，且 ，
，
.
12.抛掷红、蓝两枚质地均匀的骰子，记事件 “蓝色骰子的点数为
4或6”，事件“两枚骰子的点数之和大于8”，则在事件 发生的条
件下事件发生的概率为__，在事件发生的条件下事件 发生的概
率为__.
[解析] ，
由 ，，
， ，知，其中，
所以 ， .
三、解答题
13.某校高三（一）班有40名学生，其中共青团员15人，全班分成4个
小组，第一小组有学生10人，其中共青团员4人.从该班任选一人为学
生代表.
解：设“选到的人是共青团员”为事件 ，“选到的人是第一小组学生”
为事件，则“选到的人既是共青团员又是第一小组学生”为事件 .
.
（1）求选到的人是共青团员的概率；
（2）求选到的人既是共青团员又是第一小组学生的概率；
解： .
（3）已知选到的是共青团员，求他是第一小组学生的概率.
解：方法一： .
方法二：由题意知，事件所包含的样本点个数，事件
所包含的样本点个数， .
14.某次抽奖活动中，在甲、乙两人先后进行抽奖前还有50张奖券，
其中共有5张写有“中奖”字样.假设抽完的奖券不放回，甲抽完之后乙
再抽，求：
（1）甲中奖而且乙也中奖的概率；
解：设事件“甲中奖”，事件“乙中奖”，则 .
因为抽完的奖券不放回，所以甲中奖后乙抽奖时，有49张奖券且其
中只有4张写有“中奖”字样，此时乙中奖的概率为 ，
根据乘法公式可知，甲中奖而且乙也中奖的概率为
.
（2）甲没中奖而乙中奖的概率.
解：因为，所以 .
因为抽完的奖券不放回，所以甲没中奖后乙抽奖时，还有49张奖券
且其中有5张写有“中奖”字样，此时乙中奖的概率为 ，
根据乘法公式可知，甲没中奖而乙中奖的概率为
.
15.六氟化硫在常压下是一种无色、无臭、无毒、不
燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面
具有广泛用途.已知六氟化硫分子结构呈正八面体
（每个面都是正三角形），如图所示，任取正八面
A. B. C. D.
体的两条棱，在第一条棱取自四边形 的一条边的条件下，再取第
二条棱，则取出的两条棱所在的直线是异面直线的概率为( )
√
[解析] 根据题意可得，与直线异面的直线为 ,
,,，共4条，
同理可得与直线，， 异面的直线各有4条.
设事件 为“任取正八面体的两条棱，第一条棱取自四边形的
一条边”，事件 为“取的第二条棱所在的直线与第一条棱所在的直线
是异面直线”，则， ，
所以 .故选D.第七章 随机变量及其分布
7.1 条件概率与全概率公式
7.1.1 条件概率
第1课时 条件概率与乘法公式
【课前预习】
知识点一
1. 2.在事件A发生的条件下,事件B发生的概率
知识点二
1.P(A)P(B|A)
诊断分析
(1)√ (2)× (3)√ (4)× [解析] (2)P(B|A)是在事件A发生的条件下,事件B发生的概率,P(A|B)是在事件B发生的条件下,事件A发生的概率,二者是不同的.
(3)由P(B|A)=,P(A∩B)=P(AB),得P(A∩B)=P(B|A)·P(A).
(4)因为P(B|A)=,而0
【课中探究】
例1 BC [解析] “都命中”属于相互独立事件同时发生,不是求条件概率问题,A错误;B,C显然是求条件概率问题,B,C正确;“恰好抽到1件次品”,即抽到1件正品和1件次品,不是求条件概率问题,D错误.故选BC.
例2 解:(1)记“男生甲被选中”为事件A,则P(A)===.
(2)记“女生乙被选中”为事件B,则P(AB)=,由(1)知P(A)=,故P(B|A)===.
(3)记“被选中的2人为1男1女”为事件C,则P(C)===,P(BC)==,故P(B|C)===.
变式 (1)B [解析] 由题意可知,P(B)=,事件AB=“有一人选择篮球班,另一人选择其他兴趣班”,则P(AB)=,所以P(A|B)====,故选B.
(2)解:记事件A=“第一次取到白球”,事件B=“第二次取到黑球”.显然,事件“第一次取到白球且第二次取到黑球”的概率为P(AB)=×=.由条件概率的计算公式,得P(B|A)===.
例3 (1)C (2)C [解析] (1)“两次向上的点数不同”包含的样本点的个数为36-6=30,“两次向上的点数中的较大点数为4”包含的样本点有(1,4),(2,4),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),共6个,则P(B|A)==.故选C.
(2)质量合格的产品有45个,质量和长度都合格的产品有35+45-60=20(个),所以质量合格的条件下,长度也合格的概率为=.
变式 (1)B (2) [解析] (1)在第一次取到正品的条件下,第二次从9件产品(5件正品,4件次品)中取到正品的概率为.
(2)记事件A=“抽到的2个球中有红球”,事件B=“抽到的2个球都是红球”,则n(A)=-=9,n(AB)==3,所以P(B|A)===.
例4 (1)0.4 (2)C [解析] (1)记“这个选手射中第一个目标”为事件A,“这个选手射中第二个目标”为事件B,则P(A)=0.8,P(B|A)=0.5,所以P(AB)=P(B|A)·P(A)=0.5×0.8=0.4,即这个选手过关的概率为0.4.
(2)记事件A=“这件产品是甲厂生产的”,事件B=“这件产品是合格品”,则P(AB)即为所求概率.∵P(B|A)==,P(A)=,∴P(AB)=P(B|A)·P(A)=.故选C.
变式 [解析] 记“第一次检测出B类产品”为事件M,“第二次检测出A类产品”为事件N,依题意得P(M)=.第一次检测出B类产品后还剩A类产品2件,B类产品2件,故P(N|M)==.故第一次检测出B类产品,第二次检测出A类产品的概率为P(MN)=P(M)P(N|M)=×=.第七章 随机变量及其分布
7.1 条件概率与全概率公式
7.1.1 条件概率
第1课时 条件概率与乘法公式
1.B [解析] 根据条件概率的定义,易知只有B中问题是求条件概率.故选B.
2.C [解析] 由P(B|A)=,可得P(A)=.故选C.
3.C [解析] n(A)=6×5=30,n(AB)=3×2=6,所以P(B|A)==.故选C.
4.A [解析] 记事件A=“第一次失败”,事件B=“第二次成功”,则P(A)=,P(B|A)=,所以P(AB)=P(A)P(B|A)=.
5.B [解析] 根据题意得n(A)==10,n(AB)==2,所以P(B|A)===.故选B.
6.C [解析] 由题意,设事件A=“选取的2位队长来自同一部门”,事件B=“选取的2位队长来自市场部”,则P(A)===,P(AB)===,所以所求概率为P(B|A)===.故选C.
7.D [解析] 设该公司男、女员工的人数分别为2n和n,则男员工中的肥胖者有2n×=(人),女员工中的肥胖者有n×=(人),设“从该公司中任选一名员工,该员工为肥胖者”为事件A,“从该公司中任选一名员工,该员工为男性”为事件B,则P(AB)==,P(A)==,所以P(B|A)===.故选D.
8.ABD [解析] 对于A,若随机事件A,B相互独立,则P(AB)=P(A)P(B),所以P(B|A)==P(B),A正确;对于B,若事件A B,则P(AB)=P(A),P(B|A)==1,B正确;对于C,因为A,B是对立事件,所以P(AB)=0,所以P(B|A)==0,C不正确;对于D,因为A,B是互斥事件,所以P(AB)=0,所以P(B|A)==0,D正确.故选ABD.
9.AD [解析] 对于A,P(B1)==,P(A1B1)==,所以P(A1|B1)==,故A正确;对于B,P(B2)==,故B错误;对于C,事件A2B1=“第1次取球,取到正品且第2次取球,取到白球”,则n(A2B1)=6×5+6×2+3×6+3×2=66,所以P(A2B1)==,故C错误;对于D,事件A1B2=“第1次取球,取到白球且第2次取球,取到正品”,则n(A1B2)=6×5+6×3+2×6+2×3=66,所以P(A1B2)==,又因为P(A1)==,所以P(B2|A1)==,故D正确.故选AD.
10. [解析] 记事件A=“下雨”,事件B=“刮风”,则事件AB=“既刮风又下雨”,所以P(A)=,P(B|A)=,所以P(AB)=P(A)P(B|A)=×=.
11.0.7 [解析] ∵P(A)=0.5,P(B)=0.6,且P(B|A)=0.8,∴P(AB)=P(A)P(B|A)=0.5×0.8=0.4,∴P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.5+0.6-0.4=0.7.
12. [解析] n(A)=6×2=12,由3+6=6+3=4+5=5+4>8,4+6=6+4=5+5>8,5+6=6+5>8,6+6>8,知n(B)=10,其中n(AB)=6,所以P(B|A)===,P(A|B)===.
13.解:设“选到的人是共青团员”为事件A,“选到的人是第一小组学生”为事件B,则“选到的人既是共青团员又是第一小组学生”为事件AB.
(1)P(A)==.
(2)P(AB)==.
(3)方法一:P(B|A)===.
方法二:由题意知,事件A所包含的样本点个数n(A)=15,事件AB所包含的样本点个数n(AB)=4,∴P(B|A)==.
14.解:(1)设事件A=“甲中奖”,事件B=“乙中奖”,则P(A)==.
因为抽完的奖券不放回,所以甲中奖后乙抽奖时,有49张奖券且其中只有4张写有“中奖”字样,此时乙中奖的概率为P(B|A)=,根据乘法公式可知,甲中奖而且乙也中奖的概率为P(AB)=P(A)P(B|A)=×=.
(2)因为P(A)+P()=1,所以P()=.
因为抽完的奖券不放回,所以甲没中奖后乙抽奖时,还有49张奖券且其中有5张写有“中奖”字样,此时乙中奖的概率为P(B|)=,根据乘法公式可知,甲没中奖而乙中奖的概率为P(B)=P()P(B|)=×=.
15.D [解析] 根据题意可得,与直线AB异面的直线为CE,DE,CF,DF,共4条,同理可得与直线BC,CD,AD异面的直线各有4条.设事件M为“任取正八面体的两条棱,第一条棱取自四边形ABCD的一条边”,事件N为“取的第二条棱所在的直线与第一条棱所在的直线是异面直线”,则P(M)=,P(MN)=,所以P(N|M)===.故选D.第七章 随机变量及其分布
7.1 条件概率与全概率公式
7.1.1 条件概率
第1课时 条件概率与乘法公式
【学习目标】
1.了解条件概率的概念.
2.结合古典概型掌握求条件概率的两种方法.
3.能利用条件概率计算公式解决一些简单的实际问题.
4.结合古典概型,会利用乘法公式计算概率.
◆ 知识点一 条件概率
1.概念:一般地,设A,B为两个随机事件,且P(A)>0,我们称P(B|A)= 为在事件A发生的条件下,事件B发生的条件概率,简称条件概率.
2.读法:P(B|A)读作 .
◆ 知识点二 概率的乘法公式
1.概念:对任意两个事件A与B,若P(A)>0,则P(AB)= ,我们称上式为概率的乘法公式.
2.推广:设A,B,C为三个事件,且P(AB)>0,则有P(ABC)=P(C|AB)P(AB)=P(C|AB)P(B|A)P(A).
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)在事件A发生的条件下,事件B发生的概率为P(B|A)=,其中P(A)>0. ( )
(2)P(B|A)与P(A|B)相同. ( )
(3)若P(A)≠0,则P(A∩B)=P(B|A)·P(A). ( )
(4)若P(A)>0,则P(B|A)◆ 探究点一 对条件概率的理解
例1 (多选题)下列问题是求条件概率的是( )
A.甲、乙两人射击的命中率分别是0.8,0.9,求两人各射击一次都命中的概率
B.甲、乙两人射击的命中率分别是0.8,0.9,求在甲命中的前提下乙也命中的概率
C.在含有3件次品的10件产品中不放回地抽取两次,每次抽取1件,若第一次抽到次品,求第二次也抽到次品的概率
D.在含有3件次品的10件产品中不放回地抽取两次,每次抽取1件,求恰好抽到1件次品的概率
[素养小结]
条件概率的判断方法
(1)若题目中出现“在……的前提下”等字眼,一般属于条件概率.
(2)若题目中没有出现上述字眼,但已知事件的出现影响了所求事件的概率,则也属于条件概率.
◆ 探究点二 条件概率的计算问题
角度一 定义法求条件概率
例2 某校从学生文艺部7名成员(4男3女)中,挑选2人参加学校举办的文艺汇演活动.
(1)求男生甲被选中的概率;
(2)在已知男生甲被选中的条件下,求女生乙被选中的概率;
(3)在要求被选中的2人为1男1女的条件下,求女生乙被选中的概率.
变式 (1)[2024·重庆渝北区高二期中] 小张、小王两人计划报一些兴趣班,他们分别从篮球、绘画、书法、游泳、钢琴这五个兴趣班中随机选择一个,记事件A=“两人中至少有一人选择篮球”,事件B=“两人选择的兴趣班不同”,则P(A|B)= ( )
A. B. C. D.
(2)一个盒子中有大小、形状完全相同的6个白球和4个黑球,每次从中不放回地任取1个球,连取两次,求在第一次取到白球的条件下,第二次取到黑球的概率.
[素养小结]
利用定义计算条件概率的步骤:
(1)分别计算概率P(AB)和P(A);
(2)将它们相除得到条件概率P(B|A)=,这个公式适用于一般情形,其中AB表示事件A与B同时发生.
角度二 缩小样本空间法求条件概率
例3 (1)抛掷一枚质地均匀的骰子两次,观察向上的点数,记事件A=“两次向上的点数不同”,事件B=“两次向上的点数中的较大点数为4”,则P(B|A)= ( )
A. B. C. D.
(2)已知60个产品中,有35个产品长度合格,有45个产品质量合格,没有长度和质量都不合格的产品,现任取1个产品,若它的质量合格,则它的长度也合格的概率为 ( )
A. B. C. D.
变式 (1)对标有不同编号的10件产品(其中有6件正品,4件次品)进行检测,每次从中不放回地任取1件,连取两次,则在第一次取到正品的条件下,第二次也取到正品的概率是 ( )
A. B.
C. D.
(2)箱子中装有除颜色外完全相同的3个红球和2个白球,从中随机抽出2个球,则在已知抽到红球的条件下,抽到的2个球都是红球的概率为 .
[素养小结]
利用缩小样本空间法计算条件概率的方法:
将原来的样本空间Ω缩小为样本空间A,原来的事件B缩小为AB,A中仅包含有限个样本点,每个样本点发生的概率相等,从而可以在缩小的样本空间上利用古典概型公式计算条件概率,即P(B|A)=,这里n(A)和n(AB)的计数是基于缩小的样本空间范围的.
◆ 探究点三 概率的乘法公式的应用
例4 (1)某项射击游戏规定:选手先后对两个目标进行射击,只有两个目标都射中才能过关.某选手射中第一个目标的概率为0.8,继续射击,射中第二个目标的概率为0.5,则这个选手过关的概率为 .
(2)今有3箱产品,其中甲厂生产的有2箱,乙厂生产的有1箱.已知甲厂生产的每箱产品中装有98件合格品,2件不合格品;乙厂生产的每箱产品中装有90件合格品,10件不合格品.现从3箱产品中任取1箱,再从这1箱产品中任取1件,则这件产品是甲厂生产的合格品的概率是 ( )
A. B. C. D.
变式 已知A类产品共2件,记为A1,A2,B类产品共3件,记为B1,B2,B3,混放在一起.现需要通过检测将其区分开来,每次随机检测1件产品,检测后不放回,直到检测出2件A类产品或者检测出3件B类产品时,检测结束,则第一次检测出B类产品,第二次检测出A类产品的概率为 .
[素养小结]
公式P(B|A)=可变形为P(AB)=P(B|A)·P(A),即只要知道其中两个值就可以求得第三个值.第七章 随机变量及其分布
7.1 条件概率与全概率公式
7.1.1 条件概率
第1课时 条件概率与乘法公式
一、选择题
1.下面问题是求条件概率的是 ( )
A.甲、乙二人投篮的命中率分别为0.6,0.7,求甲、乙二人各投篮一次都命中的概率
B.甲、乙二人投篮的命中率分别为0.6,0.7,求在甲投篮一次命中的条件下乙投篮一次命中的概率
C.有10件产品,其中3件是次品,随机抽取2件产品进行检验,求恰好抽到1件次品的概率
D.小明上学途中要过四个路口,每个路口遇到红灯的概率都是,求小明在一次上学途中遇到红灯的概率
2.已知P(B|A)=,P(AB)=,则P(A)等于 ( )
A. B. C. D.
3.将两枚质地均匀的骰子各掷一次,设A=“两个点数互不相同”,B=“两个点数都为奇数”,则P(B|A)= ( )
A. B. C. D.
4.某人忘记了一个电话号码的最后一个数字,只好去试拨,则他第一次失败、第二次成功的概率是 ( )
A. B. C. D.
5.已知箱中装有6瓶消毒液,其中4瓶合格品,2瓶不合格品,现从箱中每次取1瓶消毒液,每瓶消毒液被抽到的可能性相同,不放回地抽取两次,若A=“第一次取到不合格品”,B=“第二次取到不合格品”,则P(B|A)= ( )
A. B. C. D.
6.某项目工作需要2名服务人员,某集团迅速从人事部选取5人,市场部选取10人组成服务队,为了进一步开展工作,现选取2人作为队长,则2位队长来自同一部门的前提下,2位队长来自市场部的概率为 ( )
A. B. C. D.
7.目前,国际上常用身体质量指数BMI来衡量人体的胖瘦程度.某公司对员工的BMI值调查结果显示,男员工中肥胖者的占比为,女员工中肥胖者的占比为,已知该公司男、女员工的人数之比为2∶1,从该公司中任选一名员工,若选中的员工为肥胖者,则该员工为男性的概率为 ( )
A. B. C. D.
8.(多选题)已知A,B是两个随机事件,0A.若A,B相互独立,则P(B|A)=P(B)
B.若事件A B,则P(B|A)=1
C.若A,B是对立事件,则P(B|A)=1
D.若A,B是互斥事件,则P(B|A)=0
9.(多选题)[2024·东北师大附中高二期末] 盒子中有12个乒乓球,其中8个是白球,4个是黄球,白球中有6个正品、2个次品,黄球中有3个正品、1个次品.依次不放回地随机取出2个球,记事件Ai=“第i次取球,取到白球”,事件Bi=“第i次取球,取到正品”,i=1,2,则下列结论正确的是 ( )
A.P(A1|B1)= B.P(B2)=
C.P(A2B1)= D.P(B2|A1)=
二、填空题
10.[2024·上海位育中学高二期中] 某地区气象台统计,该地区下雨的概率是,在下雨天里,刮风的概率是,则既刮风又下雨的概率是 .
11.已知P(A)=0.5,P(B)=0.6,且P(B|A)=0.8,则P(A∪B)= .
12.抛掷红、蓝两枚质地均匀的骰子,记事件A=“蓝色骰子的点数为4或6”,事件B=“两枚骰子的点数之和大于8”,则在事件A发生的条件下事件B发生的概率为 ,在事件B发生的条件下事件A发生的概率为 .
三、解答题
13.某校高三(一)班有40名学生,其中共青团员15人,全班分成4个小组,第一小组有学生10人,其中共青团员4人.从该班任选一人为学生代表.
(1)求选到的人是共青团员的概率;
(2)求选到的人既是共青团员又是第一小组学生的概率;
(3)已知选到的是共青团员,求他是第一小组学生的概率.
14.某次抽奖活动中,在甲、乙两人先后进行抽奖前还有50张奖券,其中共有5张写有“中奖”字样.假设抽完的奖券不放回,甲抽完之后乙再抽,求:
(1)甲中奖而且乙也中奖的概率;
(2)甲没中奖而乙中奖的概率.
15.六氟化硫在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体,有良好的绝缘性,在电器工业方面具有广泛用途.已知六氟化硫分子结构呈正八面体(每个面都是正三角形),如图所示,任取正八面体的两条棱,在第一条棱取自四边形ABCD的一条边的条件下,再取第二条棱,则取出的两条棱所在的直线是异面直线的概率为 ( )
A. B. C. D.