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7.1 条件概率与全概率公式
7.1.1 条件概率
第2课时 条件概率的性质及应用
探究点一 条件概率性质的证明与直接计算
探究点二 条件概率的性质及应用
【学习目标】
1.能够区分不相互独立事件与相互独立事件同时发生的概率计算
公式的关系.
2.会求互斥事件的条件概率，理解并能解决简单的条件概率性质
的问题.
知识点一 条件概率的性质
（1）设样本空间为 ，，则 ___.
（2）如果和是两个互斥事件，且，那么
________________.
（3）设和互为对立事件，且，则 ________.
1
知识点二 条件概率与相互独立事件的区别
相互独立事件是条件概率的特殊情况:若事件与 相互独立,即
__________,且,则 ;反之,若
,且,则,即事件与 相互
独立.
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1） .( )
×
[解析] .
（2） 是可能成立的.( )
√
[解析] 当时，，所以 .
（3）若事件,互斥,则 .( )
√
[解析] ，互斥,即,不可能同时发生,所以 ,所以
.
（4）若事件,满足，则 .( )
√
[解析] 因为,所以在事件发生的条件下，事件 必然发生，所
以 .
探究点一 条件概率性质的证明与直接计算
例1 设 ，求证：
（1） 为样本空间)；
证明：因为，所以 .
（2）如果和 是两个互斥事件，那么 .
证明：因为和是两个互斥事件，所以和 是两个互斥事件，
所以 .
例2（1） 设事件，满足，且， ，则下列
说法正确的是( )
A. B. C. D.
[解析] 因为，所以 ，
所以，,
又 ，，
所以 .故选C.
√
（2）（多选题）已知,, 为三个随机事件，则下列关系式中不一
定成立的是( )
A.
B.
C.
D.
√
√
√
[解析] 只有当A与B相互独立时，才有 ，故A中关
系式不一定成立；
只有当B与C互斥时，才有 ，故B中关
系式不一定成立；
，故C中关系式一定成立；
，只有当时，才有 ，故
D中关系式不一定成立.故选 .
变式 （多选题）设，是一个随机试验中的两个事件，， 分别
与，互为对立事件，且，， ，则
( )
A. B.
C. D.
√
√
√
[解析] 对于A，由，得 ，又由
，得 ，
故A错误；
对于B，由 ，得
，所以 ，故B正确；
对于C，因为， ，所以，
故C正确；
对于D，由 ，得
，所以，
故D正确.故选 .
探究点二 条件概率的性质及应用
例3 有5瓶除颜色外完全相同的墨水，其中红色墨水1瓶，蓝色、黑
色墨水各2瓶，某同学从中随机任取2瓶，若取得的2瓶中有1瓶是蓝
色墨水，求另1瓶是红色墨水或黑色墨水的概率.
解：方法一：设事件“有1瓶是蓝色墨水”，事件 “另1瓶是红色
墨水”，事件“另1瓶是黑色墨水”，事件 “另1瓶是红色墨水或
黑色墨水”，则且与互斥.
，， ，故
.
方法二：设事件“有1瓶是蓝色墨水”，事件 “另1瓶也是蓝色墨
水”，事件“另1瓶是红色墨水或黑色墨水” “另1瓶不是蓝色墨水”，
则事件与互为对立事件， ，
故 .
变式 在10 000张奖券中，设有1个一等奖，5个二等奖，10个三等奖，
从中不放回地抽取两次，每次抽取1张，求在第一张中一等奖的条件
下，第二张中二等奖或三等奖的概率.
解：设“第一张中一等奖”为事件，“第二张中二等奖”为事件 ，“第
二张中三等奖”为事件，则由题意得与 为互斥事件，，
， ，
， ，
，故在
第一张中一等奖的条件下，第二张中二等奖或三等奖的概率为 .
［素养小结］
利用条件概率性质的解题策略：
（1）分析条件，选择公式.如看事件， 是否互斥，若互斥，则选
择公式
（2）分解计算，代入求值.为了求比较复杂事件的概率，一般先把它
分解成两个（或若干个）互不相容的较简单的事件之和，求出这些
简单事件的概率，再利用互斥事件的概率加法公式即得所求的复杂
事件的概率.
1.相互独立事件与互斥事件的比较
互斥事件与相互独立事件是两个不同的概念，它们之间没有直接关系.
互斥事件是指两个事件不可能同时发生，而相互独立事件是指一个
事件是否发生对另一个事件是否发生没有影响.
一般地，两个事件不可能既互斥又相互独立，因为互斥事件是不可
能同时发生的，而相互独立事件是以它们能够同时发生为前提的.相
互独立事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，这一点
与互斥事件的概率和也是不同的.
2.几种事件的概率公式的比较
已知两个事件，，它们发生的概率分别为，，将，
中至少有一个发生记为事件，都发生记为事件 ，都不发生
记为事件，恰有一个发生记为事件 ，至多有一个发生记
为事件 ，则它们的概率间的关系如下表所示：
概率 ， 互斥 ， 相互独立
0
1
例1 ，是一个随机试验中的两个事件，且, ,
，则下列说法中错误的是( )
A. B. C. D.
√
条件概率的性质问题
[解析] ， ，故C中说法错误；
， ，又
，， ，故A中说法正确；
， ，故B中
说法正确；
，故D中说法正确.故选C.
例2 [2024·东北师大附中高二月考]某学校高中部有自由、青华两个
校区，数学教研组每周选择其中一个校区开例会，第一周例会选择
青华校区的概率是 .如果第一周例会选择自由校区，那么第二周去自
由校区的概率为 ；如果第一周例会选择青华校区，那么第二周去自
由校区的概率为 .已知数学教研组第二周去自由校区开例会，则第一
周去自由校区开例会的概率为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 依题意，设“第一周去自由校区开例会”为事件A，“第二周去
自由校区开例会”为事件B，则,， ,
，
所以 ，则
.故选A.
练习册
一、选择题
1.已知，，则 ( )
A.0.4 B.0.6 C.0.1 D.0.2
[解析] 因为，所以 ，
则 .故选D.
√
2.若随机事件，满足，， ，则
( )
A. B. C. D.
[解析] ， ，
解得，
.故选D.
√
3.从标有1，2，3，4，5，6的六张卡片中不放回地抽取两次，每次抽
取1张，则在第一次抽到的卡片所标数字为奇数的条件下，第二次抽
到的卡片所标数字仍为奇数的概率为( )
A. B. C. D.
[解析] 记“第一次抽到的卡片所标数字为奇数”， “第二次抽
到的卡片所标数字为奇数”，由题意得 ，，
所以 .故选C.
√
4.设，，则“”是“ 与
相互独立”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
[解析] 若，则 ，
即B的发生与否对A没有影响，故A与B相互独立，充分性成立；
若A与B相互独立，则与相互独立，所以 ，
，所以 ，必要性
成立.
所以“ ”是“A与B相互独立”的充要条件.故选C.
√
5.已知，分别为随机事件，的对立事件，， ，
则下列说法错误的是( )
A.
B.
C.若，相互独立，则
D.若，互斥，则
√
[解析] 对于A，B， ，故A
中说法错误，B中说法正确；
对于C，若A，B相互独立，则，所以
，故C中说法正确；
对于D，若A，B互斥，则，所以 ，
故D中说法正确.故选A.
6.某周末，甲、乙两位市民准备从龙湖公园、八公山森林公园、上窑
森林公园、山南中央公园4个景点中随机选择一个景点游玩，记
“甲和乙至少有一人选择八公山森林公园”， “甲和乙选择的景点
不同”，则 ( )
A. B. C. D.
[解析] 由题意得， ，
所以 ．故选D.
√
7.在一批电子元件中任取一件检查,是不合格品的概率为 ,是废品的
概率为 ,已知取到了一件不合格品,则它不是废品的概率是( )
A.0.4 B.0.6 C.0.7 D.0.9
[解析] 设“取到的电子元件是不合格品”为事件A,“取到的电子元件是
废品”为事件B,则,, ,
所以 .
√
8.（多选题）关于随机事件，， ，下列说法正确的是( )
A.若，则， 相互独立
B.若，则
C.若，则
D.若事件和是两个互斥事件，则
√
√
√
[解析] 对于A，若 ，则 ，
， ，B相互独立，故A正确；
对于B，若，则A,B相互独立，
， 相互独立， ,故B正确；
对于C，抛掷一枚质地均匀的骰子，设“出现偶数点”为事件A，“出现奇数点”为事件B，则，, , ,故C错误；
对于D，若事件B和C是两个互斥事件，则，故D正确.故选 .
9.（多选题）某单位组织开展党史知识竞赛活动，以支部为单位参加
比赛.某支部在5道党史题（有3道选择题和2道填空题）中不放回地依
次随机抽取2道题作答，设事件为“第1次抽到选择题”，事件 为“第
2次抽到选择题”，则下列结论中正确的是( )
A. B. C. D.
√
√
√
[解析] ，故A正确；
，故B正确；
，故C正确；
，，
则，故D错误.故选 .
二、填空题
10.若随机事件，满足，， ，则
___.
[解析] 由题意可得，因为 ，所以
.
因为，所以 ，
又因为，所以 .
11.已知，，若，则
____， ____.
0.8
0.6
[解析] 由题意得，则 ,
，
故 ，
.
12.研究人员开展甲、乙两种药物的临床抗药性研究实验，记事件
为“对药物甲产生抗药性”，事件为“对药物乙产生抗药性”，事件
为“对甲、乙两种药物均不产生抗药性”.若， ，
，则 __.
[解析] 由题意可知 ，
则 .
又 ，
所以 ，
故 .
三、解答题
13.已知且，设，， ，，为 个事件，并假
定 ，试化简
，并说明结果的意义.
解：
，
此结果的意义是，， ，，共 个事件同时发生的概率.
14.某工厂质检部门对该工厂甲车间生产的8个零件的质量进行检测，
这8个零件的质量（单位： ）分别为18，19，18，20，21，21，21，
31，规定零件质量不超过 的为合格品.质检部门从甲车间生产的
这8个零件中随机抽取4个进行检测，若至少有2个合格品，则检测通
过；若至少有3个合格品，则检测良好.求甲车间生产的零件在检测通
过的条件下，检测良好的概率.
解：设“抽取的4个零件中有2个合格品，2个不合格品”， “抽
取的4个零件中有3个合格品，1个不合格品”， “抽取的4个零件全
为合格品”，“甲车间生产的零件检测通过”， “甲车间生产的
零件检测良好”，则,.
因为事件，， 两两互斥，所以
,所以
，故所求概率为 .
15.（多选题）[2024·沧州十校高二月考] 设， 为两个随机事件，
且, ，则下列说法正确的是( )
A.若，则， 相互独立
B.若，则
C.若，则
D.若，则
√
√
[解析] 对于A，由及，得 ，
即 ，所以A，B相互独立，故A正确；
对于B，由，得，
所以 ，故B错误；
对于C，由A知当时， ，
所以 ，故C正确；
对于D， ，
，故D错误.故选 .
16.银行储蓄卡的密码由6位数字组成.某人在银行自助取款机上取钱
时，忘记了密码的最后1位数字.
（1）任意按最后1位数字，求不超过3次就按对的概率；
解：设表示第次按对密码， 表示不超过3次就按对，
则,
因为事件,, 两两互斥，所以
.
（2）如果记得密码的最后1位数字是偶数，求不超过3次就按对的概率.
解：记事件 “最后1位数字是偶数”，则
.第2课时 条件概率的性质及应用
【学习目标】
1.能够区分不相互独立事件与相互独立事件同时发生的概率计算公式的关系.
2.会求互斥事件的条件概率,理解并能解决简单的条件概率性质的问题.
◆ 知识点一 条件概率的性质
(1)设样本空间为Ω,P(A)>0,则P(Ω|A)= .
(2)如果B和C是两个互斥事件,且P(A)>0,那么P(B∪C|A)= .
(3)设和B互为对立事件,且P(A)>0,则P(|A)=1- .
◆ 知识点二 条件概率与相互独立事件的区别
相互独立事件是条件概率的特殊情况:若事件A与B相互独立,即P(AB)= ,且P(A)>0,则P(B|A)=P(B);反之,若P(B|A)=P(B),且P(A)>0,则P(AB)=P(A)P(B),即事件A与B相互独立.
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)0
(2)P(B|A)=是可能成立的. ( )
(3)若事件A,B互斥,则P(B|A)=0. ( )
(4)若事件A,B满足A B,则P(B|A)=1.( )
◆ 探究点一 条件概率性质的证明与直接计算
例1 设P(A)>0,求证:
(1)P(Ω|A)=1(Ω为样本空间);
(2)如果B和C是两个互斥事件,那么P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A).
例2 (1)设事件A,B满足A B,且P(A)=,P(B)=,则下列说法正确的是 ( )
A.P(B|A)= B.P(A|B)=
C.P(B|)= D.P(B)=
(2)(多选题)已知A,B,C为三个随机事件,则下列关系式中不一定成立的是 ( )
A.P(AB)=P(A)P(B)
B.P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A)
C.P(A|A)=1
D.P(A|B)>P(AB)
变式 (多选题)设A,B是一个随机试验中的两个事件,,分别与A,B互为对立事件,且P(A)=,P(B)=,P(A+)=,则 ( )
A.P(A)=
B.P(B|A)=
C.P(|A)=P()
D.P(A+B)=
◆ 探究点二 条件概率的性质及应用
例3 有5瓶除颜色外完全相同的墨水,其中红色墨水1瓶,蓝色、黑色墨水各2瓶,某同学从中随机任取2瓶,若取得的2瓶中有1瓶是蓝色墨水,求另1瓶是红色墨水或黑色墨水的概率.
变式 在10 000张奖券中,设有1个一等奖,5个二等奖,10个三等奖,从中不放回地抽取两次,每次抽取1张,求在第一张中一等奖的条件下,第二张中二等奖或三等奖的概率.
[素养小结]
利用条件概率性质的解题策略:
(1)分析条件,选择公式.如看事件B,C是否互斥,若互斥,则选择公式P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A).
(2)分解计算,代入求值.为了求比较复杂事件的概率,一般先把它分解成两个(或若干个)互不相容的较简单的事件之和,求出这些简单事件的概率,再利用互斥事件的概率加法公式即得所求的复杂事件的概率.第2课时 条件概率的性质及应用
【课前预习】
知识点一
(1)1 (2)P(B|A)+P(C|A) (3)P(B|A)
知识点二
P(A)P(B)
诊断分析
(1)× (2)√ (3)√ (4)√ [解析] (1)0≤P(B|A)≤1.
(2)当P(A)=1时,P(AB)=P(B),所以P(B|A)==.
(3)A,B互斥,即A,B不可能同时发生,所以P(AB)=0,所以P(B|A)=0.
(4)因为A B,所以在事件A发生的条件下,事件B必然发生,所以P(B|A)=1.
【课中探究】
例1 证明:(1)因为P(ΩA)=P(A),所以P(Ω|A)===1.
(2)因为B和C是两个互斥事件,所以AB和AC是两个互斥事件,所以P(B∪C|A)===+=P(B|A)+P(C|A).
例2 (1)C (2)ABD [解析] (1)因为A B,所以P(AB)=P(A)=,所以P(B|A)==1,P(A|B)==,又P(B)=-=,P()=1-P(A)=,所以P(B|)==.故选C.
(2)只有当A与B相互独立时,才有P(AB)=P(A)P(B),故A中关系式不一定成立;只有当B与C互斥时,才有P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A),故B中关系式不一定成立;P(A|A)===1,故C中关系式一定成立;P(A|B)=,只有当0P(AB),故D中关系式不一定成立.故选ABD.
变式 BCD [解析] 对于A,由P(B)=,得P()=,又由P(A+)=P(A)+P()-P(A),得P(A)=P(A)+P()-P(A+)=+-=,故A错误;对于B,由P(AB)+P(A)=P(A),得P(AB)=P(A)-P(A)=-=,所以P(B|A)===,故B正确;对于C,因为P(|A)===,P()=,所以P(|A)=P(),故C正确;对于D,由P(B)=P(AB)+P(B),得P(B)=P(B)-P(AB)=-=,所以P(A+B)=P(A)+P(B)=+=,故D正确.故选BCD.
例3 解:方法一:设事件A=“有1瓶是蓝色墨水”,事件B=“另1瓶是红色墨水”,事件C=“另1瓶是黑色墨水”,事件D=“另1瓶是红色墨水或黑色墨水”,则D=B∪C且B与C互斥.P(A)==,P(AB)==,P(AC)==,故P(D|A)=P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A)=+=+=.
方法二:设事件A=“有1瓶是蓝色墨水”,事件B=“另1瓶也是蓝色墨水”,事件C=“另1瓶是红色墨水或黑色墨水”=“另1瓶不是蓝色墨水”,则事件B与C互为对立事件,P(B|A)===,故P(C|A)=1-P(B|A)=1-=.
变式 解:设“第一张中一等奖”为事件A,“第二张中二等奖”为事件B,“第二张中三等奖”为事件C,则由题意得B与C为互斥事件,P(A)=,P(AB)==,P(AC)==,∴P(B|A)===,P(C|A)===,∴P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A)=+==,故在第一张中一等奖的条件下,第二张中二等奖或三等奖的概率为.第2课时 条件概率的性质及应用
1.D [解析] 因为P(|M)=0.5,所以P(N|M)=1-0.5=0.5,则P(MN)=P(M)·P(N|M)=0.4×0.5=0.2.故选D.
2.D [解析] ∵P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB),∴=+-P(AB),解得P(AB)=,∴P(A|B)===.故选D.
3.C [解析] 记A=“第一次抽到的卡片所标数字为奇数”,B=“第二次抽到的卡片所标数字为奇数”,由题意得P(A)==,P(AB)==,所以P(B|A)===.故选C.
4.C [解析] 若P(A|B)+P(|)=1,则P(A|B)=1-P(|)=P(A|),即B的发生与否对A没有影响,故A与B相互独立,充分性成立;若A与B相互独立,则与相互独立,所以P(A|B)=P(A),P(|)=P(),所以P(A|B)+P(|)=P(A)+P()=1,必要性成立.所以“P(A|B)+P(|)=1”是“A与B相互独立”的充要条件.故选C.
5.A [解析] 对于A,B,P(B|A)+P(|A)===1,故A中说法错误,B中说法正确;对于C,若A,B相互独立,则P(AB)=P(A)P(B),所以P(A|B)==P(A),故C中说法正确;对于D,若A,B互斥,则P(AB)=0,所以P(A|B)=P(B|A)=0,故D中说法正确.故选A.
6.D [解析] 由题意得P(M)=1-=,P(MN)==,所以P(N|M)===.故选D.
7.D [解析] 设“取到的电子元件是不合格品”为事件A,“取到的电子元件是废品”为事件B,则P(A)=0.1,P(B)=0.01,P(AB)=P(B)=0.01,所以P(|A)=1-P(B|A)=1-=1-=0.9.
8.ABD [解析] 对于A,若P(B|A)=P(B|),则P(B)=P(A)P(B|A)+P()P(B|)=P(A)·+[1-P(A)]·=,∴P(AB)=P(A)P(B),∴A,B相互独立,故A正确;对于B,若P(AB)=P(A)P(B),则A,B相互独立,∴,相互独立,∴P( )=P()P(),故B正确;对于C,抛掷一枚质地均匀的骰子,设“出现偶数点”为事件A,“出现奇数点”为事件B,则P(A+B)=P(A)+P(B)=1,P(A)=P(B)=,P(AB)=0,∴P(AB)≠P(A)P(B),故C错误;对于D,若事件B和C是两个互斥事件,则P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A),故D正确.故选ABD.
9.ABC [解析] P(A)==,故A正确;P(AB)==,故B正确;P(B|A)===,故C正确;P()=1-P(A)=1-=,P(B)==,则P(B|)===,故D错误.故选ABC.
10. [解析] 由题意可得P(B|A)==,因为P(A)=,所以P(AB)=.因为P(|B)=,所以P(A|B)=1-P(|B)=,又因为P(A|B)=,所以P(B)===.
11.0.8 0.6 [解析] 由题意得P(A|B)===0.5,则P(AB)=0.2,∴P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.5,故P(B|A+B)===0.8,P(+|A+B)=1-P(AB|A+B)=1-=1-=0.6.
12. [解析] 由题意可知P(C)=P(∩)=,则P(A∪B)=1-P(∩)=1-=.又P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB),所以P(AB)=P(A)+P(B)-P(A∪B)=+-=,故P(B|A)===.
13.解:P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)…P(An|A1A2…An-1)=P(A1A2)P(A3|A1A2)…P(An|A1A2…An-1)=P(A1A2A3)…P(An|A1A2…An-1)=…=P(A1A2…An-1An),此结果的意义是A1,A2,…,An-1,An共n个事件同时发生的概率.
14.解:设A=“抽取的4个零件中有2个合格品,2个不合格品”,B=“抽取的4个零件中有3个合格品,1个不合格品”,C=“抽取的4个零件全为合格品”,D=“甲车间生产的零件检测通过”,E=“甲车间生产的零件检测良好”,则D=A∪B∪C,E=B∪C.因为事件A,B,C两两互斥,所以P(D)=P(A)+P(B)+P(C)=++=,所以P(E|D)=P(B|D)+P(C|D)=+=+=,故所求概率为.
15.AC [解析] 对于A,由P(A|B)=及P(A|B)=P(A),得P(A)=,即P(AB)=P(A)P(B),所以A,B相互独立,故A正确;对于B,由P(A)>P(B),得>,所以P(A|A∪B)>P(|A∪B),故B错误;对于C,由A知当P(A|B)=P(A)时,P(AB)=P(A)P(B),所以P(B|A)===P(B),故C正确;对于D,·=···=,·=···=≠,故D错误.故选AC.
16.解:(1)设Ai(i=1,2,3)表示第i次按对密码,A表示不超过3次就按对,则A=A1∪A2∪A3,因为事件A1,A2,A3两两互斥,所以P(A)=P(A1∪A2∪A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)=P(A1)+P()P(A2|)+P()P(A3|)=P(A1)+P()P(A2|)+P()P(|)P(A3|)=+×+××=.
(2)记事件B=“最后1位数字是偶数”,则P(A|B)=P(A1∪A2∪A3|B)=P(A1|B)+P(A2|B)+P(A3|B)=++=.第2课时 条件概率的性质及应用
一、选择题
1.已知P(M)=0.4,P(|M)=0.5,则P(MN)= ( )
A.0.4 B.0.6
C.0.1 D.0.2
2.若随机事件A,B满足P(A)=,P(B)=,P(A+B)=,则P(A|B)= ( )
A. B.
C. D.
3.从标有1,2,3,4,5,6的六张卡片中不放回地抽取两次,每次抽取1张,则在第一次抽到的卡片所标数字为奇数的条件下,第二次抽到的卡片所标数字仍为奇数的概率为 ( )
A. B.
C. D.
4.设0A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
5.已知,分别为随机事件A,B的对立事件,P(A)>0,P(B)>0,则下列说法错误的是 ( )
A.P(B|A)+P(|A)=P(A)
B.P(B|A)+P(|A)=1
C.若A,B相互独立,则P(A|B)=P(A)
D.若A,B互斥,则P(A|B)=P(B|A)
6.某周末,甲、乙两位市民准备从龙湖公园、八公山森林公园、上窑森林公园、山南中央公园4个景点中随机选择一个景点游玩,记M=“甲和乙至少有一人选择八公山森林公园”,N=“甲和乙选择的景点不同”,则P(N|M)= ( )
A. B. C. D.
7.在一批电子元件中任取一件检查,是不合格品的概率为0.1,是废品的概率为0.01,已知取到了一件不合格品,则它不是废品的概率是 ( )
A.0.4 B.0.6
C.0.7 D.0.9
8.(多选题)关于随机事件A,B,C,下列说法正确的是 ( )
A.若P(B|A)=P(B|),则A,B相互独立
B.若P(AB)=P(A)P(B),则P( )=P()P()
C.若P(A+B)=P(A)+P(B),则P(AB)=P(A)P(B)
D.若事件B和C是两个互斥事件,则P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A)
9.(多选题)某单位组织开展党史知识竞赛活动,以支部为单位参加比赛.某支部在5道党史题(有3道选择题和2道填空题)中不放回地依次随机抽取2道题作答,设事件A为“第1次抽到选择题”,事件B为“第2次抽到选择题”,则下列结论中正确的是 ( )
A.P(A)= B.P(AB)=
C.P(B|A)= D.P(B|)=
二、填空题
10.若随机事件A,B满足P(A)=,P(B|A)=,P(|B)=,则P(B)= .
11.已知P(A)=0.3,P(B)=0.4,若P(A|B)=0.5,则P(B|A+B)= ,P(+|A+B)= .
12.研究人员开展甲、乙两种药物的临床抗药性研究实验,记事件A为“对药物甲产生抗药性”,事件B为“对药物乙产生抗药性”,事件C为“对甲、乙两种药物均不产生抗药性”.若P(A)=,P(B)=,P(C)=,则P(B|A)= .
三、解答题
13.已知n>2且n∈N*,设A1,A2,…,An-1,An为n个事件,并假定P(A1A2…An-1)>0,试化简P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)…P(An|A1A2…An-1),并说明结果的意义.
14.某工厂质检部门对该工厂甲车间生产的8个零件的质量进行检测,这8个零件的质量(单位:g)分别为18,19,18,20,21,21,21,31,规定零件质量不超过20 g的为合格品.质检部门从甲车间生产的这8个零件中随机抽取4个进行检测,若至少有2个合格品,则检测通过;若至少有3个合格品,则检测良好.求甲车间生产的零件在检测通过的条件下,检测良好的概率.
15.(多选题)[2024·沧州十校高二月考] 设A,B为两个随机事件,且P(A),P(B)∈(0,1),则下列说法正确的是 ( )
A.若P(A|B)=P(A),则A,B相互独立
B.若P(A)>P(B),则P(A|A∪B)C.若P(A|B)=P(A),则P(B|A)=P(B)
D.若P(AB)≠P( ),则·-·=0
16.银行储蓄卡的密码由6位数字组成.某人在银行自助取款机上取钱时,忘记了密码的最后1位数字.
(1)任意按最后1位数字,求不超过3次就按对的概率;
(2)如果记得密码的最后1位数字是偶数,求不超过3次就按对的概率.