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7.1 条件概率与全概率公式
7.1.2 全概率公式
探究点一 全概率公式的简单运用
探究点二 多个事件的全概率问题
探究点三 贝叶斯公式的应用*
【学习目标】
1.结合古典概型,了解利用概率的加法公式和乘法公式推导出全
概率公式的过程.
2.结合古典概型,会利用全概率公式计算概率.
3.了解贝叶斯公式.
知识点一 全概率公式
1.概念
若样本空间 中的事件，， ， 满足：
（1）任意两个事件均______，即 ，，,2， ， ，
；
（2） ___；
（3），,2， ，，则对任意的事件 ，有
_ _______________，称该公式为____________.
互斥
全概率公式
2.理解
全概率公式采用化整为零的方式，把各块的概率分
别求出，再相加求和即可，可借助如图所示的图形
来理解.
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）在全概率公式中，，， ， 必须是一组两两互斥的事
件.( )
√
（2）使用全概率公式的关键是寻找另一组事件来“分割”样本空间.
( )
√
（3）设,为任意两个随机事件,则与 是互斥的.( )
√
（4）全概率公式 的本质是将样本
空间分成互斥的两部分后得到的.( )
√
知识点二 贝叶斯公式
贝叶斯公式：设，， ， 是一组两两互斥的事件，
，且，,2， ， ，则对任意
的事件 ，，有
_ ____________，,2， ， .
探究点一 全概率公式的简单运用
例1 已知某工厂生产了一批产品，其正品率为 .现引进一种设备
对产品质量进行检测，但该设备存在缺陷，在产品为次品的前提下
用该设备进行检测，检测结果有 的可能为不合格；在产品为正
品的前提下，检测结果也有 的可能为不合格.现从生产的产品中任
取一件用该设备进行检测，求检测结果为合格的概率.
解：设事件 “任取一件产品用该设备进行检测，检测结果为合格”，
事件“抽取的产品为正品”，事件 “抽取的产品为次品”，则
，，， ，
由全概率公式得
.
变式 已知甲箱中有厚度相同的2本文学小说和3本散文集，乙箱中有
厚度相同的3本文学小说和2本散文集.
（1）若从甲箱中随机取出2本书，求在2本书中至少有1本是文学小
说的条件下，恰有1本是散文集的概率；
解：设“2本书中至少有1本是文学小说”， “2本书中恰有1本是
散文集”，
则 .
（2）若从两箱中随机选择一箱，然后从中随机取出1本书，求取到1
本文学小说的概率.
解：设“取到的书来自甲箱”，“取到的书来自乙箱”， “取
到1本文学小说”，
则 .
［素养小结］
全概率公式针对的是某一个过程中已知条件求结果发生的概率，解
题步骤如下：
（1）按照某种标准将条件事件分解为个彼此互斥事件的并，将这
个事件分别命名为 ；
（2）命名目标的概率事件为事件 ；
（3）分别计算 ；
（4）代入全概率公式求解.
探究点二 多个事件的全概率问题
例2 甲袋中有3个白球和2个红球，乙袋中有2个白球和3个红球，丙
袋中有4个白球和4个红球.先随机取一只袋，再从该袋中不放回地取
两次，每次取1个球.
（1）求第一次取出的球是红球的概率；
解：设“第一次取出的球是红球”为事件，“取到甲袋”为事件 ，
“取到乙袋”为事件，“取到丙袋”为事件 ，
由全概率公式可得
.
（2）求在第一次取出的球是红球的前提下，第二次取出的球是白球
的概率.
解：设“第二次取出的球是白球”为事件 ，由全概率公式可得
，
故 .
变式 [2024·上海二中高二月考] 某工厂有四条流水线生产同一产品，
已知这四条流水线的产量分别占总产量的,,和 ，又
知这四条流水线的产品不合格率依次为,, 和0.02.从该厂
生产的一批产品中任取一件，求取到不合格品的概率.
解：设“任取一件产品，取到不合格品”， “任取一件产品，
它是第条流水线的产品” ，
由题知，，， ，
且，， ，
，
故 .
［素养小结］
已知事件的发生有各种可能的情形，则事件 发生
的概率，就是各种可能情形发生的概率与已知在 发生的条件下
事件 发生的概率的乘积之和.
拓展 [2024·辽宁朝阳高二期中]某校拟举行乒乓球团体赛，赛制采取
3局2胜制，每局都是单打模式，每队有5名队员，比赛中每名队员至
多上场一次且是否上场是随机的，每局比赛结果互不影响.经过小组
赛后，最终甲、乙两队进入最后的决赛，根据前期比赛的数据统计，
甲队种子选手对乙队每名队员的胜率均为 ，甲队其余4名队员对
乙队每名队员的胜率均为 （注：比赛结果没有平局），则甲队最终
以获胜且种子选手 上场的概率是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 设事件“种子选手第局上场”，事件 “甲
队最终以获胜且种子选手 上场”，
由全概率公式知
，
因为每名队员是否上场是随机的，
所以， ， ，
所以 ，
， ，
所以 ，所以甲队
最终以获胜且种子选手上场的概率为 .故选B.
探究点三 贝叶斯公式的应用
例3 小张去某地参加会议，他乘高铁、汽车、飞机去的概率分别为
, ,，他乘高铁、汽车、飞机前往迟到的概率分别为，， ，若
他迟到了，求他乘的是高铁的概率．
解:设“小张迟到”，“小张乘高铁”， “小张乘汽车”，
“小张乘飞机”．
根据题意，有， ，，，
， .
由贝叶斯公式，有
，因此，若小张迟到了，则他乘的是高铁的概率为 .
变式 有一个邮件过滤系统，它可以根据邮件的内容和发件人等信息，
判断邮件是不是垃圾邮件，并将其标记为垃圾邮件或正常邮件.对这
个系统的测试有以下结果：每封邮件被标记为垃圾邮件的概率为 ，
被标记为垃圾邮件的有 的概率是正常邮件，被标记为正常邮件的
有 的概率是垃圾邮件.据此可知，垃圾邮件被该系统成功过滤
（即垃圾邮件被标记为垃圾邮件）的概率为__.
[解析] 记“正常邮件”，“标记为正常邮件”，则 ，
，，
所以 ， ，
故，
所以 .
［素养小结］
贝叶斯公式针对的是某一个过程中已知结果发生求事件过程中某个
条件成立的概率，解题步骤如下：
（1）按照某种标准将目标条件事件分解为 个彼此互斥事件的并，
将这个事件分别命名为 ；
（2）命名已知发生的结果为事件 ；
（3）分别计算和 ；
（4）代入贝叶斯公式 求解.
贝叶斯在数学方面主要研究概率论，他首先将归纳推理法用于
概率论基础理论，并创立了贝叶斯统计理论，对统计决策函数、统
计推断、统计的估算等做出了贡献.
贝叶斯公式也称为贝叶斯法则，尽管它是一个数学公式，但其
原理无需数字也可明了.如果你看到一个人总是做一些好事，那么这
个人多半会是一个好人.这就是说，当你不能准确知悉一个事物的本
质时，你可以依靠与事物特定本质相关的事件出现的多少去判断其
本质属性的概率.用数学语言表达就是：支持某项属性的事件发生得
愈多，则该属性成立的可能性就愈大.
1.使用全概率公式的前提：
（1）任意两个事件均互斥，即 ,,,2, ,, ;
（2） ;
（3）,,2, , .
2.全概率公式的使用
把事件看作某一过程的结果,把,, , 看作该过程的若干个原
因,根据历史资料,每一个原因发生的概率已知（即 已知）,而且
每一个原因对结果的影响程度已知（即 已知）,则可用全概
率公式计算结果发生的概率（即求 ）.
3.对全概率公式的理解
某一事件的发生可能有各种的原因，如果 是由原因
所引起，则发生的概率 ，每一原因都可能
导致发生，故发生的概率是各原因引起 发生概率的总和，即全
概率公式.由此可以形象地把全概率公式看成“由原因推结果”，每个
原因对结果的发生有一定的“作用”，即结果发生的可能性与各种原
因的“作用”大小有关.
如果随机试验可以看成两个阶段,且第一阶段的各试验结果具体结果
未知,那么:（1）若要求的是第二阶段某一个结果发生的概率,则用全
概率公式;（2）若第二个阶段的某一个结果是已知的,要求的是此结
果为第一阶段某一个结果所引起的概率,一般用贝叶斯公式,类似于求
条件概率. 熟记这个特征,在遇到相关的题目时,可以准确地选择方法
进行计算,保证解题的正确高效.
1.全概率公式的应用
例1 已知1号箱中有除颜色外完全相同的5个白球和3个红球,2号箱中
有除颜色外完全相同的2个白球和4个红球.
（1）每次从1号箱中随机取出1个球,取出的球不再放回,经过2次取球，求：
取出的这2个球中有红球的概率;
解：设“取出的2个球中有红球”, “第2次取出的是红球”.
由题意知,试验的样本空间 包含56个等可能的样本点，即 ,
因为,所以 ,故所求概率为 .
解：因为,所以 ,故
所求概率为 .
在取出的这2个球中有红球的条件下,第2次取出红球的概率.
（2）若先从1号箱中随机取出1个球放入2号箱中,再从2号箱中随机取
出1个球,求从2号箱中取出红球的概率.
解：设“从2号箱中取出红球”, “从1号箱中取出红球”,
则,, ,
,
所以 ,
故所求概率为 .
2.贝叶斯公式的应用
例2 假设某种疾病在所有人群中的患病率是 ，医院现有的技术
对于该疾病检测的准确率为，即在患病情况下， 的可能性
可以检测出阳性，正常人 的可能性检测为正常.如果从人群中随
机抽一个人去检测，检测结果为阳性的全概率为 ，请你用贝
叶斯公式计算，在医院给出的检测结果为阳性的条件下，这个人患
病的概率约为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 记“这个人患病”为事件A，“检测结果为阳性”为事件B，
则， ，
，
所以 ，所以在医院
给出的检测结果为阳性的条件下，这个人患病的概率约为 .故选C.
例3 某学校安排甲、乙、丙三个班同时到学校礼堂参加联欢晚会，
已知甲班艺术生占比为，乙班艺术生占比为 ，丙班艺术生占
比为 .学生自由选择座位，先到者先选.甲、乙、丙三个班人数分
别占总人数的，， .若主持人随机从场下学生中选一人参与互动.
（1）求选到的学生是艺术生的概率；
解：设 “任选一名学生恰好是艺术生”，
“所选学生来自甲班”， “所选学生来自乙班”,
“所选学生来自丙班”，
由题可知，，， ，
，， ,
所以
.
（2）如果选到的学生是艺术生，判断其来自哪个班的可能性最大.
解： ，
,
,
所以其来自丙班的可能性最大.
3.全概率公式背景下的数列递推
例4 某校组织知识竞赛，已知甲同学答对第1题的概率为 ，从第2
题开始，若甲同学前1题答错，则此题答对的概率为 ，若前1题答对，
则此题答对的概率为.记甲同学回答第题时答错的概率为 ，若当
时，恒成立，则 的最小值为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 当时，因为回答第 题时有答对、答错两种情况，所
以回答第题时答错的概率 ，
所以.
由题意知，则 ，所以是首项为，公比为
的等比数列，所以 ，即.
显然数列递减，所以当 时，，
所以的最小值为 .故选D.
练习册
一、选择题
1.设，为两个随机事件，若， ，
，则 ( )
A.0.3 B.0.4 C.0.5 D.0.6
[解析] 由，得 ，
由，
得 ，解得 .故选C.
√
2.某公司选择甲、乙两部门提供的方案的概率分别为， ，且
甲、乙两部门提供的方案的优秀率分别为， .现从甲、乙两部
门中任选一个方案，则该方案是优秀方案的概率为( )
A.0.69 B.0.7 C.0.71 D.0.72
[解析] 用， 分别表示选到的方案来自甲部门、乙部门，用B表示
选到的方案是优秀方案.
由题意得， ，， ，
所以由全概率公式得
.故选C.
√
3.从甲地到乙地共有，，三条路线可走，走路线 堵车的概率为
，走路线堵车的概率为，走路线堵车的概率为 ，若李先
生从这三条路线中等可能地任选一条，则不堵车的概率为( )
A.0.2 B.0.398 C.0.994 D.0.8
[解析] 由题意可知，李先生走每条路线的概率均为 ，走路线A不堵
车的概率为，走路线B不堵车的概率为 ，走路线C不堵车的概
率为 ，
由全概率公式得，李先生不堵车的概率
.
√
*4.设某公路上经过的货车与客车的数量之比为 ，货车中途停车
修理的概率为，客车中途停车修理的概率为 ，今有一辆车中
途停车修理，则该车是货车的概率为( )
A.0.8 B.0.5 C.0.67 D.0.875
[解析] 设“公路上经过的车为货车”， “公路上经过的车为客
车”，“车需要停车修理”，
则， ，， ，
所以 .
√
5.[2024·陕西安康高二期末]某班举办知识竞赛，已知题库中有, 两
种类型的试题，类试题的数量是类试题数量的两倍，且甲答对
类试题的概率为，答对类试题的概率为 ，则从题库中任选1道题
作答，甲答对的概率为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 从题库中任选1道题，记“选到类试题”,“选到 类
试题”，
因为类试题的数量是类试题数量的两倍，所以 , .
记“从题库中任选1道题作答，甲答对”,
则 ， ，
所以 .故选C.
6.[2024·浙江宁波高二期中]某人外出，委托邻居给家里的盆栽浇一
次水.若不浇水，则盆栽枯萎的概率为0.8；若浇水，则盆栽枯萎的概
率为0.2.已知邻居浇水的概率为 ，该人回来盆栽没有枯萎的概率为
，则实数 的值为( )
A.0.9 B.0.85 C.0.8 D.0.75
√
[解析] 记“盆栽没有枯萎”， “邻居给盆栽浇水”，
由题意可得,,, ，
由对立事件的概率公式可得 .
由全概率公式可得，解得 .故选A.
*7.某卡车为乡村小学运送书籍，共装有10个纸箱，其中5箱英语书、
2箱数学书、3箱语文书.到目的地时发现丢失1箱，但不知丢失哪一箱.
现从剩下的9箱中任意打开2箱，结果都是英语书，则丢失的1箱也是
英语书的概率为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 用A表示“从剩下的9箱中任意打开2箱，这2箱都是英语书”，
用,, 分别表示丢失的1箱是英语书、数学书、语文书.
由全概率公式得
，
则 ，故选B.
8.（多选题）随着社会经济的不断发展，电子商务平台使人们购物更加
方便快捷，假设某电商平台的市场占有率和产品优质率的信息如下表：
电商平台 甲 乙 其他市场
市场占有率
产品优质率
用,,分别表示某网民使用甲、乙、其他电商平台购物， 表示
买到优质产品，若该网民在市场中随机选择一个电商平台购物，则
( )
A. B.
C. D.
√
√
[解析] 依题意得,,， ,
,,所以,
所以, ,
所以,故选 .
*9.（多选题）在某一季节，疾病的患病率为，病人中 表
现出症状，疾病的患病率为，病人中表现出症状 ，疾病
的患病率为，病人中表现出症状 ，则( )
A.任意一位病人表现出症状 的概率为0.02
B.病人表现出症状时患疾病 的概率为0.4
C.病人表现出症状时患疾病 的概率为0.45
D.病人表现出症状时患疾病 的概率为0.25
√
√
√
[解析] 设表示患疾病，B表示表现出症状 ，则样本
空间，且,, 两两互斥.
根据题意得,,, ,
,.
由全概率公式得 .
由贝叶斯公式得 ,
,
.故选 .
二、填空题
10.已知，，，则 ___.
[解析] 因为，所以 .
由全概率公式得
.
11.某次数学测试有8道单项选择题（即每道题只有一个选项是符合题
目要求的），对小明同学来说，前6道题每道做对的概率都是 ，
后2道题每道做对的概率都是 ，若从这8道单项选择题中任选1道，
则小明同学做对该题的概率是____.
0.7
[解析] 记“选出的1道题来自前6道题”为事件 ，“小明同学做对该题”
为事件，
则有,， , ，
所以 .
12.[2024·湖南衡阳高二期末] 某中学高一、高二、高三年级的学生
人数之比为 ，假设该中学高一、高二、高三年级的学生阅读完
《红楼梦》的概率分别为,, .已知从该中学三个年
级的学生中随机选取1名学生，这名学生阅读完《红楼梦》的概率不
大于 ，若该中学高三年级的学生阅读完《红楼梦》的概率不低
于高一年级的学生阅读完《红楼梦》的概率，则 的取值范围是
__________.
[解析] 从该中学三个年级的学生中随机选取1名学生，设事件
“学生来自高一年级”，“学生来自高二年级”， “学生来自高
三年级”，设事件 “学生阅读完《红楼梦》”，
则由全概率公式得 ，解得 .
因为该中学高三年级的学生阅读完《红楼梦》的概率不低于高一年级的学生阅读完《红楼梦》的概率，所以，
故 的取值范围是 .
三、解答题
13.某学校开设一楼、二楼、三楼三个学生餐厅，某同学某天中午随
机地选择一个餐厅就餐.如果中午去一楼餐厅就餐，那么当天晚上不
去一楼餐厅就餐的概率为0.9；如果中午去二楼餐厅就餐，那么当天
晚上去二楼餐厅就餐的概率为0.7；如果中午去三楼餐厅就餐，那么
当天晚上不去三楼餐厅就餐的概率为0.8.若该同学晚上选择在一楼与
三楼餐厅就餐的概率相等，分别求该同学晚上选择在一楼、二楼、
三楼餐厅就餐的概率.
解：用,, 分别表示该同学中午去一楼、二楼、三楼餐厅就餐，
用,, 分别表示该同学当天晚上去一楼、二楼、三楼餐厅就餐，
由该同学晚上选择在一楼与三楼餐厅就餐的概率相等及全概率公式
可得
，
,
.
14.同一种产品由甲、乙、丙三个厂供应.根据长期的经验知，三个厂
的正品率分别为，，，三个厂产品件数所占比例为 ，
将所有产品混合在一起.
（1）从中任取1件，求此产品为正品的概率.
解：设事件表示取到的1件产品为正品，，， 分别表示取到
的1件产品由甲、乙、丙厂生产,则，且，，
两两互斥，
由题意得，， ，
，， ，
故 .
（2）现取到的1件产品为正品，则这件产品是由甲、乙、丙三个厂
中哪个厂生产的可能性最大？
解：由贝叶斯公式得 ，
，
,
则 ，
由此可知这件产品是由丙厂生产的可能性最大.
15.要验收一批乐器（共100件），验收方案如下：从该批乐器中随机
取3件进行测试（设3件乐器的测试是相互独立的），测试后只要有一
件乐器被认为音色不纯，这批乐器就会被拒绝接收.设一件音色不纯的
乐器经测试被查出其音色不纯的概率为 ，而一件音色纯正的乐器
经测试被误认为音色不纯的概率为0.01.若这100件乐器中恰有4件音色
不纯，则这批乐器被接收的概率约为_____.（结果保留两位小数）
0.86
[解析] 记事件为“这批乐器被接收”，事件 为“抽取的3件乐器中有
件音色不纯”,,1,2,3，
则 ，，
由全概率公式得
.
*16.[2024·安徽阜阳三中高二月考] 调研数据显示，有超过七成的消
费者对新能源汽车较为看好，目前中国消费者对新能源汽车的系别
选择以国产车为主.已知2024年第一季度，在某地上牌照的新能源汽
车中，国产车占比为 ，在上牌照的国产新能源汽车中，甲品牌
车与乙品牌车的占比分别为， .
（1）从该地上牌照的新能源汽车中，随机抽取2辆，求抽取的2辆车
不全是甲品牌车的概率；
解：从该地上牌照的新能源汽车中，随机抽取1辆，该车是甲品牌车
的概率为 ，
所以随机抽取2辆，抽取的2辆车不全是甲品牌车的概率为
.
（2）已知该地上牌照的新能源汽车中，国外产的新能源汽车中价位
不超过30万元的占比为 ，在国产新能源汽车中，甲品牌车、乙
品牌车与其他品牌车价位不超过30万元的占比分别为， ，
，从该地上牌照的新能源汽车中随机抽取1辆，若该车价位不超
过30万元，求该车是甲品牌车的概率.
解：从该地上牌照的新能源汽车中随机抽取1辆，记该车是国外、甲
品牌、乙品牌、其他品牌产的新能源汽车分别为事件，， ，
，价位不超过30万元为事件 ，
则， ，
， ，
，，， ，
所以
，
又 ，
所以 ，
所以从该地上牌照的新能源汽车中随机抽取1辆，若该车价位不超过
30万元，则该车是甲品牌车的概率为 .7.1.2 全概率公式
【课前预习】
知识点一
1.(1)互斥 (2)Ω (3)P(Ai)P(B|Ai) 全概率公式
诊断分析
(1)√ (2)√ (3)√ (4)√
知识点二
【课中探究】
例1 解:设事件B=“任取一件产品用该设备进行检测,检测结果为合格”,事件A=“抽取的产品为正品”,事件=“抽取的产品为次品”,则P(A)=0.9,P()=0.1,P(B|A)=0.95,P(B|)=0.1,由全概率公式得P(B)=P(A)P(B|A)+P()P(B|)=0.9×0.95+0.1×0.1=0.865.
变式 解:(1)设A=“2本书中至少有1本是文学小说”,B=“2本书中恰有1本是散文集”,
则P(B|A)===.
(2)设C=“取到的书来自甲箱”,=“取到的书来自乙箱”,D=“取到1本文学小说”,则P(D)=P(C)P(D|C)+P()P(D|)=×+×=.
例2 解:(1)设“第一次取出的球是红球”为事件A,“取到甲袋”为事件B1,“取到乙袋”为事件B2,“取到丙袋”为事件B3,
由全概率公式可得P(A)=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+P(A|B3)P(B3)=×+×+×=.
(2)设“第二次取出的球是白球”为事件C,由全概率公式可得
P(AC)=P(AC|B1)P(B1)+P(AC|B2)P(B2)+P(AC|B3)P(B3)=××+××+××=,故P(C|A)===.
变式 解:设A=“任取一件产品,取到不合格品”,Bk=“任取一件产品,它是第k条流水线的产品”(k=1,2,3,4),
由题知P(B1)=0.15,P(B2)=0.20,P(B3)=0.30,P(B4)=0.35,且P(A|B1)=0.05,P(A|B2)=0.04,P(A|B3)=0.03,P(A|B4)=0.02,
故P(A)=P(B1)×P(A|B1)+P(B2)×P(A|B2)+P(B3)×P(A|B3)+P(B4)×P(A|B4)=0.15×0.05+0.20×0.04
+0.30×0.03+0.35×0.02=0.031 5.
拓展 B [解析] 设事件Ai=“种子选手M第i局上场”(i=1,2,3),事件B=“甲队最终以2∶1获胜且种子选手M上场”,由全概率公式知P(B)=P(B|A1)·P(A1)+P(B|A2)·P(A2)+P(B|A3)·P(A3),因为每名队员是否上场是随机的,所以P(A1)=,P(A2)=×=,P(A3)=××=,所以P(B|A1)=××+××=,P(B|A2)=××+××=,P(B|A3)=×××=,所以P(B)=P(B|Ai)P(Ai)=×+×+×=,所以甲队最终以2∶1获胜且种子选手M上场的概率为.故选B.
例3 解:设B=“小张迟到”,A1=“小张乘高铁”,A2=“小张乘汽车”,A3=“小张乘飞机”.根据题意,有P(A1)=,P(A2)=,P(A3)=,P(B|A1)=,P(B|A2)=,P(B|A3)=.由贝叶斯公式,有P(A1|B)=
=
=,因此,若小张迟到了,则他乘的是高铁的概率为.
变式 [解析] 记A=“正常邮件”,B=“标记为正常邮件”,则P()=,P(A|)=,P(|B)=,所以P(B)=1-P()=,P(|)=1-P(A|)=,故P()=P(|B)P(B)+P(|)P()=+=,所以P(|)===.7.1.2 全概率公式
1.C [解析] 由P(A)=0.5,得P()=0.5,由P(B)=P(A)P(B|A)+P()P(B|),得0.4=0.5×0.3+0.5P(B|),解得P(B|)=0.5.故选C.
2.C [解析] 用A1,A2分别表示选到的方案来自甲部门、乙部门,用B表示选到的方案是优秀方案.由题意得P(A1)=0.45,P(A2)=0.55,P(B|A1)=0.6,P(B|A2)=0.8,所以由全概率公式得P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)=0.45×0.6+0.55×0.8=0.71.故选C.
3.D [解析] 由题意可知,李先生走每条路线的概率均为,走路线A不堵车的概率为0.9,走路线B不堵车的概率为0.7,走路线C不堵车的概率为0.8,由全概率公式得,李先生不堵车的概率P=×0.9+×0.7+×0.8=0.8.
4.A [解析] 设A=“公路上经过的车为货车”,B=“公路上经过的车为客车”,C=“车需要停车修理”,则P(A)=,P(B)=,P(C|A)=0.02,P(C|B)=0.01,所以P(A|C)===0.8.
5.C [解析] 从题库中任选1道题,记A=“选到M类试题”,B=“选到N类试题”,因为M类试题的数量是N类试题数量的两倍,所以P(A)=,P(B)=.记D=“从题库中任选1道题作答,甲答对”,则P(D|A)=,P(D|B)=,所以P(D)=P(D|A)·P(A)+P(D|B)·P(B)=×+×=.故选C.
6.A [解析] 记A=“盆栽没有枯萎”,W=“邻居给盆栽浇水”,由题意可得P(W)=P,P()=1-P,P(|)=0.8,P(|W)=0.2,由对立事件的概率公式可得P()=1-P(A)=1-0.74=0.26.由全概率公式可得P()=P(W)P(|W)+P()P(|)=P×0.2+(1-P)×0.8=0.26,解得P=0.9.故选A.
7.B [解析] 用A表示“从剩下的9箱中任意打开2箱,这2箱都是英语书”,用B1,B2,B3分别表示丢失的1箱是英语书、数学书、语文书.由全概率公式得P(A)=P(Bk)P(A|Bk)=×+×+×=,则P(B1|A)====,故选B.
8.AD [解析] 依题意得P(A1)=,P(A2)=,P(A3)=,P(B|A1)=0.9,P(B|A2)=0.9,P(B|A3)=0.8,所以P(|A1)=0.1,所以P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)=×0.9+×0.9+×0.8=0.89,P(BA3)=P(B|A3)P(A3)=0.8×=0.08,所以P(A3|B)===,故选AD.
9.ABC [解析] 设Ai表示患疾病Di(i=1,2,3),B表示表现出症状S,则样本空间Ω=A1∪A2∪A3,且A1,A2,A3两两互斥.根据题意得P(A1)=0.02,P(A2)=0.05,P(A3)=0.005,P(B|A1)=0.4,P(B|A2)=0.18,P(B|A3)=0.6.由全概率公式得P(B)=P(Ai)P(B|Ai)=0.02×0.4+0.05×0.18+0.005×0.6=0.02.由贝叶斯公式得P(A1|B)===0.4,P(A2|B)===0.45,P(A3|B)===0.15.故选ABC.
10. [解析] 因为P(A)=,所以P()=.由全概率公式得P(B)=P(B|A)P(A)+P(B|)P()=×+×=.
11.0.7 [解析] 记“选出的1道题来自前6道题”为事件A,“小明同学做对该题”为事件B,则有P(A)==,P()=1-=,P(B|A)=0.8,P(B|)=0.4,所以P(B)=P(A)P(B|A)+P()P(B|)=×0.8+×0.4=0.7.
12.[0.2,0.26] [解析] 从该中学三个年级的学生中随机选取1名学生,设事件A1=“学生来自高一年级”,A2=“学生来自高二年级”,A3=“学生来自高三年级”,设事件B=“学生阅读完《红楼梦》”,则由全概率公式得P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)=0.2×+0.25×+p×=0.155+0.3p≤0.233,解得p≤0.26.因为该中学高三年级的学生阅读完《红楼梦》的概率不低于高一年级的学生阅读完《红楼梦》的概率,所以p≥0.2,故p的取值范围是[0.2,0.26].
13.解:用A1,A2,A3分别表示该同学中午去一楼、二楼、三楼餐厅就餐,用B1,B2,B3分别表示该同学当天晚上去一楼、二楼、三楼餐厅就餐,由该同学晚上选择在一楼与三楼餐厅就餐的概率相等及全概率公式可得P(B1)=P(A1B1)+P(A2B1)+P(A3B1)=P(A1)P(B1|A1)+P(A2)P(B1|A2)+P(A3)P(B1|A3)=×(1-0.9)+×+×(1-0.8)=,P(B2)=P(A1B2)+P(A2B2)+P(A3B2)=P(A1)P(B2|A1)+P(A2)P(B2|A2)+P(A3)P(B2|A3)=×[1-2×(1-0.9)]+×0.7+×[1-2×(1-0.8)]=,P(B3)=P(A1B3)+P(A2B3)+P(A3B3)=P(A1)P(B3|A1)+P(A2)P(B3|A2)+P(A3)P(B3|A3)=×(1-0.9)+×+×(1-0.8)=.
14.解:(1)设事件A表示取到的1件产品为正品,B1,B2,B3分别表示取到的1件产品由甲、乙、丙厂生产,则Ω=B1∪B2∪B3,且B1,B2,B3两两互斥,
由题意得P(B1)=0.2,P(B2)=0.3,P(B3)=0.5,P(A|B1)=0.95,P(A|B2)=0.9,P(A|B3)=0.8,故P(A)=P(Bi)P(A|Bi)=0.2×0.95+0.3×0.9+0.5×0.8=0.86.
(2)由贝叶斯公式得P(B1|A)===,P(B2|A)===,
P(B3|A)===,则P(B1|A)
15.0.86 [解析] 记事件A为“这批乐器被接收”,事件Bi为“抽取的3件乐器中有i件音色不纯”,i=0,1,2,3,则P(Bi)=,P(A|Bi)=0.993-i×0.05i,由全概率公式得P(A)=P(A|B0)P(B0)+P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+P(A|B3)P(B3)≈0.86.
16.解:(1)从该地上牌照的新能源汽车中,随机抽取1辆,该车是甲品牌车的概率为0.7×0.4=0.28,
所以随机抽取2辆,抽取的2辆车不全是甲品牌车的概率为1-0.282=0.921 6.
(2)从该地上牌照的新能源汽车中随机抽取1辆,记该车是国外、甲品牌、乙品牌、其他品牌产的新能源汽车分别为事件A1,A2,A3,A4,价位不超过30万元为事件B,
则P(A1)=1-0.7=0.3,P(A2)=0.7×0.4=0.28,
P(A3)=0.7×0.2=0.14,P(A4)=0.7×(1-0.4-0.2)=0.28,P(B|A1)=0.2,P(B|A2)=0.4,P(B|A3)=0.3,P(B|A4)=0.5,
所以P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)+P(A4)P(B|A4)=0.3×0.2+0.28×0.4+
0.14×0.3+0.28×0.5=0.354,
又P(A2B)=P(A2)P(B|A2)=0.28×0.4=0.112,
所以P(A2|B)===,
所以从该地上牌照的新能源汽车中随机抽取1辆,若该车价位不超过30万元,则该车是甲品牌车的概率为.7.1.2 全概率公式
【学习目标】
1.结合古典概型,了解利用概率的加法公式和乘法公式推导出全概率公式的过程.
2.结合古典概型,会利用全概率公式计算概率.
*3.了解贝叶斯公式.
◆ 知识点一 全概率公式
1.概念
若样本空间Ω中的事件A1,A2,…,An满足:
(1)任意两个事件均 ,即AiAj= ,i,j=1,2,…,n,i≠j;
(2)A1∪A2∪…∪An= ;
(3)P(Ai)>0,i=1,2,…,n,则对任意的事件B Ω,有P(B)= ,称该公式为 .
2.理解
全概率公式采用化整为零的方式,把各块的概率分别求出,再相加求和即可,可借助如图所示的图形来理解.
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)在全概率公式中,A1,A2,…,An必须是一组两两互斥的事件. ( )
(2)使用全概率公式的关键是寻找另一组事件来“分割”样本空间. ( )
(3)设A,B为任意两个随机事件,则BA与B是互斥的. ( )
(4)全概率公式P(B)=P(A)P(B|A)+P()P(B|)的本质是将样本空间分成互斥的两部分后得到的. ( )
◆ 知识点二 贝叶斯公式*
贝叶斯公式:设A1,A2,…,An是一组两两互斥的事件,A1∪A2∪…∪An=Ω,且P(Ai)>0,i=1,2,…,n,则对任意的事件B Ω,P(B)>0,有P(Ai|B)== ,i=1,2,…,n.
◆ 探究点一 全概率公式的简单运用
例1 已知某工厂生产了一批产品,其正品率为90%.现引进一种设备对产品质量进行检测,但该设备存在缺陷,在产品为次品的前提下用该设备进行检测,检测结果有90%的可能为不合格;在产品为正品的前提下,检测结果也有5%的可能为不合格.现从生产的产品中任取一件用该设备进行检测,求检测结果为合格的概率.
变式 已知甲箱中有厚度相同的2本文学小说和3本散文集,乙箱中有厚度相同的3本文学小说和2本散文集.
(1)若从甲箱中随机取出2本书,求在2本书中至少有1本是文学小说的条件下,恰有1本是散文集的概率;
(2)若从两箱中随机选择一箱,然后从中随机取出1本书,求取到1本文学小说的概率.
[素养小结]
全概率公式针对的是某一个过程中已知条件求结果发生的概率,解题步骤如下:
(1)按照某种标准将条件事件分解为n个彼此互斥事件的并,将这n个事件分别命名为Ai(i=1,2,…,n);
(2)命名目标的概率事件为事件B;
(3)分别计算P(Ai)P(B|Ai);
(4)代入全概率公式求解.
◆ 探究点二 多个事件的全概率问题
例2 甲袋中有3个白球和2个红球,乙袋中有2个白球和3个红球,丙袋中有4个白球和4个红球.先随机取一只袋,再从该袋中不放回地取两次,每次取1个球.
(1)求第一次取出的球是红球的概率;
(2)求在第一次取出的球是红球的前提下,第二次取出的球是白球的概率.
变式 [2024·上海二中高二月考] 某工厂有四条流水线生产同一产品,已知这四条流水线的产量分别占总产量的15%,20%,30%和35%,又知这四条流水线的产品不合格率依次为0.05,0.04,0.03和0.02.从该厂生产的一批产品中任取一件,求取到不合格品的概率.
[素养小结]
已知事件B的发生有各种可能的情形Ai(i=1,2,…,n),则事件B发生的概率,就是各种可能情形Ai发生的概率与已知在Ai发生的条件下事件B发生的概率的乘积之和.
拓展 [2024·辽宁朝阳高二期中] 某校拟举行乒乓球团体赛,赛制采取3局2胜制,每局都是单打模式,每队有5名队员,比赛中每名队员至多上场一次且是否上场是随机的,每局比赛结果互不影响.经过小组赛后,最终甲、乙两队进入最后的决赛,根据前期比赛的数据统计,甲队种子选手M对乙队每名队员的胜率均为,甲队其余4名队员对乙队每名队员的胜率均为(注:比赛结果没有平局),则甲队最终以2∶1获胜且种子选手M上场的概率是 ( )
A. B.
C. D.
◆ 探究点三 贝叶斯公式的应用*
例3 小张去某地参加会议,他乘高铁、汽车、飞机去的概率分别为,,,他乘高铁、汽车、飞机前往迟到的概率分别为,,,若他迟到了,求他乘的是高铁的概率.
变式 有一个邮件过滤系统,它可以根据邮件的内容和发件人等信息,判断邮件是不是垃圾邮件,并将其标记为垃圾邮件或正常邮件.对这个系统的测试有以下结果:每封邮件被标记为垃圾邮件的概率为,被标记为垃圾邮件的有的概率是正常邮件,被标记为正常邮件的有的概率是垃圾邮件.据此可知,垃圾邮件被该系统成功过滤(即垃圾邮件被标记为垃圾邮件)的概率为 .
[素养小结]
贝叶斯公式针对的是某一个过程中已知结果发生求事件过程中某个条件成立的概率,解题步骤如下:
(1)按照某种标准将目标条件事件分解为n个彼此互斥事件的并,将这n个事件分别命名为Ai(i=1,2,…,n);
(2)命名已知发生的结果为事件B;
(3)分别计算P(Ai)P(B|Ai)和P(B);
(4)代入贝叶斯公式P(Ai|B)=(i=1,2,…,n)求解.7.1.2 全概率公式
一、选择题
1.设A,B为两个随机事件,若P(B)=0.4,P(A)=0.5,P(B|A)=0.3,则P(B|)=( )
A.0.3 B.0.4
C.0.5 D.0.6
2.某公司选择甲、乙两部门提供的方案的概率分别为0.45,0.55,且甲、乙两部门提供的方案的优秀率分别为0.6,0.8.现从甲、乙两部门中任选一个方案,则该方案是优秀方案的概率为 ( )
A.0.69 B.0.7
C.0.71 D.0.72
3.从甲地到乙地共有A,B,C三条路线可走,走路线A堵车的概率为0.1,走路线B堵车的概率为0.3,走路线C堵车的概率为0.2,若李先生从这三条路线中等可能地任选一条,则不堵车的概率为 ( )
A.0.2 B.0.398
C.0.994 D.0.8
*4.设某公路上经过的货车与客车的数量之比为2∶1,货车中途停车修理的概率为0.02,客车中途停车修理的概率为0.01,今有一辆车中途停车修理,则该车是货车的概率为 ( )
A.0.8 B.0.5 C.0.67 D.0.875
5.[2024·陕西安康高二期末] 某班举办知识竞赛,已知题库中有M,N两种类型的试题,M类试题的数量是N类试题数量的两倍,且甲答对M类试题的概率为,答对N类试题的概率为,则从题库中任选1道题作答,甲答对的概率为 ( )
A. B. C. D.
6.[2024·浙江宁波高二期中] 某人外出,委托邻居给家里的盆栽浇一次水.若不浇水,则盆栽枯萎的概率为0.8;若浇水,则盆栽枯萎的概率为0.2.已知邻居浇水的概率为P,该人回来盆栽没有枯萎的概率为0.74,则实数P的值为 ( )
A.0.9 B.0.85 C.0.8 D.0.75
*7.某卡车为乡村小学运送书籍,共装有10个纸箱,其中5箱英语书、2箱数学书、3箱语文书.到目的地时发现丢失1箱,但不知丢失哪一箱.现从剩下的9箱中任意打开2箱,结果都是英语书,则丢失的1箱也是英语书的概率为 ( )
A. B. C. D.
8.(多选题)随着社会经济的不断发展,电子商务平台使人们购物更加方便快捷,假设某电商平台的市场占有率和产品优质率的信息如下表:
电商平台 甲 乙 其他市场
市场占有率 50% 40% 10%
产品优质率 90% 90% 80%
用A1,A2,A3分别表示某网民使用甲、乙、其他电商平台购物,B表示买到优质产品,若该网民在市场中随机选择一个电商平台购物,则 ( )
A.P(|A1)=0.1 B.P(B|A2)=0.36
C.P(B)=0.9 D.P(A3|B)=
*9.(多选题)在某一季节,疾病D1的患病率为2%,病人中40%表现出症状S,疾病D2的患病率为5%,病人中18%表现出症状S,疾病D3的患病率为0.5%,病人中60%表现出症状S,则 ( )
A.任意一位病人表现出症状S的概率为0.02
B.病人表现出症状S时患疾病D1的概率为0.4
C.病人表现出症状S时患疾病D2的概率为0.45
D.病人表现出症状S时患疾病D3的概率为0.25
二、填空题
10.已知P(A)=,P(B|A)=,P(B|)=,则P(B)= .
11.某次数学测试有8道单项选择题(即每道题只有一个选项是符合题目要求的),对小明同学来说,前6道题每道做对的概率都是0.8,后2道题每道做对的概率都是0.4,若从这8道单项选择题中任选1道,则小明同学做对该题的概率是 .
12.[2024·湖南衡阳高二期末] 某中学高一、高二、高三年级的学生人数之比为4∶3∶3,假设该中学高一、高二、高三年级的学生阅读完《红楼梦》的概率分别为0.2,0.25,p(0三、解答题
13.某学校开设一楼、二楼、三楼三个学生餐厅,某同学某天中午随机地选择一个餐厅就餐.如果中午去一楼餐厅就餐,那么当天晚上不去一楼餐厅就餐的概率为0.9;如果中午去二楼餐厅就餐,那么当天晚上去二楼餐厅就餐的概率为0.7;如果中午去三楼餐厅就餐,那么当天晚上不去三楼餐厅就餐的概率为0.8.若该同学晚上选择在一楼与三楼餐厅就餐的概率相等,分别求该同学晚上选择在一楼、二楼、三楼餐厅就餐的概率.
14.同一种产品由甲、乙、丙三个厂供应.根据长期的经验知,三个厂的正品率分别为0.95,0.9,0.8,三个厂产品件数所占比例为2∶3∶5,将所有产品混合在一起.
(1)从中任取1件,求此产品为正品的概率.
(2)现取到的1件产品为正品,则这件产品是由甲、乙、丙三个厂中哪个厂生产的可能性最大
15.要验收一批乐器(共100件),验收方案如下:从该批乐器中随机取3件进行测试(设3件乐器的测试是相互独立的),测试后只要有一件乐器被认为音色不纯,这批乐器就会被拒绝接收.设一件音色不纯的乐器经测试被查出其音色不纯的概率为0.95,而一件音色纯正的乐器经测试被误认为音色不纯的概率为0.01.若这100件乐器中恰有4件音色不纯,则这批乐器被接收的概率约为 .(结果保留两位小数)
*16.[2024·安徽阜阳三中高二月考] 调研数据显示,有超过七成的消费者对新能源汽车较为看好,目前中国消费者对新能源汽车的系别选择以国产车为主.已知2024年第一季度,在某地上牌照的新能源汽车中,国产车占比为70%,在上牌照的国产新能源汽车中,甲品牌车与乙品牌车的占比分别为40%,20%.
(1)从该地上牌照的新能源汽车中,随机抽取2辆,求抽取的2辆车不全是甲品牌车的概率;
(2)已知该地上牌照的新能源汽车中,国外产的新能源汽车中价位不超过30万元的占比为20%,在国产新能源汽车中,甲品牌车、乙品牌车与其他品牌车价位不超过30万元的占比分别为40%,30%,50%,从该地上牌照的新能源汽车中随机抽取1辆,若该车价位不超过30万元,求该车是甲品牌车的概率.