(共80张PPT)
7.2 离散型随机变量及其分布列
探究点一 随机变量、离散型随机变量的
概念
探究点二 离散型随机变量的分布列
探究点三 分布列的性质及应用
探究点四 两点分布
【学习目标】
1.理解随机变量及离散型随机变量的含义.
2.会求某些简单的离散型随机变量的分布列.
知识点一 随机变量与离散型随机变量
1.随机变量
一般地，对于随机试验样本空间 中的每个样本点 ，都有______
的实数与之对应，我们称 为随机变量.通常用大写英文字母表
示随机变量，例如,, ；用小写英文字母表示随机变量的取值，例
如,, .
唯一
2.随机变量的特点
随机试验中，每个样本点都有唯一的一个实数与之对应，随机变量
有如下特点：
（1）取值依赖于样本点；
（2）所有可能取值是明确的.
3.离散型随机变量
可能取值为________或可以__________的随机变量，我们称为离散
型随机变量.
有限个
一一列举
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）随机变量的取值可以是有限个,也可以是无限个.( )
√
（2）在抛掷一枚质地均匀的硬币试验中，“出现正面的次数”为随机
变量.( )
√
（3）手机电池的使用寿命 是离散型随机变量.( )
×
（4）离散型随机变量可以取到某一区间内的任意值．( )
×
知识点二 离散型随机变量的分布列及其性质
1.概念：一般地，设离散型随机变量的可能取值为，， ，
，我们称取每一个值的概率，,2， ，
为 的概率分布列，简称分布列.
2.表示：离散型随机变量的分布列可以用______表示，还可以用
______表示.
X …
P …
表格
图形
3.性质
①___0，,2， ， ；
② ___.
4.两点分布
0 1
______ ___
若随机变量的分布列具有上表的形式，则称服从两点分布或
分布，并称 __________为成功概率.
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）在离散型随机变量的分布列中，每一个可能值对应的概率可以
为任意的实数.( )
×
（2）在离散型随机变量的分布列中，在某一范围内取值的概率等于
它取这个范围内各值的概率之积.( )
×
（3）新生婴儿的性别、投篮是否命中、买到的商品是否为正品，都
可以用两点分布研究.( )
√
探究点一 随机变量、离散型随机变量的概念
［探索］ （1）在一块地里种10棵树苗，设成活的树苗数为，则
的可能取值是什么？
解： 的可能取值是0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10.
（2）抛掷一枚质地均匀的骰子，记向上的点数为，则“ ”表示
的随机事件是什么？
解：“ ”表示向上的点数为4，5，6.
例1（1） 抛掷两枚质地均匀的骰子，所得点数之和为 ，那么“
”表示的试验结果为( )
A.一枚1点、一枚3点
B.两枚都是4点
C.两枚都是2点
D.一枚1点、一枚3点或者两枚都是2点
[解析] 抛掷两枚质地均匀的骰子，所得点数之和为4表示的试验结果
为一枚1点、一枚3点或者两枚都是2点，故选D.
√
（2）判断下列各个量是否为离散型随机变量，并说明理由.
①从10张已编好号码的卡片（从1号到10号）中任取1张，被抽出卡
片的编号;
解：被抽出卡片的编号可按一定次序一一列出，是离散型随机变量.
②港珠澳大桥一天经过的车辆数;
解：港珠澳大桥一天经过的车辆数可按一定次序一一列出，是离散
型随机变量.
③体积为 的正方体的棱长.
解：由题可知正方体的棱长是定值 ,不是随机变量.
变式（1） 指出下列哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明
理由.
①某人射击一次命中的环数；
解：某人射击一次，命中的环数可能是0，1， ，10，而且出现哪
种结果是随机的，因此命中的环数是随机变量.
②任意掷一枚质地均匀的硬币3次，出现正面向上的次数；
解：任意掷一枚质地均匀的硬币1次，可能出现正面向上也可能出现
反面向上，因此掷3次硬币，出现正面向上的次数可能是0,1,2,3，而
且出现哪种结果是随机的，因此出现正面向上的次数是随机变量.
③掷一枚质地均匀的骰子一次，出现的点数；
解：掷一枚质地均匀的骰子一次，出现的点数可能是1，2，3，4，5，
6，而且出现哪种结果是随机的，因此出现的点数是随机变量.
④随年龄的变化，某个人的属相.
解：一个人的属相在出生时就确定了，不随年龄的变化而变化，因
此属相不是随机变量.
（2）甲、乙两人进行乒乓球比赛，规定采用“七局四胜制”，用 表
示需要比赛的局数，写出 所有可能的取值，并写出表示的试验结果.
解： 根据题意可知的可能取值为4,5,6,
表示共打了4局，甲、乙两人有1人连胜4局.
表示在前4局中有1人输了1局，最后1局此人胜出.
表示在前5局中有1人输了2局，最后1局此人胜出.
表示在前6局中两人都输了3局，最后1局有1人胜出.
［素养小结］
判断一个随机变量 是否为离散型随机变量的具体方法：
（1）明确随机试验的所有可能结果；
（2）将随机试验的试验结果数量化；
（3）确定试验结果所对应的实数是否可按一定次序一一列出，若能
一一列出，则该随机变量是离散型随机变量，否则不是.
探究点二 离散型随机变量的分布列
［探索］ （1）确定离散型随机变量 的分布列关键是什么
解:关键是解决好两个问题:一是确定的所有取值;二是求出 取每一
个值时的概率.
（2）怎样求随机变量 取每个值的概率
解:可通过古典概型的概率计算公式求解,求概率时可借助排列、组合
的知识,求出概率后可用所有概率之和为1来验证.
例2 [2024·重庆渝北中学高二期中] 已知袋中有6个除颜色外完全相
同的小球，红球、黄球、蓝球各2个，现从中任取3个球.
（1）求取出的球中红球个数多于黄球个数的概率；
解：设 “取出的球中红球个数多于黄球个数”，
若取出1个红球，则只需再取出2个蓝球，有 种取法，
若取出2个红球，则从剩下的4个球中再取出1个球即可，有 种取法，
所以 .
（2）设表示取出的3个球中红球的个数，求 的分布列.
解：依题意知， 的可能取值为0，1，2，
则，， ，
所以 的分布列为
0 1 2
变式 袋中有1个白球和4个黑球，每次从中任取1个球，每次取出的
黑球不再放回，直到取出白球为止，求取球次数 的分布列.
解：的可能取值为1,2,3,4,5，则第1次取到白球的概率 ，
第2次取到白球的概率 ，第3次取到白球的概率
，第4次取到白球的概率 ，
第5次取到白球的概率，
所以 的分布列为
1 2 3 4 5
［素养小结］
求离散型随机变量分布列的步骤：
（1）确定的所有可能取值 以及每个取值所表示的意义；
（2）利用概率的相关知识，求出每个取值相应的概率
；
（3）写出分布列；
（4）根据分布列的性质对结果进行检验.
拓展 已知随机变量 的分布列如下：
0 1 2 3
分别求随机变量， 的分布列.
解：列出， 的取值和对应的概率如下：
0 1 2 3
0 1 2
8 3 0 0 3
由此得到 的分布列为
0 1 2
的分布列为
0 3 8
探究点三 分布列的性质及应用
例3（1） 若离散型随机变量 的分布列为
0 1
则实数 的值为( )
A.或 B. C. D.2或
[解析] 依题意，解得 ，故选C.
√
（2）已知随机变量 的分布列如下:
1 2 3 4 5 6
0.1 0.35 0.1 0.15 0.2
① ____;
0.1
[解析] 由分布列的性质可知 ,得
.
② _____;
0.45
[解析] .
③ _____.
0.55
[解析] .
变式 病毒在某溶液中的存活个数为的概率 满足
，已知只要该溶液中存在一个病毒 ，
就可以导致生物死亡，则该溶液能够导致生物 死亡的概率为____
___ .
[解析] 因为病毒在某溶液中的存活个数为的概率 满足
，所以 ，
又该溶液中存在一个病毒，就可以导致生物 死亡，所以该溶液能够
导致生物死亡的概率为 .
［素养小结］
离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个
值的概率的和.
探究点四 两点分布
例4（1） 一批产品的次品率为 ，从中任意抽取一个进行检验，
用随机变量来描述次品出现的情况，即 表示产品为合格品，
表示产品为次品， 的分布列为
0 1
则___， ___.
[解析] 表示抽取的一个产品为合格品，概率为 ，即.
表示抽取的一个产品为次品，概率为，即 .
（2）袋中有大小相同的10个红球，5个白球，从中随机摸出2个球，
如果只关心摸出2个红球的情形，那么如何定义随机变量 ，才能使
服从两点分布？求出此时 的分布列.
解:从含有大小相同的10个红球，5个白球的袋中随机摸出2个球，其
结果是随机的，可能为1红1白、2红或2白，
根据题意，定义随机变量
则服从两点分布，且 ，，
的分布列为
0 1
变式（1） 已知随机变量服从两点分布，且 ，
则 ___.
[解析] 由随机变量服从两点分布，得 ，
又因为，所以 .
（2）已知一批200件的待出厂产品中，有1件次品，现从中任意抽取
2件进行检查，若用随机变量 表示抽取的2件产品中的次品件数，求
的分布列.
解：由题意知，服从两点分布， ，所以
，
所以随机变量 的分布列为
0 1
［素养小结］
（1）用两点分布不仅可以研究只有两个结果的随机试验的概率分布
规律，还可以研究其他一些随机事件的概率分布.在有多个结果的随
机试验中，如果我们只关心一个随机事件是否发生，那么就可以利
用两点分布来研究它.
（2）若 服从两点分布，则由互斥事件的概率求法可知，已知
（或），便可求出（或 ）.
1.随机变量
（1）随机试验中,可能出现的结果可以用一个数表示,如掷一枚硬币,
“正面向上”用数字“1”表示,即 .
（2）这个数在随机试验前是无法预先确定的,在不同的随机试验中,
结果可能有变化,说明随机试验的结果可以用一个变量来表示.如某人
射击一次,可能出现命中0环,命中1环, ,命中10环等结果,即可能结果
用0,1,2, ,10这11个数表示.
（3）随机变量从本质上讲就是以随机试验的每一个可能结果为自变
量的一个函数，即随机变量的取值实质上是试验结果所对应的数，
但这些数是预先知道的所有可能的值，而不知道究竟是哪一个值，
这便是“随机”的本源.
（4）随机变量是把随机试验的结果映射为实数,函数是把实数映射为
实数,这两个概念本质上是相同的.在函数的概念中,函数的自变量是实
数,在随机变量的概念中,随机变量的自变量是随机试验的结果.
2.随机变量与函数的关系
相同点 随机变量和函数都是一种映射
区别 随机变量是随机试验的结果到实数的映射，函数是实
数到实数的映射
联系 随机试验结果的范围相当于函数的定义域，随机变量
的取值范围相当于函数的值域
3.离散型随机变量的特征
（1）可用数值表示.
（2）试验之前可以判断其可能出现的所有值.
（3）在试验之前不能确定取何值.
（4）试验结果能一一列出.
4.两点分布的四个特点:
（1）两点分布中只有两个结果,且两结果是对立的;
（2）两点分布中的两结果一个对应1,另一个对应0;
（3）由互斥事件的概率求法可知,已知(或 ,便可求
出(或 ;
（4）在有多个结果的随机试验中,如果我们只关心一个随机事件是否
发生,那么就可以利用两点分布来研究它.
1.离散型随机变量的分布列不仅能清楚地反映其所取的一切可能的值，
而且也能看出取每一个值的概率的大小.求离散型随机变量的分布列
的步骤:
（1）确定的可能取值 ;
（2）求出相应的概率 ;
（3）列成表格的形式；
（4）用所有概率和是否为1来检验.
说明:①在求概率 时,要用到互斥事件的概率、排列、组合、分类加
法计数原理、分步乘法计数原理等知识和方法,因此对学过的内容要
多加复习;
②在求概率 时,要充分运用分布列的性质,一是可减少运算量,二是可
验证所求的分布列是否正确.
例1 抛一枚质地均匀的硬币3次，设正面朝上的次数为 .
（1）说明表示的是什么事件，并求出 ；
解： 表示的事件是“恰有2次正面朝上”.
因为抛一枚质地均匀的硬币3次的样本空间共包含 （个）
样本点，其中恰有2次正面朝上包含的样本点有 （个），所以
.
（2）求 的分布列.
解：根据题意可知， 的可能取值是0,1,2,3.
同（1）中的方法可知，， .
因此 的分布列为
0 1 2 3
2.离散型随机变量的分布列具有如下性质：
（1），,2, ,；（2） .
说明：①因为随机变量的各个可能取值之间彼此互斥，所以随机变
量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和.
②分布列的性质（2）可以用来检查所写出的分布列是否有误，也可
以用来求分布列中的某些参数.
例2 [2024·河北秦皇岛高二期中] 设离散型随机变量 的分布列为
0 1 2 3 4
0.2 0.1 0.1 0.3
（1）求 的分布列；
解：由题得，解得 .
Y的可能取值为0，1，2，3，
，
，
， ，
故 的分布列为
0 1 2 3
0.1 0.3 0.3 0.3
（2）求 .
解：由，可得 ，
故 .
练习册
一、选择题
1.已知下列随机变量：
件产品中有2件次品，从中任选3件，取到次品的件数 ；
张奖券中只有2张有奖，从这6张奖券中随机抽取3张，用 表示抽
到有奖的奖券张数；
③某运动员在一次110米跨栏比赛中的用时 ；
④掷3枚质地均匀的硬币，正面朝上的硬币数 .
其中 是离散型随机变量的是( )
A.①②③ B.②③④ C.①②④ D.③④
[解析] ③中 的值可在某一区间内，不能一一列出，故不是离散型随机
变量.
√
2.对一批产品逐个进行检测，第一次检测到次品前已检测的产品个数
为，则 表示的试验结果为( )
A.第次检测到正品，而第 次检测到次品
B.第次检测到正品，而第 次检测到次品
C.前次检测到正品，而第 次检测到次品
D.前次检测到正品，而第 次检测到次品
[解析] 由题意， 表示第一次检测到次品前已检测的产品个数为
，因此前次检测到的都是正品，第 次检测到次品.故选D.
√
3.随机变量的分布列如下表所示，则 ( )
1 2 3 4
0.1 0.3
A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4
[解析] 由离散型随机变量分布列的性质可知，
，解得 ，
故 .故选C.
√
4.[2024·石家庄高二期末]已知随机变量 的分布列为
，其中 是常数，则下列说法不正确的是( )
A.
B.
C.
D.
√
[解析] 由随机变量的分布列为 ，
得，即 ，解得
，故A，B中说法正确；
，故C中说法正确；
，故D中说法错误.
故选D.
5.若随机变量服从两点分布，且， ，
，则 ( )
A.0.2 B.0.8 C.1 D.0
[解析] 由，且，得 ，所以
.
√
6.若随机变量的分布列如下表，则当时，实数 的取
值范围是( )
0 1 2 3
0.1 0.2 0.2 0.3 0.1 0.1
A. B. C. D.
[解析] 由题表得
，
则 .故选D.
√
7.同时掷两颗质地均匀的骰子，观察朝上一面出现的点数.设两颗骰子
出现的点数分别为,,记,,则 ( )
A. B. C. D.
[解析] 依题意，随机变量满足的事件是， ，
这3个互斥事件的和，
而, , ,所以
.故选B.
√
8.（多选题）下列说法正确的是( )
A.抛掷一枚质地均匀的硬币一次，出现正面的次数是随机变量
B.某人射击时命中目标的概率为 ，此人射击三次命中目标的次数
服从两点分布
C.设随机变量等可能取1，2，3， ，，若 ，则
D.离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的
√
√
√
[解析] 对于选项A，抛掷一枚质地均匀的硬币一次，出现正面的次
数可能是0，也可能是1，故是随机变量，故选项A正确；
对于选项B，由两点分布的定义可知 不服从两点分布，故选项B错误；
对于选项C，因为随机变量等可能取1，2，3， ， ，所以若
，则，解得 ，故选项C正确；
对于选项D，由互斥事件的定义可知选项D正确.故选 .
9.（多选题）[2024·辽宁大连八中高二月考] 已知随机变量 的分布
列如下，若，则实数 的值可以是( )
0 1 2 3
A.5 B.7 C.9 D.10
√
√
√
[解析] 由随机变量的分布列知， 的可能取值为0,1,4,9，且
，， ，
，
则， .
因为，所以实数的取值范围是.故选 .
二、填空题
10.已知随机变量服从两点分布，且，则
____.
0.7
[解析] 因为随机变量服从两点分布，且 ，所以
.
11.已知4支钢笔的单价分别为10元、20元、30元、40元，从中任取2
支，若以表示取到的钢笔的较高单价（单位：元），则 的所有可
能取值为____________.
20，30，40
[解析] 记 表示取出的2支钢笔的单价分别为10元、20元，其
余类推，则任取2支钢笔的单价（单位：元）的所有可能情况为
，，，，， ，
故取到的钢笔的较高单价可能为20元、30元、40元，即 的所有可能
取值为20，30，40.
12.一盒中有大小相同的3个红球，3个黄球，2个白球，从盒中一次随
机取2个球，记取到白球的个数为，则 ___.
[解析] 由题意， 为仅取到1个白球或取到2个白球的概率，
所以 .
三、解答题
13.一袋中装有6个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5,6，现从中随机
取出3个球，以 表示取出球的最大编号.
（1）求 的分布列；
解：随机变量的可能取值为3,4,5,6， ，
，， ，
所以随机变量 的分布列为
3 4 5 6
（2）求 的取值不小于4的概率.
解： 的取值不小于4的概率为
.
14.在学校组织的足球比赛中，某班要与其他4个班各赛1场，在这4场
比赛的任意1场中，此班胜、负、平的概率相等.已知当这4场比赛结
束后，该班胜场多于负场.
（1）求该班级胜场多于负场的所有可能情况的种数；
解：若胜1场，则其余场次为平，有 （种）情况；
若胜2场，则其余2场为1负1平或2平，有 （种）情况；
若胜3场，则其余1场为负或平，有 （种）情况；
若胜4场，则只有1种情况.
综上，共有 （种）情况.
（2）若该班胜场次数为，求 的分布列.
解：的可能取值是1,2,3,
， ，，，
所以 的分布列为
1 2 3 4
15.设随机变量所有可能的取值为1，2， ， ，且
， ，定义.
若，则当时， 的最大值为__.
[解析] 当时， ，则
，，，当且仅当时，等号成立，
，，
，即 的最大值为 .
16.周末，李明提出和爸爸、妈妈、弟弟进行羽毛球比赛，李明与他们
三人各进行一场比赛，共进行三场比赛，而且三场比赛相互独立.根据
李明最近分别与爸爸、妈妈、弟弟比赛的情况，得到如下统计表：
爸爸 妈妈 弟弟
比赛的次数 50 60 40
李明获胜的次数 10 30 32
以上表中的频率作为概率，求解下列问题.
（1）如果按照第一场与爸爸比赛、第二场与妈妈比赛、第三场与弟
弟比赛的顺序进行比赛.
（ⅰ）求李明连胜三场的概率；
解：李明与爸爸比赛获胜的概率为 ，与妈妈比赛获胜的
概率为，与弟弟比赛获胜的概率为 ，
则李明连胜三场的概率为 .
（ⅱ）如果李明胜一场得1分，负一场得0分，设李明的得分为 ，求
的分布列.
解： 的可能取值为0,1,2,3，
则， ,
,
，
故 的分布列为
0 1 2 3
（2）记“与爸爸、妈妈、弟弟三场比赛中李明连胜两场”的概率为 ，
此概率 与爸爸、妈妈、弟弟出场的顺序是否有关？如果有关，什么
样的出场顺序使概率 最大？如果无关，请给出简要说明.
解： 若出场顺序为爸爸、妈妈、弟弟，
则 ；
若出场顺序为爸爸、弟弟、妈妈,
则 ;
若出场顺序为妈妈、爸爸、弟弟,
则 ;
若出场顺序为妈妈、弟弟、爸爸,
则 ;
若出场顺序为弟弟、妈妈、爸爸,
则 ;
若出场顺序为弟弟、爸爸、妈妈,
则.
故 与出场的顺序有关，出场顺序为妈妈、弟弟、爸爸或爸爸、弟弟、
妈妈时概率 最大.7.2 离散型随机变量及其分布列
【课前预习】
知识点一
1.唯一 3.有限个 一一列举
诊断分析
(1)√ (2)√ (3)× (4)×
知识点二
2.表格 图形 3.①≥ ②1 4.1-p p P(X=1)
诊断分析
(1)× (2)× (3)√
【课中探究】
探索 解:(1)X的可能取值是0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10.
(2)“Y≥4”表示向上的点数为4,5,6.
例1 (1)D [解析] 抛掷两枚质地均匀的骰子,所得点数之和为4表示的试验结果为一枚1点、一枚3点或者两枚都是2点,故选D.
(2)解:①被抽出卡片的编号可按一定次序一一列出,是离散型随机变量.
②港珠澳大桥一天经过的车辆数可按一定次序一一列出,是离散型随机变量.
③由题可知正方体的棱长是定值2 cm,不是随机变量.
变式 解:(1)①某人射击一次,命中的环数可能是0,1,…,10,而且出现哪种结果是随机的,因此命中的环数是随机变量.
②任意掷一枚质地均匀的硬币1次,可能出现正面向上也可能出现反面向上,因此掷3次硬币,出现正面向上的次数可能是0,1,2,3,而且出现哪种结果是随机的,因此出现正面向上的次数是随机变量.
③掷一枚质地均匀的骰子一次,出现的点数可能是1,2,3,4,5,6,而且出现哪种结果是随机的,因此出现的点数是随机变量.
④一个人的属相在出生时就确定了,不随年龄的变化而变化,因此属相不是随机变量.
(2)根据题意可知X的可能取值为4,5,6,7.X=4表示共打了4局,甲、乙两人有1人连胜4局.X=5表示在前4局中有1人输了1局,最后1局此人胜出.X=6表示在前5局中有1人输了2局,最后1局此人胜出.X=7表示在前6局中两人都输了3局,最后1局有1人胜出.
探索 解:(1)关键是解决好两个问题:一是确定X的所有取值;二是求出X取每一个值时的概率.
(2)可通过古典概型的概率计算公式求解,求概率时可借助排列、组合的知识,求出概率后可用所有概率之和为1来验证.
例2 解:(1)设A=“取出的球中红球个数多于黄球个数”,
若取出1个红球,则只需再取出2个蓝球,有种取法,
若取出2个红球,则从剩下的4个球中再取出1个球即可,有种取法,所以P(A)==.
(2)依题意知,X的可能取值为0,1,2,
则P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==,所以X的分布列为
X 0 1 2
P
变式 解:X的可能取值为1,2,3,4,5,则第1次取到白球的概率P(X=1)=,第2次取到白球的概率P(X=2)==,第3次取到白球的概率P(X=3)==,第4次取到白球的概率P(X=4)==,第5次取到白球的概率P(X=5)==,所以X的分布列为
X 1 2 3 4 5
P
拓展 解:列出Y1,Y2的取值和对应的概率如下:
X -2 -1 0 1 2 3
Y1 0 1 2
Y2 8 3 0 -1 0 3
P
由此得到Y1=X+1的分布列为
Y1 0 1 2
P
Y2=X2-2X的分布列为
Y2 -1 0 3 8
P
例3 (1)C (2)①0.1 ②0.45 ③0.55 [解析] (1)依题意,解得a=,故选C.
(2)①由分布列的性质可知0.1+x+0.35+0.1+0.15+0.2=1,得x=0.1.②P(Y>3)=P(Y=4)+P(Y=5)+P(Y=6)=0.1+0.15+0.2=0.45.③P(1变式 1- [解析] 因为病毒A在某溶液中的存活个数为k的概率P(X=k)满足P(X=k)=e-3(k=0,1,2,…),所以P(X=0)=e-3=,又该溶液中存在一个病毒A,就可以导致生物C死亡,所以该溶液能够导致生物C死亡的概率为P(X>0)=1-P(X=0)=1-.
例4 (1) [解析] X=0表示抽取的一个产品为合格品,概率为95%,即a=.X=1表示抽取的一个产品为次品,概率为5%,即b=.
(2)解:从含有大小相同的10个红球,5个白球的袋中随机摸出2个球,其结果是随机的,可能为1红1白、2红或2白,根据题意,定义随机变量X=则X服从两点分布,且P(X=1)==,∴P(X=0)=1-=,∴X的分布列为
X 0 1
P
变式 (1) [解析] 由随机变量X服从两点分布,得P(X=1)+P(X=0)=1,又因为P(X=1)=P(X=0),所以P(X=1)=.
(2)解:由题意知,X服从两点分布,P(X=0)==,所以P(X=1)=1-=,
所以随机变量X的分布列为
X 0 1
P7.2 离散型随机变量及其分布列
1.C [解析] ③中X的值可在某一区间内,不能一一列出,故不是离散型随机变量.
2.D [解析] 由题意,X=k表示第一次检测到次品前已检测的产品个数为k,因此前k次检测到的都是正品,第k+1次检测到次品.故选D.
3.C [解析] 由离散型随机变量分布列的性质可知,0.1+0.3+m+2m=1,解得m=0.2,故P(X≤2)=P(X=1)+P(X=2)=0.1+0.2=0.3.故选C.
4.D [解析] 由随机变量X的分布列为P(X=n)=(n=0,1,2),得P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=1,即++=1,解得a=,故A,B中说法正确;P(0≤X<2)=P(X=0)+P(X=1)=+=,故C中说法正确;P(X≥1)=P(X=1)+P(X=2)=+=,故D中说法错误.故选D.
5.B [解析] 由Y=-2,且Y=3X-2,得X=0,所以P(Y=-2)=P(X=0)=0.8.
6.D [解析] 由题表得P(Y=-2)+P(Y=-1)+P(Y=0)+P(Y=1)=0.8,则17.B [解析] 依题意,随机变量X满足2≤X≤4的事件是X=2,X=3,X=4这3个互斥事件的和,而P(X=2)=,P(X=3)=,P(X=4)=,所以P(2≤X≤4)=++==.故选B.
8.ACD [解析] 对于选项A,抛掷一枚质地均匀的硬币一次,出现正面的次数可能是0,也可能是1,故是随机变量,故选项A正确;对于选项B,由两点分布的定义可知X不服从两点分布,故选项B错误;对于选项C,因为随机变量X等可能取1,2,3,…,n,所以若P(X<4)=0.3,则++=0.3,解得n=10,故选项C正确;对于选项D,由互斥事件的定义可知选项D正确.故选ACD.
9.ABC [解析] 由随机变量Y的分布列知,Y2的可能取值为0,1,4,9,且P(Y2=0)=,P(Y2=1)=+=,P(Y2=4)=+=,P(Y2=9)=,则P(Y2≤4)=++=,P(Y2≤9)=1.因为P(Y210.0.7 [解析] 因为随机变量X服从两点分布,且P(X=1)=0.3,所以P(X=0)=1-0.3=0.7.
11.20,30,40 [解析] 记(10,20)表示取出的2支钢笔的单价分别为10元、20元,其余类推,则任取2支钢笔的单价(单位:元)的所有可能情况为(10,20),(10,30),(10,40),(20,30),(20,40),(30,40),故取到的钢笔的较高单价可能为20元、30元、40元,即Y的所有可能取值为20,30,40.
12. [解析] 由题意,P(X≥1)为仅取到1个白球或取到2个白球的概率,所以P(X≥1)=+=.
13.解:(1)随机变量X的可能取值为3,4,5,6,P(X=3)==,P(X=4)==,P(X=5)==,P(X=6)==,所以随机变量X的分布列为
X 3 4 5 6
P
(2)X的取值不小于4的概率为P(X≥4)=P(X=4)+P(X=5)+P(X=6)=++=.
14.解:(1)若胜1场,则其余场次为平,有=4(种)情况;若胜2场,则其余2场为1负1平或2平,有+=18(种)情况;若胜3场,则其余1场为负或平,有×2=8(种)情况;若胜4场,则只有1种情况.综上,共有4+18+8+1=31(种)情况.
(2)X的可能取值是1,2,3,4.P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=,P(X=4)=,所以X的分布列为
X 1 2 3 4
P
15. [解析] 当n=3时,p1p3=,则M(X)=pip4-i=p1p3+p2p2+p3p1=2p1p3+=+[1-(p1+p3)]2.∵p1>0,p3>0,p1p3=,∴p1+p3≥2=,当且仅当p1=p3=时,等号成立,∴≤p1+p3<1,∴0<1-(p1+p3)≤,∴M(X)≤+=,即M(X)的最大值为.
16.解:(1)(i)李明与爸爸比赛获胜的概率为P1==,与妈妈比赛获胜的概率为P2==,与弟弟比赛获胜的概率为P3==,则李明连胜三场的概率为P4=P1P2P3=××=.
(ii)X的可能取值为0,1,2,3,则P(X=0)=××=,P(X=1)=××+××+××=,P(X=2)=××+××+××=,P(X=3)=××=,故X的分布列为
X 0 1 2 3
P
(2)若出场顺序为爸爸、妈妈、弟弟,则p=××+××=;若出场顺序为爸爸、弟弟、妈妈,则p=××+××=;若出场顺序为妈妈、爸爸、弟弟,则p=××+××=;若出场顺序为妈妈、弟弟、爸爸,则p=××+××=;若出场顺序为弟弟、妈妈、爸爸,则p=××+××=;若出场顺序为弟弟、爸爸、妈妈,则p=××+××=.故p与出场的顺序有关,出场顺序为妈妈、弟弟、爸爸或爸爸、弟弟、妈妈时概率p最大.7.2 离散型随机变量及其分布列
【学习目标】
1.理解随机变量及离散型随机变量的含义.
2.会求某些简单的离散型随机变量的分布列.
◆ 知识点一 随机变量与离散型随机变量
1.随机变量
一般地,对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω,都有 的实数X(ω)与之对应,我们称X为随机变量.通常用大写英文字母表示随机变量,例如X,Y,Z;用小写英文字母表示随机变量的取值,例如x,y,z.
2.随机变量的特点
随机试验中,每个样本点都有唯一的一个实数与之对应,随机变量有如下特点:
(1)取值依赖于样本点;
(2)所有可能取值是明确的.
3.离散型随机变量
可能取值为 或可以 的随机变量,我们称为离散型随机变量.
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)随机变量的取值可以是有限个,也可以是无限个. ( )
(2)在抛掷一枚质地均匀的硬币试验中,“出现正面的次数”为随机变量. ( )
(3)手机电池的使用寿命X是离散型随机变量. ( )
(4)离散型随机变量可以取到某一区间内的任意值. ( )
◆ 知识点二 离散型随机变量的分布列及其
性质
1.概念:一般地,设离散型随机变量X的可能取值为x1,x2,…,xn,我们称X取每一个值xi的概率P(X=xi)=pi,i=1,2,…,n为X的概率分布列,简称分布列.
2.表示:离散型随机变量的分布列可以用 表示,还可以用 表示.
X x1 x2 … xn
P p1 p2 … pn
3.性质
①pi 0,i=1,2,…,n;
②p1+p2+…+pn= .
4.两点分布
X 0 1
P
若随机变量X的分布列具有上表的形式,则称X服从两点分布或0-1分布,并称p= 为成功概率.
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)在离散型随机变量的分布列中,每一个可能值对应的概率可以为任意的实数. ( )
(2)在离散型随机变量的分布列中,在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各值的概率之积. ( )
(3)新生婴儿的性别、投篮是否命中、买到的商品是否为正品,都可以用两点分布研究. ( )
◆ 探究点一 随机变量、离散型随机变量的概念
[探索] (1)在一块地里种10棵树苗,设成活的树苗数为X,则X的可能取值是什么
(2)抛掷一枚质地均匀的骰子,记向上的点数为Y,则“Y≥4”表示的随机事件是什么
例1 (1)抛掷两枚质地均匀的骰子,所得点数之和为X,那么“X=4”表示的试验结果为 ( )
A.一枚1点、一枚3点
B.两枚都是4点
C.两枚都是2点
D.一枚1点、一枚3点或者两枚都是2点
(2)判断下列各个量是否为离散型随机变量,并说明理由.
①从10张已编好号码的卡片(从1号到10号)中任取1张,被抽出卡片的编号;
②港珠澳大桥一天经过的车辆数;
③体积为8 cm3的正方体的棱长.
变式 (1)指出下列哪些是随机变量,哪些不是随机变量,并说明理由.
①某人射击一次命中的环数;
②任意掷一枚质地均匀的硬币3次,出现正面向上的次数;
③掷一枚质地均匀的骰子一次,出现的点数;
④随年龄的变化,某个人的属相.
(2)甲、乙两人进行乒乓球比赛,规定采用“七局四胜制”,用X表示需要比赛的局数,写出X所有可能的取值,并写出表示的试验结果.
[素养小结]
判断一个随机变量X是否为离散型随机变量的具体方法:
(1)明确随机试验的所有可能结果;
(2)将随机试验的试验结果数量化;
(3)确定试验结果所对应的实数是否可按一定次序一一列出,若能一一列出,则该随机变量是离散型随机变量,否则不是.
◆ 探究点二 离散型随机变量的分布列
[探索] (1)确定离散型随机变量X的分布列关键是什么
(2)怎样求随机变量X取每个值的概率
例2 [2024·重庆渝北中学高二期中] 已知袋中有6个除颜色外完全相同的小球,红球、黄球、蓝球各2个,现从中任取3个球.
(1)求取出的球中红球个数多于黄球个数的概率;
(2)设X表示取出的3个球中红球的个数,求X的分布列.
变式 袋中有1个白球和4个黑球,每次从中任取1个球,每次取出的黑球不再放回,直到取出白球为止,求取球次数X的分布列.
[素养小结]
求离散型随机变量分布列的步骤:
(1)确定X的所有可能取值xi(i=1,2,…)以及每个取值所表示的意义;
(2)利用概率的相关知识,求出每个取值相应的概率P(X=xi)=pi(i=1,2,…);
(3)写出分布列;
(4)根据分布列的性质对结果进行检验.
拓展 已知随机变量X的分布列如下:
X -2 -1 0 1 2 3
P
分别求随机变量Y1=X+1,Y2=X2-2X的分布列.
◆ 探究点三 分布列的性质及应用
例3 (1)若离散型随机变量X的分布列为
X 0 1
P 4a-1 3a2+a
则实数a的值为 ( )
A.-2或 B.-2
C. D.2或-
(2)已知随机变量Y的分布列如下:
Y 1 2 3 4 5 6
P 0.1 x 0.35 0.1 0.15 0.2
①x= ;
②P(Y>3)= ;
③P(1变式 病毒A在某溶液中的存活个数为k的概率P(X=k)满足P(X=k)=e-3(k=0,1,2,…),已知只要该溶液中存在一个病毒A,就可以导致生物C死亡,则该溶液能够导致生物C死亡的概率为 .
[素养小结]
离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率的和.
◆ 探究点四 两点分布
例4 (1)一批产品的次品率为5%,从中任意抽取一个进行检验,用随机变量X来描述次品出现的情况,即X=0表示产品为合格品,X=1表示产品为次品,X的分布列为
X 0 1
P a b
则a= ,b= .
(2)袋中有大小相同的10个红球,5个白球,从中随机摸出2个球,如果只关心摸出2个红球的情形,那么如何定义随机变量X,才能使X服从两点分布 求出此时X的分布列.
变式 (1)已知随机变量X服从两点分布,且P(X=1)=P(X=0),则P(X=1)= .
(2)已知一批200件的待出厂产品中,有1件次品,现从中任意抽取2件进行检查,若用随机变量X表示抽取的2件产品中的次品件数,求X的分布列.
[素养小结]
(1)用两点分布不仅可以研究只有两个结果的随机试验的概率分布规律,还可以研究其他一些随机事件的概率分布.在有多个结果的随机试验中,如果我们只关心一个随机事件是否发生,那么就可以利用两点分布来研究它.
(2)若X服从两点分布,则由互斥事件的概率求法可知,已知P(X=0)(或P(X=1)),便可求出P(X=1)(或P(X=0)).7.2 离散型随机变量及其分布列
一、选择题
1.已知下列随机变量:
①10件产品中有2件次品,从中任选3件,取到次品的件数X;
②6张奖券中只有2张有奖,从这6张奖券中随机抽取3张,用X表示抽到有奖的奖券张数;
③某运动员在一次110米跨栏比赛中的用时X;
④掷3枚质地均匀的硬币,正面朝上的硬币数X.
其中X是离散型随机变量的是 ( )
A.①②③ B.②③④
C.①②④ D.③④
2.对一批产品逐个进行检测,第一次检测到次品前已检测的产品个数为X,则X=k表示的试验结果为 ( )
A.第k-1次检测到正品,而第k次检测到次品
B.第k次检测到正品,而第k+1次检测到次品
C.前k-1次检测到正品,而第k次检测到次品
D.前k次检测到正品,而第k+1次检测到次品
3.随机变量X的分布列如下表所示,则P(X≤2)= ( )
X 1 2 3 4
P 0.1 m 0.3 2m
A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4
4.[2024·石家庄高二期末] 已知随机变量X的分布列为P(X=n)=(n=0,1,2),其中a是常数,则下列说法不正确的是 ( )
A.P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=1
B.a=
C.P(0≤X<2)=
D.P(X≥1)=
5.若随机变量X服从两点分布,且P(X=0)=0.8,P(X=1)=0.2,Y=3X-2,则P(Y=-2)= ( )
A.0.2 B.0.8 C.1 D.0
6.若随机变量Y的分布列如下表,则当P(YY -2 -1 0 1 2 3
P 0.1 0.2 0.2 0.3 0.1 0.1
A.x≤2 B.1C.1≤x≤2 D.17.同时掷两颗质地均匀的骰子,观察朝上一面出现的点数.设两颗骰子出现的点数分别为X1,X2,记X=min{X1,X2},则P(2≤X≤4)= ( )
A. B.
C. D.
8.(多选题)下列说法正确的是 ( )
A.抛掷一枚质地均匀的硬币一次,出现正面的次数是随机变量
B.某人射击时命中目标的概率为0.5,此人射击三次命中目标的次数X服从两点分布
C.设随机变量X等可能取1,2,3,…,n,若P(X<4)=0.3,则n=10
D.离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的
9.(多选题)[2024·辽宁大连八中高二月考] 已知随机变量Y的分布列如下,若P(Y2Y -2 -1 0 1 2 3
P
A.5 B.7
C.9 D.10
二、填空题
10.已知随机变量X服从两点分布,且P(X=1)=0.3,则P(X=0)= .
11.已知4支钢笔的单价分别为10元、20元、30元、40元,从中任取2支,若以Y表示取到的钢笔的较高单价(单位:元),则Y的所有可能取值为 .
12.一盒中有大小相同的3个红球,3个黄球,2个白球,从盒中一次随机取2个球,记取到白球的个数为X,则P(X≥1)= .
三、解答题
13.一袋中装有6个同样大小的黑球,编号为1,2,3,4,5,6,现从中随机取出3个球,以X表示取出球的最大编号.
(1)求X的分布列;
(2)求X的取值不小于4的概率.
14.在学校组织的足球比赛中,某班要与其他4个班各赛1场,在这4场比赛的任意1场中,此班胜、负、平的概率相等.已知当这4场比赛结束后,该班胜场多于负场.
(1)求该班级胜场多于负场的所有可能情况的种数;
(2)若该班胜场次数为X,求X的分布列.
15.设随机变量X所有可能的取值为1,2,…,n,且P(X=i)=pi>0(i=1,2,…,n),pi=1,定义M(X)=pipn+1-i.若p1pn=,则当n=3时,M(X)的最大值为 .
16.周末,李明提出和爸爸、妈妈、弟弟进行羽毛球比赛,李明与他们三人各进行一场比赛,共进行三场比赛,而且三场比赛相互独立.根据李明最近分别与爸爸、妈妈、弟弟比赛的情况,得到如下统计表:
爸爸 妈妈 弟弟
比赛的次数 50 60 40
李明获胜的次数 10 30 32
以上表中的频率作为概率,求解下列问题.
(1)如果按照第一场与爸爸比赛、第二场与妈妈比赛、第三场与弟弟比赛的顺序进行比赛.
(i)求李明连胜三场的概率;
(ii)如果李明胜一场得1分,负一场得0分,设李明的得分为X,求X的分布列.
(2)记“与爸爸、妈妈、弟弟三场比赛中李明连胜两场”的概率为p,此概率p与爸爸、妈妈、弟弟出场的顺序是否有关 如果有关,什么样的出场顺序使概率p最大 如果无关,请给出简要说明.
