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7.3 离散型随机变量的数字特征
7.3.1 离散型随机变量的均值
探究点一 求离散型随机变量的均值
探究点二 离散型随机变量的均值性质及应用
探究点三 离散型随机变量均值的实际应用
【学习目标】
1.理解离散型随机变量的均值的意义和性质.
2.会根据离散型随机变量的分布列求出均值.
3.会利用离散型随机变量的均值解决一些相关的实际问题.
知识点一 离散型随机变量的均值
1.概念
一般地，若离散型随机变量 的分布列为
…
…
则称______________________为随机变量 的均值
或数学期望（简称期望）.
2.意义
均值是随机变量可能取值关于取值概率的____________，它综合了
随机变量的取值和取值的概率，反映了随机变量取值的__________.
加权平均数
平均水平
3.性质
若，其中，为常数， 是随机变量，则
（1） 也是随机变量；
（2） __________.
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）随机变量的均值是个变量，其随 的变化而变化.( )
×
（2）随机变量的均值反映样本的平均水平.( )
×
（3）若随机变量的均值，则 .( )
√
（4）随机变量的均值 .( )
×
知识点二 两点分布的均值
一般地，如果随机变量 服从两点分布，那么
___.
探究点一 求离散型随机变量的均值
例1 盒中装有5节同品牌的5号电池，其中混有2节废电池.现在无放
回地每次取一节电池检验，直到取到好电池为止，求抽取次数 的分
布列及均值.
解：的可能取值为1,2,3，， ，
，所以抽取次数 的分布列为
1 2 3
.
变式 一个车间有3台机床，它们各自独立工作，其中 型机床2台，
型机床1台.型机床每天发生故障的概率为， 型机床每天发生
故障的概率为0.2.记为每天发生故障的机床数，求 的分布列及期
望 .
解： 的可能取值为0，1，2，3，
，
，
，
，所以 的分布列为
0 1 2 3
0.648 0.306 0.044 0.002
.
［素养小结］
求离散型随机变量的均值的一般步骤：
（1）确定取值：理解随机变量的意义，写出随机变量的所有可能的
取值；
（2）求概率：计算出 ；
（3）写分布列：写出 的分布列；
（4）求均值：利用的计算公式计算 .
其中写出随机变量的分布列是求解此类问题的关键所在.
探究点二 离散型随机变量的均值性质及应用
例2 已知随机变量 的分布列为
0 1 2
（1）求 的值；
解：由随机变量分布列的性质，得 ，解得
.
（2）求 ；
解： .
（3）若，求 .
解：方法一（公式法）：由公式 ，得
.
方法二（直接法）：因为，所以 的分布列为
1
所以 .
变式 已知随机变量，满足，的期望， 的
分布列为
0 1
则( )
A., B., C., D.,
√
[解析] 依题意得 ,
,解得 ,
又, .故选A.
［素养小结］
若给出的随机变量与的关系为，， 为常数，则求
有两种思路：
（1）先求出，再利用公式求 .
（2）利用的分布列得到的分布列，关键是由的取值计算 的取
值，对应的概率相等，再由定义法求得 .
探究点三 离散型随机变量均值的实际应用
例3 随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件、
二等品50件、三等品20件、次品4件.已知生产1件一、二、三等品获
得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而生产1件次品亏损2万元.以
频率估计概率，设生产1件产品的利润为 万元.
（1）求 的分布列.
解：的所有可能取值为6,2,1，， ，
， ，,
故 的分布列为
6 2 1
0.63 0.25 0.1 0.02
（2）求生产1件产品的平均利润.
解： ,即
生产1件产品的平均利润为4.34万元.
（3）经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为 ，一
等品率提高为 .若此时要求生产1件产品的平均利润不小于4.73万
元，则三等品率最高是多少？
解：设技术革新后的三等品率为 ，则此时生产1件产品的平均利润
为
（万元），其中，
依题意得 ，解得，所以三等品率最高是 .
变式 某人有10万元，准备用于投资房地产或购买股票，可能的盈利
情况如下表.如果以盈利的均值为决策依据，那么应选择的投资方案
是____________.
盈利状况 方案 盈利（万元） 概率 购买股票 投资房地产
巨大成功 0.3 10 8
中等成功 0.5 3 4
失败 0.2
投资房地产
[解析] 设购买股票的盈利为万元，投资房地产的盈利为 万元，
则购买股票的盈利的均值
，
投资房地产的盈利的均值
因为 ，所以应选择投资房地产.
［素养小结］
1.实际问题中的均值问题
均值在实际中有着广泛的应用，如在成绩预测、消费预测、工程方
案预测、产品合格率预测、投资收益预测中，都可以通过随机变量
的均值来进行估计.
2.概率模型的解答步骤
（1）审题，确定实际问题是哪一种概率模型，可能用到的事件类型
以及所用的公式.
（2）确定随机变量的分布列，计算随机变量的均值.
（3）对照实际意义，回答概率、均值等所表示的结论.
拓展 2024年九省联考后很多省份宣布高考数学采用新的结构，多选
题由4道减少到3道，分值变为一题6分，多选题每个小题给出的四个
选项中有两项或三项是正确的，全部选对得6分，有错选或全不选的
得0分.若正确答案是“两项”的，则选对1个得3分;若正确答案是“三项”
的，则选对1个得2分，选对2个得4分.某数学兴趣小组研究答案规律
发现，多选题正确答案是两个选项的概率为 ，正确答案是三个选项
的概率为(其中 .
针对某道多选题，学生甲完全不会，此时他有三种答题方案：
Ⅰ:随机选一个选项;Ⅱ:随机选两个选项;Ⅲ:随机选三个选项.
（1）若 ，且学生甲选择方案Ⅰ，求本题得分的数学期望.
解：若，记为从四个选项中随机选择一个选项的得分，则
的可能取值为0，2，3， ，
，，
所以 的分布列为
0 2 3
数学期望 .
（2）以本题得分的数学期望为决策依据， 的取值在什么范围内唯
独选择方案Ⅰ最好
解：记为从四个选项中随机选择一个选项的得分，
则 的可能取值为0，2，3， ，
，
，
所以 ;
记为从四个选项中随机选择两个选项的得分，
则 的可能取值为0，4，6，
，
，
，
所以 ;
记为从四个选项中随机选择三个选项的得分，
则 的可能取值为0，6，
，
，
所以 .
要使唯独选择方案Ⅰ最好，则解得，
故的取值范围为 .
1.对离散型随机变量均值的四点说明
（1）含义：均值是离散型随机变量的一个重要特征数，反映或刻画
的是随机变量取值的平均水平.
（2）来源：均值不是通过一次或多次试验就可以得到的，而是在大
量的重复试验中表现出来的相对稳定的值.
（3）单位：随机变量的均值与随机变量本身具有相同的单位.
（4）与平均数的区别：均值是概率意义下的平均值，不同于相应数
值的平均数.
2.离散型随机变量的均值是一个常数,是随机变量 本身固有的
一个数字特征,它不具有随机性,反映的是随机变量取值的平均水平.
3.随机变量的均值与样本均值的联系与区别:
随机变量的均值是一个确定的数,而样本均值具有随机性,它围绕随机
变量的均值波动.随着重复试验次数的增加,样本均值的波动幅度一般
会越来越小.因此,我们常用随机变量的观测值的均值去估计随机变量
的均值.
4.对于随机变量,,我们还有如下结论: ;若
,相互独立,则 .
1.用期望来判断比赛得分情况
例1 为领悟航天精神，感受中国梦想，某校高一年级组织了一次“寻
梦天宫”航天知识比赛，比赛规则是：每组两个班级，每个班级各派
出3名同学参加比赛，每一轮比赛中每个班级派出1名同学代表其所
在班级答题，两个班级都全部答对或者都没有全部答对，则均记0分；
一个班级全部答对而另一个班级没有全部答对，
则全部答对的班级记1分，没有全部答对的班级记 分.三轮比赛结
束后，累计得分高的班级获胜.设甲、乙两个班级为一组参加比赛，
每轮比赛中甲班全部答对的概率为，乙班全部答对的概率为 ，甲、
乙两班答题相互独立，且每轮比赛互不影响.
（1）求甲班每轮比赛得 分、0分、1分的概率；
解：记事件“甲班每轮比赛得分”，事件 “甲班每轮比赛得0
分”，事件 “甲班每轮比赛得1分”，
则 ，
，
.
（2）两轮比赛后甲班得分为，求 的分布列和数学期望；
解：由题意可得，的所有可能取值为, ,0,1,2，
则由（1）可得， ，
，
，
，
，
所以 的分布列为
0 1 2
所以 .
（3）求甲班没有获胜的概率.
解：记事件 “甲班没有获胜”，
三轮比赛后，甲班累计得分不高于乙班累计得分的情况有6种
（不分先后顺序）:
,,；,,0；,,1；,0,0； ,1,0；0,0,0，
则由（1）可得，
.
2.用期望做决策
用期望来观察风险、分析风险进而做出正确决策，在生活中较为常
见，如股票投资决策、某种试验的决策等.
例2 某保险公司针对企业职工推出一款意外险产品，每年每人只要
交少量保费，发生意外后可一次性获赔50万元.保险公司把职工从事
的所有岗位分为A,B,C类工种，根据历史数据统计出三类工种的年赔
付频率（并以此估计年赔付概率）如下表所示.
工种类别 A B C
年赔付频率
（1）根据规定，该产品各工种保单的期望利润都不得超过保费的
，试分别确定各类工种每份保单保费的上限；
解：设A类、B类、C类工种每份保单的保费分别为元、元、 元，
对应的保险公司每份保单的利润（单位：元）为随机变量,, ，
则 的分布列为
保险公司对A类工种的每份保单利润的期望为
.
同理，， ，
根据题意得，， ，解得
，， ，
则A类、B类、C类工种每份保单保费的上限分别为6.25元、12.5元、
62.5元.
（2）某企业共有职工20 000人，从事三类工种的人数分布比例如图
所示，老板准备为全体职工每人购买一份此种保险，并以（1）中计
算的各类保费上限购买，试求保险公司在这宗交易中的期望利润.
职工类别分布扇形图
解：购买A类工种保单的份数为 ，
购买B类工种保单的份数为 ，
购买C类工种保单的份数为 .
故保险公司在这宗交易中的期望利润为
（元）.
3.期望与数列综合
例3 某市为了让广大市民更好地了解并传承成语文化，当地文旅局
拟举办猜成语大赛.比赛共设置 道题，参加比赛的选
手从第1道题开始答题，一旦答错则停止答题，否则继续，直到答完
所有题目.设某选手答对每道题的概率均为 ，各题回答
正确与否相互之间没有影响.
（1）记答题结束时答题个数为，当时，若，求
的取值范围.
解：根据题意，的所有可能取值为1,2,3， ，
， ，
所以 ，
由，解得或 ，
又，所以的取值范围是 .
（2）①记答题结束时答对题的个数为，求 ；
解： ，其中,1,2， ， ，
.
，
设 ，利用错位相减法可得
，
所以
.
②当时，求使的 的最小值.
参考数据：， .
解： 依题意，，即 ，即
，
又，所以 的最小值为9.
练习册
一、选择题
1.设随机变量的分布列为，,2,3,4，则 的
值为( )
A.2.5 B.3.5 C.0.25 D.2
[解析] .
√
2.抛掷一枚质地均匀的硬币一次，规定正面向上得1分，反面向上得
分，则得分 的均值为( )
A.0 B. C.1 D.
[解析] 由题知的可能取值为1，，且 ，
，
故 .
√
3.已知随机变量 的分布列为
0 1
设，则的数学期望 ( )
A. B. C. D.
[解析] 由已知得,, ,
， .故选C.
√
4.[2024·江西抚州高二期中]近年来中国人工智能产业爆发式的增长，
推动了 电商行业的快速发展.已知2020年、2021年、2022年、2023
年中国 解决方案提供商企业的数量分别为1617，2106，2329，
2896.从这4个数字中任取2个数字，当所取2个数字差的绝对值小于
500时，随机变量 ；当所取2个数字差的绝对值不小于500时，
随机变量.据此可得， ( )
A. B. C. D.
√
[解析] 从这4个数字中任取2个数字，结果有6种，
,, ,
,, ,
所取2个数字差的绝对值小于500的结果有2种，故 ，
所取2个数字差的绝对值不小于500的结果有4种，故 ，
所以 .故选B.
5.某人进行一项试验，若试验成功，则停止试验；若试验失败，则再
重新试验1次；若试验3次均失败，则放弃试验.若此人每次试验成功
的概率均为，则此人的试验次数 的均值是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 试验次数的可能取值为1,2,3，且 ，
，.
所以 的分布列为
1 2 3
所以 .
6.若离散型随机变量的可能取值为，，且 ，
，，则 的值为( )
A. B. C. D.
[解析] 因为， ，所以
.故选C.
√
7.“四书”是《大学》《中庸》《论语》《孟子》的合称，又称“四子
书”，在世界文化史、思想史上地位极高，所载内容及哲学思想至今
仍具有积极意义和参考价值.为弘扬中国优秀传统文化，某校计划开
展“四书”经典诵读比赛活动.某班有4位同学参赛，每人从《大学》
《中庸》《论语》《孟子》这4本书中任意选取1本进行准备，且各
自选取的书均不相同.比赛时，若这4位同学从这4本书中随机抽取1本
选择其中的内容诵读，且各自抽取的书各不相同，则抽到自己准备
的书的人数的均值为( )
A. B.1 C. D.2
√
[解析] 记抽到自己准备的书的人数为，
则 的可能取值为0，1，2，4，
， ，
， ，
则 .故选B.
8.（多选题）已知某一随机变量的分布列如下，且 ，则
( )
4 9
0.5 0.1
A. B.
C. D.
[解析] 由题意得 ,且
,解得, ,
,
,故选 .
√
√
√
9.（多选题）已知5只动物中有1只患有某种疾病，需要通过血液化验
来确定患病的动物，血液化验结果呈阳性的为患病动物.下面是两种
化验方案：
方案甲：将各动物的血液逐个化验，直到查出患病动物为止 ；方案
乙：先取3只动物的血液进行混合，然后化验，若呈阳性，则对这3
只动物的血液再逐个化验，直到查出患病动物为止，若不呈阳性，
则化验剩下的2只动物中1只动物的血液.
下列说法正确的是( )
A.若利用方案甲，则化验次数为4的概率为0.2
B.若利用方案甲，则化验次数的期望为2.8
C.若利用方案乙，则最多需要化验的次数为4
D.若利用方案乙，则化验次数为2的概率为0.6
√
√
[解析] 对于A，若利用方案甲，则化验次数为4的概率为
，故A错误；
对于B，若利用方案甲，则化验次数为1的概率为，化验次数为2的
概率为 ，化验次数为3的概率为 ，所以化验次数
的期望为 ，故B正确；
对于C，若先取的3只动物中有患病动物，则最多需要化验3次，
若先取的3只动物中没有患病动物，则需要化验2次，故C错误；
对于D，若利用方案乙，则化验次数为2的概率为
，故D正确.故选 .
二、填空题
10.设离散型随机变量 的可能取值为1，2，3，4,
，且的均值，则 ___.
[解析] 依题意得
，
且，
解得 ，，
.
11.从一批含有13件正品，2件次品的产品中不放回地抽3次，每次抽
取1件，设抽取的次品数为，则 ___.
4
[解析] 依题意得，的可能取值为0，1，2， ，
， ，
于是，
故 .
12.甲、乙两人进行羽毛球比赛，每局胜者得1分，负者得0分，比赛
进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止.已知甲、乙两人在每局
中获胜的概率均为 ，且每局比赛胜负相互独立，则比赛停止时已打
局数的数学期望 __.
[解析] 依题意， 的可能取值为2，4，6.
设每2局比赛为一轮，则一轮结束时比赛结束的概率为 ，
若一轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得1分，
此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响，
所以， ，，
所以 .
三、解答题
13.用1，2，3，4，5这五个数字组成无重复数字的五位数.
（1）在两个偶数相邻的条件下，求三个奇数也相邻的概率；
解：设“数字2，4相邻”， “数字1，3，5相邻”，
则数字2，4相邻时的五位数有 （个），
数字2，4相邻，数字1，3，5也相邻的五位数的个数为 ，
则 .
（2）对于这个五位数，记夹在两个偶数之间的奇数的个数为 ，求
的分布列与期望.
解：依题意知 的所有可能取值为0，1，2，3，
由题意知，“2个偶数相邻”，则 ，
“2个偶数中间共插入了1个奇数”，则，
“2个偶数中间共插入了2个奇数”，则，
“2个偶数中间共插入了3个奇数”，则 ，
所以 的分布列为
0 1 2 3
.
14.某地区教委要对高三期中数学试卷进行调研，了解试卷中某道填
空题的得分情况.已知该题有两空，第一空答对得3分，答错或不答得
0分；第二空答对得2分，答错或不答得0分.第一空答对与否与第二空
答对与否是相互独立的.从所有试卷中随机抽取1000份，其中该题的
得分组成容量为1000的样本，统计结果如表：
第一空得分情况
得分 0 3
人数 200 800
第二空得分情况
得分 0 2
人数 700 300
（1）这个地区的一名高三学生未参加考试，如果这名学生参加考试，
以样本中各种得分情况的频率作为该学生相应的各种得分情况的概
率，试求该学生这道题的得分 的分布列与数学期望；
解：由表格数据分析知，该学生得0分的概率为 ，
得2分的概率为，
得3分的概率为 ，
得5分的概率为，
由题意得， 的可能取值为0，2，3，5，
，，
，，
故 的分布列为
0 2 3 5
0.14 0.06 0.56 0.24
所以 的数学期望
.
（2）从该地区高三学生中，随机抽取2名学生，以样本中各种得分
情况的频率作为概率，求这2人中恰好有1人该题得满分的概率.
解：由题意知，学生这道题得满分的概率为 ，得不
到满分的概率为 ，
所以随机抽取2名学生，这2人中恰好有1人得满分的概率为
.
15.某学校组织“数学文化”知识竞赛，竞赛中有， 两类问题.每位参
加比赛的同学先在这两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题
回答，若回答错误，则该同学比赛结束；若回答正确，则从另一类
问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛
结束.类问题中的每个问题回答正确得10分，否则得0分； 类问题
中的每个问题回答正确得20分，否则得0分.已知小明能正确回答 类
问题的概率为，能正确回答类问题的概率为 ，且能正确回答
问题的概率与回答次序无关.
（1）若小明先回答类问题，记为小明的累计得分，求 的分布列.
解:随机变量 的所有可能取值为0，10，30，
， ，
.
故随机变量 的分布列为
0 10 30
0.4 0.36 0.24
（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？请说
明理由.
解:若小明先回答类问题，记为小明的累计得分，则随机变量 的
所有可能取值为0，20，30， ，
， ，
则
由（1）知
因为 ，所以小明应选择先回答 类问题.
16.（多选题）[2024·沧州高二期中] 甲盒中装有3个蓝球、2个黄球，
乙盒中装有2个蓝球、3个黄球，同时从甲、乙两盒中随机取出
个球交换，分别记交换后甲、乙两个盒子中蓝球个数的数
学期望为， ，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
√
√
√
[解析] 记表示交换后甲盒子中蓝球的个数， 表示交换后乙盒子中
蓝球的个数.当时， ，
，
，
则 ，
，
所以 ， ，A，B正确；
当时， ，
，
，
，
，
则 ，
，
所以，，C正确，D错误.故选 .
17.某种体育比赛采用“五局三胜制”，具体规则为比赛最多进行五场，
若参赛的两方有一方先赢得三场比赛，则该方获胜，比赛结束，每
场比赛都需分出胜负.同时比赛采用主客场制，比赛先在 队的主场
进行两场比赛，再在 队的主场进行两场比赛（有必要才进行第二
场），若需要第五场比赛，则回到队的主场进行.已知 队在主场获
胜的概率为，在客场获胜的概率为 ，假设每场比赛的结果相互独立.
（1）若第一场比赛队在客场通过全队的努力先赢了一场，赛后
队的教练鼓励自己的队员说“胜利的天平已经向我们倾斜”，试从概
率大小的角度判断 队教练的话是否客观正确；
解：由题知， 队获胜的情况有三种，
第一种情况，比赛三场获胜，其概率 ；
第二种情况，比赛四场获胜，则第二场或第三场队失败，其概率
；
第三种情况，比赛五场获胜，则 队在第二场、第三场、第四场中
赢得一场比赛，第五场比赛获胜，其概率
.
所以 队在第一场比赛获胜的情况下，赢得比赛的概率
，
所以，从概率大小的角度判断 队教练的话是客观正确的.
（2）每一场比赛，会给主办方在门票、饮食、纪念品销售等方面带
来综合收益300万元，设整个比赛主办方综合收益为，求 的分布
列与均值.
解：由题知，至少举办3场比赛，至多举办5场比赛，所以 的可能取
值为900,1200,1500.
当举办3场比赛时， 队获胜的概率为 ，
队获胜的概率为 ，所以；
当举办4场比赛时， 队获胜的概率为
，
队获胜的概率为 ，
所以 ，所以
，
所以 的分布列为
900 1200 1500
所以 .7.3 离散型随机变量的数字特征
7.3.1 离散型随机变量的均值
【课前预习】
知识点一
1.x1p1+x2p2+…+xnpn 2.加权平均数 平均水平
3.(2)aE(X)+b
诊断分析
(1)× (2)× (3)√ (4)×
知识点二
p
【课中探究】
例1 解:X的可能取值为1,2,3,P(X=1)=,P(X=2)=×=,P(X=3)=××1=,所以抽取次数X的分布列为
X 1 2 3
P
E(X)=1×+2×+3×=.
变式 解:X的可能取值为0,1,2,3,P(X=0)=(1-0.1)2×(1-0.2)=0.648,P(X=1)=2×(1-0.1)×0.1×(1-0.2)+(1-0.1)2×0.2=0.306,P(X=2)=0.12×(1-0.2)+2×(1-0.1)×0.1×0.2=0.044,P(X=3)=0.12×0.2=0.002,所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P 0.648 0.306 0.044 0.002
E(X)=0×0.648+1×0.306+2×0.044+3×0.002=0.4.
例2 解:(1)由随机变量分布列的性质,得+++m+=1,解得m=.
(2)E(X)=(-2)×+(-1)×+0×+1×+2×=-.
(3)方法一(公式法):由公式E(aX+b)=aE(X)+b,得E(Y)=E(2X-3)=2E(X)-3=2×-3=-.
方法二(直接法):因为Y=2X-3,所以Y的分布列为
Y -7 -5 -3 -1 1
P
所以E(Y)=(-7)×+(-5)×+(-3)×+(-1)×+1×=-.
变式 A [解析] 依题意得E(X)=-1×+0×a+1×b=b-,∴E(Y)=E(2X+3)=2E(X)+3=2×+3=,解得b=,又∵+a+b=1,∴a=.故选A.
例3 解:(1)X的所有可能取值为6,2,1,-2,P(X=6)==0.63,P(X=2)==0.25,P(X=1)==0.1,P(X=-2)==0.02,故X的分布列为
X 6 2 1 -2
P 0.63 0.25 0.1 0.02
(2)E(X)=6×0.63+2×0.25+1×0.1+(-2)×0.02=4.34,即生产1件产品的平均利润为4.34万元.
(3)设技术革新后的三等品率为x,则此时生产1件产品的平均利润为6×0.7+2×(1-0.7-0.01-x)+1×x+(-2)×0.01=4.76-x(万元),其中0
变式 投资房地产 [解析] 设购买股票的盈利为X万元,投资房地产的盈利为Y万元,则购买股票的盈利的均值E(X)=10×0.3+3×0.5+(-5)×0.2=3+1.5-1=3.5,投资房地产的盈利的均值E(Y)=8×0.3+4×0.5+(-4)×0.2=2.4+2-0.8=3.6.因为E(Y)>E(X),所以应选择投资房地产.
拓展 解:(1)若p=,记M为从四个选项中随机选择一个选项的得分,则M的可能取值为0,2,3,P(M=0)=×+×=,P(M=2)=×0+×=,
P(M=3)=×+×0=,所以M的分布列为
M 0 2 3
P
数学期望E(M)=0×+2×+3×=.
(2)记X为从四个选项中随机选择一个选项的得分,则X的可能取值为0,2,3,P(X=0)=p×+(1-p)×=,P(X=2)=p×0+(1-p)×=(1-p),
P(X=3)=p×+(1-p)×0=p,所以E(X)=0×+2×(1-p)+3×p=;
记Y为从四个选项中随机选择两个选项的得分,则Y的可能取值为0,4,6,P(Y=0)=p×+(1-p)×=p+,P(Y=4)=p×0+(1-p)×=(1-p),
P(Y=6)=p×+(1-p)×0=p,所以E(Y)=0×+4×(1-p)+6×p=2-p;
记Z为从四个选项中随机选择三个选项的得分,则Z的可能取值为0,6,P(Z=0)=p×1+(1-p)×=p+,P(Z=6)=p×0+(1-p)×=(1-p),
所以E(Z)=0×+6×(1-p)=(1-p).要使唯独选择方案Ⅰ最好,则解得7.3.1 离散型随机变量的均值
1.A [解析] E(X)=1×0.25+2×0.25+3×0.25+4×0.25=2.5.
2.A [解析] 由题知X的可能取值为1,-1,且P(X=1)=0.5,P(X=-1)=0.5,故E(X)=1×0.5+(-1)×0.5=0.
3.C [解析] 由已知得++a=1,∴a=,∴E(X)=-+=-,∵E(Y)=2E(X)+1,∴E(Y)=.故选C.
4.B [解析] 从这4个数字中任取2个数字,结果有6种,|1617-2106|=489,|1617-2329|=712,|1617-2896|=1279,|2106-2329|=223,|2106-2896|=790,|2329-2896|=567,所取2个数字差的绝对值小于500的结果有2种,故P=,所取2个数字差的绝对值不小于500的结果有4种,故P(X=1)=,所以E(X)=×+1×=.故选B.
5.A [解析] 试验次数X的可能取值为1,2,3,且P(X=1)=,P(X=2)=×=,P(X=3)=××=.所以X的分布列为
X 1 2 3
P
所以E(X)=1×+2×+3×=.
6.C [解析] 因为m+n=1,E(X)=nm+mn=2mn=,所以m2+n2=(m+n)2-2mn=1-=.故选C.
7.B [解析] 记抽到自己准备的书的人数为X,则X的可能取值为0,1,2,4,P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==,P(X=4)==,则E(X)=0×+1×+2×+4×=1.故选B.
8.ABC [解析] 由题意得0.5+0.1+b=1,且E(X)=4×0.5+0.1a+9b=6.3,解得b=0.4,a=7,∴E(aX)=aE(X)=7×6.3=44.1,E(bX+a)=bE(X)+a=0.4×6.3+7=9.52,故选ABC.
9.BD [解析] 对于A,若利用方案甲,则化验次数为4的概率为××==0.4,故A错误;对于B,若利用方案甲,则化验次数为1的概率为,化验次数为2的概率为×=,化验次数为3的概率为××=,所以化验次数的期望为+2×+3×+4×==2.8,故B正确;对于C,若先取的3只动物中有患病动物,则最多需要化验3次,若先取的3只动物中没有患病动物,则需要化验2次,故C错误;对于D,若利用方案乙,则化验次数为2的概率为×+=×+==0.6,故D正确.故选BD.
10. [解析] 依题意得E(X)=1·(a+b)+2·(2a+b)+3·(3a+b)+4·(4a+b)=3,且(a+b)+(2a+b)+(3a+b)+(4a+b)=1,解得a=,b=0,∴a+b=.
11.4 [解析] 依题意得,X的可能取值为0,1,2,P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==,于是E(X)=×0+×1+×2=,故E(5X+2)=5E(X)+2=4.
12. [解析] 依题意,X的可能取值为2,4,6.设每2局比赛为一轮,则一轮结束时比赛结束的概率为+=,若一轮结束时比赛还将继续,则甲、乙在该轮中必是各得1分,此时,该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响,所以P(X=2)=,P(X=4)=×=,P(X=6)=×=,所以E(X)=2×+4×+6×=.
13.解:(1)设A=“数字2,4相邻”,B=“数字1,3,5相邻”,
则数字2,4相邻时的五位数有=48(个),数字2,4相邻,数字1,3,5也相邻的五位数的个数为=24,则P(B|A)===.
(2)依题意知X的所有可能取值为0,1,2,3,由题意知,{X=0}=“2个偶数相邻”,则P(X=0)==,
{X=1}=“2个偶数中间共插入了1个奇数”,则P(X=1)==,{X=2}=“2个偶数中间共插入了2个奇数”,则P(X=2)==,{X=3}=“2个偶数中间共插入了3个奇数”,则P(X=3)==,
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
E(X)=0×+1×+2×+3×=1.
14.解:(1)由表格数据分析知,该学生得0分的概率为0.2×0.7=0.14,得2分的概率为0.2×0.3=0.06,得3分的概率为0.8×0.7=0.56,得5分的概率为0.8×0.3=0.24,由题意得,X的可能取值为0,2,3,5,P(X=0)=0.14,P(X=2)=0.06,P(X=3)=0.56,P(X=5)=0.24,故X的分布列为
X 0 2 3 5
P 0.14 0.06 0.56 0.24
所以X的数学期望E(X)=0×0.14+2×0.06+3×0.56+5×0.24=3.
(2)由题意知,学生这道题得满分的概率为0.8×0.3=0.24,得不到满分的概率为1-0.24=0.76,所以随机抽取2名学生,这2人中恰好有1人得满分的概率为×0.24×0.76=0.364 8.
15.解:(1)随机变量X的所有可能取值为0,10,30,P(X=0)=1-0.6=0.4,P(X=10)=0.6×(1-0.4)=0.36,P(X=30)=0.6×0.4=0.24.故随机变量X的分布列为
X 0 10 30
P 0.4 0.36 0.24
(2)若小明先回答B类问题,记Y为小明的累计得分,则随机变量Y的所有可能取值为0,20,30,P(Y=0)=1-0.4=0.6,P(Y=20)=0.4×(1-0.6)=0.16,P(Y=30)=0.4×0.6=0.24,则E(Y)=0×0.6+20×0.16+30×0.24=10.4.由(1)知E(X)=0×0.4+10×0.36+30×0.24=10.8.因为E(Y)16.ABC [解析] 记X表示交换后甲盒子中蓝球的个数,Y表示交换后乙盒子中蓝球的个数.当i=1时,P(X=2)=P(Y=3)==,P(X=3)=P(Y=2)==,P(X=4)=P(Y=1)==,则E1(X)=2×+3×+4×=,E1(Y)=3×+2×+1×=,所以E1(X)+E1(Y)=5,E1(X)>E1(Y),A,B正确;当i=2时,P(X=1)=P(Y=4)==,P(X=2)=P(Y=3)==,P(X=3)=P(Y=2)==,P(X=4)=P(Y=1)==,P(X=5)=P(Y=0)==,则E2(X)=1×+2×+3×+4×+5×=,E2(Y)=4×+3×+2×+1×+0×=,所以E2(X)E1(Y),C正确,D错误.故选ABC.
17.解:(1)由题知,B队获胜的情况有三种,第一种情况,比赛三场获胜,其概率P1=×=;第二种情况,比赛四场获胜,则第二场或第三场B队失败,其概率P2=××+××=;第三种情况,比赛五场获胜,则B队在第二场、第三场、第四场中赢得一场比赛,第五场比赛获胜,其概率P3=×××+××××2=.所以B队在第一场比赛获胜的情况下,赢得比赛的概率P=P1+P2+P3=++===>,所以,从概率大小的角度判断B队教练的话是客观正确的.
(2)由题知,至少举办3场比赛,至多举办5场比赛,所以X的可能取值为900,1200,1500.当举办3场比赛时,A队获胜的概率为××=,B队获胜的概率为××=,所以P(X=900)=+=;当举办4场比赛时,A队获胜的概率为××××2+×××==,B队获胜的概率为××××2+×××=,
所以P(X=1200)=+=,所以P(X=1500)=1-P(X=1200)-P(X=900)=1--=,
所以X的分布列为
X 900 1200 1500
P
所以E(X)=900×+1200×+1500×=1225.7.3 离散型随机变量的数字特征
7.3.1 离散型随机变量的均值
【学习目标】
1.理解离散型随机变量的均值的意义和性质.
2.会根据离散型随机变量的分布列求出均值.
3.会利用离散型随机变量的均值解决一些相关的实际问题.
◆ 知识点一 离散型随机变量的均值
1.概念
一般地,若离散型随机变量X的分布列为
X x1 x2 … xn
P p1 p2 … pn
则称E(X)= =xipi为随机变量X的均值或数学期望(简称期望).
2.意义
均值是随机变量可能取值关于取值概率的 ,它综合了随机变量的取值和取值的概率,反映了随机变量取值的 .
3.性质
若Y=aX+b,其中a,b为常数,X是随机变量,则
(1)Y也是随机变量;
(2)E(aX+b)= .
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)随机变量X的均值E(X)是个变量,其随X的变化而变化. ( )
(2)随机变量的均值反映样本的平均水平. ( )
(3)若随机变量X的均值E(X)=2,则E(2X+1)=5. ( )
(4)随机变量X的均值E(X)=.( )
◆ 知识点二 两点分布的均值
一般地,如果随机变量X服从两点分布,那么E(X)=0×(1-p)+1×p= .
◆ 探究点一 求离散型随机变量的均值
例1 盒中装有5节同品牌的5号电池,其中混有2节废电池.现在无放回地每次取一节电池检验,直到取到好电池为止,求抽取次数X的分布列及均值.
变式 一个车间有3台机床,它们各自独立工作,其中A型机床2台,B型机床1台.A型机床每天发生故障的概率为0.1,B型机床每天发生故障的概率为0.2.记X为每天发生故障的机床数,求X的分布列及期望E(X).
[素养小结]
求离散型随机变量的均值的一般步骤:
(1)确定取值:理解随机变量的意义,写出随机变量的所有可能的取值;
(2)求概率:计算出P(X=k);
(3)写分布列:写出X的分布列;
(4)求均值:利用E(X)的计算公式计算E(X).
其中写出随机变量的分布列是求解此类问题的关键所在.
◆ 探究点二 离散型随机变量的均值性质及应用
例2 已知随机变量X的分布列为
X -2 -1 0 1 2
P m
(1)求m的值;
(2)求E(X);
(3)若Y=2X-3,求E(Y).
变式 已知随机变量X,Y满足Y=2X+3,Y的期望E(Y)=,X的分布列为
X -1 0 1
P a b
则 ( )
A.a=,b= B.a=,b=
C.a=,b= D.a=,b=
[素养小结]
若给出的随机变量Y与X的关系为Y=aX+b,a,b为常数,则求E(Y)有两种思路:
(1)先求出E(X),再利用公式E(aX+b)=aE(X)+b求E(Y).
(2)利用X的分布列得到Y的分布列,关键是由X的取值计算Y的取值,对应的概率相等,再由定义法求得E(Y).
◆ 探究点三 离散型随机变量均值的实际应用
例3 随机抽取某厂的某种产品200件,经质检,其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件.已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元,而生产1件次品亏损2万元.以频率估计概率,设生产1件产品的利润为X万元.
(1)求X的分布列.
(2)求生产1件产品的平均利润.
(3)经技术革新后,仍有四个等级的产品,但次品率降为1%,一等品率提高为70%.若此时要求生产1件产品的平均利润不小于4.73万元,则三等品率最高是多少
变式 某人有10万元,准备用于投资房地产或购买股票,可能的盈利情况如下表.如果以盈利的均值为决策依据,那么应选择的投资方案是 .
盈利状况 方 案 盈利(万元) 概率 购买股票 投资 房地产
巨大成功 0.3 10 8
中等成功 0.5 3 4
失败 0.2 -5 -4
[素养小结]
1.实际问题中的均值问题
均值在实际中有着广泛的应用,如在成绩预测、消费预测、工程方案预测、产品合格率预测、投资收益预测中,都可以通过随机变量的均值来进行估计.
2.概率模型的解答步骤
(1)审题,确定实际问题是哪一种概率模型,可能用到的事件类型以及所用的公式.
(2)确定随机变量的分布列,计算随机变量的均值.
(3)对照实际意义,回答概率、均值等所表示的结论.
拓展 2024年九省联考后很多省份宣布高考数学采用新的结构,多选题由4道减少到3道,分值变为一题6分,多选题每个小题给出的四个选项中有两项或三项是正确的,全部选对得6分,有错选或全不选的得0分.若正确答案是“两项”的,则选对1个得3分;若正确答案是“三项”的,则选对1个得2分,选对2个得4分.某数学兴趣小组研究答案规律发现,多选题正确答案是两个选项的概率为p,正确答案是三个选项的概率为1-p(其中0针对某道多选题,学生甲完全不会,此时他有三种答题方案:
Ⅰ:随机选一个选项;Ⅱ:随机选两个选项;Ⅲ:随机选三个选项.
(1)若p=,且学生甲选择方案Ⅰ,求本题得分的数学期望.
(2)以本题得分的数学期望为决策依据,p的取值在什么范围内唯独选择方案Ⅰ最好 7.3 离散型随机变量的数字特征
7.3.1 离散型随机变量的均值
一、选择题
1.设随机变量X的分布列为P(X=k)=0.25,k=1,2,3,4,则E(X)的值为 ( )
A.2.5 B.3.5
C.0.25 D.2
2.抛掷一枚质地均匀的硬币一次,规定正面向上得1分,反面向上得-1分,则得分X的均值为( )
A.0 B.
C.1 D.-1
3.已知随机变量X的分布列为
X -1 0 1
P a
设Y=2X+1,则Y的数学期望E(Y)= ( )
A.- B.
C. D.-
4.[2024·江西抚州高二期中] 近年来中国人工智能产业爆发式的增长,推动了AI电商行业的快速发展.已知2020年、2021年、2022年、2023年中国AI解决方案提供商企业的数量分别为1617,2106,2329,2896.从这4个数字中任取2个数字,当所取2个数字差的绝对值小于500时,随机变量X=;当所取2个数字差的绝对值不小于500时,随机变量X=1.据此可得,E(X)= ( )
A. B. C. D.
5.某人进行一项试验,若试验成功,则停止试验;若试验失败,则再重新试验1次;若试验3次均失败,则放弃试验.若此人每次试验成功的概率均为,则此人的试验次数X的均值是 ( )
A. B. C. D.
6.若离散型随机变量X的可能取值为m,n,且P(X=m)=n,P(X=n)=m,E(X)=,则m2+n2的值为 ( )
A. B. C. D.
7.“四书”是《大学》《中庸》《论语》《孟子》的合称,又称“四子书”,在世界文化史、思想史上地位极高,所载内容及哲学思想至今仍具有积极意义和参考价值.为弘扬中国优秀传统文化,某校计划开展“四书”经典诵读比赛活动.某班有4位同学参赛,每人从《大学》《中庸》《论语》《孟子》这4本书中任意选取1本进行准备,且各自选取的书均不相同.比赛时,若这4位同学从这4本书中随机抽取1本选择其中的内容诵读,且各自抽取的书各不相同,则抽到自己准备的书的人数的均值为 ( )
A. B.1 C. D.2
8.(多选题)已知某一随机变量X的分布列如下,且E(X)=6.3,则 ( )
X 4 a 9
P 0.5 0.1 b
A.a=7 B.b=0.4
C.E(aX)=44.1 D.E(bX+a)=2.62
9.(多选题)已知5只动物中有1只患有某种疾病,需要通过血液化验来确定患病的动物,血液化验结果呈阳性的为患病动物.下面是两种化验方案:
方案甲:将各动物的血液逐个化验,直到查出患病动物为止 ;方案乙:先取3只动物的血液进行混合,然后化验,若呈阳性,则对这3只动物的血液再逐个化验,直到查出患病动物为止,若不呈阳性,则化验剩下的2只动物中1只动物的血液.
下列说法正确的是 ( )
A.若利用方案甲,则化验次数为4的概率为0.2
B.若利用方案甲,则化验次数的期望为2.8
C.若利用方案乙,则最多需要化验的次数为4
D.若利用方案乙,则化验次数为2的概率为0.6
二、填空题
10.设离散型随机变量X的可能取值为1,2,3,4,P(X=k)=ak+b(k=1,2,3,4),且X的均值E(X)=3,则a+b= .
11.从一批含有13件正品,2件次品的产品中不放回地抽3次,每次抽取1件,设抽取的次品数为X,则E(5X+2)= .
12.甲、乙两人进行羽毛球比赛,每局胜者得1分,负者得0分,比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止.已知甲、乙两人在每局中获胜的概率均为,且每局比赛胜负相互独立,则比赛停止时已打局数X的数学期望E(X)= .
三、解答题
13.用1,2,3,4,5这五个数字组成无重复数字的五位数.
(1)在两个偶数相邻的条件下,求三个奇数也相邻的概率;
(2)对于这个五位数,记夹在两个偶数之间的奇数的个数为X,求X的分布列与期望.
14.某地区教委要对高三期中数学试卷进行调研,了解试卷中某道填空题的得分情况.已知该题有两空,第一空答对得3分,答错或不答得0分;第二空答对得2分,答错或不答得0分.第一空答对与否与第二空答对与否是相互独立的.从所有试卷中随机抽取1000份,其中该题的得分组成容量为1000的样本,统计结果如表:
第一空得分情况
得分 0 3
人数 200 800
第二空得分情况
得分 0 2
人数 700 300
(1)这个地区的一名高三学生未参加考试,如果这名学生参加考试,以样本中各种得分情况的频率作为该学生相应的各种得分情况的概率,试求该学生这道题的得分X的分布列与数学期望;
(2)从该地区高三学生中,随机抽取2名学生,以样本中各种得分情况的频率作为概率,求这2人中恰好有1人该题得满分的概率.
15.某学校组织“数学文化”知识竞赛,竞赛中有A,B两类问题.每位参加比赛的同学先在这两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答,若回答错误,则该同学比赛结束;若回答正确,则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答,无论回答正确与否,该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得10分,否则得0分;B类问题中的每个问题回答正确得20分,否则得0分.已知小明能正确回答A类问题的概率为0.6,能正确回答B类问题的概率为0.4,且能正确回答问题的概率与回答次序无关.
(1)若小明先回答A类问题,记X为小明的累计得分,求X的分布列.
(2)为使累计得分的期望最大,小明应选择先回答哪类问题 请说明理由.
16.(多选题)[2024·沧州高二期中] 甲盒中装有3个蓝球、2个黄球,乙盒中装有2个蓝球、3个黄球,同时从甲、乙两盒中随机取出i(i=1,2)个球交换,分别记交换后甲、乙两个盒子中蓝球个数的数学期望为Ei(X),Ei(Y),则下列结论正确的是 ( )
A.E1(X)+E1(Y)=5
B.E1(X)>E1(Y)
C.E2(X)D.E2(Y)17.某种体育比赛采用“五局三胜制”,具体规则为比赛最多进行五场,若参赛的两方有一方先赢得三场比赛,则该方获胜,比赛结束,每场比赛都需分出胜负.同时比赛采用主客场制,比赛先在A队的主场进行两场比赛,再在B队的主场进行两场比赛(有必要才进行第二场),若需要第五场比赛,则回到A队的主场进行.已知A队在主场获胜的概率为,在客场获胜的概率为,假设每场比赛的结果相互独立.
(1)若第一场比赛B队在客场通过全队的努力先赢了一场,赛后B队的教练鼓励自己的队员说“胜利的天平已经向我们倾斜”,试从概率大小的角度判断B队教练的话是否客观正确;
(2)每一场比赛,会给主办方在门票、饮食、纪念品销售等方面带来综合收益300万元,设整个比赛主办方综合收益为X,求X的分布列与均值.