(共82张PPT)
7.3 离散型随机变量的数字特征
7.3.2 离散型随机变量的方差
探究点一 求离散型随机变量的方差
探究点二 离散型随机变量的方差的性质
及应用
探究点三 均值、方差的实际应用
【学习目标】
1.理解取有限个值的离散型随机变量的方差及标准差的概念.
2.能计算简单离散型随机变量的方差,并能解决一些实际问题.
3.掌握方差的性质以及两点分布的方差的求法.
知识点一 离散型随机变量的方差
1.设离散型随机变量 的分布列为
…
…
则称为随机变量 的方差，有时也记为
，其算术平方根为随机变量的________，记为 .
标准差
2.随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量取值与其均值的偏离
程度，反映了随机变量取值的__________.方差或标准差越小，随机变
量的取值越______；方差或标准差越大，随机变量的取值越______.
离散程度
集中
分散
3.方差也可以用公式 计算.
4.两点分布的方差
若服从两点分布，则_________（其中 为成功概率）.
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）离散型随机变量的方差越大，随机变量越稳定.( )
×
（2）离散型随机变量的方差反映了随机变量偏离期望的平均程度.
( )
√
（3）离散型随机变量的方差反映了 取值的波动水平.( )
√
知识点二 方差的性质
________，___（ 是常数）.
0
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）如果是离散型随机变量,且,那么 ,
.( )
√
（2）若是常数,则 .( )
√
（3）若随机变量的方差，则 .( )
×
探究点一 求离散型随机变量的方差
例1 [2024·山东济宁高二期中] 甲、乙两人进行定点投篮游戏，投篮
者若投中，则继续投篮，否则由对方投篮.第一次由甲投篮，已知每
次投篮甲、乙命中的概率分别为, .在前3次投篮中，乙投篮的次数
记为，求随机变量 的分布列、数学期望和方差.
解：依题意， 的可能取值为0，1，2，,
, ，
所以 的分布列为
0 1 2
，
.
变式 有10张卡片，其中8张标有数字2,2张标有数字5，从中随机地
抽取3张卡片，设3张卡片数字之和为，求 的均值和方差.
解：的可能取值为6,9,
表示取出的3张卡片上均标有2，则 .
表示取出的3张卡片上有2张标有2，1张标有5，
则 .
表示取出的3张卡片上有1张标有2，2张标有5，则
.
6 9 12
，
.
的分布列为
［素养小结］
求离散型随机变量 的方差的步骤：
（1）理解 的意义，明确其可能的取值.
（2）判定 是否服从特殊分布（如两点分布等），若服从特殊分布，
则可利用公式直接求解；若不服从特殊分布，则继续下面步骤.
（3）求 取每个值的概率.
（4）写出 的分布列，并利用分布列性质检验.
（5）求出，根据方差定义求 .
探究点二 离散型随机变量的方差的性质及应用
例2 （多选题）已知随机变量的分布列为， ，
2，3，4，5．若 ，则下列说法正确的是( )
A.随机变量的均值为3 B.随机变量 的均值为3
C.随机变量的方差为2 D.随机变量 的方差为9
√
√
√
[解析] 由题可知，,, ,
, ，故
，A正确；
，B正确；
,C正确；
，D错误.故选 .
变式 已知 的分布列为
0 1
（1）求，， ；
解： .
.
.
（2）设，求， .
解：,， .
［素养小结］
方差性质应用的关注点：
（1）公式： .
（2）优势：既避免了求随机变量 的分布列，又避免了涉
及大数的计算，从而简化了计算过程.
探究点三 均值、方差的实际应用
［探索］ （1）离散型随机变量的方差和标准差反映了随机变量的
什么性质？
解：离散型随机变量的方差和标准差反映了随机变量取值偏离均值
的平均程度.
（2）离散型随机变量的方差越大随机变量越稳定还是方差越小越稳定？
解：离散型随机变量的方差越小随机变量越稳定.
例3 为选拔奥运会射击选手，对甲、乙两名射手进行选拔测试.已知
甲、乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量 ，
，甲、乙两名射手在每次射击中击中的环数均大于6环，且甲射中
10环,9环,8环,7环的概率分别为,，, ，乙射中10环,9环,8环的
概率分别为,, .
（1）求， 的分布列；
解：依题意，，解得 .
乙射中的环数大于6环，乙射中10环,9环,8环的概率分别为, ,
， 乙射中7环的概率为，
， 的分布列分别为
10 9 8 7
0.5 0.3 0.1 0.1
10 9 8 7
0.3 0.3 0.2 0.2
（2）求， 的数学期望与方差，以此比较甲、乙的射击技术并从
中选拔一人参加奥运会.
解：由（1）可得，
，
说明甲平均射中的环数比乙高；说明甲射中的环数比乙集中，比较稳定. 甲比乙的技术好，故应选拔甲射手参加奥运会.
变式 某公司计划在2025年年初将100万元用于投资，现有两个项目
供选择.
项目一：新能源汽车.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获
利，也可能亏损，且这两种情况发生的概率分别为和 .
项目二：通信设备.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利
，可能损失 ，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率
分别为，， .
针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个较好的项目，并
说明理由.
解：设投资项目一、二的获利分别为，万元，
则 的可能取值为30，，且， ，
Y的可能取值为50，，0，且， ，
，
所以 ，
，
则，
，
，
则 ，
这说明虽然投资项目一、二的获利的期望相等，但项目一更稳定，
因此，选择项目一较好.
［素养小结］
利用均值和方差的意义解决实际问题的步骤：
（1）比较均值：离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值
的平均水平，因此，在实际决策问题中，需先计算均值，看一下谁
的平均水平高.
（2）在均值相等的情况下计算方差：方差反映了离散型随机变量取
值的稳定与波动、集中与离散的程度.通过计算方差，分析一下谁的
水平发挥相对稳定.
（3）下结论：依据均值和方差的意义得出结论.
1.对随机变量 的方差、标准差的四点说明
（1）随机变量 的方差的定义与一组数据的方差的定义是相同的.
（2）随机变量的方差和标准差都反映了随机变量 的取值的稳定
性和波动、集中与离散程度.
（3）标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用
更为广泛.
（4）越小，随机变量 的取值越稳定，波动越小.
2.离散型随机变量的方差与样本方差之间的关系
（1）区别：随机变量的方差是一个常数，它不依赖于样本的抽取，
而样本方差是一个随机变量，它随样本抽取的不同而变化.
（2）联系：对于简单的随机样本，随着样本容量的增加，样本方差
越来越接近于总体的方差.
3.表示随机变量取值与其均值的偏离程度, 越大，表
明偏离程度越大,说明的取值越分散;反之,越小, 的取值越集中
在附近.统计中常用来描述 的分散程度.
4.在计算均值与方差时要注意运用均值和方差的性质以避免一些复杂
的计算.
5.随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平,方差反映了随机
变量稳定于均值的程度,它们从整体和全局上刻画了随机变量,是生产
实际中用于方案取舍的重要的理论依据,一般先比较均值,若均值相同,
再用方差来决定.
均值、方差的实际应用中注意的问题
（1）利用均值和方差的意义可以分析、解决实际问题，一般先求问
题中两个随机变量的均值，但不要误认为均值相等时，两者都一样
好，这时，还应看它们相对于均值的偏离程度，稳定者就更好，如
果我们希望比较稳定时，这时应先考虑方差，再考虑均值是否相当
接近即可.
（2）离散型随机变量的分布列、均值和方差的应用要根据题目要求
合理回答,有时答案是开放的,只要能自圆其说就行了.
1.方差的意义
例1 甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境，且野生动物的
种类和数量也大致相同，而两个保护区内每个季度发现的违规事件
次数的分布列分别为：
甲保护区：
0 1 2 3
0.3 0.3 0.2 0.2
乙保护区：
0 1 2
0.1 0.5 0.4
试评定这两个保护区的管理水平.
解：甲保护区违规事件次数 的数学期望
，
方差 .
乙保护区违规事件次数 的数学期望
，
方差 .
因为， ，
所以两个保护区内每个季度发生的违规事件的平均次数相同，但甲
保护区的违规事件次数相对分散和波动，乙保护区内的违规事件次
数更加集中和稳定，故乙保护区的管理水平更高.
2.利用方差做决策
例2 为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行
奖励. 规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随
机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额.
（1）若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求：
解：设1位顾客所获的奖励额为 元.
①1位顾客所获的奖励额为60元的概率；
依题意，得 ，即1位顾客所获的奖励额
为60元的概率是 .
②1位顾客所获的奖励额的分布列及期望.
解： 依题意，随机变量 的可能取值为20,60，
, ,
则 的分布列为
20 60
所以1位顾客所获的奖励额的期望为 .
（2）商场对奖励总额的预算是60 000元，并规定袋中的4个球只能
由标有面值为10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的
两种球组成.为了使顾客所获的奖励总额尽可能符合商场的预算且每
位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合
适的设计，并说明理由.
解：根据商场的预算，每位顾客所获的平均奖励额为
（元），
所以先寻找使每位顾客所获的奖励额的期望为60元的可能方案：
当球的面值为10元和50元时，
若选择 方案，因为60元是面值之和的最大值，所以期
望不可能为60；
若选择 方案，因为60元是面值之和的最小值，所以期
望也不可能是60.因此可能的方案是 ，记为方案1.
当球的面值为20元和40元时，
同理可排除 ， 的方案，
所以可能的方案是 ，记为方案2.
以下是对两个方案的分析：
对于方案1，即方案，设1位顾客所获的奖励额为 元，
则 的可能取值为20,60,100，
， ，
，
则 的分布列为
20 60 100
的期望 .
的方差 .
对于方案2，即方案，设1位顾客所获的奖励额为 元，
则 的可能取值为40,60,80，
，， ，
则 的分布列为
40 60 80
的期望 ，
的方差 .
因为两种方案奖励额的期望都符合要求，但方案2奖励额的方差要比方案1的小，
所以应该选择方案2，即标有面值20元和40元的球各2个.
练习册
一、选择题
1.已知随机变量满足,,则和
的值分别为( )
A.0.6和0.7 B.1.7和0.09 C.0.3和0.7 D.1.7和0.21
[解析] 由题意知 ,
.
√
2.已知随机变量 的分布列为
X 0 1 2
P
设，则 ( )
A. B. C. D.
[解析] 由题意知 ，
，
.
√
3.在某公司的一次投标工作中，中标可以获利12万元，没有中标损失
成本费0.5万元.若中标的概率为，设该公司的盈利为 万元，则
( )
A.7 B.31.9 C.37.5 D.42.5
[解析] 由题意知， ，
，
从而 .故选C.
√
4.有甲、乙两种水稻，测得每种水稻各10株的分蘖数据，计算出均值
，方差分别为， .由此可以
估计( )
A.甲种水稻比乙种水稻分蘖整齐
B.乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐
C.甲、乙两种水稻分蘖整齐程度相同
D.甲、乙两种水稻分蘖整齐程度不能比较
[解析] 因为， ,所以乙种水稻比甲种
水稻分蘖整齐,故选B.
√
5.有编号为1，2，3，4，5的5支竹签，从中任取3支，设 表示这3支
竹签的最小编号，则 ( )
A.4.5 B.2.5 C.1.5 D.0.45
[解析] 的可能取值为1，2，3， ,
, ,
则 ,
.故选D.
√
6.已知随机变量的分布列为 ，其中
,．若，则 ( )
A. B. C. D.
√
，解得 .
， ，
．故选B.
[解析] 根据题意可得 的分布列为
0 1
7.甲、乙两名运动员射击一次命中的环数, 的分布列如下表,其中射
击水平比较稳定的运动员是( )
X 8 9 10
P 0.3 0.2 0.5
X 8 9 10
P 0.2 0.4 0.4
A.甲 B.乙 C.一样 D.无法比较
√
[解析] 由题意知 ,
,所以
,
,所以 ,
所以乙的射击水平比较稳定.
8.（多选题）[2024·苏州外国语学校高二月考] 已知随机变量 的分
布列为
X 1 2
P
下列结论正确的是( )
A. B.
C.若，则 D.
√
√
√
[解析] 对于A，因为，所以 ，
故A正确；
对于B， ，故B正确；
对于C，因为，所以 ，所以
，故C错误；
1 4
所以 ，则
，故D正确.故选 .
对于D， ，
,则 的分布列为
9.（多选题）已知集合，2，，分别从集合， 中随机
取一个数，用表示两数之和，的均值和方差分别为， ，
则( )
A. B.
C. D.
√
√
√
[解析] 由题意可知， 的可能取值为2，3，4，5，6，，
，， ，.
对于A， ，故A不正确；
对于B， ,故B正确；
对于C， ,故C正确；
对于D，,故D正确.故选 .
二、填空题
10.[2024·苏州高二期中] 若随机变量满足，其中 为常
数，则 ___.
0
[解析] 因为随机变量满足，其中 为常数，所以
，所以 .
11.[2024·郑州高二期中] 若随机变量 的分布列如下表所示，则
___.
X 0 1
P
[解析] 由已知可得，， ，
所以，所以 ，
，
所以 .
12.甲、乙两人答一道试题，甲答对的概率为，乙答对的概率为 .设
答对该题的人数为，则 ____.
0 1 2
所以 ，
.
[解析] 依题意，的可能取值为0，1，2， ，
，，
所以 的分布列为
三、解答题
13.[2024·深圳高二期中] 已知离散型随机变量 的分布列为
.
（1）求 ；
解：由题意得，随机变量 的分布列为
1
由分布列的性质得，解得 .
.
（2）求随机变量 的分布列及方差.
解：的所有可能取值为0,1,2，， ，
，所以 的分布列为
0 1 2
所以 ，
.
14.甲、乙两名同学分别与一台智能机器人进行象棋比赛，记分规则
如下：在一轮比赛中，如果甲赢而乙输，那么甲得1分；如果甲输而
乙赢，那么甲得 分；如果甲和乙同时赢或同时输，那么甲得0分.
设甲赢机器人的概率为 ，乙赢机器人的概率为0.5.求：
（1）在一轮比赛中，甲的得分 的分布列；
解：由题设，的可能取值为 ，0，1，
，
，
．
故 的分布列为
0 1
0.2 0.5 0.3
（2）在两轮比赛中，甲的得分 的分布列、均值和方差.
解：由题设，的可能取值为， ，0，1，2，
， ，
，
，
，
故 的分布列为
0 1 2
0.04 0.2 0.37 0.3 0.09
所以 ，
所以 .
15.某短视频软件经过几年的快速发展，深受人们的喜爱，该软件除
了有娱乐属性外，还可通过平台推送广告.某公司为了宣传新产品，
现有以下两种宣传方案：
方案一：投放该平台广告，据市场调研，其收益 （单位：万元）的
可能取值为0，20，40，且， .
方案二：投放传统广告，据市场调研，其收益 （单位：万元）的可
能取值为10，20，30，且， ，
.
（1）请写出随机变量的分布列，并求方差 .
解：设，，则由题意得
①， ，
由①②解得，，
的分布列为
0 20 40
0.1 0.3 0.6
则 .
（2）请你根据所学的统计知识给出建议，该公司应该选择哪种方案？
并说明你的理由.
解：由题得 的分布列为
10 20 30
0.3 0.4 0.3
则 ，
.
，， 若公司期望高收益，则应该选择
方案一，若公司期望收益稳定，则应该选择方案二.
16.（多选题）已知，，随机变量， 的分布列如下表所示：
0 1
0 1
下列说法中正确的是( )
A.若且，则
B.若，则
C.若，则
D.若，则
√
√
[解析] 依题意得 ，
，则
，
又 ，
，
所以 ，
，所以
.
对于A，因为且，所以 ，所以
，所以 ，故A正确；
对于B，根据无法确定 与1的大小关系，即无法判断的正负，
故无法确定与 的大小关系，故B错误；
对于C，因为，所以， ，所以
，即，即 ，
故C正确；
对于D，因为，所以 ，但是无法确定
与1的大小关系，即无法判断 的正负，故无法确定与
的大小关系，故D错误.故选 .
17.[2024·北京昌平区高二期末] 某网站为研究新闻点击量的变化情
况，收集得到了该网站连续30天的新闻点击量变化数据，如下表所
示.在描述新闻点击量变化时，用“ ”表示“上涨”，即当天新闻点击
量比前一天新闻点击量高；用“ ”表示“下降”，即当天新闻点击量比
前一天新闻点击量低；用“-”表示“不变”，即当天新闻点击量与前一
天新闻点击量相同.
时段 新闻点击量 第1天到第15天 - - - -
第16天到第30天 - - - -
用频率估计概率.
（1）试估计该网站新闻点击量“下降”的概率；
解：30天中，有10天该网站新闻点击量“下降”，故估计该网站新闻
点击量“下降”的概率为 .
（2）从样本中的前15天和后15天中各随机抽取1天，记 表示其中该
网站新闻点击量“上涨”的天数，求的分布列和数学期望 ；
解：前15天中，有5天该网站新闻点击量“上涨”，后15天中，有7天
该网站新闻点击量“上涨”， 的可能取值为0,1,2，
则， ，
，所以 的分布列为
0 1 2
.
（3）从样本给出的30天中任取1天，记 “该天新闻点击量
‘上涨’”， “该天新闻点击量‘下降’或‘不变’”，然后继续统计
接下来的10天的新闻点击量，其中有6天“上涨”、3天“下降”、1天“不
变”，相应地，从这40天中任取1天，记 “该天新闻点击量
‘上涨’”，“该天新闻点击量‘下降’或‘不变’”，求 和
的大小关系.
解：由（2）知，样本给出的30天中新闻点击量“上涨”的天数为12，
故， ，
则， .
40天中新闻点击量“上涨”的天数为 ，
故， ，
故 ， .
因为，所以 .7.3.2 离散型随机变量的方差
【课前预习】
知识点一
1.标准差
2.离散程度 集中 分散
4.p(1-p)
诊断分析
(1)× (2)√ (3) √
知识点二
a2D(X) 0
诊断分析
(1)√ (2)√ (3)×
【课中探究】
例1 解:依题意,X的可能取值为0,1,2,
P(X=0)=×=,P(X=1)=×+×=,P(X=2)=×=,所以X的分布列为
X 0 1 2
P
E(X)=0×+1×+2×=,D(X)=×+×+×=.
变式 解:X的可能取值为6,9,12.X=6表示取出的3张卡片上均标有2,则P(X=6)==.
X=9表示取出的3张卡片上有2张标有2,1张标有5,则P(X=9)==.
X=12表示取出的3张卡片上有1张标有2,2张标有5,则P(X=12)==.∴X的分布列为
X 6 9 12
P
∴E(X)=6×+9×+12×=,D(X)=×+×+×=.
例2 ABC [解析] 由题可知,P(X=1)=0.2,P(X=2)=0.2,P(X=3)=0.2,P(X=4)=0.2,P(X=5)=0.2,故E(X)=1×0.2+2×0.2+3×0.2+4×0.2+5×0.2=3,A正确;E(Y)=E(2X-3)=2E(X)-3=2×3-3=3,B正确;D(X)=(1-3)2×0.2+(2-3)2×0.2+(3-3)2×0.2+(4-3)2×0.2+(5-3)2×0.2=2,C正确;D(Y)=D(2X-3)=4D(X)=8,D错误.故选ABC.
变式 :(1)E(X)=(-1)×+0×+1×=-.D(X)=×+×+×=.
σ(X)===.
(2)∵Y=2X+3,∴E(Y)=2E(X)+3=,D(Y)=4D(X)=.
探索 解:(1)离散型随机变量的方差和标准差反映了随机变量取值偏离均值的平均程度.
(2)离散型随机变量的方差越小随机变量越稳定.
例3 解:(1)依题意,0.5+3a+a+0.1=1,解得a=0.1.
∵乙射中的环数大于6环,乙射中10环,9环,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2,∴乙射中7环的概率为1-(0.3+0.3+0.2)=0.2,∴X,Y的分布列分别为
X 10 9 8 7
P 0.5 0.3 0.1 0.1
Y 10 9 8 7
P 0.3 0.3 0.2 0.2
(2)由(1)可得E(X)=10×0.5+9×0.3+8×0.1+7×0.1=9.2,E(Y)=10×0.3+9×0.3+8×0.2+7×0.2=8.7.D(X)=(10-9.2)2×0.5+(9-9.2)2×0.3+(8-9.2)2×0.1+(7-9.2)2×0.1=0.96,D(Y)=(10-8.7)2×0.3+(9-8.7)2×0.3+(8-8.7)2×0.2+(7-8.7)2×0.2=1.21.E(X)>E(Y)说明甲平均射中的环数比乙高;D(X)
变式 解:设投资项目一、二的获利分别为X,Y万元,则X的可能取值为30,-15,且P(X=30)=,P(X=-15)=,
Y的可能取值为50,-30,0,且P(Y=50)=,P(Y=-30)=,P(Y=0)=,
所以E(X)=30×+(-15)×=20,E(Y)=50×+(-30)×+0×=20,
则E(X)=E(Y),D(X)=(30-20)2×+(-15-20)2×=350,D(Y)=(50-20)2×+(-30-20)2×+(0-20)2×=1400,则D(X)这说明虽然投资项目一、二的获利的期望相等,但项目一更稳定,因此,选择项目一较好.7.3.2 离散型随机变量的方差
1.D [解析] 由题意知E(X)=1×0.3+2×0.7=1.7,D(X)=(1.7-1)2×0.3+(1.7-2)2×0.7=0.21.
2.A [解析] 由题意知E(X)=0×+1×+2×=1,∴D(X)=(0-1)2×+(1-1)2×+(2-1)2×=,∴D(Y)=D(-2X+3)=4D(X)=.
3.C [解析] 由题意知P(X=12)=0.6,P(X=-0.5)=0.4,∴E(X)=12×0.6+(-0.5)×0.4=7,从而D(X)=(12-7)2×0.6+(-0.5-7)2×0.4=37.5.故选C.
4.B [解析] 因为E(X甲)=E(X乙),D(X乙)5.D [解析] X的可能取值为1,2,3,P(X=1)==,P(X=2)==,P(X=3)==,则E(X)=1×+2×+3×=,D(X)=×+×+×==0.45.故选D.
6.B [解析] 根据题意可得X的分布列为
X -1 0 1
P b-a b a+b
∴E(X)=-1×(b-a)+0×b+1×(a+b)=,解得a=.∵(b-a)+b+(a+b)=1,∴b=,∴D(X)=×+×+×=.故选B.
7.B [解析] 由题意知E(X)=8×0.3+9×0.2+10×0.5=9.2,E(Y)=8×0.2+9×0.4+10×0.4=9.2,所以E(Y)=E(X).D(X)=(8-9.2)2×0.3+(9-9.2)2×0.2+(10-9.2)2×0.5=0.76,D(Y)=(8-9.2)2×0.2+(9-9.2)2×0.4+(10-9.2)2×0.4=0.56,所以D(Y)8.ABD [解析] 对于A,因为+m+n+=1,所以m+n=,故A正确;对于B,P(X<2)=1-P(X=2)=1-=,故B正确;对于C,因为m=,所以n=,所以E(X)=-2×+(-1)×+1×+2×=,故C错误;对于D,P(X2=1)=P(X=-1)+P(X=1)=m+n=,P(X2=4)=P(X=-2)+P(X=2)=,则X2的分布列为
X2 1 4
P
所以E(X2)=1×+4×=2,则D(X2)=×(1-2)2+×(4-2)2=2,故D正确.故选ABD.
9.BCD [解析] 由题意可知,X的可能取值为2,3,4,5,6,P(X=2)=,P(X=3)=,P(X=4)==,P(X=5)=,P(X=6)=.对于A,P(X=4)=3P(X=2),故A不正确;对于B,P(3≤X≤5)=++=,故B正确;对于C,E(X)=2×+3×+4×+5×+6×==4,故C正确;对于D,D(X)=(2-4)2×+(3-4)2×+(4-4)2×+(5-4)2×+(6-4)2×=,故D正确.故选BCD.
10.0 [解析] 因为随机变量X满足P(X=c)=1,其中c为常数,所以E(X)=c×1=c,所以D(X)=(c-c)2×1=0.
11. [解析] 由已知可得a++a2=1,0≤a≤1,0≤a2≤1,所以a=,所以E(X)=-1×+0×+1×=,D(X)=×+×+×=,所以D(1-3X)=9D(X)=.
12. [解析] 依题意,X的可能取值为0,1,2,P(X=0)=×=,P(X=1)=×+×==,P(X=2)=×=,所以X的分布列为
X 0 1 2
P
所以E(X)=0×+1×+2×=,D(X)=×+×+×=.
13.解:(1)由题意得,随机变量X的分布列为
X 1
P a 2a 3a 4a 5a
由分布列的性质得a+2a+3a+4a+5a=1,解得a=.
P=P+P+P(X=1)=++=.
(2)Y的所有可能取值为0,1,2,P(Y=0)=,P(Y=1)=,P(Y=2)=,所以Y的分布列为
Y 0 1 2
P
所以E(Y)=0×+1×+2×=,D(Y)=×+×+×=.
14.解:(1)由题设,X的可能取值为-1,0,1,P(X=-1)=(1-0.6)×0.5=0.2,P(X=0)=0.6×0.5+(1-0.6)×(1-0.5)=0.5,P(X=1)=0.6×(1-0.5)=0.3.故X的分布列为
X -1 0 1
P 0.2 0.5 0.3
(2)由题设,Y的可能取值为-2,-1,0,1,2,P(Y=-2)=0.2×0.2=0.04,P(Y=-1)=0.2×0.5+0.5×0.2=0.2,P(Y=0)=0.2×0.3+0.3×0.2+0.5×0.5=0.37,P(Y=1)=0.5×0.3+0.3×0.5=0.3,P(Y=2)=0.3×0.3=0.09,故Y的分布列为
Y -2 -1 0 1 2
P 0.04 0.2 0.37 0.3 0.09
所以E(Y)=-2×0.04+(-1)×0.2+0×0.37+1×0.3+2×0.09=0.2,所以D(Y)=(-2-0.2)2×0.04+(-1-0.2)2×0.2+(0-0.2)2×0.37+(1-0.2)2×0.3+(2-0.2)2×0.09=4.84×0.04+1.44×0.2+0.04×0.37+0.64×0.3+3.24×0.09=0.98.
15.解:(1)设P(X=0)=a,P(X=40)=b,则由题意得a+b+0.3=1①,E(X)=0×a+20×0.3+40b=30②,
由①②解得a=0.1,b=0.6,∴X的分布列为
X 0 20 40
P 0.1 0.3 0.6
则D(X)=(0-30)2×0.1+(20-30)2×0.3+(40-30)2×0.6=180.
(2)由题得Y的分布列为
Y 10 20 30
P 0.3 0.4 0.3
则E(Y)=10×0.3+20×0.4+30×0.3=20,D(Y)=(10-20)2×0.3+(20-20)2×0.4+(30-20)2×0.3=60.
∵E(X)>E(Y),D(X)>D(Y),∴若公司期望高收益,则应该选择方案一,若公司期望收益稳定,则应该选择方案二.
16.AC [解析] 依题意得E(X)=-1×+0×+1×=,E(Y)=-1×+0×+1×=,则E(X)-E(Y)=-=1-(p1+p2),又E(X2)=(-1)2×+0×+12×=,E(Y2)=(-1)2×+0×+12×=,所以D(X)=E(X2)-[E(X)]2=-,D(Y)=E(Y2)-[E(Y)]2=-,所以D(X)-D(Y)=-==(p2-p1)(p2+p1-1).对于A,因为p1<且p2<,所以p1+p2<1,所以E(X)-E(Y)>0,所以E(X)>E(Y),故A正确;对于B,根据p10,即D(X)-D(Y)>0,即D(X)>D(Y),故C正确;对于D,因为p1<0,但是无法确定p1+p2与1的大小关系,即无法判断p1+p2-1的正负,故无法确定D(X)与D(Y)的大小关系,故D错误.故选AC.
17.解:(1)30天中,有10天该网站新闻点击量“下降”,故估计该网站新闻点击量“下降”的概率为=.
(2)前15天中,有5天该网站新闻点击量“上涨”,后15天中,有7天该网站新闻点击量“上涨”,X的可能取值为0,1,2,则P(X=0)=×=,P(X=1)=×+×=,P(X=2)=×=,所以X的分布列为
X 0 1 2
P
E(X)=0×+1×+2×=.
(3)由(2)知,样本给出的30天中新闻点击量“上涨”的天数为12,故P(Y=1)==,P(Y=0)==,
则E(Y)=×1+×0=,D(Y)=×+×=.
40天中新闻点击量“上涨”的天数为12+6=18,
故P(Z=1)==,P(Z=0)==,
故E(Z)=×1+×0=,D(Z)=×+×=.
因为<,所以D(Y)【学习目标】
1.理解取有限个值的离散型随机变量的方差及标准差的概念.
2.能计算简单离散型随机变量的方差,并能解决一些实际问题.
3.掌握方差的性质以及两点分布的方差的求法.
◆ 知识点一 离散型随机变量的方差
1.设离散型随机变量X的分布列为
X x1 x2 … xn
P p1 p2 … pn
则称D(X)=[x1-E(X)]2p1+[x2-E(X)]2·p2+…+[xn-E(X)]2pn=[xi-E(X)]2pi为随机变量X的方差,有时也记为Var(X),其算术平方根为随机变量X的 ,记为σ(X).
2.随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度,反映了随机变量取值的 .方差或标准差越小,随机变量的取值越 ;方差或标准差越大,随机变量的取值越 .
3.方差也可以用公式D(X)=E(X2)-[E(X)]2计算.
4.两点分布的方差
若X服从两点分布,则D(X)= (其中p为成功概率).
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)离散型随机变量的方差越大,随机变量越稳定. ( )
(2)离散型随机变量的方差反映了随机变量偏离期望的平均程度. ( )
(3)离散型随机变量X的方差D(X)反映了X取值的波动水平. ( )
◆ 知识点二 方差的性质
D(aX+b)= ,D(c)= (c是常数).
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)如果X是离散型随机变量,且Y=3X+2,那么E(Y)=3E(X)+2,D(Y)=9D(X). ( )
(2)若a是常数,则D(a)=0. ( )
(3)若随机变量X的方差D(X)=,则D(2X+1)=2×=. ( )
◆ 探究点一 求离散型随机变量的方差
例1 [2024·山东济宁高二期中] 甲、乙两人进行定点投篮游戏,投篮者若投中,则继续投篮,否则由对方投篮.第一次由甲投篮,已知每次投篮甲、乙命中的概率分别为,.在前3次投篮中,乙投篮的次数记为X,求随机变量X的分布列、数学期望和方差.
变式 有10张卡片,其中8张标有数字2,2张标有数字5,从中随机地抽取3张卡片,设3张卡片数字之和为X,求X的均值和方差.
[素养小结]
求离散型随机变量X的方差的步骤:
(1)理解X的意义,明确其可能的取值.
(2)判定X是否服从特殊分布(如两点分布等),若服从特殊分布,则可利用公式直接求解;若不服从特殊分布,则继续下面步骤.
(3)求X取每个值的概率.
(4)写出X的分布列,并利用分布列性质检验.
(5)求出E(X),根据方差定义求D(X).
◆ 探究点二 离散型随机变量的方差的性质及应用
例2 (多选题)已知随机变量X的分布列为P(X=k)=0.2,k=1,2,3,4,5.若Y=2X-3,则下列说法正确的是( )
A.随机变量X的均值为3
B.随机变量Y的均值为3
C.随机变量X的方差为2
D.随机变量Y的方差为9
变式 已知X的分布列为
X -1 0 1
P
(1)求E(X),D(X),σ(X);
(2)设Y=2X+3,求E(Y),D(Y).
[素养小结]
方差性质应用的关注点:
(1)公式:D(aX+b)=a2D(X).
(2)优势:既避免了求随机变量Y=aX+b的分布列,又避免了涉及大数的计算,从而简化了计算过程.
◆ 探究点三 均值、方差的实际应用
[探索] (1)离散型随机变量的方差和标准差反映了随机变量的什么性质
(2)离散型随机变量的方差越大随机变量越稳定还是方差越小越稳定
例3 为选拔奥运会射击选手,对甲、乙两名射手进行选拔测试.已知甲、乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量X,Y,甲、乙两名射手在每次射击中击中的环数均大于6环,且甲射中10环,9环,8环,7环的概率分别为0.5,3a,a,0.1,乙射中10环,9环,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2.
(1)求X,Y的分布列;
(2)求X,Y的数学期望与方差,以此比较甲、乙的射击技术并从中选拔一人参加奥运会.
变式 某公司计划在2025年年初将100万元用于投资,现有两个项目供选择.
项目一:新能源汽车.据市场调研,投资到该项目上,到年底可能获利30%,也可能亏损15%,且这两种情况发生的概率分别为和.
项目二:通信设备.据市场调研,投资到该项目上,到年底可能获利50%,可能损失30%,也可能不赔不赚,且这三种情况发生的概率分别为,,.
针对以上两个投资项目,请你为投资公司选择一个较好的项目,并说明理由.
[素养小结]
利用均值和方差的意义解决实际问题的步骤:
(1)比较均值:离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平, 因此, 在实际决策问题中,需先计算均值,看一下谁的平均水平高.
(2)在均值相等的情况下计算方差:方差反映了离散型随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度.通过计算方差,分析一下谁的水平发挥相对稳定.
(3)下结论:依据均值和方差的意义得出结论.7.3.2 离散型随机变量的方差
一、选择题
1.已知随机变量X满足P(X=1)=0.3,P(X=2)=0.7,则E(X)和D(X)的值分别为 ( )
A.0.6和0.7 B.1.7和0.09
C.0.3和0.7 D.1.7和0.21
2.已知随机变量X的分布列为
X 0 1 2
P
设Y=-2X+3,则D(Y)= ( )
A. B.
C. D.
3.在某公司的一次投标工作中,中标可以获利12万元,没有中标损失成本费0.5万元.若中标的概率为0.6,设该公司的盈利为X万元,则D(X)= ( )
A.7 B.31.9
C.37.5 D.42.5
4.有甲、乙两种水稻,测得每种水稻各10株的分蘖数据,计算出均值E(X甲)=E(X乙),方差分别为D(X甲)=11,D(X乙)=3.4.由此可以估计 ( )
A.甲种水稻比乙种水稻分蘖整齐
B.乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐
C.甲、乙两种水稻分蘖整齐程度相同
D.甲、乙两种水稻分蘖整齐程度不能比较
5.有编号为1,2,3,4,5的5支竹签,从中任取3支,设X表示这3支竹签的最小编号,则D(X)= ( )
A.4.5 B.2.5
C.1.5 D.0.45
6.已知随机变量X的分布列为P(X=x)=ax+b(x=-1,0,1),其中a,b∈R.若E(X)=,则D(X)= ( )
A. B. C. D.
7.甲、乙两名运动员射击一次命中的环数X,Y的分布列如下表,其中射击水平比较稳定的运动员是 ( )
X 8 9 10
P 0.3 0.2 0.5
Y 8 9 10
P 0.2 0.4 0.4
A.甲 B.乙
C.一样 D.无法比较
8.(多选题)[2024·苏州外国语学校高二月考] 已知随机变量X的分布列为
X -2 -1 1 2
P m n
下列结论正确的是 ( )
A.m+n=
B.P(X<2)=
C.若m=,则E(X)=
D.D(X2)=2
9.(多选题)已知集合A=B={1,2,3},分别从集合A,B中随机取一个数,用X表示两数之和,X的均值和方差分别为E(X),D(X),则 ( )
A.P(X=4)=2P(X=2)
B.P(3≤X≤5)=
C.E(X)=4
D.D(X)=
二、填空题
10.[2024·苏州高二期中] 若随机变量X满足P(X=c)=1,其中c为常数,则D(X)= .
11.[2024·郑州高二期中] 若随机变量X的分布列如下表所示,则D(1-3X)= .
X -1 0 1
P a a2
12.甲、乙两人答一道试题,甲答对的概率为,乙答对的概率为.设答对该题的人数为X,则D(X)= .
三、解答题
13.[2024·深圳高二期中] 已知离散型随机变量X的分布列为P=ak(k=1,2,3,4,5).
(1)求P;
(2)求随机变量Y=|5X-3|的分布列及方差.
14.甲、乙两名同学分别与一台智能机器人进行象棋比赛,记分规则如下:在一轮比赛中,如果甲赢而乙输,那么甲得1分;如果甲输而乙赢,那么甲得-1分;如果甲和乙同时赢或同时输,那么甲得0分.设甲赢机器人的概率为0.6,乙赢机器人的概率为0.5.求:
(1)在一轮比赛中,甲的得分X的分布列;
(2)在两轮比赛中,甲的得分Y的分布列、均值和方差.
15.某短视频软件经过几年的快速发展,深受人们的喜爱,该软件除了有娱乐属性外,还可通过平台推送广告.某公司为了宣传新产品,现有以下两种宣传方案:
方案一:投放该平台广告,据市场调研,其收益X(单位:万元)的可能取值为0,20,40,且P(X=20)=0.3,E(X)=30.
方案二:投放传统广告,据市场调研,其收益Y(单位:万元)的可能取值为10,20,30,且P(Y=10)=0.3,P(Y=20)=0.4,P(Y=30)=0.3.
(1)请写出随机变量X的分布列,并求方差D(X).
(2)请你根据所学的统计知识给出建议,该公司应该选择哪种方案 并说明你的理由.
16.(多选题)已知p1,p2∈(0,1),随机变量X,Y的分布列如下表所示:
X -1 0 1
P
Y -1 0 1
P
下列说法中正确的是 ( )
A.若p1<且p2<,则E(X)>E(Y)
B.若p1E(Y)
C.若p2D(Y)
D.若p1<D(Y)
17.[2024·北京昌平区高二期末] 某网站为研究新闻点击量的变化情况,收集得到了该网站连续30天的新闻点击量变化数据,如下表所示.在描述新闻点击量变化时,用“↑”表示“上涨”,即当天新闻点击量比前一天新闻点击量高;用“↓”表示“下降”,即当天新闻点击量比前一天新闻点击量低;用“-”表示“不变”,即当天新闻点击量与前一天新闻点击量相同.
时段 新闻点击量
第1天到第15天 ↑ - ↑ ↓ ↑ - ↓ ↑ - ↓ ↑ ↓ - ↓ ↓
第16天到第30天 - ↑ - ↑ - ↑ ↓ ↑ ↓ ↑ - ↓ ↑ ↓ ↑
用频率估计概率.
(1)试估计该网站新闻点击量“下降”的概率;
(2)从样本中的前15天和后15天中各随机抽取1天,记X表示其中该网站新闻点击量“上涨”的天数,求X的分布列和数学期望E(X);
(3)从样本给出的30天中任取1天,记{Y=1}=“该天新闻点击量‘上涨’”,{Y=0}=“该天新闻点击量‘下降’或‘不变’”,然后继续统计接下来的10天的新闻点击量,其中有6天“上涨”、3天“下降”、1天“不变”,相应地,从这40天中任取1天,记{Z=1}=“该天新闻点击量‘上涨’”,{Z=0}=“该天新闻点击量‘下降’或‘不变’”,求D(Y)和D(Z)的大小关系.