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7.4 二项分布与超几何分布
7.4.1 二项分布
第1课时 二项分布
探究点一 重伯努利试验
探究点二 二项分布
【学习目标】
1.理解 重伯努利试验模型.
2.理解二项分布.
3.能运用 重伯努利试验模型及二项分布解决一些简单的实际问题.
知识点一 重伯努利试验
1.伯努利试验的概念
只包含______________的试验叫作伯努利试验.
两个可能结果
2. 重伯努利试验的定义及特征
（1）定义：将一个伯努利试验____________进行_____所组成的随
机试验称为 重伯努利试验.
独立地重复
次
（2）特征：
①同一个伯努利试验重复做_____.
②各次试验的结果__________.
次
相互独立
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）在伯努利试验中，关注的是事件是否发生，而在 重伯努利试
验中，关注的是事件 发生的次数.( )
√
（2）重伯努利试验中每次试验事件 只有发生与不发生两种结果.
( )
√
（3）进行重伯努利试验,各次试验中事件 发生的概率可以不同.
( )
×
[解析] 进行重伯努利试验,每次试验中事件 发生的概率均相同.
知识点二 二项分布
概念：一般地，在重伯努利试验中，设每次试验中事件 发生的概
率为，用表示事件发生的次数，则 的分布列为
____________________________________________.如果随机变量
的分布列具有上式的形式，则称随机变量 服从二项分布，记作
___________.
，,1,2， ，
探究点一 重伯努利试验
例1 判断下列试验是不是 重伯努利试验.
（1）依次投掷四枚质地不同且不均匀的骰子;
解:由于试验的条件不同（骰子的质地不同且不均匀）,因此该试验不
是 重伯努利试验.
（2）某人射击,每次击中目标的概率是稳定的,他连续射击了10次;
解:某人射击10次且每次击中目标的概率是稳定的,因此该试验是 重
伯努利试验.
（3）口袋中装有5个白球，3个红球，2个黑球，依次从中随机抽取5
个球.
解:每次抽取，球的个数不一样多，且每种颜色出现的可能性不相等，
因此不是 重伯努利试验.
变式1 下列说法正确的是( )
A. 重伯努利试验的每次试验结果可以多于两种
B. 重伯努利试验的各次试验结果可以不独立
C. 重伯努利试验中，每次试验“成功”的概率可以不同
D.一次伯努利试验中，事件发生的次数 服从两点分布
[解析] 重伯努利试验的每次试验只有两个结果，故A错误；
重伯努利试验的各次试验结果相互独立，故B错误；
重伯努利试验中，每次试验“成功”的概率相同，故C错误；
一次伯努利试验中，事件A发生的次数 服从两点分布，故D正确．故选D.
√
变式2 加工某种零件需经过3道工序.设第一、二、三道工序的合格
率分别为，， ，且各道工序互不影响.
（1）加工一个这种零件是否是3重伯努利试验？求加工一个这种零
件是合格品的概率.
解：加工一个这种零件需经过3道工序，各道工序互不影响，它们是
独立的，但3道工序的合格率不同，因此加工一个这种零件不是3重
伯努利试验.
由事件的独立性知，加工一个这种零件是合格品的概率
.
（2）加工20个这种零件，记合格品的个数为，则 是否服从二项分布？
解：由（1）知，加工一个这种零件是合格品的概率是 ，加工20个
这种零件，每个零件的加工相互独立，故是一个20重伯努利试验，
表示加工的零件是合格品这一事件发生的次数，故服从二项分布.
［素养小结］
重伯努利试验的关注点
判断时注意各次试验之间是相互独立的，并且每次试验的结果只有
两种（即要么发生，要么不发生），在任何一次试验中某一事件发
生的概率都相等，然后用相关公式求概率.
探究点二 二项分布
例2 袋中有大小、质地完全相同的五个小球，小球上面分别标有0，
1，2，3，4.从袋中一次性摸两球，和为奇数记为事件 ，有放回地
摇匀后连摸五次，事件发生的次数记为，求 的分布列.
解：由题易知，服从二项分布 ,
，
所以 的分布列为
0 1 2 3 4 5
例3 甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是和 ，假设每
次射击是否击中目标相互之间没有影响.
（1）求甲射击3次，至少有1次未击中目标的概率；
解：记事件 “甲射击3次，至少有1次未击中目标”，
由题意，射击3次，相当于3重伯努利试验，
故 .
（2）求两人各射击2次，甲恰有2次击中目标且乙恰有1次击中目标
的概率.
解：记事件“甲射击2次，恰有2次击中目标”，事件 “乙射击
2次，恰有1次击中目标”，
则 ， .
由于甲、乙射击相互独立，故所求概率为 .
变式 某射手进行射击训练，假设每次射击击中目标的概率为 ，且
每次射击的结果互不影响，已知射手射击了5次，求：
（1）只在第一、三、五次击中目标的概率；
解：该射手射击了5次，只在第一、三、五次击中目标，也就是在第
二、四次没有击中目标，所以只有一种情况，
又各次射击的结果互不影响，
故所求概率 .
（2）恰有3次击中目标的概率；
解：该射手射击1次，设“击中目标”，则 ，
射手射击了5次，用表示事件 发生的次数，
则，故所求概率为 .
（3）恰有3次连续击中目标，而其他2次没有击中目标的概率.
解：该射手射击了5次，其中恰有3次连续击中目标，而其他2次没有
击中目标，应用排列组合知识，把3次连续击中目标看成一个整体可
得共有种情况，故所求概率 .
［素养小结］
（1）二项分布的简单应用是求重伯努利试验中事件恰好发生 次
的概率.解题的一般思路是：根据题意设出随机变量 分析出随机变
量服从二项分布 找到参数， 写出二项分布的分布列 将
值代入求解概率.
（2）求解随机变量涉及“至少”“至多”问题的取值概率，其实质是求
在某一取值范围内的概率，一般转化为几个互斥事件发生的概率的
和，或者利用对立事件求概率.
拓展 如图，在一条无限长的轨道上，一个质点在随机外力的作用下，
从位置0出发，每次等可能地向左或向右移动一个单位长度，设移动
次后质点位于位置 .
（1）求 .
解：设质点次移动中向右移动的次数为 ，则 ，
所以 .
（2）质点最有可能位于哪个位置 请说明理由.
解：由（1）知，，, .
当为偶数时，的最大项为，则当时， 取得
最大值，此时 ，所以质点最有可能位于位置0；
当为奇数时，的最大项为和，则当或 时,
取得最大值，此时或 ，
所以质点最有可能位于位置 或1.
瑞士数学家雅各布·伯努利 的一大
贡献是研究了独立重复试验(每次试验的成功率为 .在他去世后的第
8年（1713年），他的侄子尼克拉斯出版了伯努利的著作《推测术》.
在书中，伯努利指出了如果这样的试验次数足够大，那么成功次数
所占的比例接近 .伯努利家族3代人中产生了8位科学家，在概率论、
统计学和数学上作出了杰出的基础性贡献.
在重伯努利试验中，设事件发生的次数为，在每次试验中事件
发生的概率为，那么在重伯努利试验中，事件恰好发生 次的概
率，,1,2， ， .
1.典型的二项分布问题
例1 机甲大师高校联盟赛，作为全国大学生机器人大赛
旗下赛事之一，是专为全球科技爱好者打造的机器人竞技与学术交
流平台，在“ ”对抗赛中，甲、乙、丙三支高校队在每轮对抗赛中，
乙胜丙的概率为，甲胜丙的概率为 ，每轮对抗赛没有平局且成绩
互不影响.
（1）若乙与丙进行3轮对抗赛，求丙在对抗赛中至少有2轮胜出的概率；
解：因为乙胜丙的概率为，所以丙胜乙的概率为 ，
设丙胜乙的对抗赛轮数为 ，
则3轮对抗赛中，丙至少有2轮胜出的概率为
.
（2）若甲与丙进行对抗，甲胜2轮就停止，否则开始新一轮对抗，
但对抗不超过5轮，求对抗赛轮数 的分布列与数学期望.
解：由题意，的可能取值为2，3，4，5，且 ，
, ，
，
所以 的分布列为
2 3 4 5
.
2.相互独立事件与二项分布的区别
相互独立事件是二项分布的基本前提，相互独立事件与二项分布是
一个包含与被包含的关系.
例2 某射手进行射击训练，假设每次射击击中目标的概率为 ，且每
次射击的结果互不影响.
（1）求射手在3次射击中，至少有2次连续击中目标的概率
（用数字作答）；
解：设事件“该射手第次射击，击中目标”， ，2，3，
则 ，所以 ，
事件“射手在3次射击中，至少有2次连续击中目标”可表示为
，
因为事件，， 互斥，
所以
,
又事件，， 相互独立，
所以
.
（2）求射手第3次击中目标时，恰好射击了4次的概率（用数字作答）；
解：事件“射手第3次击中目标时，恰好射击了4次”等价于事件“前3
次中恰好击中2次目标且第四次击中目标”，
又每次射击击中目标的概率为 ，所以前3次中恰有2次击中目标的
概率为 ，第四次击中目标的概率为 ，
所以事件“射手第3次击中目标时，恰好射击了4次”的概率
.
（3）设随机变量表示射手第3次击中目标时已射击的次数，求 的分布列.
解：由已知得的可能取值为3，4，5， ，， ，
又， ，
， ，
， ，
所以随机变量 的分布列为
3 4 5 … …
… …
练习册
一、选择题
1.下列叙述中随机变量 服从二项分布的是( )
A.某同学投篮的命中率为,他10次投篮中命中的次数为
B.某射手击中目标的概率为 ,从开始射击到击中目标所需的射击次
数为
C.从装有5个红球,5个白球的袋中,有放回地摸球,直到摸出白球为止,
摸到白球时的摸球次数为
D.有一批产品共有件,其中件为次品,采用不放回抽取方法,表示
次抽取中出现次品的件数
√
[解析] 根据二项分布的定义,可知A中服从二项分布 ,B，C，
D中 均不服从二项分布.故选A.
2.已知随机变量，则 ( )
A. B. C. D.
[解析] 随机变量，.
故选C.
√
3.下列说法错误的是( )
A.若一次试验中事件发生的概率为,为重伯努利试验中事件 发
生的次数，则
B.在 重伯努利试验中，各次试验的结果相互没有影响
C.对于 重伯努利试验，各次试验中事件发生的概率可以不同
D.如果在一次试验中某事件发生的概率是，那么在 重伯努利试验
中，这个事件恰好发生次的概率 ，
，1，2， ，
√
[解析] 一个伯努利试验独立地重复进行次所组成的随机试验为
重伯努利试验，在 重伯努利试验中，各次试验的结果相互之间没
有影响，各次试验中事件发生的概率相同，故B中说法正确，C中
说法错误；
由二项分布的定义可知，A中说法正确，D中说法正确.故选C.
4.从一口袋中有放回地每次摸出1个球，摸出1个白球的概率为 ，
摸出1个黑球的概率为 ，若摸球3次，则恰好有2次摸出白球的概
率为( )
A.0.24 B.0.26 C.0.288 D.0.292
[解析] 恰好有2次摸出白球的概率为 .
√
5.唐代诗人张若虚在《春江花月夜》中曾写道：“春江潮水连海平，
海上明月共潮生.”潮水的涨落和月亮的运行有关系，这是一种自然现
象.根据历史数据，已知沿海某地在某个季节中每天出现大潮的概率
均为 ，则该地在该季节连续三天内，至少有两天出现大潮的概率为
( )
A. B. C. D.
√
[解析] 该地在该季节连续三天内至少有两天出现大潮包括两种情况：
有两天出现大潮或有三天出现大潮.
有两天出现大潮的概率为，
有三天出现大潮的概率为 ，
所以至少有两天出现大潮的概率为 ，故选A.
6.若，则当，1，2， ，100时( )
A. B.
C. D.
[解析] 根据题意可知， 即
解得 ，
又为整数，故，即 .故选C.
√
7.[2024·山东潍坊高二期中]某人寿保险公司规定，投保人没活过65
岁时，保险公司要赔偿100万元，活过65岁时，保险公司不赔偿，但
要给投保人一次性支付5万元.已知购买此种保险的每个投保人能活过
65岁的概率都是 ，随机抽取3个投保人，设其中活过65岁的人数
为，保险公司要赔偿给这3个人的总金额为万元,则
( )
A.0.972 B.0.729 C.0.486 D.0.243
√
[解析] 依题意知 ，
因为3个投保人中，活过65岁的人数为，所以没活过65岁的人数为 ，
因此，
所以 .故选A.
8.（多选题）已知随机变量 ，则下列说法正确的是
( )
A.
B.
C.当，1，2， ，6时，
D.若甲投篮的命中率为，则 可以表示甲连续投篮6次的命中次数
√
√
√
[解析] 随机变量 ，
对于A， ，故A正确；
对于B， ，故B正确；
对于C，当，1，2, ,6时， ，故C错误；
对于D，甲连续投篮6次相当于6重伯努利试验，而单次投篮命中率
为 ，则命中次数，故D正确.故选 .
9.（多选题）一射手对同一目标独立地射击4次，已知至少命中一次
的概率为，设此射手射击4次命中的次数为，每次命中的概率为 ，
则下列说法正确的是( )
A. B.
C.或 D.
√
√
√
[解析] 对于A，此射手射击4次命中的次数为，每次命中的概率为 ，
则 ，故A正确；
对于B，一射手对同一目标独立地射击4次，至少命中一次的概率为
，则 ，故B正确；
对于C，D，一射手对同一目标独立地射击4次，至少命中一次的概
率为 ，则，可得 ，
故C错误，D正确.故选 .
二、填空题
10.下列说法正确的是______（填序号）.
①若某同学每次投篮的命中率为，他10次投篮中命中的次数 是
一个随机变量，则 ；
②若某彩票的中奖概率为，某人一次买了8张，中奖张数 是一个随
机变量，则 ；
③若从装有5个红球、5个白球的袋中，有放回地摸球，直到摸出白
球为止，则摸球次数是随机变量，且 .
①②
[解析] ①②显然满足 重伯努利试验的条件，而③虽然有放回地摸
球，但随机变量 的条件是直到摸出白球为止，也就是说前面摸出的
一定是红球，最后一次摸出的是白球，不符合二项分布的定义.
11.现有3个小组，每组3人，每人投篮1次，投中的概率均为 ，若1个
小组中至少有1人投中，则称该组为“成功组”，则这3个小组中恰有1
个“成功组”的概率为____.
[解析] 1个小组是“成功组”的概率为 ，则这3个小组中
恰有1个“成功组”的概率为 .
12.某人在11次射击中击中目标的次数为，若 ，且
最大，则 ___.
9
[解析] 该人在11次射击中击中目标的次数为， ，
，,1,2, ,11.
当 ，时， ，
.
令 且，得，
， ，即最大，故 .
三、解答题
13.一个盒子里有除颜色外完全相同的5个小球，其中2个白球和3个红球.
（1）一次性从盒子中取3个小球，求取出来的是1个白球和2个红球
的概率；
解：设事件 “取出来的是1个白球和2个红球”，
因为一次性从盒子中取3个小球,试验的样本空间中的样本点的个数为
，事件包含的样本点个数为，所以 .
（2）有放回地取3次小球，每次取1个，求取出白球的个数 的分布列.
解：每次取出白球的概率为 ，
的所有可能取值为0，1，2，3，且 ，
所以 ， ，
， ，
所以 的分布列为
0 1 2 3
14.甲、乙两组各有3位病人，且6位病人症状相同，为检验， 两种
药物的药效，甲组服用种药物，乙组服用 种药物，用药后，甲组
中每人康复的概率都为，乙组3人康复的概率分别为，， .
（1）设甲组中康复的人数为，求 的分布列；
解:由题意可知，， 的可能取值为0，1，2，3，
， ，
， ，
所以随机变量 的分布列为
0 1 2 3
（2）求甲组中康复人数比乙组中康复人数多2的概率.
解:设乙组中康复的人数为，则 的可能取值为0，1，2，3.
记事件 “甲组中康复的人数比乙组中康复的人数多2”.
，
，则 .
15.[2024·福建厦门一中高二月考]泊松分布是一种描述随机现象的概
率分布，在经济生活、事故预测、生物学、物理学等领域有广泛应
用，泊松分布的概率分布列为 ，其
中为自然对数的底数， 是泊松分布的均值.若随机变量 服从二项
分布，当很大且 很小时，二项分布近似于泊松分布， 其中，
即， .现已知某种元件的次品率为
，则抽检100个该种元件，正品率大于 的概率约为
( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由题知， ，泊松分布可作为二项分布的近似，
此时，所以 ,
则, , ，
所以正品率大于 的概率
.故选C.
16.现有一枚均匀的硬币（即抛掷硬币一次只可能出现正面与反面两
种结果，抛出正面与反面的概率均为 ，每一次抛掷是独立的），正
面记为，反面记为 ，并不断抛掷该硬币.
（1）求抛掷3次时，至少出现1次正面朝上的概率.
解：抛掷硬币一次，正面朝上的概率为，反面朝上的概率为 ，
设“抛掷3次时，至少出现1次正面朝上”，则 “抛掷3次时，
3次都是反面朝上”，，则 .
（2）用表示抛掷10次后出现正面朝上的次数，求 .
解：因为抛掷硬币只会出现两种结果，即正面朝上与反面朝上，且
每次抛掷相互独立，所以 服从二项分布，即 ，
所以 .
（3）抛掷3次，甲同学选择了组合 （即连续地依次出现正面、正面、
反面），乙同学选择了组合 .若选择的组合出现，则获得游戏胜利.
问：甲、乙两人中，甲更有优势还是乙更有优势还是双方都没有优势？
解：双方都没有优势.
甲同学选择了组合“ ”（即连续地依次出现正面、正面、反面），其
概率为 ，乙同学选择了组合 （即连续地依次出现
正面、反面、反面），其概率为，
因为 ，所以双方都没有优势.7.4 二项分布与超几何分布
7.4.1 二项分布
第1课时 二项分布
【课前预习】
知识点一
1.两个可能结果
2.(1)独立地重复 n次 (2)①n次 ②相互独立
诊断分析
(1)√ (2)√ (3)× [解析] (3)进行n重伯努利试验,每次试验中事件A发生的概率均相同.
知识点二
P(X=k)=pk(1-p)n-k,k=0,1,2,…,n X~B(n,p)
【课中探究】
例1 解:(1)由于试验的条件不同(骰子的质地不同且不均匀),因此该试验不是n重伯努利试验.
(2)某人射击10次且每次击中目标的概率是稳定的,因此该试验是n重伯努利试验.
(3)每次抽取,球的个数不一样多,且每种颜色出现的可能性不相等,因此不是n重伯努利试验.
变式1 D [解析] n重伯努利试验的每次试验只有两个结果,故A错误; n重伯努利试验的各次试验结果相互独立,故B错误;n重伯努利试验中,每次试验“成功”的概率相同,故C错误;一次伯努利试验中,事件A发生的次数X服从两点分布,故D正确.故选D.
变式2 解:(1)加工一个这种零件需经过3道工序,各道工序互不影响,它们是独立的,但3道工序的合格率不同,因此加工一个这种零件不是3重伯努利试验.由事件的独立性知,加工一个这种零件是合格品的概率P=××=.
(2)由(1)知,加工一个这种零件是合格品的概率是,加工20个这种零件,每个零件的加工相互独立,故是一个20重伯努利试验,X表示加工的零件是合格品这一事件发生的次数,故服从二项分布.
例2 解:由题易知P(A)===,Y服从二项分布B,P(Y=k)=(k=0,1,2,3,4,5),所以Y的分布列为
Y 0 1 2 3 4 5
P
例3 解:(1)记事件A1=“甲射击3次,至少有1次未击中目标”,由题意,射击3次,相当于3重伯努利试验,故P(A1)=1-P()=1-=.
(2)记事件A2=“甲射击2次,恰有2次击中目标”,事件B2=“乙射击2次,恰有1次击中目标”,则P(A2)=×=,P(B2)=××=.
由于甲、乙射击相互独立,故所求概率为P(A2B2)=×=.
变式 解:(1)该射手射击了5次,只在第一、三、五次击中目标,也就是在第二、四次没有击中目标,所以只有一种情况,又各次射击的结果互不影响,故所求概率P1=××××=.
(2)该射手射击1次,设A=“击中目标”,则P(A)=,射手射击了5次,用X表示事件A发生的次数,
则X~B,故所求概率为P(X=3)=××=.
(3)该射手射击了5次,其中恰有3次连续击中目标,而其他2次没有击中目标,应用排列组合知识,把3次连续击中目标看成一个整体可得共有种情况,故所求概率P2=××=.
拓展 解:(1)设质点n次移动中向右移动的次数为Y,则Y~B,
所以P(X4=-2)=P(Y=1)=××=.
(2)由(1)知,P(Y=k)==,k∈N,k≤n.
当n为偶数时,{}的最大项为,则当k=时,P(Y=k)=取得最大值,此时Xn=0,
所以质点最有可能位于位置0;
当n为奇数时,{}的最大项为和,则当k=或时,P(Y=k)=取得最大值,
此时Xn=-1或Xn=1,
所以质点最有可能位于位置-1或1.7.4 二项分布与超几何分布
7.4.1 二项分布
第1课时 二项分布
1.A [解析] 根据二项分布的定义,可知A中X服从二项分布B(10,0.6),B,C,D中X均不服从二项分布.故选A.
2.C [解析] ∵随机变量X~B,∴P(X=2)=××=.故选C.
3.C [解析] 一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验为n重伯努利试验,在n重伯努利试验中,各次试验的结果相互之间没有影响,各次试验中事件发生的概率相同,故B中说法正确,C中说法错误;由二项分布的定义可知,A中说法正确,D中说法正确.故选C.
4.C [解析] 恰好有2次摸出白球的概率为×0.42×(1-0.4)=0.288.
5.A [解析] 该地在该季节连续三天内至少有两天出现大潮包括两种情况:有两天出现大潮或有三天出现大潮.有两天出现大潮的概率为××=,有三天出现大潮的概率为×=,所以至少有两天出现大潮的概率为+=,故选A.
6.C [解析] 根据题意可知,即解得≤k≤,又k为整数,故k=33,即P(X=k)≤P(X=33).故选C.
7.A [解析] 依题意知X~B(3,0.9),因为3个投保人中,活过65岁的人数为X,所以没活过65岁的人数为3-X,因此Y=100(3-X)+5X=300-95X(X=0,1,2,3),所以P(Y<200)=P(X=2)+P(X=3)=×0.92×(1-0.9)+×0.93=0.972.故选A.
8.ABD [解析] 随机变量X~B,对于A,P(X=2)=××=,故A正确;对于B,P(X≤5)=1-P(X=6)=1-=,故B正确;对于C,当k=0,1,2,…,6时,P(X=k)≤P(X=2),故C错误;对于D,甲连续投篮6次相当于6重伯努利试验,而单次投篮命中率为,则命中次数X~B,故D正确.故选ABD.
9.ABD [解析] 对于A,此射手射击4次命中的次数为X,每次命中的概率为p,则X~B(4,p),故A正确;对于B,一射手对同一目标独立地射击4次,至少命中一次的概率为,则P(X≥1)=,故B正确;对于C,D,一射手对同一目标独立地射击4次,至少命中一次的概率为,则P(X=0)=×(1-p)4=1-=,可得p=,故C错误,D正确.故选ABD.
10.①② [解析] ①②显然满足n重伯努利试验的条件,而③虽然有放回地摸球,但随机变量X的条件是直到摸出白球为止,也就是说前面摸出的一定是红球,最后一次摸出的是白球,不符合二项分布的定义.
11. [解析] 1个小组是“成功组”的概率为1-=,则这3个小组中恰有1个“成功组”的概率为××=.
12.9 [解析] ∵该人在11次射击中击中目标的次数为X,X~B(11,0.8),∴P(X=k)=0.8k×0.211-k,k=0,1,2,…,11.当1≤k≤10,k∈N*时,==,·=.令=≥1且=≥1,得≤k≤,∵k∈N*,∴k=9,即P(X=9)最大,故m=9.
13.解:(1)设事件A=“取出来的是1个白球和2个红球”,
因为一次性从盒子中取3个小球,试验的样本空间中的样本点的个数为=10,事件A包含的样本点个数为=6,所以P(A)==.
(2)每次取出白球的概率为,
X的所有可能取值为0,1,2,3,且X~B,
所以P(X=0)=××=,P(X=1)=××=,P(X=2)=××=,P(X=3)=××=,
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
14.解:(1)由题意可知,X~B,X的可能取值为0,1,2,3,P(X=0)==,P(X=1)=××=,P(X=2)=××=,P(X=3)==,所以随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3
P
(2)设乙组中康复的人数为Y,则Y的可能取值为0,1,2,3.记事件M=“甲组中康复的人数比乙组中康复的人数多2”.P(Y=0)=×=,P(Y=1)=×+×××==,则P(M)=P(X=2)P(Y=0)+P(X=3)P(Y=1)=×+×=.
15.C [解析] 由题知n=100,p=0.01,泊松分布可作为二项分布的近似,此时λ=100×0.01=1,所以P(X=k)=e-1,则P(X=0)=e-1=,P(X=1)=e-1= ,P(X=2)=e-1=,所以正品率大于97%的概率P=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=++≈92%.故选C.
16.解:(1)抛掷硬币一次,正面朝上的概率为,反面朝上的概率为,设A=“抛掷3次时,至少出现1次正面朝上”,则=“抛掷3次时,3次都是反面朝上”,P()==,则P(A)=1-P()=.
(2)因为抛掷硬币只会出现两种结果,即正面朝上与反面朝上,且每次抛掷相互独立,所以X服从二项分布,
即X~B,所以P(X>5)=(++++)×=.
(3)双方都没有优势.甲同学选择了组合“HHT”(即连续地依次出现正面、正面、反面),其概率为P甲=××=,乙同学选择了组合HTT(即连续地依次出现正面、反面、反面),其概率为P乙=××=,因为P甲=P乙,所以双方都没有优势.7.4 二项分布与超几何分布
7.4.1 二项分布
第1课时 二项分布
【学习目标】
1.理解n重伯努利试验模型.
2.理解二项分布.
3.能运用n重伯努利试验模型及二项分布解决一些简单的实际问题.
◆ 知识点一 n重伯努利试验
1.伯努利试验的概念
只包含 的试验叫作伯努利试验.
2.n重伯努利试验的定义及特征
(1)定义:将一个伯努利试验 进行 所组成的随机试验称为n重伯努利试验.
(2)特征:①同一个伯努利试验重复做 .
②各次试验的结果 .
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)在伯努利试验中,关注的是事件A是否发生,而在n重伯努利试验中,关注的是事件A发生的次数. ( )
(2)n重伯努利试验中每次试验事件A只有发生与不发生两种结果. ( )
(3)进行n重伯努利试验,各次试验中事件A发生的概率可以不同. ( )
◆ 知识点二 二项分布
概念:一般地,在n重伯努利试验中,设每次试验中事件A发生的概率为p(0
◆ 探究点一 n重伯努利试验
例1 判断下列试验是不是n重伯努利试验.
(1)依次投掷四枚质地不同且不均匀的骰子;
(2)某人射击,每次击中目标的概率是稳定的,他连续射击了10次;
(3)口袋中装有5个白球,3个红球,2个黑球,依次从中随机抽取5个球.
变式1 下列说法正确的是 ( )
A.n重伯努利试验的每次试验结果可以多于两种
B.n重伯努利试验的各次试验结果可以不独立
C.n重伯努利试验中,每次试验“成功”的概率可以不同
D.一次伯努利试验中,事件A发生的次数X服从两点分布
变式2 加工某种零件需经过3道工序.设第一、二、三道工序的合格率分别为,,,且各道工序互不影响.
(1)加工一个这种零件是否是3重伯努利试验 求加工一个这种零件是合格品的概率.
(2)加工20个这种零件,记合格品的个数为X,则X是否服从二项分布
[素养小结]
n重伯努利试验的关注点
判断时注意各次试验之间是相互独立的,并且每次试验的结果只有两种(即要么发生,要么不发生),在任何一次试验中某一事件发生的概率都相等,然后用相关公式求概率.
◆ 探究点二 二项分布
例2 袋中有大小、质地完全相同的五个小球,小球上面分别标有0,1,2,3,4.从袋中一次性摸两球,和为奇数记为事件A,有放回地摇匀后连摸五次,事件A发生的次数记为Y,求Y的分布列.
例3 甲、乙两人各射击一次,击中目标的概率分别是和,假设每次射击是否击中目标相互之间没有影响.
(1)求甲射击3次,至少有1次未击中目标的概率;
(2)求两人各射击2次,甲恰有2次击中目标且乙恰有1次击中目标的概率.
变式 某射手进行射击训练,假设每次射击击中目标的概率为,且每次射击的结果互不影响,已知射手射击了5次,求:
(1)只在第一、三、五次击中目标的概率;
(2)恰有3次击中目标的概率;
(3)恰有3次连续击中目标,而其他2次没有击中目标的概率.
[素养小结]
(1)二项分布的简单应用是求n重伯努利试验中事件A恰好发生k次的概率.解题的一般思路是:根据题意设出随机变量→分析出随机变量服从二项分布→找到参数n,p→写出二项分布的分布列→将k值代入求解概率.
(2)求解随机变量涉及“至少”“至多”问题的取值概率,其实质是求在某一取值范围内的概率,一般转化为几个互斥事件发生的概率的和,或者利用对立事件求概率.
拓展 如图,在一条无限长的轨道上,一个质点在随机外力的作用下,从位置0出发,每次等可能地向左或向右移动一个单位长度,设移动n次后质点位于位置Xn.
(1)求P(X4=-2).
(2)质点最有可能位于哪个位置 请说明理由.7.4 二项分布与超几何分布
7.4.1 二项分布
第1课时 二项分布
一、选择题
1.下列叙述中随机变量X服从二项分布的是 ( )
A.某同学投篮的命中率为0.6,他10次投篮中命中的次数为X
B.某射手击中目标的概率为0.9,从开始射击到击中目标所需的射击次数为X
C.从装有5个红球,5个白球的袋中,有放回地摸球,直到摸出白球为止,摸到白球时的摸球次数为X
D.有一批产品共有N件,其中M件为次品,采用不放回抽取方法,X表示n次抽取中出现次品的件数
2.已知随机变量X~B,则P(X=2)= ( )
A. B.
C. D.
3.下列说法错误的是 ( )
A.若一次试验中事件A发生的概率为p,X为n重伯努利试验中事件A发生的次数,则X~B(n,p)
B.在n重伯努利试验中,各次试验的结果相互没有影响
C.对于n重伯努利试验,各次试验中事件发生的概率可以不同
D.如果在一次试验中某事件发生的概率是p,那么在n重伯努利试验中,这个事件恰好发生k次的概率P(X=k)=pk(1-p)n-k,k=0,1,2,…,n
4.从一口袋中有放回地每次摸出1个球,摸出1个白球的概率为0.4,摸出1个黑球的概率为0.5,若摸球3次,则恰好有2次摸出白球的概率为 ( )
A.0.24 B.0.26
C.0.288 D.0.292
5.唐代诗人张若虚在《春江花月夜》中曾写道:“春江潮水连海平,海上明月共潮生.”潮水的涨落和月亮的运行有关系,这是一种自然现象.根据历史数据,已知沿海某地在某个季节中每天出现大潮的概率均为,则该地在该季节连续三天内,至少有两天出现大潮的概率为 ( )
A. B.
C. D.
6.若X~B,则当k=0,1,2,…,100时 ( )
A.P(X=k)≤P(X=50)
B.P(X=k)≤P(X=32)
C.P(X=k)≤P(X=33)
D.P(X=k)≤P(X=49)
7.[2024·山东潍坊高二期中] 某人寿保险公司规定,投保人没活过65岁时,保险公司要赔偿100万元,活过65岁时,保险公司不赔偿,但要给投保人一次性支付5万元.已知购买此种保险的每个投保人能活过65岁的概率都是0.9,随机抽取3个投保人,设其中活过65岁的人数为X,保险公司要赔偿给这3个人的总金额为Y万元,则P(Y<200)= ( )
A.0.972 B.0.729
C.0.486 D.0.243
8.(多选题)已知随机变量X~B,则下列说法正确的是 ( )
A.P(X=2)=
B.P(X≤5)=
C.当k=0,1,2,…,6时,P(X=k)≤P(X=3)
D.若甲投篮的命中率为,则X可以表示甲连续投篮6次的命中次数
9.(多选题)一射手对同一目标独立地射击4次,已知至少命中一次的概率为,设此射手射击4次命中的次数为X,每次命中的概率为p,则下列说法正确的是 ( )
A.X~B(4,p)
B.P(X≥1)=
C.p=或p=
D.p=
二、填空题
10.下列说法正确的是 (填序号).
①若某同学每次投篮的命中率为0.6,他10次投篮中命中的次数X是一个随机变量,则X~B(10,0.6);
②若某彩票的中奖概率为p,某人一次买了8张,中奖张数X是一个随机变量,则X~B(8,p);
③若从装有5个红球、5个白球的袋中,有放回地摸球,直到摸出白球为止,则摸球次数X是随机变量,且X~B(n,0.5).
11.现有3个小组,每组3人,每人投篮1次,投中的概率均为,若1个小组中至少有1人投中,则称该组为“成功组”,则这3个小组中恰有1个“成功组”的概率为 .
12.某人在11次射击中击中目标的次数为X,若X~B(11,0.8),且P(X=m)最大,则m= .
三、解答题
13.一个盒子里有除颜色外完全相同的5个小球,其中2个白球和3个红球.
(1)一次性从盒子中取3个小球,求取出来的是1个白球和2个红球的概率;
(2)有放回地取3次小球,每次取1个,求取出白球的个数X的分布列.
14.甲、乙两组各有3位病人,且6位病人症状相同,为检验A,B两种药物的药效,甲组服用A种药物,乙组服用B种药物,用药后,甲组中每人康复的概率都为,乙组3人康复的概率分别为,,.
(1)设甲组中康复的人数为X,求X的分布列;
(2)求甲组中康复人数比乙组中康复人数多2的概率.
15.[2024·福建厦门一中高二月考] 泊松分布是一种描述随机现象的概率分布,在经济生活、事故预测、生物学、物理学等领域有广泛应用,泊松分布的概率分布列为P(X=k)=e-λ(k=0,1,2,…),其中e为自然对数的底数,λ是泊松分布的均值.若随机变量X服从二项分布,当n很大且p很小时,二项分布近似于泊松分布,其中λ=np,即X~B(n,p),P(X=k)=.现已知某种元件的次品率为0.01,则抽检100个该种元件,正品率大于97%的概率约为 ( )
A.99% B.97%
C.92% D.74%
16.现有一枚均匀的硬币(即抛掷硬币一次只可能出现正面与反面两种结果,抛出正面与反面的概率均为,每一次抛掷是独立的),正面记为H,反面记为T,并不断抛掷该硬币.
(1)求抛掷3次时,至少出现1次正面朝上的概率.
(2)用X表示抛掷10次后出现正面朝上的次数,求P(X>5).
(3)抛掷3次,甲同学选择了组合HHT(即连续地依次出现正面、正面、反面),乙同学选择了组合HTT.若选择的组合出现,则获得游戏胜利.问:甲、乙两人中,甲更有优势还是乙更有优势还是双方都没有优势