(共85张PPT)
7.4 二项分布与超几何分布
7.4.2 超几何分布
探究点一 超几何分布
探究点二 超几何分布的概率
探究点三 与超几何分布有关的分布列、期望问题
探究点四 二项分布与超几何分布的区别与联系
【学习目标】
理解超几何分布及其推导过程,并能简单地运用（重点）.
知识点 超几何分布
1.概念
一般地，假设一批产品共有件，其中有件次品.从 件产品中随机
抽取件（不放回），用表示抽取的___________的次品数，则 的
分布列为_ _______，，，， ， .
其中，，，___，___，， ，
，.如果随机变量 的分布列具有上式的形式，那么称随
机变量 服从超几何分布.
件产品中
2.服从超几何分布的随机变量的均值
设随机变量服从超几何分布，则可以解释为从包含件次品的
件产品中，不放回地随机抽取 件产品中的次品数.如果离散型随机
变量服从参数为,,的超几何分布，即 ，那么
____.
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）超几何分布就是一种概率分布模型.( )
√
（2）超几何分布的总体里只有两类物品.( )
√
（3）一个袋子里装有4个白球，5个黑球和6个黄球，从中任取4个球，
则取出的黑球个数 服从超几何分布.( )
√
探究点一 超几何分布
例1 一个袋中有6个同样大小的黑球，编号为1，2，3，4，5，6，还
有4个同样大小的白球，编号为7，8，9，10.现从中任取4个球，有如
下几种变量：
表示取出的最大号码；
表示取出的最小号码；
表示取出的白球个数；
④取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分， 表示取出的4个球的
总得分减去4的差.
这四种变量中服从超几何分布的是( )
A.①② B.③④ C.①②④ D.①②③④
√
[解析] ①②中的变量不符合超几何分布的定义，无法用超几何分布
的数学模型计算概率，故①②错误；
③中的变量符合超几何分布的定义，将白球视作甲类物品，黑球视
作乙类物品，则可以用超几何分布的数学模型计算概率，故③正确；
④中的变量可以对应取出的黑球个数，符合超几何分布的定义，
可以用超几何分布的数学模型计算概率，故④正确.故选B.
变式 判断下列随机变量 是否服从超几何分布？说明理由.
①抛掷三枚质地均匀的骰子，所得向上的数是6的骰子的个数记为 ；
②有一批种子的发芽率为 ，任取10颗种子做发芽试验，把试验
中发芽的种子的颗数记为 ；
③盒子中有3个红球，4个黄球，5个蓝球，从中任取3个球，把不是
红球的个数记为 ；
④某班级有男生25人，女生20人，随机选派4名学生参加学校组织的
活动，其中女生的人数记为 ；
⑤现有100台播放器未经检测，随机抽取10台送检，把检测结果为不
合格的播放器的个数记为 .
解：①②中样本没有分类，易知 均服从二项分布，均不服从超几何
分布.
③④均符合超几何分布的特征，样本都分为两类.随机变量 表示抽
取的个样本中某类样本被抽取的个数，故③④中 均服从超几何分布.
⑤中没有给出不合格的播放器的数量，无法求的分布列，所以 不
服从超几何分布.
探究点二 超几何分布的概率
例2（1） 设袋中有80个红球，20个白球，若从袋中任取10个球，则
其中恰有6个红球的概率为( )
A. B. C. D.
[解析] 从袋中任取10个球，其中红球的个数 服从超几何分布，其
中，，，故恰有6个红球的概率为 .
√
（2）某校高二年级某班的数学课外活动小组有6名男生，4名女生，
从中随机选出4人参加数学竞赛考试，用 表示其中男生的人数，求
选出的4人中至少有3名男生的概率.
解：依题意得，随机变量服从超几何分布，随机变量 表示其中男
生的人数， 的可能取值为0，1，2，3，4，
， ，1，2，3，4,
故选出的4人中至少有3名男生的概率为
.
变式（1） 有10件产品，其中3件是次品，从中任取2件，若 表示取
得次品的件数，则 ____.
[解析] 由题意知，的可能取值为0，1，2， 服从超几何分布，
，， ，
故 .
（2）老师要从10篇课文中随机抽3篇让学生背诵,规定至少要背出其
中2篇才能及格.某同学只能背诵其中的6篇,求他能及格的概率.
解：设抽到他能背诵的课文的篇数为,则 的可能取值为0,1,2,3,且
,
故他能及格的概率为
.
探究点三 与超几何分布有关的分布列、期望问题
例3 某校五四青年艺术节要选拔主持人，现有来自高一年级的参赛
选手4名，其中男生2名；高二年级的参赛选手4名，其中男生3名.从
这8名参赛选手中随机选择4人组成搭档参赛.
（1）设事件 为“选出的4人中恰有2名男生，且这2名男生来自同一
个年级”，求事件 发生的概率；
解：由题知,所以事件发生的概率为 .
（2）设为选出的4人中的男生人数，求随机变量 的分布列和数学
期望.
解：随机变量 的所有可能取值为1，2，3，4，
，
所以随机变量 的分布列为
1 2 3 4
所以随机变量 的数学期望 .
变式 [2024·福州高二期中] 某摄影展向社会进行作品征集.某企业计
划从信息基础设施领域的 幅作品和文化领域的7幅作品中随机选取
若干幅作品参赛，若选取2幅作品，全是文化领域的概率为 .
（1）求 的值；
解：共有幅作品，从中随机选取2幅作品，有 种方法，
其中选取的2幅作品全是文化领域的有 种方法，
因此选取的2幅作品全是文化领域的概率为，可得 .
（2）若选取3幅作品，其中选取的文化领域的作品数为，求 的分
布列和数学期望.
所以随机变量 的分布列为
0 1 2 3
则的均值 .
解： 的可能取值为0,1,2,3，
则， ，
， ，
［素养小结］
解决超几何分布问题的三个关键点
（1）超几何分布是概率分布的一种形式，一定要注意公式中字母的范
围及其意义，解决问题时可以直接利用公式求解，但不能机械地记忆.
（2）超几何分布中，只要知道，，，就可以利用公式求出 取
不同值的概率，从而求出 的分布列.
（3）求与超几何分布有关的均值问题时，可利用均值公式，也可直
接利用 求解.
拓展 某路桥公司为了解春节期间车辆出行的高峰
情况，在某高速收费点发现大年初三上午
这一时间段内有600辆车通过，将
其通过该收费点的时刻绘成频率分布直方图，如
图．其中时间段记作， 记作
，记作， 记作
，例如： ，记作时刻64.
（1）估计这600辆车在 这一时间
段内通过该收费点的时刻的平均值（同一组中的
数据用该组区间的中点值代表）；
解：这600辆车在 这一时间段内通
过该收费点的时刻的平均值为
，
即10：04.
（2）为了对数据进行分析，现采用比例分配的分层随机抽样的方法
从这600辆车中抽取10辆，再从这10辆车中随机抽取4辆，记 为
之间通过的车辆数，求 的分布列与均值.
解：结合频率分布直方图和比例分配的分层随机抽样的方法可知，
抽取的10辆车中，在 之间通过的车辆数就是位于时间
分组中 这一区间内的车辆数，即
，
所以的可能取值为0，1，2，3，4，
所以 ,,
, ,,
0 1 2 3 4
所以 .
所以 的分布列为
探究点四 二项分布与超几何分布的区别与联系
例4 袋中有8个白球、2个黑球,从中随机地连续抽取3次,每次取1个球.
（1）若每次抽取后都放回,设取到黑球的个数为,求 的分布列;
解：若每次抽取后都放回,则每次抽到黑球的概率均为 ,而3次
取球可以看成3重伯努利试验,
因此,所以 ,
,
, .
因此 的分布列为
0 1 2 3
（2）若每次抽取后都不放回,设取到黑球的个数为,求 的分布列及
数学期望.
故,, ，
因此 的分布列为
0 1 2
.
解：若每次抽取后都不放回,则随机抽取3次，每次取1个球可看成随
机抽取1次,1次取3个球,因此服从超几何分布,且 ,
,1,2,
变式 某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况,对该流水
线上的产品进行简单随机抽样,获得的数据如表:
包装质量 （单位:克）
产品件数 3 4 7 5 1
已知包装质量在 内的产品为一等品,其余为二等品.
（1）从该流水线上的产品中任取1件产品，估计该产品为一等品的
概率;
解：样本中一共有 （件）产品,
包装质量在内的产品有 （件）,
所以估计该产品为一等品的概率 .
（2）从上述抽取的样本产品中任取2件,设 为其中一等品的产品数
量,求 的分布列;
解：依题意,的可能取值为0,1,2, ,
, ,
故 的分布列为
0 1 2
（3）从该流水线上的产品中任取2件产品,设 为其中一等品的产品
数量,求的分布列,试比较与 的大小.
解：由（2）可得 .
依题意得,的可能取值为0,1,2, ,
,,
故 的分布列为
0 1 2
所以,所以 .
［素养小结］
超几何分布描述的是不放回抽样问题，二项分布描述的是放回抽样
问题，求均值时可以代入公式直接计算.
1.超几何分布的理解
（1）超几何分布的模型是不放回抽样.
（2）超几何分布中的参数是，， .
（3）超几何分布可解决抽取的样本中，某种样品为 时的概率问题，
其总体往往由差异明显的两部分组成.
2.二项分布与超几何分布的关系
（1）联系:二项分布和超几何分布都可以描述随机抽取的 件产品中
次品数的分布规律.对于不放回抽样,当远远小于 时,每抽取一次后,
对 的影响很小,此时,超几何分布可以近似地看作二项分布.
（2）区别:①超几何分布描述的是不放回抽样问题,二项分布描述的
是放回抽样问题;
②超几何分布中的概率计算实质上是古典概型问题,二项分布中的概
率计算实质上是相互独立事件的概率问题.
3.超几何分布与二项分布之间的辨析
超几何分布与二项分布都是随机变量取非负整数值的离散分布,表面
上看,两种分布的概率求解有截然不同的表达式,但看它们的概率分布
表,会发现其相似点.教材中对超几何分布的模型建立是这样的:若有
件产品,其中件是次品,从件产品中无放回地任意抽取 件,则抽取
的件产品中次品数 是服从超几何分布的.而对二项分布则使用比较
容易理解的射击问题来理解.若将超几何分布的概率模型改成:若有
件产品,其中件是次品,从件产品中有放回地任意抽取 件,
则抽取的件产品中次品数 是服从二项分布的.在这里,两种分布的差
别就在于“有放回”与“无放回”的差别,只要将概率模型中的“无放回”改
为“有放回”,或将“有放回”改为“无放回”,就可以实现两种分布间的转化.
4.事实上,在足够多的产品中,任意抽取件（产品数远远大于 ,无放
回与有放回几乎无区别,故可看作 重伯努利试验）,其中含有次品的
件数服从二项分布.在这里,超几何分布转化为二项分布的条件是:
（1）产品数无限多,否则无放回地抽取件产品不能看作 重伯努利
试验;
（2）在产品数无限增加的过程中,次品数 应按相应的“比例”增加,
否则上述事实也是不成立的.
1.超几何分布的应用举例
例1 一袋中装有6个质地、大小完全相同的小球，分别标有数字1，2，
3，其中编号为3的小球有1个，已知从中一次性随机抽取2个小球，
至少抽到1个编号为1的小球的概率为 .
（1）求编号为1的小球个数；
解：设编号为1的小球个数为， ，
至少抽到1个编号为1的小球的概率为 ，
，解得或 （舍去），
编号为1的小球个数为3.
（2）若有放回地抽取3次，每次随机抽取3个小球，求恰有2次抽到
编号为3的小球的概率；
解：一次从袋中随机抽取3个小球，抽到编号为3的小球的概率为
， 有放回地抽取3次，每次随机抽取3个小球，恰有2次抽到
编号为3的小球的概率为 .
（3）从袋中随机抽取3个小球，记球的最大编号为，求随机变量
的分布列与数学期望.
解：随机变量 的所有可能取值为1，2，3，
，， ，
随机变量 的分布列为
1 2 3
.
2.超几何分布中的概率最值
例2 一个袋子中有 个红球和5个白球，每次从袋子中随机
摸出2个球.若“摸出的2个球颜色不相同”发生的概率记为 ，则
的最大值为__.
[解析] ，
因为对勾函数在上单调递减，在 上单调递增，
所以当或时，有最小值9，故 .
3.超几何分布与二项分布数字特征
例3 某公司举办公司员工联欢晩会，为活跃气氛，计划举行摸奖活
动，有两种方案：
方案一：不放回地从装有2个红球和4个白球的箱子中随机摸出3个球，
每摸出一个红球奖励100元；
方案二：有放回地从装有2个红球和4个白球的箱子中随机摸出3个球，
每摸出一个红球奖励100元.
分别用随机变量， 表示员工按方案一和方案二抽奖的获奖金额.
（1）求随机变量 的分布列和数学期望.
解：由题意可知， 的可能取值为0，100，200，
，， ，
所以 的分布列为
0 100 200
所以 .
（2）用统计知识分析，为使公司员工获奖金额相对均衡，应选择哪
种方案 请说明理由.
因为，所以 ，
.
由（1）知 ，
因为 ，所以按方案一员工抽奖的获奖金额相对均衡，应
选择方案一.
解：方法一：用随机变量 表示员工按方案二摸到的红球的个数，则
，
所以， .
方法二： 的可能取值为0，100，200，300，
， ，
， ，
则 ，
.
由（1）知 ，
因为 ，所以按方案一员工抽奖的获奖金额相对均衡，应
选择方案一.
练习册
一、选择题
1.下列随机事件中的随机变量 服从超几何分布的是( )
A.将一枚质地均匀的硬币连抛3次，记正面向上的次数为
B.某射手的射击命中率为，现对目标射击1次，记命中的次数为
C.从7男3女共10名学生干部中选出5名学生干部，记选出女生的人数
为
D.盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1个球且不放回，记第一
次摸出黑球时摸取的次数为
√
[解析] 对于A选项，将一枚质地均匀的硬币连抛3次，记正面向上的次数
为，则 服从二项分布，A不符合题意；
对于B选项，某射手的射击命中率为，现对目标射击1次，记命中的次数
为，则 服从两点分布，B不符合题意；
对于C选项，从7男3女共10名学生干部中选出5名学生干部，记选出女生的
人数为 ，由超几何分布的定义可知 服从超几何分布，C符合题意；
对于D选项，盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1个球且不放回，
记第一次摸出黑球时摸取的次数为，由超几何分布的定义可知 不服从
超几何分布，D不符合题意.故选C.
2.一个袋子中装有大小相同的3个白球，2个红球，现从中同时任取2
个，则取出的2个球中至多有一个白球的概率为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 设取出的2个球中白球的个数为，则服从超几何分布， 可
能的取值为0，1，2，且，，， 的分布列为
， ，1，2.
由分布列可知，取出的2个球中至多有一个白球的概率是
.
3.有件产品，其中有件次品，从中不放回地抽 件产品，抽到的
次品件数的数学期望是( )
A. B. C. D.
[解析] 设抽到的次品件数为随机变量，则 服从超几何分布，所以
.
√
4.现有语文、数学课本共7本（其中语文课本不少于2本），从中任取
2本，至多有1本语文课本的概率是 ，则语文课本共有( )
A.2本 B.3本 C.4本 D.5本
[解析] 设语文课本共有本，则数学课本共有 本，
则2本都是语文课本的概率为 ，
由组合数公式得，可得 .
√
5.某竞赛小组共有13人，其中有6名女生，现从该竞赛小组中任选5人
参加一项活动，用 表示这5人中女生的人数，则下列概率中等于
的是( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 的可能取值是0,1,2,3,4,5，则 ,
,，,
,，
所以 .故选D.
6.某地7个村中有3个村是旅游示范村，现从中任意选3个村，下列事
件中概率等于 的是( )
A.至少有1个旅游示范村 B.有1个或2个旅游示范村
C.有2个或3个旅游示范村 D.恰有2个旅游示范村
√
[解析] 用表示选出的3个村中旅游示范村的个数，则 服从超几何
分布，且,,1,2,3,
故 ,,
, ,
所以，即有1个或2个旅游示范村的概率为 .
故选B.
7.[2024·安徽合肥高二期末]现有10名学生参加某项测试，有学生不
合格，从中随机抽取3名学生，记这3名学生中不合格的人数为 ，已
知 ，则本次测试的不合格率为( )
A. B. C. D.
[解析] 设10名学生中有 名不合格，从中随机抽取3名学生，其中不
合格的人数为，
由，得 ，化简得
，可得 ，故本次测试的不合格率为 .故选C.
√
8.（多选题）在一个袋中装有质地、大小均一样的6个黑球，4个白球，
现从中任取4个小球，设取出的4个小球中白球的个数为 ，则下列结
论正确的是( )
A. B.随机变量 服从二项分布
C.随机变量服从超几何分布 D.
√
√
√
[解析] 随机变量 的所有可能取值为0，1，2，3，4，
,,，因此随机变量 服从超几何分布，
故B错误，C正确；
因为 ，，
，， ，
所以 ，故A正确，D正确.
故选 .
9.（多选题）某人参加一次测试，在备选的10道题中，他能答对其中
的5道．现从备选的10道题中随机抽出3道题进行测试，规定至少答
对2道题才算合格，则下列说法正确的是( )
A.答对0道题和答对3道题的概率相同，都为
B.答对1道题的概率为
C.答对2道题的概率为
D.合格的概率为
√
√
[解析] 设此人答对题目的道数为，则 的可能取值为0,1,2,
， ，
， ，
所以答对0道题和答对3道题的概率相同，都为，故A错误；
答对1道题的概率为 ，故B错误；
答对2道题的概率为 ，故C正确；
合格的概率，故D正确．故选 .
二、填空题
10.某10人组成兴趣小组,其中有5名团员,从这10人中任选4人参加某种
活动,用表示这4人中的团员人数,则 ___. （结果用分数
表示出来）
[解析] .
11.袋中装有5个红球和4个黑球，从袋中任取4个球，取到1个红球得3
分，取到1个黑球得1分，设得分为随机变量，则 __.
[解析] 由题意知
.
12.某商场举行抽奖活动，只要顾客一次性购物满180元就有一次抽奖
机会.抽奖方法如下：一个抽奖箱中装有6个质地、大小完全相同的小
球（4个红球和2个黄球），顾客从中随机抽取2个，若2个都是黄球，
则奖励10元，若只有1个黄球，则奖励3元，其余情况没有奖励.设每
次抽奖所得奖励为元，则 的均值是___.
[解析] 随机变量的所有可能取值为0,3,10， ，
， ，则
.
三、解答题
13.甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，
甲能答对其中的6道试题，乙能答对其中的8道试题.规定每次考试甲、
乙都从备选题中各随机抽出3题进行测试，答对一题得5分，答错一
题得0分.求：
（1）甲答对试题数 的分布列；
解：由题意，甲能答对10道试题中的6题，且 为甲答对随机抽出的3
题中的试题数，
则随机变量 的可能取值为0，1，2，3，
， ，
， ，
所以 的分布列为
0 1 2 3
（2）乙所得分数 的分布列.
解：由题意，随机变量 的可能取值为5，10，15，
， ，
，
所以 的分布列为
5 10 15
14.[2024·安徽亳州高二期中] 某公司为监督检查下属的甲、乙两条
生产线所生产产品的质量，分别从甲、乙两条生产线出库的产品中
各随机抽取了100件产品，并对所抽取产品进行检验，检验后发现，
甲生产线的合格品占八成、优等品占两成，乙生产线的合格品占九
成、优等品占一成（合格品与优等品间无包含关系）.
（1）用比例分配的分层随机抽样的方法从样本的优等品中抽取6件
产品，在这6件产品中随机抽取2件，记这2件产品中来自甲生产线的
产品个数为，求 的分布列与数学期望；
解：样本中甲生产线的优等品有 （件），
乙生产线的优等品有 （件），
所以用比例分配的分层随机抽样的方法分别抽取
（件）， （件），
故所抽取的6件产品中有4件产品来自甲生产线，有2件产品来自乙生
产线，所以 的所有可能取值为0，1，2，
， ，，
则 的分布列为
0 1 2
故 .
（2）消费者对该公司产品的满意率为 ，随机调研5位购买过该产品
的消费者，记对该公司产品满意的人数为 ，求至少有3人满意的概
率及 的数学期望与方差.
解：由题意可得 ，所以
，
， .
15.口袋中有大小、质地相同的黑色小球 个，红色、白色、蓝色的
小球各1个，从中任取4个小球.表示当时取出黑球的个数，
表示当 时取出黑球的个数.下列结论正确的是( )
A.，
B.，
C.，
D.，
√
[解析] 当时，的可能取值为1，2，3， ，
， ，
，
.
当时， 的可能取值为1，2，3，4， ，
， ， ，
， .
， .故选A.
16.2024年端午期间，某百货公司举办了一次有奖促销活动，顾客消
费满600元（含600元）可抽奖一次，抽奖方案有两种（只能选择其
中的一种）.
方案一：从装有10个质地、大小完全相同的小球（其中红球2个，黑
球8个）的抽奖盒中，有放回地随机摸出3个球，每摸到1个红球，立
减200元.
方案二：从装有10个质地、大小完全相同的小球（其中红球2个，白
球1个，黑球7个）的抽奖盒中，不放回地随机摸出3个球，若摸到2
个红球，1个白球，则享受免单优惠；若摸出2个红球，1个黑球，则
打5折；若摸出1个红球，1个白球和1个黑球，则打7.5折；其余情况
不打折.
（1）某顾客恰好消费600元，若选择抽奖方案一，求他实付金额的
分布列和数学期望；
0 200 400 600
故 .
解：设实付金额为元，则 的可能取值为0，200，400，600，
， ，
，，
故 的分布列为
（2）若顾客消费1000元，试从实付金额的期望分析顾客选择哪种抽
奖方案更合理？
解：若选择方案一，设摸到红球的个数为，实付金额为 元，则
，
由已知可得，故 ，
所以
.
若选择方案二，设实付金额为元，则 的可能取值为0，500，750，1000，
， ，
， ,
故 的分布列为
0 500 750 1000
所以 .
因为 ，所以从实付金额的期望分析顾客选择方案一更合理.7.4.2 超几何分布
【课前预习】
知识点
1.n件产品中 ≤ ≤ 2.
诊断分析
(1)√ (2)√ (3)√
【课中探究】
例1 B [解析] ①②中的变量不符合超几何分布的定义,无法用超几何分布的数学模型计算概率,故①②错误;③中的变量符合超几何分布的定义,将白球视作甲类物品,黑球视作乙类物品,则可以用超几何分布的数学模型计算概率,故③正确;④中的变量可以对应取出的黑球个数,符合超几何分布的定义,可以用超几何分布的数学模型计算概率,故④正确.故选B.
变式 解:①②中样本没有分类,易知X均服从二项分布,均不服从超几何分布.
③④均符合超几何分布的特征,样本都分为两类.随机变量X表示抽取的n个样本中某类样本被抽取的个数,故③④中X均服从超几何分布.
⑤中没有给出不合格的播放器的数量,无法求X的分布列,所以X不服从超几何分布.
例2 (1)D [解析] 从袋中任取10个球,其中红球的个数X服从超几何分布,其中N=100,M=80,n=10,故恰有6个红球的概率为.
(2)解:依题意得,随机变量X服从超几何分布,随机变量X表示其中男生的人数,X的可能取值为0,1,2,3,4,
P(X=k)=,k=0,1,2,3,4,
故选出的4人中至少有3名男生的概率为P(X≥3)=P(X=3)+P(X=4)=+=.
变式 (1) [解析] 由题意知,X的可能取值为0,1,2,X服从超几何分布,P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==,故P(X<2)=P(X=0)+P(X=1)=+=.
(2)解:设抽到他能背诵的课文的篇数为X,则X的可能取值为0,1,2,3,且P(X=r)=(r=0,1,2,3),故他能及格的概率为P(X≥2)=P(X=2)+P(X=3)=+=+=.
例3 解:(1)由题知P(A)==,所以事件A发生的概率为.
(2)随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4,P(X=k)=(k=1,2,3,4),所以随机变量X的分布列为
X 1 2 3 4
P
所以随机变量X的数学期望E(X)=1×+2×+3×+4×=.
变式 解:(1)共有n+7幅作品,从中随机选取2幅作品,有种方法,其中选取的2幅作品全是文化领域的有种方法,因此选取的2幅作品全是文化领域的概率为=,可得n=3.
(2)X的可能取值为0,1,2,3,
则P(X=0)==,P(X=1)===,
P(X=2)===,P(X=3)===,
所以随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3
P
则X的均值E(X)=0×+1×+2×+3×=.
拓展 解:(1)这600辆车在9:20~10:40这一时间段内通过该收费点的时刻的平均值为(30×0.005+50×0.015+70×0.020+90×0.010)×20=64,即10:04.
(2)结合频率分布直方图和比例分配的分层随机抽样的方法可知,抽取的10辆车中,在9:20~10:00之间通过的车辆数就是位于时间分组中[20,60)这一区间内的车辆数,即(0.005+0.015)×20×10=4,
所以X的可能取值为0,1,2,3,4,所以P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==,P(X=3)==,P(X=4)==,所以X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P
所以E(X)=0×+1×+2×+3×+4×=.
例4 解:(1)若每次抽取后都放回,则每次抽到黑球的概率均为=,而3次取球可以看成3重伯努利试验,
因此X~B,所以P(X=0)=××=,P(X=1)=××=,
P(X=2)=××=,P(X=3)=××=.
因此X的分布列为
X 0 1 2 3
P
(2)若每次抽取后都不放回,则随机抽取3次,每次取1个球可看成随机抽取1次,1次取3个球,因此Y服从超几何分布,且P(Y=k)=,k=0,1,2,
故P(Y=0)==,P(Y=1)==,P(Y=2)==,因此Y的分布列为
Y 0 1 2
P
E(Y)=0×+1×+2×=.
变式 解:(1)样本中一共有3+4+7+5+1=20(件)产品,
包装质量在[495,510)内的产品有4+7+5=16(件),
所以估计该产品为一等品的概率P==.
(2)依题意,X的可能取值为0,1,2,P(X=2)==,P(X=1)==,P(X=0)==,
故X的分布列为
X 0 1 2
P
(3)由(2)可得E(X)=2×+1×+0×=.
依题意得Y~B,Y的可能取值为0,1,2,P(Y=2)==,P(Y=1)=××=,P(Y=0)==,故Y的分布列为
Y 0 1 2
P
所以E(Y)=2×=,所以E(X)=E(Y).7.4.2 超几何分布
1.C [解析] 对于A选项,将一枚质地均匀的硬币连抛3次,记正面向上的次数为X,则X服从二项分布,A不符合题意;对于B选项,某射手的射击命中率为0.8,现对目标射击1次,记命中的次数为X,则X服从两点分布,B不符合题意;对于C选项,从7男3女共10名学生干部中选出5名学生干部,记选出女生的人数为X,由超几何分布的定义可知X服从超几何分布,C符合题意;对于D选项,盒中有4个白球和3个黑球,每次从中摸出1个球且不放回,记第一次摸出黑球时摸取的次数为X,由超几何分布的定义可知X不服从超几何分布,D不符合题意.故选C.
2.C [解析] 设取出的2个球中白球的个数为X,则X服从超几何分布,X可能的取值为0,1,2,且N=5,M=3,n=2,X的分布列为P(X=k)=,k=0,1,2.由分布列可知,取出的2个球中至多有一个白球的概率是P(X≤1)=P(X=0)+P(X=1)=+=+=.
3.C [解析] 设抽到的次品件数为随机变量X,则X服从超几何分布,所以E(X)=.
4.C [解析] 设语文课本共有n(2≤n<7)本,则数学课本共有(7-n)本,则2本都是语文课本的概率为=1-=,由组合数公式得n2-n-12=0,可得n=4.
5.D [解析] X的可能取值是0,1,2,3,4,5,则P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=,P(X=4)=,P(X=5)=,所以P(X≤2)=.故选D.
6.B [解析] 用X表示选出的3个村中旅游示范村的个数,则X服从超几何分布,且P(X=k)=,k=0,1,2,3,故P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==,P(X=3)==,所以P(X=1)+P(X=2)=,即有1个或2个旅游示范村的概率为.故选B.
7.C [解析] 设10名学生中有n名不合格,从中随机抽取3名学生,其中不合格的人数为X,由P(X=1)=,得=,化简得n(10-n)(9-n)=6×3×7,可得n=3,故本次测试的不合格率为×100%=30%.故选C.
8.ACD [解析] 随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3,4,P(X=k)=,k∈N,k≤4,因此随机变量X服从超几何分布,故B错误,C正确;因为P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==,P(X=3)==,P(X=4)==,所以E(X)=1×+2×+3×+4×=,故A正确,D正确.故选ACD.
9.CD [解析] 设此人答对题目的道数为X,则X的可能取值为0,1,2,3.P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==,P(X=3)==,所以答对0道题和答对3道题的概率相同,都为,故A错误;答对1道题的概率为,故B错误;答对2道题的概率为,故C正确;合格的概率P=P(X=2)+P(X=3)=+=,故D正确.故选CD.
10. [解析] P(X=3)==.
11. [解析] 由题意知P(X≥8)=1-P(X=6)-P(X=4)=1--=.
12. [解析] 随机变量X的所有可能取值为0,3,10,P(X=10)==,P(X=3)==,P(X=0)==,则E(X)=0×+3×+10×=.
13.解:(1)由题意,甲能答对10道试题中的6题,且X为甲答对随机抽出的3题中的试题数,
则随机变量X的可能取值为0,1,2,3,
P(X=0)==,P(X=1)==,
P(X=2)==,P(X=3)==,
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
(2)由题意,随机变量Y的可能取值为5,10,15,
P(Y=5)==,P(Y=10)==,P(Y=15)==,所以Y的分布列为
Y 5 10 15
P
14.解:(1)样本中甲生产线的优等品有100×0.2=20(件),
乙生产线的优等品有100×0.1=10(件),
所以用比例分配的分层随机抽样的方法分别抽取×6=4(件),×6=2(件),
故所抽取的6件产品中有4件产品来自甲生产线,有2件产品来自乙生产线,所以X的所有可能取值为0,1,2,
P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)===,则X的分布列为
X 0 1 2
P
故E(X)=0×+1×+2×=.
(2)由题意可得Y~B,所以P(Y≥3)
=××+××+××=++==,
E(Y)=5×=,D(Y)=5××=.
15.A [解析] 当n=3时,X的可能取值为1,2,3,P(X=1)==,P(X=2)==,P(X=3)==,∴E(X)=1×+2×+3×=2,D(X)=(1-2)2×+(2-2)2×+(3-2)2×=.当n=4时,Y的可能取值为1,2,3,4,P(Y=1)==,P(Y=2)==,P(Y=3)==,P(Y=4)==,∴E(Y)=1×+2×+3×+4×=,D(Y)=×+×+×+×=.∴E(X)16.解:(1)设实付金额为X元,则X的可能取值为0,200,400,600,P(X=0)==,P(X=200)=××=,P(X=400)=××=,P(X=600)==,故X的分布列为
X 0 200 400 600
P
故E(X)=0×+200×+400×+600×=480.
(2)若选择方案一,设摸到红球的个数为Y0,实付金额为Y元,则Y=1000-200Y0,由已知可得Y0~B,故E(Y0)=3×=,所以E(Y)=E(1000-200Y0)=1000-200E(Y0)=1000-120=880.
若选择方案二,设实付金额为Z元,则Z的可能取值为0,500,750,1000,
P(Z=0)==,P(Z=500)==,P(Z=750)==,P(Z=1000)=1---=,故Z的分布列为
Z 0 500 750 1000
P
所以E(Z)=0×+500×+750×+1000×=≈933.33.
因为E(Y)【学习目标】
理解超几何分布及其推导过程,并能简单地运用(重点).
◆ 知识点 超几何分布
1.概念
一般地,假设一批产品共有N件,其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件(不放回),用X表示抽取的 的次品数,则X的分布列为P(X=k)= ,k=m,m+1,m+2,…,r.
其中n,N,M∈N*,M N,n N,m=max{0,n-N+M},r=min{n,M}.如果随机变量X的分布列具有上式的形式,那么称随机变量X服从超几何分布.
2.服从超几何分布的随机变量的均值
设随机变量X服从超几何分布,则X可以解释为从包含M件次品的N件产品中,不放回地随机抽取n件产品中的次品数.如果离散型随机变量X服从参数为n,N,M的超几何分布,即X~h(n,N,M),那么E(X)= .
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)超几何分布就是一种概率分布模型. ( )
(2)超几何分布的总体里只有两类物品. ( )
(3)一个袋子里装有4个白球,5个黑球和6个黄球,从中任取4个球,则取出的黑球个数X服从超几何分布. ( )
◆ 探究点一 超几何分布
例1 一个袋中有6个同样大小的黑球,编号为1,2,3,4,5,6,还有4个同样大小的白球,编号为7,8,9,10.现从中任取4个球,有如下几种变量:
①X表示取出的最大号码;
②X表示取出的最小号码;
③X表示取出的白球个数;
④取出一个黑球记2分,取出一个白球记1分,X表示取出的4个球的总得分减去4的差.
这四种变量中服从超几何分布的是 ( )
A.①② B.③④
C.①②④ D.①②③④
变式 判断下列随机变量X是否服从超几何分布 说明理由.
①抛掷三枚质地均匀的骰子,所得向上的数是6的骰子的个数记为X;
②有一批种子的发芽率为70%,任取10颗种子做发芽试验,把试验中发芽的种子的颗数记为X;
③盒子中有3个红球,4个黄球,5个蓝球,从中任取3个球,把不是红球的个数记为X;
④某班级有男生25人,女生20人,随机选派4名学生参加学校组织的活动,其中女生的人数记为X;
⑤现有100台播放器未经检测,随机抽取10台送检,把检测结果为不合格的播放器的个数记为X.
◆ 探究点二 超几何分布的概率
例2 (1)设袋中有80个红球,20个白球,若从袋中任取10个球,则其中恰有6个红球的概率为( )
A. B.
C. D.
(2)某校高二年级某班的数学课外活动小组有6名男生,4名女生,从中随机选出4人参加数学竞赛考试,用X表示其中男生的人数,求选出的4人中至少有3名男生的概率.
变式 (1)有10件产品,其中3件是次品,从中任取2件,若X表示取得次品的件数,则P(X<2)= .
(2)老师要从10篇课文中随机抽3篇让学生背诵,规定至少要背出其中2篇才能及格.某同学只能背诵其中的6篇,求他能及格的概率.
◆ 探究点三 与超几何分布有关的分布列、期望问题
例3 某校五四青年艺术节要选拔主持人,现有来自高一年级的参赛选手4名,其中男生2名;高二年级的参赛选手4名,其中男生3名.从这8名参赛选手中随机选择4人组成搭档参赛.
(1)设事件A为“选出的4人中恰有2名男生,且这2名男生来自同一个年级”,求事件A发生的概率;
(2)设X为选出的4人中的男生人数,求随机变量X的分布列和数学期望.
变式 [2024·福州高二期中] 某摄影展向社会进行作品征集.某企业计划从信息基础设施领域的n幅作品和文化领域的7幅作品中随机选取若干幅作品参赛,若选取2幅作品,全是文化领域的概率为.
(1)求n的值;
(2)若选取3幅作品,其中选取的文化领域的作品数为X,求X的分布列和数学期望.
[素养小结]
解决超几何分布问题的三个关键点
(1)超几何分布是概率分布的一种形式,一定要注意公式中字母的范围及其意义,解决问题时可以直接利用公式求解,但不能机械地记忆.
(2)超几何分布中,只要知道M,N,n,就可以利用公式求出X取不同k值的概率P(X=k),从而求出X的分布列.
(3)求与超几何分布有关的均值问题时,可利用均值公式,也可直接利用E(X)=求解.
拓展 某路桥公司为了解春节期间车辆出行的高峰情况,在某高速收费点发现大年初三上午9:20~10:40这一时间段内有600辆车通过,将其通过该收费点的时刻绘成频率分布直方图,如图.其中时间段9:20~9:40记作[20,40),9:40~10:00记作[40,60),10:00~10:20记作[60,80),10:20~10:40记作[80,100],例如:10:04,记作时刻64.
(1)估计这600辆车在9:20~10:40这一时间段内通过该收费点的时刻的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值代表);
(2)为了对数据进行分析,现采用比例分配的分层随机抽样的方法从这600辆车中抽取10辆,再从这10辆车中随机抽取4辆,记X为9:20~10:00之间通过的车辆数,求X的分布列与均值.
◆ 探究点四 二项分布与超几何分布的区别与联系
例4 袋中有8个白球、2个黑球,从中随机地连续抽取3次,每次取1个球.
(1)若每次抽取后都放回,设取到黑球的个数为X,求X的分布列;
(2)若每次抽取后都不放回,设取到黑球的个数为Y,求Y的分布列及数学期望.
变式 某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况,对该流水线上的产品进行简单随机抽样,获得的数据如表:
包装质量(单位:克) [490,495) [495,500) [500,505) [505,510) [510,515]
产品件数 3 4 7 5 1
已知包装质量在[495,510)内的产品为一等品,其余为二等品.
(1)从该流水线上的产品中任取1件产品,估计该产品为一等品的概率;
(2)从上述抽取的样本产品中任取2件,设X为其中一等品的产品数量,求X的分布列;
(3)从该流水线上的产品中任取2件产品,设Y为其中一等品的产品数量,求Y的分布列,试比较E(X)与E(Y)的大小.
[素养小结]
超几何分布描述的是不放回抽样问题,二项分布描述的是放回抽样问题,求均值时可以代入公式直接计算.7.4.2 超几何分布
一、选择题
1.下列随机事件中的随机变量X服从超几何分布的是 ( )
A.将一枚质地均匀的硬币连抛3次,记正面向上的次数为X
B.某射手的射击命中率为0.8,现对目标射击1次,记命中的次数为X
C.从7男3女共10名学生干部中选出5名学生干部,记选出女生的人数为X
D.盒中有4个白球和3个黑球,每次从中摸出1个球且不放回,记第一次摸出黑球时摸取的次数为X
2.一个袋子中装有大小相同的3个白球,2个红球,现从中同时任取2个,则取出的2个球中至多有一个白球的概率为 ( )
A. B. C. D.
3.有N件产品,其中有M件次品,从中不放回地抽n件产品,抽到的次品件数的数学期望是 ( )
A.n B.
C. D.
4.现有语文、数学课本共7本(其中语文课本不少于2本),从中任取2本,至多有1本语文课本的概率是,则语文课本共有 ( )
A.2本 B.3本
C.4本 D.5本
5.某竞赛小组共有13人,其中有6名女生,现从该竞赛小组中任选5人参加一项活动,用X表示这5人中女生的人数,则下列概率中等于的是 ( )
A.P(X=1) B.P(X≤1)
C.P(1≤X≤3) D.P(X≤2)
6.某地7个村中有3个村是旅游示范村,现从中任意选3个村,下列事件中概率等于的是 ( )
A.至少有1个旅游示范村
B.有1个或2个旅游示范村
C.有2个或3个旅游示范村
D.恰有2个旅游示范村
7.[2024·安徽合肥高二期末] 现有10名学生参加某项测试,有学生不合格,从中随机抽取3名学生,记这3名学生中不合格的人数为X,已知P(X=1)=,则本次测试的不合格率为 ( )
A.10% B.20%
C.30% D.40%
8.(多选题)在一个袋中装有质地、大小均一样的6个黑球,4个白球,现从中任取4个小球,设取出的4个小球中白球的个数为X,则下列结论正确的是 ( )
A.P(X=2)=
B.随机变量X服从二项分布
C.随机变量X服从超几何分布
D.E(X)=
9.(多选题)某人参加一次测试,在备选的10道题中,他能答对其中的5道.现从备选的10道题中随机抽出3道题进行测试,规定至少答对2道题才算合格,则下列说法正确的是 ( )
A.答对0道题和答对3道题的概率相同,都为
B.答对1道题的概率为
C.答对2道题的概率为
D.合格的概率为
二、填空题
10.某10人组成兴趣小组,其中有5名团员,从这10人中任选4人参加某种活动,用X表示这4人中的团员人数,则P(X=3)= . (结果用分数表示出来)
11.袋中装有5个红球和4个黑球,从袋中任取4个球,取到1个红球得3分,取到1个黑球得1分,设得分为随机变量X,则P(X≥8)= .
12.某商场举行抽奖活动,只要顾客一次性购物满180元就有一次抽奖机会.抽奖方法如下:一个抽奖箱中装有6个质地、大小完全相同的小球(4个红球和2个黄球),顾客从中随机抽取2个,若2个都是黄球,则奖励10元,若只有1个黄球,则奖励3元,其余情况没有奖励.设每次抽奖所得奖励为X元,则X的均值是 .
三、解答题
13.甲、乙两人参加一次英语口语考试,已知在备选的10道试题中,甲能答对其中的6道试题,乙能答对其中的8道试题.规定每次考试甲、乙都从备选题中各随机抽出3题进行测试,答对一题得5分,答错一题得0分.求:
(1)甲答对试题数X的分布列;
(2)乙所得分数Y的分布列.
14.[2024·安徽亳州高二期中] 某公司为监督检查下属的甲、乙两条生产线所生产产品的质量,分别从甲、乙两条生产线出库的产品中各随机抽取了100件产品,并对所抽取产品进行检验,检验后发现,甲生产线的合格品占八成、优等品占两成,乙生产线的合格品占九成、优等品占一成(合格品与优等品间无包含关系).
(1)用比例分配的分层随机抽样的方法从样本的优等品中抽取6件产品,在这6件产品中随机抽取2件,记这2件产品中来自甲生产线的产品个数为X,求X的分布列与数学期望;
(2)消费者对该公司产品的满意率为,随机调研5位购买过该产品的消费者,记对该公司产品满意的人数为Y,求至少有3人满意的概率及Y的数学期望与方差.
15.口袋中有大小、质地相同的黑色小球n个,红色、白色、蓝色的小球各1个,从中任取4个小球.X表示当n=3时取出黑球的个数,Y表示当n=4时取出黑球的个数.下列结论正确的是 ( )
A.E(X)B.E(X)>E(Y),D(X)C.E(Y)D(Y)
D.E(Y)>E(Y),D(X)>D(Y)
16.2024年端午期间,某百货公司举办了一次有奖促销活动,顾客消费满600元(含600元)可抽奖一次,抽奖方案有两种(只能选择其中的一种).
方案一:从装有10个质地、大小完全相同的小球(其中红球2个,黑球8个)的抽奖盒中,有放回地随机摸出3个球,每摸到1个红球,立减200元.
方案二:从装有10个质地、大小完全相同的小球(其中红球2个,白球1个,黑球7个)的抽奖盒中,不放回地随机摸出3个球,若摸到2个红球,1个白球,则享受免单优惠;若摸出2个红球,1个黑球,则打5折;若摸出1个红球,1个白球和1个黑球,则打7.5折;其余情况不打折.
(1)某顾客恰好消费600元,若选择抽奖方案一,求他实付金额的分布列和数学期望;
(2)若顾客消费1000元,试从实付金额的期望分析顾客选择哪种抽奖方案更合理
