单元素养测评卷(一)
1.C [解析] 由=,可得n=3+4=7,则=7×6=42.故选C.
2.D [解析] 第一步:选外观颜色,有9种选法;第二步:选内搭颜色,有4种选法.所以不同的选法共有9×4=36(种).故选D.
3.C [解析] 3男3女站成一排拍照,左、右两端恰好是一男一女,先排左、右两端,有=18(种)排法,再排中间4个位置,有=24(种)排法,所以不同的排法种数为18×24=432.故选C.
4.A [解析] 二项式的展开式的通项为Tr+1=(2x2)7-r,当r=4时,T5=(2x2)3=35×8x6·x-4=280x2,所以二项式的展开式中第5项的系数是280.故选A.
5.D [解析] 人物传记有5种放法,这样五本书产生了6个空,将两本不同的长篇小说插入其中两个空,故共有5=150(种)不同的放法,故选D.
6.B [解析] 设4名大人按身高由小到大依次为a1,a2,a3,a4,可知前排大人不能为a4.若前排大人为a1,则后排任意排列均可,则不同的排法有=36(种);若前排大人为a2,则a2身后不能为a1,则不同的排法有=24(种);若前排大人为a3,则a3身后只能为a4,则不同的排法有=12(种).综上所述,不同的排法共有36+24+12=72(种).故选B.
7.A [解析] 若检测2次可测出2件次品,则不同的测试方法有种;若检测3次可测出2件次品,则不同的测试方法有种;若检测4次可测出2件次品,则不同的测试方法有种;若检测4次可测出4件正品,则不同的测试方法有种.由分类加法计数原理得,满足条件的不同的测试方法共有+++=114(种).故选A.
8.D [解析] 依题意,a∈R,(x2-x+a)5=a0+a1x+a2x2+…+a9x9+a10x10,令x=0,得a5=a0,令x=1,得a5=a0+a1+…+a10,所以a1+a2+…+a10=0,又a10==1,所以a1+a2+…+a9=-1,又a9=·(-1)=-5,所以a1+a2+…+a8=4,所以三个代数式①ai,②ai,③ai的值都与a无关.故选D.
9.BD [解析] 对于A,=,故A错误;对于B,=n·(n-1)·(n-2)·…·(n-m+1),=(n-1)·(n-2)·…·(n-m+1),所以=n(m,n为正整数且n>m>1),故B正确;对于C,+=+=10+20=30,==35,所以+≠,故C错误;对于D,因为=,所以x2-x=5x-5或x2-x+5x-5=16,解得x=1或x=5或x=3或x=-7,经检验x=1或3符合题意,故满足方程=的x值可能为1或3,故D正确.故选BD.
10.ACD [解析] 若A与B相邻,则有=48(种)不同的站法,A正确;若C与D不相邻,则有=72(种)不同的站法,B错误;若B在E的左边(可以不相邻),则有=60(种)不同的站法,C正确;若A不在最左边,D不在最中间,则当A在最中间时,满足条件的站法有=24(种),当A不在最中间时,满足条件的站法有=54(种),故共有24+54=78(种)不同的站法,D正确.故选ACD.
11.BD [解析] 由题意知2n=++…+=512,故n=9,所以(2x-3)9=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+…+a9(x-1)9.对于A,取x=1,得-1=a0,取x=2,得1=a0+a1+a2+…+a9,所以a1+a2+…+a9=1-(-1)=2,A错误;对于B,对(2x-3)9=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+…+a9(x-1)9的左、右两边求导,得18(2x-3)8=a1+2a2(x-1)+3a3(x-1)2+…+9a9(x-1)8,取x=2,得18=a1+2a2+3a3+…+9a9,B正确;对于C,在(2x-3)9=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+…+a9(x-1)9中用x+1替换x,得(2x-1)9=a0+a1x+a2x2+…+a9x9,所以ak=·2k·(-1)9-k(k=0,1,…,9),当k=2时,a2=×22×(-1)9-2=-144,C错误;对于D,由ak=·2k·(-1)9-k(k=0,1,…,9),得|a0|+|a1|+…+|a9|=-a0+a1-a2+…+a9,在(2x-3)9=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+…+a9(x-1)9中,取x=0,得-39=a0-a1+a2-…-a9,所以|a0|+|a1|+…+|a9|=-a0+a1-a2+…+a9=-(-39)=39,D正确.故选BD.
12.72 [解析] C区域有4种选择,D区域有3种选择,A区域有3种选择,B区域有2种选择,由分步乘法计数原理可知,不同的种植方法共有4×3×3×2=72(种).
13.56 [解析] 设a1,a2,a3,a4分别对应个位、十位、百位、千位上的数字,则a4∈N*,ai∈N(i=1,2,3),且a1+a2+a3+a4=6,相当于将6个相同的球装入a1,a2,a3,a4四个盒子中,a4不空,每个球表示1,则先拿一个球装入a4,转化为5个相同的球装入4个盒子中,每个盒子可空,等价于9个相同的球用3个隔板分成4组(各组不可为空),故共有=56(种),即满足题意的四位数有56个.
14. [解析] 因为(1+x)n(x+1)n=(+x+x2+…+xn)(xn+xn-1+xn-2+…+),所以()2+()2+()2+…+()2+()2是(1+x)n(x+1)n的展开式中xn的系数,又(1+x)n(x+1)n=(1+x)2n,(1+x)2n的展开式中xn的系数为,所以()2+()2+()2+…+()2+()2=.
15.解:(1)在6人中任选4人,安排其参加4个比赛项目,故共有=360(种)报名方法.
(2)根据题意,分两步进行分析:①将6人分成4组,若分为3,1,1,1的四组,则有=20(种)分组方法;若分为2,2,1,1的四组,则有=45(种)分组方法.故共有20+45=65(种)分组方法.
②将分好的四组安排参加4项比赛,有=24(种)情况.
所以共有65×24=1560(种)报名方法.
16.解:(1)因为(2x+m+1)·(3x+1)9=a0+a1x+a2x2+…+a10x10,所以令x=0,可得a0=m+1,令x=1,可得a0+a1+a2+a3+…+a10=(m+3)·49,则a1+a2+a3+…+a10=(m+3)·49-(m+1)=410-2,解得m=1.
(2)由(1)可知(2x+2)·(3x+1)9=a0+a1x+a2x2+…+a10x10,且a0=2.令x=-,可得a0-+-…+(-1)k·+…+=0,则-+-…+(-1)k·+…+=0-2=-2,所以-+…+(-1)k+1·+…-=-=2.
17.解:(1)先排首位,有=5(种)排法,再排其他位,有=120(种)排法,
根据分步乘法计数原理得,可以组成5×120=600(个)六位数.
(2)能被5整除的六位数的个位数是0或5,若个位数是0,则有个满足题意的六位数;若个位数是5,则先排首位,0不作为首位,则首位有种排法,其余位置有种排法,此时有个满足题意的六位数.故共有=216(个)满足题意的六位数.
(3)首位数字不能为0,首位数字为1的六位数有=120(个),首位数字为2的六位数有=120(个),首位数字为3,万位数字为0的六位数有=24(个),此时共有120+120+24=264(个)六位数,故第265个数是310 245.
18.解:(1)二项式(n∈N*)的展开式的通项为Tr+1=xn-r=(0≤r≤n,r∈N),由题知n-×6=0,解得n=9.
(2)由(1)知n=9,所以展开式中二项式系数最大的项为第5项或第6项.
又二项式的展开式的通项为Tr+1=(0≤r≤9,r∈N),
所以展开式中二项式系数最大的项为T5=x3=126x3或T6==126.
(3)由(1)知n=9,(x-2)=x-2,的展开式的通项为Tr+1=(0≤r≤9,r∈N),
由9-r=-,得r=7,由9-r=0,得r=6,
所以(x-2)的展开式中的常数项为-2=-132.
19.解:(1)要求4个偶数均与数字5相邻,则4个偶数只能填写在5的上、下、左、右4个网格中,剩下的4个网格填4个奇数,故共有=576(种)不同的填写方案.
(2)先从1,2,3,4中选1个数字填在5的左边,再从6,7,8,9中选1个数字填在5的右边,然后从剩下的6个数字中选3个数字填在第一横排,最后剩下的3个数字填在第三横排,故共有=320(种)不同的填写方案.
(3)先填有5的第二横排和第二竖排,由题意知第二横排和第二竖排的其他2个数字之和必然为10,则要从1和9,2和8,3和7,4和6这4个组合中选出两个组合填写.分三类:第一类,当第二横排的其他2个数字为1和9时,有=288(种)不同的填写方案.第二类,当第二竖排的其他2个数字为1和9时,数字1不在第一横排,有1×=144(种)不同的填写方案.第三类,当第二横排和第二竖排的其他2个数字均不是1和9时,数字1不在第一横排,有=288(种)不同的填写方案.故共有288+144+288=720(种)不同的填写方案.单元素养测评卷(一)
[第六章]
(时间:120分钟 分值:150分)
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知=,则= ( )
A.20 B.30
C.42 D.56
2.[2024·广东深圳高二期中] 某款车型有9种外观颜色,4种内搭颜色可供选择.若车主自由选择车的外观和内搭颜色,则不同的选法共有 ( )
A.4种 B.9种
C.13种 D.36种
3.3男3女站成一排拍照,若左、右两端恰好是一男一女,则不同的排法种数为 ( )
A.240 B.720
C.432 D.216
4.[2024·重庆实验外国语学校高二月考] 二项式的展开式中第5项的系数是 ( )
A.280 B.-280
C.35 D.-35
5.[2024·江苏无锡高二期中] 书架上已有四本书,小明又带来了两本不同的长篇小说和一本人物传记要放到书架上,若两本长篇小说不能放到一起,则不同的放法种数为 ( )
A.30 B.90
C.120 D.150
6.[2024·江苏泰州高二期中] 五一假期期间,小明家6人(4名大人和2名小孩)出去游玩,他们在某风景名胜区拍照留念.要求站成前后两排,每排各3人;每列站在后排的人比站在前排的人高,并且两名小孩都站在前排.已知6人的身高各不相同,任何一名大人都比任何一名小孩高,则不同的排法共有 ( )
A.48种 B.72种
C.90种 D.108种
7.已知6件不同的产品中有2件次品,现对它们一一测试,直至找到所有2件次品为止,若至多测试4次就能找到这2件次品,则不同的测试方法共有 ( )
A.114种 B.90种
C.106种 D.128种
8.已知a∈R,(x2-x+a)5=a0+a1x+a2x2+…+a9x9+a10x10,给出下列三个代数式①ai,②ai,③ai,其中值与a无关的个数为 ( )
A.0 B.1
C.2 D.3
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.[2024·四川内江高二期中] 下列结论正确的是 ( )
A.=
B.=n(m,n为正整数且n>m>1)
C.+=
D.满足方程=的x值可能为1或3
10.[2024·辽宁朝阳高二期中] 某次会议结束后,5名参会者A,B,C,D,E站成一排合影留念,则下列说法正确的是 ( )
A.若A与B相邻,则有48种不同的站法
B.若C与D不相邻,则有24种不同的站法
C.若B在E的左边(可以不相邻),则有60种不同的站法
D.若A不在最左边,D不在最中间,则有78种不同的站法
11.[2024·石家庄高二期中] 已知(2x-3)n(n∈N*)的展开式的二项式系数之和为512,若(2x-3)n=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+…+an(x-1)n,则下列说法正确的是 ( )
A.a1+a2+…+an=1
B.a1+2a2+3a3+…+nan=18
C.a2=144
D.|a0|+|a1|+…+|an|=39
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.[2024·合肥高二期中] 如图,为了迎接五一国际劳动节,某学校安排同学们在A,B,C,D四块区域种植花卉,现有4种不同花卉可供选择,要求每块区域种植一种花卉,相邻区域种植不同花卉,则不同的种植方法共有 种.(结果用数字作答)
13.各数位数字之和等于6(数字可以重复)的四位数个数为 .(请用数字作答)
14.[2024·沧州四校高二联考] “算两次”是一种重要的数学方法,也称作富比尼(G. Fubini)原理.“为了得到一个方程,我们必须把同一个量以两种不同的方法表示出来”(波利亚著《数学的发现》第一卷),即将一个量“算两次”.已知等式(1+x)2n=(1+x)n(x+1)n,n∈N*,n≥2,利用“算两次”原理可得()2+()2+()2+…+()2+()2= .(结果用组合数表示)
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)[2024·湖北武汉高二期中] 某班有6名同学报名参加校运会的4个比赛项目,求满足下列情况的不同的报名方法种数.(用数字回答)
(1)每项限报一人,且每人至多参加一项,每个项目均有人参加;
(2)每人限报一项,每人均参加,且每个项目均有人参加.
16.(15分)已知(2x+m+1)·(3x+1)9=a0+a1x+a2x2+…+a10x10(m∈R),且a1+a2+a3+…+a10=410-2.
(1)求实数m的值;
(2)求-+…+(-1)k+1·+…-的值.
17.(15分)用0,1,2,3,4,5这6个数字组成无重复数字的六位数.
(1)可以组成多少个六位数
(2)可以组成多少个能被5整除的六位数
(3)将组成的六位数按从小到大的顺序排列,第265个数是多少
18.(17分)[2024·四川遂宁高二期中] 已知二项式(n∈N*) 的展开式中,第7项为常数项.
(1)求实数n的值;
(2)展开式中二项式系数最大的项;
(3)求(x-2)的展开式中的常数项.
19.(17分)[2024·河北保定高二期中] 如图,在一个3×3的网格中填齐1至9中的所有整数,每个格子只填一个数字,已知中心格子的数字为5.
(1)若要求所有的偶数均与数字5相邻(横排相邻或者竖排相邻),则共有多少种不同的填写方案
(2)若要求每一横排的数字从左到右依次增大,则共有多少种不同的填写方案
(3)若要求第二横排、第二竖排的3个数字之和均为15,且数字1不在第一横排,则共有多少种不同的填写方案
