滚动习题(二)
1.C [解析] 要完成这件事可分两步:第一步,确定b(b≠0),有6种方法;第二步,确定a,有6种方法.由分步乘法计数原理知,共有6×6=36(个)虚数.
2.C [解析] 从8名学生中挑选3名,共有种选法,其中没有女生的选法有种,因此至少有1名女生的选法有-=52(种).故选C.
3.A [解析] 依题意,只考虑“立春”和“惊蛰”两块展板相邻,利用捆绑法得到有=240(种)放置方法,当“惊蛰”与“立春”和“清明”均相邻时,只有2种排法,即“惊蛰”在中间,“立春”“清明”分布在两侧,此时再用捆绑法,得到有2=48(种)放置方法,所以不同的放置方法共有240-48=192(种).故选A.
4.B [解析] 因为f(0,1)=·21=2a,f(1,0)=·=4,所以f(0,1)+f(1,0)=2a+4=6,解得a=1,故选B.
5.C [解析] (1+x)9的展开式的通项为Tr+1=·19-r·xr=·xr,r=0,1,2,…,9,所以(x2-x+1)(1+x)9的展开式中含x5的项的系数是1×-1×+1×=1×84-1×126+1×126=84.故选C.
6.C [解析] 由(3x+2)10=a0+a1x+a2x2+…+a10x10,令x=0,可得a0=210,故A错误;令x=-1,可得a0-a1+a2-a3+…+a10=1①,故B错误;令x=1,可得a0+a1+a2+a3+…+a10=510②,由①②可得a0+a2+a4+a6+a8+a10=,故C正确;由题意可知,展开式中共有11项,则第6项的二项式系数最大,故D错误.故选C.
7.C [解析] 若这个数千位上的数字为4,百位上的数字为3,则这个数可以是4360,4365,共2个.若这个数千位上的数字为4,百位上的数字为5,则这个数个位上的数字只能是0,满足条件的数共有=4(个).若这个数千位上的数字为4,百位上的数字为6,则满足条件的数共有=8(个).若这个数千位上的数字为5,则这个数个位上的数字只能是0,满足条件的数共有=20(个).若这个数千位上的数字为6,则满足条件的数共有=40(个).故满足条件的数共有74个.
8.ACD [解析] 对于A,先排剩下4人,有种方法,甲、乙插入4人产生的5个空中,有种方法,所以不同的排法种数为=480,故A正确;对于B,6人站成一排的所有排法有=720(种),甲、乙、丙三人站队的排法种数为=6,所以符合题意的不同的排法种数为720×=120,故B错误;对于C,将6人平均分成三组,有=15(种)分法,再将这三组安排到3个不同的工厂,有=6(种)方法,所以不同的安排方法种数为15×6=90,故C正确;对于D,当甲、乙、丙三人一组时,分成三组有·种分法,当甲、乙、丙三人和另外一人一组时,分成三组有种分法,所以不同的分组方法种数为·+=6,故D正确.故选ACD.
9.ABC [解析] 的展开式的通项为Tr+1=x2n-2r(-1)r=(-1)r,由第3项与第5项的系数之比为,得=,即=,整理得n2-5n-50=0,即(n+5)(n-10)=0,解得n=-5(舍去)或n=10,故A正确;的展开式的通项为Tr+1=(-1)r,令20-=0,解得r=8,则展开式中的常数项为(-1)8×=45,故B正确;令20-=5,解得r=6,则展开式中含x5的项的系数为(-1)6×=210,故C正确;令20-∈Z,可得r=0,2,4,6,8,10,所以展开式中的有理项有6项,故D错误.故选ABC.
10.1120 [解析] ∵展开式中各二项式系数的和为256,∴2n=256,∴n=8,则的展开式的通项为Tr+1=·x8-r·=2rx8-2r,令8-2r=0,可得r=4,∴展开式中的常数项为T5=24×=1120.
11.84 [解析] 先考虑五个音阶任意排列,有种情况,再减去宫、角、羽三音阶都相邻的情况,将宫、角、羽三音阶捆绑,将其看成一个整体,再与商、徵全排列,有种情况,所以可排成不同的音序种数是-=84.
12.19 [解析] 因为D校承担技术学科,所以安排A,B,C每校承担2个学科即可.当A校承担政治、历史2个学科时,有种安排方案(B校从其他4个学科中任选2个学科);当A校承担政治学科,不承担历史学科时,有种安排方案(A校只能从生物与地理中任选1个学科,B校不选历史学科,从其他3个学科中任选2个学科);当A校承担历史学科,不承担政治学科时,有种安排方案(与上一类相同);当A校不承担历史、政治2个学科时,A校只能承担生物、地理2个学科,B校只能承担物理、化学2个学科,只有1种安排方案.综上,共有+++1=19(种)不同的安排方案.
13.解:(1)可分为3红1白,2红2白,1红3白这三类,
则由分类加法计数原理得,有++=194(种)不同的取法.
(2)可分为4红,3红1白,2红2白这三类,则由分类加法计数原理得,有++=115(种)不同的取法.
(3)由题意知,要使取出4个球的总分不低于5分,只需取出的4个球中至少有1个红球,
故有+++=195(种)不同的取法.
14.解:(1)由题意,数字允许重复,根据分步乘法计数原理知,可以组成不同的五位偶数有5×6×6×6×3=3240(个).
(2)当首位上的数字是5,末位上的数字是0时,有=18(个)满足题意的五位数;当首位上的数字是3,末位上的数字是0或5时,有=48(个)满足题意的五位数;当首位上的数字是1或2或4,末位上的数字是0或5时,有=108(个)满足题意的五位数.根据分类加法计数原理,可得共有18+48+108=174(个)满足题意的五位数.
(3)分两类:第一类,当a,b都不取0时,有=20(种)情况,其中,直线x+2y=0与直线2x+4y=0重合,直线2x+y=0与直线4x+2y=0重合,所以此时共有18条不同的直线;第二类,当a,b中有一个取0时,不同的直线仅有直线x=0和直线y=0,有2条.根据分类加法计数原理,可得共有18+2=20(条)不同的直线.
15.解:(1)令x=0,得a0+a1+…+a16=38,令x=-1,得a0=28,所以a1+a2+a3+…+a16=38-28=6305.
(2)(x2+2x+3)8=[2+(x+1)2]8=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+…+a16(x+1)16,∵[2+(x+1)2]8的展开式的通项为Tr+1=28-r[(x+1)2]r=28-r(x+1)2r,r=0,1,2,…,8,∴a1=a3=…=a15=0,a2k=28-k,k=0,1,2,…,8,令解得2≤k≤3,∴an的最大值为a4=a6=26=25=1792.
(3)f(5)-2024=388-2024=(39-1)8-2024=398+397×(-1)+…+39×(-1)7-2023=398+397×(-1)+…+39×(-1)7-13×156+5,
∴f(5)-2024被13除的余数为5.滚动习题(二)
[范围6.1~6.3]
(时间:45分钟 分值:100分)
一、单项选择题(本大题共7小题,每小题5分,共35分)
1.从集合{0,1,2,3,4,5,6}中任取两个互不相等的数a,b组成复数a+bi,其中虚数有 ( )
A.30个 B.42个
C.36个 D.35个
2.某研究性学习小组有4名男生和4名女生,一次问卷调查活动需要挑选3名学生参加,其中至少有1名女生,则不同的选法种数为 ( )
A.120 B.84
C.52 D.48
3.[2024·西安长安一中高二期中] 某校为了弘扬我国二十四节气文化,特别制作出“立春”“惊蛰”“清明”“立夏”“芒种”“小暑”六张知识展板分别放置在六个并排的文化橱窗里,要求“立春”和“惊蛰”两块展板相邻,且“清明”与“惊蛰”两块展板不相邻,则不同的放置方法共有 ( )
A.192种 B.240种
C.120种 D.288种
4.在(1+x)4(1+2y)a(a∈N)的展开式中,记含xmyn的项的系数为f(m,n),若f(0,1)+f(1,0)=6,则a的值为 ( )
A.0 B.1 C.2 D.3
5.(x2-x+1)(1+x)9的展开式中含x5的项的系数是 ( )
A.28 B.-28 C.84 D.-84
6.已知(3x+2)10=a0+a1x+a2x2+…+a10x10,则 ( )
A.a0=29
B.a0-a1+a2-a3+…+a10=-1
C.a0+a2+a4+a6+a8+a10=
D.展开式中二项式系数最大的项为第5项
7.从0,1,2,3,4,5,6这7个数中任取4个数,将其组成无重复数字的四位数,则能被5整除且比4351大的数共有 ( )
A.54个 B.62个
C.74个 D.82个
二、多项选择题(本大题共2小题,每小题6分,共12分)
8.[2024·福建三明永安名校高二期中] 现有甲、乙、丙等6名同学,下列说法正确的是 ( )
A.6人站成一排,甲、乙两人不相邻,则不同的排法种数为480
B.6人站成一排,甲、乙、丙按从左到右的顺序站位,则不同的排法种数为240
C.6人平均分成三组到A,B,C工厂参观(每个工厂都有人),则不同的安排方法种数为90
D.6人分成三组,要求甲、乙、丙三人必须在一起,则不同的分组方法种数为6
9.已知的展开式中第3项与第5项的系数之比为,则下列结论正确的是 ( )
A.n=10
B.展开式中的常数项为45
C.展开式中含x5的项的系数为210
D.展开式中的有理项有5项
三、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分)
10.已知的展开式中各二项式系数的和为256,则展开式中的常数项为 .
11.[2024·重庆北碚区高二期中] 五声音阶是中国古乐基本音阶,故有成语“五音不全”.中国古乐中的五声音阶依次为宫、商、角、徵、羽,若把这五个音阶全用上,排成一个五个音阶的音序,且要求宫、角、羽三音阶不全相邻,则可排成不同的音序种数是 .
12.强基联盟协作体中A,B,C,D四所兄弟学校开展选考7个学科(物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术)教研交流活动.A,B,C每校承担2个学科,D校承担技术学科,A校不承担物理、化学2个学科,B校不承担政治、历史2个学科,则这次教研交流活动不同的安排方案共有 种.
四、解答题(本大题共3小题,共38分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
13.(10分)[2024·安徽黄山屯溪一中高二期中] 袋中装有除颜色外完全相同的4个红球和6个白球,从中取出4个球.
(1)若取出的球必须是两种颜色,有多少种不同的取法
(2)若取出的红球个数不少于白球个数,有多少种不同的取法
(3)取出1个红球记2分,取出1个白球记1分,若取出4个球的总分不低于5分,有多少种不同的取法
14.(13分)用0,1,2,3,4,5这六个数字,完成下面三道小题.
(1)若数字允许重复,可以组成多少个不同的五位偶数
(2)若数字不允许重复,可以组成多少个能被5整除且百位上的数字不是3的不同的五位数
(3)若方程ax+by=0中的a,b为六个数字中的任意两个不同的数字,方程表示的不同直线共有多少条
15.(15分)[2024·江苏江阴长泾中学高二期中] 已知f(x)=(x2+2x+3)8=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+…+a16(x+1)16.
(1)求a1+a2+a3+…+a16;
(2)求an(n=0,1,2,…,16)的最大值;
(3)求f(5)-2024被13除的余数.(共28张PPT)
滚动习题（二）范围6.1~6.3
一、单项选择题（本大题共7小题，每小题5分，共35分）
1.从集合中任取两个互不相等的数，组成复数 ，
其中虚数有( )
A.30个 B.42个 C.36个 D.35个
[解析] 要完成这件事可分两步：第一步,确定 ,有6种方法;
第二步,确定,有6种方法.由分步乘法计数原理知，共有 （个）
虚数.
√
2.某研究性学习小组有4名男生和4名女生，一次问卷调查活动需要挑
选3名学生参加，其中至少有1名女生，则不同的选法种数为( )
A.120 B.84 C.52 D.48
[解析] 从8名学生中挑选3名，共有 种选法，其中没有女生的选法
有种，因此至少有1名女生的选法有 （种）.故选C.
√
3.[2024·西安长安一中高二期中]某校为了弘扬我国二十四节气文化，
特别制作出“立春”“惊蛰”“清明”“立夏”“芒种”“小暑”六张知识展板分
别放置在六个并排的文化橱窗里，要求“立春”和“惊蛰”两块展板相
邻，且“清明”与“惊蛰”两块展板不相邻，则不同的放置方法共有( )
A.192种 B.240种 C.120种 D.288种
√
[解析] 依题意，只考虑“立春”和“惊蛰”两块展板相邻，利用捆绑法
得到有 （种）放置方法,当“惊蛰”与“立春”和“清明”均相
邻时，只有2种排法，即“惊蛰”在中间，“立春”“清明”分布在两侧，
此时再用捆绑法，得到有 （种）放置方法，所以不同的放
置方法共有 （种）.故选A.
4.在的展开式中，记含 的项的系数为
，若，则 的值为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
[解析] 因为, ,
所以，解得 ，故选B.
√
5.的展开式中含 的项的系数是( )
A.28 B. C.84 D.
[解析] 的展开式的通项为 ，
,1,2, ,9，所以的展开式中含 的项的系数
是 .故选C.
√
6.已知 ，则( )
A.
B.
C.
D.展开式中二项式系数最大的项为第5项
√
[解析] 由，令 ，可
得，故A错误；
令 ，可得，故B错误；
令 ，可得 ，由①②可得
，故C正确；
由题意可知，展开式中共有11项，则第6项的二项式系数最大，
故D错误.故选C.
7.从0，1，2，3，4，5，6这7个数中任取4个数，将其组成无重复数
字的四位数，则能被5整除且比4351大的数共有( )
A.54个 B.62个 C.74个 D.82个
√
[解析] 若这个数千位上的数字为4，百位上的数字为3，则这个数可
以是4360，4365，共2个．
若这个数千位上的数字为4，百位上的数字为5，则这个数个位上的数字
只能是0，满足条件的数共有 （个）．
若这个数千位上的数字为4，百位上的数字为6，则满足条件的数共
有 （个）．
若这个数千位上的数字为5，则这个数个位上的数字只能是0，满足条件
的数共有 （个）．
若这个数千位上的数字为6，则满足条件的数共有 （个）．
故满足条件的数共有74个．
二、多项选择题（本大题共2小题，每小题6分，共12分）
8.[2024·福建三明永安名校高二期中]现有甲、乙、丙等6名同学，下
列说法正确的是( )
A.6人站成一排，甲、乙两人不相邻，则不同的排法种数为480
B.6人站成一排，甲、乙、丙按从左到右的顺序站位，则不同的排法
种数为240
C.6人平均分成三组到，， 工厂参观（每个工厂都有人），则不
同的安排方法种数为90
D.6人分成三组，要求甲、乙、丙三人必须在一起，则不同的分组方
法种数为6
√
√
√
[解析] 对于A，先排剩下4人，有 种方法，甲、乙插入4人产生的5个空中，
有种方法，所以不同的排法种数为 ，故A正确；
对于B，6人站成一排的所有排法有 （种），甲、乙、丙三人站队的
排法种数为 ，所以符合题意的不同的排法种数为 ，
故B错误；
对于C，将6人平均分成三组，有 （种）分法，再将这三组安排
到3个不同的工厂，有（种）方法，所以不同的安排方法种数为
，故C正确；
对于D，当甲、乙、丙三人一组时，分成三组有 种分法，当甲、乙、
丙三人和另外一人一组时，分成三组有 种分法，所以不同的分组方法种数
为，故D正确.故选 .
9.已知的展开式中第3项与第5项的系数之比为 ，则下列
结论正确的是( )
A.
B.展开式中的常数项为45
C.展开式中含 的项的系数为210
D.展开式中的有理项有5项
√
√
√
[解析] 的展开式的通项为
，
由第3项与第5项的系数之比为，得，即 ，
整理得，即，解得 （舍去）
或，故A正确；
的展开式的通项为，令，
解得 ，则展开式中的常数项为 ，故B正确；
令，解得，则展开式中含 的项的系数为
，故C正确；
令，可得 ,2,4,6,8,10，所以展开式中的有理项有6项，
故D错误.故选 .
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
10.已知 的展开式中各二项式系数的和为256，则展开式中的
常数项为______.
1120
[解析] 展开式中各二项式系数的和为256,, ,
则的展开式的通项为 ，
令,可得，
展开式中的常数项为 .
11.[2024·重庆北碚区高二期中] 五声音阶是中国古乐基本音阶，故有
成语“五音不全”.中国古乐中的五声音阶依次为宫、商、角、徵、羽，
若把这五个音阶全用上，排成一个五个音阶的音序，且要求宫、角、
羽三音阶不全相邻，则可排成不同的音序种数是____.
84
[解析] 先考虑五个音阶任意排列，有 种情况，再减去宫、角、羽
三音阶都相邻的情况，将宫、角、羽三音阶捆绑，将其看成一个整
体，再与商、徵全排列，有 种情况，所以可排成不同的音序种
数是 .
12.强基联盟协作体中A，B，C，D四所兄弟学校开展选考7个学科
（物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术）教研交流活动.A，
B，C每校承担2个学科，D校承担技术学科，A校不承担物理、化学
2个学科，B校不承担政治、历史2个学科，则这次教研交流活动不同
的安排方案共有____种.
19
[解析] 因为D校承担技术学科，所以安排A，B，C每校承担2个学科
即可.
当A校承担政治、历史2个学科时，有 种安排方案（B校从其他4个
学科中任选2个学科）；
当A校承担政治学科，不承担历史学科时，有 种安排方案
（A校只能从生物与地理中任选1个学科，B校不选历史学科，从其他
3个学科中任选2个学科）；
当A校承担历史学科，不承担政治学科时，有 种安排方案（与上一
类相同）；
当A校不承担历史、政治2个学科时，A校只能承担生物、地理2个学科，
B校只能承担物理、化学2个学科，只有1种安排方案.
综上，共有 （种）不同的安排方案.
四、解答题（本大题共3小题，共38分.解答应写出必要的文字说
明、证明过程或演算步骤）
13.（10分）[2024·安徽黄山屯溪一中高二期中] 袋中装有除颜色外
完全相同的4个红球和6个白球，从中取出4个球.
（1）若取出的球必须是两种颜色，有多少种不同的取法？
解：可分为3红1白，2红2白，1红3白这三类，则由分类加法计数原理得，
有 （种）不同的取法.
（2）若取出的红球个数不少于白球个数，有多少种不同的取法？
解：可分为4红，3红1白，2红2白这三类，则由分类加法计数原理得，
有 （种）不同的取法.
（3）取出1个红球记2分，取出1个白球记1分，若取出4个球的总分
不低于5分，有多少种不同的取法？
解：由题意知，要使取出4个球的总分不低于5分，只需取出的4个球
中至少有1个红球，故有 （种）不同
的取法.
14.（13分）用0，1，2，3，4，5这六个数字，完成下面三道小题.
（1）若数字允许重复，可以组成多少个不同的五位偶数？
解：由题意，数字允许重复，根据分步乘法计数原理知，可以组成
不同的五位偶数有 （个）.
（2）若数字不允许重复，可以组成多少个能被5整除且百位上的数
字不是3的不同的五位数？
解：当首位上的数字是5，末位上的数字是0时，有 （个）
满足题意的五位数；
当首位上的数字是3，末位上的数字是0或5时，有 （个）
满足题意的五位数；
当首位上的数字是1或2或4，末位上的数字是0或5时，有
（个）满足题意的五位数.
根据分类加法计数原理，可得共有 （个）满
足题意的五位数.
（3）若方程中的， 为六个数字中的任意两个不同的
数字，方程表示的不同直线共有多少条
解：分两类：第一类，当,都不取0时，有 （种）情况，其
中，直线与直线重合，直线 与直
线重合，所以此时共有18条不同的直线；
第二类，当, 中有一个取0时，不同的直线仅有直线和直线 ，
有2条.
根据分类加法计数原理，可得共有 （条）不同的直线.
15.（15分）[2024·江苏江阴长泾中学高二期中] 已知
.
（1）求 ；
解：令，得，令，得 ，
所以 .
（2）求 的最大值；
解：
的展开式的通项为
，,1,2, ,8，
，，,1,2, ,8，
令解得，
的最大值为 .
（3）求 被13除的余数.
解：
，
被13除的余数为5.
