滚动习题(一)
1.A [解析] ==120.
2.D [解析] 由题意得1至9中的质数为2,3,5,7四个数,故能够组成无重复数字的整数的个数为+++=64.故选D.
3.A [解析] 把6个相同的小球放入4个不同的箱子中,每个箱子都不空,采用隔板法,在5个空中插入3块板,则不同的放法共有=10(种).故选A.
4.B [解析] 由题意,从A到B的最短路径有=10(条),从B到C的最短路径有3×2=6(条),∴它可以爬行的不同最短路径的条数为10×6=60.故选B.
5.B [解析] 在原来3位同学的发言顺序一定时,他们之间及两边会形成4个空位,插入甲、乙2位同学,有=12(种)方法.故选B.
6.D [解析] 由题可知,第一阶段该小组共进行=6(场)比赛,每场比赛两队的积分之和为3+0=3(分)或1+1=2(分),因为该小组在小组赛结束后四支球队的积分之和为16分,所以该小组的6场比赛中有2场是平局,其余4场可分出胜负,所以该小组比赛的不同结果有×24=240(种).故选D.
7.C [解析] 甲、乙同时入选时,按甲担任四辩手或担任二、三辩手分类求解,甲、乙同时不入选时,直接从6人中选4人全排列即可,因此不同的组队形式共有++=570(种),故选C.
8.BCD [解析] 对于A,高二(6)班一定参加的选法有种,故A错误;对于B,高一年级恰有2个班级参加的选法有种,故B正确;对于C,D,从20个班级中选出5个班级参加活动的选法共有种,其中高一年级没有班级参加,高二年级有5个班级参加的选法有种,高一年级有1个班级参加,高二年级有4个班级参加的选法有种,高一年级有2个班级参加,高二年级有3个班级参加的选法有种,高一年级有3个班级参加,高二年级有2个班级参加的选法有种,高一年级有4个班级参加,高二年级有1个班级参加的选法有种,高一年级有5个班级参加,高二年级没有班级参加的选法有种,则+++++=,所以高一年级最多有2个班级参加的选法有++=(种),故C,D正确.故选BCD.
9.ACD [解析] 对于A,每名学生都有4种选择方案,故共有4×4×4×4×4=45(种)不同的选择方案,故A正确.对于B,先将5个人分成三组,分两类:第一类,按3,1,1分组,有=10(种)分组方法;第二类,按2,2,1分组,有=15(种)分组方法.故共有10+15=25(种)分组方法.再将分好的三组分配到三个社团,有=6(种)分配方法,所以共有25×6=150(种)不同的选择方案,故B不正确.对于C,若只有1人选择甲社团,则有=36(种)选择方案,若有2人选择甲社团,则有=24(种)选择方案,所以共有36+24=60(种)不同的选择方案,故C正确.对于D,若每个社团至少有1名学生选择,则有=240(种)选择方案,其中学生A,B选择同一社团的选择方案有=24(种),所以共有240-24=216(种)不同的选择方案,故D正确.故选ACD.
10.12 [解析] 从正三棱柱的6个顶点中任取4个,有种情况,其中4个点共面的情况有3种,故可以组成-3=12(个)四面体.
11.336 [解析] 依题意,不考虑数字的重复问题,4张卡片排成一排,构成的四位数有·24=384(个),其中若2张卡片都是1,则构成的四位数有··22=48(个),所以将这4张卡片排成一排,可构成不同的四位数的个数为384-48=336.
12.100 [解析] 若甲1个人一组,其他两组的人数分别为1,3或2,2,因为甲同学不去二楼,所以有(+)=28(种)不同的分配方式;若甲和另外1个人两人一组,其他两组的人数分别为1,2,因为甲同学不去二楼,所以有=48(种)不同的分配方式;若甲和另外2个人三人一组,其他两组的人数分别为1,1,因为甲同学不去二楼,所以有=24(种)不同的分配方式.综上,共有28+48+24=100(种)不同的分配方式.
13.解:(1)根据题意,分为以下两步:第一步,排甲的参观顺序,有=6(种)不同的参观方案;
第二步,排乙的参观顺序,有=6(种)不同的参观方案.
故共有6×6=36(种)不同的参观方案.
(2)根据题意,分为以下两步:第一步,排甲的参观顺序,有=12(种)不同的参观方案;第二步,排乙的参观顺序,有=18(种)不同的参观方案.
故共有12×18=216(种)不同的参观方案.
14.解:若五位数由3个不同的数字组成,
此时五位数不满足“对任意i(i∈N,1≤i≤5),必存在j≠i(j∈N,1≤j≤5),使ai=aj”,
如五位数12312,不存在j≠3(j∈N,1≤j≤5),使aj=3,
同理,五位数由4个不同的数字或5个不同的数字组成时,也不满足条件,则五位数由1个数字或者2个不同的数字组成.
当五位数由1个数字组成时,有11 111,22 222,33 333,44 444,共4种情况.
当五位数由2个数字组成时,可分为以下两类:
第一类,这2个数字中没有0,有种选法,从五位数的五个位置中选两个位置放其中一个数字,另外三个位置放另一个数字,有种方法,则共有=120(种)情况;
第二类,这2个数字中有一个为0时,有4种选法,将非零的数字放到万位,从剩下的四个位置中选两个或者三个位置放0,有+种方法,则共有4(+)=40(种)情况.
综上可得,满足条件的五位数共有4+120+40=164(个).
15.解:(1)根据题意,若A必须在内,则在其余6人中选出4人,再与A全排列,故共有=1800(种)不同的排法.
(2)根据题意,先在其余5人中选出3人,有=10(种)选法,再从中选出1人排在A,B中间,与A,B进行捆绑,将其看成一个整体,与另外2人全排列,有··=36(种)排法,故共有10×36=360(种)不同的排法.
(3)根据题意,先在其余4人中选出2人,有=6(种)选法,将A,B看成一个整体,与选出的2人全排列,有=12(种)排法,排好后,有2个空位可用,在其中选出1个排C,有2种排法,故共有6×12×2=144(种)不同的排法.滚动习题(一)
[范围6.1~6.2]
(时间:45分钟 分值:100分)
一、单项选择题(本大题共7小题,每小题5分,共35分)
1.= ( )
A.120 B.160
C.180 D.240
2.1至9中的质数能够组成无重复数字的整数的个数为 ( )
A.24 B.36 C.48 D.64
3.把6个相同的小球放入4个不同的箱子中,每个箱子都不空,不同的放法共有 ( )
A.10种 B.24种
C.36种 D.60种
4.[2024·苏州高二期中] 一只蚂蚁从点A出发沿着水平面的网格线爬行到点B,再由点B沿着长方体的棱爬行至顶点C处,则它可以爬行的不同最短路径的条数为 ( )
A.40 B.60 C.80 D.120
5.班会上原定有3位同学依次发言,现临时加入甲、乙2位同学也发言,若保持原来3位同学发言的相对顺序不变,且甲、乙的发言顺序不能相邻,则不同的发言顺序种数为 ( )
A.6 B.12
C.18 D.24
6.根据某足球赛的比赛规则,第一阶段是小组赛,每个小组有四支球队,每两队之间比赛一场,若每场比赛的双方可以分出胜负,则胜方积3分,负方积0分,若平局,则双方各积1分.已知某小组在小组赛结束后四支球队的积分之和为16分,则该小组比赛的不同结果有 ( )
A.30种 B.60种
C.120种 D.240种
7.[2024·湖北部分重点中学高二期中] 某学校从4男4女共8名学生中选出4人分别担任辩论赛中的一、二、三、四辩手,其中男生甲不适合担任一辩手,女生乙不适合担任四辩手,要求甲、乙同时入选或同时不入选,则不同的组队形式共有( )
A.480种 B.360种
C.570种 D.540种
二、多项选择题(本大题共2小题,每小题6分,共12分)
8.某校的高一和高二年级各有10个班级,从中选出5个班级参加活动,下列结论正确的是 ( )
A.高二(6)班一定参加的选法有种
B.高一年级恰有2个班级参加的选法有种
C.高一年级最多有2个班级参加的选法有种
D.高一年级最多有2个班级参加的选法有++种
9.A,B,C,D,E共5名高一年级学生选择甲、乙、丙、丁四个社团进行实践活动,每名学生只能选择一个社团,则下列结论中正确的是 ( )
A.所有不同的选择方案共有45种
B.若甲社团没有学生选择,乙、丙、丁每个社团至少有一名学生选择,则所有不同的选择方案共有300种
C.若每个社团至少有1名学生选择,且学生A必须选择甲社团,则所有不同的选择方案共有60种
D.若每个社团至少有1名学生选择,且学生A,B不选择同一社团,则所有不同的选择方案共有216种
三、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分)
10.从正三棱柱的6个顶点中任选4个,以这4个点为顶点,可以组成 个四面体.
11.4张卡片的正、反面分别写有数字1,2;1,3;4,5;6,7.将这4张卡片排成一排,可构成不同的四位数的个数为 .
12.[2024·辽宁朝阳高二期中] 某中学食堂共有三层,5名高一年级新同学相约到食堂就餐,为看尽食堂所有美食种类,他们打算分为三组去往不同的楼层.若甲同学不去二楼,则共有 种不同的分配方式.(用数字作答)
四、解答题(本大题共3小题,共38分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
13.(10分)[2024·石家庄十五中高二期中] 2024年3月28日,“本草健康”展览在国家自然博物馆开展.“本草健康”展览共分为“本草释义”“本草传奇”“本草养生”“本草拾趣”四个单元.已知甲、乙计划依次参观该展览的四个单元.
(1)若甲、乙参观的第一个单元均为“本草拾趣”,共有多少种不同的参观方案
(2)若甲参观“本草释义”与“本草传奇”单元的顺序相邻,且甲参观的第一个单元与乙参观的第四个单元不相同,共有多少种不同的参观方案
14.(13分)[2024·杭州高二期中] 记由0,1,2,3,4五个数字组成的五位数为,求满足“对任意i(i∈N,1≤i≤5),必存在j≠i(j∈N,1≤j≤5),使ai=aj”的五位数的个数.
15.(15分)从A,B,C等7人中选5人排成一排.
(1)若A必须在内,有多少种不同的排法
(2)若A,B都在内,且A,B中间排1人,有多少种不同的排法
(3)若A,B,C都在内,且A,B必须相邻,C与A,B都不相邻,有多少种不同的排法 (共26张PPT)
滚动习题（一）范围6.1~6.2
一、单项选择题（本大题共7小题，每小题5分，共35分）
1. ( )
A.120 B.160 C.180 D.240
[解析] ．
√
2.1至9中的质数能够组成无重复数字的整数的个数为( )
A.24 B.36 C.48 D.64
[解析] 由题意得1至9中的质数为2，3，5，7四个数，故能够组成无
重复数字的整数的个数为 .故选D.
√
3.把6个相同的小球放入4个不同的箱子中,每个箱子都不空,不同的放
法共有( )
A.10种 B.24种 C.36种 D.60种
[解析] 把6个相同的小球放入4个不同的箱子中,每个箱子都不空,采用
隔板法,在5个空中插入3块板,则不同的放法共有 （种）.故选A.
√
4.[2024·苏州高二期中]一只蚂蚁从点 出发沿
着水平面的网格线爬行到点，再由点 沿着
长方体的棱爬行至顶点 处，则它可以爬行的
不同最短路径的条数为( )
A.40 B.60 C.80 D.120
[解析] 由题意，从A到B的最短路径有 （条），从B到C的最
短路径有（条）， 它可以爬行的不同最短路径的条数为
.故选B.
√
5.班会上原定有3位同学依次发言，现临时加入甲、乙2位同学也发言，
若保持原来3位同学发言的相对顺序不变，且甲、乙的发言顺序不能
相邻，则不同的发言顺序种数为( )
A.6 B.12 C.18 D.24
[解析] 在原来3位同学的发言顺序一定时，他们之间及两边会形成4
个空位，插入甲、乙2位同学，有 （种）方法.故选B.
√
6.根据某足球赛的比赛规则，第一阶段是小组赛，每个小组有四支球
队，每两队之间比赛一场，若每场比赛的双方可以分出胜负，则胜
方积3分，负方积0分，若平局，则双方各积1分.已知某小组在小组赛
结束后四支球队的积分之和为16分，则该小组比赛的不同结果有
( )
A.30种 B.60种 C.120种 D.240种
√
[解析] 由题可知，第一阶段该小组共进行 （场）比赛，每场
比赛两队的积分之和为（分）或 （分），因为该
小组在小组赛结束后四支球队的积分之和为16分，所以该小组的6场
比赛中有2场是平局，其余4场可分出胜负，所以该小组比赛的不同
结果有 （种）.故选D.
7.[2024·湖北部分重点中学高二期中]某学校从4男4女共8名学生中选
出4人分别担任辩论赛中的一、二、三、四辩手，其中男生甲不适合
担任一辩手，女生乙不适合担任四辩手，要求甲、乙同时入选或同
时不入选，则不同的组队形式共有( )
A.480种 B.360种 C.570种 D.540种
[解析] 甲、乙同时入选时，按甲担任四辩手或担任二、三辩手分类
求解，甲、乙同时不入选时，直接从6人中选4人全排列即可，因此
不同的组队形式共有 （种），故选C.
√
二、多项选择题（本大题共2小题，每小题6分，共12分）
8.某校的高一和高二年级各有10个班级，从中选出5个班级参加活动，
下列结论正确的是( )
A.高二（6）班一定参加的选法有 种
B.高一年级恰有2个班级参加的选法有 种
C.高一年级最多有2个班级参加的选法有 种
D.高一年级最多有2个班级参加的选法有 种
√
√
√
[解析] 对于A，高二（6）班一定参加的选法有 种，故A错误；
对于B，高一年级恰有2个班级参加的选法有 种，故B正确；
对于C，D，从20个班级中选出5个班级参加活动的选法共有 种，其中
高一年级没有班级参加，高二年级有5个班级参加的选法有 种，
高一年级有1个班级参加，高二年级有4个班级参加的选法有 种，
高一年级有2个班级参加，高二年级有3个班级参加的选法有 种，
高一年级有3个班级参加，高二年级有2个班级参加的选法有 种，
高一年级有4个班级参加，高二年级有1个班级参加的选法有 种，
高一年级有5个班级参加，高二年级没有班级参加的选法有 种，
则 ，所以高一年
级最多有2个班级参加的选法有 （种），
故C，D正确.故选 .
9.,,,, 共5名高一年级学生选择甲、乙、丙、丁四个社团进行实
践活动，每名学生只能选择一个社团，则下列结论中正确的是
( )
A.所有不同的选择方案共有 种
B.若甲社团没有学生选择，乙、丙、丁每个社团至少有一名学生选
择，则所有不同的选择方案共有300种
C.若每个社团至少有1名学生选择，且学生 必须选择甲社团，则所
有不同的选择方案共有60种
D.若每个社团至少有1名学生选择，且学生， 不选择同一社团，
则所有不同的选择方案共有216种
√
√
√
[解析] 对于A，每名学生都有4种选择方案，故共有
（种）不同的选择方案，故A正确.
对于B，先将5个人分成三组，分两类：第一类，按3，1，1分组，
有 （种）分组方法；第二类，按2，2，1分组，有
（种）分组方法.故共有 （种）分组方法.再将分好的
三组分配到三个社团，有（种）分配方法，所以共有
（种）不同的选择方案，故B不正确.
对于C，若只有1人选择甲社团，则有（种）选择方案，
若有2人选择甲社团，则有 （种）选择方案，所以共有
（种）不同的选择方案，故C正确.
对于D，若每个社团至少有1名学生选择，则有 （种）选择
方案，其中学生A，B选择同一社团的选择方案有（种），
所以共有 （种）不同的选择方案，故D正确.故选 .
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
10.从正三棱柱的6个顶点中任选4个，以这4个点为顶点，可以组成
____个四面体．
12
[解析] 从正三棱柱的6个顶点中任取4个，有 种情况，其中4个点共
面的情况有3种，故可以组成 （个）四面体．
11.4张卡片的正、反面分别写有数字1，2；1，3；4，5；6，7.将这4
张卡片排成一排，可构成不同的四位数的个数为_____.
336
[解析] 依题意，不考虑数字的重复问题，4张卡片排成一排，构成的
四位数有 （个），其中若2张卡片都是1，则构成的四
位数有 （个），所以将这4张卡片排成一排，可构成
不同的四位数的个数为 .
12.[2024·辽宁朝阳高二期中] 某中学食堂共有三层，5名高一年级新
同学相约到食堂就餐，为看尽食堂所有美食种类，他们打算分为三
组去往不同的楼层.若甲同学不去二楼，则共有_____种不同的分配方
式.（用数字作答）
100
[解析] 若甲1个人一组，其他两组的人数分别为1，3或2，2，因为甲
同学不去二楼，所以有 （种）不同的分配方式；
若甲和另外1个人两人一组，其他两组的人数分别为1，2，因为甲同
学不去二楼，所以有 （种）不同的分配方式；
若甲和另外2个人三人一组，其他两组的人数分别为1，1，因为甲同学
不去二楼，所以有 （种）不同的分配方式.
综上，共有 （种）不同的分配方式.
四、解答题（本大题共3小题，共38分.解答应写出必要的文字说
明、证明过程或演算步骤）
13.（10分）[2024·石家庄十五中高二期中] 2024年3月28日，“本草
健康”展览在国家自然博物馆开展.“本草健康”展览共分为“本草释义”
“本草传奇”“本草养生”“本草拾趣”四个单元.已知甲、乙计划依次参
观该展览的四个单元.
（1）若甲、乙参观的第一个单元均为“本草拾趣”，共有多少种不同
的参观方案？
解：根据题意，分为以下两步：第一步，排甲的参观顺序，有
（种）不同的参观方案；
第二步，排乙的参观顺序，有 （种）不同的参观方案.
故共有 （种）不同的参观方案.
（2）若甲参观“本草释义”与“本草传奇”单元的顺序相邻，且甲参观
的第一个单元与乙参观的第四个单元不相同，共有多少种不同的参
观方案？
解：根据题意，分为以下两步：第一步，排甲的参观顺序，有
（种）不同的参观方案；
第二步，排乙的参观顺序，有 （种）不同的参观方案.
故共有 （种）不同的参观方案.
14.（13分）[2024·杭州高二期中] 记由0，1，2，3，4五个数字组
成的五位数为，求满足“对任意 ，必存
在，使 ”的五位数的个数.
解：若五位数 由3个不同的数字组成，此时五位数
不满足“对任意, ，必存在，使 ”，
如五位数12312，不存在，使 ，
同理，五位数 由4个不同的数字或5个不同的数字组成时，
也不满足条件，则五位数 由1个数字或者2个不同的数字组成.
当五位数由1个数字组成时，有， ，，
，共4种情况.
当五位数 由2个数字组成时，可分为以下两类：
第一类，这2个数字中没有0，有 种选法，从五位数的五个位置中
选两个位置放其中一个数字，另外三个位置放另一个数字，有 种方法，
则共有 （种）情况；
第二类，这2个数字中有一个为0时，有4种选法，将非零的数字放到万位，
从剩下的四个位置中选两个或者三个位置放0，有 种方法，
则共有 （种）情况.
综上可得，满足条件的五位数共有 （个）.
15.（15分）从，， 等7人中选5人排成一排.
（1）若 必须在内，有多少种不同的排法
解：根据题意，若必须在内，则在其余6人中选出4人，再与 全排
列，故共有 （种）不同的排法.
（2）若，都在内，且， 中间排1人，有多少种不同的排法
解：根据题意，先在其余5人中选出3人，有 （种）选法，再
从中选出1人排在，中间，与， 进行捆绑，将其看成一个整体，
与另外2人全排列，有 （种）排法，故共有
（种）不同的排法.
（3）若，，都在内，且，必须相邻，与， 都不相邻，
有多少种不同的排法
解：根据题意，先在其余4人中选出2人，有 （种）选法，将
，看成一个整体，与选出的2人全排列，有 （种）排法，
排好后，有2个空位可用，在其中选出1个排 ，有2种排法，故共有
（种）不同的排法.
