数学探究 杨辉三角的性质与应用
【探究应用】
1.C [解析] 在该数列中,第37项为“杨辉三角”中第21行第3个数,因为从第3行起,每行的第3个数分别为1,3,6,10,…,即,,,,…,所以第21行第3个数为=190,故选C.
2.AB [解析] 对于A,+++++=++++++-=+++++-=…=+-=-=209,故A中说法错误;对于B,第2023行中从左往右第1011个数为,第1012个数为,而≠,故B中说法错误;对于C,第n行的第i个数为ai=,则3i-1ai=3i-1=30+31+32+…+3n=(1+3)n=4n,故C中说法正确;对于D,第20行中从左往右第12个数为,第13个数为,则===×==,故D中说法正确.故选AB.
3.2 [解析] 由题意可得广义杨辉三角形第5行为1,5,15,30,45,51,45,30,15,5,1,所以在(1+ax)(x2+x+1)5的展开式中,含x8的项的系数为15+30a=75,解得a=2.
4.220 [解析] 由题意知an=,所以a1+a2+a3+…+a10=+++…+=+++…+=++…+=++…+=…=++=+===220.++…+=++…+=++…+=2=2=.
5.解:(1)第22行中从左到右的第3个数为==231.
(2)设第n(n≥2)行中从左到右的第r,r+1,r+2个数之比为1∶3∶5,则∶∶=1∶3∶5,
即
即
则解得
故在杨辉三角中存在某一行,使该行中三个相邻的数之比为1∶3∶5,且这3个数是,,,即7,21,35.
(3)证明:当n=m时,结论显然成立;
当n>m时,(k+1)==
(m+1)=(m+1),k=m+1,m+2,…,n,
由题意知+=,
所以(k+1)=(m+1)(-),k=m+1,m+2,…,n,因此(m+1)+(m+2)+(m+3)+…+(n+1)=(m+1)+[(m+2)+(m+3)+…+(n+1)]=(m+1)+(m+1)[(-)+(-)+…+(-)]=(m+1).
综上,当m,n∈N*,n≥m时,(m+1)+(m+2)+(m+3)+…+(n+1)=(m+1).数学探究 杨辉三角的性质与应用
1.目的
通过杨辉三角,了解中华优秀传统文化中的数学成就,体会其中的数学文化.
2.情境
如图中的表称为杨辉三角,它出现在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中,这是我国数学史上的一个伟大成就.
根据教材中的分析,写出杨辉三角的重要性质.
3.归纳:杨辉三角的重要性质
①第1行只有一个数字1,除第1行外每行两端的数都是1.
②第n行的数字有n个.
③第n行的第m个数可表示为,且(a+b)n的展开式中的各二项式系数依次对应杨辉三角的第n+1行中的各项.
④每行数字左右对称,即第n行的第m个数与第n行的第n-m+1个数相等.
⑤相邻的两行中,除1以外的每个数等于它肩上两数的和,即第n+1行的第i个数等于第n行的第i-1个数与第i个数的和,可表示为=+,其中2≤i≤n.可用此性质写出整个杨辉三角.
⑥第n行的数字和为2n-1.
4.应用:弹子游戏问题
如图,在一块倾斜的木板上,钉上一些正六棱柱形的小木块,在它们中间留下一些通道,从上部的漏斗直通到下部的框中.把小弹子倒在漏斗里,它首先会通过中间的1个通道落到第2层中间的六棱柱上面(有几个通道就算第几层),再落到第2层中间的六棱柱的左边或右边的2个竖直通道里去,以此类推,最终落到下部的框中.
算一算:
+++…++…++=2n(个)小弹子通过n+1层通道,落到各框里的可能情况.
分析:小弹子从每1个通道通过时它选择左、右2个通道的可能性是相等的,而其他任1个通道的可能情形等于它左、右肩上2个通道的可能情形的和.可以设想,第1层只有1个通道,通过的概率是1;第2层有2个通道,通过的概率依次是,;第3层有3个通道,通过的概率依次是,,……
(1)写出第4层小弹子通过各通道的概率.
(2)照这样计算第n+1层有n+1个通道,小弹子通过各通道的概率是多少
解:(1)第4层有4个通道,小弹子通过各通道的概率从左到右依次是,,,.
(2)我们可以写出如图所示的“概率三角形”,可得出它与杨辉三角的关系:第n层小弹子通过各通道的概率的分子是杨辉三角中的数,分母是2n-1.由此可知,第n+1层小弹子通过各通道的概率从左到右依次是,,,…,,.
1.杨辉三角是二项式系数在三角形中的一种几何排列,在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现.如图所示,在“杨辉三角”中,从第3行第3个数1开始箭头所指的数组成一个锯齿形数列:1,2,3,3,6,4,10,5,….在该数列中,第37项是 ( )
A.153 B.171 C.190 D.210
2.(多选题)[2024·河南南阳高二期末] “杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一,最早出现在南宋数学家杨辉于1261年所著的《详解九章算法》一书中.“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形数表中的一种几何排列规律,如图所示.下列关于“杨辉三角”的说法错误的是 ( )
A.+++++=210
B.第2023行中从左往右第1011个数与第1012个数相等
C.记第n行的第i个数为ai,则3i-1ai=4n
D.第20行中从左往右第12个数与第13个数之比为4∶3
3.将三项式(x2+x+1)n展开,当n=0,1,2,3,…时,得到如下所示的展开式:
(x2+x+1)0=1;
(x2+x+1)1=x2+x+1;
(x2+x+1)2=x4+2x3+3x2+2x+1;
(x2+x+1)3=x6+3x5+6x4+7x3+6x2+3x+1;
(x2+x+1)4=x8+4x7+10x6+16x5+19x4+16x3+10x2+4x+1;
……
观察多项式系数之间的关系,可以仿照杨辉三角构造如图所示的广义杨辉三角形,其构造方法为第0行为1,以下各行每个数是它头上与左右两肩上3个数(不足3个数的,缺少的数计为0)之和,第k(k∈N)行共有2k+1个数.若在(1+ax)(x2+x+1)5的展开式中,含x8的项的系数为75,则实数a的值为 .
4.如图,在“杨辉三角”中,记第2行的第3个数字为a1,第3行的第3个数字为a2,…,第n+1行的第3个数字为an,则a1+a2+a3+…+a10= ,++…+= .
5.[2024·江苏连云港高二期中] 已知杨辉三角如图所示.
(1)求第22行中从左到右的第3 个数.
(2)在杨辉三角中是否存在某一行,使该行中三个相邻的数之比为1∶3∶5 若存在,试求出这三个数;若不存在,请说明理由.
(3)杨辉三角是杨辉的一项重要研究成果,它的许多性质与组合数的性质有关.如:观察杨辉三角的相邻两行可知,除1以外的每个数等于它肩上两数的和.试证明:当m,n∈N*,n≥m时,(m+1)+(m+2)+(m+3)+…+(n+1)=(m+1).(共25张PPT)
数学探究 杨辉三角的性质与应用
1.目的
通过杨辉三角，了解中华优秀传统文化中的数学成就，体会其中的
数学文化.
2.情境
如图中的表称为杨辉三角，它出现在我国南宋数
学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中，
这是我国数学史上的一个伟大成就.
根据教材中的分析，写出杨辉三角的重要性质.
3.归纳：杨辉三角的重要性质
①第1行只有一个数字1，除第1行外每行两端的数
都是1.
②第行的数字有 个.
③第行的第个数可表示为，且 的
展开式中的各二项式系数依次对应杨辉三角的第
行中的各项.
④每行数字左右对称，即第行的第个数与第
行的第 个数相等.
⑤相邻的两行中，除1以外的每个数等于它肩上两
数的和，即第行的第个数等于第 行的第
个数与第 个数的和，可表示为
，其中 .可用此性质
写出整个杨辉三角.
⑥第行的数字和为 .
4.应用：弹子游戏问题
如图，在一块倾斜的木板上，钉上一些正六棱柱形的
小木块，在它们中间留下一些通道，从上部的漏斗直
通到下部的框中.把小弹子倒在漏斗里，它首先会通过
中间的1个通道落到第2层中间的六棱柱上面
（有几个通道就算第几层），再落到第2层中间的六棱柱的左边或右边
的2个竖直通道里去，以此类推，最终落到下部的框中.
算一算：
（个）
小弹子通过 层通道，落到各框里的可能情况.
分析：小弹子从每1个通道通过时它选择左、右2个通
道的可能性是相等的，而其他任1个通道的可能情形等
于它左、右肩上2个通道的可能情形的和.可以设想，
第1层只有1个通道，通过的概率是1；第2层有2个通道，
通过的概率依次是， ；第3层有3个通道，通过的概
率依次是，，
（1）写出第4层小弹子通过各通道的概率.
解：第4层有4个通道，小弹子通过各通道的概率从左到右依次是
，，， .
（2）照这样计算第层有 个通道，小弹子通过各通道的概
率是多少？
解：我们可以写出如图所示的“概率三角形”，可得
出它与杨辉三角的关系：第 层小弹子通过各通道
的概率的分子是杨辉三角中的数，分母是 .
由此可知，第 层小弹子通过各通道的概率从左
到右依次是,，, ，, .
1.杨辉三角是二项式系数在三角形中的一种几何排
列，在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九
章算法》一书中就有出现.如图所示，在“杨辉三角”
中，从第3行第3个数1开始箭头所指的数组成一个锯
A.153 B.171 C.190 D.210
齿形数列：1，2，3，3，6，4，10，5， .在该数列中，第37项是
( )
√
[解析] 在该数列中，第37项为“杨辉三角”中第21
行第3个数，因为从第3行起，每行的第3个数分别
为1，3，6，10， ，即，，， ，
， 所以第21行第3个数为 ，故选C．
2.（多选题）[2024·河南南阳高二期末] “杨辉三角”是中国古代数学
文化的瑰宝之一，最早出现在南宋数学家杨辉于1261年所著的《详
解九章算法》一书中.“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形数表中
的一种几何排列规律，如图所示.下列关于“杨辉三角”的说法错误的
是( )
A.
B.第2023行中从左往右第1011个数与第1012个数相等
C.记第行的第个数为，则
D.第20行中从左往右第12个数与第13个数之比为
√
√
[解析] 对于A，
，故A中说法错误；
对于B，第2023行中从左往右第1011个数为，第1012个数为，而 ，故B中说法错误；
对于C，第行的第个数为 ，则 ，
故C中说法正确；
对于D，第20行中从左往右第12个数为 ，第13个数为，
则 ，故D中说法正确.故选 .
3.将三项式展开，当，1，2，3， 时，得到如
下所示的展开式：
；
；
；
；
；
……
观察多项式系数之间的关系，可以仿照杨辉三角构造如图所示的广
义杨辉三角形，其构造方法为第0行为1，以下各行每个数是它头上
与左右两肩上3个数（不足3个数的，缺少的数计为0）之和，第
行共有个数．若在 的展开式中，
含的项的系数为75，则实数 的值为___．
2
[解析] 由题意可得广义杨辉三角形第5行为1，5，15，30，45，51，
45，30，15，5，1，所以在的展开式中，含
的项的系数为，解得 ．
4.如图，在“杨辉三角”中，记第2行的第3个数字为 ，第3行的第3个
数字为， ，第行的第3个数字为 ，则
_____， ____.
220
[解析] 由题意知 ，所以
.
.
5.[2024·江苏连云港高二期中] 已知杨辉三角如图所示.
（1）求第22行中从左到右的第3 个数.
解：第22行中从左到右的第3个数为 .
（2）在杨辉三角中是否存在某一行，使该行中三个相邻的数之比为
若存在，试求出这三个数；若不存在，请说明理由.
解：设第行中从左到右的第，， 个数之比为
，则 ，即
即 则解得
故在杨辉三角中存在某一行，使该行中三个相邻的数之比为 ，
且这3个数是，， ，即7，21，35.
（3）杨辉三角是杨辉的一项重要研究成果，
它的许多性质与组合数的性质有关.如：观
察杨辉三角的相邻两行可知，除1以外的每
个数等于它肩上两数的和.试证明：
当 ，，时，
.
证明：当 时，结论显然成立；
当时，
，,, , ，
由题意知 ，
所以，,, , ，
因此 .
综上，当，， 时， .
