本章总结提升
【知识辨析】
1.√
2.× [解析] 离散型随机变量的分布列中,随机变量取各个值的概率之和等于1.
3.√
4.× [解析] 由随机变量X~N(0,σ2),得正态曲线的对称轴为直线x=0,又P(|X|>1)=0.2,即P(X>1)+P(X<-1)=0.2,∴P(0
5.× [解析] 由题意可得,独立地连续射击三次,至少有一次命中的概率为1-(1-p)3p0=,解得p=.
6.√ 7.√ 8.√ 9.√ 10.√
【素养提升】
题型一
例1-1 [解析] 方法一:甲从五个活动中选三个的可能情况有ABC,ABD,ABE,ACD,ACE,ADE,BCD,BCE,BDE,CDE,共10种,其中甲选到A活动的可能情况有ABC,ABD,ABE,ACD,ACE,ADE,共6种,故甲选到A活动的概率P==.乙选了A活动有ABC,ABD,ABE,ACD,ACE,ADE共6种可能情况,其中选到B活动有ABC,ABD,ABE共3种可能情况,故已知乙选了A活动,他选到B活动的概率为=.
方法二:甲选到A活动的概率为=.设M=“乙选到A活动”,N=“乙选到B活动”,则已知乙选了A活动,他选到B活动的概率为P(N|M)===.
例1-2 C [解析] 设从甲盒中取出白球、红球、黑球分别为事件A1,A2,A3,从甲盒中取出的球和从乙盒中取出的球颜色相同为事件B,则P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)=·+·+·=≥,解得x≤6,则x的最大值为6.故选C.
变式 (1)A (2)ABC [解析] (1)∵P(AB)=×= ,P(B|A)===,∴P(AB)+P(B|A)=+=.故选A.
(2)甲只能传球给乙或丙,故P2=0,A正确;乙、丙均可以传球给甲,故P3=,B正确;由题意得,要想第n次触球者是甲,则第(n-1)次触球的人不能是甲,且第(n-1)次触球的人有的概率将球传给甲,故Pn=(1-Pn-1)=-Pn-1+(n≥2),C正确;Pn=-Pn-1+(n≥2),设Pn+λ=-(Pn-1+λ)(n≥2),则λ=-,所以Pn-=-(n≥2),又P1-=,所以是首项为,公比为-的等比数列,故Pn-=×,所以Pn=×+,故P9=×+=,则P10-P9=-P9+=-×+=-<0,故P9>P10,D错误.故选ABC.
题型二
例2-1 解:(1)设事件A为“一份保单的索赔次数不少于2”,
由题意可得P(A)==.
(2)(i)设ξ(单位:万元)为一份保单的赔偿金额,则ξ的所有可能取值为0,0.8,1.6,2.4,3,
由题意得P(ξ=0)==,P(ξ=0.8)==,
P(ξ=1.6)==,P(ξ=2.4)==,
P(ξ=3)==,所以E(ξ)=0×+0.8×+1.6×+2.4×+3×=0.278(万元),
故E(X)=0.4-0.278=0.122(万元).
(ii)由题意知下一保险期一份保单保费的数学期望为0.4×0.96×+0.4×1.2×=0.403 2(万元),
则下一保险期一份保单毛利润的数学期望为0.403 2-0.278=0.125 2(万元),显然该值大于E(X).
例2-2 解:(1)记事件Ai表示“甲在罚球线处投篮,第i次投进”,事件Bi表示“甲在三分线处投篮,第i次投进”,i=1,2,
则P(A1)=P(A2)=,P(B1)=P(B2)=.
设事件C表示“学生甲被录取”,则C=A1B1+A1B2+A2B1+A2B2,
所以P(C)=×+××+××+×××=,所以学生甲被录取的概率为.
(2)由题分析知,X的可能取值为2,3,4.
P(X=2)=P(+A1B1)=+×=,
P(X=3)=P(A2B1+A1)=××+×=,P(X=4)=P(A2)=××=,
所以X的分布列为
X 2 3 4
P
X的期望E(X)=2×+3×+4×=,
X的方差D(X)=×+×+×=.
变式 (1) 1 [解析] 由题意知,ξ=0,1,2.若ξ=0,则有两种情况,即第一个就取出红球或第一个取出绿球,第二个取出红球,P(ξ=0)=+×=+=;若ξ=1,则有两种情况,即第一个取出黄球,第二个取出红球或取出的前两个球为一黄一绿,第三个取出红球,P(ξ=1)=×+×=+=;P(ξ=2)=1--=.故E(ξ)=0×+1×+2×=1.
(2)解:①记取出的一次性筷子的双数为X,则X的可能取值为0,1,2.
P(X=0)==,P(X=1)=×+×=,P(X=2)=×=,则X的分布列为
X 0 1 2
P
②由①知E(X)=0×+1×+2×=,D(X)=×+×+×=.
③记第2次取出的是非一次性筷子为事件A,第1次取出的是一次性筷子为事件B,
则P(AB)=×=,P(A)=×+×=,
则P(B|A)===.
题型三
例3 解:(1)由题意可知,每个人选择项目A的概率均为=,则每个人不选择项目A的概率均为,
故甲、乙、丙、丁这四个人中至少有一人选择项目A的概率为1-=.
(2)由(1)可知,每个人选择项目A的概率均为,且每个人是否选择项目A相互独立,故X~B,P(X=0)==,P(X=1)=×=,
P(X=2)=×==,P(X=3)=×=,P(X=4)==,
则X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P
故X的数学期望E(X)=4×=.
变式 解:(1)由题意知,随机变量X~B(5,0.6),P(X=0)=×0.60×(1-0.6)5=,P(X=1)=×0.61×(1-0.6)4=,P(X=2)=×0.62×(1-0.6)3=,P(X=3)=×0.63×(1-0.6)2=,P(X=4)=×0.64×(1-0.6)1=,P(X=5)=×0.65×(1-0.6)0=,所以X的分布列为
X 0 1 2 3 4 5
P
E(X)=5×0.6=3.
(2)希望采用“5局3胜制”,理由如下:
采用“3局2胜制”时,甲获胜的概率P1=×0.6×0.4×0.6+×0.6×0.6=0.648,采用“5局3胜制”时,甲获胜的概率P2=×0.62×0.42×0.6+×0.62×0.4×0.6+×0.63=0.682 56,因为P1题型四
例4 解:(1)由题知所求概率为0.15+0.25+0.2=0.6.
(2)由题设,品牌 A的签字笔抽取了20×15%=3(支),品牌B的签字笔抽取了20×10%=2(支),所以品牌A和B共抽取了5支签字笔.
X的可能取值为0,1,2,P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==.所以X的分布列为
X 0 1 2
P
E(X)=0×+1×+2×=.
变式 解:(1)设考生甲正确完成实验操作的题数为X,则X的所有可能取值是1,2,3,P(X=1)==,P(X=2)==,P(X=3)==,所以X的分布列为
X 1 2 3
P
则E(X)=1×+2×+3×=2.
设考生乙正确完成实验操作的题数为Y,易知Y~B,
所以Y的所有可能取值为0,1,2,3,P(Y=0)=×=,P(Y=1)=××=,
P(Y=2)=××=,P(Y=3)=×=,所以Y的分布列为
Y 0 1 2 3
P
所以E(Y)=3×=2.
(2)由(1)知E(X)=E(Y)=2,D(X)=(1-2)2×+(2-2)2×+(3-2)2×=,D(Y)=3××=,P(X≥2)=+=,P(Y≥2)=+=,
所以D(X)P(Y≥2),
故从正确完成实验操作的题数的均值方面分析,两人水平相当;从正确完成实验操作的题数的方差方面分析,甲的水平更稳定;从至少正确完成2道题的概率方面分析,甲通过的可能性更大.因此甲的实验操作能力较强.
题型五
例5 (1)ABD [解析] 对于A,可知μ1+30=280,解得μ1=250,故A正确;对于B,C,方差越小,数据越集中,30<40,故B正确,C错误;对于D,P(280(2)解:①μ=×(192+192+193+197+200+202+203+204+208+209)=200.
σ2=×[(-8)2+(-8)2+(-7)2+(-3)2+02+22+32+42+82+92]=36,故σ==6.
②由题意得,X~N(200,36),P(μ-3σ即P(182又试生产的5个零件中有1个零件的内径不在(μ-3σ,μ+3σ],即(182,218]内,
所以根据3σ原则,这台新设备需要进一步调试.
变式1 0.14 [解析] P(X>2.5)===0.14.
变式2 解:(1)根据频率分布直方图,可得μ=(5×0.01+15×0.02+25×0.03+35×0.025+45×0.015)×10=26.5.
由题意知,该厂生产的消毒液的质量指标值Z近似地服从正态分布,即Z~N(26.5,11.952),
∴P(14.55∵0.84×100 000=84 000,∴估计该厂所生产的这10万瓶消毒液中,B级消毒液约有84 000瓶.
(2)设每瓶消毒液的利润为Y元,则Y的可能取值为10,5,-10,可得P(Y=10)=P(Z>62.35)=P(Z>μ+3σ)=[1-P(μ-3σP(Y=-10)=P(Z≤14.55)=P(Z≤μ-σ)=[1-P(μ-σ∴Y的分布列为
Y 10 5 -10
P 0.001 35 0.84 0.158 65
∴每瓶消毒液的平均利润为E(Y)=10×0.001 35+5×0.84+(-10)×0.158 65=2.627(元),
∴生产一年消毒液所获得的利润为2.627×1=2.627(千万元),
又2.627>2,∴该厂能在一年之内收回投资.本章总结提升
判断下列说法是否正确.(请在括号中填“√”或“×”)
1.离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的. ( )
2.离散型随机变量的分布列中,随机变量取各个值的概率之和可以小于1. ( )
3.已知随机变量X的分布列为P(X=i)=(i=1,2,3,4),则P(24.已知随机变量X~N(0,σ2),若P(|X|>1)=0.2,则P(05.某射击运动员射击一次命中目标的概率为p,已知他独立地连续射击三次,至少有一次命中的概率为,则p=. ( )
6.设随机变量X服从正态分布,其正态密度曲线是函数f(x)的图象,且f(x)=,则X的均值与标准差分别是10和2. ( )
7.抛掷红、蓝两枚质地均匀的骰子,事件A=“红骰子出现4点”,B=“蓝骰子出现的点数是偶数”,则P(A|B)=. ( )
8.假设某超市供应的口罩中,N95口罩占,次品率为,非N95口罩的次品率为,那么在该超市内任意购买一只口罩,买到次品的概率是.( )
9.若随机变量X的数学期望E(X)=3,则E(4X-5)=7. ( )
10.新生儿的性别、投篮是否命中、买到的商品是否为正品,都可以用两点分布研究. ( )
◆ 题型一 条件概率与全概率公式
[类型总述] (1)条件概率公式的应用;(2)全概率公式的应用.
例1-1 [2024·天津卷] 现有A,B,C,D,E五个活动,甲、乙都要选择三个活动参加.甲选到A活动的概率为 ;已知乙选了A活动,则他选到B活动的概率为 .
例1-2 [2024·江西鹰潭高二期末] 若甲盒中有2个白球、2个红球、1个黑球,乙盒中有x个白球(x∈N)、3个红球、2个黑球,现从甲盒中随机取出一个球放入乙盒,再从乙盒中随机取出一个球,若从甲盒中取出的球和从乙盒中取出的球颜色相同的概率大于或等于,则x的最大值为 ( )
A.4 B.5
C.6 D.7
变式 (1)一个盒子中装有5个黑球和4个白球,现从中先后无放回地随机取2个球,记“第一次取得黑球”为事件A,“第二次取得白球”为事件B,则P(AB)+P(B|A)= ( )
A. B. C. D.
(2)(多选题)足球运动深受青少年的喜爱.为推广足球运动,某学校成立了足球社团,社团中的甲、乙、丙三名成员将进行传球训练,从甲开始随机地将球传给其他两人中的任意一人,接球者再随机地将球传给其他两人中的任意一人,如此不停地传下去,且假定每次传球都能被接到.记开始传球的人为第1次触球者,第n次触球者是甲的概率为Pn,即P1=1.下列说法正确的是 ( )
A.P2=0
B.P3=
C.Pn=-Pn-1+(n≥2)
D.P9◆ 题型二 离散型随机变量的期望与方差
[类型总述] (1)求离散型随机变量的分布列;(2)求离散型随机变量的数学期望和方差;(3)利用数学期望和方差解决实际应用问题.
例2-1 [2024·北京卷] 某保险公司为了解该公司某种保险产品的索赔情况,从合同保险期限届满的保单中随机抽取1000份,记录并整理这些保单的索赔情况,获得数据如下表:
索赔次数 0 1 2 3 4
单数 800 100 60 30 10
假设:一份保单的保费为0.4万元;前三次索赔时,保险公司每次赔偿0.8万元;第四次索赔时,保险公司赔偿0.6万元.假设不同保单的索赔次数相互独立.用频率估计概率.
(1)估计一份保单索赔次数不少于2的概率.
(2)一份保单的毛利润定义为这份保单的保费与赔偿总金额之差.
(i)记X为一份保单的毛利润,估计X的数学期望E(X);
(ii)如果无索赔的保单下一保险期的保费减少4%,有索赔的保单下一保险期的保费增加20%,试比较下一保险期一份保单毛利润的数学期望估计值与(i)中E(X)估计值的大小.(结论不要求证明)
例2-2 [2024·广东佛山高二期中] 学生甲想加入校篮球队,篮球教练对其进行投篮测试.测试规则如下:①投篮分为两轮,每轮均有两次机会,第一轮在罚球线处,第二轮在三分线处;②若他在罚球线处投进第一球,则直接进入下一轮,若第一次没投进可以进行第二次投篮,投进则进入下一轮,否则不予录取;③若他在三分线处投进第一球,则直接录取,若第一次没投进可以进行第二次投篮,投进则录取,否则不予录取.已知学生甲在罚球线处投篮命中率为,在三分线处投篮命中率为.假设学生甲每次投进与否互不影响.
(1)求学生甲被录取的概率;
(2)在这次测试中,记学生甲投篮的次数为X,求X的分布列及期望与方差.
变式 (1)盒中有4个球,其中1个红球,1个绿球,2个黄球.从盒中随机取球,每次取1个,不放回,直到取出红球为止.设此过程中取到黄球的个数为ξ,则P(ξ=0)= ,E(ξ)= .
(2)抽屉中装有4双规格相同的筷子,其中2双是一次性筷子,2双是非一次性筷子,每次使用筷子时,从抽屉中随机取出1双(2只都为一次性筷子或都为非一次性筷子),若取出的是一次性筷子,则使用后直接丢弃,若取出的是非一次性筷子,则使用后经过清洗再次放入抽屉中,求:
①取了2次后,取出的一次性筷子的双数的分布列;
②取了2次后,取出的一次性筷子的双数的均值和方差;
③在第2次取出的是非一次性筷子的条件下,第1次取出的是一次性筷子的概率.
◆ 题型三 二项分布及其应用
[类型总述] (1)二项分布的概念;(2)服从二项分布的随机变量的均值与方差.
例3 2024年“五一”期间,为推动消费市场复苏,补贴市民,某地政府发放了市内旅游消费券,该消费券包含A,B,C,D,E,F六个旅游项目,甲、乙、丙、丁四人每人计划从中任选两个不同的项目参加,且他们的选择互不影响.
(1)求甲、乙、丙、丁这四个人中至少有一人选择项目A的概率;
(2)记X为这四个人中选择项目A的人数,求X的分布列及数学期望.
变式 甲、乙两名乒乓球运动员进行乒乓球比赛,每局比赛甲胜的概率为0.6,乙胜的概率为0.4,且每局比赛相互独立.
(1)若甲、乙两名运动员共进行5局比赛,用随机变量X表示甲胜的局数,求X的分布列及数学期望E(X).
(2)现有3局2胜和5局3胜两种赛制,若你作为甲运动员,你希望采用哪种赛制 并说明理由.
◆ 题型四 超几何分布及其应用
[类型总述] (1)超几何分布的概念;(2)服从超几何分布的随机变量的分布列和期望.
例4 某超市有5种不同品牌的签字笔,它们的销售价格(元/支)和市场份额(指该品牌签字笔的销售量在超市同类产品中所占比例)如下:
签字笔品牌 A B C D E
销售价格 1.5 2.4 3.2 2.2 1.2
市场份额 15% 10% 30% 20% 25%
(1)从该超市销售的这5种品牌的签字笔中随机抽取1支,求其销售价格低于2.4元的概率.
(2)将该超市销售的这5种品牌的签字笔依市场份额按比例分配的分层随机抽样的方法随机抽取20支签字笔进行质量检测,其中品牌A和B共抽取了多少支签字笔 若从这些抽取的品牌A和B的签字笔中随机再抽取3支进行含油墨量检测.记X为抽到品牌B的签字笔数量,求X的分布列和均值.
变式 [2024·北京西城区高二期中] 某校设计了一个学科的实验考查方案,考生从6道备选题中一次性随机抽取3道题,按照题目要求独立完成全部实验操作,规定:至少正确完成其中2道题便可通过.已知6道备选题中考生甲有4道题能正确完成,2道题不能正确完成;考生乙每题正确完成的概率都是,且每题正确完成与否互不影响.
(1)分别求出甲、乙两考生正确完成题数的分布列,并计算数学期望;
(2)试用统计知识分析比较两考生的实验操作能力.
◆ 题型五 正态分布及其应用
[类型总述] (1)正态分布的直接应用;(2)利用正态分布的性质求概率.
例5 (1)(多选题)近年来,中国进入了一个鲜花消费的增长期,某农户贷款承包了一个新型温室鲜花大棚,种植并销售红玫瑰和白玫瑰.若这个大棚的红玫瑰和白玫瑰的日销量分别服从正态分布N(μ1,302)和N(280,402),则下列说法正确的是 ( )
(附:若随机变量X服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σA.若红玫瑰的日销量范围在(μ1-30,280)内的概率约是0.682 7,则红玫瑰日销量的平均数约为250
B.红玫瑰的日销量比白玫瑰的日销量更集中
C.白玫瑰的日销量比红玫瑰的日销量更集中
D.白玫瑰的日销量范围在(280,320)内的概率约为0.341 35
(2)某车间生产一批零件,现从中随机抽取10个零件,测得其内径(单位:mm)分别为192,192,193,197,200,202,203,204,208,209.设这10个数据的平均数为μ,标准差为σ.
①求μ和σ.
②假设这批零件的内径X(单位:mm)服从正态分布N(μ,σ2),若该车间又新购一台设备,安装调试后,试生产了5个零件,测得其内径(单位:mm)分别为181,190,198,204,213,如果你是该车间的负责人,以原设备生产性能为标准,试根据3σ原则判断这台新设备是否需要进一步调试 并说明你的理由.
附:若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ变式1 [2022·新高考全国Ⅱ卷] 随机变量X服从正态分布N(2,σ2),若P(22.5)= .
变式2 某市2024年初新建一家生产消毒液的工厂,质检部门现从这家工厂中随机抽取了100瓶消毒液进行检测,得到该厂所生产的消毒液的质量指标值的频率分布直方图,如图所示(同一组中的数据用该区间的中点值作代表,视频率为概率).设该厂生产的消毒液的质量指标值Z近似地服从正态分布N(μ,σ2),其中μ为样本平均数,并已经求得σ=11.95.现将消毒液分为A,B,C三个等级,其中质量指标值Z不高于14.55的为C级,高于62.35的为A级,其余为B级.
(1)该厂近期生产了10万瓶消毒液,试估计其中B级消毒液的总瓶数.
(2)已知每瓶消毒液的等级与售价X(单位:元/瓶)的关系如表所示:
等级 A B C
售价X 30 25 10
假定该厂一年消毒液的生产量为1000万瓶,且消毒液全都能销售出去.若每瓶消毒液的成本为20元,工厂的总投资为2千万元(含引进生产线、兴建厂房等一切费用在内),则该厂能否在一年之内收回投资 试说明理由.
附:若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ本章总结提升
题型一 条件概率与全概率公式
题型二 离散型随机变量的期望与方差
题型三 二项分布及其应用
题型四 超几何分布及其应用
题型五 正态分布及其应用
判断下列说法是否正确.（请在括号中填“√”或“×”）
1.离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的.( )
√
2.离散型随机变量的分布列中,随机变量取各个值的概率之和可以小
于1.( )
×
[解析] 离散型随机变量的分布列中,随机变量取各个值的概率之和等于1.
3.已知随机变量的分布列为 ,则
.( )
√
4.已知随机变量，若 ，则
.( )
×
[解析] 由随机变量，得正态曲线的对称轴为直线 ，
又，即 ，
.
5.某射击运动员射击一次命中目标的概率为 ，已知他独立地连续射
击三次，至少有一次命中的概率为，则 .( )
×
[解析] 由题意可得，独立地连续射击三次，至少有一次命中的概率
为，解得 .
6.设随机变量服从正态分布，其正态密度曲线是函数 的图象，
且，则 的均值与标准差分别是10和2.( )
√
7.抛掷红、蓝两枚质地均匀的骰子，事件“红骰子出现4点”，
“蓝骰子出现的点数是偶数”，则 .( )
√
8.假设某超市供应的口罩中，口罩占，次品率为，非 口罩
的次品率为 ，那么在该超市内任意购买一只口罩，买到次品的概
率是 .( )
√
9.若随机变量的数学期望，则 .( )
√
10.新生儿的性别、投篮是否命中、买到的商品是否为正品，都可以
用两点分布研究.( )
√
题型一 条件概率与全概率公式
［类型总述］（1）条件概率公式的应用;（2）全概率公式的应用.
例1-1 [2024·天津卷] 现有,,,, 五个活动，甲、乙都要选择三
个活动参加.甲选到活动的概率为__；已知乙选了 活动，则他选到
活动的概率为__.
[解析] 方法一：甲从五个活动中选三个的可能情况有, ,
,,,,,,,,共10种，其中甲选到 活动
的可能情况有,,,,,，共6种，故甲选到 活
动的概率.
乙选了活动有,,,,, 共6种可能情况，其中
选到活动有,, 共3种可能情况，故已知乙选了活动，
他选到活动的概率为 .
方法二：甲选到活动的概率为.
设“乙选到活动”， “乙选到活动”，
则已知乙选了活动，他选到 活动的概率为
.
例1-2 [2024·江西鹰潭高二期末] 若甲盒中有2个白球、2个红球、1
个黑球，乙盒中有个白球 、3个红球、2个黑球，现从甲盒
中随机取出一个球放入乙盒，再从乙盒中随机取出一个球，若从甲
盒中取出的球和从乙盒中取出的球颜色相同的概率大于或等于 ，
则 的最大值为( )
A.4 B.5 C.6 D.7
√
[解析] 设从甲盒中取出白球、红球、黑球分别为事件，， ，
从甲盒中取出的球和从乙盒中取出的球颜色相同为事件B，
则，解得，则 的最大值为6.故选C.
变式（1） 一个盒子中装有5个黑球和4个白球，现从中先后无放回
地随机取2个球，记“第一次取得黑球”为事件 ，“第二次取得白球”
为事件，则 ( )
A. B. C. D.
[解析] , ，
.故选A.
√
（2）（多选题）足球运动深受青少年的喜爱.为推广足球运动，某学
校成立了足球社团，社团中的甲、乙、丙三名成员将进行传球训练，
从甲开始随机地将球传给其他两人中的任意一人，接球者再随机地
将球传给其他两人中的任意一人，如此不停地传下去，且假定每次
传球都能被接到.记开始传球的人为第1次触球者，第 次触球者是甲
的概率为，即 .下列说法正确的是( )
A. B.
C. D.
√
√
√
[解析] 甲只能传球给乙或丙，故 ，A正确；
乙、丙均可以传球给甲，故，B正确；
由题意得，要想第 次触球者是甲，则第次触球的人不能是甲，
且第次触球的人有 的概率将球传给甲，
故 ，C正确；
，设 ，则
，所以 ，
又，所以是首项为，公比为 的等比数列，
故，所以 ，
故 ，则
，故 ，D错误.故选 .
题型二 离散型随机变量的期望与方差
［类型总述］（1）求离散型随机变量的分布列;（2）求离散型随机变
量的数学期望和方差;（3）利用数学期望和方差解决实际应用问题.
例2-1 [2024·北京卷] 某保险公司为了解该公司某种保险产品的索
赔情况，从合同保险期限届满的保单中随机抽取1000份，记录并整
理这些保单的索赔情况，获得数据如下表：
索赔次数 0 1 2 3 4
单数 800 100 60 30 10
假设：一份保单的保费为0.4万元；前三次索赔时，保险公司每次赔
偿0.8万元；第四次索赔时，保险公司赔偿0.6万元.假设不同保单的索
赔次数相互独立.用频率估计概率.
（1）估计一份保单索赔次数不少于2的概率.
解：设事件 为“一份保单的索赔次数不少于2”，
由题意可得 .
（2）一份保单的毛利润定义为这份保单的保费与赔偿总金额之差.
（i）记为一份保单的毛利润，估计的数学期望 ；
解： 设 （单位：万元）为一份保单的赔偿金额，则 的所有可
能取值为0,,, ,3，
由题意得, ，
， ，
，
所以
（万元），
故 （万元）.
（ii）如果无索赔的保单下一保险期的保费减少 ，有索赔的保单
下一保险期的保费增加 ，试比较下一保险期一份保单毛利润的
数学期望估计值与中 估计值的大小．（结论不要求证明）
解： 由题意知下一保险期一份保单保费的数学期望为
（万元），
则下一保险期一份保单毛利润的数学期望为
（万元），显然该值大于 .
例2-2 [2024·广东佛山高二期中] 学生甲想加入校篮球队，篮球教
练对其进行投篮测试.测试规则如下：①投篮分为两轮，每轮均有两
次机会，第一轮在罚球线处，第二轮在三分线处；②若他在罚球线
处投进第一球，则直接进入下一轮，若第一次没投进可以进行第二
次投篮，投进则进入下一轮，否则不予录取；③若他在三分线处投
进第一球，则直接录取，若第一次没投进可以进行第二次投篮，投
进则录取，否则不予录取.已知学生甲在罚球线处投篮命中率为 ，在
三分线处投篮命中率为 .假设学生甲每次投进与否互不影响.
（1）求学生甲被录取的概率；
解：记事件表示“甲在罚球线处投篮，第次投进”，事件 表示“甲
在三分线处投篮，第次投进”， ，2，
则， .
设事件 表示“学生甲被录取”，则
，
所以 ，所以学
生甲被录取的概率为 .
（2）在这次测试中，记学生甲投篮的次数为，求 的分布列及期
望与方差.
解：由题分析知， 的可能取值为2，3，4.
，
，
，
2 3 4
的期望 ，
的方差 .
所以 的分布列为
变式（1） 盒中有4个球，其中1个红球，1个绿球，2个黄球.从盒中
随机取球，每次取1个，不放回，直到取出红球为止.设此过程中取到
黄球的个数为 ,则__， ___.
1
[解析] 由题意知，，1，2.
若 ，则有两种情况，即第一个就取出红球或第一个取出绿球，
第二个取出红球，；
若 ，则有两种情况，即第一个取出黄球，第二个取出红球或取
出的前两个球为一黄一绿，第三个取出红球，
；
.
故 .
（2）抽屉中装有4双规格相同的筷子，其中2双是一次性筷子，2双
是非一次性筷子，每次使用筷子时，从抽屉中随机取出1双
（2只都为一次性筷子或都为非一次性筷子），若取出的是一次性筷
子，则使用后直接丢弃，若取出的是非一次性筷子，则使用后经过
清洗再次放入抽屉中，求：
①取了2次后，取出的一次性筷子的双数的分布列；
解：记取出的一次性筷子的双数为，则 的可能取值为0，1，2.
， ，
，
则 的分布列为
0 1 2
②取了2次后，取出的一次性筷子的双数的均值和方差；
解：由①知 ，
.
③在第2次取出的是非一次性筷子的条件下，第1次取出的是一次性
筷子的概率.
解：记第2次取出的是非一次性筷子为事件 ，第1次取出的是一次性
筷子为事件 ，
则， ，
则 .
题型三 二项分布及其应用
［类型总述］（1）二项分布的概念;（2）服从二项分布的随机变量
的均值与方差.
例3 2024年“五一”期间，为推动消费市场复苏，补贴市民，某地政
府发放了市内旅游消费券，该消费券包含，，，，， 六个
旅游项目，甲、乙、丙、丁四人每人计划从中任选两个不同的项目
参加，且他们的选择互不影响.
（1）求甲、乙、丙、丁这四个人中至少有一人选择项目 的概率；
解：由题意可知，每个人选择项目的概率均为 ,则每个人不选
择项目的概率均为 ，
故甲、乙、丙、丁这四个人中至少有一人选择项目 的概率为
.
（2）记为这四个人中选择项目的人数，求 的分布列及数学期望.
解：由（1）可知，每个人选择项目的概率均为 ，且每个人是否选
择项目相互独立，
故， ，
，
，
， ，
则 的分布列为
0 1 2 3 4
故的数学期望 .
变式 甲、乙两名乒乓球运动员进行乒乓球比赛，每局比赛甲胜的概
率为，乙胜的概率为 ，且每局比赛相互独立.
（1）若甲、乙两名运动员共进行5局比赛，用随机变量 表示甲胜的
局数，求的分布列及数学期望 .
解：由题意知，随机变量 ，
,
，
，
，
，
，
0 1 2 3 4 5
.
所以 的分布列为
（2）现有3局2胜和5局3胜两种赛制，若你作为甲运动员，你希望采
用哪种赛制？并说明理由.
解：希望采用“5局3胜制”，理由如下：
采用“3局2胜制”时，甲获胜的概率
，
采用“5局3胜制” 时，甲获胜的概率
，
因为 ，所以对于甲（我）而言，显然“5局3胜制”更有利.
题型四 超几何分布及其应用
［类型总述］（1）超几何分布的概念;（2）服从超几何分布的随机
变量的分布列和期望.
例4 某超市有5种不同品牌的签字笔，它们的销售价格（元/支）和市
场份额（指该品牌签字笔的销售量在超市同类产品中所占比例）如下：
签字笔品牌
销售价格 1.5 2.4 3.2 2.2 1.2
市场份额
（1）从该超市销售的这5种品牌的签字笔中随机抽取1支，求其销售
价格低于2.4元的概率.
解：由题知所求概率为 .
（2）将该超市销售的这5种品牌的签字笔依市场份额按比例分配的
分层随机抽样的方法随机抽取20支签字笔进行质量检测，其中品牌
和共抽取了多少支签字笔？若从这些抽取的品牌和 的签字笔中
随机再抽取3支进行含油墨量检测．记为抽到品牌 的签字笔数量，
求 的分布列和均值.
解：由题设，品牌的签字笔抽取了（支），品牌 的
签字笔抽取了（支），所以品牌和 共抽取了5支签字笔.
的可能取值为0，1，2， ，
，.
所以 的分布列为
0 1 2
.
变式 [2024·北京西城区高二期中] 某校设计了一个学科的实验考查
方案，考生从6道备选题中一次性随机抽取3道题，按照题目要求独
立完成全部实验操作，规定：至少正确完成其中2道题便可通过.已知
6道备选题中考生甲有4道题能正确完成，2道题不能正确完成；考生
乙每题正确完成的概率都是 ，且每题正确完成与否互不影响.
（1）分别求出甲、乙两考生正确完成题数的分布列，并计算数学期望；
解：设考生甲正确完成实验操作的题数为，则 的所有可能取值是
1,2,3，， ，
，
所以 的分布列为
1 2 3
则 .
设考生乙正确完成实验操作的题数为，易知 ，
所以 的所有可能取值为0，1，2，3，
， ，
， ,
所以 的分布列为
0 1 2 3
所以 .
（2）试用统计知识分析比较两考生的实验操作能力.
解：由（1）知 ，
，
， ，
，
所以， ，
故从正确完成实验操作的题数的均值方面分析，两人水平相当；从
正确完成实验操作的题数的方差方面分析，甲的水平更稳定；从至
少正确完成2道题的概率方面分析，甲通过的可能性更大.
因此甲的实验操作能力较强.
题型五 正态分布及其应用
［类型总述］（1）正态分布的直接应用;（2）利用正态分布的性质
求概率.
例5（1） （多选题）近年来，中国进入了一个鲜花消费的增长期，
某农户贷款承包了一个新型温室鲜花大棚，种植并销售红玫瑰和白
玫瑰．若这个大棚的红玫瑰和白玫瑰的日销量分别服从正态分布
和 ，则下列说法正确的是( )
(附：若随机变量服从正态分布 ，则
A.若红玫瑰的日销量范围在内的概率约是 ，则
红玫瑰日销量的平均数约为250
B.红玫瑰的日销量比白玫瑰的日销量更集中
C.白玫瑰的日销量比红玫瑰的日销量更集中
D.白玫瑰的日销量范围在内的概率约为
[解析] 对于A，可知，解得 ，故A正确；
对于B，C，方差越小，数据越集中， ，故B正确，C错误；
对于D，
，故D正确．故选 .
√
√
√
（2）某车间生产一批零件，现从中随机抽取10个零件，测得其内径
(单位： 分别为192，192，193，197，200，202，203，204，
208，209.设这10个数据的平均数为 ，标准差为 .
①求 和 .
解： .
，故 .
②假设这批零件的内径(单位：服从正态分布 ，若该车
间又新购一台设备，安装调试后，试生产了5个零件，测得其内径
(单位： 分别为181，190，198，204，213，如果你是该车间的
负责人，以原设备生产性能为标准，试根据 原则判断这台新设备
是否需要进一步调试？并说明你的理由.
附：若，则 ，
，
.
解：由题意得， ，
，
即 ，
又试生产的5个零件中有1个零件的内径不在 ，即
内，
所以根据 原则，这台新设备需要进一步调试.
变式1 [2022·新高考全国Ⅱ卷] 随机变量服从正态分布 ,若
,则 _____.
0.14
[解析] .
变式2 某市2024年初新建一家生产消毒液的工厂，质检部门现从这
家工厂中随机抽取了100瓶消毒液进行检测，得到该厂所生产的消毒
液的质量指标值的频率分布直方图，如图所示（同一组中的数据用
该区间的中点值作代表，视频率为概率）.
设该厂生产的消毒液的质量指标值近似地
服从正态分布，其中 为样本平均
数，并已经求得.现将消毒液分为
，， 三个等级，其中质量指标值不高
于14.55的为级，高于62.35的为级，其余为 级.
（1）该厂近期生产了10万瓶消毒液，试估计
其中 级消毒液的总瓶数.
解：根据频率分布直方图，可得 .
由题意知，该厂生产的消毒液的质量指标值 近似地服从正态分布，
即 ，
附：若，则
， ，
.
.
， 估计该厂所生产的这10万瓶消毒液
中， 级消毒液约有84 000瓶.
（2）已知每瓶消毒液的等级与售价 （单位：元/瓶）的关系如表所示：
等级 A B C
30 25 10
假定该厂一年消毒液的生产量为1000万瓶，且消毒液全都能销售出
去.若每瓶消毒液的成本为20元，工厂的总投资为2千万元（含引进生
产线、兴建厂房等一切费用在内），则该厂能否在一年之内收回投
资？试说明理由.
解：设每瓶消毒液的利润为元，则的可能取值为10，5， ，
可得 ，
，
，
每瓶消毒液的平均利润为
（元），
生产一年消毒液所获得的利润为 （千万元），
又， 该厂能在一年之内收回投资.
10 5
0.84
的分布列为