单元素养测评卷(二)A
1.D [解析] 对于①,在中午半小时内进入某食堂的人数Z1可以一一列举出来,故①是离散型随机变量;对于②,某元件长度的测量误差Z2不能一一列举出来,故②不是离散型随机变量;对于③,小明在一天中浏览网页的时间Z3不能一一列举出来,故③不是离散型随机变量;对于④,高一(2)班参加运动会的人数Z4可以一一列举出来,故④是离散型随机变量.故选D.
2.C [解析] 由题意得P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)=m=1,解得m=.故选C.
3.A [解析] 由E(X)=10p=2,得p=0.2.因为X~B(10,0.2),所以D(X)=10×0.2×(1-0.2)=1.6,所以D(2X-3)=4D(X)=4×1.6=6.4.故选A.
4.D [解析] 由题意可知事件A发生包含的情况为甲、乙两人恰有一人选择巫山小三峡或甲、乙两人都选择巫山小三峡,故事件A包含的样本点个数n(A)=+1=9,事件A,B同时发生包含的情况为甲、乙两人一人选择巫山小三峡,另一人选择其他景区,故事件AB包含的样本点个数n(AB)==8,故P(B|A)===.故选D.
5.B [解析] 因为X~N(60,σ2),P(X≤50)=0.010,所以P(X≥70)=P(X≤50)=0.010,所以该样本中续航里程不小于70公里的电动摩托车有1000×0.010=10(辆).故选B.
6.C [解析] 设A1=“失踪的飞机后来被找到”,A2=“失踪的飞机后来未被找到”,B=“安装有紧急定位传送器”,则P(A1)=0.7,P(A2)=0.3,P(B|A1)=0.6,P(B|A2)=1-0.9=0.1,一架安装有紧急定位传送器的飞机失踪,则它被找到的概率为P(A1|B)===.故选C.
7.B [解析] 设事件A=“小明爬到第4级台阶”,B=“小明走了3步”,事件A包含三种情况:①小明走了4步到第4级台阶,其概率为P1==;②小明走了3步到第4级台阶,其概率为P2=××=,即P(AB)=;③小明走了2步到第4级台阶,其概率为P3==.所以P(A)=P1+P2+P3=,故P(B|A)===.故选B.
8.D [解析] 由题可知,p=,E(Y)==6,E(X)=np=.因为E(Y)36,所以n的最小值为37.故选D.
9.ABD [解析] 设X=k(k=1,2,3,4)表示取出的螺丝钉恰有k只为好的,则P(X=k)=,∴P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=,P(X=4)=.故恰有1只是坏的的概率为P(X=3)=,4只全是好的的概率为,恰有2只是好的的概率为,至多有2只是坏的的概率为1-P(X=1)=.故选ABD.
10.ABD [解析] 由题可知X的所有可能取值为0,1,2,3,4,P(X=i)=(i=0,1,2,3,4),所以X服从超几何分布,故A正确;因为E(X)=4×=,E(Y)=4×=,所以E(X)+E(Y)=4,故B正确;Z=2X-Y=3X-4=8-3Y,故C错误;P(Z<0)=P(X=0)+P(X=1)=+=,故D正确.故选ABD.
11.ABD [解析] 设事件B=“零件为次品”,事件Ai=“零件是第i(i=1,2,3)台车床加工的”,则Ω=A1∪A2∪A3,且A1,A2,A3两两互斥.根据题意得,P(A1)==0.25,P(A2)==0.3,P(A3)==0.45,P(B|A1)=0.06,P(B|A2)=0.05,P(B|A3)=0.04,由全概率公式得P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)=0.25×0.06+0.3×0.05+0.45×0.04=0.048.该零件由第1台车床加工的概率为P(A1)=0.25,所以选项A正确.该零件为次品的概率为P(B)=0.048,所以选项B正确.若该零件为次品,则其由第1台车床加工的概率为P(A1|B)====0.312 5,同理可得若该零件为次品,则其由第2台车床加工的概率为P(A2|B)=0.312 5,若该零件为次品,则其由第3台车床加工的概率为P(A3|B)=0.375,所以若该零件为次品,则其由第3台车床加工的概率最大,所以选项C错误,选项D正确.故选ABD.
12.0.4 [解析] 由题意得,当Y=-2时,3X-2=-2,得X=0,所以P(Y=-2)=P(X=0)=1-P(X=1)=1-0.6=0.4.
13. 1 [解析] 由分布列的性质可知p∈,则E(X)=p+1∈,故E(X)的最大值为.D(X)=(p+1)2+p(p+1-1)2+(p+1-2)2=-p2-p+1=-+,又p∈,∴当p=0时,D(X)取得最大值1.
14. [解析] 由题意知X的所有可能取值为2,3,4,P(X=2)=+××2=,P(X=3)=×××2=,P(X=4)=×××2=,所以E(X)=2×+3×+4×=.
15.解:(1)用A1,A2分别表示第一次、第二次借阅“期刊杂志”,用B1,B2分别表示第一次、第二次借阅“文献书籍”,则P(A1)=P(B1)=,P(A2|A1)=,P(A2|B1)=,P(B2|B1)=,P(B2|A1)=.记两次借阅过程中恰有一次借阅“期刊杂志”为事件C,则P(C)=P(A1B2)+P(B1A2)=P(A1)·P(B2|A1)+P(B1)·P(A2|B1)=×+×=.
(2)在两次借阅过程中,第二次借阅的是“文献书籍”的概率为P(B2)=P(A1)·P(B2|A1)+P(B1)·P(B2|B1)=×+×=.
16.解:(1)甲在第三轮获胜包含的情况为第一、二、三轮甲全胜或第一轮甲负,第三轮甲胜.设Ai=“甲在第i(i∈N*)轮获胜”,则P(A2|A3)====.
(2)设事件Cn=“第n(n∈N*)轮比赛甲轮空”,则当n≥2时,P(Cn)=P(Cn-1Cn)+P(Cn)=P(Cn-1)P(Cn|Cn-1)+P()P(Cn|)=P()P(Cn|)=[1-P(Cn-1)],
∴P(Cn)-=-(n≥2),又P(C1)=0,∴是首项为-,公比为-的等比数列,则P(Cn)-=-,∴P(Cn)=-.
17.解:(1)从这批零件中随机选取1个,其长度在(1.4,1.6]内的概率P==,由题意知随机变量X服从二项分布B,X的可能取值为0,1,2,3,P(X=0)=×=,P(X=1)=××=,P(X=2)=××=,P(X=3)=×=,所以随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3
P
所以E(X)=0×+1×+2×+3×=2.
(2)由题意知μ=1.5,σ=0.1,P(1.3所以这批零件的长度Y满足近似于正态分布N(1.5,0.01)的概率分布,
所以认为这批零件是合格的,将顺利被该公司签收.
18.解:(1)设小明在此次活动中至少中二等奖为事件A,
则P(A)== .
(2)由题意可知X的所有可能取值为0,495,990,1485,b,P(X=0)==,P(X=495)==,P(X=990)==,P(X=1485)==,P(X=b)==,故X分布列为
X 0 495 990 1485 b
P
所以E(X)=0×+495×+990×+1485×+b×=662,解得b=2970,所以特等奖的奖金为2970元.
19.解:(1)由题意可知甲公司至少答对2道题目包括答对2道题和答对3道题两种情况,所以所求概率P=+=.
(2)设甲公司答对的题数为X,则X的所有可能取值为1,2,3,
P(X=1)==,P(X=2)==,P(X=3)==,
则X的分布列为
X 1 2 3
P
所以E(X)=1×+2×+3×=2,D(X)=(1-2)2×+(2-2)2×+(3-2)2×=.
设乙公司答对的题数为Y,则Y的所有可能取值为0,1,2,3,P(Y=0)=××=,P(Y=1)=××=,P(Y=2)=××=,P(Y=3)=××=,则Y的分布列为
Y 0 1 2 3
P
所以E(Y)=0×+1×+2×+3×=2,
D(Y)=(0-2)2×+(1-2)2×+(2-2)2×+(3-2)2×=.
因为E(X)=E(Y),D(X)[第七章]
(时间:120分钟 分值:150分)
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.[2024·重庆长寿区高二期中] 下面给出的四个随机变量中是离散型随机变量的是 ( )
①在中午半小时内进入某食堂的人数Z1;
②某元件长度的测量误差Z2;
③小明在一天中浏览网页的时间Z3;
④高一(2)班参加运动会的人数Z4.
A.①② B.③④
C.①③ D.①④
2.[2024·湖北黄冈高二期中] 设随机变量X的分布列为P(X=k)=m,k=1,2,3,4,则m的值为 ( )
A. B.
C. D.
3.[2024·河北张家口高二期中] 随机变量X~B(10,p),且E(X)=2,则D(2X-3)= ( )
A.6.4 B.12.8
C.25.6 D.3.2
4.[2024·四川眉山高二期中] 现有武隆喀斯特旅游区、巫山小三峡、南川金佛山、大足石刻和酉阳桃花源5个旅游景区,甲、乙随机选择其中一个景区游玩.记事件A=“甲和乙至少有一人选择巫山小三峡”,事件B=“甲和乙选择的景区不同”,则P(B|A)= ( )
A. B.
C. D.
5.某电动摩托车制造企业为了解其新研发的一款电动摩托车的续航里程(单位:公里)情况,随机抽查得到了1000个样本,根据统计,这款新型电动摩托车的续航里程X~N(60,σ2),若P(X≤50)=0.010,则该样本中续航里程不小于70公里的电动摩托车有 ( )
A.1辆 B.10辆
C.18辆 D.90辆
6.根据某机构对失踪飞机的调查得知:失踪的飞机中有70%后来被找到,在被找到的飞机中,有60%安装有紧急定位传送器,而未被找到的失踪飞机中,有90%未安装紧急定位传送器,紧急定位传送器是在飞机失事坠毁时发送信号,让搜救人员可以定位的装置.现有一架安装有紧急定位传送器的飞机失踪,则它被找到的概率为 ( )
A. B.
C. D.
7.[2024·辽宁大连高二期中] 小明爬楼梯每一步走1级台阶还是走2级台阶是随机的,且走1级台阶的概率为,走2级台阶的概率为.小明从楼梯底部开始往上爬,在小明爬到第4级台阶的条件下,他走了3步的概率是 ( )
A. B.
C. D.
8.在n重伯努利试验中,若每次试验中事件A发生的概率为p,则事件A发生的次数X服从二项分布B(n,p).事实上,在伯努利试验中,另一个随机变量的实际应用也很广泛,即事件A首次发生时试验进行的次数Y,显然P(Y=k)=p(1-p)k-1,k=1,2,3,…,我们称Y服从几何分布,经计算得E(Y)=,据此,若随机变量X服从二项分布B,且相应的Y服从几何分布,若E(Y)A.6 B.18
C.36 D.37
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.盒中有10只螺丝钉,其中有3只是坏的,现从盒中随机地抽取4只,那么下列事件中发生的概率不是的为 ( )
A.恰有1只是坏的
B.4只全是好的
C.恰有2只是好的
D.至多有2只是坏的
10.[2024·昆明高二期中] 某设备生产的10件产品中有6件一等品,4件二等品,现从中任取4件,记随机变量X为取出一等品的件数,随机变量Y为取出二等品的件数,若取出一件一等品得2分,取出一件二等品得-1分,随机变量Z为取出4件产品的总得分,则下列结论中正确的是 ( )
A.X服从超几何分布
B.E(X)+E(Y)=4
C.Z=3Y-4
D.P(Z<0)=
11.[2024·广州高二期中] 有3台车床加工同一型号的零件,第1,2,3台车床加工的次品率分别为6%,5%,4%,加工出来的零件混放在一起,第1,2,3台车床加工的零件数之比为5∶6∶9.现从三台车床加工的零件中任取一个,则 ( )
A.该零件由第1台车床加工的概率为0.25
B.该零件为次品的概率为0.048
C.若该零件为次品,则其由第2台车床加工的概率为0.375
D.若该零件为次品,则其由第3台车床加工的概率最大
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.已知随机变量X服从两点分布,且P(X=1)=0.6,设Y=3X-2,那么P(Y=-2)= .
13.若p为非负实数,随机变量X的分布列如下:
X 0 1 2
P -p p
则E(X)的最大值是 ,D(X)的最大值是 .
14.[2024·杭州高二期中] 一个盒子中有黑、白颜色的小球各3个,红色小球1个,每次从中随机取出一个,取出后不放回,当取出第二种颜色的小球时即停止.设停止取球时,取球的次数为X,则P(X=2)= ,E(X)= .
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)[2024·江苏常州高二期中] 为建设“书香校园”,学校图书馆对所有学生开放图书借阅,可借阅的图书分为“期刊杂志”与“文献书籍”两类,已知该校小明同学的图书借阅规律如下:第一次随机选择一类图书借阅,若前一次选择借阅“期刊杂志”,则下次也选择借阅“期刊杂志”的概率为,若前一次选择借阅“文献书籍”,则下次选择借阅“期刊杂志”的概率为.
(1)求小明同学在两次借阅过程中恰有一次借阅“期刊杂志”的概率;
(2)求小明同学在两次借阅过程中,第二次借阅的是“文献书籍”的概率.
16.(15分)水平相当的甲、乙、丙三人进行乒乓球擂台赛,每轮比赛都采用3局2胜制(不会出现平局,先贏2局者胜,比赛结束),首轮由甲、乙两人开始,丙轮空;第二轮在首轮的胜者与丙之间进行,首轮的负者轮空,依照这样的规则无限地继续下去.
(1)求甲在第三轮获胜的条件下,第二轮也获胜的概率;
(2)求第n(n∈N*)轮比赛甲轮空的概率.
17.(15分)某公司采购了一批零件,为了检测这批零件是否合格,从中随机抽测了120个零件的长度(单位:dm),按数据分成[1.2,1.3],(1.3,1.4],(1.4,1.5],(1.5,1.6],(1.6,1.7],(1.7,1.8]这6组,得到如下的频数分布表:
分组 [1.2,1.3] (1.3,1.4] (1.4,1.5] (1.5,1.6] (1.6,1.7] (1.7,1.8]
频数 5 15 40 40 15 5
以这120个零件的长度在各组的频率作为整批零件的长度在各组的概率.
(1)若从这批零件中随机抽取3个,记X为抽取的零件的长度在(1.4,1.6]内的个数,求X的分布列和数学期望.
(2)若变量S满足|P(μ-σ18.(17分)[2024·湖南邵阳高二期中] 某社区为奖励参加过社区举办的“我劳动,我光荣”公益性志愿活动的中小学生,举办了一场回馈志愿者福利活动,活动规则为:箱子中装有大小、质地完全相同且标有1,2,…,12的小球,从中任意抽取4个,凡选出的4个号码中含有1个或1个以上基本号码就能中奖(基本号码为2,3,5,8),根据基本号码个数的多少中奖的等级分为三等奖、二等奖、一等奖和特等奖,其所对应选中的基本号码个数分别为1,2,3,4.若小明是该社区的其中一名志愿者,并参加了本次回馈活动,据此回答下列问题:
(1)求小明在此次活动中至少中二等奖的概率;
(2)若三等奖、二等奖、一等奖、特等奖的奖金分别为495元,990元,1485元,b元,且小明在此次活动中获得的奖金数X的期望E(X)=662,则特等奖的奖金为多少
19.(17分)[2024·内蒙古赤峰高二期中] 某市拟建立一个博物馆,采取竞标的方式从多家建筑公司选取一家建筑公司,经过层层筛选,甲、乙两家建筑公司进入最后的招标.现从建筑设计院聘请专家设计了一个招标方案:两家公司从6个招标问题中随机抽取3个问题,已知这6个招标问题中,甲公司能正确回答其中4道题目,而乙公司能正确回答每道题目的概率均为,甲、乙两家公司对每题的回答都是相互独立的.
(1)求甲公司至少答对2道题目的概率;
(2)分别求甲、乙两家公司答对题数的分布列,请从期望和方差的角度分析,甲、乙两家哪家公司竞标成功的可能性更大
