单元素养测评卷(二)B
1.B [解析] 因为P(X≤c)=P(X>c),所以c=1,故选B.
2.B [解析] 因为X~B(n,p),所以E(X)=np,D(X)=np(1-p).因为Y=3X+1,所以E(Y)=3E(X)+1=3np+1=7,解得np=2,又D(Y)=9D(X)=9np(1-p)=12,所以18(1-p)=12,解得p=.故选B.
3.C [解析] 由题得P(X=2)=,P(Y=2)=,所以P(X=2)+P(Y=2)=.故选C.
4.D [解析] 由题意可知,P(A)=1-=1-=,P(AB)=2××=,所以P(B|A)===.故选D.
5.A [解析] 由题意可知,该同学通过测试的概率为×0.62×(1-0.6)+ ×0.63=0.648.故选A.
6.D [解析] 因为X~N(8,22),且P(6≤X≤10)≈,所以P(8≤X≤10)=≈,则P(X>10)≈-=.记事件A=“这艘轮船能正常航行10年以上”,则P(A)≈+××=,即这艘轮船能正常航行10年以上的概率约为.故选D.
7.A [解析] 根据题意知,X的可能取值为2450,1450,450,-550,且P(X=2450)==,P(X=1450)=××=,P(X=450)=××=,P(X=-550)=×=,∴E(X)=2450×+1450×+450×+(-550)×=1850.
8.B [解析] 设A=“向右下落”, =“向左下落”,则P(A)=P()=,因为小球最后落入格子的号码X等于事件A发生的次数,而小球下落的过程中共碰撞小木钉5次,所以X~B.对于A,P(X=0)==,故A中结论正确;对于B,P(X=5)==,故B中结论错误;对于C,E(X)=5×=,故C中结论正确;对于D,D(X)=5××=,故D中结论正确.故选B.
9.BCD [解析] 两点分布中每次试验的结果有两个,选项B,C,D满足题意.A中随机变量X的可能取值有6个,不服从两点分布.故选BCD.
10.ACD [解析] 对于A,由题意可得P(B|A)===,所以P(AB)=,故A正确;对于B,因为P(A)=,P(B)=,P(AB)=,所以P(AB)≠P(A)P(B),所以事件A,B不相互独立,故B错误;对于C,P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=+-=,故C正确;对于D,由全概率公式可得P(B)=P(A)·P(B|A)+P()·P(B|)=×+P(B|)=,解得P(B|)=,故D正确.故选ACD.
11.ABD [解析] 掷一枚质地均匀的骰子,奇数点向上的概率为,偶数点向上的概率也为.对于A,若两次移动后,小球位于“0”处,则小球在两次移动中一次向左一次向右,故其概率为×=,故A正确;对于B,X的可能取值为-n,-(n-2),…,n-2,n,且P(X=-n)=P(X=n),P(X=-n+2)=P(X=n-2),…,所以E(X)=-n×P(X=-n)+n×P(X=n)+(-n+2)×P(X=-n+2)+(n-2)×P(X=n-2)+…=0,故B正确;对于C,第一次掷骰子后小球位于“-1”处,即第一次向左移动,第五次掷骰子后小球位于“1”处,即小球在后续四次移动中三次向右一次向左,故其概率为××=,故C错误;对于D,设掷n次骰子后,小球向右移动的次数为变量Y,则Y~B,则D(Y)=n××=,由题意得X=-(n-Y)+Y=-n+2Y,则D(X)=22D(Y)=4×=n,故D正确.故选ABD.
12. [解析] 因为随机变量X的分布列为P(X=i)=a+(i=0,1,2),所以P(X=0)=a,P(X=1)=a+,P(X=2)=a+,所以a+a++a+=1,解得a=,所以X的分布列为
X 0 1 2
P
所以E(X)=0×+1×+2×=.
13.0.841 35 [解析] 由题意知X~N(34.3,4.32),所以P(X>30)=P(X>34.3-4.3)=P(X>μ-σ)=1-[1-P(μ-σ≤X≤μ+σ)]≈1-×(1-0.682 7)=0.841 35,所以这节电池可使用时间大于30小时的概率约为0.841 35.
14.18 [解析] 继续再进行80次抛掷试验,点数1出现的次数X服从二项分布,即X~B,由(n+1)p=81×==13.5及题中结论可知,当k=13时P(X=k)最大,即后面80次试验中出现13次点数1的概率最大,加上前面20次中的5次,所以点数1总共出现18次的概率最大.
15.解:(1)由已知得,共有10个球,其中黑球6个.
根据古典概型的概率公式可得,第1次取到黑球的概率为=.
(2)方法一:缩小样本空间法.
第1次取到黑球后,袋中剩余5个黑球,4个白球,根据古典概型的概率公式可得,在第1次取到黑球的条件下,第2次又取到黑球的概率为.
方法二:设A=“第1次取到黑球”,B=“第2次取到黑球”,则P(B|A)===.
16.解:比赛在第4局结束包含两种情况:①前3局中,甲队两胜一负,第4局甲队胜,概率为P1=×0.72×0.3×0.7=0.308 7;
②前3局中,甲队一胜两负,第4局甲队负,概率为P2=×0.32×0.7×0.3=0.056 7.
∴比赛在第4局结束的概率P=P1+P2=0.308 7+0.056 7=0.365 4.
17.解:(1)这50只大闸蟹的平均重量为×(170×3+190×2+210×15+230×20+250×7+270×3)=224(克),
所以估计这批大闸蟹的只数为100 000÷224≈446.
(2)X的可能取值为0,1,2,3,P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==,P(X=3)==.故X的分布列为
X 0 1 2 3
P
所以E(X)=0×+1×+2×+3×=.
18.解:(1)由题得Y~N,即Y~N(500,25),因为490=500-2×5,所以P(490≤Y≤510)≈0.954 5,所以P(Y≤490)≈=0.022 75.
(2)由(1)可得P(Y≤490)≈0.022 75,又希尔伯特经计算得到25份披萨质量的平均数为488.72 g,488.72<490,而0.022 75<0.05,所以“25份披萨质量的平均数为488.72 g”为小概率事件,小概率事件基本不会发生,
所以希尔伯特认为老板的说法不真实,这就是他举报该老板的理由.
19.解:(1)由频率分布表,得P(25≤X<29)=P(25≤X<27)+P(27≤X<29)=0.44+0.36=0.8.设在未来3年中,该河流的最高水位X在[25,29)内的年数为Y,因为每年该河流的最高水位相互独立,所以Y~B(3,0.8).
记事件A=“在未来3年中,至多有1年该河流的最高水位X在[25,29)内”,则P(A)=P(Y=0)+P(Y=1)=×(1-0.8)3+×0.8×(1-0.8)2=0.104,所以在未来3年中,至多有1年该河流的最高水位X在[25,29)内的概率为0.104.
(2)由题设得P(23≤X<25)=0.15,P(25≤X<29)=0.8,P(29≤X≤33)=0.05.
选择方案一.
用X1(单位:元)表示蔬菜年销售收入,则X1的分布列为
X1 40 000 120 000 0
P 0.15 0.8 0.05
所以E(X1)=40 000×0.15+120 000×0.8+0×0.05=102 000.
设蔬菜种植户每年所获利润为Y1元,则Y1=X1-60 000,所以E(Y1)=E(X1)-60 000=42 000.
选择方案二.
用X2(单位:元)表示蔬菜年销售收入,则X2的分布列为
X2 70 000 120 000 0
P 0.15 0.8 0.05
所以E(X2)=70 000×0.15+120 000×0.8+0×0.05=106 500.
设蔬菜种植户每年所获利润为Y2元,则Y2=X2-65 000,所以E(Y2)=E(X2)-65 000=41 500.
选择方案三.
用X3(单位:元)表示蔬菜年销售收入,则X3的分布列为
X3 70 000 120 000 70 000
P 0.15 0.8 0.05
所以E(X3)=70 000×0.15+120 000×0.8+70 000×0.05=110 000.
设蔬菜种植户每年所获利润为Y3元,则Y3=X3-67 000,所以E(Y3)=E(X3)-67 000=43 000.因为E(Y2)[第七章]
(时间:120分钟 分值:150分)
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.设随机变量X~N(1,32),若P(X≤c)=P(X>c),则c= ( )
A.0 B.1
C.2 D.3
2.已知随机变量X~B(n,p),随机变量Y=3X+1,若E(Y)=7,D(Y)=12,则p= ( )
A. B.
C. D.
3.一个班级共有30名学生,其中有10名女生,现从中任选3人代表班级参加学校开展的某项活动,假设选出的3名代表中的女生的人数为随机变量X,男生的人数为随机变量Y,则P(X=2)+P(Y=2)等于 ( )
A. B.
C. D.
4.[2024·哈尔滨高二期中] 甲、乙两名游客慕名来到哈尔滨旅游,分别准备从中央大街、圣索菲亚大教堂、太阳岛、东北虎林园、龙塔这5个景点中随机选一个游玩.设事件A=“两人至少有一人选择中央大街”,事件B=“两人选择的景点不同”,则P(B|A)= ( )
A. B.
C. D.
5.投篮测试中,每人投3次,至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6,且各次投篮是否投中相互独立,则该同学通过测试的概率为 ( )
A.0.648 B.0.432
C.0.36 D.0.312
6.某种型号的发动机每台的使用寿命X(单位:年)满足X~N(8,22),使用寿命与发动机是否运行无关.一艘轮船安装了2台这种型号的发动机,当其中一台出故障时,自动启用另一台工作,已知P(6≤X≤10)≈,则这艘轮船能正常航行10年以上的概率约为 ( )
A. B.
C. D.
7.某商家进行促销活动,促销方案是顾客每消费1000元,便可以获得奖券1张,每张奖券中奖的概率为,若中奖,则商家返还中奖的顾客现金1000元.小王购买一套价格为2400元的西服,只能得到2张奖券,于是小王补偿50元给一同事购买一件价格为600元的便服,这样小王就得到了3张奖券.设小王这次消费的实际支出为X元,则E(X)等于 ( )
A.1850 B.1720 C.1560 D.1480
8.如图是一块高尔顿板示意图,在一块木板上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉,小木钉之间留有适当的空隙作为通道,前面挡有一块玻璃,将小球从顶端放入,小球在下落过程中,每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下,最后落入底部的格子中,格子从左到右分别编号为0,1,2,3,4,5,用X表示小球落入格子的号码,则下列结论错误的是 ( )
A.P(X=0)= B.P(X=5)=
C.E(X)= D.D(X)=
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.下列问题中的随机变量服从两点分布的是 ( )
A.抛掷一枚质地均匀的骰子,所得点数为随机变量X
B.某射手射击一次,击中目标的次数为随机变量X
C.从装有5个红球,3个白球的袋中任取1个球,令随机变量X=
D.某医生做一次手术,手术成功的次数为随机变量X
10.[2024·常州高二期中] 已知事件A,B满足P(A)=,P(B)=,且P(B|A)=,则下列说法正确的是 ( )
A.P(AB)= B.事件A,B相互独立
C.P(A+B)= D.P(B|)=
11.某小游戏的规则如下:一个小球从数轴上的“0”处出发,掷一枚质地均匀的骰子,若是奇数点向上,则向左移动一个单位长度,若是偶数点向上,则向右移动一个单位长度.设掷n次骰子后,小球在数轴上对应的数为随机变量X,则下列结论正确的是 ( )
A.第二次掷骰子后,小球位于“0”处的概率为
B.E(X)=0
C.第一次掷骰子后小球位于“-1”处,且第五次掷骰子后小球位于“1”处的概率为
D.D(X)=n
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.[2024·郑州高二期中] 随机变量X的分布列为P(X=i)=a+(i=0,1,2),则E(X)= .
13.一批电池的使用寿命X(单位:小时)服从均值为34.3,标准差为4.3的正态分布,随机从这批电池中抽取一节,则这节电池可使用时间大于30小时的概率约为 .(附:若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5)
14.在一次以“二项分布的性质”为主题的数学探究活动中,某小组的学生表现优异,发现的正确结论得到老师和同学的一致好评.设随机变量X~B(n,p),记P(X=k)=pk=pk(1-p)n-k,k=0,1,2,…,n.在研究pk的最大值时,小组同学发现:若(n+1)p为不超过n的正整数,则当k=(n+1)p时,pk=pk-1,pk,pk-1均为最大值;若(n+1)p为不超过n的非整数,则当k取(n+1)p的整数部分时,pk是唯一的最大值.以此为理论基础,有同学重复抛掷一枚质地均匀的骰子并实时记录点数1出现的次数.当抛掷到第20次时,记录到此时点数1出现了5次.若继续再进行80次抛掷试验,则当抛掷到第100次时,点数1总共出现的次数为 的概率最大.
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)一袋中装有6个黑球,4个白球,如果不放回地依次取出2个球,求:
(1)第1次取到黑球的概率;
(2)在第1次取到黑球的条件下,第2次又取到黑球的概率.
16.(15分)甲、乙两队进行排球比赛,直到某队赢3局为止,假设每局比赛相互独立,且每局比赛甲队胜的概率为0.7(每局比赛均要分出胜负),求比赛在第4局结束的概率.
17.(15分)某水产品超市购进一批总重量为100千克的大闸蟹,随机抽取了50只统计其重量,得到的结果如下表所示:
规格 中蟹 大蟹 特大蟹
重量(克) [160,180) [180,200) [200,220) [220,240) [240,260) [260,280]
数量(只) 3 2 15 20 7 3
(1)同一组中数据用该组区间的中点值代替,估计该批大闸蟹有多少只(所得结果四舍五入保留整数);
(2)某顾客从抽取的10只特大蟹中随机购买了4只,记重量在区间[260,280]内的大闸蟹有X只,求X的分布列和均值.
18.(17分)[2024·广东惠州高二期中] 统计学中有如下结论:若X~N(μ,σ2),从X的取值中随机抽取k(k∈N*,k≥2)个数据,记这k个数据的平均数为Y,则随机变量Y~N.据传德国数学家希尔伯特喜欢吃披萨,他每天都会到同一家披萨店购买一份披萨.该披萨店的老板声称自己所出售的披萨的平均质量是500 g,上下浮动不超过25 g,这句话用数学语言表达就是:每个披萨的质量(单位:g)服从均值为500,标准差为25的正态分布.
(1)假设老板的说法是真实的,随机购买25份披萨,记这25份披萨质量的平均数为Y g,利用上述结论估计P(Y≤490);
(2)希尔伯特每天都会将买来的披萨称重并记录,25天后,得到的数据都落在(475,525)内,并经计算得到25份披萨质量的平均数为488.72 g,希尔伯特通过分析举报了该老板,试从概率角度说明希尔伯特举报该老板的理由.
附:①若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3;
②通常把发生概率小于0.05的事件称为小概率事件,小概率事件基本不会发生.
19.(17分)根据某水文观测点的历史统计数据,得到某河流每年的最高水位X(单位:m)的频率分布表,如表1所示:
表1
最高水位X(m) [23,25) [25,27) [27,29) [29,31) [31,33]
频率 0.15 0.44 0.36 0.04 0.01
将该河流每年的最高水位落入各组的频率视为概率,并假设每年该河流的最高水位相互独立.
(1)求在未来3年中,至多有1年该河流的最高水位X在[25,29)内的概率.
(2)该河流对沿河一蔬菜种植户的影响如下:当X∈[23,25)时,因河流水位较低,影响蔬菜正常灌溉,导致蔬菜干旱,造成损失;当X∈[29,33]时,因河流水位过高,导致蔬菜内涝,造成损失.假设该蔬菜种植户每年的蔬菜种植成本为60 000元,以下三个应对方案中应该选择哪一个,可使蔬菜种植户所获利润最大
方案一:不采取措施,蔬菜年销售收入情况如表2所示:
表2
最高水位X(m) [23,25) [25,29) [29,33]
蔬菜年销售收入(元) 40 000 120 000 0
方案二:只建设引水灌溉设施,每年需要建设费5000元,蔬菜年销售收入情况如表3所示:
表3
最高水位X(m) [23,25) [25,29) [29,33]
蔬菜年销售收入(元) 70 000 120 000 0
方案三:建设灌溉和排涝配套设施,每年需要建设费7000元,蔬菜年销售收入情况如表4所示:
表4
最高水位X(m) [23,25) [25,29) [29,33]
蔬菜年销售收入(元) 70 000 120 000 70 000
附:蔬菜种植户所获利润=蔬菜销售收入-蔬菜种植成本-建设费.
