滚动习题(三)
1.B [解析] 由题意知E(X)=10×0.5+(-11)×0.5=-0.5.
2.C [解析] 依题意,由|X-2|≤1,得1≤X≤3,即|X-2|≤1的对立事件是X=4,所以P(|X-2|≤1)=1-P(X=4)=1-=.故选C.
3.D [解析] 因为P(|A)=,所以由对立事件的概率计算公式可得P(B|A)=1-=,则P(AB)=P(A)·P(B|A)=×=,故选D.
4.D [解析] 对于A,由题可知每次投掷一枚质地均匀的骰子不会影响下一次掷出的骰子的点数,故第6次掷出的点数仍是偶数的概率为=,故A中说法正确;对于B,投掷两次包含的样本点共有6×6=36(个),点数之和为2包含1个样本点,点数之和为3包含2个样本点,点数之和为4包含3个样本点,点数之和为5包含4个样本点,点数之和为6包含5个样本点,点数之和为7包含6个样本点,点数之和为8包含5个样本点,点数之和为9包含4个样本点,点数之和为10包含3个样本点,点数之和为11包含2个样本点,点数之和为12包含1个样本点,所以投掷两次掷出的点数之和为7的概率最大,概率为=,故B中说法正确;对于C,投掷一枚质地均匀的骰子出现的各个点数的概率均为,所以投掷一次骰子出现的点数的期望为=,所以投掷十次,掷出的点数之和的期望为10×=35,故C中说法正确;对于D,投掷两次,至少有一次掷出的点数为3的概率为=,故D中说法错误.故选D.
5.D [解析] 因为随机变量X的分布列为P(X=k)=(k=1,2,5),所以由分布列的性质可知P(X=1)+P(X=2)+P(X=5)=++=1,解得a=1,所以P=P(X=1)+P(X=2)=,A中结论正确;E(X)=1×+2×+5×=2,则E(3X+1)=3E(X)+1=3×2+1=7,B中结论正确;D(X)=×(1-2)2+×(2-2)2+×(5-2)2=2,C中结论正确;D(3X+1)=9×D(X)=18,D中结论不正确.故选D.
6.A [解析] 设M=“从第一个盒子中取得标有字母A的球”,N=“从第一个盒子中取得标有字母B的球”,R=“第二次取出的球是红球”,则容易求得P(M)=,P(N)=,P(R|M)=,P(R|N)=,则P(R)=P(R|M)P(M)+P(R|N)P(N)=×+×==0.59.
7.A [解析] 根据题意,该考生发球次数为1的概率P(X=1)=p,发球次数为2的概率P(X=2)=p(1-p),发球次数为3的概率P(X=3)=(1-p)2,则E(X)=p+2p(1-p)+3(1-p)2=p2-3p+3.因为E(X)>1.75,所以p2-3p+3>1.75,解得p>或p<,结合p∈(0,1),可得p的取值范围为.故选A.
8.BC [解析] ∵P(A|B)=P(B|A)=,P(A)=,∴P(AB)=P(B|A)P(A)=×=,故A错误,B正确;∵P(A|B)=,∴P(B)==,故C正确,D错误.故选BC.
9.ABD [解析] 对于A,易知P(A2)=P(A1)P(A2|A1)+P()P(A2|)=×+×=,故A正确;对于D,易知P(A1|A2)===,故D正确;对于B,C,易知X的可能取值为0,1,2,则P(X=0)=×=,P(X=1)=×+×=,P(X=2)=×=,所以E(X)=0×+1×+2×=,D(X)=×+×+×=,故B正确,C错误.故选ABD.
10. [解析] 由Y=X2-2X=3,解得X =3或X=-1,所以P(Y=3)=P(X=-1)+P(X=3)=+=.
11. [解析] 恰有1名女生参加劳动学习的概率为=.至少有1名女生参加劳动学习,包括恰有1名女生参加劳动学习和恰有2名女生参加劳动学习,其概率为=,所以,在至少有1名女生参加劳动学习的条件下,恰有1名女生参加劳动学习的概率为=.
12.②④ [解析] ①抽取2次后停止取球的情况为“第1次取到黑球,第2次取到白球”,其概率为×=,故①错误;②停止取球时,取出的白球个数不少于黑球个数的情况为“白球1个,黑球0个,第1次取到白球”或“白球1个,黑球1个,第2次取到白球”,其概率为+×=,故②正确;③取球次数X的可能取值为1,2,3,P(X=1)==,P(X=2)=×=,P(X=3)=××=,所以X的分布列为
X 1 2 3
P
E(X)=1×+2×+3×==,则取球次数X的期望为,故③错误;④取球次数X的方差D(X)=×+×+×=,故④正确.故填②④.
13.解:(1)记事件A=“第1次拿出绿皮鸭蛋”,
易知P(A)=,即第1次拿出绿皮鸭蛋的概率为.
(2)记事件B=“第2次拿出绿皮鸭蛋”,
则可得P(AB)=×=,
由条件概率的计算公式可得P(B|A)==,
所以在第1次拿出绿皮鸭蛋的条件下,第2次拿出绿皮鸭蛋的概率为.
14.解:(1)记事件A=“小明考试前复习”,事件Bi=“小明通过第i次考试”(i=1,2,3),
则小明通过第1次考试的概率P(B1)=P(A)·P(B1|A)+P()·P(B1|)=0.5×0.3+0.5×0.1=0.2.
(2)易知X的可能取值为1,2,3,由上知P(X=1)=P(B1)=0.2,则P(X=2)=P(B2)=P(B2)P()=[P(A)P(B2|A)+P()P(B2|)]P()=(0.5×0.4+0.5×0.2)×(1-0.2)=0.24,
P(X=3)=1-P(X=1)-P(X=2)=0.56,
所以X的分布列为
X 1 2 3
P 0.2 0.24 0.56
15.解:(1)用X表示员工所获得的奖励额.
因为P(X=80)==,P(X=120)==,所以P(X=80)=P(X=120),
故员工获得80元奖励额与获得120元奖励额的概率相等.
(2)第一种方案:设员工所获得的奖励额为X1,则X1的可能取值为40,120,200,P(X1=40)==,P(X1=120)==,P(X1=200)==,所以X1的分布列为
X1 40 120 200
P
所以E(X1)=40×+120×+200×=120,D(X1)=(40-120)2×+(120-120)2×+(200-120)2×=.
第二种方案:设员工所获得的奖励额为X2,则X2的可能取值为80,120,160,P(X2=80)==,P(X2=120)==,P(X2=160)==,所以X2的分布列为
X2 80 120 160
P
所以E(X2)=80×+120×+160×=120,D(X2)=(80-120)2×+(120-120)2×+(160-120)2×=.又因为500E(X1)=500E(X2)=60 000,所以两种方案奖励额的数学期望都符合要求,但第二种方案的方差比第一种方案的小,故应选择第二种方案.滚动习题(三)
[范围7.1~7.3]
(时间:45分钟 分值:100分)
一、单项选择题(本大题共7小题,每小题5分,共35分)
1.甲击中目标的概率是0.5,若击中则赢10分,否则输11分,用X表示他的得分,则X的均值为 ( )
A.0.5 B.-0.5
C.1 D.5
2.设随机变量X的分布列为
X 1 2 3 4
P m
则P(|X-2|≤1)= ( )
A. B.
C. D.
3.已知A,B是一个随机试验中的两个事件,且P(A)=,P(|A)=,则P(AB)= ( )
A. B.
C. D.
4.投掷一枚质地均匀的骰子,下列说法中错误的是 ( )
A.在前5次掷出的点数都是偶数的条件下,第6次掷出的点数仍是偶数的概率为
B.投掷两次掷出的点数之和为7的概率最大
C.投掷十次,掷出的点数之和的期望为35
D.投掷两次,至少有一次掷出的点数为3的概率为
5.设随机变量X的分布列为P(X=k)=(k=1,2,5),E(X),D(X)分别为随机变量X的均值与方差,则下列结论不正确的是 ( )
A.P=
B.E(3X+1)=7
C.D(X)=2
D.D(3X+1)=6
6.把外形相同的球分装在三个盒子中,每盒10个,其中,第一个盒子中有7个球标有字母A,3个球标有字母B;第二个盒子中有红球和白球各5个;第三个盒子中有红球8个,白球2个.试验按如下规则进行:先在第一个盒子中任取一个球,若取得标有字母A的球,则在第二个盒子中任取一个球;若取得标有字母B的球,则在第三个盒子中任取一个球.若第二次取出的是红球,则称试验成功,则试验成功的概率为 ( )
A.0.59 B.0.41
C.0.48 D.0.64
7.已知排球发球考试规则如下:每位考生最多可发球3次,若发球成功,则停止发球,否则一直发到3次结束为止,每次发球相互独立.某考生一次发球成功的概率为p(0
1.75,则p的取值范围为 ( )
A. B.
C. D.
二、多项选择题(本大题共2小题,每小题6分,共12分)
8.设P(A|B)=P(B|A)=,P(A)=,则 ( )
A.P(AB)=
B.P(AB)=
C.P(B)=
D.P(B)=
9.某同学投篮2次,第1次的命中率为.若第1次命中,则第2次的命中率为;若第1次未命中,则第2次的命中率为.记Ai(i=1,2)为第i次命中,X为命中次数,则 ( )
A.P(A2)=
B.E(X)=
C.D(X)=
D.P(A1|A2)=
三、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分)
10.已知随机变量X的分布列为
X -2 -1 0 1 2 3
P
设Y=X2-2X,则P(Y=3)= .
11.某校高三(1)班第一小组有男生4人,女生2人,为提高中学生对劳动教育重要性的认识,现需从中抽取2人参加学校开展的劳动技能学习,则恰有1名女生参加劳动学习的概率为 ;在至少有1名女生参加劳动学习的条件下,恰有1名女生参加劳动学习的概率为 .
12.袋内有大小完全相同的2个黑球和3个白球,每次任取1个球(不放回),直至取到白球后停止取球.给出下列四个结论:①抽取2次后停止取球的概率为;②停止取球时,取出的白球个数不少于黑球个数的概率为;③取球次数X的期望为2;④取球次数X的方差为.其中所有正确结论的序号是 .
四、解答题(本大题共3小题,共38分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
13.(10分)坛子里放着5个大小、形状都相同的咸鸭蛋,其中有3个是绿皮的,2个是白皮的,如果不放回地依次拿出2个鸭蛋.
(1)求第1次拿出绿皮鸭蛋的概率;
(2)在第1次拿出绿皮鸭蛋的条件下,求第2次拿出绿皮鸭蛋的概率.
14.(13分)某种资格证考试,每位考生一年内最多有3次考试机会.一旦某次考试通过,便领取资格证书,不再参加以后的考试,否则就继续参加考试,直到用完3次机会.小明决定参加考试,如果考试前复习了,每次参加考试通过的概率依次为0.3,0.4,0.5,且每次考试是否通过相互独立;如果考试前不复习,每次参加考试通过的概率依次为0.1,0.2,0.3.考试前复习的概率为0.5,试求:
(1)小明通过第1次考试的概率;
(2)小明在一年内参加考试次数X的分布列.
15.(15分)某公司全年圆满完成预定的生产任务,为答谢各位员工一年来的锐意进取和辛勤努力,公司决定在联欢晚会后,通过摸奖券兑奖的方式对500位员工进行奖励,规定:每位员工从一个装有4张标有面值的奖券的箱子中,一次随机摸出2张奖券,奖券上所标的面值之和就是该员工所获得的奖励额.
(1)若箱子中所装的4张标有面值的奖券中有1张面值为80元,其余3张均为40元,试比较员工获得80元奖励额与获得120元奖励额的概率的大小关系.
(2)公司对奖励总额的预算是6万元,预定箱子中所装的4张标有面值的奖券有两种方案:第一种方案:2张面值20元和2张面值100元;第二种方案:2张面值40元和2张面值80元.为了使员工得到的奖励总额尽可能地符合公司的预算且每位员工所获得的奖励额相对均衡,请问选择哪一种方案比较好 并说明理由.(共32张PPT)
滚动习题（三）范围7.1~7.3
一、单项选择题（本大题共7小题，每小题5分，共35分）
1.甲击中目标的概率是，若击中则赢10分，否则输11分，用 表示
他的得分，则 的均值为( )
A.0.5 B. C.1 D.5
[解析] 由题意知
√
2.设随机变量 的分布列为
1 2 3 4
则 ( )
A. B. C. D.
[解析] 依题意，由，得,即 的对立事
件是，所以 .故选C.
√
3.已知,是一个随机试验中的两个事件，且, ，
则 ( )
A. B. C. D.
[解析] 因为 ，所以由对立事件的概率计算公式可得
，则 ，故选D.
√
4.投掷一枚质地均匀的骰子，下列说法中错误的是( )
A.在前5次掷出的点数都是偶数的条件下，第6次掷出的点数仍是偶
数的概率为
B.投掷两次掷出的点数之和为7的概率最大
C.投掷十次，掷出的点数之和的期望为35
D.投掷两次，至少有一次掷出的点数为3的概率为
√
[解析] 对于A，由题可知每次投掷一枚质地均匀的骰子不会影响下一次
掷出的骰子的点数，故第6次掷出的点数仍是偶数的概率为 ，故A
中说法正确；
对于B，投掷两次包含的样本点共有 （个），点数之和为2
包含1个样本点，点数之和为3包含2个样本点，点数之和为4包含3个样
本点，点数之和为5包含4个样本点，点数之和为6包含5个样本点，点数
之和为7包含6个样本点，点数之和为8包含5个样本点，点数之和为9包
含4个样本点，点数之和为10包含3个样本点，点数之和为11包含2个样
本点，点数之和为12包含1个样本点，
所以投掷两次掷出的点数之和为7的概率最大，概率为 ，
故B中说法正确；
对于C，投掷一枚质地均匀的骰子出现的各个点数的概率均为 ，所以
投掷一次骰子出现的点数的期望为 ，所以投掷十次，
掷出的点数之和的期望为 ，故C中说法正确；
对于D，投掷两次，至少有一次掷出的点数为3的概率为 ，
故D中说法错误.故选D.
5.设随机变量的分布列为，，
分别为随机变量 的均值与方差，则下列结论不正确的是( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 因为随机变量的分布列为 ，所以
由分布列的性质可知
，解得 ,
所以 ，A中结论正确；
，则
，B中结论正确；
，C中结论正确；
，D中结论不正确.故选D.
6.把外形相同的球分装在三个盒子中，每盒10个，其中，第一个盒子
中有7个球标有字母，3个球标有字母 ；第二个盒子中有红球和白
球各5个；第三个盒子中有红球8个，白球2个.试验按如下规则进行：
先在第一个盒子中任取一个球，若取得标有字母 的球，则在第二个
盒子中任取一个球；若取得标有字母 的球，则在第三个盒子中任取
一个球.若第二次取出的是红球，则称试验成功，则试验成功的概率
为( )
A.0.59 B.0.41 C.0.48 D.0.64
√
[解析] 设“从第一个盒子中取得标有字母A的球”， “从第一
个盒子中取得标有字母B的球”， “第二次取出的球是红球”，
则容易求得，，， ，
则 .
7.已知排球发球考试规则如下：每位考生最多可发球3次，若发球成
功，则停止发球，否则一直发到3次结束为止，每次发球相互独立.某
考生一次发球成功的概率为，发球次数为，且 的数
学期望，则 的取值范围为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 根据题意，该考生发球次数为1的概率 ，
发球次数为2的概率 ，
发球次数为3的概率 ，
则.
因为 ，所以，解得或，
结合，可得 的取值范围为 .故选A.
二、多项选择题（本大题共2小题，每小题6分，共12分）
8.设， ，则( )
A. B. C. D.
[解析] ， ，
,故A错误，B正确；
，，故C正确，D错误.故选 .
√
√
9.某同学投篮2次，第1次的命中率为 .若第1次命中，则第2次的命中
率为；若第1次未命中，则第2次的命中率为.记为第 次
命中， 为命中次数，则( )
A. B.
C. D.
√
√
√
[解析] 对于A，易知
，故A正确；
对于D，易知 ，故D正确；
对于B，C，易知的可能取值为0,1,2，则 ,
, ，所以
，
，故B正确，C错误.故选 .
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
10.已知随机变量 的分布列为
0 1 2 3
设，则 __.
[解析] 由，解得或 ，所以
.
11.某校高三（1）班第一小组有男生4人，女生2人，为提高中学生对
劳动教育重要性的认识，现需从中抽取2人参加学校开展的劳动技能
学习，则恰有1名女生参加劳动学习的概率为___；在至少有1名女生
参加劳动学习的条件下，恰有1名女生参加劳动学习的概率为__.
[解析] 恰有1名女生参加劳动学习的概率为 .
至少有1名女生参加劳动学习，包括恰有1名女生参加劳动学习和恰有
2名女生参加劳动学习，其概率为 ，所以，在至少有1名女生
参加劳动学习的条件下，恰有1名女生参加劳动学习的概率为 .
12.袋内有大小完全相同的2个黑球和3个白球，每次任取1个球
（不放回），直至取到白球后停止取球.给出下列四个结论：①抽取2
次后停止取球的概率为 ；②停止取球时，取出的白球个数不少于黑
球个数的概率为；③取球次数的期望为2；④取球次数 的方差为
.其中所有正确结论的序号是______.
②④
[解析] ①抽取2次后停止取球的情况为“第1次取到黑球，第2次取到
白球”，其概率为 ，故①错误；
②停止取球时，取出的白球个数不少于黑球个数的情况为“白球1个，
黑球0个，第1次取到白球”或“白球1个，黑球1个，第2次取到白球”，
其概率为，故②正确；
③取球次数 的可能取值为1，2，3,,
,,
1 2 3
,则取球次数的期望为 ，故
③错误；
④取球次数 的方差
,故④正确.故填②④.
所以 的分布列为
四、解答题（本大题共3小题，共38分.解答应写出必要的文字说
明、证明过程或演算步骤）
13.（10分）坛子里放着5个大小、形状都相同的咸鸭蛋，其中有3个
是绿皮的，2个是白皮的，如果不放回地依次拿出2个鸭蛋.
（1）求第1次拿出绿皮鸭蛋的概率；
解：记事件 “第1次拿出绿皮鸭蛋”，
易知，即第1次拿出绿皮鸭蛋的概率为 .
（2）在第1次拿出绿皮鸭蛋的条件下，求第2次拿出绿皮鸭蛋的概率.
解：记事件 “第2次拿出绿皮鸭蛋”，
则可得 ，
由条件概率的计算公式可得 ，
所以在第1次拿出绿皮鸭蛋的条件下，第2次拿出绿皮鸭蛋的概率为 .
14.（13分）某种资格证考试，每位考生一年内最多有3次考试机会.
一旦某次考试通过，便领取资格证书，不再参加以后的考试，否则
就继续参加考试，直到用完3次机会.小明决定参加考试，如果考试前
复习了，每次参加考试通过的概率依次为，， ，且每次考
试是否通过相互独立；如果考试前不复习，每次参加考试通过的概
率依次为，，.考试前复习的概率为 ，试求：
（1）小明通过第1次考试的概率；
解：记事件“小明考试前复习”，事件“小明通过第 次考试”
，
则小明通过第1次考试的概率
.
（2）小明在一年内参加考试次数 的分布列.
解：易知的可能取值为1,2,3，由上知 ，
则
，
，
所以 的分布列为
1 2 3
0.2 0.24 0.56
15.（15分）某公司全年圆满完成预定的生产任务，为答谢各位员工
一年来的锐意进取和辛勤努力，公司决定在联欢晚会后，通过摸奖
券兑奖的方式对500位员工进行奖励，规定：每位员工从一个装有4
张标有面值的奖券的箱子中，一次随机摸出2张奖券，奖券上所标的
面值之和就是该员工所获得的奖励额.
（1）若箱子中所装的4张标有面值的奖券中有1张面值为80元，其余
3张均为40元，试比较员工获得80元奖励额与获得120元奖励额的概
率的大小关系.
解：用 表示员工所获得的奖励额.
因为, ,所以
，
故员工获得80元奖励额与获得120元奖励额的概率相等.
（2）公司对奖励总额的预算是6万元，预定箱子中所装的4张标有面
值的奖券有两种方案：第一种方案：2张面值20元和2张面值100元；
第二种方案：2张面值40元和2张面值80元.为了使员工得到的奖励总
额尽可能地符合公司的预算且每位员工所获得的奖励额相对均衡，
请问选择哪一种方案比较好？并说明理由.
解：第一种方案：设员工所获得的奖励额为,则 的可能取值为40，
120，200，， ，
，
所以 的分布列为
40 120 200
所以 ，
.
第二种方案：设员工所获得的奖励额为，
则 的可能取值为80，120，160，
， ，
，
80 120 160
所以 ,
.
又因为 ，所以两种方案奖励额的数
学期望都符合要求，但第二种方案的方差比第一种方案的小，故应
选择第二种方案.
所以 的分布列为