滚动习题(四)
1.B [解析] 由0.2+0.5+m=1得m=0.3,∴E(X)=1×0.2+2×0.5+3×0.3=2.1,故选B.
2.B [解析] 由题意得=,即a(10-a)=16,解得a=2或a=8,故选B.
3.C [解析] 由题意,次品件数X服从二项分布,即X~B,故D(X)=4××=.
4.A [解析] ∵X~N(5,σ2),P(X>10-a)=0.4,∴P(X
5.D [解析] 依题意得a+b+c=1,则c=1-a-b,E(X)=-a+c=1-b-2a,D(X)=E(X2)-[E(X)]2=a+c-(c-a)2=a+c-[(c-a)2+4ac]+4ac=(a+c)-(a+c)2+4a(1-b-a)=(1-b)-(1-b)2+4a(1-b-a),令1-b=t,则t∈(0,1),D(X)=t-t2+4a(t-a)≤,a∈(0,t),故4a2-4at+t2-t+≥0对a∈(0,t)恒成立,当a=时,y=4a2-4at+t2-t+取得最小值,所以4-4··t+t2-t+≥0,所以t≤,即1-b≤,所以b≥,又06.D [解析] 由二项分布的概率公式可得P(X=2)=×0.22×0.8=0.096,故A错误;在7次射击中,击中目标的次数为X,且X~B(7,0.8),当X=k(k=0,1,…,7)时,对应的概率为P(X=k)=·0.8k·0.27-k,当k≥1,k∈N*时,=,由≥1可得1≤k≤,k∈N*,故当k=6时概率最大,故B错误;至少有一个黑球包含“一黑一红”和“两黑”两种情况,至少有一个红球包含“一黑一红”和“两红”两种情况,故至少有一个黑球与至少有一个红球不互斥,故C错误;设摸到红球的个数为k,则P(X=k)=(k=0,1,2,3,4,5),故满足超几何分布,故D正确.故选D.
7.D [解析] 因为该地水稻的株高X(单位:cm)近似服从正态分布N(80,102),所以μ=80,σ=10,σ2=100,所以A,B中说法均正确;因为P(|X-μ|≤3σ)≈0.997 3,所以P(50≤X≤110)≈0.997 3,所以P(X<110)≈(1-0.997 3)+0.997 3=0.998 65≈99.87%,所以C中说法正确;由P(|X-μ|≤σ)≈0.682 7得P(70≤X≤90)≈0.682 7,所以P(X>90)≈(1-0.682 7)=0.158 65≈15.87%,所以D中说法错误.故选D.
8.AB [解析] 随机变量X服从两点分布,其中P(X=0)=,∴P(X=1)=,E(X)=0×+1×=,D(X)=×+×=.在A中,P(X=1)=E(X),故A正确;在B中,E(3X+2)=3E(X)+2=3×+2=4,故B正确;在C中,D(3X+2)=9D(X)=9×=2,故C错误;在D中,D(X)=,故D错误.故选AB.
9.CD [解析] 对于A,X≤4且甲获得冠军有两种情况:X=3且甲获得冠军,X=4且甲获得冠军,X=3且甲获得冠军表示甲连胜三场,X=4且甲获得冠军表示第四场甲获胜且前三场中有两场甲获胜,所以X≤4且甲获得冠军的概率为+×××=,故A错误;对于B,有连续三场比赛都是乙胜包含三种情况:前三场比赛都是乙获胜,第一场比赛甲获胜接下来三场比赛都是乙获胜,前两场比赛甲获胜接下来三场比赛都是乙获胜,所以有连续三场比赛都是乙胜的概率为+×+×=,故B错误;对于C,X=4包含两种情况:比赛四场甲获得冠军,比赛四场乙获得冠军,所以P(X=4)=×××+×××=,故C正确;对于D,甲赢了第一场,乙获得冠军包含两种情况:第二至第四场都是乙获胜,第五场乙获胜且第二至第四场中有两场乙获胜,所以甲赢了第一场,乙获得冠军的概率为+×××=,因为>,所以若甲赢了第一场,则乙仍有超过50%的可能性获得冠军,故D正确.故选CD.
10.0.1 [解析] ∵随机变量X~B(2,p),∴P(X≥1)=1-(1-p)2=0.64,可得p=0.4.又Y~N(2,σ2),∴P(Y>4)=P(Y<0)=0.5-P(011. [解析] 依题意得X的可能取值为0,1,2,3,P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==,P(X=3)==,故E(X)=0×+1×+2×+3×==.
12.4.7 [解析] 任意选取1件产品,记事件B=“选取的产品为次品”,事件A1=“此件产品来自甲生产线”,事件A2=“此件产品来自乙生产线”,事件A3=“此件产品来自丙生产线”,由题意可得P(A1)==0.2,P(A2)==0.3,P(A3)==0.5,P(B|A1)=0.06,P(B|A2)=0.05,P(B|A3)=0.04,由全概率公式可得P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)=0.2×0.06+0.3×0.05+0.5×0.04=0.047,即从这三条生产线上随机任意选取1件产品为次品的概率为0.047.设任意选取的100件产品中,次品数为X,则X~B(100,0.047),则E(X)=100×0.047=4.7.
13.解:(1)记事件B=“小明获胜”,设事件A1,A2,A3分别表示小明与一、二、三类棋手相遇,由题可得,P(A1)==0.25,P(A2)==0.35,P(A3)==0.4,P(B|A1)=0.6,P(B|A2)=0.5,P(B|A3)=0.4.
由全概率公式可知P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)=0.25×0.6+0.35×0.5+0.4×0.4=0.485.
(2)由(1)及条件概率公式可得P(A1|B)====,所以如果小明获胜,与小明比赛的棋手为一类棋手的概率为.
14.解:(1)比赛结束时,恰好打了6局,甲获胜的概率为P1=×××=,恰好打了6局,乙获胜的概率为P2=×××=,所以比赛结束时恰好打了6局的概率为P=P1+P2=+=.
(2)由题知,X的所有可能取值为2,3,4,5,
P(X=2)==,P(X=3)=×××=,P(X=4)=×××+=,P(X=5)=×××+×××=,
所以X的分布列为
X 2 3 4 5
P
15.解:(1)由题知,Y的所有可能取值为0,1,2,
P(Y=0)==,P(Y=1)==,P(Y=2)==,所以Y的分布列为
Y 0 1 2
P
所以E(Y)=0×+1×+2×=.
(2)由题意可知,Z~B,则P(Z=k)=(k=0,1,2,3,4),故技术攻坚成功的概率为P(Z=3)+P(Z=4)=××+×=,D(Z)=4××=.
(3)记“至少有一个零件直径大于10.4 nm”为事件A,因为X~N(10,0.04),所以μ=10,σ=0.2,
所以P(X>10.4)=≈=0.022 75,所以P(X≤10.4)≈1-0.022 75=0.977 25,
所以P(A)=1-0.977 2510≈1-0.794 4=0.205 6,从而至少有一个零件直径大于10.4 nm的概率约为0.205 6.滚动习题(四)
[范围7.1~7.5]
(时间:45分钟 分值:100分)
一、单项选择题(本大题共7小题,每小题5分,共35分)
1.已知随机变量X的分布列为
X 1 2 3
P 0.2 0.5 m
则X的均值是 ( )
A.2 B.2.1
C.2.3 D.随m的变化而变化
2.10名同学中有a名女生,若从中随机抽取2个人作为学生代表,恰好抽到1名女生的概率为,则a等于 ( )
A.1 B.2或8
C.2 D.8
3.一批产品中,次品率为,现有放回地连续抽取4次,若抽取的次品件数记为X,则D(X)的值为 ( )
A. B.
C. D.
4.设随机变量X~N(5,σ2),若P(X>10-a)=0.4,则P(X≥a)= ( )
A.0.6 B.0.4
C.0.3 D.0.2
5.已知随机变量X的分布列为
X -1 0 1
P a b c
其中a,b,c>0.若X的方差D(X)≤对任意a∈(0,1-b)都成立,则 ( )
A.0C.≤b<1 D.≤b<1
6.[2024·浙江湖州中学高二期中] 下列说法正确的是 ( )
A.随机变量X~B(3,0.2),则P(X=2)=0.032
B.在7次射击中,击中目标的次数为X,且X~B(7,0.8),则当X=5时概率最大
C.从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球,至少有一个黑球与至少有一个红球是两个互斥而不对立的事件
D.从10个红球和20个白球(除颜色外完全相同)中,一次摸出5个球,则摸到红球的个数服从超几何分布
7.“杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究,为我国粮食安全、农业科学发展和世界粮食供给作出了杰出贡献.某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高,得出株高X(单位:cm)近似服从正态分布N(80,102).已知X~N(μ,σ2)时,有P(|X-μ|≤σ)≈0.682 7,P(|X-μ|≤2σ)≈0.954 5,P(|X-μ|≤3σ)≈0.997 3,则下列说法错误的是 ( )
A.该地水稻的平均株高约为80 cm
B.该地水稻株高的方差约为100
C.该地株高低于110 cm的水稻约占99.87%
D.该地株高超过90 cm的水稻约占34.14%
二、多项选择题(本大题共2小题,每小题6分,共12分)
8.若随机变量X服从两点分布,其中P(X=0)=,E(X),D(X)分别为随机变量X的均值与方差,则下列结论正确的是 ( )
A.P(X=1)=E(X)
B.E(3X+2)=4
C.D(3X+2)=4
D.D(X)=
9.围棋的棋理博大精深,蕴含着中华文化的丰富内涵,是中华文化与文明的体现.在某次围棋比赛中,甲、乙两人进行最后的决赛,比赛采取五场三胜制,即先胜三场的一方获得冠军,比赛结束.假设每场比赛甲胜乙的概率都为,且没有和棋,每场比赛的结果互不影响,记决赛的比赛总场数为X,则下列结论正确的是 ( )
A.X≤4且甲获得冠军的概率是
B.有连续三场比赛都是乙胜的概率是
C.P(X=4)=
D.若甲赢了第一场,则乙仍有超过50%的可能性获得冠军
三、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分)
10.已知随机变量X~B(2,p),Y~N(2,σ2),若P(X≥1)=0.64,P(04)= .
11.一个口袋中有7个大小相同的球,其中红球3个,黄球2个,绿球2个.现从该口袋中任取3个球,设取出红球的个数为X,则E(X)= .
12.某工厂有甲、乙、丙三条生产线同时生产同一产品,这三条生产线生产产品的次品率分别为6%,5%,4%,假设这三条生产线产品产量之比为2∶3∶5,现从这三条生产线上随机任意选取100件产品,则次品数的数学期望为 .
四、解答题(本大题共3小题,共38分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
13.(10分)某地举办了一次地区性的中国象棋比赛,小明作为选手参加.除小明外的其他参赛选手中,一、二、三类棋手的人数之比为5∶7∶8,小明与一、二、三类棋手比赛获胜的概率分别是0.6,0.5,0.4.从参赛选手中随机抽取一位棋手与小明比赛.
(1)求小明获胜的概率;
(2)如果小明获胜,求与小明比赛的棋手为一类棋手的概率.
14.(13分)[2024·浙江嘉兴八校联盟高二期中] 为落实“坚持五育并举,全面发展素质教育,强化体育锻炼”的精神,某学校鼓励学生自发组织各项体育比赛活动.甲、乙两名同学利用课余时间进行乒乓球比赛,规定:每局比赛中获胜方记1分,失败方记0分,没有平局.首先获得5分者获胜,比赛结束.假设每局比赛甲获胜的概率都是,各局比赛的结果相互独立.
(1)求比赛结束时恰好打了6局的概率;
(2)若甲以3∶1的比分领先,记X表示到结束比赛时还需要比赛的局数,求X的分布列.
15.(15分)为深入推进传统制造业改造提升,依靠创新引领产业升级,某企业对现有生产设备进行技术攻坚突破.
(1)现有旧设备生产的零件10个,其中直径大于10 nm的有2个,现从这10个零件中随机抽取3个,记Y表示取出的零件中直径大于10 nm的零件的个数,求Y的分布列及数学期望E(Y);
(2)技术攻坚突破后设备生产的零件的合格率为,每个零件是否合格相互独立,现任取4个零件进行检测,若合格的零件数Z超过半数,则可认为技术攻坚成功,求技术攻坚成功的概率及Z的方差;
(3)若技术攻坚后设备生产的零件直径(单位:nm)X~N(10,0.04),从生产的零件中随机取出10个,求至少有一个零件直径大于10.4 nm的概率.
参考数据:若X~N(μ,σ2),则P(|X-μ|≤σ)≈0.682 7,P(|X-μ|≤2σ)≈0.954 5,P(|X-μ|≤3σ)≈0.997 3,0.977 2510≈0.794 4,0.954 510≈0.627 7.(共34张PPT)
滚动习题（四）范围7.1~7.5
一、单项选择题（本大题共7小题，每小题5分，共35分）
1.已知随机变量 的分布列为
1 2 3
0.2 0.5
则 的均值是( )
A.2 B.2.1
C.2.3 D.随 的变化而变化
[解析] 由得 ，
，故选B.
√
2.10名同学中有 名女生，若从中随机抽取2个人作为学生代表，恰
好抽到1名女生的概率为，则 等于( )
A.1 B.2或8 C.2 D.8
[解析] 由题意得，即，解得 或
，故选B.
√
3.一批产品中，次品率为 ，现有放回地连续抽取4次，若抽取的次品
件数记为，则 的值为( )
A. B. C. D.
[解析] 由题意，次品件数服从二项分布，即 ，故
.
√
4.设随机变量，若，则
( )
A.0.6 B.0.4 C.0.3 D.0.2
[解析] ，， ，则
，故选A.
√
5.已知随机变量 的分布列为
0 1
其中,,.若的方差对任意 都成立,则
( )
A. B. C. D.
√
[解析] 依题意得,则 , ,
,
令 ,则,, ,故
对恒成立,
当 时, 取得最小值,所以,所以,即,所以 ,
又，所以 ，故选D.
6.[2024·浙江湖州中学高二期中]下列说法正确的是( )
A.随机变量，则
B.在7次射击中，击中目标的次数为，且，则当
时概率最大
C.从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，至少有一个黑球与
至少有一个红球是两个互斥而不对立的事件
D.从10个红球和20个白球（除颜色外完全相同）中，一次摸出5个球，
则摸到红球的个数服从超几何分布
√
[解析] 由二项分布的概率公式可得
，故A错误；
在7次射击中，击中目标的次数为，且，
当 时，对应的概率为，
当， 时，，
由可得,，故当 时概率最大，故B错误；
至少有一个黑球包含“一黑一红”和“两黑”两种情况，至少有一个红
球包含“一黑一红”和“两红”两种情况，故至少有一个黑球与至少有
一个红球不互斥，故C错误；
设摸到红球的个数为 ，则 ，
故满足超几何分布，故D正确.故选D.
7.“杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究，为我国粮
食安全、农业科学发展和世界粮食供给作出了杰出贡献．某杂交水
稻种植研究所调查某地水稻的株高，得出株高（单位： ）近似
服从正态分布．已知 时，有
， ，
，则下列说法错误的是( )
A.该地水稻的平均株高约为
B.该地水稻株高的方差约为100
C.该地株高低于的水稻约占
D.该地株高超过的水稻约占
√
[解析] 因为该地水稻的株高（单位： ）近似服从正态分布
，所以，， ，所以A，B中说法均
正确；
因为 ，所以 ，
所以 ，
所以C中说法正确；
由 得 ，所以
，所以D中说法错
误．故选D.
二、多项选择题（本大题共2小题，每小题6分，共12分）
8.若随机变量服从两点分布，其中，， 分别
为随机变量 的均值与方差，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
√
√
[解析] 随机变量服从两点分布，其中 ，，
，.
在A中， ，故A正确；
在B中， ，故B正确；
在C中， ，故C错误；
在D中，，故D错误.故选 .
9.围棋的棋理博大精深，蕴含着中华文化的丰富内涵，是中华文化与
文明的体现.在某次围棋比赛中，甲、乙两人进行最后的决赛，比赛
采取五场三胜制，即先胜三场的一方获得冠军，比赛结束.假设每场
比赛甲胜乙的概率都为 ，且没有和棋，每场比赛的结果互不影响，
记决赛的比赛总场数为 ，则下列结论正确的是( )
A.且甲获得冠军的概率是
B.有连续三场比赛都是乙胜的概率是
C.
D.若甲赢了第一场，则乙仍有超过 的可能性获得冠军
√
√
[解析] 对于A，且甲获得冠军有两种情况: 且甲获得冠
军，且甲获得冠军， 且甲获得冠军表示甲连胜三场，
且甲获得冠军表示第四场甲获胜且前三场中有两场甲获胜，所
以且甲获得冠军的概率为 ，故A错误;
对于B，有连续三场比赛都是乙胜包含三种情况：前三场比赛都是乙
获胜，第一场比赛甲获胜接下来三场比赛都是乙获胜，前两场比赛
甲获胜接下来三场比赛都是乙获胜，所以有连续三场比赛都是乙胜
的概率为 ，故B错误;
对于C， 包含两种情况:比赛四场甲获得冠军，比赛四场乙获得
冠军，所以 ，故
C正确；
对于D，甲赢了第一场，乙获得冠军包含两种情况：第二至第四场都
是乙获胜，第五场乙获胜且第二至第四场中有两场乙获胜，所以甲赢
了第一场，乙获得冠军的概率为 ，因为
，所以若甲赢了第一场，则乙仍有超过 的可能性获得
冠军，故D正确.故选 .
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
10.已知随机变量，，若 ，
，则 ____.
0.1
[解析] 随机变量， ，
可得.
又 ，
.
11.一个口袋中有7个大小相同的球，其中红球3个，黄球2个，绿球2
个.现从该口袋中任取3个球，设取出红球的个数为，则 __.
[解析] 依题意得的可能取值为0,1,2,3， ，
，， ，
故 .
12.某工厂有甲、乙、丙三条生产线同时生产同一产品，这三条生产
线生产产品的次品率分别为，， ，假设这三条生产线产品
产量之比为 ，现从这三条生产线上随机任意选取100件产品，
则次品数的数学期望为____.
4.7
[解析] 任意选取1件产品，记事件 “选取的产品为次品”，事件
“此件产品来自甲生产线”，事件 “此件产品来自乙生产线”，
事件“此件产品来自丙生产线”，
由题意可得 ，，，
，，，
由全概率公式可得 ，
即从这三条生产线上随机任意选取1件产品为次品的概率为0.047.
设任意选取的100件产品中，次品数为，则 ，则
.
四、解答题（本大题共3小题，共38分.解答应写出必要的文字说
明、证明过程或演算步骤）
13.（10分）某地举办了一次地区性的中国象棋比赛，小明作为选手
参加.除小明外的其他参赛选手中，一、二、三类棋手的人数之比为
，小明与一、二、三类棋手比赛获胜的概率分别是， ，
.从参赛选手中随机抽取一位棋手与小明比赛.
（1）求小明获胜的概率；
解：记事件“小明获胜”，设事件，， 分别表示小明与一、
二、三类棋手相遇，
由题可得， ，，
， ，， .
由全概率公式可知
.
（2）如果小明获胜，求与小明比赛的棋手为一类棋手的概率.
解：由（1）及条件概率公式可得
，所以如果小明获胜，
与小明比赛的棋手为一类棋手的概率为 .
14.（13分）[2024·浙江嘉兴八校联盟高二期中] 为落实“坚持五育并
举，全面发展素质教育，强化体育锻炼”的精神，某学校鼓励学生自
发组织各项体育比赛活动.甲、乙两名同学利用课余时间进行乒乓球
比赛，规定：每局比赛中获胜方记1分，失败方记0分，没有平局.首
先获得5分者获胜，比赛结束.假设每局比赛甲获胜的概率都是 ，各
局比赛的结果相互独立.
（1）求比赛结束时恰好打了6局的概率；
解：比赛结束时，恰好打了6局，甲获胜的概率为
，
恰好打了6局，乙获胜的概率为 ，
所以比赛结束时恰好打了6局的概率为
.
（2）若甲以的比分领先，记 表示到结束比赛时还需要比赛的局
数，求 的分布列.
解：由题知， 的所有可能取值为2，3，4，5，
， ，
，
，
所以 的分布列为
2 3 4 5
15.（15分）为深入推进传统制造业改造提升，依靠创新引领产业升
级，某企业对现有生产设备进行技术攻坚突破.
（1）现有旧设备生产的零件10个，其中直径大于 的有2个，现
从这10个零件中随机抽取3个，记 表示取出的零件中直径大于
的零件的个数，求的分布列及数学期望 ；
解：由题知， 的所有可能取值为0，1，2，
，， ，
所以 的分布列为
0 1 2
所以 .
（2）技术攻坚突破后设备生产的零件的合格率为 ，每个零件是否
合格相互独立，现任取4个零件进行检测，若合格的零件数 超过半
数，则可认为技术攻坚成功，求技术攻坚成功的概率及 的方差；
解：由题意可知， ，则
，
故技术攻坚成功的概率为
， .
（3）若技术攻坚后设备生产的零件直径(单位： ，
从生产的零件中随机取出10个，求至少有一个零件直径大于
的概率.
参考数据：若，则 ，
， ，
， .
解：记“至少有一个零件直径大于”为事件 ，因为
，所以， ，
所以 ，所以
，
所以 ，从而至少有一
个零件直径大于的概率约为 .