习题课 条件概率与全概率公式
1.D [解析] 事件A包含的样本点有(1,3),(2,2),(3,1),共3个,事件AB包含的样本点有(1,3),(3,1),共2个,所以P(B|A)==.故选D.
2.D [解析] 由题意可知P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=+-P(AB)=,所以P(AB)=,故A,B错误;P(B|A)===,故D正确,C错误.故选D.
3.B [解析] 记事件A=“第一次摸出红球”,事件B=“第二次摸出黄球”,则P(A)=,P(B|A)=,由条件概率的计算公式得P(B|A)=,则P(AB)=P(B|A)×P(A)=×=.故选B.
4.B [解析] 设事件A1=“第一次取到黑球”,事件A2=“第一次取到白球”,事件B=“第二次取到黑球”,则P(A1)=,P(A2)=,P(B|A1)=,P(B|A2)==,所以P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)=×+×=.故选B.
5.A [解析] 由题意,P(B|C)==,由A,B是互斥事件知,P(A∪B|C)=P(A|C)+P(B|C),所以P(A|C)=P(A∪B|C)-P(B|C)=-=.故选A.
6.B [解析] 设事件B1=“被保险人是‘谨慎的’”,事件B2=“被保险人是‘一般的’”,事件B3=“被保险人是‘冒失的’”,则依题意可知P(B1)=0.2,P(B2)=0.5,P(B3)=0.3.设事件A=“被保险人在一年内发生事故”,则P(A|B1)=0.05,P(A|B2)=0.15,P(A|B3)=0.30,所以由全概率公式得P(A)=P(B1)·P(A|B1)+P(B2)·P(A|B2)+P(B3)·P(A|B3)=0.2×0.05+0.5×0.15+0.3×0.30=0.175.故选B.
7.B [解析] 设A=“丢掉1个小球后任取2个小球均为红球”,B1=“丢掉的小球为红球”,B2=“丢掉的小球为黑球”,则P(B1)=P(B2)=,P(A|B1)==,P(A|B2)==,由全概率公式可得P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)=×+×=,所以P(B1|A)====.故选B.
8.ABC [解析] 对于A,P(AB)=P(B|A)P(A)=0.4×0.7=0.28,则P(A|B)===0.7,故A正确;对于B,P(B)=P(B|A)P(A)+P(B|)P(),即0.4=P(B|A)×0.7+0.4×0.3,所以P(B|A)=0.4,则P(A|B)====0.7,P(A)=P(A|B)P(B)+P(A|)P(),即0.7=0.7×0.4+P(A|)×0.6,则P(A|)=0.7,故B正确;对于C,P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB),即0.7+0.4-P(AB)=0.8,则P(AB)=0.3,所以P(B|A)===,故C正确;对于D,P()=P(|)P()+P(|B)P(B),即0.3=0.3×0.6+P(|B)×0.4,则P(|B)=0.3,所以P(A|B)=1-0.3=0.7,则P(AB)=P(A|B)P(B)=0.7×0.4=0.28,故D错误.故选ABC.
9.ACD [解析] 记红球为1球,黄球为2球,绿球为3球,记事件Ai,Bi分别表示第一次、第二次取到i球,i=1,2,3.对于选项A,在第一次抽到绿球的条件下,第二次抽到绿球的概率是P(B3|A3)===,所以选项A正确.对于选项B,因为P(A1)=,P(A2)=P(A3)=,P(B1|A1)=,P(B1|A2)=,P(B1|A3)=,所以由全概率公式知P(B1)=P(Ai)P(B1|Ai)=×+××2=,所以选项B错误.对于选项C,如果第二次抽到红球,那么它来自黄色盒子的概率为P(A2|B1)====,所以选项C正确.对于选项D,若小明获得4块月饼,则可能的情况有三种:①第一次从红色盒子内抽到红球,第二次从红色盒子内抽到绿球,其概率为P(A1)P(B3|A1)=×=;②第一次从红色盒子内抽到绿球,第二次从绿色盒子内抽到红球,其概率为P(A3)P(B1|A3)=×=;③第一次从红色盒子内抽到黄球,第二次从黄色盒子内抽到黄球,其概率为P(A2)P(B2|A2)=×=.所以小明最终获得4块月饼的概率是++=,故选项D正确.故选ACD.
10.0.12 [解析] ∵P(B|A)=P(B),∴A,B相互独立,进而可知B,也相互独立.∵P()=0.6,∴P(A)=1-P()=1-0.6=0.4.∵P(B|)=0.3,∴P(B)=0.3,∴P(A∩B)=P(A)P(B)=0.4×0.3=0.12.
11. [解析] P(A|B)的含义是在事件B发生的条件下,事件A发生的概率,即在事件“至少出现一个6点”发生的条件下,事件“三个点数都不相同”发生的概率.因为至少出现一个6点有6×6×6-5×5×5=91(种)情况,至少出现一个6点且三个点数都不相同有×5×4=60(种)情况,所以P(A|B)=.P(B|A)的含义是在事件A发生的条件下,事件B发生的概率,即在事件“三个点数都不相同”发生的条件下,事件“至少出现一个6点”发生的概率.因为三个点数都不相同有6×5×4=120(种)情况,所以P(B|A)=.
12. [解析] 若奖品在1号箱里,则主持人可打开2,3号箱,故P(B3|A1)=;若奖品在2号箱里,则主持人打开3号箱的概率为1,故P(B3|A2)=1;若奖品在3号箱里,则主持人只能打开2号箱,故P(B3|A3)=0.由全概率公式可得P(B3)=P(Ai)·P(B3|Ai)=×=,所以P(A2|B3)===.
13.解:(1)设事件Ai=“甲第i次从B箱中抽到论述题”,i=1,2,则P(A1)=,P()=,P(A2|A1)=,P(A2|)==.
由全概率公式得,第2道题抽到论述题的概率为P(A2)=P(A1)P(A2|A1)+P()P(A2|)=×+×=.
(2)设事件A=“丙从B箱中抽取的第1道题是选择题”,事件B1=“乙从A箱中取出2道选择题”,事件B2=“乙从A箱中取出1道选择题和1道论述题”,事件B3=“乙从A箱中取出2道论述题”,则B1,B2,B3两两互斥,P(B1)==,P(B2)==,P(B3)==,
P(A|B1)=,P(A|B2)=,P(A|B3)=,所以丙抽取的第1道题是选择题的概率为P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+P(B3)P(A|B3)=×+×+×=.
14.解:设事件Ai=“第i个人抽到入场券”(i=1,2,3,4,5),则=“第i个人未抽到入场券”,由题意可得,P(A1)=,P()=,也就是说,第1个人抽到入场券的概率是.
若第2个人抽到了入场券,则第1个人肯定没抽到,即A2=A2,因此P(A2)=P(A2)=P()P(A2|)=×=.
若第3个人抽到了入场券,则第1个、第2个人都没有抽到,即A3=A3,因此P(A3)=P(A3)=P()P(|)P(A3|)=××=.
同理可得P(A4)=P(A4)=P()P(|)P(|)P(A4|)=,
P(A5)=P(A5)=P()P(|)P(|)P(|)P(A5|)=.
也就是说,每个人抽到入场券的概率都是.
因此,后抽比先抽的不吃亏,抽签不必争先恐后.
15.解:(1)设摸球一次,“选到甲袋”为事件A1,“选到乙袋”为事件A2,“摸出白球”为事件B1,“摸出红球”为事件B2,
则P(B1)=P(A1)P(B1|A1)+P(A2)P(B1|A2)=×+×=,所以首次摸球就试验结束的概率为.
(2)①因为B1,B2是对立事件,所以P(B2)=1-P(B1)=,所以P(A2|B2)===,
所以选到的袋子为乙袋的概率为.
②由①,得P(A1|B2)=1-P(A2|B2)=1-=,
所以选择方案一使第二次摸球就试验结束的概率为P1=P(A1|B2)P(B1|A1)+P(A2|B2)P(B1|A2)=×+×=,
选择方案二使第二次摸球就试验结束的概率为P2=P(A2|B2)P(B1|A1)+P(A1|B2)P(B1|A2)=×+×=,因为>,所以选择方案二能使第二次摸球就试验结束的概率更大.习题课 条件概率与全概率公式
一、选择题
1.抛掷一枚质地均匀的骰子两次,记A=“两次的点数之和为4”,B=“两次的点数均为奇数”,则P(B|A)= ( )
A. B. C. D.
2.[2024·江苏南通高二期中] 设A,B是一个随机试验中的两个事件,且P(A)=,P(B)=,P(A+B)=,则下列说法正确的是 ( )
A.P(AB)= B.P(AB)=
C.P(B|A)= D.P(B|A)=
3.一个不透明的箱子中装有若干个除颜色外完全相同的白球、红球和黄球,每次摸出1个球,摸出后不放回.若第一次摸出红球的概率为,在第一次摸出红球的条件下,第二次摸出黄球的概率为,则第一次摸出红球且第二次摸出黄球的概率为 ( )
A. B. C. D.
4.[2024·东莞高级中学高二月考] 袋中装有10个除颜色外完全相同的球,其中3个黑球、7个白球,每次取出1个球,不放回地取两次,则第二次取到黑球的概率为 ( )
A. B. C. D.
5.已知A,B是互斥事件,且P(A∪B|C)=,P(BC)=,P(C)=,则P(A|C)的值为 ( )
A. B. C. D.
6.某保险公司将其公司的被保险人分为三类:“谨慎的”“一般的”“冒失的”.统计资料表明,这三类人在一年内发生事故的概率依次为0.05,0.15,0.30.若该保险公司的被保险人中“谨慎的”被保险人占20%,“一般的”被保险人占50%,“冒失的”被保险人占30%,则该保险公司的一个被保险人在一年内发生事故的概率是 ( )
A.0.155 B.0.175 C.0.01 D.0.096
7.[2024·河北示范性高中高二期中] 小明在某不透明的盒子中放入4红4黑共8个除颜色外完全相同的小球,随机摇晃后,小明从中取出1个小球丢掉(未看被丢掉小球的颜色).现从剩下7个小球中取出2个小球,结果都是红球,则丢掉的小球也是红球的概率为 ( )
A. B. C. D.
8.(多选题)[2024·重庆实验外国语学校高二月考] 设A,B是随机试验中的两个事件,已知P(A)=0.7,P()=0.6,则下列结论正确的是 ( )
A.若P(B|A)=0.4,则P(A|B)=0.7
B.若P(B|)=0.4,则P(A|)=0.7
C.若P(A+B)=0.8,则P(B|A)=
D.若P(|)=0.3,则P(AB)=0.12
9.(多选题)现有红、黄、绿三个不透明盒子.红色盒子内装有两个红球、一个黄球和一个绿球;黄色盒子内装有两个红球,两个绿球;绿色盒子内装有两个红球,两个黄球.小明第一次先从红色盒子内随机抽取一个球,将取出的球放入与球同色的盒子中;第二次从放入球的盒子中随机抽取一个球.若抽到红球获得1块月饼,抽到黄球获得2块月饼,抽到绿球获得3块月饼,小明最终获得的月饼为两次抽球所获得月饼的总和,则下列说法正确的是 ( )
A.在第一次抽到绿球的条件下,第二次抽到绿球的概率是
B.第二次抽到红球的概率是
C.如果第二次抽到红球,那么它来自黄色盒子的概率为
D.小明最终获得4块月饼的概率是
二、填空题
10.[2024·上海复旦中学高二月考] 已知0
11.将三枚骰子各掷一次,设事件A=“三个点数都不相同”,B=“至少出现一个6点”,则P(A|B)= ,P(B|A)= .
12.在一个抽奖游戏中,主持人从编号分别为1,2,3且外观相同的空箱子中随机选择一个,放入一件奖品,再将箱子关闭,也就是说主持人知道奖品在哪个箱子里,当抽奖人选择了某个箱子后,在箱子打开之前,主持人先随机打开另一个没有奖品的箱子,并问抽奖人是否愿意更改选择.现在已知甲选择了1号箱,若用Ai表示i号箱有奖品(i=1,2,3),用Bi表示主持人打开i号箱子(i=2,3),则P(A2|B3)= .
三、解答题
13.[2024·福州高二期中] 某校团委开展知识竞赛活动.现有两组题目放在A,B两个箱子中,A箱中有6道选择题和3道论述题,B箱中有3道选择题和2道论述题.参赛选手先在任一箱子中随机选取1道题,作答完后再在此箱子中选取第2道题作答,答题结束后将这2道题放回原箱子.
(1)若同学甲从B箱中抽取了2道题,求第2道题抽到论述题的概率;
(2)若同学乙从A箱中抽取了2道题,答题结束后误将题目放回了B箱,接着同学丙从B箱中抽取题目作答,求丙抽取的第1道题是选择题的概率.
14.一场精彩的足球赛即将举行,5个球迷好不容易才买到一张入场券.大家都想去,只好用抽签的方法来决定,准备5张同样的卡片,其中一张卡片的正面写有“入场券”,其余的什么也不写.将它们背面朝上放在一起洗匀,让5个人依次不放回地抽取,后抽比先抽的吃亏吗
15.有甲、乙两个袋子,袋子里有形状和大小完全相同的球,其中甲袋中有2个红球和8个白球,乙袋中有6个红球和4个白球.从这两个袋子中选择一个袋子,再从该袋子中随机摸出1个球,称为一次摸球.多次摸球直到摸出白球时试验结束.假设首次摸球选到甲袋或乙袋的概率均为.
(1)求首次摸球就试验结束的概率.
(2)在首次摸球摸出红球的条件下.
①求选到的袋子为乙袋的概率;
②将首次摸球摸出的红球放回原来袋子,继续进行第二次摸球时有如下两种方案:方案一,从原来袋子中摸球;方案二,从另外一个袋子中摸球.请通过计算,说明选择哪个方案能使第二次摸球就试验结束的概率更大.(共36张PPT)
习题课 条件概率与全概率公式
一、选择题
1.抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记“两次的点数之和为4”，
“两次的点数均为奇数”，则 ( )
A. B. C. D.
[解析] 事件A包含的样本点有，，，共3个，
事件 包含的样本点有，，共2个，
所以 .故选D.
√
2.[2024·江苏南通高二期中]设, 是一个随机试验中的两个事件，且
，， ，则下列说法正确的是( )
A. B. C. D.
[解析] 由题意可知
，所以，故A，B错误；
，故D正确，C错误.故选D.
√
3.一个不透明的箱子中装有若干个除颜色外完全相同的白球、红球和
黄球，每次摸出1个球，摸出后不放回.若第一次摸出红球的概率为 ，
在第一次摸出红球的条件下，第二次摸出黄球的概率为 ，则第一次
摸出红球且第二次摸出黄球的概率为( )
A. B. C. D.
[解析] 记事件“第一次摸出红球”，事件 “第二次摸出黄球”，
则，，
由条件概率的计算公式得 ，则
.故选B.
√
4.[2024·东莞高级中学高二月考]袋中装有10个除颜色外完全相同的
球，其中3个黑球、7个白球，每次取出1个球，不放回地取两次，则
第二次取到黑球的概率为( )
A. B. C. D.
[解析] 设事件“第一次取到黑球”，事件 “第一次取到白球”，
事件“第二次取到黑球”，
则, ，, ，所以
.故选B.
√
5.已知，是互斥事件，且，， ，
则 的值为( )
A. B. C. D.
[解析] 由题意， ，
由A，B是互斥事件知， ，
所以 .故选A.
√
6.某保险公司将其公司的被保险人分为三类：“谨慎的”“一般的”“冒
失的”.统计资料表明，这三类人在一年内发生事故的概率依次为
，， .若该保险公司的被保险人中“谨慎的”被保险人占
，“一般的”被保险人占，“冒失的”被保险人占 ，则该
保险公司的一个被保险人在一年内发生事故的概率是( )
A.0.155 B.0.175 C.0.01 D.0.096
√
[解析] 设事件“被保险人是‘谨慎的’”，事件 “被保险人是‘一
般的’”，事件 “被保险人是‘冒失的’”，
则依题意可知,,.
设事件 “被保险人在一年内发生事故”，
则,, ,
所以由全概率公式得
.故选B.
7.[2024·河北示范性高中高二期中]小明在某不透明的盒子中放入4红
4黑共8个除颜色外完全相同的小球，随机摇晃后，小明从中取出1个
小球丢掉（未看被丢掉小球的颜色）.现从剩下7个小球中取出2个小
球，结果都是红球，则丢掉的小球也是红球的概率为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 设“丢掉1个小球后任取2个小球均为红球”， “丢掉的
小球为红球”，“丢掉的小球为黑球”，
则 ，, ，
由全概率公式可得
，
所以 .故选B.
8.（多选题）[2024·重庆实验外国语学校高二月考] 设， 是随机试
验中的两个事件，已知， ，则下列结论正确的
是( )
A.若，则
B.若，则
C.若，则
D.若，则
√
√
√
[解析] 对于A， ，则
，故A正确；
对于B， ，即
，所以 ，则
,
，即
，则 ，故B正确；
对于C，，即
，则，所以 ，故C正确；
对于D， ，即
，则 ，所以
，则，
故D错误.故选 .
9.（多选题）现有红、黄、绿三个不透明盒子.红色盒子内装有两个
红球、一个黄球和一个绿球；黄色盒子内装有两个红球，两个绿球；
绿色盒子内装有两个红球，两个黄球.小明第一次先从红色盒子内随
机抽取一个球，将取出的球放入与球同色的盒子中；第二次从放入
球的盒子中随机抽取一个球.若抽到红球获得1块月饼，抽到黄球获得
2块月饼，抽到绿球获得3块月饼，小明最终获得的月饼为两次抽球
所获得月饼的总和，则下列说法正确的是( )
A.在第一次抽到绿球的条件下，第二次抽到绿球的概率是
B.第二次抽到红球的概率是
C.如果第二次抽到红球，那么它来自黄色盒子的概率为
D.小明最终获得4块月饼的概率是
√
√
√
[解析] 记红球为1球，黄球为2球，绿球为3球，记事件, 分别表
示第一次、第二次取到球， ,2,3.
对于选项A，在第一次抽到绿球的条件下，第二次抽到绿球的概率是
，所以选项A正确.
对于选项B，因为, ，，
， ，所以由全概率公式知
，所以选项B错误.
，所以选项C正确.
对于选项D，若小明获得4块月饼，则可能的情况有三种：
①第一次从红色盒子内抽到红球，第二次从红色盒子内抽到绿球，
其概率为 ;
②第一次从红色盒子内抽到绿球，第二次从绿色盒子内抽到红球，
其概率为 ；
③第一次从红色盒子内抽到黄球，第二次从黄色盒子内抽到黄球，
其概率为 .所以小明最终获得4块月饼的
概率是，故选项D正确.故选 .
二、填空题
10.[2024·上海复旦中学高二月考] 已知 ，且
.若，，则 _____.
0.12
[解析] ，，相互独立，
进而可知, 也相互独立.
，
， ，
.
11.将三枚骰子各掷一次，设事件“三个点数都不相同”， “至
少出现一个6点”，则___， __.
[解析] 的含义是在事件发生的条件下，事件 发生的概率，
即在事件“至少出现一个6点”发生的条件下，事件“三个点数都不相
同”发生的概率.
因为至少出现一个6点有 （种）情况，
至少出现一个6点且三个点数都不相同有（种）情况，
所以.
的含义是在事件发生的条件下，事件 发生的概率，即在
事件“三个点数都不相同”发生的条件下，事件“至少出现一个6点”
发生的概率.
因为三个点数都不相同有（种）情况，
所以 .
12.在一个抽奖游戏中，主持人从编号分别为1,2,3且外观相同的空箱
子中随机选择一个，放入一件奖品，再将箱子关闭，也就是说主持
人知道奖品在哪个箱子里，当抽奖人选择了某个箱子后，在箱子打
开之前，主持人先随机打开另一个没有奖品的箱子，并问抽奖人是
否愿意更改选择.现在已知甲选择了1号箱，若用表示 号箱有奖品
，用表示主持人打开号箱子，则 __.
[解析] 若奖品在1号箱里，则主持人可打开2，3号箱，故 ；
若奖品在2号箱里，则主持人打开3号箱的概率为1，故 ；
若奖品在3号箱里，则主持人只能打开2号箱，故 .
由全概率公式可得 ,
所以 .
三、解答题
13.[2024·福州高二期中] 某校团委开展知识竞赛活动.现有两组题目放
在,两个箱子中，箱中有6道选择题和3道论述题， 箱中有3道选
择题和2道论述题.参赛选手先在任一箱子中随机选取1道题，作答完后
再在此箱子中选取第2道题作答，答题结束后将这2道题放回原箱子.
（1）若同学甲从 箱中抽取了2道题，求第2道题抽到论述题的概率；
解：设事件“甲第次从箱中抽到论述题”， ，2，则
，，， .
由全概率公式得，第2道题抽到论述题的概率为
.
（2）若同学乙从箱中抽取了2道题，答题结束后误将题目放回了
箱，接着同学丙从 箱中抽取题目作答，求丙抽取的第1道题是选择
题的概率.
解：设事件“丙从箱中抽取的第1道题是选择题”，事件 “乙
从箱中取出2道选择题”，事件“乙从 箱中取出1道选择题和1
道论述题”，事件“乙从箱中取出2道论述题”，
则，， 两两互斥，，， ，，， ，
所以丙抽取的第1道题是选择题的概率为
.
14.一场精彩的足球赛即将举行，5个球迷好不容易才买到一张入场券.
大家都想去，只好用抽签的方法来决定，准备5张同样的卡片，其中
一张卡片的正面写有“入场券”，其余的什么也不写.将它们背面朝上
放在一起洗匀，让5个人依次不放回地抽取，后抽比先抽的吃亏吗？
解：设事件“第个人抽到入场券”，则“第 个
人未抽到入场券”，由题意可得，， ，也就是说，
第1个人抽到入场券的概率是 .
若第2个人抽到了入场券，则第1个人肯定没抽到，即 ，因
此 .
若第3个人抽到了入场券，则第1个、第2个人都没有抽到，即
，因此
.
同理可得 ，
.
也就是说，每个人抽到入场券的概率都是 .
因此，后抽比先抽的不吃亏，抽签不必争先恐后.
15.有甲、乙两个袋子，袋子里有形状和大小完全相同的球，其中甲
袋中有2个红球和8个白球，乙袋中有6个红球和4个白球.从这两个袋
子中选择一个袋子，再从该袋子中随机摸出1个球，称为一次摸球.多
次摸球直到摸出白球时试验结束.假设首次摸球选到甲袋或乙袋的概
率均为 .
（1）求首次摸球就试验结束的概率.
解：设摸球一次，“选到甲袋”为事件，“选到乙袋”为事件 ，“摸
出白球”为事件，“摸出红球”为事件 ，
则 ，
所以首次摸球就试验结束的概率为 .
（2）在首次摸球摸出红球的条件下.
①求选到的袋子为乙袋的概率；
解： 因为，是对立事件，所以 ，
所以 ，
所以选到的袋子为乙袋的概率为 .
②将首次摸球摸出的红球放回原来袋子，继续进行第二次摸球时有
如下两种方案：方案一，从原来袋子中摸球；方案二，从另外一个
袋子中摸球.请通过计算，说明选择哪个方案能使第二次摸球就试验
结束的概率更大.
解： 由①，得 ，
所以选择方案一使第二次摸球就试验结束的概率为
，
选择方案二使第二次摸球就试验结束的概率为
，
因为 ，所以选择方案二能使第二次摸球就试验结束的概率更大.